# Eindexamen Wiskunde A VWO 2025 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2

## Vraag 1 – Vraag

Op 1 januari 2002 was de concentratie CO₂ 370 ppm. Met dit gegeven en met behulp van bovenstaande gegevens is te berekenen dat de waarde van g, afgerond op vier decimalen, gelijk is aan 1,0225.
3p 1 Bereken de waarde van g in vijf decimalen.

Wat kun je verwachten: Je zult een exponentiële vergelijking moeten opstellen en oplossen om de groeifactor te vinden. Je moet nauwkeurig afronden op het gevraagde aantal decimalen.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een exponentiële groeiformule kennen (N(t) = N(0) * g^t). Je moet ook weten hoe je een vergelijking oplost waarbij de onbekende in de grondtal van een macht staat.

Wat moet je kunnen: Je kunt de juiste waarden voor N(t), N(0) en t invullen in de exponentiële groeiformule. Je kunt vervolgens de vergelijking algebraïsch oplossen om 'g' te isoleren en de 202e-machtswortel berekenen. Je kunt correct afronden op vijf decimalen.

Waar op letten: Let goed op de startwaarde (N(0)) en de waarde op tijdstip t (N(t)).
Bereken de correcte waarde voor 't' door het verschil tussen de jaren te nemen.
Rond pas af in de allerlaatste stap op het gevraagde aantal decimalen (vijf decimalen).
Zorg ervoor dat je de juiste algebraïsche stappen volgt om 'g' te isoleren, inclusief het nemen van de juiste machtswortel.

Kernbegrippen: exponentiële groei, vergelijking oplossen, groeifactor berekenen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/1

## Vraag 2 – Vraag (3 punten)

3p 2 Bereken in welk jaar de concentratie CO2 verdubbeld zal zijn ten opzichte van de natuurlijke concentratie. Zoals je in de figuur kunt zien is de grafiek toenemend stijgend. De formule C = 280+1,0225′ benadert deze stijging. Vanaf 1800 duurde het 150 jaar totdat de concentratie CO2 met (ongeveer) 10% was toegenomen. Vanaf 1950 duurde het veel korter totdat de volgende 10% stijging van de concentratie CO2 werd gemeten.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een exponentiële vergelijking moet opstellen en oplossen. Je moet de context goed interpreteren om de juiste doelwaarde te bepalen en de berekende tijd correct om te zetten naar een jaartal.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van exponentiële functies kennen, met name hoe je een vergelijking van het type a^x = b oplost met behulp van logaritmen. Je moet ook weten hoe je een modelformule interpreteert.

Wat moet je kunnen: Je moet een doelwaarde kunnen berekenen op basis van een verdubbeling. Je moet een exponentiële vergelijking kunnen opstellen en oplossen, zowel algebraïsch met logaritmen als met je grafische rekenmachine. Tot slot moet je de berekende tijd kunnen omrekenen naar een specifiek jaartal.

Waar op letten: Let goed op wat de 'natuurlijke concentratie' is en wat 'verdubbeld' betekent in deze context. Verdubbel je de startwaarde of de toename?
De gegeven formule is C = 280 + 1,0225^t. Begrijp goed wat elk onderdeel van de formule voorstelt.
Je moet een exponentiële vergelijking oplossen. Weet je hoe je dit doet met logaritmen of met de grafische rekenmachine?
De variabele 't' staat voor het aantal jaren *vanaf 1800*. Vergeet niet om je berekende 't' om te zetten naar het uiteindelijke jaartal.

Kernbegrippen: exponentiële groei, exponentiële vergelijking oplossen, model interpretatie

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde vergelijking opstellen, bijvoorbeeld C = 280 * g^t in plaats van C = 280 + g^t.
- Vergeten de berekende tijd t om te rekenen naar een jaartal (1800 + t).
- Doelwaarde verkeerd berekenen, bijvoorbeeld verdubbeling van de *toename* in plaats van de *natuurlijke concentratie*.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/2

## Vraag 3 – Vraag

Zoals je in de figuur kunt zien is de grafiek toenemend stijgend. De formule C = 280+1,0225^t benadert deze stijging.
Vanaf 1800 duurde het 150 jaar totdat de concentratie CO₂ met (ongeveer) 10% was toegenomen. Vanaf 1950 duurde het veel korter totdat de volgende 10% stijging van de concentratie CO₂ werd gemeten.
Bereken hoeveel gehele jaren hiervoor nodig waren.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een exponentiële formule moet gebruiken om waarden te berekenen en een vergelijking moet oplossen om een onbekende tijd (t) te vinden. Je zult ook moeten werken met procentuele veranderingen en correct afronden.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een exponentiële formule interpreteert en hoe je een groeifactor berekent uit een procentuele toename. Je moet ook weten hoe je een vergelijking van de vorm 'constante + groeifactor^t = waarde' oplost met behulp van je grafische rekenmachine.

Wat moet je kunnen: Je moet de CO₂-concentratie op een bepaald tijdstip (t=150) kunnen berekenen met de gegeven formule. Je moet een nieuwe doelconcentratie kunnen bepalen na een procentuele toename. Vervolgens moet je de vergelijking voor deze doelconcentratie kunnen oplossen met je GR om de bijbehorende t-waarde te vinden. Ten slotte moet je het verschil in jaren kunnen berekenen en correct afronden.

Waar op letten: Let goed op de startwaarde van t. t=0 is in 1800. t=150 is dus in 1950.
Zorg dat je procentuele toenames correct omzet naar groeifactoren (bijvoorbeeld 10% toename is vermenigvuldigen met 1,10).
Rond pas af in de allerlaatste stap. Gebruik tussentijds voldoende decimalen om afrondingsfouten te voorkomen.
De vraag vraagt om 'gehele jaren'. Dit betekent dat je naar boven moet afronden als er een deel van een jaar nodig is om de 10% toename te bereiken.
Verwar de exponentiële term 1,0225^t niet met 1,0225 * t. De t staat in de exponent.

Kernbegrippen: exponentiële groei, procentuele toename, vergelijking oplossen met GR

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/3

## Vraag 4 – Vraag (2 punten)

2p 4 Ga met een berekening na of deze Amerikaan gelijk heeft. In figuur 1 zie je een zijaanzicht van drie dominostenen. We nemen in het vervolg figuur 1 van deze opgave het volgende aan: - De hoogte van de eerste dominosteen is 48 mm. - De dikte van de eerste dominosteen is 7,5 mm. - Iedere volgende dominosteen is 1,5 keer zo hoog en 1,5 keer zo dik als de voorgaande. 3 2 hoogte 1 dikte - Iedere dominosteen valt tegen het midden van de volgende dominosteen. - Als de dominostenen op een rij worden gezet, dan krijgt de kleinste steen nummer 1, de volgende steen nummer 2, enzovoorts. Doordat de eerste dominosteen tegen het midden figuur 2 van de tweede steen moet vallen, ligt de afstand L₁ vast. Zie figuur 2. Voor de dominostenen 1 en 2 is deze afstand te berekenen met de formule L₁ = √h₁² - (0,5∙h₂)². Hierbij is L₁ de afstand tussen dominostenen 1 en 2, h₁ de hoogte van dominosteen 1 en h₂ de hoogte van dominosteen 2, alle in mm.

Wat kun je verwachten: Je zult een exponentiële groeiberekening moeten uitvoeren om de hoogte van een dominosteen na een bepaald aantal stappen te bepalen en dit te vergelijken met een gegeven waarde.

Wat moet je kennen: Je moet het principe van exponentiële groei kennen, inclusief de formule N(t) = N(0) * g^t, waarbij N(0) de beginwaarde is, g de groeifactor en t het aantal perioden of stappen. Je moet ook weten hoe je een groeifactor toepast over meerdere stappen.

Wat moet je kunnen: Je moet een exponentiële groeiformule kunnen opstellen en toepassen. Je moet het aantal groeistappen correct kunnen bepalen op basis van de gegeven steennummers. Je moet ook de uitkomst van je berekening kunnen interpreteren in de context van de vraag en een conclusie kunnen trekken.

Waar op letten: Let goed op de startwaarde van de hoogte (1 meter) en de groeifactor (1,5).
Bepaal nauwkeurig het aantal 'groeistappen' dat nodig is om van de 13e steen naar de 29e steen te komen. Dit is niet zomaar 29 of 13.
Rond pas af in de allerlaatste stap van je berekening om nauwkeurigheid te bewaren.
Vergelijk de berekende hoogte met de hoogte van het Empire State Building en trek de juiste conclusie.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor, machtsverheffen

Veelgemaakte fouten:
- verkeerd aantal stappen/perioden berekenen (bv. 29 of 13 ipv 16)
- rekenfout bij machtsverheffen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/4

## Vraag 5 – Vraag

In figuur 1 zie je een zijaanzicht van drie dominostenen. We nemen in het vervolg van deze opgave het volgende aan:
- De hoogte van de eerste dominosteen is 48 mm.
- De dikte van de eerste dominosteen is 7,5 mm.
- Iedere volgende dominosteen is 1,5 keer zo hoog en 1,5 keer zo dik als de voorgaande.
- Iedere dominosteen valt tegen het midden van de volgende dominosteen.
- Als de dominostenen op een rij worden gezet, dan krijgt de kleinste steen nummer 1, de volgende steen nummer 2, enzovoorts.
Doordat de eerste dominosteen tegen het midden van de tweede steen moet vallen, ligt de afstand L₁ vast. Zie figuur 2.
Voor de dominostenen 1 en 2 is deze afstand te berekenen met de formule L₁ = √h₁² - (0,5∙h₂)². Hierbij is L₁ de afstand tussen dominostenen 1 en 2, h₁ de hoogte van dominosteen 1 en h₂ de hoogte van dominosteen 2, alle in mm.
Bereken de afstand tussen dominosteen 1 en 2 in gehele mm.

Wat kun je verwachten: Je moet een gegeven formule gebruiken en daarin de juiste waarden invullen. Je berekent eerst een van de benodigde waarden (h₂) en vult deze vervolgens samen met de andere gegeven waarde (h₁) in de formule in. Tot slot rond je het antwoord af op een geheel getal.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een waarde berekent die exponentieel groeit (met een groeifactor) en hoe je getallen correct invult in een formule met wortels en kwadraten. Ook moet je de regels voor afronden op een geheel getal kennen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de hoogte van de tweede dominosteen berekenen op basis van de hoogte van de eerste steen en de groeifactor. Je kunt de berekende hoogtes correct substitueren in de gegeven formule voor L₁. Je kunt de berekening uitvoeren en het eindresultaat correct afronden op een geheel getal.

Waar op letten: Lees goed welke dominosteen welke hoogte heeft (h₁ en h₂).
Bereken eerst de hoogte van dominosteen 2 (h₂) voordat je deze in de formule invult.
Let op de volgorde van bewerkingen in de formule: eerst kwadrateren, dan vermenigvuldigen, dan aftrekken, dan worteltrekken.
Rond pas af op een geheel getal bij het allerlaatste antwoord.
Controleer of je alle getallen correct hebt overgenomen uit de vraagtekst en de formule.

Kernbegrippen: formule substitutie, rekenen met wortels, afronden

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/5

## Vraag 6 – Vraag

3p 6 Herleid de formule L₁ = √h₁² − (0,5 ⋅ h₂)² tot L₁ = a ⋅ h₁ en geef de waarde van a in drie decimalen. figuur 3 In figuur 3 zie je de algemene situatie. Er geldt (voor n ≥ 2): − hₙ = 48 ⋅ 1,5ⁿ⁻¹, met hₙ de hoogte in mm − dₙ = 7,5 ⋅ 1,5ⁿ⁻¹, met dₙ de dikte in mm − Lₙ = 0,66 ⋅ hₙ, met Lₙ de afstand in mm tussen dominosteen n en de dominosteen links daarvan − Aₙ = Lₙ₋₁ + dₙ Uit bovenstaande gegevens volgt (voor n ≥ 2): Aₙ = 19,08 ⋅ 1,5ⁿ

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een gegeven formule moet herleiden naar een specifieke vorm. Dit vereist algebraïsche vaardigheden, met name het werken met wortels en machten.

Wat moet je kennen: Je moet de rekenregels voor machten en wortels kennen. Je moet ook weten hoe je een variabele kunt substitueren in een formule en hoe je termen onder een wortel kunt vereenvoudigen.

Wat moet je kunnen: Je moet een variabele kunnen substitueren in een formule. Je moet algebraïsch kunnen herleiden, inclusief het kwadrateren van termen en het trekken van wortels. Je moet ook een getal correct kunnen afronden op drie decimalen.

Waar op letten: Let goed op de volgorde van bewerkingen (eerst kwadrateren, dan vermenigvuldigen, dan aftrekken).
Vergeet niet dat (0,5 ⋅ h₂)² = 0,5² ⋅ h₂².
Zorg ervoor dat je de juiste relatie tussen h₁ en h₂ gebruikt die in de bredere context van de vraag (niet getoond in de crop) gegeven is, namelijk h₂ = 1,5 ⋅ h₁.
Rond pas af in de allerlaatste stap op het gevraagde aantal decimalen (drie decimalen voor 'a').
Wees nauwkeurig met de notatie van wortels en machten tijdens het herleiden.

Kernbegrippen: formule herleiden, algebraïsche vaardigheden, werken met machten en wortels

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/6

## Vraag 7 – Vraag

In figuur 3 zie je de algemene situatie.
Er geldt (voor n ≥ 2):
− hₙ = 48 ⋅ 1,5ⁿ⁻¹, met hₙ de hoogte in mm
− dₙ = 7,5 ⋅ 1,5ⁿ⁻¹, met dₙ de dikte in mm
− Lₙ = 0,66 ⋅ hₙ, met Lₙ de afstand in mm tussen dominosteen n en de dominosteen links daarvan
− Aₙ = Lₙ₋₁ + dₙ
Uit bovenstaande gegevens volgt (voor n ≥ 2):
Aₙ = 19,08 ⋅ 1,5ⁿ
Toon dit aan.

Wat kun je verwachten: Je zult formules moeten combineren en herleiden met behulp van rekenregels voor machten. Het is een 'toon aan'-vraag, dus je begint met de gegeven formules en werkt toe naar de gevraagde formule.

Wat moet je kennen: Je moet de basisrekenregels voor machten kennen, zoals a^m * a^n = a^(m+n) en a^m / a^n = a^(m-n). Ook moet je weten hoe je een term als 1,5^(n-2) kunt schrijven als 1,5^n * 1,5^-2.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om formules te substitueren en vervolgens algebraïsch te herleiden. Je moet ook gemeenschappelijke factoren buiten haakjes kunnen halen om de uitdrukking te vereenvoudigen.

Waar op letten: Let goed op de indexen (n en n-1) bij het substitueren van de formules.
Pas de rekenregels voor machten correct toe, met name a^b * a^c = a^(b+c) en a^b / a^c = a^(b-c).
Zorg ervoor dat je de coëfficiënten correct vermenigvuldigt en optelt.
Werk stap voor stap en controleer elke herleidingsstap zorgvuldig.
Rond pas af aan het einde als dat nodig is, maar in dit geval werk je met exacte waarden.

Kernbegrippen: formules herleiden, rekenregels voor machten, substitutie

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/7

## Vraag 8 – Vraag

4p 8 In het televisieprogramma MythBusters werd een experiment bedacht waarbij na het omduwen van de eerste dominosteen uiteindelijk dominosteen nummer 12 op een auto valt. Om het experiment uit te voeren werd een 15 meter lange parkeerplaats gebruikt. Onderzoek of deze parkeerplaats lang genoeg is om het experiment uit te voeren. foto n hₙ n-1 Lₙ₋₁ dₙ Aₙ ▸▸

Wat kun je verwachten: Je krijgt een context met een reeks objecten waarvan de afmetingen volgens een bepaald patroon toenemen. Je moet de totale benodigde ruimte berekenen door de afmetingen van de individuele objecten en de tussenruimtes op te tellen.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van exponentiële groei kennen en hoe je een som van een rij berekent. Ook moet je weten hoe je eenheden omrekent (bijvoorbeeld mm naar meter).

Wat moet je kunnen: Je moet formules kunnen interpreteren en toepassen om de afmetingen van individuele dominostenen en de afstanden ertussen te berekenen. Je moet een som van een reeks termen kunnen opstellen en berekenen. Tot slot moet je de berekende totale lengte kunnen vergelijken met de beschikbare lengte en een conclusie trekken.

Waar op letten: Lees de formules voor de hoogte (h_n), dikte (d_n) en tussenafstand (L_n-1) goed af en pas ze correct toe.
Let op de indexering van de formules: start de sommatie bij de juiste steen (n=1 of n=2) en eindig bij de juiste steen (n=12).
Vergeet niet dat de totale lengte bestaat uit de dikte van de eerste steen, de som van de tussenafstanden én de diktes van de stenen die vallen, plus de hoogte van de laatste steen die moet kunnen vallen.
Zorg ervoor dat je alle eenheden consistent houdt (bijvoorbeeld alles in mm of alles in meter) voordat je de totale lengte berekent en vergelijkt.
Rond pas af in de allerlaatste stap, bij het vergelijken van de berekende lengte met de beschikbare lengte.

Kernbegrippen: som van een rij, exponentiële groei, modelleren, eenheden omrekenen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/8

## Vraag 9 – Vraag

4p 9 Stel een formule op voor de afgeleide van V en beredeneer met behulp hiervan of de stijging afnemend of toenemend is. Als de golflengte twee keer zo groot wordt, dan neemt de snelheid van de golf met een vaste factor toe.

Wat kun je verwachten: Je moet een formule differentiëren en de betekenis van de afgeleide interpreteren in de context van de vraag. Je beredeneert of de stijging afnemend of toenemend is.

Wat moet je kennen: Je moet de machtsregel voor differentiëren kennen en weten hoe je een wortelfunctie omzet naar een machtsfunctie. Ook moet je weten wat een afnemende of toenemende stijging betekent in relatie tot de afgeleide.

Wat moet je kunnen: Je kunt een gegeven formule differentiëren. Je kunt de afgeleide interpreteren om te bepalen of een functie afnemend of toenemend stijgt (of daalt). Je kunt je beredenering duidelijk formuleren.

Waar op letten: Zet de wortelfunctie correct om naar een machtsfunctie (bijvoorbeeld sqrt(L) = L^0,5).
Pas de machtsregel voor differentiëren correct toe: de exponent wordt de coëfficiënt en de nieuwe exponent is de oude exponent min 1.
Let op het teken van de exponent na differentiëren (negatieve exponenten betekenen vaak een breuk).
Beredeneer de stijging door te kijken wat er met de waarde van de afgeleide gebeurt als de variabele (L) groter wordt.
Formuleer je conclusie over afnemende/toenemende stijging helder en onderbouw deze met je beredenering van de afgeleide.

Kernbegrippen: differentiëren, machtregel, afnemende stijging, afgeleide functie interpreteren

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/9

## Vraag 10 – Vraag

2p 10 Bereken, zonder een getallenvoorbeeld te gebruiken, deze factor. Geef je antwoord in twee decimalen. Een schip en de golf die door dat varende schip ontstaat, verplaatsen zich met gelijke snelheid (samen) door het water. Als een schip langzaam vaart, dan ontstaat er langs het schip een golf zoals in figuur 2. Er zijn dan meerdere toppen van de golf zichtbaar langs de zijkant van het schip. In figuur 2 is tevens een assenstelsel toegevoegd.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule met een wortel en je moet onderzoeken hoe de uitkomst van die formule verandert als één van de variabelen (de lengte L) verdubbelt. Je moet de verandering uitdrukken als een factor.

Wat moet je kennen: Je moet de rekenregels voor wortels kennen, met name hoe je een wortel van een product kunt splitsen. Je moet ook weten hoe je een factor kunt bepalen door de 'nieuwe' situatie te vergelijken met de 'oude' situatie.

Wat moet je kunnen: Je moet een variabele in een formule kunnen substitueren en de formule vervolgens kunnen herleiden met behulp van wortelregels. Je moet de verhouding tussen de nieuwe en de oude situatie kunnen uitdrukken als een factor en deze factor correct afronden.

Waar op letten: Je moet de gegeven formule correct interpreteren.
Je moet de rekenregels voor wortels toepassen, met name sqrt(a*b) = sqrt(a) * sqrt(b).
Je moet de nieuwe situatie (lengte verdubbelt) correct in de formule substitueren.
Je moet de factor bepalen waarmee de snelheid verandert, niet de nieuwe snelheid zelf.
Je moet afronden op twee decimalen aan het einde van je berekening.

Kernbegrippen: machtsverbanden, formules herleiden, proportionaliteit, rekenregels voor wortels

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/10

## Vraag 11 – Vraag

Een schip van 30 meter lang vaart met een snelheid van 3 meter per seconde. De golf die door het varen ontstaat heeft een amplitude van 15 centimeter.
De golf is te beschrijven met de formule:
h = 15 · sin(a(x − b)) (formule 2)
Hierbij is h de hoogte ten opzichte van de evenwichtsstand in centimeters en x de afstand vanaf de voorkant van het schip in meters, met 0 ≤ x ≤ 30.
De waarden van a en b in formule 2 zijn te berekenen door gebruik te maken van formule 1.
Bereken a en b in formule 2. Geef a en b in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je zult een vergelijking moeten oplossen om de golflengte te vinden. Daarna gebruik je deze golflengte om de parameter 'a' van de sinusfunctie te berekenen. Tot slot bepaal je de parameter 'b' door te kijken naar de startconditie van de golf bij x=0.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een sinusfunctie kennen, inclusief de betekenis van de parameters voor amplitude, periode en faseverschuiving. Je moet ook weten hoe je een vergelijking met een wortel oplost en hoe de periode van een sinusfunctie gerelateerd is aan de parameter 'a'.

Wat moet je kunnen: Je moet een wortelvergelijking kunnen oplossen. Je moet de formule voor de periode van een sinusfunctie (T = 2pi/a) kunnen toepassen. Je moet de horizontale verschuiving ('b') kunnen bepalen op basis van een gegeven punt op de grafiek (in dit geval bij x=0).

Waar op letten: Let goed op de eenheden: h is in centimeters, x in meters. De amplitude van 15 cm is direct te gebruiken, maar de golflengte L is in meters.
De eerste stap is het oplossen van de vergelijking met de snelheid om de golflengte L te vinden. Dit is een wortelvergelijking.
Onthoud de relatie tussen de golflengte (L, wat hier de periode T is) en de parameter 'a' in een sinusfunctie: a = (2pi)/L.
De parameter 'b' representeert een horizontale verschuiving. Bedenk wat de hoogte van de golf is bij x=0 en hoe dit zich verhoudt tot de standaard sinusfunctie sin(ax).
Rond pas af in de allerlaatste stap naar twee decimalen, zoals gevraagd. Gebruik tussendoor de onafgeronde waarden.

Kernbegrippen: sinusfunctie, goniometrische functies, periode, golflengte, horizontale verschuiving, faseverschuiving, vergelijking oplossen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/11

## Vraag 12 – Vraag

Normaal gesproken bevindt de bulbsteven zich (grotendeels) onder water. Omdat het schip op de foto geen lading vervoert, is de bulbsteven boven water zichtbaar.
Zowel het schip als de bulbsteven veroorzaken een golf. De golf van de bulbsteven dempt de golf van het schip gedeeltelijk.
Een schip met een lengte van 100 meter veroorzaakt bij een bepaalde vaarsnelheid een golf met de formule:
hschip(x) = 50 ∙ sin((π/15)(x + 7,5))
en de bulbsteven van het schip veroorzaakt een golf met de formule:
hbulb(x) = 30 ∙ sin((π/15)(x - 6))
Hierbij zijn hschip en hbulb de hoogtes ten opzichte van de evenwichtsstand in centimeters en is x de afstand vanaf de voorkant van het schip in meters met 0 ≤ x ≤ 100.
De formule die hoort bij de gecombineerde golf van het schip en de bulbsteven wordt verkregen door hschip en hbulb op te tellen. Zie figuur 3.
De amplitude van de gecombineerde golf is kleiner dan de amplitude van de golf van het schip zonder de bulbsteven.
12 Bereken hoeveel de amplitude van de gecombineerde golf kleiner is dan de amplitude van de golf van het schip zonder de bulbsteven. Geef je antwoord in gehele centimeters.

Wat kun je verwachten: Je krijgt twee formules van sinusfuncties en je moet de amplitude van de som van deze functies bepalen. Daarna vergelijk je deze met de amplitude van één van de oorspronkelijke functies.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat de amplitude van een sinusfunctie is en hoe je deze afleest uit de formule A sin(B(x-C)) + D. Je moet ook weten dat de amplitude van een somfunctie niet zomaar de som van de amplitudes is.

Wat moet je kunnen: Je kunt de amplitude van een sinusfunctie aflezen. Je kunt twee functies bij elkaar optellen en de resulterende functie invoeren in je grafische rekenmachine. Je kunt met je grafische rekenmachine het maximum van een functie bepalen.

Waar op letten: Lees de amplitude van de oorspronkelijke schipgolf correct af uit de formule.
Tel de twee functies correct bij elkaar op voordat je deze invoert in je GR.
Gebruik de GR om het maximum van de gecombineerde golf te vinden; dit maximum is de amplitude.
Rond pas af op een geheel getal bij de allerlaatste stap van de berekening.
Let op de eenheid: het antwoord moet in centimeters zijn.

Kernbegrippen: sinusoïde, amplitude, somfunctie, grafische rekenmachine, maximum bepalen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/12

## Vraag 13 – Vraag

3p 13 Bij de batterij geldt in het begin dat k en z allebei 1 molair zijn. De totale spanning is dan 1,1 volt. Door het gebruik van de batterij neemt k af en neemt z toe. Als deze batterij enige tijd stroom heeft geleverd geldt k = 0,7 en z = 1,3. Bereken met hoeveel procent de totale spanning van de batterij in dit geval is gedaald. Geef je antwoord in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je formules moet gebruiken waarin logaritmen voorkomen. Je moet de uitkomsten van deze formules combineren en vervolgens een procentuele verandering berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je getallen invult in een formule en hoe je een logaritme berekent. Ook moet je de formule voor procentuele verandering kennen en correct toepassen.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig kunnen rekenen met decimalen en logaritmen. Je moet de stappen van het berekenen van de nieuwe spanning en de procentuele daling systematisch kunnen uitvoeren.

Waar op letten: Substitueer de juiste waarden voor k en z in de juiste formules (V_plus en V_min).
Let goed op de mintekens in de formules, vooral bij V_min en bij het berekenen van het verschil tussen V_plus en V_min.
Rond pas af in de allerlaatste stap. Gebruik tussentijds voldoende decimalen om afrondingsfouten te voorkomen.
Bereken de procentuele verandering correct: (nieuw - oud) / oud * 100%.
Geef het antwoord in twee decimalen, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: logaritme, procentuele verandering, formules substitueren

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/13

## Vraag 14 – Vraag

3p 14 Bereken, zonder gebruik te maken van een getallenvoorbeeld, met hoeveel volt de spanning van de pluspool afneemt als k halveert. Geef je antwoord in vier decimalen. noot 1 molair is een maat voor het aantal deeltjes per liter

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een logaritmische formule krijgt waarin je een variabele moet aanpassen (in dit geval halveren). Je moet dan de verandering in de uitkomst van de formule berekenen door gebruik te maken van de eigenschappen van logaritmen.

Wat moet je kennen: Je moet de rekenregels voor logaritmen kennen, met name hoe je log(a*b) en log(a/b) kunt herschrijven. Ook moet je weten hoe je een verandering in een variabele (zoals k) verwerkt in een formule en hoe je de resulterende verandering in de uitkomst berekent.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om een algebraïsche uitdrukking te vereenvoudigen met behulp van logaritmische rekenregels. Je moet ook nauwkeurig kunnen rekenen met decimalen en correct afronden op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Je moet de rekenregels voor logaritmen correct toepassen, met name log(a*b) = log(a) + log(b) of log(a/b) = log(a) - log(b).
Je mag geen getallenvoorbeeld gebruiken; de berekening moet algebraïsch zijn.
Let op de vraag of de spanning toe- of afneemt en geef dit correct weer in je antwoord (bijvoorbeeld door een minteken of de tekst 'afname van').
Rond pas af in de allerlaatste stap op vier decimalen, zoals gevraagd.
De eenheid van het antwoord is volt.

Kernbegrippen: logaritme, rekenregels logaritmen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/14

## Vraag 15 – Vraag

3p 15 Voer deze herleiding uit. Het is mogelijk om voor V batterij een formule op te stellen waarin alleen z voorkomt: V batterij = 1,10+0,0296·log(2z⁻¹-1), met 1 ≤ z < 2 Doordat z, de concentratie van het zink, toeneemt tijdens het gebruik van de batterij, daalt de totale spanning van de batterij. Dit kan worden aangetoond door te kijken naar de afgeleide functie van V batterij . Er geldt (na afronding): dV batterij / dz = -0,0257 / (2z-z²)

Wat kun je verwachten: Je krijgt een opgave waarin je een formule moet herleiden. Dit betekent dat je gegeven formules moet combineren en vereenvoudigen met behulp van algebraïsche regels en logaritme rekenregels.

Wat moet je kennen: Je moet de basisrekenregels voor logaritmen kennen, zoals log(a) - log(b) = log(a/b). Ook moet je bekend zijn met het substitueren van formules en het correct wegwerken van haakjes.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om formules te substitueren, haakjes correct weg te werken en logaritmische uitdrukkingen te vereenvoudigen. Je moet ook nauwkeurig kunnen werken met constanten en variabelen om tot de gevraagde herleiding te komen.

Waar op letten: Let goed op de mintekens bij het substitueren van de formules, vooral als er haakjes moeten worden weggewerkt.
Zorg dat je de logaritme rekenregels correct toepast, met name log(a) - log(b) = log(a/b).
Combineer de constante termen zorgvuldig om tot de juiste beginwaarde te komen.
Werk stap voor stap en controleer elke algebraïsche bewerking.
Het doel is om de formule voor V batterij te herleiden naar de gegeven vorm, dus je werkt naar een specifiek eindresultaat toe.

Kernbegrippen: logaritme rekenregels, formules substitueren, algebraïsche herleiding

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/15

## Vraag 16 – Vraag (4 punten)

Het is mogelijk om voor V_batterij een formule op te stellen waarin alleen z voorkomt:
V_batterij = 1,10 + 0,0296 · log(2z⁻¹ − 1), met 1 ≤ z < 2

Doordat z, de concentratie van het zink, toeneemt tijdens het gebruik van de batterij, daalt de totale spanning van de batterij. Dit kan worden aangetoond door te kijken naar de afgeleide functie van V_batterij. Er geldt (na afronding):
dV_batterij / dz = -0,0257 / (2z - z²)

4p 16 Toon aan dat deze formule voor dV_batterij / dz juist is.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een functie met een logaritme en een samengestelde binnenfunctie. Je moet de afgeleide hiervan bepalen en aantonen dat deze overeenkomt met een gegeven afgeleide.

Wat moet je kennen: Je moet de differentieerregels kennen voor machtsfuncties (x^n), logaritmische functies (log(x)) en de kettingregel. Je moet ook weten hoe je omgaat met constanten bij differentiëren.

Wat moet je kunnen: Je moet de kettingregel kunnen toepassen op een functie van de vorm c * log(f(z)). Je moet de afgeleide van 2z⁻¹ − 1 kunnen bepalen. Je moet de afgeleide van log(u) kunnen bepalen. Je moet de verschillende onderdelen van de afgeleide correct kunnen combineren en algebraïsch kunnen herleiden naar de gevraagde vorm.

Waar op letten: Je moet de kettingregel correct toepassen, dus de afgeleide van de 'binnenfunctie' vermenigvuldigen met de afgeleide van de 'buitenfunctie'.
Je moet de afgeleide van log(u) correct toepassen, waarbij je niet vergeet te delen door ln(10).
Je moet de afgeleide van een machtsfunctie zoals z⁻¹ correct bepalen.
Je moet de constanten correct combineren en afronden op het juiste aantal decimalen, maar pas aan het einde van de berekening.
Je moet de algebraïsche herleiding zorgvuldig uitvoeren om tot de eindvorm te komen.

Kernbegrippen: differentiëren, kettingregel, logaritmische functie, machtsfunctie

Veelgemaakte fouten:
- kettingregel vergeten
- ln(10) vergeten bij afgeleide van log(x)
- fout bij afgeleide van machtsfunctie z⁻¹
- algebraïsche fouten bij vereenvoudigen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/16

## Vraag 17 – Vraag

Onderzoek met een schets van dV_batterij / dz of de daling van de totale spanning tijdens het gebruik van de batterij toenemend of afnemend is.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een grafiek moet interpreteren en de eigenschappen van de afgeleide moet gebruiken om conclusies te trekken over het gedrag van de oorspronkelijke functie. Je moet een schets kunnen maken van een afgeleide functie op basis van een gegeven functie.

Wat moet je kennen: Je moet de relatie kennen tussen de vorm van een grafiek (stijgend, dalend, toenemend, afnemend) en het teken en de trend van de afgeleide. Je moet weten dat een toenemende daling betekent dat de afgeleide steeds negatiever wordt.

Wat moet je kunnen: Je moet een schets kunnen maken van de afgeleide van een functie. Je moet de betekenis van 'toenemend dalend' en 'afnemend dalend' kunnen uitleggen in termen van de afgeleide. Je moet het relevante interval voor de analyse kunnen bepalen.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen de functie zelf (V_batterij) en de afgeleide daarvan (dV_batterij / dz).
Een 'schets' hoeft niet perfect op schaal te zijn, maar de vorm en de trend moeten correct zijn.
Bedenk wat een toenemende daling betekent voor de afgeleide: wordt de afgeleide dan positiever of negatiever?
Identificeer het relevante domein (z-waarden) waarover de vraag gaat. Vaak is dit een specifiek interval.
Verwar 'toenemend' met 'positief' en 'afnemend' met 'negatief' niet; het gaat om de verandering van de afgeleide.

Kernbegrippen: afgeleide functie, grafiek schetsen, toenemende en afnemende daling, interpretatie van de afgeleide

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/17

## Vraag 18 – Vraag

4p 18 Bereken hoeveel verschillende makkelijk te onthouden getallen er zijn. Het getal dat de bedenker bedenkt, noemen we het bedachte getal. De getallen die de speler noemt, noemen we genoemde getallen. Omdat het lang kan duren voordat de speler het bedachte getal noemt, geeft de bedenker feedback. Deze feedback bestaat uit een van de volgende drie mogelijkheden: 'Goed geraden' (bedachte getal = genoemde getal). 'Hoger' (bedachte getal > genoemde getal). 'Lager' (bedachte getal < genoemde getal). Het noemen van een getal en het geven van feedback herhaalt zich totdat de bedenker de feedback 'Goed geraden' geeft en het spel stopt. Het aantal keer dat de speler een getal noemt en vervolgens feedback krijgt, noemen we het aantal beurten. We bekijken eerst een vereenvoudigde versie van het spel, waarbij de speler aan het begin van het spel weet dat het bedachte getal minimaal 1 is en maximaal 9. De speler kan in elke beurt het aantal nog mogelijke getallen in ieder geval halveren door de volgende strategie toe te passen: Is het aantal nog mogelijke getallen oneven, noem dan het middelste nog mogelijke getal. Is het aantal mogelijke getallen even, noem dan een van de twee middelste nog mogelijke getallen. De bedenker kiest het getal 8. De speler volgt bovenstaande strategie. Het aantal beurten waarin de speler het bedachte getal raadt, ligt dan nog niet vast.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een aantal getallen moet tellen dat voldoet aan specifieke voorwaarden. Dit vereist een systematische aanpak om alle mogelijkheden te vinden en geen dubbelingen te tellen.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van combinatoriek kennen, met name het systematisch tellen van mogelijkheden. Je moet ook goed de definities van 'oplopende cijfers', 'aflopende cijfers' en 'vier dezelfde cijfers' begrijpen.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om de verschillende categorieën van getallen te identificeren en voor elke categorie alle mogelijke getallen op te sommen. Vervolgens tel je deze aantallen bij elkaar op om tot het totale aantal 'makkelijk te onthouden getallen' te komen.

Waar op letten: Lees goed welke eigenschappen een 'makkelijk te onthouden getal' moet hebben. De vraagtekst geeft hier duidelijke aanwijzingen voor.
Categoriseer de getallen systematisch: oplopend, aflopend, en vier dezelfde cijfers. Zorg dat je geen categorieën mist en geen getallen dubbel telt.
Let op de grenzen van de cijfers: van 0 tot en met 9. Een getal van vier cijfers kan niet met een 0 beginnen, tenzij het expliciet anders is aangegeven (wat hier niet het geval is voor de oplopende/aflopende reeksen).
Controleer of je alle mogelijke combinaties binnen elke categorie hebt gevonden. Bijvoorbeeld, bij aflopende cijfers, vergeet je 3210 niet?
Tel de aantallen per categorie bij elkaar op voor het eindantwoord.

Kernbegrippen: combinatoriek, systematisch tellen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/18

## Vraag 19 – Vraag

Het getal dat de bedenker bedenkt, noemen we het bedachte getal. De getallen die de speler noemt, noemen we genoemde getallen.
Omdat het lang kan duren voordat de speler het bedachte getal noemt, geeft de bedenker feedback. Deze feedback bestaat uit een van de volgende drie mogelijkheden:
– 'Goed geraden' (bedachte getal = genoemde getal).
– 'Hoger' (bedachte getal > genoemde getal).
– 'Lager' (bedachte getal < genoemde getal).
Het noemen van een getal en het geven van feedback herhaalt zich totdat de bedenker de feedback 'Goed geraden' geeft en het spel stopt.
Het aantal keer dat de speler een getal noemt en vervolgens feedback krijgt, noemen we het aantal beurten.
We bekijken eerst een vereenvoudigde versie van het spel, waarbij de speler aan het begin van het spel weet dat het bedachte getal minimaal 1 is en maximaal 9. De speler kan in elke beurt het aantal nog mogelijke getallen in ieder geval halveren door de volgende strategie toe te passen:
– Is het aantal nog mogelijke getallen oneven, noem dan het middelste nog mogelijke getal.
– Is het aantal mogelijke getallen even, noem dan een van de twee middelste nog mogelijke getallen.
De bedenker kiest het getal 8. De speler volgt bovenstaande strategie. Het aantal beurten waarin de speler het bedachte getal raadt, ligt dan nog niet vast.
4p 19 Onderzoek welke aantallen beurten mogelijk zijn waarin de speler het bedachte getal 8 kan raden.

Wat kun je verwachten: Je zult een spelstrategie moeten volgen en systematisch alle mogelijke paden moeten uitwerken die leiden tot het raden van het getal 8. Dit betekent dat je de reeks van mogelijke getallen na elke feedback moet bijhouden en de keuzes van de speler moet exploreren.

Wat moet je kennen: Je moet de spelregels en de strategie van de speler goed begrijpen. Je moet weten hoe je het 'middelste' getal bepaalt in een reeks, zowel bij een oneven als een even aantal getallen.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om een proces stap voor stap te doorlopen en daarbij alle mogelijke uitkomsten te overwegen. Je moet systematisch te werk gaan om geen scenario's te missen en het aantal beurten per scenario correct te tellen.

Waar op letten: Lees de strategie nauwkeurig: wat doe je bij een oneven aantal mogelijke getallen, en wat bij een even aantal?
Houd bij elke stap bij welke getallen nog mogelijk zijn. Dit is cruciaal voor het toepassen van de strategie.
Identificeer de momenten waarop de speler een keuze heeft (bij een even aantal mogelijke getallen). Dit leidt tot verschillende scenario's.
Volg elk scenario volledig totdat het getal 8 is geraden en tel het aantal beurten voor elk scenario.
Vergeet niet dat de feedback 'Hoger' of 'Lager' de reeks van mogelijke getallen aanpast.

Kernbegrippen: strategie analyse, systematisch tellen, beslisboom

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/19

## Vraag 20 – Vraag (2 punten)

In het vervolg van deze opgave bekijken we een versie van het spel, waarbij we de eis dat het bedachte getal uit maximaal vier cijfers moet bestaan, loslaten. We kijken naar getallen tussen 0 en n, waarbij n een geheel getal groter dan 1 is. Hierdoor kan het bedachte getal elk getal vanaf 1 tot en met n-1 zijn.

Het aantal beurten dat nodig is om het bedachte getal te raden, hangt mede af van de gevolgde strategie. Als de eerder beschreven strategie toegepast wordt, dan geldt:
n-1<2^(m-1)

Hierbij is m het maximaal aantal beurten dat nodig is om het bedachte getal te noemen.

Twee personen spelen het spel met n=26. Volgens de formule is de kleinst mogelijke waarde van m dan gelijk aan 6.

2p 20 Toon dit met behulp van de formule n-1<2^(m-1) aan.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een ongelijkheid met een exponentiële term. Je moet een gegeven waarde (n=26) invullen en vervolgens de ongelijkheid oplossen voor de variabele m. Het is belangrijk dat je de uitkomst interpreteert in de context van de vraag (m moet een geheel getal zijn).

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van exponentiële functies en logaritmen kennen. Je moet ook weten hoe je een ongelijkheid met een exponentiële term oplost. Daarnaast moet je begrijpen wat 'kleinst mogelijke waarde' in deze context betekent.

Wat moet je kunnen: Je moet een gegeven waarde correct kunnen substitueren in een formule. Je moet een exponentiële ongelijkheid kunnen oplossen, eventueel met behulp van logaritmen of door het proberen van gehele getallen. Je moet de oplossing van de ongelijkheid kunnen interpreteren en de juiste gehele waarde voor m kunnen bepalen die voldoet aan de voorwaarde.

Waar op letten: Substitueer de waarde van n correct in de ongelijkheid.
Let goed op de exponent (m-1) bij het oplossen van de ongelijkheid.
Vergeet niet dat m een geheel getal moet zijn, aangezien het een aantal beurten betreft. Rond dus niet zomaar af, maar kies de kleinst mogelijke *gehele* waarde die voldoet aan de ongelijkheid.
Je kunt de ongelijkheid oplossen met logaritmen, of door waarden voor m te proberen en te controleren of de ongelijkheid klopt.

Kernbegrippen: exponentiële ongelijkheid, logaritme, vergelijking oplossen

Veelgemaakte fouten:
- verkeerd afronden (m moet geheel zijn)
- rekenfout in exponent (m-1)
- ongelijkheidsteken verkeerd interpreteren

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/20

## Vraag 21 – Vraag

4p 21 Bepaal het maximaal aantal overblijvende getallen per beurt en laat daarmee zien dat de speler in maximaal 5 beurten het bedachte getal kan noemen voor n=26. Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.

Wat kun je verwachten: Je zult een logische redenering moeten opbouwen om aan te tonen hoe je het aantal mogelijke getallen stapsgewijs kunt reduceren. Je moet laten zien dat je de meest efficiënte strategie gebruikt om het getal te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet het principe van een halveringsstrategie kennen en hoe je dit toepast om een zoekbereik te verkleinen. Je moet ook weten hoe je een worst-case scenario analyseert.

Wat moet je kunnen: Je moet een probleem kunnen ontleden in kleinere stappen en voor elke stap de gevolgen kunnen overzien. Je moet logisch kunnen redeneren en je redenering helder kunnen communiceren, inclusief de aannames die je doet (bijvoorbeeld over het kiezen van het 'middelste' getal).

Waar op letten: Je moet de 'halveringsstrategie' toepassen: kies steeds een getal dat de overgebleven mogelijkheden zo efficiënt mogelijk verdeelt.
Je moet rekening houden met het 'worst-case scenario': wat is het maximale aantal getallen dat overblijft na een beurt als je het bedachte getal niet raadt?
Je moet de startconditie goed begrijpen: n=26 betekent dat er 26 mogelijke getallen zijn (bijvoorbeeld van 1 t/m 26).
Je moet de feedback ('hoger', 'lager', 'goed geraden') correct interpreteren om het zoekgebied te verkleinen.
Je moet de stappen duidelijk en logisch onderbouwen, beurt voor beurt, totdat het bedachte getal met zekerheid kan worden genoemd.

Kernbegrippen: halveringsstrategie, logisch redeneren, algoritmisch denken

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/21

## Vraag 22 – Vraag

7p 22 Onderzoek hoeveel gehele dagen Kostera per onderdeel (zwemmen, fietsen en hardlopen) naar verwachting nodig had. Bronvermelding Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen behorende correctievoorschrift. einde

Wat kun je verwachten: Je moet verschillende stappen doorlopen om tot het antwoord te komen. Je begint met het berekenen van de afstanden per onderdeel, vervolgens de tijden per onderdeel, en daarna de dagelijkse trainingsduur. Uiteindelijk bereken je het aantal dagen per onderdeel.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je percentages van een totaal berekent, hoe je eenheden omrekent (bijvoorbeeld minuten per 100 meter naar uur per kilometer), en hoe je met snelheden, afstanden en tijden rekent (tijd = afstand / snelheid).

Wat moet je kunnen: Je kunt de totale afstand verdelen over de drie onderdelen met behulp van percentages. Je kunt snelheden omrekenen naar een consistente eenheid (bijvoorbeeld km/uur of uur/km). Je kunt de totale tijd per onderdeel berekenen en deze vervolgens omzetten naar een aantal gehele dagen, rekening houdend met de dagelijkse trainingsduur.

Waar op letten: Lees de percentages voor elk onderdeel goed af en zorg dat je deze correct toepast op de totale afstand.
Let goed op de eenheden van snelheid en tijd. Zorg dat je alles omrekent naar consistente eenheden (bijvoorbeeld overal uren en kilometers) voordat je gaat rekenen.
Vergeet niet dat '2:40 per 100 meter' omgerekend moet worden naar een bruikbare snelheid voor kilometers.
Rond pas af op gehele dagen in de allerlaatste stap van de berekening per onderdeel. Gebruik tussendoor voldoende decimalen om afrondingsfouten te voorkomen.
De vraag vraagt om 'gehele dagen'. Dit betekent dat je aan het einde van elke berekening voor een onderdeel naar boven moet afronden als er een deel van een dag nodig is (bijvoorbeeld 66,1 dagen wordt 67 dagen).

Kernbegrippen: procenten berekenen, eenheden omrekenen, snelheid, afstand en tijd, verhoudingen, oplossen van vergelijkingen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/22

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2025
tijdvak 2
woensdag 18 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A

Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft er meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1024-a-25-2-o

### Pagina 2

OVERZICHT FORMULES

Differentiëren
naam van de regel | functie | afgeleide
------- | -------- | --------
somregel | $s(x) = f(x)+g(x)$ | $s'(x) = f'(x)+g'(x)$
verschilregel | $v(x) = f(x)-g(x)$ | $v'(x) = f'(x)-g'(x)$
productregel | $p(x) = f(x) \cdot g(x)$ | $p'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
quotiëntregel | $q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ | $q'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$
kettingregel | $k(x) = f(g(x))$ | $k'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ of $\frac{dk}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$

Logaritmen
regel | voorwaarde
------- | --------
$^g \log(a) + ^g \log(b) = ^g \log(ab)$ | $g > 0, g \neq 1, a > 0, b > 0$
$^g \log(a) - ^g \log(b) = ^g \log(\frac{a}{b})$ | $g > 0, g \neq 1, a > 0, b > 0$
$^g \log(a^p) = p \cdot ^g \log(a)$ | $g > 0, g \neq 1, a > 0$
$^g \log(a) = \frac{^p \log(a)}{^p \log(g)}$ | $g > 0, g \neq 1, a > 0, p > 0, p \neq 1$

VW-1024-a-25-2-o 2 / 16 lees verder ►►►

### Pagina 3

Ga verder op de volgende pagina.
VW-1024-a-25-2-o 3 / 16 lees verder ► ► ►

### Pagina 4

CO$_2$ in de atmosfeer

In deze opgave kijken we naar het verloop van de concentratie CO$_2$ in de
atmosfeer. Onderzoekers hebben geconstateerd dat de natuurlijke
concentratie CO$_2$ eeuwenlang stabiel is gebleven rond de 280 ppm (parts
per million). De toename van de concentratie CO$_2$ sinds de industriële
revolutie wordt met name veroorzaakt door massaproductie van goederen
en voedsel.
In de figuur zie je het verloop van de concentratie CO$_2$ in de periode
1800-2009.

figuur
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as "concentratie CO$_2$ (in ppm)" met waarden van 250 tot 390, en op de x-as jaren van 1800 tot 2000. Er is een exponentieel stijgende curve te zien.]

De toename verloopt exponentieel. Het verloop van de concentratie CO$_2$
kan worden benaderd met het model:
$$C = 280 + g^t$$
Hierbij is $C$ de concentratie CO$_2$ in ppm en $t$ de tijd in jaren met $t=0$ op
1 januari 1800. De waarde 280 staat in dit model voor de constante
natuurlijke concentratie CO$_2$.

3p 1
Op 1 januari 2002 was de concentratie CO$_2$ 370 ppm. Met dit gegeven en
met behulp van bovenstaande gegevens is te berekenen dat de waarde
van $g$, afgerond op vier decimalen, gelijk is aan 1,0225.
Bereken de waarde van $g$ in vijf decimalen.

VW-1024-a-25-2-o
4/16
lees verder

### Pagina 5

3p 2 Bereken in welk jaar de concentratie CO₂ verdubbeld zal zijn ten opzichte van de natuurlijke concentratie.
Zoals je in de figuur kunt zien is de grafiek toenemend stijgend. De formule $C = 280+1,0225^t$ benadert deze stijging.
Vanaf 1800 duurde het 150 jaar totdat de concentratie CO₂ met (ongeveer) 10% was toegenomen. Vanaf 1950 duurde het veel korter totdat de volgende 10% stijging van de concentratie CO₂ werd gemeten.
4p 3 Bereken hoeveel gehelen jaren hiervoor nodig waren.
VW-1024-a-25-2-o 5 / 16 lees verder ►►►

### Pagina 6

Domino-effect

Een rij dominostenen wordt achter elkaar
gezet. Vervolgens wordt de eerste
dominosteen omgeduwd, waarna de rest van
de rij (als het goed is) ook omvalt. Dit wordt het
domino-effect genoemd, waarbij kleine
dominostenen ook grotere kunnen omduwen.

Deze opgave gaat over dit domino-effect,
waarbij we dominostenen bekijken die telkens
1,5 keer zo hoog zijn als de voorgaande steen.

Een Amerikaan beweert dat wanneer de 13e dominosteen 1 meter hoog
is, de 29e dominosteen hoger is dan het Empire State Building.
Het Empire State Building is een wolkenkrabber in New York, met een
hoogte van 381 meter.
Ga met een berekening na of deze Amerikaan gelijk heeft.

2p 4

In figuur 1 zie je een zijaanzicht van drie
dominostenen. We nemen in het vervolg
van deze opgave het volgende aan:
- De hoogte van de eerste dominosteen
is 48 mm.
- De dikte van de eerste dominosteen
is 7,5 mm.
- Iedere volgende dominosteen is
1,5 keer zo hoog en 1,5 keer zo dik
als de voorgaande.
- Iedere dominosteen valt tegen het
midden van de volgende dominosteen.
- Als de dominostenen op een rij worden gezet, dan krijgt de kleinste
steen nummer 1, de volgende steen nummer 2, enzovoorts.

Doordat de eerste dominosteen tegen het midden
van de tweede steen moet vallen, ligt de afstand $L_1$
vast. Zie figuur 2.
Voor de dominostenen 1 en 2 is deze afstand te
berekenen met de formule $L_1 = \sqrt{h_1^2 - (0,5 \cdot h_2)^2}$.
Hierbij is $L_1$ de afstand tussen dominostenen 1 en 2,
$h_1$ de hoogte van dominosteen 1 en $h_2$ de hoogte
van dominostenen 2, alle in mm.

figuur 1

hoogte

dikte

figuur 2

2p 5 Bereken de afstand tussen dominostenen 1 en 2 in gehele mm.

VW-1024-a-25-2-o

6 / 16

lees verder


### Pagina 7

Voor de hoogte van dominosteen 2 geldt $h_2 = 1,5 \cdot h_1$.
Door dit in te vullen in de formule $L_1 = \sqrt{h_1^2 - (0,5 \cdot h_2)^2}$ is de afstand $L_1$
ook te schrijven als $L_1 = a \cdot h_1$.
De waarde van $a$ is afgerond op twee decimalen $0,66$.
6 Herleid de formule $L_1 = \sqrt{h_1^2 - (0,5 \cdot h_2)^2}$ tot $L_1 = a \cdot h_1$ en geef de waarde
van $a$ in drie decimalen.

figuur 3

In figuur 3 zie je de algemene situatie.
Er geldt (voor $n \geq 2$):
- $h_n = 48 \cdot 1,5^{n-1}$, met $h_n$ de hoogte in mm
- $d_n = 7,5 \cdot 1,5^{n-1}$, met $d_n$ de dikte in mm
- $L_n = 0,66 \cdot h_n$, met $L_n$ de afstand in mm
tussen domino steen $n$ en de domino steen
links daarvan
- $A_n = L_{n-1} + d_n$

Uit bovenstaande gegevens volgt (voor $n \geq 2$):
$$ A_n = 19,08 \cdot 1,5^n $$

[FIGUUR: Een schematische weergave van domino stenen die omvallen. Een rechthoekige domino steen met label 'n' en hoogte $h_n$ staat rechtop. Een schuine domino steen met label 'n-1' raakt de rechtopstaande steen. De afstand van de punt van de schuine steen tot de voet van de rechtopstaande steen is $L_{n-1}$. De dikte van de rechtopstaande steen is $d_n$. De totale lengte van de schuine steen wordt aangeduid met $A_n$.]

7 Toon dit aan.

In het televisieprogramma MythBusters
werd een experiment bedacht waarbij na
het omduwen van de eerste domino steen
uiteindelijk domino steen nummer 12 op
een auto valt. Om het experiment uit te
voeren werd een 15 meter lange
parkeerplaats gebruikt.
8 Onderzoek of deze parkeerplaats lang
genoeg is om het experiment uit te voeren.

[FIGUUR: Foto van een opstelling met veel domino stenen en een auto. Een aantal personen zijn bezig met de opstelling. Er is een grote set van ronde objecten met lampjes te zien, vermoedelijk onderdeel van het experiment.]

VW-1024-a-25-2-o
7 / 16
lees verder

### Pagina 8

Scheepsgolven
Golven op het water kunnen op verschillende manieren ontstaan, bijvoorbeeld door wind of door schepen. In deze opgave bekijken we golven die ontstaan door een varend schip. De golflengte is de afstand tussen twee opeenvolgende golftoppen. Zie figuur 1.
figuur 1
[FIGUUR: Een golfvormige lijn met golflengte aangegeven.]
Golven verplaatsen zich over het water. De snelheid waarmee een golf zich over het water verplaatst, is afhankelijk van de golflengte. Het verband tussen de golflengte en de snelheid waarmee een golf zich verplaatst, wordt gegeven door de volgende formule:
$V = 1,25 \cdot \sqrt{L}$ (formule 1)
Hierbij is $L$ de golflengte in meters en $V$ de snelheid waarmee de golf zich verplaatst in meter per seconde. Als $L$ toeneemt, dan neemt ook $V$ toe. De grafiek van $V$ is dus stijgend.

4p 9 Stel een formule op voor de afgeleide van $V$ en beredeneer met behulp hiervan of de stijging afnemend of toenemend is.
Als de golflengte twee keer zo groot wordt, dan neemt de snelheid van de golf met een vaste factor toe.

2p 10 Bereken, zonder een getallenvoorbeeld te gebruiken, deze factor. Geef je antwoord in twee decimalen.
Een schip en de golf die door dat varend schip ontstaat, verplaatsen zich met gelijke snelheid (samen) door het water. Als een schip langzaam vaart, dan ontstaat er langs het schip een golf zoals in figuur 2. Er zijn dan meerdere toppen van de golf zichtbaar langs de zijkant van het schip. In figuur 2 is tevens een assenstelsel toegevoegd.

VW-1024-a-25-2-o 8 / 16 lees verder ►►►

### Pagina 9

figuur 2
h
vaarrichting
x
De voorkant van het schip valt samen met een top van de golf. Omdat dat
schip en de golf samen dezelfde kant op bewegen, blijft die top tijdens het
varen samen vallen met de voorkant van het schip.

Een schip van 30 meter lang vaart met een snelheid van 3 meter per
seconde. De golf die door het varen ontstaat heeft een amplitude van
15 centimeter. De golf is te beschrijven met de formule:

$h=15 \cdot \sin(a(x-b))$ (formule 2)

Hierbij is $h$ de hoogte ten opzichte van de evenwichtsstand in centimeters
en $x$ de afstand vanaf de voorkant van het schip in meters, met $0 \leq x \leq 30$.
De waarden van $a$ en $b$ in formule 2 zijn te berekenen door gebruik te
maken van formule 1.

5p 11 Bereken $a$ en $b$ in formule 2. Geef $a$ en $b$ in twee decimalen.

Om de hoogte van de golven van een schip te verkleinen, is de
bulbsteven uitgevonden. De bulbsteven is een uitstekende bult aan de
voorkant van een schip. Zie de foto.

foto

[FIGUUR: Een foto van de boeg van een schip met een bulbsteven, die de golf breekt.]

VW-1024-a-25-2-0
9 / 16
lees verder ► ► ►

### Pagina 10

Normaal gesproken bevindt de bulbsteven zich (grotendeels) onder water.
Omdat het schip op de foto geen lading vervoert, is de bulbsteven boven
water zichtbaar.

Zowel het schip als de bulbsteven veroorzaken een golf. De golf van de
bulbsteven dempt de golf van het schip gedeeltelijk. Een schip met een
lengte van 100 meter veroorzaakt bij een bepaalde vaarsnelheid een golf
met de formule:
$$h_{schip}(x) = 50 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{15}(x+7,5)\right)$$
en de bulbsteven van het schip veroorzaakt een golf met de formule:
$$h_{bulb}(x) = 30 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{15}(x-6)\right)$$
Hierbij zijn $h_{schip}$ en $h_{bulb}$ de hoogtes ten opzichte van de evenwichtsstand
in centimeters en is $x$ de afstand vanaf de voorkant van het schip in
meters met $0 \le x \le 100$.

De formule die hoort bij de gecombineerde golf van het schip en de
bulbsteven wordt verkregen door $h_{schip}$ en $h_{bulb}$ op te tellen. Zie figuur 3.

figuur 3
[FIGUUR: Grafiek met de verticale as genaamd 'hoogte (in cm)' en de horizontale as genaamd 'x (in m)'. Er worden drie golven getoond: een stippellijn met label $h_{chip}$, een punt-streep lijn met label $h_{bulb}$, en een doorlopende lijn met label $h_{chip} + h_{bulb}$. De horizontale lijn op de y-as is de evenwichtsstand.]

De amplitude van de gecombineerde golf is kleiner dan de amplitude van
de golf van het schip zonder de bulbsteven.
4p 12 Bereken hoeveel de amplitude van de gecombineerde golf kleiner is dan
de amplitude van de golf van het schip zonder de bulbsteven. Geef je
antwoord in gehele centimeters.

VW-1024-a-25-2-o
10 / 16
lees verder ► ► ►

### Pagina 11

Ga verder op de volgende pagina.
VW-1024-a-25-2-o
11 / 16
lees verder ▶▶▶

### Pagina 12

Batterijspanning

In het dagelijks leven worden er veel batterijen gebruikt om apparaten te laten werken. Een batterij werkt door het verschil in spanning tussen de pluspool en de minpool. Dit spanningsverschil noemen we de totale spanning van de batterij. Deze totale spanning wordt lager als je de batterij enige tijd hebt gebruikt. Hierdoor gaat bijvoorbeeld een fietslamp met een batterij op een gegeven moment minder fel branden.

Een van de eerste batterijen werd in 1836 uitgevonden door de Britse scheikundige Daniell. Bij deze batterij werd bij de pluspool koper en bij de minpool zink gebruikt. Deze opgave gaat over zo'n batterij.

De spanningen van de polen van deze batterij zijn te berekenen met de volgende formules:

$V_{plus} = 0,34 + 0,0296 \cdot log(k)$

$V_{min} = -0,76 + 0,0296 \cdot log(z)$

Hierin zijn $V_{plus}$ en $V_{min}$ de spanningen van de polen in volt en $k$ en $z$ de concentraties van koper en zink in molair$^{1)}$.

De totale spanning van de batterij, $V_{batterij}$, is het verschil tussen de spanningen van beide polen:

$V_{batterij} = V_{plus} - V_{min}$

Bij de batterij geldt in het begin dat $k$ en $z$ allebei 1 molair zijn. De totale spanning is dan 1,1 volt. Door het gebruik van de batterij neemt $k$ af en neemt $z$ toe. Als deze batterij enige tijd stroom heeft geleverd geldt $k = 0,7$ en $z = 1,3$.

3p 13 Bereken met hoeveel procent de totale spanning van de batterij in dit geval is gedaald. Geef je antwoord in twee decimalen.

3p 14 Bereken, zonder gebruik te maken van een getallenvoorbeeld, met hoeveel volt de spanning van de pluspool afneemt als $k$ halveert. Geef je antwoord in vier decimalen.

noot 1) molaire is een maat voor het aantal deeltjes per liter

VW-1024-a-25-2-o
12 / 16

lees verder ►►►


### Pagina 13

Uit $V_{\text{batterij}} = V_{\text{plus}} - V_{\text{min}}$ en de gegeven formules voor $V_{\text{plus}}$ en $V_{\text{min}}$ kan de volgende formule worden herleid:
$$V_{\text{batterij}} = 1,10 + 0,0296 \cdot \log \left(\frac{k}{z}\right)$$
3p 15 Voer deze herleiding uit.
Het is mogelijk om voor $V_{\text{batterij}}$ een formule op te stellen waarin alleen $z$ voorkomt:
$$V_{\text{batterij}} = 1,10 + 0,0296 \cdot \log(2z^{-1} - 1), \text{ met } 1 \le z < 2$$
Doordat $z$, de concentratie van het zink, toeneemt tijdens het gebruik van de batterij, daalt de totale spanning van de batterij. Dit kan worden aangetoond door te kijken naar de afgeleide functie van $V_{\text{batterij}}$. Er geldt (na afronding):
$$\frac{\text{d}V_{\text{batterij}}}{\text{d}z} = \frac{-0,0257}{2z - z^2}$$
4p 16 Toon aan dat deze formule voor $\frac{\text{d}V_{\text{batterij}}}{\text{d}z}$ juist is.
4p 17 Onderzoek met een schets van $\frac{\text{d}V_{\text{batterij}}}{\text{d}z}$ of de daling van de totale spanning tijdens het gebruik van de batterij toenemend of afnemend is.
VW-1024-a-25-2-o
13 / 16
lees verder

### Pagina 14

Raad het getal

Raad het getal is een spel voor twee personen waarbij iemand één
geheel getal bedenkt, dat de ander vervolgens gaat raden. Degenen die
het getal bedenkt, noemen we de bedenker en diegene die gaat raden de
speler.

Het spel werkt als volgt:
De bedenker kiest een getal van maximaal vier cijfers, waarbij het eerste
cijfer geen 0 mag zijn. Het getal kan dus bijvoorbeeld 7 zijn, of 60, of 544,
of 9328.

Vaak kiest de bedenker een viercijferig getal dat makkelijk te onthouden
is. Dat is een getal dat
– bestaat uit vier dezelfde cijfers, of
– bestaat uit vier opeenvolgende cijfers, die in oplopende of aflopende
volgorde staan (bijvoorbeeld 2345 of 4321).
4p 18 Bereken hoeveel verschillende makkelijk te onthouden getallen er zijn.

Het getal dat de bedenker bedenkt, noemen we het bedachte getal. De
getallen die de speler noemt, noemen we genoemde getallen.
Omdat het lang kan duren voordat de speler het bedachte getal noemt,
geeft de bedenker feedback. Deze feedback bestaat uit een van de
volgende drie mogelijkheden:
– ‘Goed geraden’ (bedachte getal = genoemde getal).
– ‘Hoger’ (bedachte getal > genoemde getal).
– ‘Lager’ (bedachte getal < genoemde getal).

Het noemen van een getal en het geven van feedback herhaalt zich totdat
de bedenker de feedback ‘Goed geraden’ geeft en het spel stopt. Het
aantal keer dat de speler een getal noemt en vervolgens feedback krijgt,
noemen we het aantal beurten.

We bekijken eerst een vereenvoudigde versie van het spel, waarbij de
speler aan het begin van het spel weet dat het bedachte getal minimaal 1
is en maximaal 9. De speler kan in elke beurt het aantal nog mogelijke
getallen in ieder geval halveren door de volgende strategie toe te passen:
– Is het aantal nog mogelijke getallen oneven, noem dan het middelste
nog mogelijke getal.
– Is het aantal mogelijke getallen even, noem dan een van de twee
middelste nog mogelijke getallen.

De bedenker kiest het getal 8. De speler volgt bovenstaande strategie.
Het aantal beurten waarin de speler het bedachte getal raadt, ligt dan nog
niet vast.
4p 19 Onderzoek welke aantallen beurten mogelijk zijn waarin de speler het
bedachte getal 8 kan raden.

VW-1024-a-25-2-o 14 / 16 lees verder ►►►

### Pagina 15

In het vervolg van deze opgave bekijken we een versie van het spel,
waarbij we de eis dat het bedachte getal uit maximaal vier cijfers moet
bestaan, loslaten. We kijken naar getallen tussen 0 en n, waarbij n een
geheel getal groter dan 1 is. Hierdoor kan het bedachte getal elk getal
vanaf 1 tot en met n-1 zijn.

Het aantal beurten dat nodig is om het bedachte getal te raden, hangt
mede af van de gevolgde strategie. Als de eerder beschreven strategie
toegepast wordt, dan geldt:

$$n - 1 < 2^{m-1}$$

Hierbij is $m$ het maximaal aantal beurten dat nodig is om het bedachte
getal te noemen.

Twee personen spelen het spel met $n = 26$. Volgens de formule is de
kleinst mogelijke waarde van $m$ dan gelijk aan 6.

2p 20 Toon dit met behulp van de formule $n-1 < 2^{m-1}$ aan.

De waarde 6 die de formule geeft voor $n=26$ gaat uit van het 'slechtste'
geval: dat steeds precies de helft van het aantal mogelijke getallen
overblijft. Het blijkt echter dat voor $n=26$ de speler het bedachte getal
altijd in maximaal 5 beurten kan noemen.

4p 21 Bepaal het maximaal aantal overblijvende getallen per beurt en laat
daarmee zien dat de speler in maximaal 5 beurten het bedachte getal kan
noemen voor $n = 26$.

Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.

VW-1024-a-25-2-o 15 / 16 lees verder ►►►

### Pagina 16

Recordpoging triatlon

Een triatlon is een sport waarbij zwemmen, fietsen en hardlopen gecombineerd worden. In het najaar van 2022 kreeg de triatleet Adrian Kostera bekendheid met zijn voornemen om met het uitvoeren van een extreem lange triathlon in het boek Guinness World Records (GWR) te komen.

Adrian Kostera wilde voor zijn recordpoging een triatlon afleggen met een totale afstand van 40 170 km (zwemmen, fietsen en hardlopen samen). Dit is ongeveer gelijk aan de omtrek van de aarde.

Het GWR heeft bepaald hoe Kostera de 40 170 km moest verdelen over de drie verschillende onderdelen: hij moest 3% van de totale afstand zwemmen, 77,5% fietsen en 19,5% hardlopen.

Kostera legde vanaf 1 juni 2023 tot en met 31 mei 2024 (366 dagen) elke dag een stukje van deze triatlon af, waarbij het zijn streven was om elke dag evenveel tijd aan deze extreem lange triatlon te besteden. Van het GWR moest hij eerst de gehele zwemafstand afleggen, daarna de gehele fietsafstand en als laatste de gehele loopafstand.

Kostera ging dus:
– $a$ dagen $x$ km per dag zwemmen
– $b$ dagen $y$ km per dag fietsen
– $c$ dagen $z$ km per dag hardlopen

Om te weten hoe lang hij over elk onderdeel zou doen, heeft hij vooraf een schatting gemaakt van zijn gemiddelde tempo per onderdeel. Zie de tabel.

tabel
| onderdeel | geschat gemiddeld tempo |
|---|---|
| zwemmen | 2 min en 40 seconden per 100 meter |
| fietsen | 25 km/uur |
| hardlopen | 8 min en 45 seconden per km |

Op basis hiervan kon vooraf berekend worden hoeveel dagen Kostera tijdens deze recordpoging bezig zou zijn met zwemmen, hoeveel dagen met fietsen en hoeveel dagen met hardlopen.

7p 22 Onderzoek hoeveel gehele dagen Kostera per onderdeel (zwemmen, fietsen en hardlopen) naar verwachting nodig had.

Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen behorende correctievoorschrift.

VW-1024-a-25-2-o

16 / 16