# Eindexamen Wiskunde A VWO 2024 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1

## Vraag 1 – Vraag

In de figuur kun je zien dat geluid met een toonhoogte van 100 Hz en een niveau van 130 dB op de pijngrens ligt en dus erg onaangenaam is voor het menselijk oor.
In de figuur kun je ook zien dat er bij een geluidsniveau van 10 dB geluiden met verschillende toonhoogtes zijn die precies op de gehoordrempel liggen.
Bepaal met behulp van de figuur welke toonhoogtes hier worden bedoeld.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een grafiek moet aflezen en specifieke waarden moet bepalen op basis van gegeven criteria. Je zult snijpunten van lijnen moeten identificeren en de coördinaten daarvan moeten interpreteren.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een grafiek met een logaritmische schaal correct afleest. Je moet ook de betekenis van de assen en de verschillende lijnen in de grafiek begrijpen.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig punten op een grafiek kunnen lokaliseren en de bijbehorende waarden op zowel de horizontale als de verticale as kunnen aflezen. Je moet in staat zijn om de logaritmische schaal correct te interpreteren om de juiste toonhoogtes te bepalen.

Waar op letten: Let goed op de schaalverdeling van de horizontale as; dit is een logaritmische schaal, wat betekent dat de afstanden tussen de getallen niet lineair zijn.
Identificeer de lijn die de 'gehoordrempel' representeert in de figuur.
Zoek de horizontale lijn die overeenkomt met een geluidsniveau van 10 dB.
Bepaal nauwkeurig de snijpunten van de 10 dB-lijn met de gehoordrempel-lijn.
Lees bij elk snijpunt de bijbehorende waarde op de horizontale as (toonhoogte in Hz) af.

Kernbegrippen: aflezen van een grafiek, logaritmische schaal

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/1

## Vraag 2 – Vraag

Bij popconcerten en in discotheken is er vaak een erg hoog geluidsniveau. In een artikel over gehoorschade bij jongeren staan de tips en tricks zoals vermeld in onderstaande tekst.

Tips & Tricks
- De vuistregel is dat je acht uur lang zonder problemen 80 dB op je oren kunt hebben. Bij een toename van het geluidsniveau van 3 dB halveert de tijd. Dus: vier uur lang bij 83 dB, twee uur lang bij 86 dB, enzovoort.
- Goede oordoppen kunnen het geluid tijdens een dancefeest of concert dempen tot een geluidsniveau van 80 dB. Het geluidsniveau tijdens zulke gelegenheden is vaak zo hoog dat een aantal minuten zonder doppen al schade kan opleveren.

Uit bovengenoemde vuistregel volgt het exponentiele verband T = 8 · g^(D-80) tussen de maximale tijd T in uren die je zonder gehoorschade ergens kunt zijn en het geluidsniveau D in dB. De groeifactor g is bij benadering 0,79.

Bereken deze groeifactor in drie decimalen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een context over geluidsniveaus en gehoorschade, waarbij een exponentieel verband wordt beschreven. Je moet een gegeven vuistregel gebruiken om de groeifactor van dit verband te berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een exponentieel verband inhoudt en hoe een groeifactor werkt. Je moet ook begrijpen hoe een verandering in de onafhankelijke variabele (geluidsniveau) de afhankelijke variabele (tijd) beïnvloedt via de groeifactor.

Wat moet je kunnen: Je moet een tekstuele beschrijving (vuistregel) kunnen omzetten in een wiskundige vergelijking. Je moet exponentiële vergelijkingen kunnen oplossen om een onbekende groeifactor te vinden. Tot slot moet je correct kunnen afronden op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Je moet de vuistregel correct vertalen naar een wiskundige vergelijking.
Je moet goed begrijpen wat 'halveert de tijd' betekent voor de groeifactor.
Je moet de toename van het geluidsniveau (3 dB) correct koppelen aan de exponent in de groeifactor.
Je moet de vergelijking correct oplossen om de groeifactor te vinden.
Je moet het eindantwoord afronden op het gevraagde aantal decimalen (drie decimalen).

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor, vergelijking oplossen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/2

## Vraag 3 – Vraag (3 punten)

3p 3 Bereken met behulp van de formule T = 8.0,79D-80 hoeveel gehele minuten je maximaal zonder oordoppen in een discotheek met een geluidsniveau van 100 dB aanwezig kunt zijn zonder dat dat gehoorschade oplevert. Door het trillen van de lucht hoor je geluid. Deze trillingen veroorzaken een kleine variatie in de luchtdruk. Deze variatie in luchtdruk wordt geluidsdruk p genoemd. Het is mogelijk om de geluidsdruk te meten en hiermee het bijbehorende geluidsniveau D vast te stellen. Daarvoor wordt gebruikgemaakt van de volgende formule: D = 20.log(p)-26,02 In deze formule is p de geluidsdruk, gemeten in µPa (micropascal), en D weer het geluidsniveau in dB.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een gegeven waarde invult in een exponentiële formule en het resultaat vervolgens omrekent naar een andere eenheid en op de juiste manier afrondt.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een waarde invult in een formule met een exponent en hoe je eenheden omrekent (uren naar minuten).

Wat moet je kunnen: Je moet een exponentiële formule kunnen toepassen, eenheden kunnen omrekenen en het resultaat correct kunnen interpreteren en afronden volgens de vraagstelling ('maximaal gehele minuten').

Waar op letten: Let goed op welke formule je moet gebruiken. Er staan twee formules in de tekst, maar slechts één is relevant voor de vraag.
Controleer de eenheden: de berekende tijd T is in uren. Je moet dit omrekenen naar minuten.
Lees goed wat er gevraagd wordt: 'hoeveel gehele minuten je maximaal'. Dit betekent dat je naar beneden moet afronden als je een decimaal getal krijgt.
Voer de berekening nauwkeurig uit, vooral bij het invullen van de exponentiële formule.

Kernbegrippen: exponentiële functie, eenheden omrekenen, interpreteren en afronden

Veelgemaakte fouten:
- eenheid vergeten om te rekenen (uur naar minuut)
- verkeerd afronden (naar boven i.p.v. naar beneden voor 'maximaal gehele minuten')

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/3

## Vraag 4 – Vraag

Door het trillen van de lucht hoor je geluid. Deze trillingen veroorzaken een kleine variatie in de luchtdruk. Deze variatie in luchtdruk wordt geluidsdruk p genoemd. Het is mogelijk om de geluidsdruk te meten en hiermee het bijbehorende geluidsniveau D vast te stellen. Daarvoor wordt gebruikgemaakt van de volgende formule:
D = 20·log(p) - 26,02
In deze formule is p de geluidsdruk, gemeten in µPa (micropascal), en D weer het geluidsniveau in dB.

Bereken de geluidsdruk die hoort bij een geluid met een geluidsniveau van 70 dB. Geef je antwoord in hele duizendtallen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule met een logaritme en je moet een variabele oplossen. Je moet dus een logaritmische vergelijking oplossen.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van logaritmen kennen, met name de relatie tussen logaritmen en machten van 10. Je moet ook de volgorde van bewerkingen (algebra) beheersen.

Wat moet je kunnen: Je moet een logaritmische vergelijking algebraïsch kunnen oplossen. Dit betekent dat je de logaritmische term isoleert en vervolgens de inverse bewerking (10 tot de macht) toepast om de variabele te vinden. Daarna rond je het antwoord correct af.

Waar op letten: Zorg ervoor dat je de juiste waarde (70 dB) op de juiste plek (D) in de formule invult.
Isoleer de term met de logaritme (log(p)) stap voor stap.
Gebruik de definitie van logaritme (log(x) = y is equivalent aan 10^y = x) om p te vinden.
Rond pas aan het einde af op hele duizendtallen, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: logaritmische vergelijking oplossen, algebraïsche vaardigheden, rekenen met logaritmen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/4

## Vraag 5 – Vraag

Iemand doet de volgende bewering:
“Volgens de formule D = 20·log(p)−26,02 geldt: wanneer de geluidsdruk verdubbelt, neemt het geluidsniveau toe met (ongeveer) 6 dB.”
Toon met behulp van de rekenregels voor logaritmen aan dat deze bewering klopt.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule met een logaritme en je moet aantonen dat een verandering in de invoer (geluidsdruk) leidt tot een specifieke verandering in de uitvoer (geluidsniveau). Dit doe je door de rekenregels van logaritmen toe te passen.

Wat moet je kennen: Je moet de rekenregels voor logaritmen kennen, in het bijzonder de regel voor het logaritme van een product: log(a*b) = log(a) + log(b). Ook moet je weten hoe je een logaritme met grondtal 10 (log) op je rekenmachine berekent.

Wat moet je kunnen: Je moet een algebraïsch bewijs kunnen opstellen door de formule te manipuleren met behulp van logaritmische rekenregels. Je moet de nieuwe situatie (verdubbelde druk) in de formule kunnen substitueren en het verschil met de oorspronkelijke situatie kunnen uitdrukken.

Waar op letten: Je moet de rekenregels voor logaritmen correct toepassen, met name log(a*b) = log(a) + log(b).
Je mag geen getallenvoorbeelden gebruiken; de vraag vraagt om een algebraïsche aanpak.
Let op de factor 20 die voor de logaritme staat; deze moet je meenemen in je berekening.
Je moet de toename in geluidsniveau (in dB) berekenen als de geluidsdruk verdubbelt.
Rond pas af in de laatste stap om de 'ongeveer 6 dB' te bevestigen.

Kernbegrippen: logaritmen, rekenregels voor logaritmen, algebraïsch aantonen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/5

## Vraag 6 – Vraag (3 punten)

3p 6 Een klein leeg plastic flesje weegt 17 gram. Dit flesje kan gevuld worden met in totaal 330 gram water. Bereken, gebruikmakend van bovenstaande formules voor V en M, hoeveel gram water in dit flesje gedaan moet worden voor de optimale vulling. Geef je antwoord in een geheel aantal grammen. Veel plastic flesjes kunnen gevuld worden met in totaal 500 gram water. Voor deze flesjes geldt voor het gewicht in gram G dat nodig is voor de optimale vulling: G=500·V. Voor deze flesjes kan met behulp van bovenstaande formules voor V en M een formule opgesteld worden, waarmee G direct berekend kan worden als het gewicht van het lege flesje (f) bekend is. Een formule voor G is: G = f · √1 + 500/f - f

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een aantal stappen moet doorlopen om tot het eindantwoord te komen. Je zult eerst een tussenvariabele (M) moeten berekenen, deze vervolgens gebruiken om een andere variabele (V) te bepalen, en tot slot met V de gevraagde hoeveelheid water berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je formules met meerdere variabelen correct invult en uitrekent. Je moet ook begrijpen wat de verschillende variabelen in de context van de vraag betekenen (bijvoorbeeld dat V een vullingsgraad is en niet direct de hoeveelheid water).

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om de gegeven waarden (leeggewicht en maximale watercapaciteit) correct te identificeren en te substitueren in de formules. Je moet ook nauwkeurig kunnen rekenen en afronden volgens de instructies in de vraag.

Waar op letten: Let goed op de volgorde van de berekeningen: eerst M, dan V, en dan pas de uiteindelijke hoeveelheid water.
Rond tussenantwoorden niet te vroeg af; gebruik de volledige waarden in je rekenmachine om de nauwkeurigheid te bewaren.
Verwar de berekende vullingsgraad V niet met de gevraagde hoeveelheid water in grammen; V is een percentage of fractie van de totale capaciteit.
Controleer of je de juiste variabelen (w en f) op de juiste plek in de formules invult.
Geef je eindantwoord als een geheel aantal grammen, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: formules substitueren, rekenen met variabelen

Veelgemaakte fouten:
- V (vullingsgraad) verwarren met de gevraagde hoeveelheid water in gram
- te vroeg afronden van tussenantwoorden
- verkeerd interpreteren van de variabelen w en f

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/6

## Vraag 7 – Vraag (3 punten)

Veel plastic flesjes kunnen gevuld worden met in totaal 500 gram water. Voor deze flesjes geldt voor het gewicht in gram G dat nodig is voor de optimale vulling: G = 500 · V. Voor deze flesjes kan met behulp van bovenstaande formules voor V en M een formule opgesteld worden, waarmee G direct berekend kan worden als het gewicht van het lege flesje (f) bekend is. Een formule voor G is:

G = f · sqrt(1 + 500/f) - f

Geef de herleiding van deze formule voor G uit de gegeven formules voor V en M en G = 500 · V.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je meerdere formules moet combineren en algebraïsch moet herleiden tot een nieuwe formule. Dit test je vaardigheid in het manipuleren van algebraïsche uitdrukkingen met breuken en wortels.

Wat moet je kennen: Je moet de basisregels van algebra kennen, zoals het substitueren van variabelen, het vereenvoudigen van breuken (delen door een breuk), en het uitwerken van haakjes met worteluitdrukkingen.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om een complexe formule stap voor stap te herleiden naar een eenvoudigere vorm. Je moet nauwkeurig kunnen werken met algebraïsche uitdrukkingen en de juiste volgorde van bewerkingen toepassen.

Waar op letten: Je moet de formules correct substitueren, dus de uitdrukking voor V in de formule voor G plaatsen.
Je moet zorgvuldig omgaan met breuken en het vereenvoudigen daarvan. Denk aan 'delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde'.
Je moet de wortelterm correct behandelen en de distributieve eigenschap toepassen bij het uitwerken van haakjes.
Je moet alle stappen van de herleiding duidelijk opschrijven, zodat je redenering te volgen is.
Je moet controleren of je eindformule exact overeenkomt met de gevraagde formule.

Kernbegrippen: algebraïsche vaardigheden, formules herleiden, substitutie

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/7

## Vraag 8 – Vraag (4 punten)

In een grote plastic fles kan meer water ten opzichte van het gewicht van de fles dan in een klein plastic flesje. Hierdoor neemt M toe naarmate de grootte van de fles toeneemt.

De optimale vullingsgraad van kleine plastic flessen kan vergeleken worden met die van grote plastic flessen met behulp van de afgeleide dV/dM.

4p 8 Schets de grafiek van dV/dM en beredeneer aan de hand van deze schets of de optimale vullingsgraad toeneemt of afneemt naarmate de grootte van de fles toeneemt.

Wat kun je verwachten: Je moet een schets maken van een afgeleide functie en op basis daarvan een conclusie trekken over de oorspronkelijke functie in de context van de vraag.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een afgeleide functie betekent in relatie tot de oorspronkelijke functie (stijgen/dalen). Je moet ook weten hoe je een afgeleide functie kunt plotten met je grafische rekenmachine.

Wat moet je kunnen: Je kunt de afgeleide van een functie bepalen en plotten met je grafische rekenmachine. Je kunt een schets maken van een grafiek op basis van de plot op je GR. Je kunt het verband leggen tussen het teken van de afgeleide en het stijgen of dalen van de oorspronkelijke functie. Je kunt je wiskundige conclusie vertalen naar de context van de vraag.

Waar op letten: Verwar de grafiek van V niet met de grafiek van dV/dM. Het zijn twee verschillende functies.
Let goed op het teken van dV/dM (positief of negatief) om te bepalen of V stijgt of daalt. Het stijgen of dalen van dV/dM zelf is hier niet direct relevant voor de conclusie over V.
Zorg ervoor dat je schets duidelijk de vorm en de ligging ten opzichte van de x-as weergeeft.
Koppel je conclusie over het stijgen/dalen van V altijd terug naar de context van de 'optimale vullingsgraad' en 'grootte van de fles (M)'.
Vergeet niet te beschrijven hoe je de afgeleide met de GR bepaalt, dit is een punt waard.

Kernbegrippen: afgeleide functie, grafiek schetsen, dalende functie, grafische rekenmachine

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van de grafiek van V met de grafiek van dV/dM
- Onjuiste conclusie trekken uit de vorm van de grafiek (bv. het stijgen/dalen van dV/dM zelf interpreteren in plaats van het teken)
- Vergeten de conclusie terug te koppelen naar de context van de vraag

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/8

## Vraag 9 – Vraag (4 punten)

4p 9 Onderzoek hoeveel verschillende samenstellingen er voor een drieling bestaan als je let op geslacht en op de drie manieren waarop een drieling kan ontstaan. Licht je antwoord toe. Bij de opkomst van de zogeheten IVF-techniek¹) eind jaren tachtig van de vorige eeuw werden vaak meerdere bevruchte eicellen teruggeplaatst om de slagingskans van IVF te vergroten. Hierdoor nam in verhouding het aantal drie(-plus)lingen (een meerling van drie of meer kinderen) ook toe. In 1980 waren er in Nederland 180517 geboorten, waarvan slechts 25 van een drie(-plus)ling. In 1991 waren er in Nederland van de 196 698 geboorten 124 drie(-plus)linggeboorten.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je systematisch alle mogelijke combinaties moet tellen. Je moet de verschillende scenario's goed uit elkaar houden en geen mogelijkheden missen of dubbel tellen.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van combinatoriek kennen, met name hoe je systematisch alle mogelijkheden kunt inventariseren. Je moet ook het verschil tussen eeneiige, twee-eiige en drie-eiige drielingen begrijpen in relatie tot geslacht en genetische identiteit.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om een complexe telprobleem op te splitsen in kleinere, overzichtelijke deelproblemen. Je moet logisch kunnen redeneren over de verschillende combinaties van geslacht en ontstaanswijze en deze nauwkeurig kunnen noteren om tot het juiste totaal te komen.

Waar op letten: Lees goed dat je moet letten op 'geslacht' én 'de drie manieren waarop een drieling kan ontstaan'. Dit zijn de twee hoofdcriteria.
Maak een duidelijke opsplitsing per ontstaanswijze (eeneiig, twee-eiig, drie-eiig) en tel de mogelijkheden per categorie.
Bedenk bij een eeneiige drieling dat alle kinderen hetzelfde geslacht hebben en genetisch identiek zijn.
Bedenk bij een twee-eiige drieling dat twee kinderen genetisch identiek zijn en het derde kind niet. Dit derde kind kan een ander geslacht hebben dan de eeneiige tweeling.
Bedenk bij een drie-eiige drieling dat alle drie de kinderen genetisch verschillend zijn en dus onafhankelijk van elkaar een geslacht kunnen hebben.
Tel aan het einde alle unieke samenstellingen bij elkaar op.

Kernbegrippen: systematisch tellen, combinatoriek, casussen onderscheiden

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten onderscheid te maken tussen de drie ontstaanswijzen.
- Foutieve telling van mogelijkheden binnen een casus, bijvoorbeeld bij de twee-eiige drieling.
- De verschillende genetische achtergronden van ogenschijnlijk dezelfde geslachtssamenstelling (bv. JJM) niet meerekenen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/9

## Vraag 10 – Vraag

Bij de opkomst van de zogeheten IVF-techniek¹) eind jaren tachtig van de vorige eeuw werden vaak meerdere bevruchte eicellen teruggeplaatst om de slagingskans van IVF te vergroten. Hierdoor nam in verhouding het aantal drie(-plus)lingen (een meerling van drie of meer kinderen) ook toe.

In 1980 waren er in Nederland 180 517 geboorten, waarvan slechts 25 van een drie(-plus)ling. In 1991 waren er in Nederland van de 196 698 geboorten 124 drie(-plus)linggeboorten.

Bereken met hoeveel procent het percentage drie(-plus)lingen in 1991 is toegenomen ten opzichte van het percentage drie(-plus)lingen in 1980. Geef je antwoord in gehele procenten.

noot 1 Bij de IVF-techniek worden eicellen in het laboratorium bevrucht en vervolgens in de baarmoeder teruggeplaatst.

Wat kun je verwachten: Je berekent percentages en vervolgens een procentuele toename. Dit is een veelvoorkomend type vraag waarbij je nauwkeurig moet rekenen met verhoudingen en procenten.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor het berekenen van een percentage kennen, namelijk (deel / geheel) * 100%. Ook moet je de formule voor procentuele toename of afname kennen: ((nieuw - oud) / oud) * 100%.

Wat moet je kunnen: Je moet de relevante gegevens uit de tekst kunnen halen en deze correct kunnen invullen in de formules. Je moet nauwkeurig kunnen rekenen met decimalen en pas op het einde correct kunnen afronden op een geheel percentage.

Waar op letten: Bereken eerst de percentages voor 1980 en 1991 afzonderlijk. Let op dat je de juiste getallen bij elkaar zoekt.
Gebruik de correcte formule voor procentuele toename: ((nieuw - oud) / oud) * 100%.
Rond percentages pas af in de allerlaatste stap, anders kunnen afrondingsfouten ontstaan. Gebruik tussendoor voldoende decimalen.
Let goed op de eenheid: het antwoord moet in gehele procenten worden gegeven.

Kernbegrippen: procentuele toename, rekenen met verhoudingen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/10

## Vraag 11 – Vraag

Algemeen wordt aangenomen dat de grootste meerling die op natuurlijke wijze kan ontstaan een negenling is. De Duitse onderzoeker Hellin voorspelde al in 1895 het volgende voor meerlingen bij natuurlijke zwangerschappen:
– Gemiddeld 1 op de 89 geboorten is de geboorte van een tweeling.
– Gemiddeld 1 op de 89^2 geboorten is de geboorte van een drieling.
– Gemiddeld 1 op de 89^3 geboorten is de geboorte van een vierling.
– Gemiddeld 1 op de 89^8 geboorten is de geboorte van een negenling.
Dit werd later door andere wetenschappers de wet van Hellin genoemd.
De getallen (1 op de) 89, 89^2, 89^3 , …, 89^8 in de wet van Hellin vormen een rij. Deze rij kan worden gebruikt om een formule op te stellen voor de rij P(n), waarbij P(n) het percentage n-ling-geboorten ten opzichte van het totale aantal geboorten is.
Een recursieve formule voor P(n) is:
P(n) = P(n-1), met P(2) = . Hierbij is n > 2.
Er kan ook een directe formule voor P(n) opgesteld worden.
3p 11 Stel een directe formule op voor P(n). Geef deze in de vorm P(n)=b·r^n.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een exponentiële formule moet opstellen die een meetkundige rij beschrijft. Je zult de gegeven informatie over de kansen op meerlingen moeten omzetten naar een percentage en vervolgens naar de gevraagde directe formule P(n) = b * r^n.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van meetkundige rijen en exponentiële formules kennen. Je moet ook de rekenregels voor machten beheersen, met name a^(x+y) = a^x * a^y en a^(-x) = 1/a^x. Daarnaast moet je weten hoe je een kans (1 op X) omzet naar een percentage.

Wat moet je kunnen: Je moet een directe formule kunnen opstellen op basis van een beschrijving van een rij. Je moet in staat zijn om de groeifactor (r) en de beginwaarde (b) te bepalen uit de context. Je moet ook algebraïsche manipulaties met machten kunnen uitvoeren om de formule in de gevraagde vorm te krijgen.

Waar op letten: Je moet goed begrijpen hoe je van '1 op de X' naar een percentage gaat. Denk aan vermenigvuldigen met 100.
Je moet de relatie tussen de n-ling en de exponent in de noemer (89^x) correct vaststellen. Is het n of n-1?
Je moet de rekenregels voor machten correct toepassen om de formule om te zetten naar de vorm P(n) = b * r^n. Let op het splitsen van machten.
Je moet de groeifactor 'r' en de beginwaarde 'b' correct identificeren of berekenen.
Je moet controleren of de opgestelde formule klopt voor de gegeven voorbeelden, zoals P(2) voor een tweeling.

Kernbegrippen: recursieve formule, directe formule, exponentiële groei, meetkundige rij, rekenregels voor machten

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/11

## Vraag 12 – Vraag

Er zijn tegenwoordig wetenschappers die aannemen dat bij een natuurlijke zwangerschap gemiddeld 1 op de 80 geboorten de geboorte van een tweeling is, 1 op de 80^2 de geboorte van een drieling, …, 1 op de 80^8 de geboorte van een negenling. We nemen hierbij aan dat de grootst mogelijke meerling een negenling is.
Bereken hoeveel procent van de geboorten in dat geval de geboorte van een eenling is. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je kunt een vraag verwachten waarbij je kansen moet optellen en vervolgens de complementaire kans moet berekenen. Het gaat hier om het correct interpreteren van de gegeven kansen en het toepassen van basisregels van kansrekening.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je kansen als breuken interpreteert en hoe je deze optelt. Ook moet je de complementregel kennen: P(gebeurtenis) = 1 - P(niet gebeurtenis).

Wat moet je kunnen: Je moet de kansen voor de verschillende meerlingen correct kunnen opschrijven en optellen. Vervolgens moet je de complementaire kans berekenen en het resultaat correct afronden en als percentage weergeven.

Waar op letten: Let goed op de notatie van de kansen: 1 op de 80, 1 op de 80^2, enzovoort. Dit zijn breuken.
Je moet de kansen voor alle meerlingen (van tweeling tot negenling) bij elkaar optellen.
Denk aan de complementregel: de som van alle mogelijke uitkomsten is 1 (of 100%).
Zet je uiteindelijke antwoord om naar een percentage en rond af op één decimaal, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: kansrekening, som van een reeks, complementregel, procenten

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/12

## Vraag 13 – Vraag

2p 13 Bereken hoeveel hectare grasland er nog was in Nederland in 2014. Geef je antwoord in duizenden hectares. Een van de weidevogelsoorten die het meest in aantal is afgenomen, is de veldleeuwerik. In de jaren vanaf 1990 tot en met 2000 bleef de procentuele afname per jaar ten opzichte van het jaar ervoor nagenoeg gelijk. Dit gold ook voor de jaren vanaf 2001 tot en met 2005. In figuur 1 zijn deze jaarlijkse procentuele afnames voor deze twee periodes weergegeven voor drie verschillende soorten gebieden: duingebieden, heidegebieden en agrarische gebieden. figuur 1 - jaarlijkse afname aantal veldleeuweriken in % -15 -10 -5 0 duingebieden heidegebieden agrarische gebieden Legenda: 2001-2005 1990-2000

Wat kun je verwachten: Je kunt een vraag verwachten waarbij je moet rekenen met procentuele veranderingen en absolute aantallen. Je moet mogelijk een oorspronkelijke waarde berekenen op basis van een deel en een percentage.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je procenten omzet naar decimalen en hoe je rekent met procentuele toe- of afname. Je moet ook begrijpen hoe je een oorspronkelijke waarde terugrekent als je een deel en het percentage van dat deel weet.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven informatie uit de tekst en eventuele figuren correct kunnen interpreteren. Je moet een berekening kunnen opzetten om de gevraagde hoeveelheid grasland te vinden en je antwoord correct kunnen afronden.

Waar op letten: Lees goed welke periode en welk type gebied relevant is voor de vraag.
Let op het verschil tussen een absolute afname en een procentuele afname.
Zorg dat je de procentuele afname correct omzet naar een decimaal getal (bijvoorbeeld 14% is 0.14).
Rond pas af in de allerlaatste stap, en dan op het gevraagde aantal duizenden hectares.
Controleer of je antwoord logisch is in de context van de vraag.

Kernbegrippen: procentuele verandering, rekenen met percentages

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/13

## Vraag 14 – Vraag

4p 14 In de figuur is bijvoorbeeld te zien dat in de jaren vanaf 2001 tot en met 2005 het aantal veldleeuweriken in duingebieden jaarlijks met 7,8% afnam. Bereken met behulp van figuur 1 hoeveel procent minder veldleeuweriken er in duingebieden waren in 2005 ten opzichte van het aantal in 1989. Geef je antwoord in gehele procenten.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een samengestelde procentuele verandering moet berekenen over meerdere periodes, waarbij je de benodigde informatie (jaarlijkse procentuele veranderingen) uit een grafiek moet halen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een procentuele afname omzet naar een groeifactor en hoe je groeifactoren combineert over verschillende periodes. Ook moet je weten hoe je het aantal jaren in een periode correct telt.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig percentages kunnen aflezen uit een staafdiagram. Je moet de groeifactor per periode kunnen berekenen en deze groeifactoren vervolgens tot de juiste macht verheffen en met elkaar vermenigvuldigen om de totale groeifactor te vinden. Ten slotte moet je de totale groeifactor weer kunnen omzetten naar een procentuele verandering en correct afronden.

Waar op letten: Let goed op de start- en eindjaren van de gevraagde periode (1989 t/m 2005) en de periodes die in de figuur worden gegeven (bijvoorbeeld 1990-2000 en 2001-2005).
Lees de percentages voor de jaarlijkse afname correct af uit de figuur voor elke relevante periode. Houd rekening met de afleesmarge.
Zet de afnamepercentages om naar groeifactoren. Een afname van 9,6% betekent een groeifactor van 1 - 0,096 = 0,904.
Bereken de juiste duur van elke periode in jaren. Bijvoorbeeld, van 1990 t/m 2000 zijn 11 jaar (2000 - 1990 + 1).
Rond pas af in de allerlaatste stap naar het gevraagde gehele percentage.

Kernbegrippen: procentuele verandering, groeifactor, samengestelde groei, aflezen van een staafdiagram

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/14

## Vraag 15 – Vraag

In figuur 2 zie je voor heel Nederland hoe het percentage veldleeuweriken zich in de jaren vanaf 1990 tot en met 2014 ontwikkelde ten opzichte van het totale aantal veldleeuweriken in 1990.

figuur 2
[grafiek van een dalende lijn met schommelingen, met op de y-as 'percentage ten opzichte van 1990' van 0 tot 120, en op de x-as 'jaartal' van 1990 tot 2014]

We voeren de variabelen P en t in. Hierin is P het percentage veldleeuweriken ten opzichte van het totale aantal veldleeuweriken in 1990 in Nederland en is t de tijd in jaren met t = 0 in het jaar 1990.
Ondanks de schommelingen kan het verband tussen P en t in de jaren vanaf 1990 tot en met 2005 goed benaderd worden met een meetkundige rij.
Uit figuur 2 valt af te lezen dat het totale aantal veldleeuweriken in Nederland in 2005 nog maar 40% was van het totale aantal veldleeuweriken in 1990.
Stel met behulp van dit gegeven een recursieve formule op voor de rij. Geef de getallen in je antwoord zo nodig in drie decimalen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je een grafiek moet interpreteren en op basis daarvan een wiskundig model moet opstellen. Je zult een recursieve formule moeten afleiden die een meetkundige rij beschrijft.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van een meetkundige rij kennen, inclusief de relatie tussen de directe formule (P(t) = P(0) * r^t) en de recursieve formule (P(t) = r * P(t-1)). Je moet ook weten hoe je een groeifactor over een langere periode kunt omrekenen naar een jaarlijkse groeifactor.

Wat moet je kunnen: Je moet gegevens uit een grafiek kunnen aflezen en deze omzetten naar getallen die je in een formule kunt gebruiken. Je moet een vergelijking kunnen opstellen om de groeifactor te vinden en deze vergelijking kunnen oplossen. Tot slot moet je de recursieve formule correct kunnen opschrijven met de juiste beginterm en afgeronde groeifactor.

Waar op letten: Je moet goed aflezen welke jaren bij t=0 en t=15 horen.
Je moet het percentage van 40% omzetten naar een groeifactor (0.4) voor de periode van 15 jaar.
Je moet de jaarlijkse groeifactor berekenen uit de groeifactor over 15 jaar.
Je moet de beginterm P(0) correct bepalen uit de context van 'percentage ten opzichte van 1990'.
Je moet de groeifactor afronden op drie decimalen, maar pas in de laatste stap van de formule.

Kernbegrippen: meetkundige rij, recursieve formule, groeifactor, exponentiële afname

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/15

## Vraag 16 – Vraag

4p 16 17 Het gewicht van een jonge veldleeuwerik heeft een grenswaarde. Beredeneer aan de hand van de formule voor G, dus zonder gebruik te maken van getallenvoorbeelden, hoe groot deze grenswaarde is. Het gewicht van jonge veldleeuweriken neemt in het begin steeds sneller toe naarmate de tarsuslengte toeneemt. Op een bepaald moment is deze toenamesnelheid maximaal. Bereken met behulp van de formule voor de afgeleide van G de maximale toenamesnelheid van het gewicht. Geef je antwoord in grammen per mm in één decimaal. noot 1 Men meet de tarsuslengte als een maat voor de leeftijd van de jonge veldleeuwerik omdat de leeftijd zelf moeilijk te bepalen valt.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een formule krijgt die een groeiproces beschrijft. Je moet het gedrag van deze formule op de lange termijn analyseren om een grenswaarde te bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe exponentiële functies zich gedragen als de variabele heel groot wordt, met name functies van de vorm e^(-kx) waarbij k > 0. Je moet ook het concept van een horizontale asymptoot kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet kunnen redeneren over het limietgedrag van een functie. Dit betekent dat je kunt uitleggen wat er met de functiewaarde gebeurt als de invoerwaarde (T in dit geval) oneindig groot wordt, zonder specifieke getallen in te vullen.

Waar op letten: Je moet de grenswaarde beredeneren, dus je mag geen getallenvoorbeelden gebruiken. Het gaat om het gedrag van de functie als de variabele (T) heel groot wordt.
Let goed op de exponentiële term (e^-0.307*T). Hoe gedraagt deze term zich als T heel groot wordt?
Vergeet niet de constante term die bij de breuk wordt opgeteld mee te nemen in je eindoordeel.
De eenheid van het gewicht is grammen.

Kernbegrippen: limiet, horizontale asymptoot, logistische groei, exponentiële functie

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/16

## Vraag 17 – Vraag (4 punten)

Het gewicht van jonge veldleeuweriken neemt in het begin steeds sneller toe naarmate de tarsuslengte toeneemt. Op een bepaald moment is deze toenamesnelheid maximaal.
Bereken met behulp van de formule voor de afgeleide van G de maximale toenamesnelheid van het gewicht. Geef je antwoord in grammen per mm in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule die een logistisch groeimodel beschrijft. Je moet de afgeleide van deze formule bepalen en vervolgens het maximum van die afgeleide vinden. Dit maximum representeert de maximale toenamesnelheid.

Wat moet je kennen: Je moet de regels voor differentiëren kennen, in het bijzonder de kettingregel voor functies zoals e^x en breukfuncties. Je moet ook weten dat de afgeleide de toenamesnelheid van een functie weergeeft en dat het maximum van de afgeleide de maximale toenamesnelheid is.

Wat moet je kunnen: Je moet een logistische functie kunnen differentiëren met behulp van de kettingregel. Vervolgens moet je de afgeleide functie correct invoeren in je grafische rekenmachine en de functionaliteit van je GR gebruiken om het maximum van deze functie te bepalen. Tot slot moet je het antwoord correct afronden en de juiste eenheid toevoegen.

Waar op letten: Let goed op dat je de kettingregel correct toepast bij het differentiëren van de logistische functie.
Controleer je mintekens zorgvuldig, vooral bij de exponentiële term.
Zorg ervoor dat je het maximum van de *afgeleide* functie bepaalt (dG/dT), en niet het maximum van de oorspronkelijke functie G(T).
Voer de afgeleide functie correct in je grafische rekenmachine in om het maximum te vinden.
Rond je eindantwoord pas op het allerlaatste moment af op één decimaal en vermeld de juiste eenheid (gram per mm).

Kernbegrippen: logistische groei, afgeleide functie, toenamesnelheid, maximum van een functie bepalen, kettingregel

Veelgemaakte fouten:
- fout in kettingregel
- vergeten van mintekens bij differentiëren
- fout bij invoeren in rekenmachine
- maximum van G bepalen in plaats van maximum van dG/dT
- niet afronden op één decimaal

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/17

## Vraag 18 – Vraag

In de grafiek kun je bijvoorbeeld aflezen dat honkballers van 21 jaar gemiddeld 0,4 miljoen dollar per jaar verdienen en honkballers van 28 jaar gemiddeld 2,6 miljoen dollar.
Uit de figuur blijkt dat het salaris tussen de 21 en 28 jaar nagenoeg exponentieel toeneemt. Het is, uitgaande van exponentiële groei, mogelijk een formule op te stellen van het verband tussen de leeftijd en het gemiddelde jaarsalaris van honkballers.
Stel met behulp van de gegevens van 21- en 28-jarige spelers een formule op voor het gemiddelde jaarsalaris S in duizenden dollars van honkballers van t jaar oud. Geef de getallen in je antwoord zo nodig in drie decimalen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een context waarin een hoeveelheid exponentieel groeit of afneemt. Je krijgt twee punten op de grafiek of in een tabel. Je moet de formule opstellen die dit verband beschrijft.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een exponentiële groeiformule kennen: N(t) = N(0) * g^t. Je moet ook weten hoe je een groeifactor per tijdseenheid berekent als je de groeifactor over een langere periode weet.

Wat moet je kunnen: Je kunt de groeifactor per tijdseenheid berekenen uit twee gegeven punten. Je kunt de beginwaarde (N(0)) berekenen door een van de gegeven punten in de formule in te vullen. Je kunt de uiteindelijke formule correct opschrijven met de juiste afronding en eenheden.

Waar op letten: Let goed op de eenheid van het salaris: de vraagtekst geeft 'miljoen dollar', maar de formule moet 'duizenden dollars' zijn. Dit betekent dat je de gegeven waarden moet omrekenen (0,4 miljoen = 400 duizend, 2,6 miljoen = 2600 duizend).
Je moet de groeifactor per jaar berekenen, niet per 7 jaar. Dit doe je door de zevendemachtswortel te trekken uit de groeifactor over 7 jaar.
Rond de groeifactor en de beginwaarde pas aan het einde af op drie decimalen. Gebruik tussendoor de onafgeronde waarden in je GR om afrondingsfouten te voorkomen.
Je kunt kiezen of je de formule opstelt met t=0 als startpunt (S = b * g^t) of met t=21 als startpunt (S = b * g^(t-21)). Beide zijn correct, zolang je de juiste beginwaarde bij het gekozen startpunt gebruikt.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor berekenen, formule opstellen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/18

## Vraag 19 – Vraag

Zo'n exponentiële benadering gaat ervan uit dat de salarissen steeds maar blijven stijgen, maar in de grafiek is duidelijk te zien dat de exponentiële stijging niet doorzet.
Een andere benadering van de salarissen van honkballers is de formule:
W = 5500 / (1+1600000·0,598ᵗ)
Hierbij is W het gemiddelde jaarsalaris in duizenden dollars en t de leeftijd in jaren.
Volgens de formule voor W zal het salaris naar een grenswaarde toe stijgen. In werkelijkheid nemen de salarissen vanaf een leeftijd van (ongeveer) 36 jaar juist weer af. Professionele honkballers van 39 jaar verdienen gemiddeld 4,54 miljoen dollar per jaar.
19 Bereken hoeveel procent lager dit salaris is dan de grenswaarde van W. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je zult een logistische formule analyseren om de grenswaarde te bepalen. Vervolgens vergelijk je een gegeven waarde met deze grenswaarde en bereken je een procentueel verschil.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je de grenswaarde van een logistische functie van de vorm y = A / (1 + B * g^t) afleest. Je moet ook de basisprincipes van procentuele berekeningen kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet de grenswaarde uit de formule kunnen afleiden. Je moet het gegeven salaris kunnen omrekenen naar de juiste eenheid (duizenden dollars). Je moet vervolgens de procentuele afname ten opzichte van de grenswaarde correct kunnen berekenen en afronden.

Waar op letten: Let goed op de eenheden: W is in duizenden dollars, terwijl het gegeven salaris in miljoenen dollars is. Zorg dat je deze consistent maakt.
Begrijp wat een grenswaarde is bij een logistische formule. Hoe vind je deze grenswaarde uit de gegeven formule?
Bereken de procentuele afname correct. Is het verschil gedeeld door de grenswaarde, of andersom?
Rond pas af in de allerlaatste stap naar één decimaal, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: logistische groei, grenswaarde, procentuele verandering, rekenen met eenheden

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/19

## Vraag 20 – Vraag

3p 20 Bereken met behulp van bovenstaande gegevens en figuur 2 hoeveel salaris Cody had moeten krijgen zodat zijn salaris per WAR-punt hetzelfde was als het gemiddelde van zijn leeftijdgenoten. Geef je antwoord in miljoenen dollars en rond in je antwoord af op twee decimalen. Let op: de laatste vragen van dit examen staat op de volgende pagina.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een waarde uit een staafdiagram moet aflezen en deze moet combineren met gegeven informatie om een nieuwe waarde te berekenen op basis van een verhouding.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je gegevens uit een staafdiagram correct afleest en hoe je met verhoudingen rekent om een 'salaris per WAR-punt' te bepalen.

Wat moet je kunnen: Je moet de gemiddelde WAR-waarde voor een specifieke leeftijd uit de staafdiagram kunnen aflezen. Je moet het gemiddelde salaris van leeftijdgenoten kunnen gebruiken om de gemiddelde verhouding 'salaris per WAR-punt' te berekenen. Vervolgens moet je deze verhouding kunnen toepassen op Cody's persoonlijke WAR-waarde om zijn hypothetische salaris te bepalen en dit correct afronden.

Waar op letten: Lees de juiste waarde af uit de staafdiagram voor de leeftijd van Cody's leeftijdgenoten. Let goed op de schaalverdeling.
Identificeer het gemiddelde salaris van Cody's leeftijdgenoten uit de tekst. Dit is een gegeven dat je direct kunt gebruiken.
Begrijp wat 'salaris per WAR-punt' betekent: dit is een verhouding (salaris / WAR-punt).
Gebruik Cody's eigen WAR-waarde om zijn 'nieuwe' salaris te berekenen, gebaseerd op de berekende verhouding.
Rond pas af op twee decimalen aan het einde van je berekening, zoals gevraagd in miljoenen dollars.

Kernbegrippen: verhoudingen, aflezen van een staafdiagram

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/20

## Vraag 21 – Vraag

9p 21 Onderzoek wat het maximale verschil is tussen de manieren waarop Manus en Jan Willem de waterstand benaderen. Geef je antwoord in hele millimeters. Bronvermelding Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen behorende correctievoorschrift. einde

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je eerst twee verschillende wiskundige modellen moet opstellen: een sinusfunctie en een lineaire functie. Daarna moet je het maximale verschil tussen deze twee functies bepalen, waarschijnlijk met behulp van je grafische rekenmachine. Tot slot moet je de eenheid van je antwoord omrekenen.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een sinusfunctie kennen (y = a + b sin(c(x-d))) en weten hoe je de parameters a, b, c en d afleidt uit gegeven informatie zoals maximum, minimum, periode en faseverschuiving. Je moet ook de basisprincipes van de twaalfdelenregel kennen en hoe je een lineaire functie opstelt. Daarnaast moet je weten hoe je eenheden omrekent (cm naar mm).

Wat moet je kunnen: Je moet een sinusfunctie kunnen opstellen aan de hand van een context. Je moet een lineaire functie kunnen opstellen. Je moet de grafische rekenmachine efficiënt kunnen gebruiken om het maximum van een functie (in dit geval een verschilfunctie) te bepalen op een gegeven interval. Je moet nauwkeurig kunnen omrekenen tussen verschillende eenheden.

Waar op letten: Let goed op de eenheden: de waterstand wordt in cm gegeven, maar het antwoord moet in hele millimeters.
Zorg ervoor dat je de parameters (amplitude, evenwichtsstand, periode, faseverschuiving) van de sinusfunctie correct afleidt uit de gegeven informatie.
Begrijp hoe de twaalfdelenregel werkt en hoe je hieruit de lineaire functie voor het eerste uur opstelt.
Het 'verschil' tussen twee functies is de absolute waarde van hun aftrekking. Je zoekt het maximum van deze verschilfunctie.
Rond pas af in de allerlaatste stap naar het gevraagde aantal decimalen (of hele getallen) en de juiste eenheid.

Kernbegrippen: sinusfunctie opstellen, amplitude, evenwichtsstand, periode, faseverschuiving, stuksgewijs lineaire functie, verschilfunctie, maximum bepalen met GR, eenheden omrekenen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/21

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2024
tijdvak 1
donderdag 23 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A

Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 21 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1024-a-24-1-o

### Pagina 2

OVERZICHT FORMULES

Differentiëren
naam van de regel | functie | afgeleide
------- | -------- | --------
somregel | $s(x) = f(x) + g(x)$ | $s'(x) = f'(x) + g'(x)$
verschilregel | $v(x) = f(x) - g(x)$ | $v'(x) = f'(x) - g'(x)$
productregel | $p(x) = f(x) \cdot g(x)$ | $p'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
quotiëntregel | $q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ | $q'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$
kettingregel | $k(x) = f(g(x))$ | $k'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ of $\frac{dk}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$

Logaritmen
regel | voorwaarde
------- | --------
$^g \log(a) + ^g \log(b) = ^g \log(ab)$ | $g>0, g \neq 1, a>0, b>0$
$^g \log(a) - ^g \log(b) = ^g \log(\frac{a}{b})$ | $g>0, g \neq 1, a>0, b>0$
$^g \log(a^p) = p \cdot ^g \log(a)$ | $g>0, g \neq 1, a>0$
$^g \log(a) = \frac{^p \log(a)}{^p \log(g)}$ | $g>0, g \neq 1, a>0, p>0, p \neq 1$

VW-1024-a-24-1-o 2 / 16 lees verder ► ► ►

### Pagina 3

Ga verder op de volgende pagina.
VW-1024-a-24-1-o
3 / 16
lees verder ▶▶▶

### Pagina 4

Horen

Het ene geluid klinkt zachter dan het andere. We zeggen dan dat het
geluidsniveau in decibel (dB) lager is. Een spreekstem bijvoorbeeld heeft
een geluidsniveau van 60 dB en in een discotheek is het geluidsniveau
ongeveer 100 dB.
Sommige geluiden zijn zo zacht dat het menselijk oor ze niet meer kan
waarnemen. Deze geluiden zijn zachter dan de zogenoemde
gehoordrempel. Andere geluiden zijn zo hard dat ze een onverdraagbaar
pijngvoel veroorzaken: ze liggen boven de zogenoemde pijngrens.
De hoogte van gehoordrempel en pijngrens hangen niet alleen af van het
geluidsniveau maar ook van de toonhoogte van het geluid. De figuur
hieronder geeft hier informatie over. Langs de verticale as staat het
geluidsniveau in dB. Langs de horizontale as staat, met een logaritmische
schaalverdeling, de toonhoogte; deze wordt uitgedrukt in hertz (Hz).

figuur
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as geluidsniveau in dB van -10 tot 140, en op de x-as toonhoogte in Hz met een logaritmische schaal van 10 tot 10000. Twee lijnen: een gestippelde lijn voor gehoordrempel en een doorgetrokken lijn voor pijngrens.]

Legenda:
— pijngrens
--- gehoordrempel

In de figuur kun je zien dat geluid met een toonhoogte van 100 Hz en een
niveau van 130 dB op de pijngrens ligt en dus erg onaangenaam is voor
het menselijk oor.
In de figuur kun je ook zien dat er bij een geluidsniveau van 10 dB
geluiden met verschillende toonhoogtes zijn die precies op de
gehoordrempel liggen.
3p 1 Bepaal met behulp van de figuur welke toonhoogtes hier worden bedoeld.

VW-1024-a-24-1-o 4 / 16 lees verder ► ► ►

### Pagina 5

Bij popconcerten en in discotheken is er vaak een erg hoog geluidsniveau. In een artikel over gehoorschade bij jongeren staan de tips en tricks zoals vermeld in onderstaande tekst.

[FIGUUR: Blok met "Tips & Tricks" en twee bulletpoints.]
- De vuistregel is dat je acht uur lang zonder problemen 80 dB op je oren kunt hebben. Bij een toename van het geluidsniveau van 3 dB halveert de tijd. Dus: vier uur lang bij 83 dB, twee uur lang bij 86 dB, enzovoort.
- Goede oordoppen kunnen het geluid tijdens een dancefeest of concert dempen tot een geluidsniveau van 80 dB. Het geluidsniveau tijdens zulke gelegenheden is vaak zo hoog dat een aantal minuten zonder doppen al schade kan opleveren.

Uit bovengenoemde vuistregel volgt het exponentiële verband $T = 8 \cdot g^{D-80}$ tussen de maximale tijd $T$ in uren die je zonder gehoorschade ergens kunt zijn en het geluidsniveau $D$ in dB. De groeifactor $g$ is bij benadering 0,79.

3p 2 Bereken deze groeifactor in drie decimalen.

3p 3 In een discotheek is het geluidsniveau ongeveer 100 dB. Een verblijf van een paar minuten zonder oordoppen kan dan al gehoorschade opleveren. Bereken met behulp van de formule $T = 8 \cdot 0,79^{D-80}$ hoeveel gehele minuten je maximaal zonder oordoppen in een discotheek met een geluidsniveau van 100 dB aanwezig kunt zijn zonder dat gehoorschade oplevert.

Door het trillen van de lucht hoor je geluid. Deze trillingen veroorzaken een kleine variatie in de luchtdruk. Deze variatie in luchtdruk wordt geluidsdruk $p$ genoemd. Het is mogelijk om de geluidsdruk te meten en hiermee het bijbehorende geluidsniveau $D$ vast te stellen. Daarvoor wordt gebruikgemaakt van de volgende formule:
$$ D = 20 \cdot \log(p) - 26,02 $$
In deze formule is $p$ de geluidsdruk, gemeten in $\mu$Pa (micropascal), en $D$ weer het geluidsniveau in dB.

3p 4 Bereken de geluidsdruk die hoort bij een geluid met een geluidsniveau van 70 dB. Geef je antwoord in hele duizendtallen.

Iemand doet de volgende bewering: "Volgens de formule $D = 20 \cdot \log(p) - 26,02$ geldt: wanneer de geluidsdruk verdubbelt, neemt het geluidsniveau toe met (ongeveer) 6 dB."

3p 5 Toon met behulp van de rekenregels voor logaritmen aan dat deze bewering klopt.

VW-1024-a-24-1-o 5 / 16 lees verder ►►►

### Pagina 6

Water bottle flip

Bij 'water bottle flipping' gooit men een plastic
flesje dat gedeeltelijk met water is gevuld in de
lucht. Hierbij is het de bedoeling om het flesje
in de lucht te laten draaien en op de bodem te
laten landen, zodanig dat het flesje rechtop
blijft staan.

[FIGUUR: Een plastic flesje wordt omhoog gegooid en draait in de lucht, met de opening naar beneden, om vervolgens rechtop te landen.]

Vijf studenten natuurkunde van de Universiteit Twente hebben onderzocht
wat de optimale vullingsgraad van een plastic flesje is voor een goede flip.
De optimale vullingsgraad is het gewicht aan water (in gram) dat in het
flesje zit gedeeld door het totale gewicht aan water (in gram) dat in het
flesje kan, waarbij de flip zo goed mogelijk lukt.
Voor het berekenen van de optimale vullingsgraad $V$ van een flesje
hebben de studenten de volgende formules opgesteld:

$$V = \frac{\sqrt{1+M}-1}{M} \text{ met } M = \frac{w}{f}$$

Hierin is
– $V$ de optimale vullingsgraad
– $w$ het totale gewicht aan water in gram dat in het flesje kan
– $f$ het gewicht van het lege flesje in gram

Een klein leeg plastic flesje weegt 17 gram. Dit flesje kan gevuld worden
met in totaal 330 gram water.
Bereken, gebruikmakend van bovenstaande formules voor $V$ en $M$,
hoeveel gram water in dit flesje gedaan moet worden voor de optimale
vulling. Geef je antwoord in een geheel aantal grammen.

Veel plastic flesjes kunnen gevuld worden met in totaal 500 gram water.
Voor deze flesjes geldt voor het gewicht in gram $G$ dat nodig is voor de
optimale vulling: $G=500 \cdot V$. Voor deze flesjes kan met behulp van
bovenstaande formules voor $V$ en $M$ een formule opgesteld worden,
waarmee $G$ direct berekend kan worden als het gewicht van het lege
flesje ($f$) bekend is. Een formule voor $G$ is:

$$G = f \cdot \sqrt{1 + \frac{500}{f} - f}$$

3p 7 Geef de herleiding van deze formule voor $G$ uit de gegeven formules voor
$V$ en $M$ en $G=500 \cdot V$.

VW-1024-a-24-1-o 6 / 16 lees verder ►►►

### Pagina 7

In een grote plastic fles kan meer water ten opzichte van het gewicht van
de fles dan in een klein plastic flesje. Hierdoor neemt $V$ toe naarmate de
grootte van de fles toeneemt.

De optimale vullingsgraad van kleine plastic flessen kan vergeleken wor-
den met die van grote plastic flessen met behulp van de afgeleide $\frac{dV}{dM}$.

4p 8 Schets de grafiek van $\frac{dV}{dM}$ en beredeneer aan de hand van deze schets
of de optimale vullingsgraad toeneemt of afneemt naarmate de grootte
van de fles toeneemt.

VW-1024-a-24-1-o 7 / 16 lees verder ►►►

### Pagina 8

**Leerlingen**

Een vrouw bevalt na een zwangerschap meestal van één kind. Een
meering, dat zijn twee of meer kinderen die uit één zwangerschap
geboren worden, komt van nature weinig voor.

Een drieling is een meerling van drie kinderen. Een drieling kan op drie
manieren ontstaan:
- uit één eitje: in dat geval zijn de drie kinderen van een drieling
genetisch identiek en dus van hetzelfde geslacht. We spreken dan van
een eeneiige drieling.
- uit twee eitjes: in dat geval zijn twee kinderen genetisch identiek en
dus van hetzelfde geslacht, maar het derde kind is genetisch
verschillend (en kan van hetzelfde of verschillende geslacht zijn). We
spreken dan van een twee-eiige drieling.
- uit drie eitjes: in dat geval zijn alle drie de kinderen onderling
genetisch verschillend. We spreken dan van een drie-eiige drieling.

We gaan er in deze opgave verder van uit dat een kind bij de geboorte
altijd een jongen of een meisje is.

4p 9 Onderzoek hoeveel verschillende samenstellingen er voor een drieling
bestaan als je let op geslacht en op de drie manieren waarop een drieling
kan ontstaan. Licht je antwoord toe.

Bij de opkomst van de zogeheten IVF-techniek¹ eind jaren tachtig van de
vorige eeuw werden vaak meerdere bevruchte eicellen teruggeplaatst om
de slagingskans van IVF te vergroten. Hierdoor nam in verhouding het
aantal drie(-plus)lingen (een meerling van drie of meer kinderen) ook toe.

In 1980 waren er in Nederland 180 517 geboorten, waarvan slechts 25
van een drie(-plus)ling. In 1991 waren er in Nederland van de 196 698
geboorten 124 drie(-plus)linggeboorten.
3p 10 Bereken met hoeveel procent het percentage drie(-plus)lingen in 1991 is
toegenomen ten opzichte van het percentage drie(-plus)lingen in 1980.
Geef je antwoord in gehele procenten.

noot 1 Bij de IVF-techniek worden eicellen in het laboratorium bevrucht en vervolgens in de
baarmoeder teruggeplaatst.

VW-1024-a-24-1-o 8 / 16 lees verder ► ► ►

### Pagina 9

Algemeen wordt aangenomen dat de grootste meerling die op natuurlijke
wijze kan ontstaan een negenling is. De Duitse onderzoeker Hellin
voorspelde al in 1895 het volgende voor meerlingen bij natuurlijke
zwangerschappen:
-   Gemiddeld 1 op de 89 geboorten is de geboorte van een tweeling.
-   Gemiddeld 1 op de 89² geboorten is de geboorte van een drieling.
-   Gemiddeld 1 op de 89³ geboorten is de geboorte van een vierling.
-
-   Gemiddeld 1 op de 89⁸ geboorten is de geboorte van een negenling.
Dit werd later door andere wetenschappers de wet van Hellin genoemd.
De getallen (1 op de) 89, 89², 89³, ... , 89⁸ in de wet van Hellin vormen
een rij. Deze rij kan worden gebruikt om een formule op te stellen voor de
rij $P(n)$, waarbij $P(n)$ het percentage $n$-ling-geboorten ten opzichte van
het totale aantal geboorten is.
Een recursieve formule voor $P(n)$ is:
$$P(n) = \frac{1}{89} P(n-1), \text{ met } P(2) = \frac{100}{89}.$$
Hierbij is $n > 2$.
Er kan ook een directe formule voor $P(n)$ opgesteld worden.
3p 11 Stel een directe formule op voor $P(n)$. Geef deze in de vorm $P(n) = b \cdot r^n$.
Er zijn tegenwoordig wetenschappers die aannemen dat bij een
natuurlijke zwangerschap gemiddeld 1 op de 80 geboorten de geboorte
van een tweeling is, 1 op de 80² de geboorte van een drieling, ..., 1 op de
80⁸ de geboorte van een negenling. We nemen hierbij aan dat de grootst
mogelijke meerling een negenling is.
4p 12 Bereken hoeveel procent van de geboorten in dat geval de geboorte van
een eenling is. Geef je antwoord in één decimaal.
VW-1024-a-24-1-o 9/16 lees verder ►►►

### Pagina 10

Veldleeuweriken

De laatste tientallen jaren is het in Nederland voor veel weidevogels
lastiger geworden om geschikte broedplaatsen te vinden. Dit komt doordat
landbouwgrond steeds intensiever en gevarieerder wordt gebruikt, en
doordat steden voortdurend verder uitbreiden.

Grasland is het voornaamste broedgebied voor weidevogels. Uit een
onderzoek van Sovon Vogelonderzoek Nederland blijkt dat in de jaren
vanaf 1990 tot en met 2014 ruim 150 000 hectare grasland verloren is
gegaan. Dat is een daling van 14 procent.

2p 13 Bereken hoeveel hectare grasland er nog was in Nederland in 2014. Geef
je antwoord in duizenden hectares.

Een van de weidevogelsoorten die het meest in aantal is afgenomen, is
de veldleeuwerik. In de jaren vanaf 1990 tot en met 2000 bleef de
procentuele afname per jaar ten opzichte van het jaar ervoor nagenoeg
gelijk. Dit gold ook voor de jaren vanaf 2001 tot en met 2005. In figuur 1
zijn deze jaarlijkse procentuele afnames voor deze twee periodes
weergegeven voor drie verschillende soorten gebieden: duingebieden,
heidegebieden en agrarische gebieden.

figuur 1 - jaarlijkse afname aantal veldleeuweriken in %

[FIGUUR: Een horizontale staafdiagram met op de y-as de gebieden duingebieden, heidegebieden en agrarische gebieden. De x-as loopt van -15 tot 0. Er zijn twee staafjes per gebied: een lichte voor 1990-2000 en een donkere voor 2001-2005.]

In de figuur is bijvoorbeeld te zien dat in de jaren vanaf 2001 tot en met
2005 het aantal veldleeuweriken in duingebieden jaarlijks met 7,8% afnam.
4p 14 Bereken met behulp van figuur 1 hoeveel procent minder veldleeuweriken
er in duingebieden waren in 2005 ten opzichte van het aantal in 1989.
Geef je antwoord in gehele procenten.

VW-1024-a-24-1-o 10 / 16 lees verder ►►►

### Pagina 11

In figuur 2 zie je voor heel Nederland hoe het percentage
veldleeuweriken zich in de jaren vanaf 1990 tot en met 2014 ontwikkelde ten opzichte van
het totale aantal veldleeuweriken in 1990.

figuur 2
[FIGUUR: Lijn grafiek met op de y-as 'percentage ten opzichte van 1990' met waarden van 0 tot 120, en op de x-as jaren van 1990 tot 2014. Een dalende lijn is te zien die rond 2004-2005 stabiliseert.]

We voeren de variabelen $P$ en $t$ in. Hierin is $P$ het percentage
veldleeuweriken ten opzichte van het totale aantal veldleeuweriken in
1990 in Nederland en is $t$ de tijd in jaren met $t=0$ in het jaar 1990.

Ondanks de schommelingen kan het verband tussen $P$ en $t$ in de jaren
vanaf 1990 tot en met 2005 goed benaderd worden met een
meetkundige rij.

Uit figuur 2 valt af te lezen dat het totale aantal veldleeuweriken in
Nederland in 2005 nog maar 40% was van het totale aantal
veldleeuweriken in 1990.

4p 15 Stel met behulp van dit gegeven een recursieve formule op voor de rij.
Geef de getallen in je antwoord zo nodig in drie decimalen.

VW-1024-a-24-1-o


### Pagina 12

Sovon deed niet alleen onderzoek naar het aantal veldleeuweriken in Nederland, maar ving ook regelmatig jonge veldleeuweriken om ze te meten en te wegen. In figuur 3 is van 265 gevangen jonge veldleeuweriken het gewicht uitgezet tegen de zogeheten tarsuslengte¹), dat is de lengte van het onderbeen.

**figuur 3**
[FIGUUR: Scatterplot met op de y-as 'gewicht (in gram)' en op de x-as 'tarsuslengte (in mm)'. Er is een kromme weergegeven door de punten.]

In figuur 3 is ook een kromme weergegeven die het verband tussen het gewicht en de tarsuslengte benadert. Deze kromme kan worden beschreven met de formule:

$$ G = \frac{22}{1+1420 \cdot e^{-0,307 \cdot T}} + 9 $$

Hierin is $G$ het gewicht in grammen en $T$ de tarsuslengte in millimeters.

4p 16 Het gewicht van een jonge veldleeuwerik heeft een grenswaarde. Beredeneer aan de hand van de formule voor $G$, dus zonder gebruik te maken van getallenvoorbeelden, hoe groot deze grenswaarde is.

Het gewicht van jonge veldleeuweriken neemt in het begin steeds sneller toe naarmate de tarsuslengte toeneemt. Op een bepaald moment is deze toenamesnelheid maximaal.

4p 17 Bereken met behulp van de formule voor de afgeleide van $G$ de maximale toenamesnelheid van het gewicht. Geef je antwoord in grammen per mm in één decimaal.

noot 1 Men meet de tarsuslengte als een maat voor de leeftijd van de jonge veldleeuwerik omdat de leeftijd zelf moeilijk te bepalen valt.

VW-1024-a-24-1-o 12 / 16 lees verder ►►►

### Pagina 13

Honkbal salarissen

Honkbal is een van de populairste sporten in de Verenigde Staten.

Omdat honkbal vooral een tactische sport is en kracht en snelheid minder belangrijk zijn dan bij veel andere sporten, kunnen professionele honkballers normaal gesproken tot rond hun veertigste jaar aan de top meespelen. Naarmate een speler ouder wordt en meer seizoenen mee heeft gespeeld, zal deze speler meer ervaring opdoen en beter worden, en zijn salaris zal dus ook stijgen.

In figuur 1 staan de gemiddelde salarissen van alle honkballers uit de belangrijkste Amerikaanse competities tussen 1995 en 2018.

figuur 1

[FIGUUR: Een lijngrafiek met op de x-as 'leeftijd (in jaren)' van 21 tot 40, en op de y-as 'jaarsalaris (in duizenden dollars)' van 0 tot 6000. De grafiek toont een stijgende trend van de salarissen met toenemende leeftijd, met enkele uitschieters naarmate de leeftijd hoger wordt.]

In de grafiek kun je bijvoorbeeld aflezen dat honkballers van 21 jaar gemiddeld 0,4 miljoen dollar per jaar verdienen en honkballers van 28 jaar gemiddeld 2,6 miljoen dollar.

Uit de figuur blijkt dat het salaris tussen de 21 en 28 jaar nagenoeg exponentieel toeneemt. Het is, uitgaande van exponentiële groei, mogelijk een formule op te stellen van het verband tussen de leeftijd en het gemiddelde jaarsalaris van honkballers.

4p 18 Stel met behulp van de gegevens van 21- en 28-jarige spelers een formule op voor het gemiddelde jaarsalaris $S$ in duizenden dollars van honkballers van $t$ jaar oud. Geef de getallen in je antwoord zo nodig in drie decimalen.

VW-1024-a-24-1-o 13 / 16 lees verder ►►►

### Pagina 14

Zo’n exponentiële benadering gaat ervan uit dat de salarissen steeds
maar blijven stijgen, maar in de grafiek is duidelijk te zien dat de
exponentiële stijging niet doorzet.

Een andere benadering van de salarissen van honkballers is de formule:

$$ W = \frac{5500}{1+1600000 \cdot 0,598^t} $$

Hierbij is $W$ het gemiddelde jaarsalaris in duizenden dollars en $t$ de leeftijd
in jaren.

Volgens de formule voor $W$ zal het salaris naar een grenswaarde toe
stijgen. In werkelijkheid nemen de salarissen vanaf een leeftijd van
(ongeveer) 36 jaar juist weer af. Professionele honkballers van 39 jaar
verdienen gemiddeld 4,54 miljoen dollar per jaar.

4p 19 Bereken hoeveel procent lager dit salaris is dan de grenswaarde van $W$.
Geef je antwoord in één decimaal.

De WAR-waarde van een honkballer is een getal dat aangeeft hoe
belangrijk deze honkballer voor een team is.

Voor een honkballer wordt elke wedstrijd zijn WAR-waarde berekend. In
een seizoen worden deze WAR-waarden opgeteld tot zijn totale WAR-
waarde. Uit deze totale WAR-waarde en het aantal wedstrijden dat deze
honkballer speelde, is zijn gemiddelde WAR-waarde per wedstrijd te
berekenen.
In figuur 2 zijn de gemiddelde WAR-waarden per wedstrijd in de
Amerikaanse competitie van 2019 weergegeven voor honkballers van
verschillende leeftijden.

VW-1024-a-24-1-o 14 / 16 lees verder ►►►

### Pagina 15

figuur 2
gemiddelde 0,35
WAR-waarde
per wedstrijd 0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
leeftijd (in jaren)

In de praktijk is de gemiddelde WAR-waarde per wedstrijd een getal
tussen de 0 en de 1, waarbij een 0 betekent dat de honkballer geen
enkele bijdrage heeft geleverd en een 1 betekent dat de honkballer een
zeer grote bijdrage leverde.

Met behulp van de gegevens uit figuur 2 kan worden berekend hoeveel
een honkballer gemiddeld per WAR-punt aan salaris ontvangt.

Voorbeeld
Honkballers van 30 jaar oud verdienen gemiddeld 4,1 miljoen dollar.
In figuur 2 is af te lezen dat deze honkballers een WAR-gemiddelde
hebben van 0,30. Het gemiddelde salaris per WAR-punt is dan
$4,1
\frac{4,1}{0,30} = 13,67$ miljoen.

Cody Bellinger was een van de best presterende honkballers in de
Amerikaanse competitie van 2019. Cody was toen 24 jaar oud en had een
WAR-gemiddelde van 0,76. Hij was daarmee destijds de meest
waardevolle honkballer van de competitie. Zijn salaris was in dat seizoen
$605 000 per jaar en dat is minder dan het gemiddelde van zijn
leeftijdgenoten; dat was namelijk $660 000.

3p 20 Bereken met behulp van bovenstaande gegevens en figuur 2 hoeveel
salaris Cody had moeten krijgen zodat zijn salaris per WAR-punt
hetzelfde was als het gemiddelde van zijn leeftijdgenoten. Geef je
antwoord in miljoenen dollars en rond in je antwoord af op twee
decimalen.

Let op: de laatste vragen van dit examen staat op de volgende pagina.

VW-1024-a-24-1-0
15 / 16
lees verder

### Pagina 16

Getij
Getij ontstaat door de aantrekkingskracht die de zon en de maan hebben op het zeewater. De zeewaterstand gaat hierdoor afwisselend omhoog en omlaag. Er zijn verschillende manieren om deze waterstand te benaderen.
Manus en Jan Willem bepalen bij Nes op Ameland de waterstanden bij laag- en hoogwater. Bij laagwater is de waterstand -123 centimeter ten opzichte van NAP (Normaal Amsterdams Peil). Zes uur later is het hoogwater, en de waterstand is dan +87 centimeter ten opzichte van NAP. Manus benadert de waterstand tussen de tijdstippen van laag- en hoogwater met een sinusfunctie en Jan Willem benadert de waterstand met de twaalfdelenregel.
Bij de twaalfdelenregel wordt de waterstand benaderd door lijnstukken (delen van een rechte lijn) met elkaar te verbinden. De tijd tussen laag- en hoogwater wordt in zes gelijke delen verdeeld. Beginnend op het tijdstip van laagwater gaat de verandering van de waterstand bij de twaalfdelenregel als volgt:
– Gedurende het eerste, tweede en derde deel stijgt de waterstand respectievelijk 1/6, 2/6 en 3/6 deel van de amplitude.
– Gedurende het vierde, vijfde en zesde deel stijgt de waterstand respectievelijk 3/6, 2/6 en 1/6 deel van de amplitude.

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as waterstand t.o.v. NAP (in cm) van -120 tot 120, en op de x-as tijd na laagwater (in uren) van 0 tot 8. Een doorgetrokken lijn en een gestippelde lijn worden weergegeven, beide stijgend van ca. -120 naar ca. 80.]

In de figuur zijn de benaderingen van de waterstanden met de twaalfdelenregel en de sinusfunctie weergegeven met respectievelijk een doorgetrokken en een gestippelde kromme. Deze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage. Het grootste verschil tussen beide benaderingen treedt op vlak voor en vlak na laagwater en vlak voor en vlak na hoogwater.

9p 21 Onderzoek wat het maximale verschil is tussen de manieren waarop Manus en Jan Willem de waterstand benaderen. Geef je antwoord in hele millimeters.

Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen behorende correctievoorschrift.
VW-1024-a-24-1-o

16 / 16