# Eindexamen Wiskunde B VWO 2001 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2001/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 2

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 2

### Vraag 5 – Opgave 2

### Vraag 6 – Opgave 2

### Vraag 7 – Opgave 2

### Vraag 8 – Opgave 3

### Vraag 9 – Opgave 3

### Vraag 10 – Opgave 2

### Vraag 11 – Opgave 2

### Vraag 12 – Opgave 2

### Vraag 13 – Opgave 3

### Vraag 14 – Opgave 3

### Vraag 15 – Opgave 3

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs
Wiskunde B1 (nieuwe stijl)
20 01
Tijdvak 2
Woensdag 20 juni
13.30-16.30 uur
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te
behalen; het examen bestaat uit 15 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Voor de uitwerking van de vragen 1, 2, 3 en 9 is
een bijlage toegevoegd.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
aantal meestentijds punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
gevraagd en je geeft er meer dan twee redenen,
dan worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegeteld.
100019 28
Begin

### Pagina 2

Verschuivende geodriehoek

In figuur 1 is de parabool $y = 4 - x^2$ getekend. Ook is een geodriehoek getekend met
de twee rechthoekszijden evenwijdig aan de $x$-as en de $y$-as; de schuine zijde maakt
dus steeds een hoek van $45^\circ$ met de $x$-as. Het midden $M$ van de schuine zijde ligt op
de $y$-as. De parabool is ook getekend op de bijlage.

[FIGUUR: Een assenstelsel met een parabool die op y=4 ligt en door x=2 en x=-2 gaat. Een geodriehoek is in het eerste kwadrant geplaatst, met het midden van de schuine zijde op de y-as en de rechthoekszijden langs de x- en y-as. De schuine zijde maakt een hoek van 45 graden met de x-as.]

Bij elk van de volgende vragen wordt de geodriehoek verschoven in verticale richting;
na de verschuiving ligt het punt $M$ dus steeds op de $y$-as.

6p 1 $\square$ Na de eerste verschuiving snijdt de schuine zijde van de geodriehoek de parabool in
het punt $P(-3,-5)$ en in nog een punt $Q$.
Bereken de lengte van het lijnstuk $PQ$.

5p 2 $\square$ Na de tweede verschuiving is de schuine zijde van de geodriehoek raaklijn aan de
parabool.
Bereken de $y$-coördinaat van $M$.

6p 3 $\square$ Na de derde verschuiving ligt $M$ op het punt $(0, 2)$. De parabool en de schuine zijde
van de geodriehoek sluiten een vlakdeel in.
Bereken de oppervlakte van dat vlakdeel.

100019 28 2 Lees verder


### Pagina 3

Tennis

In een tennistoernooi wordt bij elke partij gespeeld om de 'best of three', dat wil
zeggen dat degene die het eerst twee sets gewonnen heeft, de partij wint. Een partij in
dit toernooi duurt dus twee of drie sets.
We werken in deze opgave met het volgende model:
• beide spelers hebben kans 0,5 om de eerste set te winnen;
• de winnaar van de eerste set heeft kans 0,4 om de tweede set te winnen;
• als de partij nog niet beslist is, heeft de winnaar van de tweede set kans 0,4 om de
derde set te winnen.

5p 4 Bereken de verwachtingswaarde van het aantal sets dat een partij duurt.

In ons model nemen we aan dat een set 30 minuten duurt. De baan is van 18.30 uur tot
22.00 uur beschikbaar. Op een avond kunnen dus maximaal zeven sets gespeeld worden.
Bereken de kans dat op een avond drie volledige partijen gespeeld kunnen worden.

Het tennistoernooi wordt met acht deelnemers gespeeld volgens een afvalsysteem.
Voor het begin van het toernooi ligt het wedstrijdschema vast.
De deelnemers krijgen een nummer en worden daarmee in het schema geplaatst zoals
in figuur 2 is aangegeven. Speler 1 speelt tegen speler 2, de winnaar gaat naar de halve
finale en speelt tegen de winnaar van de wedstrijd tussen speler 3 en speler 4.
Het toernooi duurt drie ronden; in de derde ronde wordt de finale gespeeld.
[FIGUUR: Schema van een tennistoernooi met 8 spelers in een afvallingsysteem. De eerste ronde heeft 4 partijen (1 vs 2, 3 vs 4, 5 vs 6, 7 vs 8). De halve finale verbindt de winnaars van de eerste ronde. De finale verbindt de winnaars van de halve finale.]
figuur 2
eerste ronde
halve finale
finale

Veronderstel dat de acht deelnemers even sterk zijn en dat de nummers willekeurig
worden toegekend.
5p 6 Bereken de kans dat Wim en Alex elkaar in de halve finale ontmoeten.

100019 28 3 Lees verder

### Pagina 4

Zwaartepunt

De coördinaten van het zwaartepunt van een vlakdeel kun je met de formule in het
kader hieronder berekenen.

Van vlakdeel $V$ is $Z$ het zwaartepunt.
De coördinaten van $Z$ zijn $x_Z$ en $y_Z$.
Er geldt:
$$
x_Z = \frac{1}{\text{oppervlakte van } V} \int_p^q x \cdot h(x) \text{d}x
$$
Hierbij is $h(x)$ de bij $x$ behorende hoogte
van $V$, voor $p \le x \le q$.
De berekening van $y_Z$ verloopt op een
soortgelijke manier.
[FIGUUR: Een vlakdeel V in een xy-vlak, begrensd door de x-as en een kromme. De y-as is getekend. De kromme is aan de bovenkant getekend. Er is een punt Z getekend, wat het zwaartepunt voorstelt. Een willekeurige x-waarde is aangegeven met een verticale stippellijn. De lengte van deze lijn tot de kromme is aangegeven met h(x). De grenzen van de integratie zijn aangegeven met p en q op de x-as.]

De vlakdelen in deze opgave zijn symmetrisch in de lijn $y = x$. Dus geldt $y_Z = x_Z$.

De hoekpunten van driehoek $OAB$ zijn
$O(0,0)$, $A(3,0)$ en $B(0,3)$. Zie figuur 3.
[FIGUUR: Een driehoek in het xy-vlak met hoekpunten O(0,0), A(3,0) en B(0,3). De hypotenusa verbindt A en B. Een punt Z is getekend binnen de driehoek, met stippellijnen naar de x-as en y-as. De coördinaten van Z lijken te zijn (1,1).]

6p 7 $\square$ Toon met de formule in het kader aan dat
het zwaartepunt van driehoek $OAB$ het
punt $(1, 1)$ is.

Het vlakdeel $OAPQB$ in figuur 4 wordt
begrensd door de $x$-as, de $y$-as, de lijn
$x = 3$, de lijn $y = 3$ en de hyperbool
$$
y = \frac{3}{x}
$$
[FIGUUR: Een vlakdeel in het xy-vlak, begrensd door de x-as, de y-as, de lijn x=3, de lijn y=3 en een hyperbool. Het vlakdeel heeft de vorm van een vierkant waarvan een deel is weggesneden door de hyperbool. Het punt O is de oorsprong. Punt B ligt op de y-as. Punt Q ligt op de lijn y=3. Punt P ligt op de lijn x=3. Het segment AP ligt op de x-as.]

8p 8 $\square$ Bereken exact de $x$-coördinaat van het
zwaartepunt van dit vlakdeel.

100019 28 4 Lees verder

### Pagina 5

Rechte banen
Een punt $P$ beweegt in een baan die gegeven is door de vergelijkingen:
$$ \begin{cases} x(t) = \cos(a-t) + \cos(t) \\ y(t) = \sin(a-t) + \sin(t) \end{cases} \text{met } 0 \le a \le \pi $$
In figuur 5 en op de bijlage is in een assenstelsel de cirkel met middelpunt $O(0,0)$ en straal 1 getekend. Op de cirkel is voor een waarde van $a$ een boog met lengte $a$ getekend.
[FIGUUR: Een cirkel met middelpunt O, de y-as loopt verticaal door O, de x-as horizontaal door O. Op de cirkel is een punt met coördinaten (cos(a), sin(a)) getekend, met een dikke lijn die een boog vanaf de positie (1,0) naar dit punt verbindt.]

6p 9 $\Box$ Teken in de figuur op de bijlage de plaats van het punt $P$ op de tijdstippen $t = 0$ en $t = \pi$. Licht je werkwijze toe.

De beweging van $P$ kan ook beschreven worden door de vergelijkingen:
$$ \begin{cases} x(t) = 2 \cos(\frac{1}{2}a) \cos(\frac{1}{2}a - t) \\ y(t) = 2 \sin(\frac{1}{2}a) \cos(\frac{1}{2}a - t) \end{cases} $$
4p 10 $\Box$ Toon dit aan.

Als je voor enkele waarden van $a$ de baan van $P$ tekent, lijkt deze steeds een deel van een rechte lijn door $(0,0)$ te zijn.
5p 11 $\Box$ Toon voor $a = 2$ aan dat de baan van $P$ inderdaad een deel van een lijn $y = mx$ is.

100019 28 5 Lees verder

### Pagina 6

Wereldbvolking

Op 12 oktober 1999 werd de zes-miljardste wereldburger geboren. Naar aanleiding hiervan publiceerde de VN het jaarrapport Six billion – a time for choices. Hierin wijst de VN Sarajevo aan als plaats waar de zes-miljardste wereldburger geboren werd. Dat is natuurlijk een symbolische daad: waar precies de zes-miljardste wereldburger geboren werd, is helemaal niet bekend. Het zou, gezien de bevolkingsgrootte van Azië, meer voor de hand gelegen hebben de zes-miljardste wereldburger geboren te laten worden in Azië. Zie figuur 6.

[FIGUUR: Een gestapeld staafdiagram met op de y-as de verdeling van de wereldbevolking in procenten van 0 tot 100. De x-as toont jaartallen van 1750 tot 2050. De staven zijn opgedeeld in kleuren die verschillende continenten representeren: Oceanië, N-Amerika, Lat-Amerika & Cariben, Europa en Azië. De kleuren worden steeds bovenaan vertegenwoordigd door Azië, gevolgd door Europa, Lat-Amerika & Cariben, N-Amerika, en Oceanië.]

Op basis van figuur 6 nemen we aan dat het aandeel van Azië in de wereldbevolking tussen 1998 en 2050 nagenoeg gelijk blijft. De zeven-miljardste wereldburger verwacht de VN in 2013 en de acht-miljardste in 2028. Stel dat de VN door loting een continent aanwijst waarin symbolisch de zeven-miljardste wereldburger geboren wordt en een hierbij voor elk continent de kans om aangewezen te worden gelijk is aan het aandeel van dat continent in de wereldbevolking. En zo ook bij de acht-miljardste wereldburger.

5p 12 [ ] Beken met behulp van figuur 6 hoe groot in dat geval de kans is dat de VN voor ten minste één van deze twee geboorten Azië aanwijst.

100019 28 6 Lees verder

### Pagina 7

figuur 7
wereld
bevolking
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as 'wereldbevolking' in miljarden, beginnend bij 0 tot 10. Op de x-as de jaren, beginnend bij 1804 tot 2054. Er worden verschillende punten weergegeven met bijbehorende aantallen in miljarden, zoals 1 mld, 2 mld, 3 mld, 4 mld, 5 mld, 6 mld, 7 mld, 8 mld, 9 mld.]
1804
1927
'60 '74 '87 '99 2013 '28 2054
1 mld
2 mld
3 mld
4 mld
5 mld
6 mld
7 mld
8 mld
9 mld
10

Figuur 7 komt uit het VN-rapport.
De grootte van de wereldbevolking voldoet bij benadering aan het volgende
groeimodel:
$$W(t) = \frac{L}{1 + (L - 1) \cdot g^t}$$
Hierbij is:
W de wereldbevolking in miljarden;
t het aantal jaren na 1804;
g een constante met $0 < g < 1$ en
L de limietwaarde van de wereldbevolking in miljarden, dat is de grenswaarde waar
W op den duur naar toe zal groeien.
De groeisnelheid $\frac{dW}{dt}$ van de wereldbevolking is het grootst als $t = ^g\log\left(\frac{1}{L - 1}\right)$.

5p 13 Toon aan dat voor die waarde van $t$ geldt: $\frac{dW}{dt} = -\frac{1}{4} L \cdot \ln(g)$.

De constante $g$ is gelijk aan 0,983. De wereldbevolking $t$ jaar na 1804 wordt dus
gegeven door $W(t) = \frac{L}{1 + (L - 1) \cdot 0,983^t}$.
De limietwaarde $L$ is niet precies bekend.

We zijn geïnteresseerd in de kans dat de voorspelde wereldbevolking in 2054, 250 jaar
na 1804, groter dan 10,5 miljard is, met andere woorden de kans dat $W(250) > 10,5$.

5p 14 'W(250) > 10,5' komt overeen met '$L > 12,1$'.
Leg dit uit.

4p 15 Er zijn veel prognoses gemaakt. Daarin blijken de waarden van $L$ normaal verdeeld te
zijn met verwachtingswaarde 10 en standaardafwijking 1,5.
Bereken onder bovengenoemde aannames in hoeveel procent van de prognoses de
voorspelde wereldbevolking in 2054 groter is dan 10,5 miljard.

Einde

100019 28