# Eindexamen Wiskunde B VWO 2000 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-b/2000/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 2

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 2

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 2

### Vraag 9 – Opgave 2

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 2

### Vraag 12 – Opgave 2

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 2

### Vraag 15 – Opgave 2

### Vraag 16 – Opgave 2

### Vraag 17 – Opgave 2

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Wiskunde B
Examen
VWO
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs
20|00
Tijdvak 1
Donderdag 25 mei
13.30 - 16.30 uur
Dit examen bestaat uit 15 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Voor de uitwerking van opgave 3 is een bijlage
toegevoegd.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
gevraagd en je geeft er meer dan twee redenen,
worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegeteld.
000007 15
Begin

### Pagina 2

Opgave 1
De kromme $K$ is gegeven door $x = t^2 - 3$ en $y = t^3 - 3t$.
9p 1 Teken $K$, bereken daartoe eerst de coördinaten van
- de snijpunten van $K$ met de coördinaatassen,
- de punten van $K$ waarin de raaklijn aan $K$ evenwijdig is aan één van de
coördinaatassen.
De coördinaten van de punten van $K$ voldoen aan de vergelijking $y^2 = x^2(x+3)$.
3p 2 Toon dit aan.
$V$ is het vlakdeel ingesloten door $K$.
5p 3 Bereken de inhoud van het lichaam dat ontstaat door $V$ te wentelen om de $x$-as.
De lijn $y = ax$ heeft precies één punt gemeenschappelijk.
6p 4 Bereken voor welke waarden van $a$ dit het geval is.
Opgave 2
Gegeven is de functie
$f: x \rightarrow \frac{\sin^3 x}{\cos^2 x}$
met domein $[0, 2\pi] \setminus {\frac{1}{2}\pi, 1\frac{1}{2}\pi}$.
In figuur 1 is de grafiek van $f$ getekend.
[FIGUUR: Grafiek van een functie met twee verticale asymptoten.]
Op hetzelfde domein is gegeven $g: x \rightarrow -\frac{3}{2}\tan x$.
8p 5 Los op: $f(x) = g(x)$.
Uit figuur 1 blijkt dat de grafiek van $f$
dalend is voor $\frac{1}{2}\pi < x < 1\frac{1}{2}\pi$.
7p 6 Bewijs dit.
$V$ is het vlakdeel begrensd door de grafiek
van $f$, de $x$-as en de lijn $x = 1\frac{1}{4}\pi$.
2p 7 Toon eerst aan dat $f(x)$ te schrijven is als
$f(x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} - \sin x$.
7p 8 Bereken nu de oppervlakte van $V$.
000007 15 2 Lees verder

### Pagina 3

Opgave 3
In figuur 2 hiernaast en in figuur 1 op de bijlage is de regelmatige vierzijdige piramide $T.ABCD$ getekend.
De middens van de ribben $AT, BT, CT$ en $DT$ zijn achtereenvolgens $K, L, M$ en $N$.
$P$ is het snijpunt van $AN$ en $DK$.
$Q$ is het snijpunt van $BM$ en $CL$.
Gegeven is verder dat $AB = BC = 6$ en dat de afstand van $T$ tot het vlak $ABCD$ ook gelijk is aan 6.

[FIGUUR: Een piramide met top T en basis ABCD. Punten K, L, M, N zijn de middens van de ribben AT, BT, CT, DT. P is het snijpunt van AN en DK. Q is het snijpunt van BM en CL.]

7p 9 $\Box$ Bereken de inhoud van het lichaam $ABCD.KL$.

4p 10 $\Box$ Arceren in figuur 2 van de loodrechte projectie van het lichaam $KLMN.PQ$ op het grondvlak $ABCD$.

7p 11 $\Box$ Bereken de afstand van de lijn $MN$ tot het vlak $ABT$.

De bol met middelpunt $T$ en straal $TK$ snijdt de zijvlakken van de piramide volgens een aantal cirkelbogen.
7p 12 $\Box$ Onderzoek door een berekening of de weg van $K$ naar $M$ via deze cirkelbogen langer is dan de weg via de cirkel door $K, L$ en $M$.

Opgave 4

Voor elke $a \in \mathbb{R} \setminus {0}$ is de functie $f_a$ gegeven door $f_a(x) = \frac{a \ln x}{x}$.
In figuur 3 is de grafiek van $f_a$ getekend voor enkele waarden van $a$.

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De oorsprong is aangegeven met O. Er zijn vier functiegrafieken getekend, die de functie $f_a(x)$ voorstellen voor verschillende waarden van a.]

5p 13 $\Box$ Bereken voor welke waarde van $a$ de maximale $y$-coördinaat van een punt op de grafiek van $f_a$ gelijk is aan 3.

6p 14 $\Box$ Bereken de waarden van $a$ waarvoor de grafiek van $f_a$ de $x$-as snijdt onder een hoek van 30°.

Neem $a = 2$.
De lijn $y = p$ snijdt de $y$-as in het punt $A$ en de grafiek van $f_2$ in de punten $B$ en $C$ zo dat $AC = 2AB$.
7p 15 $\Box$ Bereken $p$.

Einde

000007 15 3