# Eindexamen Wiskunde A VWO 2025 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1

## Vraag 1 – Economische groei

3p 1 De duif heeft in vergelijking met de meeste andere vogels voor zijn gewicht veel energie nodig. Bereken hoeveel procent de dagelijkse energiebehoefte van een duif meer is dan de dagelijkse energiebehoefte die volgens de stippellijn bij zijn lichaamsgewicht hoort. Geef je antwoord in hele procenten.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een grafiek waarin je twee specifieke waarden moet aflezen. Vervolgens moet je met deze waarden een procentuele toename berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je waarden nauwkeurig afleest uit een grafiek, vooral als de assen een logaritmische schaal hebben. Ook moet je de formule voor het berekenen van een procentuele verandering kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet de juiste punten in de grafiek kunnen vinden en de bijbehorende waarden correct kunnen aflezen. Daarna moet je de formule voor procentuele verandering correct kunnen toepassen en je antwoord op de juiste manier afronden.

Waar op letten: Lees de waarden voor de duif en de stippellijn nauwkeurig af uit de grafiek. Let op de schaalverdeling van de assen.
Identificeer welke waarde de 'oude' of referentiewaarde is (de stippellijn) en welke de 'nieuwe' of werkelijke waarde (de duif).
Gebruik de correcte formule voor procentuele toename: ((nieuw - oud) / oud) * 100%.
Rond pas af op een geheel percentage in de allerlaatste stap van je berekening.
Controleer of je antwoord logisch is in de context van de grafiek.

Kernbegrippen: procentuele verandering, aflezen van een logaritmische grafiek

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/1

## Vraag 2 – Economische groei

Het verband tussen E en G volgens de stippellijn wordt gegeven door de formule:
E = 5,0·G^0,75
Hierin is E in kJ en G in gram.

Bereken aan de hand van deze formule het gewicht van een vogel die dagelijks 1000 kJ energie nodig heeft. Geef je antwoord in hele grammen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule met een machtsverband en een van de variabelen is gegeven. Je moet de andere variabele berekenen door de vergelijking op te lossen.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van machten kennen, met name hoe je een vergelijking van het type x^a = b oplost. Je moet ook weten hoe je een gegeven waarde correct invult in een formule.

Wat moet je kunnen: Je moet een vergelijking van de vorm a * x^b = c algebraïsch kunnen oplossen. Je moet ook je rekenmachine correct kunnen gebruiken voor machtsfuncties en het afronden op hele getallen.

Waar op letten: Je moet de gegeven waarde (1000 kJ) op de juiste plek in de formule invullen (voor E).
Je moet de vergelijking correct oplossen voor G. Dit betekent dat je de stappen in de juiste volgorde uitvoert (eerst delen, dan de macht ongedaan maken).
Let op hoe je een macht ongedaan maakt: G^a = b wordt G = b^(1/a).
Rond je eindantwoord pas af in de laatste stap, en dan op een heel getal zoals gevraagd (hele grammen).
Vergeet de eenheid (gram) niet bij je antwoord.

Kernbegrippen: machtsfunctie, vergelijking oplossen, algebraïsche vaardigheden

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/2

## Vraag 3 – Economische groei (3 punten)

Vogels met een groter lichaamsgewicht hebben volgens de formule ook een grotere dagelijkse energiebehoefte.
Beredeneer aan de hand van een formule van de afgeleide van E, zonder getallen in te vullen of een schets te maken, of de dagelijkse energiebehoefte toenemend of afnemend stijgend is.

Wat kun je verwachten: Je kunt een vraag verwachten waarbij je een afgeleide moet bepalen van een functie die een machtsverband beschrijft. Vervolgens moet je het gedrag van deze afgeleide analyseren om iets te zeggen over de oorspronkelijke functie.

Wat moet je kennen: Je moet de machtsregel voor differentiëren kennen en weten hoe je deze toepast op functies van de vorm a*x^n. Ook moet je de betekenis van de eerste afgeleide kennen in relatie tot het stijgen of dalen van een functie, en de betekenis van het gedrag van de afgeleide (stijgend/dalend) in relatie tot toenemende of afnemende stijging/daling van de oorspronkelijke functie.

Wat moet je kunnen: Je moet een afgeleide kunnen berekenen van een machtsfunctie. Je moet de afgeleide kunnen analyseren (zonder getallen in te vullen) om te bepalen of deze positief of negatief is, en of deze toeneemt of afneemt als de variabele toeneemt. Tot slot moet je deze analyse kunnen vertalen naar een conclusie over het stijgingsgedrag van de oorspronkelijke functie (toenemend of afnemend stijgend/dalend).

Waar op letten: Zorg dat je de machtsregel voor differentiëren correct toepast, vooral met negatieve en gebroken exponenten.
Let goed op het verschil tussen 'stijgend' (afgeleide > 0) en 'toenemend/afnemend stijgend' (gedrag van de afgeleide zelf).
Vergeet niet dat een negatieve exponent in de noemer positief wordt (bijv. G^-0,25 = 1/G^0,25).
Je moet beredeneren zonder getallen in te vullen; focus op het teken en het gedrag van de afgeleide als G toeneemt.

Kernbegrippen: afgeleide functie, differentiaalrekening, machtsregel, toenemende stijging, afnemende stijging

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij toepassen machtsregel voor differentiëren
- Verwarring tussen het teken van de afgeleide (positief, dus stijgend) en het gedrag van de afgeleide (dalend, dus afnemende stijging).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/3

## Vraag 4 – Economische groei (4 punten)

4p 4 Geef deze herleiding en geef daarbij de waarden van a en b in twee decimalen. De stippellijn die in de figuur het verband aangeeft tussen E en G gaat over vogels die normale activiteiten verrichten zoals vliegen, voedsel zoeken, enzovoort. Vogels die niet deze activiteiten verrichten, verbruiken veel minder energie. De minimale dagelijkse energiebehoefte noemen we M. We nemen aan dat de minimale dagelijkse energiebehoefte M steeds 40% is van de normale dagelijkse energiebehoefte E. Ook de grafiek die bij benadering het verband weergeeft tussen M en het lichaamsgewicht G wordt in de figuur een rechte lijn.

Wat kun je verwachten: Je zult een machtsfunctie moeten omzetten naar een lineaire vorm door logaritmen toe te passen. Dit is een standaardtechniek om niet-lineaire verbanden te lineariseren.

Wat moet je kennen: Je moet de rekenregels voor logaritmen kennen en kunnen toepassen, met name die voor het logaritme van een product en het logaritme van een macht. Je moet ook weten hoe je een logaritme van een getal berekent met je rekenmachine.

Wat moet je kunnen: Je moet een gegeven machtsfunctie stap voor stap kunnen herleiden met behulp van logaritmen. Je moet de logaritme van een constante kunnen berekenen en afronden, en de coëfficiënten van de gelineariseerde vergelijking correct kunnen identificeren.

Waar op letten: Je moet de juiste rekenregels voor logaritmen toepassen: log(A*B) = log(A) + log(B) en log(A^n) = n*log(A).
Je moet de natuurlijke logaritme (ln) gebruiken, zoals gevraagd in de herleiding naar ln(E).
Je moet de constante term ln(5,0) correct berekenen en afronden op twee decimalen.
Je moet de waarden van a en b correct identificeren na de herleiding.
Rond pas af in de allerlaatste stap, zoals gevraagd (twee decimalen voor a en b).

Kernbegrippen: logaritme, rekenregels logaritmen, lineariseren, machtsfunctie

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/4

## Vraag 5 – Economische groei

De stippellijn die in de figuur het verband aangeeft tussen E en G gaat over vogels die normale activiteiten verrichten zoals vliegen, voedsel zoeken, enzovoort. Vogels die niet deze activiteiten verrichten, verbruiken veel minder energie. De minimale dagelijkse energiebehoefte noemen we M.
We nemen aan dat de minimale dagelijkse energiebehoefte M steeds 40% is van de normale dagelijkse energiebehoefte E. Ook de grafiek die bij benadering het verband weergeeft tussen M en het lichaamsgewicht G wordt in de figuur een rechte lijn.
Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de grafiek die bij benadering het verband weergeeft tussen M en G. Licht je werkwijze toe.

Wat kun je verwachten: Je zult een nieuwe formule moeten afleiden voor M op basis van de gegeven formule voor E en het percentage. Daarna bereken je coördinaten van punten op de nieuwe grafiek en teken je deze lijn in de gegeven figuur.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een percentage omzet naar een factor en hoe je deze factor toepast op een gegeven formule. Ook moet je bekend zijn met het interpreteren van grafieken op een logaritmische schaal en weten dat een machtsverband dan een rechte lijn is.

Wat moet je kunnen: Je moet een nieuwe formule kunnen opstellen door een bestaande formule aan te passen met een percentage. Je moet coördinaten kunnen berekenen met deze nieuwe formule en deze punten vervolgens nauwkeurig kunnen uitzetten in een logaritmische grafiek om de lijn te tekenen.

Waar op letten: Let op de logaritmische schaalverdeling van de assen; dit betekent dat een machtsverband een rechte lijn is.
De minimale energiebehoefte M is 40% van E. Dit betekent dat je de formule voor E moet aanpassen.
Vergeet niet dat 40% als factor 0.40 in de berekening moet worden meegenomen.
Om een rechte lijn te tekenen, heb je minimaal twee punten nodig. Kies punten die goed afleesbaar zijn of die je makkelijk kunt berekenen.
Licht je werkwijze duidelijk toe, inclusief de afgeleide formule en de berekende punten.

Kernbegrippen: machtsfuncties, procentuele verandering, grafiek tekenen, logaritmische schaal

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/5

## Vraag 6 – Economische groei

Het valt in figuur 1 op dat de periodes van de drie cycli nogal van elkaar verschillen. Zo duurt de cyclus met de langste periode vele malen langer dan de cyclus met de kortste periode.
Bepaal met behulp van figuur 1 hoeveel keer zo lang. Geef je antwoord in gehelen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een grafiek met meerdere cyclische processen. Je moet de periodes van deze cycli visueel bepalen en vervolgens een eenvoudige verhouding berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet het concept 'periode' van een grafiek kennen, wat de lengte is van één volledige herhaling van een patroon.

Wat moet je kunnen: Je moet uit een grafiek de periode van een cyclus kunnen aflezen. Je moet ook een verhouding kunnen berekenen en deze correct kunnen interpreteren in de context van de vraag.

Waar op letten: Je moet goed kijken naar de grafiek om de verschillende cycli te onderscheiden.
Je moet de periode van elke cyclus correct aflezen; dit is de lengte van één volledige herhaling van het patroon.
Je moet de langste en de kortste periode identificeren.
Je moet de verhouding berekenen door de langste periode te delen door de kortste periode.
Je moet je antwoord afronden op een geheel getal, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: periode aflezen uit grafiek, verhouding berekenen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/6

## Vraag 7 – Economische groei

De invloed van de voorraadcyclus kan worden beschreven met de formule:
V(t) = 0,8 + sin(2,445(t − 0,024))
Hierin is V de (voorspelde) economische groei door de voorraadcyclus in procenten per jaar ten opzichte van het voorgaande jaar en t de tijd in jaren met t = 0 op 1 januari 1948.
In figuur 1 kun je zien dat de voorraadcyclus op 1 september 1948 zorgde voor een maximale economische groei van 1,8% ten opzichte van het jaar ervoor. Verder geldt dat de minimale economische groei die veroorzaakt wordt door de voorraadcyclus gelijk is aan -0,2% ten opzichte van het jaar ervoor. De voorraadcyclus heeft een periode van 2,57 jaar.
Licht toe hoe de formule voor V uit deze gegevens volgt.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je de algemene vorm van een sinusfunctie moet kunnen koppelen aan de gegeven contextuele informatie (maximum, minimum, periode, tijdstip van een maximum). Je moet de parameters van de functie één voor één afleiden uit deze gegevens.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een sinusfunctie kennen: V(t) = a + b sin(c(t − d)). Je moet weten wat elke parameter (a, b, c, d) betekent in relatie tot de grafiek (evenwichtsstand, amplitude, periode, horizontale verschuiving).

Wat moet je kunnen: Je moet kunnen berekenen hoe de evenwichtsstand (a) en de amplitude (b) volgen uit het maximum en minimum. Je moet de parameter 'c' kunnen berekenen uit de periode. Tot slot moet je de horizontale verschuiving (d) kunnen bepalen aan de hand van een gegeven tijdstip van een maximum of minimum.

Waar op letten: Let goed op de eenheden: tijd in jaren, groei in procenten.
Verwar de amplitude niet met het bereik van de functie.
Zorg dat je de relatie tussen de periode en de parameter 'c' correct toepast (periode = 2pi/c).
De parameter 'd' is gerelateerd aan de horizontale verschuiving; gebruik het gegeven tijdstip van het maximum correct.
Rond pas af in de laatste stap, zoals aangegeven in de vraag of het antwoordmodel.

Kernbegrippen: sinusfunctie, amplitude, evenwichtsstand, periode, horizontale verschuiving, parameters afleiden

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/7

## Vraag 8 – Economische groei

De formule voor V geeft de economische groei door de voorraadcyclus in procenten per jaar ten opzichte van het voorgaande jaar, zoals eerder aangegeven. Zo betekent V (74) ≈ –0,17 bijvoorbeeld dat op 1 januari 2022 de voorraadcyclus zorgt voor (ongeveer) –0,17% economische groei ten opzichte van 1 januari 2021. Er was dus sprake van negatieve economische groei.
Op 1 januari 2023 was de economische groei door de voorraadcyclus ten opzichte van 1 januari 2022 weer positief.
Bereken de totale economische groei door de voorraadcyclus op 1 januari 2023 ten opzichte van 1 januari 2021. Geef je antwoord in procenten in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een formule (V(t)) moet gebruiken om procentuele veranderingen te berekenen voor specifieke jaren. Vervolgens combineer je deze procentuele veranderingen over meerdere jaren om een totale verandering te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een procentuele verandering omzet naar een groeifactor en andersom. Ook moet je begrijpen hoe je groeifactoren combineert om de totale groei over meerdere perioden te berekenen.

Wat moet je kunnen: Je moet de waarde van V(t) kunnen berekenen voor een gegeven t. Je moet deze procentuele groei kunnen omzetten naar een groeifactor. Daarna moet je de groeifactoren van opeenvolgende jaren kunnen vermenigvuldigen om de totale groeifactor te vinden. Tot slot moet je deze totale groeifactor weer kunnen omzetten naar een procentuele verandering en correct afronden.

Waar op letten: Zorg dat je de procentuele veranderingen correct omzet naar groeifactoren (bijvoorbeeld -0,17% wordt 1 - 0,0017).
Let op het verschil tussen een procentuele verandering en een groeifactor.
Onthoud dat 'ten opzichte van' de basis aangeeft waar je mee vergelijkt.
Rond pas af in de allerlaatste stap, anders introduceer je afrondingsfouten.
De eenheid van het antwoord moet 'procenten' zijn, afgerond op één decimaal.

Kernbegrippen: procentuele verandering, groeifactor, samengestelde groei, sinusfunctie

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/8

## Vraag 9 – Economische groei

De investeringscyclus en de prijzencyclus uit figuur 1 kunnen beschreven worden met de formules:
I(t) = 1,6+1,6sin(0,604(t − 2,933)) en P(t) = sin(0,126(t + 5,083))
Hierin is I de economische groei door de investeringscyclus in procenten per jaar ten opzichte van het voorgaande jaar, P de economische groei door de prijzencyclus in procenten per jaar ten opzichte van het voorgaande jaar en t de tijd in jaren met t = 0 op 1 januari 1948.
In 1998 vergeleek Rankin een theoretisch patroon op basis van de som van de drie cycli met de werkelijke economische groei in de periode 1978-1998. Zie figuur 2.
figuur 2
jaarlijkse procentuele economische groei
[grafiek]
Legenda:
— som van de drie cycli
— werkelijke economische groei
Ondanks de verschillen tussen het theoretische patroon en het werkelijke patroon, vond Rankin dat er voldoende overeenkomsten waren om voorspellingen te doen. Hij voorspelde bijvoorbeeld dat na een periode van flinke groei in de jaren vóór 2008, de groei daarna sterk zou afnemen. Deze voorspelling bleek uit te komen.
Het theoretische patroon van Rankin ontstaat door de invloeden van de drie cycli bij elkaar op te tellen. Volgens dit patroon zal de economische groei ergens in de periode 2025-2035 negatief zijn. Er is dan sprake van krimp.
In de periode 2025-2035 is er een jaar waarin de krimp maximaal is.
Bereken deze maximale krimp. Geef je antwoord in procenten per jaar in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een samengestelde functie moet opstellen door meerdere functies bij elkaar op te tellen. Vervolgens moet je met je grafische rekenmachine het minimum van deze functie bepalen binnen een specifiek tijdsinterval. Dit is een typische toepassing van modelleren met periodieke functies.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je sinusfuncties interpreteert en hoe je ze optelt tot een nieuwe functie. Je moet ook weten hoe je een tijdsinterval (jaren) omzet naar de variabele 't' zoals gedefinieerd in de formules. Daarnaast moet je het concept van 'maximale krimp' kunnen vertalen naar het wiskundige minimum van een functie.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven formules correct kunnen invoeren in je grafische rekenmachine. Je moet de 'minimum' functie van je GR kunnen gebruiken om het laagste punt van een grafiek binnen een bepaald bereik te vinden. Tot slot moet je je antwoord correct kunnen afronden en de juiste eenheid toevoegen.

Waar op letten: Je moet de drie gegeven functies (I(t), P(t) en de impliciete V(t) uit de context) bij elkaar optellen om de totale economische groei te krijgen. Let goed op de notatie van de functies.
Je moet 'maximale krimp' correct interpreteren als het minimum van de somfunctie. Krimp betekent negatieve groei.
Je moet het juiste tijdsinterval bepalen voor je berekening. t=0 is 1 januari 1948. De periode 2025-2035 moet je omrekenen naar t-waarden.
Je moet de grafische rekenmachine correct gebruiken om het minimum van de functie te vinden binnen het gespecificeerde interval. Let op de invoer van de functie en de grenzen voor het minimum.
Je moet het eindantwoord afronden op twee decimalen en de eenheid (procenten per jaar) correct vermelden.

Kernbegrippen: sinusfunctie, somfunctie, minimum bepalen met GR, modelleren

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/9

## Vraag 10 – Economische groei (3 punten)

3p 10 Bereken hoeveel van de seizoenen vóór dit 17ᵉ seizoen uit 35 afleveringen bestonden. Bij de eerste ronde van de quiz start iedere kandidaat met 60 seconden. In deze ronde kunnen vijf keer 10 seconden worden verdiend. Een mogelijke stand na de eerste ronde is: kandidaat A heeft 70 seconden, kandidaat B heeft 80 seconden en kandidaat C heeft 70 seconden. In totaal zijn er dan 40 seconden verdiend in deze ronde.

Wat kun je verwachten: Je kunt een vraag verwachten waarbij je informatie uit een tekst moet filteren en gebruiken om een lineaire vergelijking op te stellen of een stapsgewijze berekening uit te voeren. Het gaat om het verdelen van een totaal over verschillende categorieën.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een totaal aantal kunt opdelen in componenten, en hoe je een eenvoudige lineaire vergelijking kunt opstellen en oplossen. Ook moet je goed kunnen lezen en interpreteren welke getallen bij elkaar horen.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om de relevante getallen uit de tekst te halen en deze correct te gebruiken in een berekening. Je kunt een vergelijking opstellen zoals '35x + 30(15 – x) = totaal' of een logische reeks van aftrekkingen en delingen uitvoeren om tot het antwoord te komen.

Waar op letten: Lees goed welke seizoenen relevant zijn voor de berekening. Gaat het om 'vóór dit 17e seizoen' of 'tot en met het 17e seizoen'?
Identificeer het 'standaard' aantal afleveringen per seizoen en het afwijkende aantal.
Houd rekening met eventuele uitzonderingen of extra afleveringen die apart worden genoemd.
Rond pas af in de laatste stap, maar in dit geval werk je met gehele getallen, dus afronden is niet direct aan de orde.
Controleer of je antwoord logisch is binnen de context van de vraag (aantal seizoenen kan geen decimaal zijn).

Kernbegrippen: rekenen met gehele getallen, opstellen van een lineaire vergelijking

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/10

## Vraag 11 – Economische groei

Bij de eerste ronde van de quiz start iedere kandidaat met 60 seconden. In deze ronde kunnen vijf keer 10 seconden worden verdiend. Een mogelijke stand na de eerste ronde is: kandidaat A heeft 70 seconden, kandidaat B heeft 80 seconden en kandidaat C heeft 70 seconden. In totaal zijn er dan 40 seconden verdiend in deze ronde.
Bereken hoeveel verschillende standen er na de eerste ronde mogelijk zijn als er in deze ronde in totaal 40 seconden worden verdiend.

Wat kun je verwachten: Je kunt een vraag verwachten waarbij je logisch moet nadenken over het verdelen van een totaal aantal punten of items over een aantal personen of categorieën. Je zult verschillende scenario's moeten uitwerken en voor elk scenario het aantal mogelijkheden moeten berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van combinatoriek kennen, zoals het verschil tussen combinaties en permutaties. Je moet ook weten hoe je faculteiten (n!), combinaties (nCr) en permutaties (nPr) berekent en wanneer je welke methode toepast.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om een complex probleem op te splitsen in kleinere, behapbare delen. Je moet systematisch alle mogelijke verdelingen kunnen identificeren en voor elke verdeling het aantal manieren kunnen berekenen om deze aan specifieke kandidaten toe te wijzen. Je moet ook je rekenmachine effectief kunnen gebruiken voor combinatorische berekeningen.

Waar op letten: Je moet eerst alle mogelijke manieren bedenken om 40 seconden te verdelen over 3 kandidaten (bijvoorbeeld 20+20+0, 30+10+0, 40+0+0, etc.).
Je moet er rekening mee houden dat een kandidaat maximaal 50 seconden kan verdienen (dus een eindscore van maximaal 110 seconden).
Je moet goed onderscheid maken tussen combinaties (volgorde maakt niet uit) en permutaties (volgorde maakt wel uit) bij het toewijzen van de scores aan de specifieke kandidaten.
Je moet alle afzonderlijke mogelijkheden optellen om tot het totale aantal verschillende standen te komen.
Je moet controleren of je geen verdelingen dubbel telt of mist.

Kernbegrippen: combinatoriek, verdelingsprobleem, permutaties, combinaties

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/11

## Vraag 12 – Economische groei

In de tweede ronde worden er door drie bekende Nederlanders vragen aan de kandidaten gesteld. Een bekende Nederlander mag in meerdere afleveringen een vraag stellen. In een seizoen met 30 afleveringen is voor elke aflevering een ander drietal bekende Nederlanders nodig.
Onderzoek hoeveel bekende Nederlanders er minimaal nodig zijn om in elk van de 30 afleveringen een ander drietal te kunnen vormen.

Wat kun je verwachten: Je zult een vraag krijgen waarbij je het aantal mogelijke groepen moet bepalen uit een grotere verzameling, of juist de minimale grootte van de verzameling moet vinden om een bepaald aantal groepen te kunnen vormen.

Wat moet je kennen: Je moet het verschil kennen tussen combinaties en permutaties en wanneer je welke methode toepast. Je moet ook weten hoe je de combinatieformule (nCr) op je grafische rekenmachine gebruikt.

Wat moet je kunnen: Je moet de context van de vraag kunnen vertalen naar een combinatorisch probleem. Je moet de nCr-functie op je rekenmachine kunnen bedienen en door middel van 'trial and error' (systematisch proberen) tot de juiste oplossing kunnen komen.

Waar op letten: Je moet goed begrijpen dat de volgorde van de bekende Nederlanders binnen een drietal niet uitmaakt; dit bepaalt of je combinaties of permutaties gebruikt.
Je moet de juiste functie op je grafische rekenmachine gebruiken voor combinaties (nCr).
Je moet systematisch verschillende aantallen bekende Nederlanders (n) proberen totdat je het minimale aantal vindt dat voldoet aan de voorwaarde van 30 unieke drietallen.
Je moet het antwoord als een geheel getal geven, aangezien het om personen gaat.

Kernbegrippen: combinaties, nCr, trial and error

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/12

## Vraag 13 – Economische groei

3p 13 Bereken in één decimaal de minimale bandenspanning die een vliegtuig met een landingssnelheid van 223 km/uur moet hebben, om bij een landing op een zeer natte landingsbaan géén last te krijgen van aquaplaning. Het is voor de veiligheid dus van groot belang dat de bandenspanning van vliegtuigbanden voldoende hoog blijft. Gemiddeld verliezen banden 2% aan spanning per dag. De bandenspanning mag maximaal 5% lager zijn dan de aanbevolen bandenspanning. Banden worden vaak iets harder opgepompt dan aanbevolen. We gaan ervan uit dat de bandenspanning elke ochtend gecontroleerd wordt en dat de vliegtuigband weer wordt opgepompt op de dag voordat de bandenspanning te laag zal zijn.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule waarin de landingssnelheid en de bandenspanning met elkaar in verband staan. Je moet een van de variabelen invullen en de andere variabele berekenen door de vergelijking op te lossen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een vergelijking met een wortel oplost. Je moet ook begrijpen hoe je een gegeven waarde correct substitueert in een formule.

Wat moet je kunnen: Je kunt een vergelijking van de vorm 'getal = a * sqrt(P)' oplossen naar P. Je kunt de landingssnelheid correct invullen in de formule en de stappen voor het oplossen van de vergelijking nauwkeurig uitvoeren. Je kunt je eindantwoord correct afronden.

Waar op letten: Lees de vraag goed: wat moet je berekenen en welke informatie is daarvoor relevant?
Identificeer de formule die je moet gebruiken en welke variabelen daarin staan.
Vul de bekende waarde (landingssnelheid) correct in de formule in.
Los de vergelijking stap voor stap op om de onbekende variabele (bandenspanning P) te vinden.
Rond je eindantwoord af op het gevraagde aantal decimalen (één decimaal) en vermeld de juiste eenheid (bar).

Kernbegrippen: vergelijking oplossen, formule substitueren, wortelverband

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/13

## Vraag 14 – Economische groei

Het is voor de veiligheid dus van groot belang dat de bandenspanning van vliegtuigbanden voldoende hoog blijft. Gemiddeld verliezen banden 2% aan spanning per dag. De bandenspanning mag maximaal 5% lager zijn dan de aanbevolen bandenspanning. Banden worden vaak iets harder opgepompt dan aanbevolen.
We gaan ervan uit dat de bandenspanning elke ochtend gecontroleerd wordt en dat de vliegtuigband weer wordt opgepompt op de dag voordat de bandenspanning te laag zal zijn.
4p 14 Bereken na hoeveel dagen een vliegtuigband met een 4% hogere bandenspanning dan aanbevolen, weer opgepompt moet worden.

Wat kun je verwachten: Je kunt een vraag verwachten waarbij je een exponentieel afnameproces moet modelleren. Je zult een beginwaarde en een groeifactor moeten bepalen en deze gebruiken in een formule. Vervolgens moet je een grenswaarde bepalen en uitrekenen wanneer deze grenswaarde wordt bereikt of overschreden.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor exponentiële groei/afname kennen: N(t) = N(0) * g^t. Je moet weten hoe je een percentageverandering omzet naar een groeifactor. Ook moet je de betekenis van de variabelen N(t), N(0), g en t in deze context kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet een exponentiële formule kunnen opstellen op basis van de gegeven informatie. Je moet een vergelijking of ongelijkheid met een exponentiële functie kunnen oplossen, bijvoorbeeld door inklemmen, met de grafische rekenmachine (intersect-functie of tabel) of met logaritmen. Tot slot moet je je antwoord correct kunnen interpreteren in de context van de vraag, met name bij het afronden op hele dagen.

Waar op letten: Zet percentages (2%, 5%, 4%) correct om naar groeifactoren of decimale waarden voor gebruik in formules.
Begrijp dat '2% verlies per dag' betekent dat de groeifactor 1 - 0.02 = 0.98 is.
De 'aanbevolen bandenspanning' is je referentiepunt (100%). Werk alle spanningen als percentage hiervan uit.
Let goed op de vraag of je een vergelijking of een ongelijkheid moet oplossen en hoe je dit interpreteert in de context van 'weer opgepompt moet worden'.
Rond pas af in de allerlaatste stap en interpreteer de uitkomst correct in hele dagen.

Kernbegrippen: exponentiële afname, groeifactor, procentuele verandering, ongelijkheid oplossen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/14

## Vraag 15 – Economische groei

Ook bij auto's kan aquaplaning optreden. Bij personenauto's is de laagste snelheid waarbij aquaplaning kan ontstaan afhankelijk van hoe zwaar de auto is beladen. De mate van belading heeft invloed op de verhouding V tussen de lengte l en de breedte b van het contactoppervlak van de band met de weg. Zie figuur 1.

figuur 1
licht beladen auto
zwaar beladen auto

Voor de verhouding V geldt:
V = b/l (formule 2)

Voor personenauto's geldt een aangepaste variant van de formule van Horne. Deze formule luidt:
S_auto = 55,5 * sqrt(P/V) (formule 3)

In deze formule is S_auto de laagste snelheid in km/uur van een auto waarbij aquaplaning kan ontstaan, P de bandenspanning in bar en V de verhouding uit formule 2.

Bij een zwaar beladen auto is l in verhouding tot b groter dan bij een licht beladen auto.
3p 15 Beredeneer met behulp van formules 2 en 3 of de laagste snelheid waarbij aquaplaning bij een zwaar beladen auto kan ontstaan hoger of juist lager is dan bij een licht beladen auto met dezelfde bandenspanning.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een kwalitatieve analyse moet uitvoeren. Dit betekent dat je niet met getallen hoeft te rekenen, maar moet uitleggen hoe de ene grootheid de andere beïnvloedt (groter/kleiner).

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van het werken met formules kennen, met name hoe veranderingen in de noemer van een breuk of onder een wortelteken de uitkomst beïnvloeden. Je moet ook de betekenis van 'in verhouding tot' begrijpen.

Wat moet je kunnen: Je moet een logische redenering kunnen opbouwen die stap voor stap de invloed van de belading op de aquaplaningsnelheid verklaart, gebruikmakend van de gegeven formules. Je moet de context kunnen vertalen naar de wiskundige relaties.

Waar op letten: Lees goed de beschrijving van de variabelen en hun eenheden. S_auto is in km/uur, P in bar, V is een verhouding.
Begrijp de relatie tussen 'l in verhouding tot b groter' en de waarde van V = b/l. Wat gebeurt er met V als l groter wordt ten opzichte van b?
Analyseer hoe een verandering in V de term P/V beïnvloedt. Let op dat V in de noemer staat.
Analyseer hoe een verandering in P/V de term sqrt(P/V) beïnvloedt.
Analyseer tot slot hoe een verandering in sqrt(P/V) de waarde van S_auto beïnvloedt. De factor 55,5 is een positieve constante.

Kernbegrippen: redeneren met formules, omgekeerd evenredig verband, kwalitatieve analyse

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/15

## Vraag 16 – Economische groei

De zwaarte van de belading van een auto heeft – behalve invloed op de mate van aquaplaning – meer effecten. Bij een zwaar beladen auto slijten de banden sneller. Bovendien neemt het rijcomfort af, doordat de banden meer geluid maken tijdens het rijden. Sommige bandenfabrikanten adviseren daarom het V-getal (de V uit formule 2) niet kleiner te laten worden dan 1,05.

figuur 2
gewicht per band (in kg) ↑
600
500
400
300
200
100
0
0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 → V-getal

In figuur 2 is voor een standaard testband het verband weergegeven tussen het gewicht dat één band draagt en het V-getal.
In figuur 2 is ook een trendlijn getekend. Deze trendlijn gaat door de punten (0,9; 507) en (1,4; 214).

Een bepaald type personenauto weegt 1200 kg. Neem aan dat voor het verband tussen het V-getal en het gewicht per band de trendlijn uit de figuur van toepassing is. Ga er verder van uit dat het gewicht van de auto met lading gelijkmatig verdeeld is over de autobanden.
Stel een formule op voor de trendlijn en bereken hiermee hoeveel gehele kilogrammen de totale lading van deze auto maximaal mag zijn zodat het V-getal minimaal 1,05 is.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een lineaire formule moet opstellen op basis van twee gegeven punten. Daarna gebruik je deze formule om een waarde te berekenen en deze in de context van de vraag te interpreteren en om te rekenen naar het gevraagde antwoord.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een lineaire formule (y = ax + b) kennen en weten hoe je de richtingscoëfficiënt (a) en het startgetal (b) berekent met behulp van twee punten.

Wat moet je kunnen: Je moet een lineaire formule kunnen opstellen, een waarde kunnen invullen in de formule en het resultaat kunnen interpreteren en omrekenen naar de gevraagde eenheid (totale lading in kilogrammen).

Waar op letten: Let goed op welke variabele op de x-as staat (V-getal) en welke op de y-as (gewicht per band). Dit is cruciaal voor het opstellen van de formule y = ax + b.
Bereken eerst de richtingscoëfficiënt (a) met de formule (y2 - y1) / (x2 - x1).
Gebruik vervolgens één van de gegeven punten en de berekende richtingscoëfficiënt om het startgetal (b) te vinden.
Lees de vraag goed: het V-getal moet 'minimaal 1,05' zijn. Dit betekent dat je V = 1,05 moet invullen om het maximale gewicht per band te vinden.
Vergeet niet dat het berekende gewicht per band is. Je moet dit omrekenen naar de totale lading van de auto, rekening houdend met het eigen gewicht van de auto en het aantal banden. Rond pas op het allerlaatste moment af naar een geheel getal, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: lineair verband, opstellen lineaire formule, richtingscoëfficiënt

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/16

## Vraag 17 – Economische groei

3p 17 Bereken hoeveel Nederlanders die lijden aan myopie er tussen 2018 en 2050 jaarlijks gemiddeld bijkomen. Geef je antwoord in een geheel aantal duizendtallen. Er bestaan meerdere vormen van myopie. In het vervolg van deze opgave gaat het alleen over as-myopie. Bij iemand met deze vorm van myopie heeft de oogbol een grotere as-lengte dan bij iemand met normaal zicht. De as-lengte is de afstand van de pupil tot aan de achterkant van het netvlies. Zie figuur 1. figuur 1 pupil netvlies as-lengte normaal zicht as-lengte as-myopie

Wat kun je verwachten: Je kunt een vraag verwachten waarin je verschillende rekenstappen moet combineren: exponentiële groei, procentuele berekeningen en het berekenen van een gemiddelde toename per jaar.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor exponentiële groei (N = N_0 * g^t) kennen en weten hoe je procenten omzet naar decimalen en groeifactoren. Ook moet je weten hoe je een gemiddelde berekent over een periode.

Wat moet je kunnen: Je moet de bevolkingsomvang in 2050 kunnen berekenen met de gegeven groeifactor. Je moet het absolute aantal mensen met myopie in 2018 en 2050 kunnen bepalen. Tot slot moet je de gemiddelde jaarlijkse toename kunnen berekenen en correct afronden.

Waar op letten: Let goed op de verschillende percentages: 20% in 2018 en 50% in 2050. Zet deze om naar decimalen (0.20 en 0.50) voor je gaat rekenen.
De bevolkingsgroei is exponentieel. Je moet de juiste groeifactor en het aantal jaren (tijd) gebruiken.
Bereken eerst het totale aantal Nederlanders in 2050, voordat je het percentage myopiepatiënten daarvan neemt.
De vraag vraagt om de GEMIDDELDE jaarlijkse toename. Dit betekent dat je de totale toename deelt door het aantal jaren.
Rond pas af in de allerlaatste stap naar een geheel aantal duizendtallen, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor, procenten, lineaire toename

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/17

## Vraag 18 – Economische groei

De grafieken in figuur 2 komen uit het onderzoek van het Erasmus MC. In figuur 2 staat de gemiddelde as-lengte bij jongens en meisjes van verschillende leeftijden.
Figuur 2 is gebaseerd op meetwaarden op vier leeftijden: 5, 10, 15 en 20 jaar. De onderzoekers hebben de as-lengtes bij de tussenliggende leeftijden geschat door de meetpunten te verbinden.
Het is ook mogelijk om de as-lengtes bij de tussenliggende leeftijden te schatten door een formule op te stellen die goed bij de vier meetwaarden past. Voor de jongens luidt deze formule:
J = 0,5646·ln(t − 4) +21,7
Hierin is J de gemiddelde as-lengte bij jongens in millimeters en t de leeftijd in jaren.
3p 18 Bereken voor jongens met een leeftijd van 7 jaar en 3 maanden het verschil tussen de schatting in figuur 2 en de schatting volgens de formule. Geef je antwoord in millimeters in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je zult een waarde moeten aflezen uit een grafiek en een waarde moeten berekenen met een logaritmische formule. Daarna bereken je het verschil tussen deze twee waarden.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een leeftijd in jaren en maanden omzet naar een decimaal getal. Je moet ook weten hoe je lineair interpoleert tussen twee punten in een grafiek en hoe je een logaritmische formule gebruikt.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig waarden kunnen aflezen uit een grafiek. Je moet lineaire interpolatie kunnen toepassen om een tussenliggende waarde te schatten. Je moet een gegeven formule correct kunnen invullen en de uitkomst kunnen berekenen. Tot slot moet je het verschil tussen twee berekende waarden kunnen bepalen en correct afronden.

Waar op letten: Zet de leeftijd van '7 jaar en 3 maanden' correct om naar een decimaal getal voor t.
Lees de waarden voor de as-lengte bij 5 en 10 jaar nauwkeurig af uit de grafiek voor jongens.
Pas lineaire interpolatie correct toe om de waarde uit de grafiek te schatten. Dit betekent dat je de verandering per jaar berekent en dit vermenigvuldigt met het aantal jaren na het eerste meetpunt.
Vul de correcte t-waarde in de logaritmische formule in en bereken J nauwkeurig.
Rond pas af op één decimaal bij de allerlaatste stap, het verschil.

Kernbegrippen: lineair interpoleren, logaritmische functie, aflezen uit grafiek

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/18

## Vraag 19 – Economische groei

4p 19 Bereken met behulp van de formules voor J en M hoeveel jaar eerder het oog stabiel is bij jongens. Geef je antwoord in één decimaal. Op basis van het onderzoek van het Erasmus MC is van een bepaalde groep kinderen met myopie bekend dat ze een grote kans hebben om als volwassene te maken te krijgen met ernstige myopie. Deze groep kinderen heeft gemiddeld op 6-jarige leeftijd een as-lengte van 23,4 mm. Vier jaar later is deze lengte toegenomen tot 24,4 mm. In deze groep kinderen zijn de gegevens van jongens en meisjes samen genomen, dus de formules voor J en M kunnen niet meer gebruikt worden. We nemen nu aan dat de as-lengte van deze groep benaderd kan worden met een formule van de vorm A = p∙ln(t-4) + q Hierin is A de as-lengte in millimeter en t de leeftijd in jaren. Met behulp van de gegevens voor een 6-jarige met een as-lengte van 23,4 mm volgt hieruit na afronding op drie decimalen: q = 23,4-0,693p (formule 1)

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je de afgeleide van een logaritmische functie moet bepalen en deze afgeleide moet gebruiken om een vergelijking op te lossen. Daarna bereken je het verschil tussen twee gevonden waarden.

Wat moet je kennen: Je moet weten dat 'toenamesnelheid' verwijst naar de afgeleide van een functie. Je moet ook de regels voor het differentiëren van logaritmische functies kennen, met name de afgeleide van ln(x) en de kettingregel.

Wat moet je kunnen: Je moet de afgeleide van de gegeven functies J(t) en M(t) kunnen bepalen. Vervolgens moet je de afgeleiden gelijkstellen aan 0,05 en de resulterende vergelijkingen kunnen oplossen, zowel algebraïsch als met behulp van je grafische rekenmachine. Tot slot moet je het verschil tussen de twee gevonden leeftijden berekenen en correct afronden.

Waar op letten: De formules voor J en M zijn cruciaal; zorg ervoor dat je de juiste formules gebruikt (deze zijn niet in de vraagtekst gegeven, maar wel in de brein-data).
Interpreteer 'toenamesnelheid' correct als de afgeleide van de functie.
Pas de differentieerregels voor logaritmische functies en de kettingregel correct toe.
Los de vergelijkingen dJ/dt = 0,05 en dM/dt = 0,05 nauwkeurig op, eventueel met de GR.
Rond pas af op één decimaal bij het uiteindelijke antwoord, niet tussentijds.

Kernbegrippen: afgeleide functie, snelheid van verandering, logaritmische functie, vergelijking oplossen met GR

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/19

## Vraag 20 – Economische groei

Op basis van het onderzoek van het Erasmus MC is van een bepaalde groep kinderen met myopie bekend dat ze een grote kans hebben om als volwassene te maken te krijgen met ernstige myopie. Deze groep kinderen heeft gemiddeld op 6-jarige leeftijd een as-lengte van 23,4 mm. Vier jaar later is deze lengte toegenomen tot 24,4 mm.
In deze groep kinderen zijn de gegevens van jongens en meisjes samen genomen, dus de formules voor J en M kunnen niet meer gebruikt worden.
We nemen nu aan dat de as-lengte van deze groep benaderd kan worden met een formule van de vorm
A = p∙ln(t-4) + q
Hierin is A de as-lengte in millimeter en t de leeftijd in jaren.
Met behulp van de gegevens voor een 6-jarige met een as-lengte van 23,4 mm volgt hieruit na afronding op drie decimalen:
q = 23,4-0,693p (formule 1)
Toon dit aan.

Wat kun je verwachten: Je moet een gegeven formule gebruiken en hierin bekende waarden substitueren. Vervolgens moet je de vergelijking algebraïsch omvormen om een van de onbekende parameters (q) uit te drukken in de andere parameter (p). Dit is een typische 'toon aan' vraag waarbij je stap voor stap de gegeven uitkomst moet bereiken.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van logaritmen kennen, met name hoe je ln(x) berekent. Ook moet je weten hoe je een vergelijking algebraïsch kunt manipuleren om een variabele vrij te maken.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig kunnen substitueren, de logaritme van een getal kunnen berekenen (eventueel met je rekenmachine) en vervolgens de vergelijking correct kunnen herschrijven om q uit te drukken in p, inclusief de juiste afronding.

Waar op letten: Substitueer de juiste waarden (t=6 en A=23,4) in de formule A = p∙ln(t-4) + q.
Bereken de waarde van ln(6-4) = ln(2) nauwkeurig.
Rond pas af op drie decimalen aan het einde van de berekening, zoals gevraagd in de opgave.
Zorg ervoor dat je de vergelijking correct omvormt om q uit te drukken in p.

Kernbegrippen: logaritmische functie, substitutie, algebraïsche vaardigheden

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/20

## Vraag 21 – Economische groei (3 punten)

3p 21 Bereken de waarden voor p en q in drie decimalen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt twee lineaire vergelijkingen, beide in de vorm q = ...p + .... Je moet deze vergelijkingen oplossen om de waarden van p en q te vinden die aan beide vergelijkingen voldoen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een stelsel van lineaire vergelijkingen oplost, met name door middel van substitutie of door de vergelijkingen aan elkaar gelijk te stellen. Je moet ook de basisregels van algebra kennen voor het herleiden van vergelijkingen.

Wat moet je kunnen: Je moet de twee gegeven formules aan elkaar gelijk kunnen stellen. Je moet de resulterende lineaire vergelijking kunnen oplossen voor 'p' door termen met 'p' naar één kant te brengen en constante termen naar de andere kant. Vervolgens moet je de gevonden waarde van 'p' kunnen invullen in één van de oorspronkelijke formules om 'q' te berekenen. Tot slot moet je beide antwoorden correct kunnen afronden op drie decimalen.

Waar op letten: Je moet de twee gegeven uitdrukkingen voor 'q' aan elkaar gelijk stellen om een vergelijking voor 'p' te krijgen.
Let goed op de mintekens en de decimale getallen tijdens het herleiden van de vergelijking.
Rond pas af op drie decimalen bij de uiteindelijke antwoorden voor 'p' en 'q'.
Vergeet niet om, nadat je 'p' hebt berekend, ook de waarde van 'q' te berekenen met behulp van een van de oorspronkelijke formules.
Controleer of je beide waarden (p en q) hebt berekend en correct hebt afgerond.

Kernbegrippen: stelsel van lineaire vergelijkingen oplossen, substitutiemethode

Veelgemaakte fouten:
- rekenfout bij algebra
- verkeerd afronden
- vergeten beide variabelen (p en q) te berekenen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/21

## Vraag 22 – Economische groei

3p 22 Als de as-lengte groter is dan 26 mm, spreekt men van ernstige myopie. Bereken op welke leeftijd de kinderen in de genoemde groep gemiddeld last krijgen van ernstige myopie. Geef je antwoord in een geheel aantal jaren. Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.

Wat kun je verwachten: Je zult een logaritmische vergelijking moeten opstellen en oplossen om een specifieke leeftijd te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een logaritmische vergelijking algebraïsch oplost, of hoe je de grafische rekenmachine gebruikt om snijpunten te vinden. Je moet ook de betekenis van de variabelen in de formule begrijpen.

Wat moet je kunnen: Je moet een gegeven formule kunnen toepassen, een vergelijking kunnen opstellen op basis van een grenswaarde, en deze vergelijking vervolgens kunnen oplossen. Tot slot moet je het resultaat correct kunnen interpreteren en afronden volgens de vraag.

Waar op letten: Zorg ervoor dat je de juiste formule gebruikt die eerder in de opgave is geïntroduceerd (0,91 ∙ ln(t-4) + 22,77).
Stel de vergelijking correct op door de as-lengte gelijk te stellen aan 26 mm.
Los de logaritmische vergelijking stap voor stap op, of gebruik je GR om het snijpunt te vinden.
Let goed op de afronding: er wordt gevraagd om een geheel aantal jaren. Interpreteer de uitkomst correct in de context van 'op welke leeftijd'.
Controleer of je de juiste variabele (t) isoleert.

Kernbegrippen: logaritmische vergelijking oplossen, modeltoepassing

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/22

## Vraag 23 – Economische groei

6p 23 Bereken hoeveel liter cement er in totaal nodig is om de buizen van dit monument volledig te vullen. Geef je antwoord in gehele liters. Bronvermelding Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen behorende correctievoorschrift. einde

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een patroon in de lengtes van de buizen moet herkennen en gebruiken om de totale lengte of het totale volume te bepalen. Dit vraagt om het toepassen van kennis over rekenkundige rijen en evenredigheid.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van een rekenkundige rij kennen, inclusief hoe je de som van zo'n rij berekent. Ook moet je weten hoe je eenheden omrekent, met name van cm³ naar liters.

Wat moet je kunnen: Je moet de stapgrootte van de buislengtes kunnen bepalen en de totale lengte van alle buizen kunnen berekenen. Vervolgens moet je de evenredigheid tussen buislengte en cementvolume kunnen toepassen om het totale cementvolume te vinden en dit correct omrekenen naar liters.

Waar op letten: Let goed op de eenheden: je werkt met centimeters en kubieke centimeters, maar het antwoord moet in liters. Vergeet niet om te rekenen (1 liter = 1000 cm³).
De buizen vormen een rekenkundige rij. Je moet bepalen wat het verschil is tussen opeenvolgende buizen en hoeveel buizen er precies zijn.
Je kunt de totale lengte van alle buizen berekenen en daarna omrekenen naar cementvolume, of eerst het cementvolume per buis bepalen en dan de totale hoeveelheid.
Rond pas af in de allerlaatste stap naar een geheel getal, zoals gevraagd.
Zorg ervoor dat je alle 25 buizen meeneemt in je berekening, van de kortste tot de langste.

Kernbegrippen: rekenkundige rij, somformule rekenkundige rij, evenredigheid, eenheden omrekenen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/23

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2025
tijd vak 1
woensdag 14 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 23 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1024-a-25-1-o

### Pagina 2

OVERZICHT FORMULES

Differentiëren
naam van de regel | functie | afgeleide
------- | -------- | --------
somregel | $s(x) = f(x)+g(x)$ | $s'(x) = f'(x)+g'(x)$
verschilregel | $v(x) = f(x)-g(x)$ | $v'(x) = f'(x)-g'(x)$
productregel | $p(x) = f(x)\cdot g(x)$ | $p'(x) = f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
quotiëntregel | $q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ | $q'(x) = \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$
kettingregel | $k(x) = f(g(x))$ | $k'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)$ of $\frac{dk}{dx} = \frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}$

Logaritmen
regel | voorwaarde
------- | --------
$^g \log(a)+^g \log(b) = ^g \log(ab)$ | $g>0, g \neq 1, a>0, b>0$
$^g \log(a)-^g \log(b) = ^g \log\left(\frac{a}{b}\right)$ | $g>0, g \neq 1, a>0, b>0$
$^g \log(a^p) = p \cdot ^g \log(a)$ | $g>0, g \neq 1, a>0$
$^g \log(a) = \frac{^p \log(a)}{^p \log(g)}$ | $g>0, g \neq 1, a>0, p>0, p \neq 1$

VW-1024-a-25-1-o
lees verder ► ► ►

### Pagina 3

Ga verder op de volgende pagina.
VW-1024-a-25-1-o 3 / 18 lees verder ►►►

### Pagina 4

Energiebehoefte van vogels
Vogels hebben voor al hun normale activiteiten elke dag een bepaalde
hoeveelheid energie nodig. In de figuur is deze dagelijkse
energiebehoefte $E$ (in kilojoule, kJ) voor een aantal vogels uitgezet tegen
het lichaamsgewicht $G$ (in gram). Deze figuur staat ook op de
uitwerkbijlage.
De stippellijn in de figuur geeft bij benadering het verband tussen $E$ en $G$
weer.

figuur
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as energiebehoefte E (in kJ) en op de x-as lichaamsgewicht G (in gram). Er is een stippellijn getekend waarop verschillende vogelsoorten zijn aangegeven met hun bijbehorende energiebehoefte en lichaamsgewicht.]

3p 1 De duif heeft in vergelijking met de meeste andere vogels voor zijn
gewicht veel energie nodig.
Bereken hoeveel procent de dagelijkse energiebehoefte van een duif
meer is dan de dagelijkse energiebehoefte die volgens de stippellijn bij
zijn lichaamsgewicht hoort. Geef je antwoord in hele procenten.

VW-1024-a-25-1-o 4 / 18 lees verder

### Pagina 5

Het verband tussen $E$ en $G$ volgens de stippellijn wordt gegeven door de formule:
$E = 5,0 \cdot G^{0,75}$
Hierin is $E$ in kJ en $G$ in gram.

3a (2p) Bereken aan de hand van deze formule het gewicht van een vogel die dagelijks 1000 kJ energie nodig heeft. Geef je antwoord in hele grammen.

Vogels met een groter lichaamsgewicht hebben volgens de formule ook een grotere dagelijkse energiebehoefte.

3b (3p) Beredeneer aan de hand van een formule van de afgeleide van $E$, zonder getallen in te vullen of een schets te maken, of de dagelijkse energiebehoefte toenemend of afnemend stijgend is.

Je kunt de formule $E = 5,0 \cdot G^{0,75}$ herleiden tot de vorm $\ln(E) = a + b \cdot \ln(G)$.

4 (4p) Geef deze herleiding en geef daarbij de waarden van $a$ en $b$ in twee decimalen.

De stippellijn die in de figuur het verband aangeeft tussen $E$ en $G$ gaat over vogels die normale activiteiten verrichten zoals vliegen, voedsel zoeken, enzovoort. Vogels die niet deze activiteiten verrichten, verbruiken veel minder energie. De minimale dagelijkse energiebehoefte noemen we $M$.
We nemen aan dat de minimale dagelijkse energiebehoefte $M$ steeds 40% is van de normale dagelijkse energiebehoefte $E$. Ook de grafiek die bij benadering het verband weergeeft tussen $M$ en het lichaamsgewicht $G$ wordt in de figuur een rechte lijn.

5 (4p) Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de grafiek die bij benadering het verband weergeeft tussen $M$ en $G$. Licht je werkwijze toe.

VW-1024-a-25-1-o 5 / 18 lees verder ‣‣‣

### Pagina 6

Ga verder op de volgende pagina.

VW-1024-a-25-1-o
6 / 18
lees verder ► ► ►

### Pagina 7

Golven in de Nieuw-Zeelandse economie

De economische historicus Keith Rankin modelleerde in 1998 de
schommelingen in de ontwikkeling van de economie van Nieuw-Zeeland
op basis van drie periodieke processen oftewel cycli. Hij ging ervan uit dat
de zogeheten voorraadcyclus, investeringscyclus en prijzencyclus de
economische groei beïnvloeden. Hij baseerde zijn onderzoek op
historische gegevens over de economie in de periode 1948–1998.

In figuur 1 zijn de invloeden van de drie cycli afzonderlijk weergegeven.
Hierbij is de invloed in procenten per jaar ten opzichte van een jaar eerder
uitgezet tegen de tijd.

figuur 1
[FIGUUR: Liggendi lijngrafiek met op de y-as 'jaarlijkse procentuele economische groei' van -2 tot 4, en op de x-as jaartallen van 1948 tot 2005. Er zijn drie lijnen: een zwarte sinusvormige lijn, een grijze meer grillige lijn en een gestippelde lijn. De legenda toont dat de zwarte lijn de 'voorraadcyclus' voorstelt, de grijze lijn de 'investeringscyclus' en de gestippelde lijn de 'prijzencyclus'.]

Legenda:
------ voorraadcyclus ------ investeringscyclus ........... prijzencyclus

Het valt in figuur 1 op dat de periodes van de drie cycli nogal van elkaar
verschillen. Zo duurt de cyclus met de langste periode vele malen langer
dan de cyclus met de kortste periode.

6 2p Bepaal met behulp van figuur 1 hoeveel keer zo lang. Geef je antwoord in
gehelen.

VW-1024-a-25-1-o 7 / 18
lees verder ►►►

### Pagina 8

De invloed van de voorraadcyclus kan worden beschreven met de
formule:
$$ V(t) = 0,8 + \sin(2,445(t - 0,024)) $$
Hierin is $V$ de (voorspelde) economische groei door de voorraadcyclus in
procenten per jaar ten opzichte van het voorgaande jaar en $t$ de tijd in
jaren met $t = 0$ op 1 januari 1948.

In figuur 1 kun je zien dat de voorraadcyclus op 1 september 1948 zorgde
voor een maximale economische groei van 1,8% ten opzichte van het jaar
ervoor. Verder geldt dat de minimale economische groei die veroorzaakt
wordt door de voorraadcyclus gelijk is aan -0,2% ten opzichte van het jaar
ervoor. De voorraadcyclus heeft een periode van 2,57 jaar.
3p 7 Licht toe hoe de formule voor $V$ uit deze gegevens volgt.

De formule voor $V$ geeft de economische groei door de voorraadcyclus in
procenten per jaar ten opzichte van het voorgaande jaar, zoals eerder
aangegeven. Zo betekent $V(74) \approx -0,17$ bijvoorbeeld dat op 1 januari
2022 de voorraadcyclus zorgt voor (ongeveer) -0,17% economische groei
ten opzichte van 1 januari 2021. Er was dus sprake van negatieve
economische groei.

Op 1 januari 2023 was de economische groei door de voorraadcyclus ten
opzichte van 1 januari 2022 weer positief.
4p 8 Bereken de totale economische groei door de voorraadcyclus op
1 januari 2023 ten opzichte van 1 januari 2021. Geef je antwoord in
procenten in één decimaal.

VW-1024-a-25-1-o 8 / 18 lees verder ►►►

### Pagina 9

De investeringscyclus en de prijzencyclus uit figuur 1 kunnen beschreven
worden met de formules:
$I(t) = 1,6 + 1,6 \sin(0,604(t - 2,933))$ en $P(t) = \sin(0,126(t + 5,083))$
Hierin is $I$ de economische groei door de investeringscyclus in procenten
per jaar ten opzichte van het voorgaande jaar, $P$ de economische groei
door de prijzencyclus in procenten per jaar ten opzichte van het
voorgaande jaar en $t$ de tijd in jaren met $t=0$ op 1 januari 1948.

In 1998 vergeleek Rankin een theoretisch patroon op basis van de som
van de drie cycli met de werkelijke economische groei in de periode
1978–1998. Zie figuur 2.

figuur 2
[FIGUUR: Een lijngrafiek met op de y-as "jaarlijkse procentuele economische groei" van -2 tot 8, en op de x-as jaren van 1978 tot 2008. Er zijn twee lijnen, één zwarte en één grijze. Er is een legenda die aangeeft dat de grijze lijn "som van de drie cycli" is en de zwarte lijn "werkelijke economische groei".]
Legenda:
— som van de drie cycli
— werkelijke economische groei

Ondanks de verschillen tussen het theoretische patroon en het werkelijke
patroon, vond Rankin dat er voldoende overeenkomsten waren om
voorspellingen te doen. Hij voorspelde bijvoorbeeld dat na een periode
van flinke groei in de jaren vóór 2008, de groei daarna sterk zou afnemen.
Deze voorspelling bleek uit te komen.

Het theoretische patroon van Rankin ontstaat door de invloeden van de
drie cycli bij elkaar op te tellen. Volgens dit patroon zal de economische
groei ergens in de periode 2025–2035 negatief zijn. Er is dan sprake van
krimp.
4p 9 In de periode 2025–2035 is er een jaar waarin de krimp maximaal is.
Bereken deze maximale krimp. Geef je antwoord in procenten per jaar in
twee decimalen.

VW-1024-a-25-1-o 9 / 18 lees verder ►►►

### Pagina 10

De slimste mens

'De slimste mens' is een televisiequiz. In elke aflevering van deze quiz
strijden drie kandidaten tegen elkaar. In verschillende rondes moet
geprobeerd worden zoveel mogelijk seconden te verdienen door juiste
antwoorden te geven. De kandidaat die aan het einde de meeste
seconden heeft, is 'De slimste van de dag'.

Van deze quiz worden per jaar twee seizoenen uitgezonden, één in de
zomer en één in de winter. Elk seizoen bevat 30 of 35 afleveringen. Alleen
het 11e seizoen bevatte slechts 5 afleveringen.

In de zomer van 2020 werd het 17e seizoen uitgezonden. De 30e
aflevering van dit seizoen was de 500e aflevering van deze quiz.
3p 10 Bereken hoeveel van de seizoenen vóór dit 17e seizoen uit
35 afleveringen bestonden.

Bij de eerste ronde van de quiz start iedere kandidaat met 60 seconden.
In deze ronde kunnen vijf keer 10 seconden worden verdiend. Een
mogelijke stand na de eerste ronde is: kandidaat A heeft 70 seconden,
kandidaat B heeft 80 seconden en kandidaat C heeft 70 seconden. In
totaal zijn er dan 40 seconden verdiend in deze ronde.
4p 11 Bereken hoeveel verschillende standen er na de eerste ronde mogelijk
zijn als er in deze ronde in totaal 40 seconden worden verdiend.

In de tweede ronde worden er door drie bekende Nederlanders vragen
aan de kandidaten gesteld. Een bekende Nederlander mag in meerdere
afleveringen een vraag stellen. In een seizoen met 30 afleveringen is voor
elke aflevering een ander drietal bekende Nederlanders nodig.
3p 12 Onderzoek hoeveel bekende Nederlanders er minimaal nodig zijn om in
elk van de 30 afleveringen een ander drietal te kunnen vormen.

VW-1024-a-25-1-o 10 / 18 lees verder ► ► ►

### Pagina 11

Bandenspanning en aquaplaning
Vliegtuigen die landen op een zeer natte landingsbaan, kunnen te maken
krijgen met aquaplaning. Hierbij vormt zich een laagje water tussen de
vliegtuigband en de landingsbaan, waardoor het vliegtuig gaat glijden en
onbestuurbaar wordt. Het risico op aquaplaning neemt toe bij een te lage
bandenspanning.
Om de minimale snelheid te berekenen waarbij aquaplaning kan optreden
bij vliegtuigen gebruikt men de formule van Horne:
$$S_{\text{vliegtuig}} = 63,5 \cdot \sqrt{P}$$ (formule 1)
Hierin is $S_{\text{vliegtuig}}$ de laagste snelheid van een vliegtuig in km/uur waarbij
aquaplaning kan optreden en $P$ de bandenspanning van de banden in bar.

3p 13 Bereken in één decimaal de minimale bandenspanning die een vliegtuig
met een landingssnelheid van 223 km/uur moet hebben, om bij een
landing op een zeer natte landingsbaan géén last te krijgen van
aquaplaning.

Het is voor de veiligheid dus van groot belang dat de bandenspanning van
vliegtuigbanden voldoende hoog blijft. Gemiddeld verliezen banden 2%
aan spanning per dag. De bandenspanning mag maximaal 5% lager zijn
dan de aanbevolen bandenspanning. Banden worden vaak iets harder
opgepompt dan aanbevolen.

We gaan ervan uit dat de bandenspanning elke ochtend gecontroleerd
wordt en dat de vliegtuigband weer wordt opgepompt op de dag voordat
de bandenspanning te laag zal zijn.
4p 14 Bereken na hoeveel dagen een vliegtuigband met een 4% hogere
bandenspanning dan aanbevolen, weer opgepompt moet worden.

VW-1024-a-25-1-o 11 / 18 lees verder

### Pagina 12

Ook bij auto's kan aquaplaning optreden. Bij personenauto's is de laagste
snelheid waarbij aquaplaning kan ontstaan afhankelijk van hoe zwaar de
auto is beladen. De mate van belading heeft invloed op de verhouding $V$
tussen de lengte $l$ en de breedte $b$ van het contactoppervlak van de band
met de weg. Zie figuur 1.

figuur 1

[FIGUUR: Twee autoradiustere met banden afgebeeld naast elkaar. De linker is licht beladen en de rechter is zwaar beladen. Bij de linker band wordt de lengte $l$ van het contactoppervlak met de weg aangeduid, en bij de rechter band de breedte $b$ van het contactoppervlak met de weg.]

Voor de verhouding $V$ geldt:

$$V=\frac{b}{l}$$ (formule 2)

Voor personenauto's geldt een aangepaste variant van de formule van
Horne. Deze formule luidt:

$$S_{auto} = 55 \cdot \sqrt{\frac{P}{V}}$$ (formule 3)

In deze formule is $S_{auto}$ de laagste snelheid in km/uur van een auto
waarbij aquaplaning kan ontstaan, $P$ de bandenspanning in bar en $l$ de
verhouding uit formule 2.

3p 15 Bij een zwaar beladen auto is $l$ in verhouding tot $b$ groter dan bij een licht
beladen auto.
Berèdeneer met behulp van formules 2 en 3 of de laagste snelheid
waarbij aquaplaning bij een zwaar beladen auto kan ontstaan hoger of
juist lager is dan bij een licht beladen auto met dezelfde bandenspanning.

VW-1024-a-25-1-o 12 / 18 lees verder ►►►

### Pagina 13

De zwaarte van de belading van een auto heeft - behalve invloed op de
mate van aquaplaning - meer effecten. Bij een zwaar beladen auto slijten
de banden sneller. Bovendien neemt het rijcomfort af, doordat de banden
meer geluid maken tijdens het rijden. Sommige bandenfabrikanten
adviseren daarom het $V$-getal (de $V$ uit formule 2) niet kleiner te laten
worden dan 1,05.

figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met op de y-as "gewicht per band (in kg)" van 0 tot 600, en op de x-as "V-getal" van 0,8 tot 1,5. Er is een dalende trendlijn getekend met datapunten.]

In figuur 2 is ook een trendlijn getekend. Deze trendlijn gaat door de
punten (0,9; 507) en (1,4; 214).

Een bepaald type personenauto weegt 1200 kg. Neem aan dat voor het
verband tussen het $V$-getal en het gewicht per band de trendlijn uit de
figuur van toepassing is. Ga er verder van uit dat het gewicht van de auto
met lading gelijkmatig verdeeld is over de autobanden.
4p 16 Stel een formule op voor de trendlijn en bereken hiermee hoeveel gehele
kilogrammen de totale lading van deze auto maximaal mag zijn zodat het
$V$-getal minimaal 1,05 is.

VW-1024-a-25-1-o
13 / 18
lees verder ►►►

### Pagina 14

Ga verder op de volgende pagina.
VW-1024-a-25-1-o
14/18
lees verder ►►►

### Pagina 15

Myopie

Myopie is een veelvoorkomende oogafwijking die beter bekend staat als bijziendheid. Iemand die lijdt aan myopie ziet objecten dichtbij scherp, terwijl objecten verder weg wazig zijn.

Myopie onder kinderen is enorm toegenomen, met name doordat kinderen met hun ogen steeds vaker dicht bij schermen van tablets en telefoons zitten. Naar aanleiding van een onderzoek van het Erasmus Medisch Centrum Rotterdam (Erasmus MC) waarschuwde de Nederlandse Vereniging van Optiekbedrijven in 2018 dat als dit gedrag zo blijft, het percentage Nederlanders met myopie flink zou stijgen: van 20% in 2018 naar 50% in 2050.

In 2018 waren er 17,2 miljoen Nederlanders. Men neemt aan dat het aantal inwoners van Nederland tot 2050 exponentieel zal toenemen met 0,36% per jaar.

3p 17

Neem aan dat de voorspelling van de Nederlandse Vereniging voor Optiekbedrijven uitkomt en dat het aantal Nederlanders met myopie tussen 2018 en 2050 elk jaar met hetzelfde aantal toeneemt.
Bereken hoeveel Nederlanders die lijden aan myopie er tussen 2018 en 2050 jaarlijks gemiddeld bijkomen. Geef je antwoord in een geheel aantal duizendtallen.

Er bestaan meerdere vormen van myopie. In het vervolg van deze opgave gaat het alleen over *as-myopie*. Bij iemand met deze vorm van myopie heeft de oogbol een grotere as-lengte dan bij iemand met normaal zicht. De *as-lengte* is de afstand van de pupil tot aan de achterkant van het netvlies. Zie figuur 1.

figuur 1

[FIGUUR: Twee diagrammen van het menselijk oog. Het linker diagram toont een oog met de as-lengte gemarkeerd als de afstand van de pupil tot het netvlies, en de tekst 'normaal zicht'. Het rechter diagram toont een oog met een langere as-lengte dan het linker diagram, met de as-lengte gemarkeerd en de tekst 'as-myopie'.]

pupil
netvlies
as-lengte
normaal zicht
as-lengte
as-myopie

VW-1024-a-25-1-o 15 / 18 lees verder ►►►


### Pagina 16

De grafieken in figuur 2 komen uit het onderzoek van het Erasmus MC. In
figuur 2 staat de gemiddelde as-lengte bij jongens en meisjes van
verschillende leeftijden.

figuur 2

aslengte 24,0
oogbol
(in mm) 23,5
23,0
22,5
21,9
22,0
21,5
21,0
20,5
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
leeftijd (in jaren)

Figuur 2 is gebaseerd op meetwaarden op vier leeftijden: 5, 10, 15 en
20 jaar. De onderzoekers hebben de as-lengtes bij de tussenliggende
leeftijden geschat door de meetpunten te verbinden.

Het is ook mogelijk om de as-lengtes bij de tussenliggende leeftijden te
schatten door een formule op te stellen die goed bij de vier meetwaarden
past. Voor de jongens luidt deze formule:

$J = 0,5646 \cdot \ln(t - 4) + 21,7$

Hierin is $J$ de gemiddelde as-lengte bij jongens in millimeters en $t$ de
leeftijd in jaren.

3p 18 Bereken voor jongens met een leeftijd van 7 jaar en 3 maanden het
verschil tussen de schatting in figuur 2 en de schatting volgens de
formule. Geef je antwoord in millimeters in één decimaal.

De grafiek voor de meisjes is te benaderen met de formule:

$M = 0,7112 \cdot \ln(t - 4) + 21,9$

Hierin is $M$ de gemiddelde as-lengte bij meisjes in millimeters en $t$ de
leeftijd in jaren.

VW-1024-a-25-1-o


16 / 18

lees verder



### Pagina 17

Bij kinderen die aan myopie lijden, wordt regelmatig gecontroleerd of en
hoeveel de as-lengte van het oog is toegenomen. Eventueel kunnen er
dan voorzorgsmaatregelen genomen worden om verdere verslechtering
van het zicht tegen te gaan.

Volgens een deskundige is het oog stabiel als de snelheid waarmee de
as-lengte toeneemt, minder dan 0,05 mm per jaar is. Verdere controles
zijn dan niet meer nodig. Volgens de formules voor $J$ en $M$ is dat bij
jongens eerder het geval dan bij meisjes.
4p 19 Bereken met behulp van de formules voor $J$ en $M$ hoeveel jaar eerder het
oog stabiel is bij jongens. Geef je antwoord in één decimaal.

Op basis van het onderzoek van het Erasmus MC is van een bepaalde
groep kinderen met myopie bekend dat ze een grote kans hebben om als
volwassene te maken te krijgen met ernstige myopie. Deze groep
kinderen heeft gemiddeld op 6-jarige leeftijd een as-lengte van 23,4 mm.
Vier jaar later is deze lengte toegenomen tot 24,4 mm.

In deze groep kinderen zijn de gegevens van jongens en meisjes samen
genomen, dus de formules voor $J$ en $M$ kunnen niet meer gebruikt worden.
We nemen nu aan dat de as-lengte van deze groep benaderd kan worden
met een formule van de vorm
$$ A = p \cdot \ln(t-4) + q $$
Hierin is $A$ de as-lengte in millimeter en $t$ de leeftijd in jaren.

Met behulp van de gegevens voor een 6-jarige met een as-lengte van
23,4 mm volgt hieruit na afronding op drie decimalen:
$$ q = 23,4 - 0,693p \quad (\text{formule 1}) $$
2p 20 Toon dit aan.

Met behulp van de gegevens voor een 10-jarige met een as-lengte van
24,4 mm geldt na afronding op drie decimalen:
$$ q = 24,4 - 1,792p \quad (\text{formule 2}) $$
Met behulp van formules (1) en (2) kunnen de waarden van $p$ en $q$
bepaald worden zodat de formule voor $A$ opgesteld kan worden. Op twee
decimalen afgerond geldt $p = 0,91$ en $q = 22,77$.

3p 21 Bereken de waarden voor $p$ en $q$ in drie decimalen.

3p 22 Als de as-lengte groter is dan 26 mm, spreekt men van ernstige myopie.
Bereken op welke leeftijd de kinderen in de genoemde groep gemiddeld
last krijgen van ernstige myopie. Geef je antwoord in een geheel aantal
jaren.

Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.

VW-1024-a-25-1-o 17 / 18 lees verder ►►►

### Pagina 18

Amnesty-monument

In het Oranjepark in Vlaardingen staat het Amnesty-monument, ontworpen
door Joop van Dorp en Cor Maarleveld. Zie de foto.

foto
figuur
[FIGUUR: Een tekening van bovenaanzicht van een monument met 8 buizen, die een rechthoek vormen. De afmetingen zijn aangegeven.]
8 buizen
6 buizen
hoogte = 270 cm
hoogte = 30 cm
8 buizen
6 buizen

Het monument bestaat uit een gedenksteen omringd door metalen buizen
die met cement gevuld zijn. Deze opgave gaat over de buizen.

In de figuur staat een bovenaanzicht van het monument, met een aantal
van deze buizen. Hierin is te zien dat de buizen op de rand van een
vierkant staan, waarbij er bij het hoekpunt rechtsonder (op de foto
rechtsvoor) een kleine opening is, omdat daar geen buizen zijn geplaatst.

De buizen zijn allemaal even dik, maar hebben verschillende lengtes. De
rechter buis in de onderste rij uit de figuur is de kleinste buis en die is
30 cm hoog. Vanaf hier met de klok mee is elke buis steeds hetzelfde
aantal centimeters hoger dan de buis daarvoor. De langste buis heeft een
hoogte van 270 cm.

De hoeveelheid cement die in een buis gaat, is evenredig met de hoogte
van die buis. Voor de kleinste buis, met een hoogte van 30 cm, is
$6030 \text{ cm}^3$ cement nodig.

6p 23 Bereken hoeveel liter cement er in totaal nodig is om de buizen van dit
monument volledig te vullen. Geef je antwoord in gehele liters.

Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.

VW-1024-a-25-1-o

18 / 18

einde