# Eindexamen Wiskunde A VWO 2024 tijdvak 2 > Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2 ## Vraag 1 – Vraag We bekijken een Nederlander die dagelijks 7,4 minuten met een gewone douchekop doucht. Deze persoon besluit alle hierboven genoemde tips op te volgen. Hierdoor neemt het waterverbruik per week flink af. Bereken met hoeveel procent het waterverbruik afneemt. Geef je antwoord in een geheel aantal procenten. Wat kun je verwachten: Je berekent een procentuele afname. Je moet eerst het oorspronkelijke waterverbruik per week bepalen en daarna het nieuwe waterverbruik per week, inclusief alle aanpassingen. Vervolgens bereken je de procentuele afname. Wat moet je kennen: Je moet de formule voor procentuele verandering kennen: ((nieuw - oud) / oud) * 100%. Je moet ook weten hoe je eenheden consistent houdt (bijvoorbeeld alles per week). Wat moet je kunnen: Je kunt informatie uit de tekst halen en deze omzetten naar concrete berekeningen. Je kunt het waterverbruik per week berekenen voor verschillende scenario's en vervolgens de procentuele afname correct toepassen en afronden. Waar op letten: Lees goed welke gegevens bij de 'oude' situatie horen en welke bij de 'nieuwe' situatie. Zorg ervoor dat je het waterverbruik voor beide situaties over dezelfde periode berekent (hier: per week). Vergeet niet het extra waterverbruik voor het wassen bij de wastafel mee te nemen in de 'nieuwe' situatie. Gebruik de formule voor procentuele verandering correct: (nieuw - oud) / oud. Let op het minteken als het een afname is. Rond pas af op een geheel aantal procenten in de allerlaatste stap van je berekening. Kernbegrippen: procentuele verandering, rekenen met eenheden Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/1 ## Vraag 2 – Vraag (3 punten) Het water dat uit een douchekop komt, noemen we douchewater. In het vervolg van deze opgave nemen we het volgende aan: – De temperatuur van douchewater is gelijk aan 38 °C. – Tijdens een douchebeurt wordt 7,2 liter douchewater per minuut gebruikt. In de meeste huishoudens wordt voor douchewater koud water met warm water vermengd. De verhouding tussen de hoeveelheid koud en warm water bepaalt de temperatuur van het douchewater. Als er 3,2 liter koud water van 10 °C met 4 liter warm water van 60 °C vermengd wordt, ontstaat er 7,2 liter douchewater van afgerond 38 °C. Bereken in één decimaal nauwkeurig de temperatuur in °C van dit douchewater. Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een gewogen gemiddelde moet berekenen. Dit is een veelvoorkomende toepassing van gemiddelden in praktische situaties. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een gewogen gemiddelde berekent. Dit betekent dat je elk gegeven (hier: temperatuur) vermenigvuldigt met het bijbehorende gewicht (hier: hoeveelheid water) en de som hiervan deelt door de som van de gewichten. Wat moet je kunnen: Je moet de gegevens uit de tekst kunnen halen en deze correct kunnen toepassen in de formule voor het gewogen gemiddelde. Je moet ook nauwkeurig kunnen afronden op het gevraagde aantal decimalen. Waar op letten: Je moet de temperaturen wegen met de bijbehorende hoeveelheden water. De totale hoeveelheid water is de som van de hoeveelheden koud en warm water. Je moet de totale 'warmte-inhoud' delen door de totale hoeveelheid water om de uiteindelijke temperatuur te vinden. Rond je eindantwoord pas af op één decimaal nauwkeurig, zoals gevraagd in de vraag. Vergeet de eenheid (°C) niet bij je antwoord. Kernbegrippen: gewogen gemiddelde, mengen Veelgemaakte fouten: - Verkeerd afronden (vraag specificeert één decimaal). - Het ongewogen gemiddelde van de temperaturen nemen ((10+60)/2). - De totale hoeveelheid water verkeerd berekenen (3,2 + 4 = 7,2). Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/2 ## Vraag 3 – Vraag (4 punten) Water verwarmen kost energie. Door gebruik te maken van douche warmteterugwinning kan er duurzamer worden gedoucht. Bij deze techniek wordt er uit het water dat het riool instroomt warmte gehaald, waardoor er minder energie nodig is om douchewater (van 38 °C) te verkrijgen. Het apparaat waarmee dit gebeurt, wordt een douche-wtw genoemd. Als er geen douche-wtw geïnstalleerd is, zijn de energiekosten tijdens een douchebeurt gemiddeld 5,8 cent per minuut. Als er wel een douche-wtw geïnstalleerd is, zijn de energiekosten voor een douchebeurt te berekenen met de formule K = 5,75 + 2,92t Hierin is K de energiekosten per douchebeurt in centen en t de tijd in minuten die een douchebeurt duurt, met t groter dan 0. Een vierpersoonshuishouden laat bij de verbouwing van de badkamer voor 650 euro een douche-wtw installeren. De energiekosten om douchewater te verkrijgen gaan hierdoor omlaag in vergelijking met de situatie zonder douche-wtw. We nemen aan dat alle vier de personen vijf dagen per week douchen en dat elke douchebeurt vijf minuten duurt. Op een bepaald moment zal dit huishouden met de douche-wtw in totaal net zoveel aan energiekosten voor het douchen bespaard hebben als dat de installatie van de douche-wtw gekost heeft. Bereken na hoeveel jaar dit het geval is. Geef je antwoord in één decimaal. Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een lineaire vergelijking moet opstellen of een reeks berekeningen moet uitvoeren om de terugverdientijd van een investering te bepalen. Je zult verschillende gegevens uit de tekst moeten combineren en omrekenen naar de juiste eenheden. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een formule invult en hoe je met verschillende eenheden (euro's en centen, minuten en jaren) omgaat. Ook moet je de context van een 'terugverdientijd' begrijpen. Wat moet je kunnen: Je moet de kosten per douchebeurt kunnen berekenen met en zonder de douche-wtw. Je moet de besparing per douchebeurt of per jaar kunnen bepalen. Vervolgens moet je de totale installatiekosten kunnen delen door de besparing per tijdseenheid (bijvoorbeeld per jaar) om de terugverdientijd te vinden. Je moet ook nauwkeurig kunnen omrekenen tussen verschillende tijdseenheden (douchebeurten, weken, jaren). Waar op letten: Let goed op de eenheden: de installatiekosten zijn in euro's, de energiekosten in centen. Zorg dat je alles naar dezelfde eenheid omrekent voordat je gaat rekenen. De formule voor K geeft de kosten per douchebeurt in centen. Je moet deze eerst toepassen voor de gegeven douchetijd. Houd rekening met het aantal personen in het huishouden en hoe vaak zij douchen per week. Dit bepaalt het totale aantal douchebeurten per jaar. Rond pas af op één decimaal bij het allerlaatste antwoord. Gebruik tussendoor zoveel mogelijk decimalen om afrondingsfouten te voorkomen. De vraag vraagt naar het aantal jaar. Zorg ervoor dat je de totale besparing omrekent naar een jaarlijkse besparing, of het totale aantal douchebeurten dat nodig is om de investering terug te verdienen omrekent naar jaren. Kernbegrippen: terugverdientijd, kosten-batenanalyse, lineair model, eenheden omrekenen Veelgemaakte fouten: - eenheden converteren (euro vs cent) - tijdseenheden converteren (douchebeurten vs weken vs jaren) - correct afronden op één decimaal aan het einde van de berekening Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/3 ## Vraag 4 – Vraag Verhuurders van appartementen gebruiken soms de volgende vuistregel: Voor elke kamer meer in een appartement stijgt de huurprijs met ongeveer 25%. We bekijken appartementen met een reistijd van 25 minuten. Onderzoek met behulp van figuur 1 op de uitwerkbijlage of de gemiddelde huurprijs van deze appartementen aan bovenstaande vuistregel voldoet. Wat kun je verwachten: Je zult een grafiek moeten aflezen om specifieke waarden te vinden. Daarna moet je een berekening uitvoeren om een procentuele verandering te controleren, waarbij je rekening houdt met exponentiële groei. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een grafiek nauwkeurig afleest en hoe je procentuele veranderingen omzet naar groeifactoren en vice versa. Ook moet je het verschil tussen lineaire en exponentiële groei begrijpen. Wat moet je kunnen: Je moet de huurprijzen voor 1- en 3-kamerappartementen kunnen aflezen bij een reistijd van 25 minuten. Je moet de groeifactor per kamer kunnen berekenen op basis van de afgelezen waarden en deze kunnen vergelijken met de gegeven vuistregel. Tot slot moet je een heldere conclusie kunnen formuleren. Waar op letten: Lees de huurprijzen nauwkeurig af bij een reistijd van 25 minuten voor zowel 1-kamer- als 3-kamerappartementen. Houd rekening met de toegestane marge. Begrijp dat 'voor elke kamer meer' duidt op een exponentiële relatie, niet lineair. Een toename van 25% per kamer betekent een groeifactor van 1.25 per kamer. Bedenk dat het verschil tussen een 1-kamer- en een 3-kamerappartement twee 'stappen' van 'een kamer meer' is. Je moet dus de groeifactor twee keer toepassen. Rond pas af in de laatste stap van je berekening en conclusie. Gebruik tussentijds voldoende decimalen. Vergelijk de berekende groeifactor of procentuele toename met de vuistregel van 25% en trek een duidelijke conclusie. Kernbegrippen: procentuele toename, groeifactor, grafiek aflezen, exponentiële groei Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/4 ## Vraag 5 – Vraag In figuur 2 op de uitwerkbijlage zijn aan figuur 1 twee trendlijnen toegevoegd. In het vervolg van deze opgave gaan we uit van deze trendlijnen en niet meer van de individuele datapunten. We bekijken een 1-kamerappartement met een reistijd van 15 minuten tot 42nd Street. Voor de huurprijs van dit appartement kun je ook een 3-kamerappartement huren. De reistijd tot 42nd Street vanaf dat 3-kamerappartement is wel langer dan de reistijd vanaf het 1-kamerappartement. Bepaal met behulp van figuur 2 op de uitwerkbijlage hoeveel langer de reistijd vanaf dat 3-kamerappartement is. Licht je antwoord toe en geef je antwoord in hele minuten. Wat kun je verwachten: Je krijgt een grafiek met twee trendlijnen. Je moet informatie aflezen van de ene trendlijn, deze informatie gebruiken om een punt op de andere trendlijn te vinden, en vervolgens een verschil berekenen. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een grafiek met meerdere lijnen interpreteert. Je moet begrijpen wat een trendlijn voorstelt en hoe je waarden op de assen afleest die bij een bepaald punt op een lijn horen. Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig punten kunnen aflezen op een grafiek. Je moet een horizontale lijn kunnen trekken vanaf een punt op de ene trendlijn naar de andere trendlijn om een bijbehorende waarde te vinden. Daarna moet je een eenvoudig verschil kunnen berekenen. Waar op letten: Lees de waarden nauwkeurig af van de juiste trendlijn. Een kleine afwijking kan leiden tot een verkeerd antwoord. Gebruik een liniaal om horizontale en verticale lijnen te trekken, dit voorkomt afleesfouten. Zorg dat je de juiste trendlijn kiest voor het 1-kamerappartement en de juiste voor het 3-kamerappartement. Vergeet niet het verschil in reistijd te berekenen als laatste stap. Rond je eindantwoord af op hele minuten, zoals gevraagd. Kernbegrippen: aflezen van grafiek, trendlijn, snijpunt bepalen (grafisch) Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/5 ## Vraag 6 – Vraag Beredeneer aan de hand van de formule, zonder getallen in te vullen of een schets/tekening te maken, dat de huurprijs H hoger wordt als de reistijd r korter wordt. Wat kun je verwachten: Je moet een kwalitatieve redenering geven over het verband tussen twee variabelen in een gegeven formule, zonder specifieke getallen in te vullen. Je legt uit hoe een verandering in de ene variabele de andere beïnvloedt. Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van machten met negatieve exponenten kennen. Je moet weten hoe een negatieve exponent de relatie tussen de grondtal en de uitkomst beïnvloedt. Je moet ook weten hoe delen door een kleiner getal de uitkomst van een breuk beïnvloedt. Wat moet je kunnen: Je kunt de invloed van een negatieve exponent op een variabele uitleggen. Je kunt beredeneren hoe een verandering in een variabele in een formule leidt tot een verandering in de uitkomst, zonder te rekenen. Je kunt een formule met een negatieve exponent omzetten naar een breukvorm om je redenering te ondersteunen. Waar op letten: Let goed op de negatieve exponent in de formule. Wat betekent dit voor de relatie tussen r en H? Bedenk wat er gebeurt als je een getal met een negatieve exponent kleiner maakt. Wordt de uitkomst dan groter of kleiner? Je mag de formule herschrijven naar een breukvorm (bijvoorbeeld a^-b = 1/a^b) om je redenering te verduidelijken. Gebruik geen getallen of schetsen; je redenering moet puur gebaseerd zijn op de wiskundige eigenschappen van de formule. Formuleer je antwoord helder en stapsgewijs, zodat je redenering logisch is en goed te volgen. Kernbegrippen: machtsfuncties, negatieve exponenten, dalende functie, kwalitatief redeneren Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/6 ## Vraag 7 – Vraag Er zijn in New York bewoners van een 1-kamerappartement met een bepaalde reistijd tot 42nd Street die theoretisch minstens $ 75 huur zouden kunnen besparen door één minuut verder weg van 42nd Street in een ander 1-kamerappartement te gaan wonen. Ofwel, voor deze bewoners geldt: als de reistijd tot 42nd Street met één minuut toeneemt, dan daalt de huurprijs met minstens $ 75. Onderzoek met behulp van de formule voor P hoelang de reistijd van deze bewoners maximaal is. Geef je antwoord in hele minuten. Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een logaritmische functie moet analyseren. Je zult waarschijnlijk functiewaarden moeten berekenen voor verschillende reistijden en de verschillen daartussen moeten bepalen. Het kan ook zijn dat je een vergelijking moet opstellen en oplossen met je grafische rekenmachine. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een logaritmische functie interpreteert en hoe je functiewaarden berekent. Je moet ook het concept van een verschilrij begrijpen en hoe je dit toepast om veranderingen over discrete intervallen te bepalen. Kennis van het oplossen van vergelijkingen met je GR (bijvoorbeeld met 'intersect' of de tabel-functie) is ook belangrijk. Wat moet je kunnen: Je moet de formule P(r) kunnen gebruiken om huurprijzen te berekenen voor verschillende reistijden. Je moet in staat zijn om de huurprijsdaling te berekenen wanneer de reistijd met één minuut toeneemt. Vervolgens moet je deze daling kunnen vergelijken met de gegeven $75 en op basis hiervan de maximale reistijd in hele minuten kunnen bepalen, eventueel door middel van inklemmen of het oplossen van een vergelijking. Waar op letten: Je moet de verandering in huurprijs per minuut reistijd berekenen, dus P(r) - P(r+1) of P(r+1) - P(r). Let goed op het teken. De vraag stelt 'minstens $75', wat betekent dat de daling $75 of meer moet zijn. Dit vertaal je naar een ongelijkheid of een grensgeval. Je moet de reistijd in hele minuten geven. Dit betekent dat je de uitkomst van je berekening correct moet afronden of inklemmen. Controleer of je de juiste interpretatie geeft aan 'maximaal'. Als r=14,3 een grens is, wat is dan de laatste hele minuut die nog voldoet? De context van 'besparen' impliceert een daling van de huurprijs. Zorg ervoor dat je de daling correct modelleert. Kernbegrippen: logaritmische functie, verschilrij, vergelijking oplossen met GR, inklemmen Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/7 ## Vraag 8 – Vraag (3 punten) Het meest vroege tijdstip waarop de zon onder gaat is op 12 december om 16:30 uur. Het meest late tijdstip dat de zon onder gaat is in de zomer om 21:00 uur. Met behulp van deze gegevens kan voor het tijdstip van de zonsondergang een model opgesteld worden van de vorm T_onder = a + b * sin(c(t - d)) Hierin is T_onder het tijdstip van de zonsondergang in uren en t de tijd in gehele dagen met t = 0 op 1 januari. Bijvoorbeeld bij 12 december hoort t = 345. Dit geeft T_onder = 16,5 dus de zon gaat dan onder om 16:30 uur. Na afronding van c en d geldt: T_onder = 18,75 + 2,25 sin(0,0172(t - 71)). Laat zien hoe de waarden van a, b, c en d uit de gegevens volgen. Wat kun je verwachten: Je moet de vier parameters a, b, c en d van een gegeven sinusfunctie bepalen op basis van de contextuele informatie over de zonsondergangtijden. Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een sinusfunctie kennen (y = a + b sin(c(x-d))) en de betekenis van elke parameter: a is de evenwichtsstand, b is de amplitude, c is gerelateerd aan de periode, en d is de horizontale verschuiving (faseverschuiving). Je moet ook weten dat de periode van de zonsondergangcyclus 365 dagen is. Wat moet je kunnen: Je kunt de evenwichtsstand en amplitude berekenen uit het minimum en maximum. Je kunt de periode omzetten naar de constante c. Je kunt de horizontale verschuiving d bepalen door te redeneren waar het minimum of maximum van de functie zich bevindt ten opzichte van de start van een standaard sinuscyclus. Waar op letten: Let goed op de eenheid van T_onder (uren) en t (dagen). 16:30 uur is 16,5 uur. Bedenk wat de evenwichtsstand (a) en amplitude (b) betekenen in een sinusfunctie en hoe je deze afleidt uit het minimum en maximum. De periode van de zonsondergang is 365 dagen. Gebruik deze om de constante c te berekenen. Onthoud dat c = (2 * pi) / periode. De horizontale verschuiving (d) is vaak de lastigste. Bedenk waar de standaard sinusfunctie begint (stijgend door de evenwichtsstand) en hoe dit zich verhoudt tot het gegeven minimum op t = 345. Rond pas af in de laatste stap, zoals aangegeven in de vraag of het antwoordmodel. Kernbegrippen: sinusfunctie, periodieke functies, evenwichtsstand, amplitude, periode, horizontale verschuiving Veelgemaakte fouten: - Verwarren van maximum en minimum bij het berekenen van a en b. - Foutieve berekening van de periodeconstante c, bijvoorbeeld 365 / (2*pi) in plaats van (2*pi) / 365. - Onjuiste redenering voor de horizontale verschuiving d; het minimum van een sinus ligt op 3/4 van de periode na de start van de cyclus (stijgend door de evenwichtsstand). Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/8 ## Vraag 9 – Vraag Bereken hoeveel dagen van het jaar de zonsopkomst in De Bilt vóór 06:30 uur plaatsvindt. Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule die een periodiek verschijnsel beschrijft (in dit geval de zonsopkomsttijd). Je moet een ongelijkheid oplossen om te bepalen wanneer de waarde van de functie onder een bepaalde grens ligt. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een sinusoïde interpreteert en hoe je een vergelijking of ongelijkheid oplost met behulp van je grafische rekenmachine (GR). Ook moet je begrijpen hoe je het aantal dagen binnen een interval berekent. Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven formule correct invoeren in je GR. Je kunt de snijpunten van de functie met een horizontale lijn bepalen. Je kunt vervolgens op basis van deze snijpunten het juiste interval van dagen vaststellen en het aantal gehele dagen binnen dit interval berekenen. Waar op letten: Let goed op de eenheid van de tijd in de formule (bijvoorbeeld uren en decimalen van uren) en de gevraagde tijd (06:30 uur). Controleer of je GR in de juiste modus staat (RADIAN of DEGREE), afhankelijk van de constante in de sinusfunctie (0,0172 in dit geval, wat duidt op radialen). Rond de snijpunten pas af in de laatste stap. Gebruik de onafgeronde waarden voor verdere berekeningen. Bij het bepalen van het aantal dagen: als de snijpunten bijvoorbeeld t=91,4 en t=269,9 zijn, dan zijn de gehele dagen t=92 tot en met t=269. Vergeet niet dat 'vanaf t tot en met t' betekent dat je (laatste dag - eerste dag + 1) doet, of in dit geval (269 - 91) als je de dagen tussen de snijpunten telt. Kernbegrippen: sinusoïde, ongelijkheid oplossen, grafische rekenmachine (intersect) Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/9 ## Vraag 10 – Vraag Het meest vroege tijdstip van zonsopkomst valt later in het jaar dan het meest late tijdstip van de zonsondergang. Bereken hoeveel dagen later. Wat kun je verwachten: Je zult twee formules krijgen die de tijdstippen van zonsopkomst en zonsondergang beschrijven als functie van de dag van het jaar. Je moet de extremen van deze functies bepalen. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een maximum of minimum van een functie kunt vinden met je grafische rekenmachine. Ook moet je begrijpen wat 'vroegste tijdstip' en 'laatste tijdstip' betekenen in de context van de grafiek (minimum of maximum). Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven formules correct invoeren in je grafische rekenmachine. Je moet de functies 'maximum' en 'minimum' van je GR kunnen gebruiken om de t-waarden te vinden. Tot slot moet je het verschil tussen de gevonden dagnummers correct berekenen en afronden. Waar op letten: Let goed op welke formule hoort bij zonsopkomst en welke bij zonsondergang. Je moet het minimum van de zonsopkomsttijd vinden (vroegste tijdstip) en het maximum van de zonsondergangstijd (laatste tijdstip). Rond de gevonden t-waarden pas af naar hele dagen in de laatste stap, voordat je het verschil berekent. Controleer of je het verschil in dagen correct berekent, dus 'later' betekent een positief verschil. Kernbegrippen: sinusfunctie, maximum bepalen, minimum bepalen, modelleren Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/10 ## Vraag 11 – Vraag Op 21 maart begint op het noordelijk halfrond de lente. De daglengte neemt dan het meest toe. Bereken met hoeveel minuten per dag de daglengte in De Bilt toeneemt als de lente begint. Geef je antwoord in één decimaal. Wat kun je verwachten: Je kunt een vraag verwachten waarbij je een wiskundig model (hier een sinusfunctie) moet toepassen om een reële situatie te beschrijven. Je moet functiewaarden berekenen en de verandering (toename/afname) van een grootheid bepalen op een specifiek moment. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een formule invoert in je grafische rekenmachine en hoe je functiewaarden afleest. Je moet ook weten hoe je een toename of afname berekent (differentiequotiënt of afgeleide) en hoe je eenheden omrekent (uren naar minuten). Wat moet je kunnen: Je kunt de juiste 't'-waarde bepalen voor een gegeven datum. Je kunt de formule voor de daglengte correct opstellen. Je kunt de daglengte berekenen voor twee opeenvolgende dagen en het verschil bepalen. Je kunt dit verschil omrekenen naar de gevraagde eenheid en correct afronden. Waar op letten: Lees goed in de tekst welke formule je moet gebruiken voor de daglengte. Soms moet je zelf een formule opstellen uit twee andere formules (hier: daglengte = tijd ondergaan - tijd opkomen). Zorg ervoor dat je de juiste waarde voor 't' (aantal dagen na 31 december) gebruikt voor 21 maart. Let op de eenheden: de formule geeft de daglengte in uren, maar het antwoord moet in minuten per dag. Vergeet de omrekening niet. Rond pas af in de allerlaatste stap, anders introduceer je afrondingsfouten. Je kunt de toename benaderen door L(t+1) - L(t) te berekenen, of door de afgeleide dL/dt te gebruiken als je die methode beheerst. Kernbegrippen: sinusfunctie, modelleren, differentiequotiënt, afgeleide, eenheden omrekenen Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/11 ## Vraag 12 – Vraag Bereken het verschil tussen de verdubbelingstijd van de welvaart in Duitsland in de periode 1850-1940 en de verdubbelingstijd sinds 1950. Geef je antwoord in gehele jaren. Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over exponentiële groei, specifiek over de verdubbelingstijd. Je moet een exponentiële vergelijking oplossen om deze tijd te vinden en vervolgens een verschil berekenen. Wat moet je kennen: Je moet de definitie van verdubbelingstijd kennen en weten hoe je deze berekent bij een gegeven groeifactor. Je moet ook de relatie tussen exponentiële functies en logaritmen kennen. Wat moet je kunnen: Je moet een exponentiële vergelijking van de vorm a^t = b kunnen oplossen met behulp van logaritmen. Je moet ook de context van de vraag goed kunnen interpreteren om de juiste berekeningen uit te voeren. Waar op letten: Je moet goed onderscheid maken tussen de twee periodes en de bijbehorende groeimodellen of verdubbelingstijden. Je moet de verdubbelingstijd berekenen voor de periode waarvoor een groeimodel (met e-macht) is gegeven. Je moet een exponentiële vergelijking oplossen met behulp van logaritmen (ln). Je moet het verschil tussen de twee verdubbelingstijden berekenen. Je moet het eindantwoord afronden op een geheel aantal jaren, zoals gevraagd. Kernbegrippen: exponentiële groei, verdubbelingstijd, logaritmen Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/12 ## Vraag 13 – Vraag (3 punten) Als de welvaart in Duitsland met 50% toeneemt, dan neemt het gemiddeld aantal gewerkte uren per werknemer per jaar met een vast aantal af. Bereken hoeveel uur dit volgens de formule voor U_D is. Geef je antwoord in gehele uren. Wat kun je verwachten: Je zult een logaritmische formule moeten gebruiken en daarin een procentuele verandering verwerken. Je berekent een verschil tussen twee uitkomsten van de formule. Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van een procentuele toename kennen en hoe je dit omzet naar een groeifactor. Ook moet je weten hoe je een logaritmische functie evalueert en eventueel de rekenregels voor logaritmen kunnen toepassen. Wat moet je kunnen: Je moet een gegeven formule kunnen invullen met nieuwe waarden en het verschil tussen de uitkomsten kunnen berekenen. Je moet ook nauwkeurig kunnen afronden op het gevraagde aantal decimalen (in dit geval een geheel getal). Waar op letten: Hoe je een toename van 50% correct vertaalt naar een groeifactor. Is dit 0.5, 1.5 of iets anders? Dat je de juiste rekenregels voor logaritmen toepast als je die methode kiest. Dat je niet tussentijds afrondt, maar pas aan het einde van de berekening op een geheel getal. De eenheid van het antwoord: het gaat om 'uur'. Kernbegrippen: logaritmische functies, rekenregels voor logaritmen, procentuele toename, groeifactor Veelgemaakte fouten: - Groeifactor 1,5 verwarren met 0,5 - Afronden van tussenantwoorden - Positief antwoord geven terwijl een afname wordt berekend Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/13 ## Vraag 14 – Vraag Iemand doet de volgende bewering: Als in Duitsland de welvaart toeneemt dan neemt het gemiddeld aantal gewerkte uren per werknemer per jaar sneller af bij een hogere welvaart dan bij een lagere welvaart. 4p 14 Beredeneer aan de hand van een formule van de afgeleide van _U_D, zonder getallen in te vullen of een schets/tekening te maken, of deze bewering juist is. Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je een bewering moet controleren door middel van differentiaalrekening. Je moet de afgeleide van een gegeven functie bepalen en vervolgens de verandering van deze afgeleide analyseren om het gedrag van de oorspronkelijke functie te beschrijven. Wat moet je kennen: Je moet de regels voor het differentiëren van functies kennen, met name hoe je de afgeleide van een functie van de vorm c * ln(x) of c/x bepaalt. Ook moet je de relatie tussen de afgeleide en het stijgen/dalen van een functie kennen, en hoe de verandering van de afgeleide (de tweede afgeleide, of de trend van de eerste afgeleide) de 'snelheid' van stijgen of dalen beïnvloedt. Wat moet je kunnen: Je moet een afgeleide kunnen bepalen en deze afgeleide kunnen interpreteren in de context van de vraag. Je moet kunnen beredeneren hoe de afgeleide verandert als de onafhankelijke variabele toeneemt, en op basis daarvan een conclusie trekken over het gedrag van de oorspronkelijke functie (bijvoorbeeld 'afnemend dalend' of 'toenemend stijgend'). Waar op letten: De vraag vraagt om een beredenering ZONDER getallen in te vullen of een schets te maken. Dit betekent dat je puur met de formule van de afgeleide moet werken. Je moet de afgeleide van de functie U_D(W_D) correct bepalen. Let goed op de rekenregels voor afgeleiden, met name die van logaritmische functies of functies van de vorm c/x. Interpreteer de betekenis van de afgeleide: een negatieve afgeleide betekent daling. De verandering van de afgeleide (neemt deze toe of af?) bepaalt of de daling 'sneller' of 'langzamer' wordt. Vergelijk jouw conclusie over het dalgedrag (afnemend dalend of toenemend dalend) met de bewering in de vraag. Let op de precieze formulering van de bewering. Zorg dat je de termen 'sneller afnemen' en 'langzamer afnemen' correct vertaalt naar het gedrag van de afgeleide. Kernbegrippen: afgeleide, logaritmische functie, interpretatie van de afgeleide, afnemende daling Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/14 ## Vraag 15 – Vraag Door formule 1 en formule 2 te combineren, kan een formule opgesteld worden die het verband benadert tussen het gemiddeld aantal gewerkte uren per werknemer per jaar in Duitsland en het jaar. Deze formule is van de vorm U_D = pt + q. Stel deze formule op. Geef p in drie decimalen en q als een geheel getal. Wat kun je verwachten: Je zult twee gegeven formules moeten combineren door de ene in de andere te substitueren. Daarna moet je de resulterende uitdrukking algebraïsch herleiden tot de gevraagde lineaire vorm U_D = pt + q. Dit vereist kennis van logaritmische rekenregels. Wat moet je kennen: Je moet de rekenregels voor logaritmen kennen, met name ln(a*b) = ln(a) + ln(b) en ln(e^x) = x. Ook moet je weten hoe je haakjes uitwerkt en termen samenvoegt om een lineaire vergelijking op te stellen. Wat moet je kunnen: Je moet formules kunnen substitueren, logaritmische uitdrukkingen kunnen vereenvoudigen met behulp van de rekenregels, en algebraïsch kunnen herleiden tot de gevraagde lineaire vorm. Je moet ook correct kunnen afronden volgens de instructies. Waar op letten: Substitueer de juiste formule in de andere formule. Let goed op welke variabele je vervangt. Pas de logaritmeregels correct toe: ln(a*b) = ln(a) + ln(b) en ln(e^x) = x zijn cruciaal. Werk de haakjes zorgvuldig uit en combineer de constante termen. Rond p pas aan het einde af op drie decimalen en q op een geheel getal, zoals gevraagd. Gebruik tussendoor voldoende decimalen om afrondingsfouten te voorkomen. Controleer of de uiteindelijke formule inderdaad de vorm U_D = pt + q heeft. Kernbegrippen: substitutie van formules, rekenregels voor logaritmen, algebraïsch herleiden Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/15 ## Vraag 16 – Vraag In Nederland groeit de welvaart bij benadering ook exponentieel sinds 1950. In 1960 was de welvaart in Nederland $ 11 529 en in 2000 was dat $ 34 497. Uit de gegevens volgt dat de welvaart in Nederland kan worden beschreven met de formule: *W*N = 8766·1,028*t* (formule 3) Hierin is *W*N de welvaart in Nederland in dollars en *t* de tijd in gehele jaren met *t* = 0 het jaar 1950. In formule 3 is de beginhoeveelheid afgerond op helen tot 8766 en de jaarlijkse groeifactor is afgerond op drie decimalen tot 1,028. Bereken de beginhoeveelheid in één decimaal en de jaarlijkse groeifactor in vier decimalen. Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een exponentiële groeiformule opstelt op basis van twee gegeven punten. Je moet de groeifactor over een bepaalde periode berekenen en deze omzetten naar een jaarlijkse groeifactor. Daarna bereken je de beginhoeveelheid (de waarde op t=0). Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een exponentiële groeiformule kennen: N(t) = N(0) * g^t. Je moet ook weten hoe je een groeifactor over een langere periode omrekent naar een groeifactor per tijdseenheid (bijvoorbeeld per jaar). Wat moet je kunnen: Je moet een groeifactor kunnen berekenen als je twee waarden op verschillende tijdstippen kent. Je moet de jaarlijkse groeifactor kunnen bepalen door de n-de-machtswortel te trekken. Je moet de beginhoeveelheid (N(0)) kunnen berekenen door terug te rekenen vanuit een bekend punt met de gevonden groeifactor. Tot slot moet je correct kunnen afronden volgens de specificaties in de vraag. Waar op letten: Gebruik de exacte getallen uit de tekst ($11529 en $34497) voor je berekeningen, niet de afgeronde waarden uit de gegeven formule. Let goed op de tijdsperiode: t=0 is 1950. Dit betekent dat 1960 overeenkomt met t=10 en 2000 met t=50. Rond pas af in de allerlaatste stap volgens de instructies: beginhoeveelheid op één decimaal en groeifactor op vier decimalen. Houd voldoende decimalen aan tijdens je tussenberekeningen om afrondingsfouten te voorkomen. Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor berekenen, beginwaarde berekenen, stelsel van vergelijkingen Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/16 ## Vraag 17 – Vraag (4 punten) In 1950 was de welvaart in Nederland groter dan in Duitsland. Bovendien nam de welvaart in Nederland toen sneller toe dan die in Duitsland. Decennia later haalde de welvaart in Duitsland die in Nederland in. Hieruit volgt dat vanaf een bepaald moment de welvaart in Duitsland sneller toenam dan die in Nederland. Bereken met behulp van de afgeleiden dW_D/dt en dW_N/dt vanaf welk jaar dit het geval was. Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je de groeisnelheid van twee functies moet vergelijken. Dit betekent dat je de afgeleiden van de gegeven functies moet bepalen en vervolgens moet uitzoeken wanneer de ene afgeleide groter is dan de andere. Wat moet je kennen: Je moet de differentieerregels voor exponentiële functies kennen, inclusief de kettingregel. Ook moet je weten hoe je een vergelijking met de grafische rekenmachine kunt oplossen door snijpunten te bepalen of een tabel te gebruiken. Wat moet je kunnen: Je kunt de afgeleide van functies van het type a*e^(bt) en a*g^t bepalen. Je kunt deze afgeleiden invoeren in je grafische rekenmachine en het snijpunt bepalen. Tot slot kun je de gevonden 't'-waarde correct interpreteren als een jaartal. Waar op letten: Je moet de afgeleide van een exponentiële functie correct bepalen, zowel voor e-machten als voor algemene grondtallen. Vergeet de kettingregel niet als de exponent geen simpele 't' is (bijvoorbeeld '0.0315t'). Let goed op de eenheden en de betekenis van 't' (vaak 'aantal jaar na een startjaar'). Rond pas af in de allerlaatste stap, en interpreteer de gevonden 't' waarde correct naar een jaartal. Zorg dat je begrijpt wat de afgeleide betekent in deze context: het is de groeisnelheid van de welvaart. Kernbegrippen: differentiatie, exponentiële functies, kettingregel, vergelijking oplossen met GR Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/17 ## Vraag 18 – Vraag De krattenbrug bestaat uit twee even grote torens met daartussen een overspanning. Elke toren bestaat uit 29 lagen gestapelde kratten. De bovenste laag geven we nummer 1, de laag direct daaronder nummer 2, enzovoorts. Voor de bovenste 11 lagen geldt voor het aantal kratten per laag: A(n) = 3,5n + 3,5 voor lagen met een oneven nummer A(n) = 3,5n + 3 voor lagen met een even nummer Hierin is A(n) het aantal kratten en n het nummer van de laag. Elke laag (behalve de bovenste laag natuurlijk) met een oneven nummer heeft eenzelfde aantal kratten meer dan de direct daarboven gelegen laag met een even nummer. 18 Toon dit, zonder gebruik te maken van een getallenvoorbeeld, aan. Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je een eigenschap van een model moet aantonen door middel van algebraïsche manipulatie. Je moet formules combineren en vereenvoudigen om een constante waarde te vinden. Wat moet je kennen: Je moet de basisregels van algebra kennen, zoals het correct uitwerken van haakjes en het combineren van gelijksoortige termen. Je moet ook begrijpen hoe je een verschil tussen twee opeenvolgende termen in een reeks opstelt. Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om de juiste formules te selecteren op basis van de pariteit (even/oneven) van het laagnummer. Je moet een algebraïsche uitdrukking kunnen opstellen voor het verschil tussen twee lagen en deze uitdrukking kunnen vereenvoudigen tot een constante waarde. Waar op letten: Let goed op het verschil tussen een oneven laag (n) en de direct daarboven gelegen even laag (n-1). Gebruik de juiste formule voor A(n) wanneer n oneven is, en de juiste formule voor A(n-1) wanneer n-1 even is. Werk de haakjes correct uit bij het vereenvoudigen van de uitdrukking. Vergeet niet dat 'zonder gebruik te maken van een getallenvoorbeeld' betekent dat je dit algebraïsch moet aantonen. Controleer of je antwoord een constante waarde is, zoals gevraagd in de vraag. Kernbegrippen: algebraïsche vaardigheden, formules met casusonderscheid, bewijsvoering Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/18 ## Vraag 19 – Vraag Bereken het totaal aantal kratten in de hele krattenbrug. Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een patroon moet herkennen in het aantal kratten per laag. Vervolgens moet je de som van de kratten in verschillende delen van de brug berekenen en deze bij elkaar optellen om het totaal te vinden. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een patroon in een reeks getallen kunt analyseren en hoe je de som van een reeks getallen kunt bepalen. Je moet ook de context van de vraag goed kunnen vertalen naar een rekenmodel. Wat moet je kunnen: Je moet een tabel of lijst kunnen opstellen om het aantal kratten per laag te visualiseren. Je moet de som van een reeks getallen kunnen berekenen, mogelijk door herkenning van een rekenkundige rij of door directe optelling. Je moet de totale berekening logisch kunnen opbouwen en uitvoeren. Waar op letten: Je moet goed de structuur van de krattenbrug begrijpen: twee torens en een middendeel. Zijn de torens identiek? Je moet het patroon van het aantal kratten per laag in de torens correct identificeren en toepassen. Is dit een rekenkundige rij of iets anders? Je moet zorgvuldig het aantal lagen per onderdeel tellen. Hoeveel lagen heeft elke toren? Hoeveel lagen zijn er in het middendeel? Je moet alle onderdelen van de brug (torens en middendeel) meenemen in je totale berekening. Je moet pas aan het einde afronden, als dat nodig is. In dit geval is het aantal kratten een geheel getal. Kernbegrippen: rekenkundige rij, sommatie, modelleren met formules, stapsgewijs berekenen Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/19 ## Vraag 20 – Vraag Op de foto is te zien dat de krattenbrug over een rivier is gebouwd. Deze rivier, de Dommel, stroomt midden onder de brug door. In de figuur is de situatie schematisch weergegeven in een assenstelsel. In deze figuur zijn van de brug alleen de torens en de onderkant van de overspanning weergegeven. Deze onderkant noemen we de boog. figuur In de figuur is de grond als x-as genomen en gaat de y-as door het hoogste punt van de boog. Verder zijn de volgende gegevens bekend, zie de figuur: - De boog is 26,7 meter breed. - De maximale hoogte van de boog is 5,3 meter ten opzichte van de grond. - De Dommel is 9,0 meter breed. Voor de boog kan een formule worden opgesteld van de vorm y = a * x^2 + b Een persoon met een lengte van 1,90 meter loopt op een afstand van 1 meter van de waterkant onder de brug door. Onderzoek of deze persoon rechtop onder de brug door kan lopen. Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina. Wat kun je verwachten: Je krijgt een context met een schematische weergave van een brug. Je moet een kwadratische formule opstellen die de vorm van de boog beschrijft. Daarna gebruik je deze formule om een specifieke hoogte te berekenen en een conclusie te trekken. Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een kwadratische functie kennen (y = ax^2 + bx + c of y = ax^2 + b als de top op de y-as ligt). Je moet weten hoe je de parameters a en b bepaalt aan de hand van gegeven punten of eigenschappen van de parabool (zoals de top en snijpunten met de x-as). Wat moet je kunnen: Je moet coördinaten kunnen aflezen uit een beschrijving en deze kunnen invullen in een formule om onbekende parameters te vinden. Je moet een berekende waarde kunnen vergelijken met een gegeven waarde om een conclusie te trekken. Je moet nauwkeurig kunnen rekenen met decimalen en de juiste x-coördinaat kunnen bepalen op basis van de beschrijving van de locatie van de persoon. Waar op letten: Let goed op de plaatsing van het assenstelsel: de y-as gaat door het hoogste punt van de boog, wat betekent dat de top van de parabool op de y-as ligt. De breedte van de boog is 26,7 meter. Dit betekent dat de snijpunten met de x-as op x = -13,35 en x = 13,35 liggen, omdat de y-as in het midden ligt. De formule is van de vorm y = a * x^2 + b. Bedenk welke parameter direct af te lezen is uit de maximale hoogte en de plaatsing van de y-as. Lees de vraag goed: de persoon loopt op 1 meter *van de waterkant*. De Dommel is 9,0 meter breed. Bepaal de juiste x-coördinaat voor de persoon. Rond pas af in de laatste stap. Gebruik tussendoor voldoende decimalen voor nauwkeurigheid, vooral bij de waarde van 'a'. Kernbegrippen: kwadratische functies, parabool, formule opstellen, coördinatenstelsel toepassen Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/20 ## Vragen in dit examen ### Vraag 21 – Vraag Wat kun je verwachten: Je kunt een vraag verwachten waarbij je het aantal mogelijke combinaties of permutaties moet berekenen, vaak met specifieke voorwaarden of beperkingen. Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van combinatoriek kennen, zoals het vermenigvuldigingsprincipe en wanneer je moet delen door bijvoorbeeld faculteiten als de volgorde niet van belang is of objecten identiek zijn. Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om de context van de vraag te vertalen naar een combinatorisch probleem. Je moet systematisch de mogelijkheden kunnen tellen en eventuele beperkingen correct kunnen toepassen in je berekening. Waar op letten: Je moet goed onderscheid maken tussen horizontale en verticale gleuven en het aantal plaatsen per gleuf. Je moet rekening houden met de beperkingen die de rand van het speelbord met zich meebrengt voor het plaatsen van een muurtje. Je moet bedenken dat het plaatsen van het eerste muurtje invloed heeft op de mogelijkheden voor het tweede muurtje. Je moet goed nadenken over de volgorde van plaatsen: maakt het uit welk muurtje eerst wordt geplaatst? Je moet zorgvuldig tellen en vermenigvuldigen, en pas op het einde afronden (indien nodig, maar hier is een exact getal vereist). ## Opgaven (tekst van het examen) ### Pagina 1 Examen VWO 2024 tijdvak 2 donderdag 20 juni 13.30 - 16.30 uur wiskunde A Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden. Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt. Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. VW-1024-a-24-2-o ### Pagina 2 OVERZICHT FORMULES Differentiëren naam van de regel | functie | afgeleide ------- | -------- | -------- somregel | $s(x) = f(x) + g(x)$ | $s'(x) = f'(x) + g'(x)$ verschilregel | $v(x) = f(x) - g(x)$ | $v'(x) = f'(x) - g'(x)$ productregel | $p(x) = f(x) \cdot g(x)$ | $p'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$ quotiëntregel | $q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ | $$q'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$$ kettingregel | $k(x) = f(g(x))$ | $$k'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \text{ of } \frac{dk}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$$ Logaritmen regel | voorwaarde ------- | -------- $^g \log(a) + ^g \log(b) = ^g \log(ab)$ | $g>0, g \neq 1, a>0, b>0$ $^g \log(a) - ^g \log(b) = ^g \log(\frac{a}{b})$ | $g>0, g \neq 1, a>0, b>0$ $^g \log(a^p) = p \cdot ^g \log(a)$ | $g>0, g \neq 1, a>0$ $^g \log(a) = \frac{^p \log(a)}{^p \log(g)}$ | $g>0, g \neq 1, a>0, p>0, p \neq 1$ VW-1024-a-24-2-o | 2 / 14 | lees verder ► ► ► ### Pagina 3 Ga verder op de volgende pagina. VW-1024-a-24-2-o 3 / 14 lees verder ►►► ### Pagina 4 Duurzaamer douchen De laatste tientallen jaren wordt er door de overheid aandacht besteed aan duurzamer leven. Op de website milieucentraal.nl zijn onder andere de volgende tips over duurzamer douchen te vinden: - Gebruik een waterbesparende douchekop, die laat 7,2 liter water per minuut door in plaats van 10 liter water per minuut bij een gewone douchekop. - Douch korter, 5 minuten in plaats van 7,4 minuten. - Douch minder vaak, niet dagelijks, maar vijf keer per week en was je de andere twee keer bij de wastafel. Bij wassen bij de wastafel wordt gemiddeld maar 3 liter water per keer verbruikt. We bekijken een Nederlander die dagelijks 7,4 minuten met een gewone douchekop doucht. Deze persoon besluit alle hierboven genoemde tips op te volgen. Hierdoor neemt het waterverbruik per week flink af. 3p 1 Bereken met hoeveel procent het waterverbruik afneemt. Geef je antwoord in een geheel aantal procenten. Het water dat uit een douchekop komt, noemen we douchewater. In het vervolg van deze opgave nemen we het volgende aan: - De temperatuur van douchewater is gelijk aan 38 °C. - Tijdens een douchebeurt wordt 7,2 liter douchewater per minuut gebruikt. In de meeste huishoudens wordt voor douchewater koud water met warm water vermengd. De verhouding tussen de hoeveelheid koud en warm water bepaalt de temperatuur van het douchewater. Als er 3,2 liter koud water van 10 °C met 4 liter warm water van 60 °C vermengd wordt, ontstaat er 7,2 liter douchewater van afgerond 38 °C. 3p 2 Bereken in één decimaal nauwkeurig de temperatuur in °C van dit douchewater. VW-1024-a-24-2-o 4 / 14 lees verder ►►► ### Pagina 5 Water verwarmen kost energie. Door gebruik te maken van douche- warmteterugwinning kan er duurzamer worden gedoucht. Bij deze techniek wordt er uit het water dat het riool instroomt warmte gehaald, waardoor er minder energie nodig is om douchewater (van 38 °C) te verkrijgen. Het apparaat waarmee dit gebeurt, wordt een douche-wtw genoemd. Als er geen douche-wtw geïnstalleerd is, zijn de energiekosten tijdens een douchebeurt gemiddeld 5,8 cent per minuut. Als er wel een douche-wtw geïnstalleerd is, zijn de energiekosten voor een douchebeurt te berekenen met de formule $$K = 5,75 + 2,92t$$ Hierin is $K$ de energiekosten per douchebeurt in centen en $t$ de tijd in minuten die een douchebeurt duurt, met $t$ groter dan 0. Een vierpersoonshuishouden laat bij de verbouwing van de badkamer voor 650 euro een douche-wtw installeren. De energiekosten om douchewater te verkrijgen gaan hierdoor omlaag in vergelijking met de situatie zonder douche-wtw. We nemen aan dat alle vier de personen vijf dagen per week douchen en dat elke douchebeurt vijf minuten duurt. Op een bepaald moment zal dit huishouden met de douche-wtw in totaal net zoveel aan energiekosten voor het douchen bespaard hebben als dat de installatie van de douche-wtw gekost heeft. 4p 3 Bereken na hoeveel jaar dit het geval is. Geef je antwoord in één decimaal. VW-1024-a-24-2-0 5/14 lees verder ►►► ### Pagina 6 Wonen in New York Wonen in het centrum van een grote stad is in het algemeen duurder dan wonen buiten het centrum. In figuur 1 staan de huurprijzen per maand in 2016 van 1- en 3-kamerappartementen in New York, uitgezet tegen de reistijd met het openbaar vervoer tot 42nd Street, een van de belangrijkste straten in het commerciële centrum. Figuur 1 staat ook vergroot op de uitwerkbijlage. figuur 1 [FIGUUR: Scatterplot met op de x-as de reistijd in minuten en op de y-as de huurprijs per maand in dollars. Er zijn twee reeksen punten weergegeven: zwarte punten voor 1-kamerappartementen en witte punten voor 3-kamerappartementen.] • 3-kamerappartement • 1-kamerappartement Een punt in figuur 1 stelt niet de huurprijs van één appartement voor, maar de gemiddelde huurprijs van alle appartementen met dezelfde reistijd. Verhuurders van appartementen gebruiken soms de volgende vuistregel: Voor elke kamer meer in een appartement stijgt de huurprijs met ongeveer 25%. 3p 4 We bekijken appartementen met een reistijd van 25 minuten. Onderzoek met behulp van figuur 1 op de uitwerkbijlage of de gemiddelde huurprijs van deze appartementen aan bovenstaande vuistregel voldoet. VW-1024-a-24-2-o 6 / 14 lees verder ► ► ► ### Pagina 7 In \`figuur 2\` op de uitwerkbijlage zijn aan \`figuur 1\` twee trendlijnen toegevoegd. In het vervolg van deze opgave gaan we uit van deze trendlijnen en niet meer van de individuele datapunten. We bekijken een 1-kamerappartement met een reistijd van 15 minuten tot 42nd Street. Voor de huurprijs van dit appartement kun je ook een 3-kamerappartement huren. De reistijd tot 42nd Street vanaf dat 3-kamerappartement is wel langer dan de reistijd vanaf het 1-kamerappartement. 3p 5 Bepaal met behulp van \`figuur 2\` op de uitwerkbijlage hoeveel langer de reistijd vanaf dat 3-kamerappartement is. Licht je antwoord toe en geef je antwoord in hele minuten. De formule die past bij de trendlijn van de 3-kamerappartementen is: $$H = 20\,367 \cdot r^{-0,571}$$ Hierin is $H$ de huurprijs per maand van een 3-kamerappartement in dollars en $r$ de reistijd tot 42nd Street in minuten. 3p 6 Beredeneer aan de hand van de formule, zonder getallen in te vullen of een schets/tekening te maken, dat de huurprijs $H$ hoger wordt als de reistijd $r$ korter wordt. Voor 1-kamerappartementen is de formule van de trendlijn: $$P = 5800 - 2572 \cdot \log(r)$$ Hierin is $P$ de huurprijs per maand van een 1-kamerappartement in dollars en $r$ de reistijd tot 42nd Street in minuten. Er zijn in New York bewoners van een 1-kamerappartement met een bepaalde reistijd tot 42nd Street die theoretisch minstens $ 75 huur zouden kunnen besparen door één minuut verder weg van 42nd Street in een ander 1-kamerappartement te gaan wonen. Ofwel, voor deze bewoners geldt: als de reistijd tot 42nd Street met één minuut toeneemt, dan daalt de huurprijs met minstens $ 75. 3p 7 Onderzoek met behulp van de formule voor $P$ hoelang de reistijd van deze bewoners maximaal is. Geef je antwoord in hele minuten. VW-1024-a-24-2-o 7 / 14 lees verder ► ► ► ### Pagina 8 Daglengte Gedurende het hele jaar veranderen het tijdstip van zonsopkomst en het tijdstip van zonsondergang van dag tot dag. In de figuur zie je periodieke grafieken van de tijdstippen van de zonsopkomst en de zonsondergang in De Bilt voor een jaar met 365 dagen. In de figuur is geen rekening gehouden met de zomertijd. figuur [FIGUUR: Grafiek met op de y-as "tijdstip" (van 0 tot 20) en op de x-as "t" (van 0 tot 350). Twee curve lopen door de grafiek: de bovenste curve heet $T_{onder}$ en de onderste heet $T_{op}$.] Het meest vroege tijdstip waarop de zon onder gaat is op 12 december om 16:30 uur. Het meest late tijdstip dat de zon onder gaat is in de zomer om 21:00 uur. Met behulp van deze gegevens kan voor het tijdstip van de zonsondergang een model opgesteld worden van de vorm $$T_{\text{onder}} = a + b \cdot \sin(c(t - d))$$ Hierin is $T_{\text{onder}}$ het tijdstip van de zonsondergang in uren en $t$ de tijd in gehele dagen met $t=0$ op 1 januari. Bijvoorbeeld bij 12 december hoort $t=345$. Dit geeft $T_{\text{onder}} = 16,5$ dus de zon gaat dan onder om 16:30 uur. Na afronding van $c$ en $d$ geldt: $T_{\text{onder}} = 18,75 + 2,25 \sin(0,0172(t - 71))$. 3p 8 Laat zien hoe de waarden van $a, b, c$ en $d$ uit de gegevens volgen. VW-1024-a-24-2-o 8 / 14 lees verder ► ► ► ### Pagina 9 Het model voor het tijdstip van de zonsopkomst is: $T_{op} = 6,58 + 2,25\sin(0,0172(t-272))$ Hierin is $T_{op}$ het tijdstip van de zonsopkomst in uren en $t$ de tijd in gehele dagen met $t = 0$ op 1 januari. 3a (4p) 9 Bereken hoeveel dagen van het jaar de zonsopkomst in De Bilt vóór 06:30 uur plaatsvindt. Het meest vroege tijdstip van zonsopkomst valt later in het jaar dan het meest late tijdstip van de zonsondergang. 3p 10 Bereken hoeveel dagen later. Doordat het tijdstip van zonsopkomst en het tijdstip van zonsondergang gedurende het hele jaar veranderen, verandert gedurende het jaar ook de daglengte, dat is de tijd tussen zonsopkomst en zonsondergang. 4p 11 Op 21 maart begint op het noordelijk halfrond de lente. De daglengte neemt dan het meest toe. Bereken met hoeveel minuten per dag de daglengte in De Bilt toeneemt als de lente begint. Geef je antwoord in één decimaal. VW-1024-a-24-2-o 9 / 14 lees verder ►►► ### Pagina 10 Minder werken In 2020 publiceerde de onderzoeker Charlie Giattino de resultaten van een onderzoek naar de welvaart in een land. Welvaart is een maat voor hoe goed mensen het financieel hebben en wordt (vaak) uitgedrukt in dollars. Volgens zijn onderzoek was de verdubbelingstijd van de welvaart in Duitsland in de periode 1850-1940 gelijk aan 47 jaar. Verder volgde uit het onderzoek dat de welvaart in Duitsland vanaf 1950 bij benadering toeneemt volgens de formule: $$ W_{\text{D}} = 6742 \text{e}^{0,0315t} \quad \text{(formule 1)} $$ Hierin is $W_{\text{D}}$ de welvaart in Duitsland in dollars en $t$ de tijd in gehele jaren met $t=0$ het jaar 1950. De welvaart nam in de periode 1850-1940 langzamer toe dan dat hij sinds 1950 toeneemt. 4p 12 Bereken het verschil tussen de verdubbelingstijd van de welvaart in Duitsland in de periode 1850-1940 en de verdubbelingstijd sinds 1950. Geef je antwoord in gehele jaren. Giattino deed ook onderzoek naar het verband tussen de welvaart in een land en het aantal uren dat een werknemer in dat land gemiddeld per jaar werkt. Voor Duitsland wordt dit verband gegeven door de formule: $$ U_{\text{D}} = -529,4 \text{ln}(W_{\text{D}}) + 6983 \quad \text{(formule 2)} $$ Hierin is $U_{\text{D}}$ het aantal uren dat een werknemer in Duitsland gemiddeld per jaar werkt en $W_{\text{D}}$ de welvaart in Duitsland in dollars. Op basis van formule 2 concludeerde Giattino dat naarmate de welvaart toeneemt, het aantal gewerkte uren afneemt. Als de welvaart in Duitsland met 50% toeneemt, dan neemt het gemiddeld aantal gewerkte uren per werknemer per jaar met een vast aantal af. 3p 13 Bereken hoeveel uur dit volgens de formule voor $U_{\text{D}}$ is. Geef je antwoord in gehele uren. VW-1024-a-24-2-o 10 / 14 lees verder ► ► ► ### Pagina 11 iemand doet de volgende bewering: Als in Duitsland de welvaart toeneemt dan neemt het gemiddeld aantal gewerkte uren per werknemer per jaar sneller af bij een hogere welvaart dan bij een lagere welvaart. 4p 14 Beredeneer aan de hand van een formule van de afgeleide van $U_D$, zonder getallen in te vullen of een schets/tekening te maken, of deze bewering juist is. Door formule 1 en formule 2 te combineren, kan een formule opgesteld worden die het verband benadert tussen het gemiddeld aantal gewerkte uren per werknemer per jaar in Duitsland en het jaar. Deze formule is van de vorm $U_D = pt + q$. 5p 15 Stel deze formule op. Geef $p$ in drie decimalen en $q$ als een geheel getal. In Nederland groeit de welvaart bij benadering ook exponentieel sinds 1950. In 1960 was de welvaart in Nederland $ $ 11 529$ en in 2000 was dat $ $ 34 497$. Uit de gegevens volgt dat de welvaart in Nederland kan worden beschreven met de formule: $W_N = 8766 \cdot 1,028^t$ (formule 3) Hierin is $W_N$ de welvaart in Nederland in dollars en $t$ de tijd in gehele jaren met $t=0$ het jaar 1950. 4p 16 In formule 3 is de beginhoeveelheid afgerond op helen tot 8766 en de jaarlijkse groeifactor is afgerond op drie decimalen tot 1,028. Bereken de beginhoeveelheid in één decimaal en de jaarlijkse groeifactor in vier decimalen. In 1950 was de welvaart in Nederland groter dan in Duitsland. Bovendien nam de welvaart in Nederland toen sneller toe dan die in Duitsland. Decennia later haalde de welvaart in Duitsland die in Nederland in. Hieruit volgt dat vanaf een bepaald moment de welvaart in Duitsland sneller toenam dan die in Nederland. 4p 17 Bereken met behulp van de afgeleiden $\frac{dW_D}{dt}$ en $\frac{dW_N}{dt}$ vanaf welk jaar dit het geval was. VW-1024-a-24-2-o 11 / 14 lees verder ►►► ### Pagina 12 Krattenbrug Studenten van de Technische Universiteit Eindhoven hebben in 2016 een brug van kratten gebouwd. Zie de foto. Naast de foto zie je ook een afbeelding van een computeranimatie uit de ontwerpfase van de krattenbrug. foto [FIGUUR: Foto van een brug gebouwd uit kratten, met veel publiek op de achtergrond.] afbeelding [FIGUUR: Computeranimatie van een architectonisch ontwerp voor een brug van kratten.] De krattenbrug bestaat uit twee even grote torens met daartussen een overspanning. Elke toren bestaat uit 29 lagen gestapelde kratten. De bovenste laag geven we nummer 1, de laag direct daaronder nummer 2, enzovoorts. Voor de bovenste 11 lagen geldt voor het aantal kratten per laag: $A(n) = 3,5n + 3,5$ voor lagen met een oneven nummer $A(n) = 3,5n + 3$ voor lagen met een even nummer Hierin is $A(n)$ het aantal kratten en $n$ het nummer van de laag. 3p 18 Elke laag (behalve de bovenste laag natuurlijk) met een oneven nummer heeft eenzelfde aantal kratten meer dan de direct daarboven gelegen laag met een even nummer. Toon dit, zonder gebruik te maken van een getallenvoorbeeld, aan. 4p 19 Neem aan dat voor de overspanning in totaal 4950 kratten zijn gebruikt. Voor beide torens geldt dat laag 12 tot en met laag 29 elk evenveel kratten bevatte als laag 11. Bereken het totaal aantal kratten in de hele krattenbrug. VW-1024-a-24-2-o 12 / 14 lees verder ►►► ### Pagina 13 Op de foto is te zien dat de krattenbrug over een rivier is gebouwd. Deze rivier, de Dommel, stroomt midden onder de brug door. In de figuur is de situatie schematisch weergegeven in een assenstelsel. In deze figuur zijn van de brug alleen de torens en de onderkant van de overspanning weergegeven. Deze onderkant noemen we de boog. figuur [FIGUUR: Schematische doorsnede van een brug over een rivier. De rivier (Dommel) is 9,0 meter breed en de boog heeft een maximale hoogte van 5,3 meter boven de rivier. De totale breedte van de brug op grondniveau is 26,7 meter. De x-as loopt langs de grond en de y-as door het hoogste punt van de boog.] In de figuur is de grond als x-as genomen en gaat de y-as door het hoogste punt van de boog. Verder zijn de volgende gegevens bekend, zie de figuur: - De boog is 26,7 meter breed. - De maximale hoogte van de boog is 5,3 meter ten opzichte van de grond. - De Dommel is 9,0 meter breed. Voor de boog kan een formule worden opgesteld van de vorm $y = a \cdot x^2 + b$. Een persoon met een lengte van 1,90 meter loopt op een afstand van 6 meter van de waterkant onder de brug door. 5p 20 Onderzoek of deze persoon rechtop onder de brug kan lopen. Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina. VW-1024-a-24-2-o 13 / 14 lees verder ► ► ► ### Pagina 14 Quoridor In deze opgave bekijken we de tweepersoonsvariant van het spel Quoridor dat gespeeld wordt met een witte en een zwarte pion en meerdere muurtjes op een speelbord van negen bij negen velden. Zie foto 1. [FIGUUR: Een deel van een schaakbord met een zwarte pion en twee witte muurtjes.] foto 1 Het doel van het spel is om met je pion zo snel mogelijk de overkant van het speelbord te bereiken. Om beurten doen de spelers een zet. Een zet bestaat uit het verplaatsen van de eigen pion of het neerzetten van een nieuw muurtje. In deze opgave kijken we alleen naar het neerzetten van de eerste twee muurtjes waarbij de pionnen niet verplaatst worden. De velden zijn vierkantjes en de muurtjes worden in gleuven tussen de velden neergezet. De muurtjes zijn identiek en even lang als twee velden en één gleuf. De muurtjes worden zo neergezet dat zich aan elke zijde van het muurtje precies twee velden en een gleuf bevinden. Zie foto 2. De letters in foto 2 staan niet echt op het speelbord, maar die zijn toegevoegd om de velden een naam te geven. [FIGUUR: Vier velden van een schaakbord met de letters A, E, B, F, C, G, D, H erop.] foto 2 Muurtjes kunnen niet geheel of gedeeltelijk over elkaar heen neergezet worden, daarom zijn er met elk neergezet muurtje minder mogelijkheden om een volgend muurtje neer te zetten. Het muurtje op foto 2 staat ergens midden op het speelbord. Het volgende muurtje kan niet op een van de volgende vier plaatsen neergezet worden: rechts van A en B, rechts van B en C, rechts van C en D, onder B en F. Als het eerste muurtje ergens midden op het bord neergezet is, dan zijn er dus vier plaatsen minder om het tweede muurtje neer te zetten. Grenst het eerste muurtje met een uiteinde aan de rand van het speelbord, dan zijn er drie plaatsen minder om het tweede muurtje neer te zetten. 6p 21 Breken op hoeveel manieren de eerste twee muurtjes neergezet kunnen worden. Op foto 1 zie je een mogelijke situatie waarin beide spelers een muurtje hebben neergezet en de witte en zwarte pion nog op hun startpositie staan. Bronvermelding Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen behorende correctievoorschrift. VW-1024-a-24-2-o 14 / 14 einde