# Eindexamen Wiskunde B VWO 2001 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2001/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 3

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 3

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 2

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 3

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 2

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 2

### Vraag 14 – Opgave 4

### Vraag 15 – Opgave 2

### Vraag 16 – Opgave 4

### Vraag 17 – Opgave 4

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs
Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
20 01
Tijdvak 1
Woensdag 16 mei
13.30 - 16.30 uur
Voor dit examen zijn maximaal 91 punten te
behalen; het examen bestaat uit 18 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Voor de uitwerking van de vragen 1, 2, 15, 17 en
18 is een bijlage toegevoegd.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
aantal punten toegekend als de
verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redener worden
gevraagd en je geeft er meer dan twee redenen,
dan worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegeteld.
100015 29
Begin

### Pagina 1

Examen VWO
[FIGUUR: Zwart rechthoek en verticale strepen]
Wiskunde B1 (nieuwe stijl)
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs
20 01
Tijdvak 1
Woensdag 16 mei
13.30 – 16.30 uur
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Voor dit examen zijn maximaal 91 punten te
behalen; het examen bestaat uit 17 vragen.
Voor elk vraagnummer is de aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
gevraagd en je geeft er meer dan twee redenen,
dan worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegeteld.
100015 28
Begin

### Pagina 2

Boottocht
In een cirkelvormig meer liggen twee eilandjes, $M$ en $F$. We beschouwen de eilandjes als punten. $M$ ligt precies in het midden van het meer. Zie figuur 1.

[FIGUUR: Een cirkel die een meer voorstelt met land op de rand. Twee punten $M$ en $F$ liggen binnen de cirkel, en een punt $S$ ligt op de rand van de cirkel.]

5p 1 $\Box$
$S$ is een punt aan de rand van het meer. Een bootje start in $S$ en vaart in een rechte lijn naar $M$.
Tekenen in de figuur op de bijlage bij vraag 1 het punt $P$ op de route van het bootje waar het bootje even ver van punt $S$ verwijderd is als van $F$. Licht je werkwijze toe.

6p 2 $\Box$
Een ander bootje start in een punt aan de rand van het meer en vaart ook in een rechte lijn naar $M$. Halverwege is de afstand van het bootje tot het land even groot als de afstand van het bootje tot beide eilandjes.
Tekenen in de figuur op de bijlage bij vraag 2 de punten aan de rand van het meer van waaruit het bootje vertrokken kan zijn. Licht je werkwijze toe.

Oppervlaktebenadering
Deze opgave gaat over een voorbeeld uit de farmacokinetiek, de wetenschap die onder andere het verloop bestudeert van de concentratie van een geneesmiddel in het bloed.
In een praktijktest wordt op geregelde tijden met tussenpozen $\Delta t$ de concentratie van een geneesmiddel bij een persoon gemeten.
Op de tijdstippen $t_0, t_1, t_2, \ldots, t_n$ is de gemeten concentratie $c_0, c_1, c_2, \ldots, c_n$. In figuur 2 zijn de punten $C_k (t_k, c_k)$ weergegeven. Deze punten liggen op de kromme die het verloop weergeeft van de concentratie van dit geneesmiddel.
Een maat voor de werkzaamheid van een geneesmiddel is de oppervlakte onder deze kromme. In de farmacokinetiek noemt men dit de AUC (Area Under Curve).

100015 29 2 Lees verder

### Pagina 2

Oppervlakte
Gegeven is de functie $f(x) = \frac{6}{x+2} - 3$. Zie figuur 1.

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as heeft een verticale asymptoot bij x = -2. De x-as heeft een horizontale asymptoot bij y = -3. Een kromme lijn loopt vanuit het bovenste linker kwadrant naar het onderste rechter kwadrant, en passeert de y-as bij (0, -1) en de x-as bij (0, -3) en is niet correct op de asymptoten getekend. Een rechthoek OABC is getekend met O op (0,0), A op (5,0), B op (5,-1) en C op (0,-1).]

figuur 1
9p 1 $\Box$
In figuur 1 is rechthoek OABC getekend met A(5, 0) en C(0, -2). De raaklijn in O aan de grafiek van $f$ verdeelt rechthoek OABC in twee delen.
Bereken exact de verhouding van de oppervlaktes van deze twee delen.

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as heeft een verticale asymptoot bij x = -2. De x-as heeft een horizontale asymptoot bij y = -3. Een kromme lijn loopt vanuit het bovenste linker kwadrant naar het onderste rechter kwadrant, en passeert de y-as bij (0, -1) en de x-as bij (0, -3) en is niet correct op de asymptoten getekend. Een rechthoek OPQR is getekend met O op (0,0), P op (b,0), Q op (b,-3) en R op (0,-3). De grafiek snijdt de rechthoek.]

figuur 2
8p 2 $\Box$
In figuur 2 is rechthoek OPQR getekend met R(0, -3) en P(b, 0) met $b>0$.
De grafiek van $f$ verdeelt de rechthoek in twee delen met gelijke oppervlakte.
Bereken $b$ in twee decimalen nauwkeurig.

100015 28 2 Lees verder

### Pagina 3

figuur 2
In figuur 3 is aangegeven hoe de oppervlakte onder de kromme benaderd kan
worden. Twee opeenvolgende meetpunten bepalen een trapezium. Het trapezium
tussen $t_k$ en $t_{k+1}$ is grijs aangegeven. De som van de oppervlakten van alle trapezia is
een benadering van de AUC.
figuur 3
De vraag rijst natuurlijk „Hoe nauwkeurig is deze methode?”. Dit ge\c{c}al onderzoeken.
3p 3 Toon aan dat de oppervlakte van het grijsgemaakte trapezium gelijk is aan
$$ \frac{1}{2} (c_k + c_{k+1}) \cdot \Delta t $$
4p 4 Bewijs dat de AUC tussen $t_0$ en $t_n$ benaderd wordt door
$$ \left( \frac{1}{2} (c_0 + c_n) + \sum_{p=1}^{n-1} c_p \right) \cdot \Delta t $$
Om de nauwkeurigheid van deze manier van benaderen aan de hand van een
voorbeeld te testen, nemen we aan dat het dalende gedeelte van de kromme gegeven
wordt door $c = 32 \cdot e^{-\frac{1}{2} t}$ met $c$ in mg/liter en $t$ in uren, $1 \le t \le 5$.
5p 5 Bewijs met behulp van integraalrekening dat de AUC voor $1 \le t \le 5$ gelijk is aan
$$ 64 - \frac{64}{e^2} $$
Neem aan dat de concentratie om het half uur gemeten wordt en dat de meetpunten
inderdaad op de grafiek van $c$ liggen.
7p 6 Bereken hoeveel procent de benadering van de AUC voor $1 \le t \le 5$, bepaald met
behulp van de formule van vraag 4, afwijkt van de werkelijke oppervlakte. Geef het
antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
100015 29
3
Lees verder
Beschikbaar gesteld door Stichting Studieveleiding Leiden (SSL).

### Pagina 3

Water met koolzuur

Hieronder staat een samenvatting van een krantenartikel afkomstig uit
NRC-Handelsblad van 23 oktober 1997.

artikel
DEN HAAG, 23 OKT.
De Consumentenbond ver-
richtte een smaaktest met een
panel van 23 geoefende proe-
vers. De proevers dronken het
kraanwater van negen water-
leidingbedrijven en negen ge-
bottelde koolzuurvrije waters.
Opmerkelijk was dat het lek-
kerste flessenwater werd ver-
slagen door zes kraanwaters.
Tegelijkertijd met dit onder-
zoek werd een onderzoek onder

Water met
koolzuur

horelgelegenheden hetzelfde
water geserveerd als uit de
kraan van het toilet van de ui-
tning. Achter de bar werd
het water door een pompje van
koolzuur voorzien.
cafés gehouden. Wie in een
café een glas mineraalwater
bestelt, krijgt vaak een glas
leidingwater vermengd met
koolzuur. Dat concludeert de
Consumentenbond in zijn gids
van november. Onderzoekers
kregen bij 11 van de 31 bezochte
In een reactie op de conclu-
sies zegt directeur J.H. Peters
van het Bedrijfschap Horeca
dat de gesuggereerde omvang
van het verschijnsel “schrome-
lijk overdreven” is.

In het artikel wordt het opmerkelijk genoemd dat het lekkerste flessenwater
werd verslagen door zes kraanwaters. Stel dat de 18 geproefde waters in een
willekeurige volgorde worden geplaatst. Je kunt je nu afvragen hoe groot de kans
is dat op de zevende plaats voor het eerst een flessenwater voorkomt.
5p 3 Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat op de zevende plaats voor het
eerst een flessenwater voorkomt.

In een reactie op het onderzoek beweert de heer Peters dat de omvang van het
verschijnsel schromelijk overdreven is.
Een café dat kraanwater-met-koolzuur serveert als mineraalwater noemen we
een ‘knooier’.” Daphnis heeft Peters wel gelijk en schetst het artikel een te
somber beeld. Veronderstel dat in werkelijkheid 20% van de cafés tot de
‘knooiers’ behoort.
4p 4 Bereken in vier decimalen de kans dat in een aselecte steekproef van 31 cafés
minstens 11 ‘knooiers’ voorkomen.

Het werkelijke percentage ‘knooiers’ is onbekend.
De kans dat je in een café kraanwater-met-koolzuur krijgt wanneer je om
mineraalwater vraagt noemen we $p$.

5p 5 Onderzoek bij welke waarden van $p$ de kans op minstens 11 ‘knooiers’ in een
steekproef van 31 cafés kleiner is dan 5%. Geef je antwoord in twee decimalen
nauwkeurig.

100015 28 3 Lees verder

### Pagina 4

Machten van sinus en cosinus

Gegeven is de functie $f(x) = (1 - \sqrt{x})^2$ met $0 \le x \le 1$.
Verder is gegeven het lijnstuk $AB$ met $A(1,0)$ en $B(0,1)$. Zie figuur 4.
Tussen de grafiek van $f$ en het lijnstuk $AB$ worden verticale verbindingslijnstukken getekend. In figuur 4 zijn enkele verbindingslijnstukken getekend.

5p 7 $\Box$ Toon aan dat de lengte van een verticaal verbindingslijnstuk wordt gegeven door de formule $L = -2x + \sqrt{x}$.

4p 8 $\Box$ Bereken exact de maximale lengte van zo’n verbindingslijnstuk.

Voor elk positief geheel getal $n$ bekijken we de baan $K_n$ van een punt dat beweegt volgens
$$
\begin{cases}
x(t) = \cos^n t \\
y(t) = \sin^n t
\end{cases}
$$
met $0 \le t \le \frac{1}{2}\pi$.

In figuur 5 zijn vier banen getekend.

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. Op de y-as staat B met de waarde 1. Op de x-as staat A met de waarde 1. De grafiek begint bij B en buigt naar beneden naar A. Er zijn vier van deze curves getekend, die steeds steiler worden.]

5p 9 $\Box$ Gegeven een punt $P$ van $K_6$. Toon aan dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan $K_6$ in punt $P$ gelijk is aan $-\tan^4 t$.

3p 10 $\Box$ In een punt $P$ van $K_6$ heeft de raaklijn aan $K_6$ richtingscoëfficiënt $-9$. Bereken de coördinaten van $P$.

6p 11 $\Box$ Voor een bepaalde waarde van $n$ liggen de punten van $K_n$ op de grafiek van $f$ en voor een bepaalde waarde van $n$ liggen de punten van $K_n$ op het lijnstuk $AB$. Onderzoek welke twee waarden van $n$ dit zijn en toon met behulp van formules de juistheid van je bewering aan.

100015 29 4 Lees verder

### Pagina 4

Laagste kosten

Een chauffeur moet met een vrachtwagen een traject van 100 km lengte rijden.
Zijn firma wil weten bij welke snelheid de totale vervoerkosten het laagst zijn.
Een vrachtwagen verbruikt bij een snelheid van 60 kilometer per uur $\frac{1}{2}$ liter brandstof. Bij toename van de snelheid neemt het verbruik
exponentieel toe: bij elke toename van de snelheid met 10 kilometer per uur
stijgt het verbruik per kilometer met 10%.
Het arbeidsloon van de chauffeur is $f$ 90,- per uur.
De brandstofkosten zijn $f$ 3,- per liter.
De totale vervoerkosten bestaan uit brandstofkosten en het arbeidsloon van de
chauffeur.

6p 6 Toon aan dat de totale vervoerkosten over het traject bij een snelheid van
80 kilometer per uur $f$ 294,- bedragen.

7p 7 Bereken bij welke snelheid de totale vervoerkosten het laagst zijn. Rond je
antwoord af op hele kilometers per uur.

Geneesmiddelenonderzoek

Deze opgave gaat over een voorbeeld uit de farmacokinetiek, de wetenschap die
onder andere het verloop bestudeert van de concentratie van een geneesmiddel in het
bloed.
In een praktijktest wordt op geregelde tijden met tussenpozen $\Delta t$ de concentratie van
een geneesmiddel bij een persoon gemeten.
Op de tijdstippen $t_0, t_1, t_2, \dots, t_n$ is de gemeten concentratie $c_0, c_1, c_2, \dots, c_n$. In figuur 3
zijn de punten $(t_k, c_k)$ weergegeven. Deze punten liggen op de kromme die het
verloop weergeeft van de concentratie van dit geneesmiddel.
Een maat voor de werkzaamheid van een geneesmiddel is de oppervlakte onder deze
kromme. In de farmacokinetiek noemt men dit de AUC (Area Under Curve).

[FIGUUR: Een grafiek met op de y-as de concentratie 'c' en op de x-as de tijd 't'. Er worden punten $c_0, c_1, c_2, c_3$ getoond op een kromme die eerst stijgt en daarna daalt. De x-as heeft markeringen $t_0, t_1, t_2, t_3$ en eindigt met $t_n$.]

100015 28 4 Lees verder

### Pagina 5

Water met koolzuur
Hieronder staat een samenvatting van een krantenartikel afkomstig uit
NRC-Handelsblad van 23 oktober 1997.

artikel
DEN HAAG, 23 OKT.
De Consumentenbond
richtte een smaaktest met een
panel van 23 gezoende proe-
vers. De proevers dronken het
kraanwater van negen waterlei-
dingbedrijven en negen ge-
bottelde koolzuurvrije waters.
Opmerkelijk was dat het lek-
kerste flessenwater werd ver-
slagen door zes kraanwaters.
Tegelijkertijd met dit onder-
zoek werd een onderzoek onder
Water met
koolzuur
cafés gehouden. Wie in een
café een glas mineraalwater
bestelt, krijgt vaak een glas
leidingwater vermengd met
koolzuur. Dat concludeert de
Consumentenbond in zijn gids
van november. Onderzoekers
kregen bij 11 van de 31 bezochte
horecagelegenheden hetzelfde
water geserveerd als uit de
kraan van het toilet van de uit-
spanning. Achter de bar werd
het water door een pompje van
koolzuur voorzien.
In een reactie op de conclu-
sie zegt directeur J.H. Peters
van het Bedrijfschap Horeca
dat de gesuggereerde omvang
van het verschijnsel "schrome-
lijk overdreven" is.
5p 12 ☐
In het artikel wordt het opmerkelijk genoemd dat het lekkerste flessenwater werd
verslagen door zes kraanwaters. Stel dat de 18 geproefde waters in een willekeurige
volgorde worden geplaatst, je kunt je nu afvragen hoe groot de kans is dat op de
zevende plaats voor het eerst een flessenwater voorkomt.

Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat op de zevende plaats voor het
eerst een flessenwater voorkomt.

4p 13 ☐
In een reactie op het onderzoek beweert de heer Peters dat de omvang van het
verschijnsel schromelijk overdreven is.
Een café dat kraanwater-met-koolzuur serveert als mineraalwater noemen we een
'knoeier'. Misschien heet u het wel gelijk en schetst het artikel een somber beeld.
Veronderstel dat in werkelijkheid 20% van de cafés tot de 'knoeiers' behoort.
Bereken in vier decimalen de kans dat in een aselecte steekproef van 31 cafés
minstens 11 'knoeiers' voorkomen.

100015 29
5
Lees verder

### Pagina 5

In figuur 4 is aangegeven hoe de oppervlakte onder de kromme benaderd kan
worden. Twee opeenvolgende meetpunten bepalen een trapezium. Het trapezium
tussen $t_k$ en $t_{k+1}$ is grijs aangegeven. De som van de oppervlakten van alle trapezia is
een benadering van de AUC.
[FIGUUR: Grafiek met de concentratie c op de y-as en tijd t op de x-as. De grafiek bevat verschillende meetpunten $C_0, C_1, C_2, C_3$ op verschillende tijdstippen $t_0, t_1, t_2, t_3$. Een deel van de grafiek, tussen $t_k$ en $t_{k+1}$, is grijs gearceerd en vormt een trapezium.]

De vraag rijst natuurlijk "Hoe nauwkeurig is deze methode?". Dit gaan we in
deze opgave voor een speciaal geval onderzoeken.

3p 8 $\Box$ Toon aan dat de oppervlakte van het grijsgemaakte trapezium gelijk is aan
$\frac{1}{2}(c_k+c_{k+1})\cdot \Delta t$

4p 9 $\Box$ Bewijs dat de AUC tussen $t_0$ en $t_n$ benaderd wordt door
$$ \left( \frac{1}{2}c_0 + \sum_{p=1}^{n-1} c_p + \frac{1}{2}c_n \right) \cdot \Delta t $$
Om de nauwkeurigheid van deze manier van benaderen aan de hand van een
voorbeeld te testen, nemen we aan dat het dalende gedeelte van de kromme gegeven
wordt door $c = 32 \cdot e^{-\frac{1}{2}t} + 1$ met $c$ in mg/liter en $t$ in uren, $1 \leq t \leq 5$.

5p 10 $\Box$ Bewijs met behulp van integraalrekening dat de AUC voor $1 \leq t \leq 5$ gelijk is aan
$$ 64 - \frac{64}{e^2} $$

7p 11 $\Box$ Neem aan dat de concentratie om het half uur gemeten wordt en dat de
meetpunten inderdaad op de grafiek van c liggen.
Bereken hoeveel procent de benadering van de AUC voor $1 \leq t \leq 5$, bepaald met
behulp van de formule van vraag 9, afwijkt van de werkelijke oppervlakte. Geef het
antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

De hoeveelheid werkzame stof per tablet van het geneesmiddel mag niet te hoog
zijn omdat er dan schadelijke bijwerkingen optreden. Maar ze mag ook niet te
laag zijn omdat het middel dan onvoldoende effect heeft. De hoeveelheid
werkzame stof in een tablet is normaal verdeeld met een gemiddelde van 100 mg
en een standaardafwijking van 3 mg. Het medicijn is effectief en niet schadelijk
als de hoeveelheid werkzame stof per tablet tussen de 90 mg en 110 mg ligt.
5p 12 $\Box$ Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat een tablet effectief en niet
schadelijk is.

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

100015 28 5 Lees verder

### Pagina 6

Een functie en een rij
Gegeven is de functie $f(x) = 3 - \frac{3}{x+1}$. Zie figuur 6.
[FIGUUR: Grafiek van de functie $f(x)$ met asymptoten $x=-1$ en $y=3$. Er zijn punten aangegeven op de grafiek, O(0,0), P(b,0) en Q op de grafiek met een rechte lijn naar de y-as en de x-as, die een rechthoek OPQR vormen. ]
figuur 6
14 □ 8p
In figuur 6 is rechthoek OPQR getekend met $R(0,3)$ en $P(b,0)$ met $b>0$. De grafiek van $f$ verdeelt de rechthoek in twee delen met gelijke oppervlakte. Bereken $b$ in twee decimalen nauwkeurig.
Voor de rij $v_0, v_1, v_2, \dots$ geldt $v_n = f(v_{n-1})$ met $v_0 \ge 0$ en $n \ge 1$.
15 □ 6p
Op de bijlage bij vraag 15 is een gedeelte van de grafiek van $f$ getekend.
Onderzoek voor welke waarden van $v_0$ de rij convergeert. Licht je antwoord toe, bijvoorbeeld met behulp van een webgrafiek.
16 □ 5p
Voor bepaalde startwaarden $v_0 < 0$ breekt de rij $v_0, v_1, v_2, \dots$ met $v_n = f(v_{n-1})$ en $n \ge 1$ af, omdat de termen niet meer gedefinieerd zijn. Geef twee van dergelijke startwaarden. Licht je antwoord toe.
100015 29
6
Lees verder

### Pagina 6

Machten van sinus en cosinus
Gegeven is de functie $f(x) = (1 - \sqrt{x})^2$ met $0 \leq x \leq 1$.
Verder is gegeven het lijnstuk $AB$ met $A(1,0)$ en $B(0,1)$. Zie figuur 5.
Tussen de grafiek van $f$ en het lijnstuk $AB$ worden verticale verbindingslijnstukken getekend. In figuur 5 zijn enkele verbindingslijnstukken getekend.

5p 13 Toon aan dat de lengte van een verticaal verbindingslijnstuk wordt door de formule $L = -2x + 2\sqrt{x}$.

4p 14 Bereken exact de maximale lengte van zo'n verbindingslijnstuk.

Voor elk positief geheel getal $n$ bekijken we de baan $K_n$ van een punt dat beweegt volgens
$$
\left{
\begin{array}{l}
x(t) = \cos^n t \\
y(t) = \sin^n t
\end{array}
\right.
\text{ met } 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\pi.
$$
In figuur 6 zijn vier banen getekend.

[FIGUUR: Een grafiek met de x-as en y-as. Op de y-as staat 1 en op de x-as staat 1. De curve begint op (0,1) en gaat naar (1,0). Er zijn verticale lijnen getekend vanaf de curve naar het lijnstuk AB. Het lijnstuk AB verbindt (0,1) en (1,0).]

5p 15 Gegeven een punt $P$ van $K_6$. Toon aan dat de richtingcoëfficiënt van de raaklijn aan $K_6$ in punt $P$ gelijk is aan $-\tan^5 t$.

3p 16 In een punt $P$ van $K_6$ heeft de raaklijn aan $K_6$ richtingscoëfficiënt $-9$. Bereken de coördinaten van $P$.

6p 17 Voor een bepaalde waarde van $n$ liggen de punten van $K_n$ op de grafiek van $f$ en voor een bepaalde waarde van $n$ liggen de punten van $K_n$ op het lijnstuk $AB$. Onderzoek welke twee waarden van $n$ dit zijn en toon met behulp van formules de juistheid van je bewering aan.

Einde
100015 28

### Pagina 7

Bewegende, gelijkbenige, rechthoekige driehoek
Een gelijkbenige rechthoekige driehoek wordt in de linkeronderhoek van een vel papier gelegd. De eindpunten van de schuine zijde van de driehoek zijn A en B en het derde hoekpunt is C. Punt A ligt op de linkerzijde van het papier en punt B op de onderzijde van het papier. De hoekpunten van het papier noemen we D, E, F en G. Zie figuur 7. Figuur 7 is op de bijlage afgedrukt.
[FIGUUR: Een rechthoek met hoekpunten D, E, F, G. Binnen de rechthoek bevindt zich een driehoek ABC. Punt A ligt op de zijde DG, punt B op de zijde DE en punt C ligt daarbinnen. De zijde AB is de schuine zijde van de driehoek.]
We laten de driehoek over het papier bewegen waarbij A op de linkerzijde en B op de onderzijde van het papier blijft. In de beginsituatie valt B samen met D. B beweegt over de onderzijde van het papier tot A samenvalt met D. Tijdens de beweging beschrijft C een baan over het papier.
5p 17 $\Box$ Bewijs dat C tijdens deze beweging over de bissectrice van $\angle D$ beweegt. Je kunt hierbij gebruik maken van de figuur op de bijlage bij vraag 17.
5p 18 $\Box$ Het punt M is het midden van AB. Bij de beweging beschrijft ook M een baan. Laat zien dat deze baan een kwartcirkel is en geef het middelpunt van deze cirkel. Je kunt hierbij gebruik maken van de figuur op de bijlage bij vraag 18.
Einde
100015 29 7
Voor alle eindexamens, zie www.alleexames.nl. Voor de perfecte voorbereiding op je eindexamen, zie ook www.ssl Leiden.nl. Pagina: 2005

### Pagina 7

Correctievoorschrift VWO
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs
20 01
Tijdvak 1
Wiskunde B1 (nieuwe stijl)
[FIGUUR: Verticale streepjes naast de tekst "Wiskunde B1 (nieuwe stijl)".]
Inzenden scores
Uiterlijk op 30 mei de scores van de
alfabetisch geordende tien kandidaten per
school op de daartoe verstrekte optisch
leesbare formulieren naar de Citogroep
zenden.
100015 CV28
Begin
Voor alle eindexamens, zie www.alleeindexamens.nl. Voor de perfecte voorbereiding op je eindexamen, zie ook www.ssileiden.nl.

### Pagina 8

1 Regels voor de beoordeling
Het werk van de kandidaten wordt beoordeeld met inachtneming van de artikelen 41 en 42 van het Eindexamensluit VWO/HAVO/MAVO/VBO. Voorts heeft de CEVO op grond van artikel 39 van dit Besluit de Regeling beoordeling centraal examen vastgesteld (CEVO-94-427 van september 1994) en bekendgemaakt in het Gele Katern van Uitleg, nr. 22a van 28 september 1994.
Voor de beoordeling zijn de volgende passages van de artikelen 41 en 42 van het Eindexamensluit van belang:
1 De directeur doet het gemaakte werk met een exemplaar van de opgaven en het procesverbaal van het examen toekomen aan de examinator. Deze kijkt het werk na en zendt het met zijn beoordeling aan de directeur. De examinator past bij zijn beoordeling de normen en de regels voor het toekennen van scorepunten toe die zijn gegeven door de CEVO.
2 De directeur doet de van de examinator ontvangen stukken met een exemplaar van de opgaven, de beoordelingsnormen, het procesverbaal en de regels voor het bepalen van de cijfers, onverwijld aan de gecommitteerde toekomen.
3 De gecommitteerde beoordeelt het werk zo spoedig mogelijk en past bij zijn beoordeling de normen en de regels voor het toekennen van scorepunten toe die zijn gegeven door de CEVO.
4 De examinator en de gecommitteerde stellen in onderling overleg het aantal scorepunten voor het centraal examen vast.
5 Komen zij daarbij niet tot overeenstemming, dan wordt het aantal scorepunten bepaald op het rekenkundig gemiddelde van het door ieder van hen voorgestelde aantal scorepunten, zo nodig naar boven afgerond.

2 Algemene regels
Voor de beoordeling van het examenwerk zijn de volgende bepalingen uit de CEVO-regeling van toepassing:
1 De examinator vermeldt op een lijst de namen en/of nummers van de kandidaten, het aan iedere kandidaat voor iedere vraag toegekende aantal scorepunten en het totaal aantal scorepunten van iedere kandidaat.
2 Voor het antwoord op een vraag worden door de examinator en door de gecommitteerde scorepunten toegekend in overeenstemming met het antwoordmodel.
Scorepunten zijn de getallen 0, 1, 2, ..., n, waarbij n het maximaal te behalen aantal scorepunten voor een vraag is. Andere scorepunten die geen gehele getallen zijn, of een score minder dan 0 punten, zijn niet geoorloofd.
3 Scorepunten worden toegekend met inachtneming van de volgende regels:
3.1 indien een vraag volledig juist is beantwoord, wordt het maximaal te behalen aantal scorepunten toegekend;
3.2 indien een vraag gedeeltelijk juist is beantwoord, wordt een deel van de te behalen scorepunten toegekend in overeenstemming met het antwoordmodel;
3.3 indien een antwoord op een open vraag niet in het antwoordmodel voorkomt en dit antwoord op grond van aantoonbare vakinhoudelijke argumenten als juist of gedeeltelijk juist aangemerkt kan worden, moeten scorepunten worden toegekend naar analogie of in de geest van het antwoordmodel;
100015 CV28 2 Lees verder

### Pagina 9

3.4 indien één voorbeeld, reden, uitwerking, citaat of andersoortig antwoord gevraagd wordt, wordt uitsluitend het eerstgegeven antwoord beoordeeld.
3.5 indien meer dan één voorbeeld, reden, uitwerking, citaat of andersoortig antwoord gevraagd wordt, worden uitsluitend de eerstgegeven antwoorden beoordeeld, tot maximaal het gevraagde aantal;
3.6 indien in een antwoord een gevraagde verklaring of uitleg of berekening ontbreekt dan wel foutief is, worden 0 scorepunten toegekend, tenzij in het antwoordmodel anders is aangegeven;
3.7 indien in het antwoordmodel verschillende mogelijkheden zijn opgenomen, gescheiden door het teken /, gelden deze mogelijkheden als verschillende formuleringen van hetzelfde antwoord.

4 Een fout mag in de uitwerking van een vraag maar één keer worden aangerekend, tenzij daardoor de vraag aanzienlijk vereenvoudigd wordt en/of tenzij in het antwoordmodel anders is vermeld.

5 Een zelfde fout in de beantwoording van verschillende vragen moet steeds opnieuw worden aangerekend, tenzij in het antwoordmodel anders is vermeld.

6 Indien de examinator of de gecommitteerde meent dat in een toets of in het antwoordmodel bij die toets een fout of onvolkomenheid zit, beoordeelt hij het werk van de kandidaten alsof toets en antwoordmodel juist zijn. Hij kan de fout of onvolkomenheid mededelen aan de CEVO. Het is niet toegestaan zelfstandig af te wijken van het antwoordmodel. Met een eventuele fout wordt bij de definitieve normering van het examen rekening gehouden.

7 Voor deze toets kunnen maximaal 91 scorepunten worden behaald. Scorepunten worden toegekend op grond van het door de kandidaat gegeven antwoord op iedere vraag. Er worden geen scorepunten vooraf gegeven.

8 Het cijfer voor het centraal examen wordt als volgt verkregen. Eerste en tweede correcteur stellen de score voor iedere kandidaat vast. Deze score wordt meegedeeld aan de directeur. De directeur stelt het cijfer voor het centraal examen vast op basis van de regels voor omzetting van score naar cijfer (artikel 42, tweede lid, Eindexamenbesluit VWO/HAVO/MAVO/VWO). Dit cijfer kan afgelezen worden uit tabellen die beschikbaar worden gesteld. Tevens wordt er een computerprogramma verspreid waarmee voor alle scores het cijfer berekend kan worden.

3 Vakspecifieke regels

Voor het vak Wiskunde B1 (nieuwe stijl) VWO zijn de volgende vakspecifieke regels vastgesteld:

1 Voor elke rekenfout of verschrijving in de berekening wordt één punt afgetrokken tot het maximum van het aantal punten dat voor dat deel van die vraag kan worden gegeven.

2 De algemene regel 3.6 geldt ook bij de vragen waarbij de kandidaten de Grafische rekenmachine (GR) gebruiken. Bij de betreffende vragen doen de kandidaten er verslag van hoe zij de GR gebruiken.

100015 CV28 3 Lees verder


### Pagina 10

4 Antwoordmodel
Antwoorden
Oppervlakte
Maximumscore 9
1 $\Box$ $\cdot f'(x) = \frac{-6}{(x+2)^2}$ 2
$\cdot f'(0) = -\frac{3}{2}$ 1
$\cdot y = -\frac{3}{2} x$ 1
$\cdot$ Raaklijn snijdt de lijn $y=-2$ in punt $S(1\frac{1}{3}, -2)$ 1
$\cdot$ Opperwlakte driehoek OCS is $1\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{3} \cdot 2 = 1\frac{1}{3}$ 1
$\cdot$ Opperwlakte rechthoek OABC is $5 \cdot 2 = 10$ 1
$\cdot$ Opperwlakte OSBA is $8\frac{2}{3}$ 1
$\cdot$ De verhouding is $1\frac{1}{3} : 8\frac{2}{3} = 1 : 6\frac{1}{2} = 2:13$ 1

Opmerkingen
Als de grafische rekenmachine gebruikt is bij de berekening van de vergelijking van de raaklijn, dan voor deze vraag maximaal 5 punten toekennen.
Als voor het antwoord andere getallen gebruikt zijn om de verhouding aan te geven zoals bijvoorbeeld 4 : 26, dan hiervoor geen punten aftrekken.

Maximumscore 8
2 $\Box$ $\cdot$ De oppervlakte van de rechthoek is $3b$ 1
$$ \int_{0}^{b} f(x) dx = \frac{3}{2}b $$ 3
$$ \left[ 6 \ln |x + 2| - 3x \right]_{0}^{b} = -\frac{3}{2}b $$ 1
$\cdot 6 \ln(b+2) - 3b - 6 \ln 2 = -\frac{3}{2}b$ 1
$\cdot$ Het antwoord $b \approx 5,03$ berekenen 2

Water met koolzuur
Maximumscore 5
3 $\Box$ $\cdot$ Het aantal mogelijke volgordes is 18! 1
$\cdot$ Het aantal mogelijke volgordes met eerst zes kraanwaters en vervolgens een flessenwater is $9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 9$ 3
$\cdot$ De gevraagde kans is 0,0034 1
of
$\cdot$ De kans dat de eerste zes kraanwaters zijn, is $\frac{9}{18} \cdot \frac{8}{17} \cdot \frac{7}{16} \cdot \frac{6}{15} \cdot \frac{5}{14} \cdot \frac{4}{13}$ 2
$\cdot$ De kans dat de volgende een flessenwater is, is $\frac{9}{12}$ 2
$\cdot$ De gevraagde kans is 0,0034 1

100015 CV28 4 Lees verder

### Pagina 11

Antwoorden Deel- scores

Maximumscore 4
4 $\Box$ . De gevraagde kans is $P(X \geq 11 \mid p=0,20 \text{ en } n=31)$. 2
. Het antwoord is 0,0327 (binominale verdeling) 2

Maximumscore 5
5 $\Box$ . Voor elke waarde $p_0$ die aan de voorwaarde voldoet geldt 2
$P(X \geq 11 \mid p=p_0 \text{ en } n=31) < 0,05$ 3
. Via de grafische rekenmachine bepalen dat hieraan voldaan wordt als $p \leq 0,21$ 1
of
. In de vorige vraag zien we dat $p=0,2$ in het kritieke gebied ligt 1
. We gaan de grenzen van $p$ onderzoeken via de binomiale verdeling 1
$P(X \geq 11 \mid p=0,21 \text{ en } n=31) \approx 0,0451$ 1
$P(X \geq 11 \mid p=0,22 \text{ en } n=31) \approx 0,0607$ 1
. Het antwoord is $p \leq 0,21$ 1

Laagste kosten

Maximumscore 6
6 $\Box$ . Het verbruik op een traject van 100 km bij een snelheid van 80 km/uur is 2
$\frac{1}{2} \cdot (1,1)^2 \cdot 100$ liter
. De brandstofkosten zijn dan $\frac{1}{2} \cdot (1,1)^2 \cdot 100 \cdot 3,00 = 181,50$ (gulden) 1
. Het arbeidsloon voor een traject van 100 km bij een snelheid van 80 km/uur is 2
$\frac{100}{80} \cdot 90 = 112,50$ (gulden)
. De totale kosten zijn dus $181,50 + 112,50 = f$ 294,- 1

Maximumscore 7
7 $\Box$ . Stel de snelheid is $60 + 10x$ km/uur 1
. De brandstofkosten op een traject van 100 km bij deze snelheid zijn dan 1
$\frac{1}{2} \cdot (1,1)^x \cdot 100 \cdot 3,00$
. Het arbeidsloon voor een traject van 100 km bij deze snelheid is 1
$\frac{100}{60+10x} \cdot 90$
. De totale kosten zijn dus $150 \cdot (1,1)^x + \frac{900}{6+x}$ 1
. Het minimum voor $x \approx 1,42$ berekenen 2
. De gevraagde snelheid is dus 74 km/uur 1
of
. Stel de snelheid is $x$ km/uur 1
. De brandstofkosten op een traject van 100 km bij deze snelheid zijn dan
$\frac{1}{2} \cdot (1,1)^{\frac{x-60}{10}} \cdot 100 \cdot 3,00$
. Het arbeidsloon voor een traject van 100 km bij deze snelheid is $150 \cdot (1,1)^{\frac{x-60}{10}} + \frac{9000}{x}$ 1
. De totale kosten zijn dus 74,2 berekenen 1
. Het minimum voor $x \approx 74,2$ is dus 74 km/uur 1
100015 CV28 5 Lees verder
Voor alle eindex

### Pagina 12

Antwoorden Deel- scores
Geneesmiddelenonderzoek
Maximumscore 3
8
Het trapezium bestaat uit een rechthoek met zijden $\Delta t$ en $c_{k+1}$ en een
rechthoekige driehoek met rechthoekszijden $\Delta t$ en $c_k-c_{k+1}$
. Dus de oppervlakte van het trapezium is
$\Delta t \cdot c_k + \frac{1}{2}\Delta t \cdot (c_k - c_{k+1}) = \frac{1}{2}(c_k + c_{k+1}) \cdot \Delta t$
1
2
Maximumscore 4
9
De AUC wordt benaderd door de som van de
trapezia
. De som van de oppervlakten van de trapezia is $\sum_{p=0}^{n-1} \frac{1}{2}(c_p + c_{p+1})\Delta t$
Dit herleiden tot
$\left{\frac{1}{2}(c_0+c_n) + \sum_{p=1}^{n-1} c_p \right}\Delta t$
1
1
2
Maximumscore 5
10
De oppervlakte is $\int_{1}^{5} 32 \cdot e^{-\frac{1}{2}t + \frac{1}{2}} dt$
Een primitieve van $t \rightarrow 32 \cdot e^{-\frac{1}{2}t + \frac{1}{2}}$ is $t \rightarrow \frac{32 \cdot e^{-\frac{1}{2}t + \frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}}$
. Dus de oppervlakte is $\left[ -64e^{-\frac{1}{2}t + \frac{1}{2}} \right]_{1}^{5} = -64e^{-2} + 64e^0$
. Dit is gelijk aan $64 - \frac{64}{e^2}$
1
2
1
Maximumscore 7
11
$\Delta t = \frac{1}{2}$
. De oppervlakte is $\frac{1}{2} \left( (32e^0 + 32e^{-2}) + \sum_{p=1}^{7} 32e^{-\frac{1}{4}p} \right)$
Het antwoord is ongeveer 55,62646 (via grafische rekenmachine of formule)
Dit wijkt 0,52% af van de werkelijke oppervlakte
1
3
2
1
Maximumscore 5
12
$P(90 \leq X < 110 \mid \mu = 100 \text{ en } \sigma = 3)$ met $X$ de hoeveelheid werkzame stof
. Het antwoord is 0,9991
3
2
Opmerking
Als $P(90 \leq X \leq 110)$ uitgerekend is, dan hiervoor geen punten aftrek.
100015 CV28 6 Lees verder

### Pagina 13

Antwoorden
Deel-
scores
Machten van sinus en cosinus

Maximumscore 5
13 □ . Lijn AB heeft als vergelijking $y = 1 - x$
2
. De lengte $L$ van een verbindingslijn-stuk is $L = 1 - x - (1 - \sqrt{x})^{2}$
2
. Dit herleiden tot $L = -2x + 2\sqrt{x}$
1

Maximumscore 4
14 □ . Het differentiëren geeft $\frac{dL}{dx} = -2 + 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -2 + \frac{1}{\sqrt{x}}$
1
. De vergelijking $\frac{dL}{dx} = 0$ oplossen geeft $x = \frac{1}{4}$
2
. De maximale lengte is $\frac{1}{2}$
1

Maximumscore 5
15 □ . $\left{ \begin{array}{l} x'(t) = -6 \cos^5 t \sin t \\ y'(t) = 6 \sin^5 t \cos t \end{array} \right.$
3
. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is $\frac{6 \sin^5 t \cos t}{-6 \cos^5 t \sin t} = -\frac{\sin^4 t}{\cos^4 t}$
1
. Dit herleiden tot $-\tan^4 t$
1

Maximumscore 3
16 □ . Het oplossen van de vergelijking $-\tan^4 t = -9$ geeft $t = \frac{1}{2} \pi$ (of $t \approx 1,0472$)
2
. Het punt $P$ heeft als coördinaten $(\frac{1}{64}, \frac{27}{64})$ (of $(0,0156; 0,4219))$
1

Maximumscore 6
17 □ . Dit geldt voor $n = 2$
1
. In de vergelijking van de lijn $x$ en $y$ substitueren
1
$1 - x = 1 - \cos^2 t = \sin^2 t = y$, dus het klopt
1
. Dit geldt voor $n = 4$
1
. In de vergelijking van de kromme $x$ en $y$ substitueren
1
$(1 - \sqrt{x})^{2} = (1 - \sqrt{\cos^4 t})^{2} = (\sin^2 t)^{2} = \sin^4 t = y$, dus het klopt
1

Einde
100015 CV28
7

### Pagina 14

Examen VWO
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs
Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
20 01
Tijdvak 1
Woensdag 16 mei
13.30 - 16.30 uur
Voor dit examen zijn maximaal 91 punten te
behalen; het examen bestaat uit 18 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Voor de uitwerking van de vragen 1, 2, 15, 17 en
18 is een bijlage toegevoegd.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
aantal punten toegekend als de
verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redener worden
gevraagd en je geeft er meer dan twee redenen,
dan worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegeteld.
100015 29
Begin

### Pagina 15

Boottocht
In een cirkelvormig meer liggen twee eilandjes, $M$ en $F$. We beschouwen de eilandjes als punten. $M$ ligt precies in het midden van het meer. Zie figuur 1.

[FIGUUR: Een cirkel die een meer voorstelt met land op de rand. Twee punten $M$ en $F$ liggen binnen de cirkel, en een punt $S$ ligt op de rand van de cirkel.]

5p 1 $\Box$
$S$ is een punt aan de rand van het meer. Een bootje start in $S$ en vaart in een rechte lijn naar $M$.
Tekenen in de figuur op de bijlage bij vraag 1 het punt $P$ op de route van het bootje waar het bootje even ver van punt $S$ verwijderd is als van $F$. Licht je werkwijze toe.

6p 2 $\Box$
Een ander bootje start in een punt aan de rand van het meer en vaart ook in een rechte lijn naar $M$. Halverwege is de afstand van het bootje tot het land even groot als de afstand van het bootje tot beide eilandjes.
Tekenen in de figuur op de bijlage bij vraag 2 de punten aan de rand van het meer van waaruit het bootje vertrokken kan zijn. Licht je werkwijze toe.

Oppervlaktebenadering
Deze opgave gaat over een voorbeeld uit de farmacokinetiek, de wetenschap die onder andere het verloop bestudeert van de concentratie van een geneesmiddel in het bloed.
In een praktijktest wordt op geregelde tijden met tussenpozen $\Delta t$ de concentratie van een geneesmiddel bij een persoon gemeten.
Op de tijdstippen $t_0, t_1, t_2, \ldots, t_n$ is de gemeten concentratie $c_0, c_1, c_2, \ldots, c_n$. In figuur 2 zijn de punten $C_k (t_k, c_k)$ weergegeven. Deze punten liggen op de kromme die het verloop weergeeft van de concentratie van dit geneesmiddel.
Een maat voor de werkzaamheid van een geneesmiddel is de oppervlakte onder deze kromme. In de farmacokinetiek noemt men dit de AUC (Area Under Curve).

100015 29 2 Lees verder

### Pagina 16

figuur 2
In figuur 3 is aangegeven hoe de oppervlakte onder de kromme benaderd kan
worden. Twee opeenvolgende meetpunten bepalen een trapezium. Het trapezium
tussen $t_k$ en $t_{k+1}$ is grijs aangegeven. De som van de oppervlakten van alle trapezia is
een benadering van de AUC.
figuur 3
De vraag rijst natuurlijk „Hoe nauwkeurig is deze methode?”. Dit ge\c{c}al onderzoeken.
3p 3 Toon aan dat de oppervlakte van het grijsgemaakte trapezium gelijk is aan
$$ \frac{1}{2} (c_k + c_{k+1}) \cdot \Delta t $$
4p 4 Bewijs dat de AUC tussen $t_0$ en $t_n$ benaderd wordt door
$$ \left( \frac{1}{2} (c_0 + c_n) + \sum_{p=1}^{n-1} c_p \right) \cdot \Delta t $$
Om de nauwkeurigheid van deze manier van benaderen aan de hand van een
voorbeeld te testen, nemen we aan dat het dalende gedeelte van de kromme gegeven
wordt door $c = 32 \cdot e^{-\frac{1}{2} t}$ met $c$ in mg/liter en $t$ in uren, $1 \le t \le 5$.
5p 5 Bewijs met behulp van integraalrekening dat de AUC voor $1 \le t \le 5$ gelijk is aan
$$ 64 - \frac{64}{e^2} $$
Neem aan dat de concentratie om het half uur gemeten wordt en dat de meetpunten
inderdaad op de grafiek van $c$ liggen.
7p 6 Bereken hoeveel procent de benadering van de AUC voor $1 \le t \le 5$, bepaald met
behulp van de formule van vraag 4, afwijkt van de werkelijke oppervlakte. Geef het
antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
100015 29
3
Lees verder
Beschikbaar gesteld door Stichting Studieveleiding Leiden (SSL).

### Pagina 17

Machten van sinus en cosinus

Gegeven is de functie $f(x) = (1 - \sqrt{x})^2$ met $0 \le x \le 1$.
Verder is gegeven het lijnstuk $AB$ met $A(1,0)$ en $B(0,1)$. Zie figuur 4.
Tussen de grafiek van $f$ en het lijnstuk $AB$ worden verticale verbindingslijnstukken getekend. In figuur 4 zijn enkele verbindingslijnstukken getekend.

5p 7 $\Box$ Toon aan dat de lengte van een verticaal verbindingslijnstuk wordt gegeven door de formule $L = -2x + \sqrt{x}$.

4p 8 $\Box$ Bereken exact de maximale lengte van zo’n verbindingslijnstuk.

Voor elk positief geheel getal $n$ bekijken we de baan $K_n$ van een punt dat beweegt volgens
$$
\begin{cases}
x(t) = \cos^n t \\
y(t) = \sin^n t
\end{cases}
$$
met $0 \le t \le \frac{1}{2}\pi$.

In figuur 5 zijn vier banen getekend.

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. Op de y-as staat B met de waarde 1. Op de x-as staat A met de waarde 1. De grafiek begint bij B en buigt naar beneden naar A. Er zijn vier van deze curves getekend, die steeds steiler worden.]

5p 9 $\Box$ Gegeven een punt $P$ van $K_6$. Toon aan dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan $K_6$ in punt $P$ gelijk is aan $-\tan^4 t$.

3p 10 $\Box$ In een punt $P$ van $K_6$ heeft de raaklijn aan $K_6$ richtingscoëfficiënt $-9$. Bereken de coördinaten van $P$.

6p 11 $\Box$ Voor een bepaalde waarde van $n$ liggen de punten van $K_n$ op de grafiek van $f$ en voor een bepaalde waarde van $n$ liggen de punten van $K_n$ op het lijnstuk $AB$. Onderzoek welke twee waarden van $n$ dit zijn en toon met behulp van formules de juistheid van je bewering aan.

100015 29 4 Lees verder

### Pagina 18

Water met koolzuur
Hieronder staat een samenvatting van een krantenartikel afkomstig uit
NRC-Handelsblad van 23 oktober 1997.

artikel
DEN HAAG, 23 OKT.
De Consumentenbond
richtte een smaaktest met een
panel van 23 gezoende proe-
vers. De proevers dronken het
kraanwater van negen waterlei-
dingbedrijven en negen ge-
bottelde koolzuurvrije waters.
Opmerkelijk was dat het lek-
kerste flessenwater werd ver-
slagen door zes kraanwaters.
Tegelijkertijd met dit onder-
zoek werd een onderzoek onder
Water met
koolzuur
cafés gehouden. Wie in een
café een glas mineraalwater
bestelt, krijgt vaak een glas
leidingwater vermengd met
koolzuur. Dat concludeert de
Consumentenbond in zijn gids
van november. Onderzoekers
kregen bij 11 van de 31 bezochte
horecagelegenheden hetzelfde
water geserveerd als uit de
kraan van het toilet van de uit-
spanning. Achter de bar werd
het water door een pompje van
koolzuur voorzien.
In een reactie op de conclu-
sie zegt directeur J.H. Peters
van het Bedrijfschap Horeca
dat de gesuggereerde omvang
van het verschijnsel "schrome-
lijk overdreven" is.
5p 12 ☐
In het artikel wordt het opmerkelijk genoemd dat het lekkerste flessenwater werd
verslagen door zes kraanwaters. Stel dat de 18 geproefde waters in een willekeurige
volgorde worden geplaatst, je kunt je nu afvragen hoe groot de kans is dat op de
zevende plaats voor het eerst een flessenwater voorkomt.

Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat op de zevende plaats voor het
eerst een flessenwater voorkomt.

4p 13 ☐
In een reactie op het onderzoek beweert de heer Peters dat de omvang van het
verschijnsel schromelijk overdreven is.
Een café dat kraanwater-met-koolzuur serveert als mineraalwater noemen we een
'knoeier'. Misschien heet u het wel gelijk en schetst het artikel een somber beeld.
Veronderstel dat in werkelijkheid 20% van de cafés tot de 'knoeiers' behoort.
Bereken in vier decimalen de kans dat in een aselecte steekproef van 31 cafés
minstens 11 'knoeiers' voorkomen.

100015 29
5
Lees verder