# Eindexamen Wiskunde B VWO 2003 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2003/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 2

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 2

### Vraag 6 – Opgave 2

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 2

### Vraag 10 – Opgave 2

### Vraag 11 – Opgave 2

### Vraag 12 – Opgave 2

### Vraag 13 – Opgave 2

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 2

### Vraag 16 – Opgave 2

### Vraag 17 – Opgave 2

### Vraag 18 – Opgave 2

### Vraag 19 – Opgave 2

### Vraag 20 – Opgave 2

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs
Wis kunde B1,2 (nieuwe stijl)
20
03
Tijd vak 1
Donderdag 22 mei
13.30 – 16.30 uur
Voor dit examen zijn maximaal 86 punten te
behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangege ven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Voor de uitwerking van de vragen 10, 11, 15, 16,
18 en 19 is een bijlage toegevoegd.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
aantal gegeven punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
gevraagd en je geeft er meer dan twee redenen,
dan worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegeteld.
300010 22
Begin

### Pagina 1

Examen VWO
Wis
kunde B1 (nieuwe stijl)
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs
20 03
Tijdvak 1
Donderdag 22 mei
13.30 - 16.30 uur
Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te
behalen; het examen bestaat uit 20 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Voor de uitwerking van de vragen 8 en 9 is een
bijlage toegevoegd.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
aantal punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
gevraagd en je geeft meer dan twee redenen,
dan worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegeteld.
300010 21
Begin

### Pagina 2

Periodiek

Gegeven is de rij:
$$
\begin{cases}
u_0 = a \\
u_n = \frac{1}{1+u_{n-1}}
\end{cases}
$$
In de volgende twee vragen kiezen we de startwaarde $a = 2$.
In figuur 1 staat de webgrafiek van de rij bij deze startwaarde.

[FIGUUR: Een grafiek met de x-as lopend van -5 tot 5 en de y-as lopend van -5 tot 4. Er zijn twee krommen getekend, een rechte lijn y=x en een gestippelde lijn. Een vierkant is getekend met hoekpunten op de x-as bij 2, op de y-as bij 2, op de kromme bij (2,1) en op de kromme bij (1,2).]

figuur 1

4p 1 Bereken $u_1, u_2, u_3$ en $u_4$.
5p 2 Bereken $u_{999999}$. Licht je antwoord toe.

We kunnen ook andere startwaarden $a$ nemen dan 2. Als we $a = 0$ nemen, heeft de rij maar
twee termen: $u_0$ en $u_1$; dan is de term $u_2$ namelijk niet gedefinieerd.
Behalve $a = 0$ zijn er nog twee startwaarden waarbij één van de termen in de rij $u_n$ gelijk is
aan 0. De daaropvolgende term in de rij is dan niet gedefinieerd.
5p 3 Welke twee startwaarden zijn dat? Licht je antwoord toe.

In de rest van deze opgave werken we met startwaarden waarbij $u_1, u_2$ en $u_3$ wèl
gedefinieerd zijn. Bij zo'n startwaarde $a$ kun je achtereenvolgens $u_1$ en $u_2$ bepalen.
6p 4 Toon langs algebraïsche weg aan dat de uitdrukking die je voor $u_2$ krijgt kan worden
vereenvoudigd tot $-\frac{1}{a}$.

Nu je $u_2$ gevonden hebt, kun je $u_4$ ook bepalen.
4p 5 Toon aan dat $u_4 = a$.

300010 22 2 Lees verder

### Pagina 2

Lengte
Uit statistisch onderzoek is gebleken dat de volwassen Nederlandse mannen in 1999
gemiddeld 180,0 cm lang waren, en dat er een standaardafwijking van 12,8 cm was in de
lengteverdeling. De normale verdeling met 180,0 als verwachtingswaarde en 12,8 als
standaardafwijking past goed bij de werkelijke lengteverdeling. In de volgende vraag
werken we met deze normale verdeling.

3p 1 Hoe groot is bij deze verdeling de kans dat vier willekeurig gekozen mannen alle vier korter
dan 200 cm zijn?

Uit hetzelfde onderzoek bleek dat de volwassen Nederlandse vrouwen in dat jaar een
gemiddelde lengte hadden van 167,0 cm. Verder bleek dat 27,8% van deze vrouwen langer
was dan 177 cm. Neem aan dat bij de waargenomen lengteverdeling een normale verdeling
past met 167,0 als verwachtingswaarde.

4p 2 Hoe moet je de standaardafwijking van deze normale verdeling kiezen om ervoor te zorgen
dat de kans op een lengte groter dan 177 cm gelijk is aan 27,8%?

300010 21 2 Lees verder

### Pagina 3

Zomertarwe

Een akker wordt op 1 april ingezaaid met zomertarwe. De tarwe wordt geoogst op 30 juli.
In de 120 dagen tussen zaaien en oogsten groeien de planten niet steeds even hard.
Aanvankelijk groeien de planten steeds sneller. Als de planten groter worden, gaan ze elkaar
meer hinderen, waardoor de groeisnelheid nagenoeg constant wordt. Tegen het einde van
het groeiseizoen gaan de tarweplanten steeds langzamer groeien.
Het gewicht van de tarweplanten in kilogrammen noemen we z. De tijd in dagen noemen
we $t$; $t = 0$ op 1 april, $t = 120$ op 30 juli.
$z'(t)$ is de snelheid waarmee $z$ groeit op tijdstip $t$ (in kg/dag). Biologen hanteren voor de
drie groeifasen het volgende model:

- fase 1: exponentiële groei voor $0 \le t < 40$ geldt: $z'(t) = 100 \cdot e^{0,1(t-40)}$
- fase 2: lineaire groei voor $40 \le t < 100$ geldt: $z'(t) = 100$
- fase 3: tanende groei voor $100 \le t < 120$ geldt: $z'(t) = 100 \cdot e^{-0,2(t-100)}$

In figuur 2 staat de grafiek van $z'$.

[FIGUUR: Grafiek met op de x-as $t$ (dagen) van 0 tot 120, en op de y-as $z'$ (kg/dag) van 0 tot 100. De grafiek begint op (0,0), stijgt exponentieel tot ongeveer (40,100), blijft constant op 100 van t=40 tot t=100, en daalt daarna exponentieel tot ongeveer (120,0).]

Bij elk tijdstip $t_1$ in fase 1 is er een tijdstip $t_3$ in fase 3 waarop de tarweplanten even snel
groeien als op $t_1$.
4p 6 $\square$ Bereken $t_3$ exact als $t_1 = 18$.

De hoeveelheid zaaigoed is 30 kg. Dus $z(0) = 30$.

Er zijn getallen $a$ en $b$, zo dat voor fase 1 geldt: $z(t) = a \cdot e^{0,1(t-40)} + b$
4p 7 $\square$ Bereken $a$ en $b$. Rond de waarde van $b$ af op twee decimalen.

Op elk tijdstip $t$ is het gewicht te bepalen met $z(t) = z(0) + \int_{0}^{t} z'(s) ds$

Er geldt: $z(100) \approx 7011,68$.
6p 8 $\square$ Toon dit aan.

3p 9 $\square$ Bereken het gewicht van de tarweplanten op 30 juli.

300010 22 3 Lees verder

### Pagina 3

Zomertarwe
Een akker wordt op 1 april ingezaaid met zomertarwe. De tarwe wordt geoogst op 30 juli.
In de 120 dagen tussen zaaien en oogsten groeien de planten niet steeds even hard.
Aanvankelijk groeien de planten steeds sneller. Als de planten groter worden, gaan ze elkaar
meer hinderen, waardoor de groeisnelheid nagenoeg constant wordt. Tegen het einde van
het groeiseizoen gaan de tarweplanten steeds langzamer groeien.
Het gewicht van de tarweplanten in kilogrammen noemen we z. De tijd in dagen noemen
we $t$; $t=0$ op 1 april, $t=120$ op 30 juli.
$z'(t)$ is de snelheid waarmee $z$ groeit op tijdstip $t$ (in kg/dag). Biologen hanteren voor de
drie groeifasen van het volgende model:
• fase 1: exponentiële groei voor $0 \leq t < 40$ geldt: $z'(t) = 100 \cdot e^{0.1(t-40)}$
• fase 2: lineaire groei voor $40 \leq t < 100$ geldt: $z'(t) = 100$
• fase 3: tanende groei voor $100 \leq t \leq 120$ geldt: $z'(t) = 100 \cdot e^{-0.2(t-100)}$
In figuur 1 staat de grafiek van $z'$.
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as z' (kg/dag) en op de x-as t (dagen). De grafiek begint bij (0,0), stijgt exponentieel tot ongeveer t=40 waar de snelheid 100 kg/dag bereikt. Tussen t=40 en t=100 blijft de snelheid constant op 100 kg/dag. Daarna daalt de snelheid exponentieel van 100 kg/dag bij t=100 naar 0 kg/dag bij t=120.]
Bij elk tijdstip $t_1$ in fase 1 is er een tijdstip $t_3$ in fase 3 waarop de tarweplanten even snel
groeien als op $t_1$.
3a (4p) Bereken $t_3$ exact als $t_1 = 18$.
De hoeveelheid zaaigoed is 30 kg. Dus $z(0) = 30$.
4p 4 Bereken $a$ en $b$. Rond de waarde van $b$ af op twee decimalen.
Op elk tijdstip $t$ is het gewicht te bepalen met $z(t) = z(0) + \int_0^t z'(s)ds$.
6p 5 Toon dit aan.
3p 6 Bereken het gewicht van de tarweplanten op 30 juli.
300010 21 3 Lees verder

### Pagina 4

Conflict tussen twee punten en een lijn

Gegeven zijn een lijn $k$ en twee punten $A$ en $B$ op gelijke afstand van $k$ en aan dezelfde kant van $k$. Zie figuur 3. Deze figuur staat ook twee keer op de bijlage.

[FIGUUR: Een lijn $k$ is getekend. Punt $A$ en punt $B$ liggen boven de lijn $k$ en lijken op gelijke afstand van $k$ te liggen en aan dezelfde kant.]

We verdelen het vlak waar $A$, $B$ en $k$ in liggen volgens het naaste-buur-principe. De grenslijnen van deze verdeling zijn conflictlijnen. Het punt $D$ is het ‘drielandenpunt', dat is het punt op gelijke afstand van $A$, $B$ en $k$.

4p 10 Teken in de figuur op de bijlage het drielandenpunt $D$. Licht je werkwijze toe.
4p 11 Teken in de figuur op de bijlage de conflictlijnen. Licht je werkwijze toe.

Osteoporose

Osteoporose of botontkalking is een kwaal die vooral bij oudere mensen optreedt en verergert naarmate men ouder wordt. Bij het ouder worden maakt het lichaam minder bot aan en er gebroken wordt. Het gevolg is dat botten poreuzer worden en de kans op botbreuk dus toeneemt.

In deze opgave beperken we ons tot de risicogroep, personen van 55 jaar en ouder. Onderzoek wijst uit dat 1 op de 4 vrouwen aan osteoporose lijdt. Bij mannen is dat 1 op de 12.

3p 12 Bij een controle op osteoporose onder 100 aselect gekozen vrouwen wordt bij een aantal vrouwen osteoporose geconstateerd. Bereken de kans dat dit aantal 30 is.
7p 13 Bij een controle onder vijf aselect gekozen mannen en vijf aselect gekozen vrouwen wordt bij een aantal van hen osteoporose geconstateerd. Bereken de kans dat dit aantal 2 is.
4p 14 In 1998 bestond in Nederland de risicogroep voor 55,6% uit vrouwen. Bereken hoeveel procent van de osteoporose-patiënten uit de risicogroep vrouw was.

300010 22 4 Lees verder


### Pagina 4

Twee scharnierende vierkanten

Twee vierkanten, beide met zijde 1, hebben het hoekpunt $O$ gemeenschappelijk. Het onderste vierkant ligt vast. Het bovenste vierkant wordt om $O$ gedraaid; $t$ is de draaihoek in radialen. In figuur 2 zijn tussen de begin- en eindstand drie tussenstanden getekend. Om de twee vierkanten is steeds een zo klein mogelijke rechthoek getekend, met twee zijden langs het vaste vierkant.

[FIGUUR: Figuur 2 toont vier afbeeldingen van twee vierkanten. In de eerste afbeelding zijn de vierkanten naast elkaar geplaatst. De tweede afbeelding toont twee vierkanten gestapeld, met een pijl die een draaiing aangeeft. De derde afbeelding toont de vierkanten in een schuine positie, met de draaihoek $t$ aangegeven. De vierde afbeelding toont een rechthoek met twee vierkanten binnenin.]

7 (3p) De oppervlakte $R$ van de omhullende rechthoek is een functie van de draaihoek $t$.
Bereken de oppervlakte $R$ voor $t = \frac{1}{4}\pi$.

Voor elke waarde van $t$ tussen 0 en $\frac{1}{2}\pi$ geldt: $R(t) = (1+\sin t)(1+\sin t + \cos t)$.
In figuur 3 en op de bijlage is de situatie getekend voor een waarde van $t$ tussen 0 en $\frac{1}{2}\pi$.

[FIGUUR: Figuur 3 toont twee vierkanten die om een punt $O$ draaien. Eén vierkant is grijs gekleurd, het andere is wit. De draaihoek is aangegeven met $t$. Er is een rechthoek getekend die beide vierkanten omvat.]

8 (4p) Toon de juistheid van de formule aan voor elke waarde van $t$ tussen 0 en $\frac{1}{2}\pi$.
Er zijn tussen de begin- en de eindstand twee posities van de vierkanten waarvoor $R(t)$ maximaal is. In figuur 4 en op de bijlage is één van die posities getekend.

[FIGUUR: Figuur 4 toont een rechthoek waarin twee vierkanten zijn geplaatst. De vierkanten zijn gedraaid ten opzichte van hun standaardpositie. De draaihoek $t$ is aangegeven.]

9 (4p) Teken in de figuur op de bijlage de andere positie van de vierkantjes waarvoor $R(t)$ maximaal is. Licht je werkwijze toe.

10 (3p) Toon met behulp van differentiëren aan dat $R'(0) = 3$.

4
Lees verder
300010 21

### Pagina 5

Twee scharnierende vierkanten

Twee vierkanten, beide met zijde 1, hebben het hoekpunt $O$ gemeenschappelijk. Het
onderste vierkant ligt vast. Het bovenste vierkant wordt om $O$ gedraaid; $t$ is de draaihoek in
radialen. In figuur 4 zijn tussen de begin- en eindstand drie tussenstanden getekend. Om de
twee vierkanten is steeds een zo klein mogelijke rechthoek getekend, met twee zijden langs
het vaste vierkant.

[FIGUUR: Figuur 4 toont vier plaatjes van twee vierkanten. In elk plaatje zijn twee vierkanten gedeeld door een lijn die door het middelpunt O gaat. De vierkanten zijn diagonaal verdeeld en hebben verschillende schaduwpatronen. Een cirkelboog met label t geeft de draaihoek aan.]

De oppervlakte $R$ van de omhullende rechthoek is een functie van de draaihoek $t$.
Voor elke waarde van $t$ tussen 0 en $\frac{1}{2}\pi$ geldt: $R(t) = (1 + \sin t)(1 + \sin t + \cos t)$.
In figuur 5 en op de bijlage is de situatie getekend voor een waarde van $t$ tussen 0 en $\frac{1}{2}\pi$.

[FIGUUR: Figuur 5 toont een schematische tekening van twee vierkanten. Het ene vierkant is vast, het andere is gedraaid. De zijde van het vaste vierkant is 1, en er is een rechthoek getekend die de twee vierkanten omhult. Een hoek t is gemarkeerd.]

4p 15 $\Box$ Toon de juistheid van de formule aan voor elke waarde van $t$ tussen 0 en $\frac{1}{2}\pi$.

Er zijn tussen de begin- en eindstand twee posities van de vierkanten waarvoor $R(t)$
maximaal is. In figuur 6 en op de bijlage is één van die posities getekend.

[FIGUUR: Figuur 6 toont een schematische tekening van twee vierkanten. Het ene vierkant is vast, het andere is gedraaid. De zijde van het vaste vierkant is 1, en er is een rechthoek getekend die de twee vierkanten omhult. Een hoek t is gemarkeerd.]

4p 16 $\Box$ Teken in de figuur op de bijlage de andere positie van de vierkantjes waarvoor $R(t)$
maximaal is. Licht je werkwijze toe.
3p 17 $\Box$ Toon met behulp van differentiëren aan dat $R'(0) = 3$.

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

300010 22 5 Lees verder

### Pagina 5

Inhoud viervlak

Lijnstuk $AB$ ligt in een horizontaal vlak.
Lijnstuk $CD$ is evenwijdig aan dat vlak, op
afstand 8. Lijnstuk $AB$ heeft lengte 10 en
lijnstuk $CD$ heeft lengte 6.
De lijnstukken $EF$ en $CD$ staan loodrecht op
elkaar. $E$ en $F$ zijn de midden van $AB$ en $CD$.
$EF$ staat loodrecht op $AB$ en op $CD$. Zie figuur 5.

[FIGUUR: Een perspectivische weergave van een horizontaal vlak met een lijnstuk AB erop. Daarboven, parallel aan AB, een lijnstuk CD. Van F, het midden van CD, loopt een gestippelde lijn naar E, het midden van AB. Deze lijn is gemarkeerd met de lengte 8. AB is gemarkeerd met lengte 10, en CD met lengte 6.]

figuur 5

Door de punten $A$ en $B$ te verbinden met de
punten $C$ en $D$ ontstaat het viervlak $ABCD$.
In het viervlak brengen we horizontale
doorsneden aan. Omdat $AB$ en $CD$ loodrecht op
elkaar staan, zijn de doorsneden rechthoeken.
In figuur 6 is als voorbeeld op twee hoogten de
doorsnede getekend. (De hoogte wordt gemeten
langs het lijnstuk $EF$.)

[FIGUUR: Een perspectivische weergave van een viervlak ABCD. De basis AB ligt in een vlak. CD ligt erboven. Er zijn twee horizontale doorsneden getekend als rechthoeken, met lijnen die van de zijden van de rechthoeken naar de zijden van het viervlak lopen. EF is de verbindingslijn van de midden van AB en CD.]

figuur 6

In figuur 7 is zo'n doorsnede op hoogte $h$ boven
het horizontale vlak getekend, met $0 < h < 8$.
Met behulp van driehoek $ABD$ kan de lengte van
de zijde van de rechthoek die in vlak $ABD$ ligt,
in $h$ worden uitgedrukt.

[FIGUUR: Een perspectivische weergave van een viervlak met een doorsnede op hoogte h. De doorsnede is een rechthoek. De hoogte h wordt aangegeven met een verticale lijn vanuit het midden van de doorsnede naar het punt E op de basis AB.]

figuur 7

4p 11 [ ] De lengte van deze zijde is gelijk aan $10 - \frac{5}{4}h$.
Toon dit aan.

De lengte van de andere zijde is gelijk aan $\frac{3}{4}h$.

5p 12 [ ] Onderzoek door een berekening of de doorsnede met
de grootste oppervlakte een vierkant is.

Omdat we de oppervlakte van de doorsnede op elke hoogte $h$ kennen, kunnen we met een
integraal de inhoud van het viervlak $ABCD$ berekenen.
5p 13 [ ] Bereken exact de inhoud van het viervlak $ABCD$.

300010 21 5 Lees verder


### Pagina 6

Twee ellipsen met een gemeenschappelijk brandpunt
Twee ellipsen hebben het brandpunt $F_1$ gemeenschappelijk; de andere twee brandpunten
zijn $F_2$ en $F_3$. De ellipsen snijden elkaar in een punt $P$. Zie figuur 7. Deze figuur staat ook
op de bijlage.
figuur 7
[FIGUUR: Twee ellipsen die elkaar snijden in punt P. Brandpunten F1, F2 en F3 zijn aangegeven. De hoek alpha wordt gevormd bij P.]
De raaklijnen in $P$ aan de twee ellipsen maken vier hoeken met elkaar. De hoek tussen de
twee halve raaklijnen die geheel buiten de ellipsen liggen, noemen we $\alpha$.
6p 18 $\Box$ Bewijs dat geldt: $\angle F_2PF_3 = 2\alpha$.

Constante booglengte
Twee cirkels $c_1$ en $c_2$ snijden elkaar in de
punten $A$ en $B$.
$A$ en $B$ verdelen $c_1$ in twee bogen: de ene
boog ligt binnen $c_2$, de andere boog ligt
buiten $c_2$.
Op de boog van $c_1$ buiten $c_2$ liggen de
punten $X$ en $Y$. De lijnen $AX$ en $BX$
snijden $c_2$ nog in de punten $P_1$ en $Q_1$. De
lijnen $AY$ en $BY$ snijden $c_2$ nog in de
punten $P_2$ en $Q_2$.
Zie figuur 8. Deze figuur staat ook op de
bijlage.
[FIGUUR: Twee cirkels c1 en c2 die elkaar snijden in A en B. Op c1 liggen X en Y. Lijnen AX, BX, AY, BY snijden c2 in P1, Q1, P2, Q2.]
6p 19 $\Box$ Bewijs dat de bogen $P_1Q_1$ en $P_2Q_2$ even
groot zijn.

Einde
300010 22 6

### Pagina 6

Osteoporose
Osteoporose of botontkalking is een kwaal die vooral bij oudere mensen optreedt en verergert naarmate men ouder wordt. Bij het ouder worden maakt het lichaam minder bot aan dan er afgebroken wordt. Het gevolg is dat botten poreuzer worden en de kans op botbreuk dus toeneemt.
In deze opgave beperken we ons tot de risicogroep, personen van 55 jaar en ouder. Onderzoek wijst uit dat 1 op de 4 vrouwen aan osteoporose lijdt. Bij mannen is dat 1 op de 12.
Bij een controle op osteoporose onder 100 aselect gekozen vrouwen wordt bij een aantal
3p 14 □ vrouwen osteoporose geconstateerd.
Bereken de kans dat dit aantal 30 is.
Bij een controle onder vijf aselect gekozen mannen en vijf aselect gekozen vrouwen wordt
7p 15 □ bij een aantal van hen osteoporose geconstateerd.
Bereken de kans dat dit aantal 2 is.
In 1998 bestond in Nederland de risicogroep voor 55,6% uit vrouwen.
4p 16 □ Bereken hoeveel procent van de osteoporose-patiënten uit de risicogroep vrouw was.
300010 21 6 Lees verder

### Pagina 7

Kogelbanen
Vanuit een bepaald punt worden kogels afgeschoten met steeds dezelfde beginsnelheid. De hoek waaronder men de kogels afschiet, varieert. Zie figuur 8.
[FIGUUR: Verschillende parabolische banen van kogels die vanuit een punt worden afgeschoten, met een kanon.]

We brengen een assenstelsel aan in het vlak de $x$-as horizontaal en de $y$-as verticaal. De kogel wordt afgeschoten in het punt $(0,0)$ en komen neer in een punt $D$ op de $x$-as. Zie figuur 9. In deze figuur is behalve de kogelbaan ook de raaklijn $l$ in $(0,0)$ aan deze baan getekend. De kogel wordt weggeschoten in de richting van $l$.
[FIGUUR: Een assenstelsel met de $x$-as en $y$-as. Een parabolische baan begint bij de oorsprong O en eindigt op de $x$-as bij punt D. Een lijn l raakt de baan bij de oorsprong.]

Uit de mechanica is bekend dat een kogelbaan een deel van een parabool is. Een vergelijking van de kogelbaan is:
$y = rx - (0,1 + 1 r^2)x^2$
Hierbij is $r$ een constante die afhangt van de hoek waaronder geschoten wordt.
De richtingscoëfficiënt van $l$ is gelijk aan $r$.

4p 17 Toon dit aan.

Er geldt: $OD = \frac{10r}{1+r^2}$

4p 18 Toon dit aan.

5p 19 Bereken met behulp van differentiëren voor welke waarde van $r$ de afstand $OD$ maximaal is.
[FIGUUR: Een assenstelsel met de $x$-as en $y$-as. Een hellend terrein begint bij de oorsprong O en wordt weergegeven door een lijn met richtingscoëfficiënt 1. Een parabolische baan begint bij de oorsprong en snijdt de lijn bij punt C.]

Veronderstel dat de kogel niet op een horizontaal terrein wordt afgeschoten, maar op een hellend terrein met richtingscoëfficiënt 1. Zie figuur 10. Het hangt van $r$ af waar de kogel op het terrein neerkomt. Dit punt noemen we $C$.

De $x$-coördinaat van punt $C$ is $\frac{10(r-1)}{1+r^2}$.

4p 20 Bereken de maximale lengte van $OC$ in twee decimalen nauwkeurig.

Einde
300010 21 7