# Eindexamen Wiskunde A VWO 2023 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2

## Vraag 1 – Kosten

twee-onder-een-kapwoningen
Voor twee-onder-een-kapwoningen hanteert Amsterdam het volgende lineaire model:

H_twee = -5,63V + 2366,67 met 30 ≤ V ≤ 250

Hierin zijn H_twee de herbouwkosten voor een twee-onder-een-kapwoning in euro's per m² vloeroppervlak en is V het vloeroppervlak van de woning in m².

Toon aan dat de herbouwkosten van een twee-onder-een-kap-woning met een vloeroppervlak van 180 m² (afgerond) 243 600 euro zijn.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een lineaire formule en een specifieke waarde die je in die formule moet invullen. Vervolgens moet je met het resultaat van de formule een verdere berekening uitvoeren om tot het gevraagde eindantwoord te komen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een waarde invult in een gegeven formule (substitutie) en hoe je de betekenis van de variabelen en de eenheden interpreteert. Ook moet je begrijpen dat 'kosten per m²' vermenigvuldigd moeten worden met het aantal m² om de totale kosten te krijgen.

Wat moet je kunnen: Je kunt een gegeven waarde correct substitueren in een lineaire formule. Je kunt het resultaat van deze berekening gebruiken voor een vervolgstap (vermenigvuldiging). Je kunt de uiteindelijke uitkomst correct afronden zoals gevraagd in de opgave.

Waar op letten: Let goed op de eenheden: H_twee is in euro's per m², V is in m². De uiteindelijke vraag is naar totale kosten in euro's.
Controleer of de gegeven V-waarde (180 m²) binnen het geldige bereik (30 ≤ V ≤ 250) valt.
Voer de substitutie van V in de formule correct uit.
Vergeet niet de berekende kosten per m² te vermenigvuldigen met het totale vloeroppervlak om de totale herbouwkosten te krijgen.
Rond pas af in de allerlaatste stap, zoals gevraagd in de vraagtekst ('afgerond').

Kernbegrippen: lineair model, substitutie, eenheidskosten vs totaalkosten

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/1

## Vraag 2 – Kosten

portiekflats
Voor portiekflats met 30 ≤ V ≤ 180 wordt ook een lineair model voor de herbouwkosten per m² vloeroppervlak (H_portiek) gehanteerd. Dit model is gebaseerd op de volgende gegevens:

V (in m²) | 50 | 90
---|---|---
H_portiek (in euro's per m²) | 2429 | 2080

Bereken met behulp van deze gegevens de maximale herbouwkosten voor een portiekflat met 30 ≤ V ≤ 180 . Geef je antwoord in honderden euro's.

Wat kun je verwachten: Je zult een lineaire formule moeten opstellen op basis van twee gegeven punten. Vervolgens combineer je deze formule met een andere variabele om een nieuwe functie te creëren, waarvan je het maximum moet bepalen binnen een specifiek domein.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je de formule van een lineaire functie (y = ax + b) opstelt als je twee punten hebt. Ook moet je bekend zijn met het concept van een kwadratische functie en hoe je het maximum (de top) van zo'n functie kunt vinden, zowel algebraïsch als met je grafische rekenmachine. Daarnaast moet je begrijpen hoe een domein de mogelijke waarden van een variabele beperkt.

Wat moet je kunnen: Je kunt de helling (a) en het startgetal (b) van een lineaire functie berekenen. Je kunt een kwadratische functie opstellen door twee functies te vermenigvuldigen. Je kunt het maximum van een kwadratische functie bepalen, rekening houdend met een gegeven domein. Tot slot kun je je antwoord correct afronden en in de gevraagde eenheid presenteren.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen 'kosten per m²' en 'totale kosten'. Je moet de formule voor kosten per m² vermenigvuldigen met V om de totale kosten te krijgen.
De vraag vraagt om de 'maximale herbouwkosten'. Dit betekent dat je het maximum van een functie moet vinden. Denk aan de top van een parabool of de randen van het domein.
Vergeet niet het gegeven domein voor V (30 ≤ V ≤ 180) mee te nemen bij het bepalen van het maximum.
Rond pas af in de allerlaatste stap en let goed op de gevraagde eenheid: 'in honderden euro's'.
Controleer of je de helling (a) en het startgetal (b) van de lineaire functie correct hebt berekend.

Kernbegrippen: lineair model opstellen, kwadratische functie, maximum van een functie bepalen, domein van een functie

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/2

## Vraag 3 – Kosten

hoekwoningen
Voor hoekwoningen bestaan de herbouwkosten per m² vloeroppervlak uit een vast bedrag van 1375 euro, met daarbovenop een variabel bedrag dat exponentieel afneemt naarmate het vloeroppervlak groter wordt. Zie de figuur.

figuur

De formule die wordt gebruikt is van de vorm H_hoek = b ⋅ g^V + 1375 met 30 ≤ V ≤ 250.

Op de grafiek in de figuur liggen de punten (30, 3480) en (250, 1387).
Bereken de waarden van b en g die uit deze gegevens volgen. Geef de waarde van b in gehelen en de waarde van g in vier decimalen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een exponentiële formule met twee onbekenden (b en g) en twee punten die op de grafiek van deze formule liggen. Je moet deze twee onbekenden berekenen door een stelsel van vergelijkingen op te lossen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe een exponentiële functie eruitziet (y = b ⋅ g^x) en hoe je een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden oplost, vooral wanneer een van de onbekenden een exponent is. Je moet ook begrijpen wat de verschillende delen van de formule betekenen in de context van de vraag (bijvoorbeeld de +1375 als horizontale asymptoot).

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven punten correct invullen in de formule om twee vergelijkingen te maken. Je moet deze vergelijkingen kunnen herschrijven om de exponentiële term te isoleren. Vervolgens moet je de vergelijkingen op elkaar delen om de groeifactor (g) te vinden en daarna g substitueren in een van de oorspronkelijke vergelijkingen om b te berekenen. Tot slot moet je correct afronden volgens de instructies.

Waar op letten: Let op de structuur van de formule: H_hoek = b ⋅ g^V + 1375. De '+ 1375' is een constante term die je eerst moet aftrekken voordat je met de exponentiële term gaat rekenen.
Zorg ervoor dat je de coördinaten van de punten correct invult: V is het vloeroppervlak (exponent) en H_hoek is de herbouwkosten (uitkomst).
Bij het oplossen van het stelsel van vergelijkingen, deel je de vergelijkingen op elkaar om de 'b' te elimineren. Let op dat je de juiste termen deelt.
Gebruik de niet-afgeronde waarde van g voor de berekening van b om afrondingsfouten te voorkomen. Rond pas af in de allerlaatste stap.
Let goed op de afrondingseisen: b in gehelen en g in vier decimalen.

Kernbegrippen: exponentieel model, stelsel van vergelijkingen oplossen, groeifactor berekenen uit twee punten

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/3

## Vraag 4 – Kosten

De herbouwkosten van een hoekwoning zijn soms lager dan die van een twee-onder-een-kapwoning met hetzelfde vloeroppervlak.
Bereken voor welke vloeroppervlakken in gehele m² dit het geval is.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een vergelijking moet opstellen en oplossen met behulp van je grafische rekenmachine. Het gaat hierbij om het vergelijken van twee functies, waarvan één exponentieel en één lineair is. Uiteindelijk moet je een interval van gehele getallen als antwoord geven.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je functies invoert in je grafische rekenmachine (GR) en hoe je de snijpunten van twee grafieken vindt. Ook moet je de betekenis van 'lager dan' kunnen vertalen naar een ongelijkheid en weten hoe je dit grafisch interpreteert. Je moet ook weten hoe je correct afrondt naar gehele getallen binnen een interval.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven formules correct kunnen invoeren in je GR. Je moet de 'intersect'-functie van je GR kunnen gebruiken om de snijpunten te vinden. Vervolgens moet je de grafieken kunnen interpreteren om te bepalen voor welk bereik van V de ene functiewaarde lager is dan de andere. Tot slot moet je de gevonden waarden correct afronden en het interval in gehele m² formuleren.

Waar op letten: Je moet de juiste formules voor de herbouwkosten van beide woningtypen identificeren en correct invoeren in je GR.
Je moet goed begrijpen dat 'lager dan' betekent dat je een ongelijkheid moet oplossen, maar dat je dit vaak doet door eerst de gelijkheid op te lossen (snijpunten zoeken).
Let op de interpretatie van de snijpunten: welk deel van de grafiek van de hoekwoning ligt onder die van de twee-onder-een-kapwoning?
Vergeet niet dat het antwoord in gehele m² moet worden gegeven, dus je moet de gevonden snijpunten correct afronden om het juiste interval te bepalen.
Controleer of je de juiste vensterinstellingen gebruikt op je GR, zodat je de snijpunten goed kunt zien.

Kernbegrippen: vergelijking oplossen, ongelijkheid oplossen, grafische rekenmachine, exponentiële functie, lineaire functie, snijpunten van grafieken

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/4

## Vraag 5 – Kosten

De formule H_hoek = e^(-0,02359V+8,36) + 1375 is te herleiden tot de vorm H_hoek = b ⋅ g^V + 1375.
Geef deze herleiding. Geef de waarde van b in gehelen en de waarde van g in vier decimalen.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een gegeven exponentiële formule moet omzetten naar een standaardvorm (b * g^V + c). Dit vereist het toepassen van de rekenregels voor machten en het nauwkeurig berekenen en afronden van de constanten b en g.

Wat moet je kennen: Je moet de rekenregels voor machten kennen, met name a^(p+q) = a^p * a^q en (a^p)^q = a^(p*q). Je moet ook weten hoe je de e-macht functie op je grafische rekenmachine gebruikt.

Wat moet je kunnen: Je moet een exponentiële formule kunnen herleiden door de rekenregels voor machten toe te passen. Je moet de beginwaarde (b) en de groeifactor (g) kunnen identificeren en berekenen. Daarnaast moet je getallen correct kunnen afronden volgens de specificaties in de vraag.

Waar op letten: Je moet de rekenregels voor machten correct toepassen om de exponent met een som te splitsen.
Je moet de term met V in de exponent isoleren om de groeifactor g te vinden.
Je moet de constante term in de exponent omzetten naar een beginwaarde b.
Je moet de waarden van b en g correct afronden: b op een geheel getal en g op vier decimalen.
Je moet de e-macht functie op je rekenmachine correct gebruiken.

Kernbegrippen: exponentiële functies, rekenregels voor machten, formules herleiden

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/5

## Vraag 6 – Kosten

In elk model gaat men ervan uit dat de herbouwkosten per m² afnemen naarmate het vloeroppervlak groter is. De mate waarin de herbouwkosten per m² afnemen, verschilt per model.
Stel de afgeleiden van H_hoek en H_tussen op en onderzoek met behulp van een schets van beide afgeleiden bij welke van deze twee woningtypen de mate van afname het grootst is. Licht je antwoord toe.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je functies moet differentiëren en de betekenis van de afgeleide in de context moet interpreteren. Je zult de grafische rekenmachine gebruiken om de afgeleiden te visualiseren en te vergelijken.

Wat moet je kennen: Je moet de differentieerregels kennen, met name de kettingregel voor exponentiële functies. Je moet ook weten dat de afgeleide de helling of de veranderingssnelheid van een functie weergeeft. Een negatieve afgeleide betekent afname, en hoe 'meer negatief' de afgeleide, hoe sneller de afname.

Wat moet je kunnen: Je moet functies kunnen differentiëren met behulp van de kettingregel. Je moet de afgeleide functies correct kunnen invoeren in je grafische rekenmachine en een relevante schets kunnen maken. Tot slot moet je de grafieken van de afgeleiden kunnen interpreteren om een conclusie te trekken over de mate van afname en deze conclusie helder kunnen toelichten.

Waar op letten: Je moet de kettingregel correct toepassen bij het differentiëren van de exponentiële functies. Let op de constante factor die voor de e-macht komt.
Je moet begrijpen dat 'de mate van afname' wordt weergegeven door de afgeleide. Een grotere (negatieve) waarde van de afgeleide betekent een snellere afname.
Je moet een duidelijke schets maken van beide afgeleiden op het gegeven domein [30, 250]. Zorg dat je de grafieken kunt onderscheiden (bijvoorbeeld door labels of verschillende lijnstijlen).
Je moet de schets correct interpreteren: welke grafiek ligt 'lager' (verder onder de V-as) en wat betekent dat voor de mate van afname?
Je moet je antwoord toelichten met een heldere redenering op basis van de schets en de betekenis van de afgeleide.

Kernbegrippen: differentiëren, kettingregel, afgeleide functie, grafiek schetsen, dalingssnelheid interpreteren

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/6

## Vraag 7 – Kosten

Neem aan dat in een bepaald bosrijk gebied een populatie van 165 vossen leeft. De reproductiefactor van de vossen in dit gebied is 1,28 en in het gebied is plaats voor maximaal 500 vossen.
Bereken met behulp van model 1 na hoeveel jaar dit maximale aantal bereikt zal zijn.

Wat kun je verwachten: Je zult een exponentieel groeimodel moeten opstellen of interpreteren. Je moet de startwaarde, de groeifactor en de maximale waarde correct in het model plaatsen. Uiteindelijk los je een exponentiële vergelijking op, of je berekent iteratief de populatie per jaar.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een exponentieel groeimodel opstelt (N(t) = N(0) * g^t). Je moet ook begrijpen hoe je een exponentiële vergelijking oplost, eventueel met logaritmen, of door waarden te proberen. Je moet ook het concept van een 'populatiefractie' begrijpen als het model daarmee werkt (P_n = N_n / K, waarbij K de maximale capaciteit is).

Wat moet je kunnen: Je kunt een exponentiële formule opstellen op basis van de gegeven informatie. Je kunt deze formule gebruiken om de populatie na een bepaald aantal jaren te berekenen, of om het aantal jaren te vinden wanneer een bepaalde populatiegrootte wordt bereikt. Je kunt ook de grafische rekenmachine effectief gebruiken om de vergelijking op te lossen of om een tabel met waarden te genereren.

Waar op letten: Let op de eenheid van tijd (jaar).
De 'reproductiefactor' is de groeifactor per jaar.
De vraag gaat over 'model 1', zorg dat je het juiste model gebruikt dat in de bijlage of context is gedefinieerd (hier impliciet een exponentieel model).
Het 'maximale aantal' betekent dat je zoekt naar het moment dat de populatie *minimaal* dit aantal is, dus je rondt altijd naar boven af als het aantal jaren geen geheel getal is.
Zorg dat je de startpopulatie correct gebruikt in relatie tot de maximale capaciteit om de initiële fractie te bepalen.

Kernbegrippen: recursieve modellen, iteratief berekenen, meetkundige rij, populatiefractie

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/7

## Vraag 9 – Kosten (3 punten)

Als je voor r een getal tussen de 0 en 1 invult, dan nadert P_n voor iedere startwaarde c (met 0 < c < 1) naar 0. Je kunt dat beredeneren met de formule voor P_n.
Geef een redenering waaruit blijkt dat wanneer r tussen de 0 en 1 is, P_n altijd naar 0 nadert.

Voor waarden van r groter dan 1 wordt het model erg onvoorspelbaar.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je het gedrag van een recursief model moet analyseren en beredeneren. Je moet laten zien dat je de invloed van de parameters op de uitkomst begrijpt.

Wat moet je kennen: Je moet het concept van een recursieve formule kennen en begrijpen hoe herhaalde vermenigvuldiging met getallen tussen 0 en 1 de uitkomst beïnvloedt. Je moet ook weten wat 'naderen naar 0' betekent in deze context.

Wat moet je kunnen: Je moet een logische en volledige wiskundige redenering kunnen opbouwen. Je moet de eigenschappen van getallen tussen 0 en 1 kunnen toepassen op de factoren in de gegeven formule.

Waar op letten: Je moet de redenering stap voor stap opbouwen, niet alleen het eindresultaat noemen.
Je moet expliciet benoemen waarom elke factor in de vermenigvuldiging tussen 0 en 1 ligt.
Je moet duidelijk maken dat herhaaldelijk vermenigvuldigen met getallen kleiner dan 1 leidt tot een steeds kleiner wordende uitkomst.
Je moet de voorwaarden voor r en c (tussen 0 en 1) gebruiken in je redenering.

Kernbegrippen: logistisch model, recursieve formule, limietgedrag, wiskundig redeneren

Veelgemaakte fouten:
- Onvolledige redenering
- Vergeten aan te tonen dat alle factoren (r, P_{n-1}, 1-P_{n-1}) tussen 0 en 1 liggen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/9

## Vraag 10 – Kosten

In de figuur is de grafiek getekend voor r = 3,15 en c = 0,25. Er is te zien dat de waarde van P_n op den duur heen en weer gaat springen tussen twee vaste waarden.
Onderzoek tussen welke twee waarden P_n heen en weer gaat springen voor r = 3,15 en c = 0,25. Geef deze waarden in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een recursieve formule moet gebruiken om een reeks van waarden te genereren. Je zult zien dat deze reeks na een aantal stappen een vast patroon van twee afwisselende waarden gaat vertonen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een recursieve formule interpreteert en hoe je deze iteratief kunt toepassen, eventueel met behulp van je grafische rekenmachine. Je moet ook het concept van 'oscillatie' of 'heen en weer springen' in de context van dynamische modellen begrijpen.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven waarden voor r en c correct invullen in de formule. Je moet in staat zijn om de recursieve formule herhaaldelijk te berekenen (te itereren) met je GR, bijvoorbeeld door de 'ANS'-functie te gebruiken. Je moet de stabiliserende waarden kunnen herkennen en deze correct afronden op twee decimalen.

Waar op letten: Je moet de recursieve formule herhaaldelijk toepassen (itereren) om het gedrag op lange termijn te zien.
Let op de parameters r en c; deze zijn gegeven en moeten correct in de formule worden ingevuld.
Begin met een willekeurige startwaarde voor P_n (bijvoorbeeld 0.5) en voer de berekening voldoende vaak uit totdat de waarden stabiliseren en tussen twee punten heen en weer springen.
Rond de uiteindelijke waarden pas af op twee decimalen aan het einde van je berekening.
Zorg ervoor dat je beide waarden vindt waartussen de populatiefractie oscilleert.

Kernbegrippen: recursieve formule, iteratie, dynamisch model, oscillatie

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/10

## Vraag 11 – Kosten

Bepaal het percentage unieke woorden in de eerste twee zinnen van deze opgave samen. Geef je antwoord als geheel getal.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een tekst moet analyseren, woorden moet tellen en vervolgens een percentage moet berekenen. Dit is een basisvaardigheid die je ook in andere contexten kunt tegenkomen.

Wat moet je kennen: Je moet de definitie van 'percentage' kennen en hoe je dit berekent. Je moet ook weten hoe je nauwkeurig telt en onderscheid maakt tussen unieke en herhaalde elementen.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om een tekst nauwkeurig te lezen en te interpreteren. Je moet systematisch woorden kunnen tellen en herhalingen kunnen identificeren. Tot slot moet je een percentage kunnen berekenen en correct afronden.

Waar op letten: Lees de vraag goed: het gaat om 'de eerste twee zinnen van deze opgave samen'.
Definieer 'woord': tel je leestekens mee? (Nee, meestal niet, tenzij expliciet vermeld).
Wees consistent in wat je als 'hetzelfde woord' beschouwt (bijvoorbeeld hoofdletters/kleine letters, enkelvoud/meervoud). Voor deze vraag: 'Woorden' en 'woorden' zijn hetzelfde.
Rond pas af op een geheel getal bij de allerlaatste stap van je berekening.
Controleer je tellingen zorgvuldig om telfouten te voorkomen.

Kernbegrippen: procentrekenen, tekstanalyse, tellen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/11

## Vraag 12 – Kosten

In figuur 1 is op beide assen een logaritmische schaal gebruikt. De gestippelde lijn geeft een benadering van het verband tussen U en T. Figuur 1 staat ook vergroot op de uitwerkbijlage.

On The Origin of Species bevat in totaal 191 740 woorden en er komen 8842 unieke woorden in voor. Naarmate je verder leest, kom je steeds minder nieuwe unieke woorden tegen. Als je een kwart van dit boek hebt gelezen, ben je al meer dan de helft van het totaal aantal unieke woorden tegengekomen.

Bereken met behulp van de gestippelde lijn in de figuur op de uitwerkbijlage hoeveel procent van het totaal aantal unieke woorden je dan al bent tegengekomen. Geef je antwoord als geheel getal.

Wat kun je verwachten: Je zult een waarde moeten omrekenen naar een logaritmische schaal, deze waarde op de horizontale as moeten vinden, en vervolgens de bijbehorende waarde op de verticale as moeten aflezen. Daarna bereken je een percentage.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je getallen op een logaritmische schaal interpreteert en hoe je nauwkeurig waarden afleest uit een grafiek met logaritmische assen. Ook moet je de basisprincipes van procentrekenen kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet een deel van het totaal berekenen, deze waarde correct plaatsen op een logaritmische as, de corresponderende waarde op de andere logaritmische as aflezen, en tot slot een percentage berekenen en correct afronden.

Waar op letten: Je moet goed begrijpen hoe een logaritmische schaal werkt: de afstanden tussen de getallen zijn niet lineair, maar logaritmisch. Een gelijke afstand op de as betekent een vermenigvuldiging met een vaste factor, niet een optelling.
Je moet nauwkeurig aflezen uit de grafiek. Kleine afwijkingen kunnen leiden tot een verkeerd antwoord. Gebruik eventueel een liniaal op de uitwerkbijlage.
Je moet het percentage correct berekenen: deel het afgelezen aantal unieke woorden door het totale aantal unieke woorden en vermenigvuldig met 100%.
Je moet de afronding pas in de allerlaatste stap toepassen, en dan afronden op een geheel getal zoals gevraagd.

Kernbegrippen: logaritmische schaal, grafiek aflezen, procentrekenen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/12

## Vraag 13 – Kosten

Iemand leest een tekst die bestaat uit de eerste 7432 woorden uit RCV1.

2p 13 Ga met behulp van figuur 2 na of deze tekst voldoet aan de wet van Herdan-Heap.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je een grafiek met logaritmische schalen moet interpreteren. Je moet een gegeven waarde omzetten naar een logaritmische schaal en vervolgens aflezen of twee lijnen samenvallen of niet.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een logaritme is en hoe je deze berekent. Ook moet je bekend zijn met het aflezen van grafieken, vooral als de assen logaritmisch geschaald zijn. Je moet begrijpen wat het betekent als een model 'voldoet' aan een wet in de context van een grafiek.

Wat moet je kunnen: Je moet de logaritme van een getal kunnen berekenen (bijvoorbeeld log(7432)). Je moet nauwkeurig een waarde op de x-as kunnen lokaliseren en vervolgens de bijbehorende y-waarden van verschillende lijnen kunnen vergelijken. Tot slot moet je een heldere conclusie kunnen trekken op basis van je observaties.

Waar op letten: Je moet de logaritme van het aantal woorden (T) berekenen om de juiste positie op de x-as te vinden.
Let goed op de schaalverdeling van de assen; het is een logaritmische schaal.
Vergelijk de doorgetrokken lijn (de data) met de stippellijn (de wet van Herdan-Heap) op de berekende x-waarde.
Je conclusie moet duidelijk aangeven of de tekst wel of niet voldoet aan de wet, gebaseerd op je observatie van de grafiek.

Kernbegrippen: logaritme, grafiek aflezen, logaritmische schaal

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/13

## Vraag 14 – Kosten

Benader met behulp van deze formule het aantal unieke woorden in de eerste 1 000 000 woorden in RCV1. Geef je antwoord in duizenden.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule met logaritmen en je moet een onbekende variabele oplossen. Dit vereist dat je de eigenschappen van logaritmen en exponenten goed begrijpt.

Wat moet je kennen: Je moet de definitie van een logaritme kennen (log(x) = y betekent 10^y = x). Ook moet je weten hoe je een logaritmische vergelijking oplost.

Wat moet je kunnen: Je moet een gegeven waarde correct invullen in een formule. Je moet de rechterkant van de vergelijking nauwkeurig berekenen. Vervolgens moet je de inverse bewerking (10-macht) toepassen om de variabele U te isoleren. Tot slot moet je het antwoord correct afronden op duizendtallen.

Waar op letten: Controleer of je de juiste waarde voor T invult in de formule.
Let goed op de rekenvolgorde bij het berekenen van de rechterkant van de vergelijking.
Onthoud dat log(U) de logaritme met grondtal 10 is, dus om U te vinden moet je 10 tot de macht van de berekende waarde nemen.
Rond pas af in de allerlaatste stap, en zorg dat je correct afrondt op duizendtallen zoals gevraagd.

Kernbegrippen: logaritme, logaritmische vergelijking oplossen, rekenregels logaritmen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/14

## Vraag 15 – Kosten

De formule log(U) = 0,49 log(T) + 1,64 kan worden herleid tot de vorm U = c · T^n. Na afronding van c op gehelen geldt U = 44 · T^0,49.
Geef deze herleiding en bepaal daarmee c in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een logaritmische vergelijking en je moet deze herleiden naar een machtsfunctie. Je zult de rekenregels van logaritmen moeten toepassen en uiteindelijk een constante moeten berekenen en afronden.

Wat moet je kennen: Je moet de basisrekenregels voor logaritmen kennen, met name die voor het optellen van logaritmen en het vermenigvuldigen van een logaritme met een constante. Ook moet je weten hoe je een logaritmische vergelijking omzet naar een exponentiële vorm (of machtsvorm).

Wat moet je kunnen: Je moet een logaritmische vergelijking stap voor stap kunnen herleiden naar een machtsfunctie. Je moet de rekenregels van logaritmen nauwkeurig kunnen toepassen en een numerieke waarde kunnen berekenen en afronden volgens de instructies.

Waar op letten: Je moet de rekenregels voor logaritmen correct toepassen, zoals log(a) + log(b) = log(ab) en p · log(a) = log(a^p).
Je moet weten hoe je van een logaritmische vergelijking (log(U) = ...) naar een gewone vergelijking (U = ...) gaat, door beide zijden als macht van 10 te schrijven.
Je moet de constante c correct berekenen en pas aan het einde afronden op het gevraagde aantal decimalen.
Let op de volgorde van de stappen in de herleiding; elke stap moet logisch voortvloeien uit de vorige.

Kernbegrippen: logaritmen, rekenregels voor logaritmen, machtsfuncties, algebraïsche herleiding

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/15

## Vraag 16 – Kosten (4 punten)

Naarmate je vanaf het begin onafgebroken verder leest in RCV1, komen er steeds minder unieke woorden bij. Vanaf een bepaald totaal aantal woorden komt er (gemiddeld) minder dan één uniek woord per 50 woorden bij.

4p 16 Onderzoek bij welk totaal aantal woorden dit het geval is. Geef je antwoord in duizenden.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een vergelijking moet opstellen die de voorwaarde 'minder dan één uniek woord per 50 woorden' wiskundig vertaalt. Dit kan door het verschil U(T+50) - U(T) te bekijken of door de afgeleide van U(T) te gebruiken. Vervolgens los je deze vergelijking op met je grafische rekenmachine en rond je het antwoord correct af.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een differentiequotiënt opstelt en interpreteert, of hoe je een machtsfunctie differentieert. Ook moet je bekend zijn met het oplossen van vergelijkingen met je grafische rekenmachine (bijvoorbeeld met 'intersect' of door een tabel te maken).

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven context kunnen vertalen naar een wiskundige vergelijking. Je moet de formule U(T) = 44T^0,49 kunnen gebruiken om U(T+50) - U(T) te berekenen, of je moet de afgeleide dU/dT kunnen bepalen. Daarna moet je de resulterende vergelijking kunnen oplossen met je GR en het antwoord correct kunnen afronden en noteren in de gevraagde eenheid (duizenden).

Waar op letten: De vraag gaat over de *verandering* van het aantal unieke woorden per 50 woorden. Dit is een differentiequotiënt of een afgeleide.
Let goed op de formulering 'minder dan één uniek woord per 50 woorden'. Dit betekent dat het verschil U(T+50) - U(T) kleiner moet zijn dan 1, of dat de afgeleide dU/dT kleiner moet zijn dan (1)/(50).
Zorg dat je de machtsfunctie U(T) = 44T^0,49 correct gebruikt en differentieert als je kiest voor de afgeleide methode.
Rond pas af in de allerlaatste stap en geef het antwoord in duizenden, zoals gevraagd.
Controleer of je de juiste eenheden gebruikt: T is het totaal aantal woorden.

Kernbegrippen: differentiequotiënt, afgeleide functie, machtsfunties, vergelijking oplossen met GR

Veelgemaakte fouten:
- Rate of change (ΔU/ΔT) verwarren met ratio (U/T)
- Fout bij differentiëren van machtsfunctie
- Eindantwoord niet in duizenden geven zoals gevraagd

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/16

## Vraag 17 – Kosten

Bereken hoeveel verschillende dagprogramma's de toerist kan maken.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je het aantal mogelijke manieren moet berekenen om een selectie te maken en/of te rangschikken. Dit soort vragen test je begrip van combinatoriek.

Wat moet je kennen: Je moet de definities en toepassingen van combinaties (nCr), permutaties (nPr) en faculteiten (!) kennen. Je moet ook weten wanneer je welke methode gebruikt.

Wat moet je kunnen: Je moet een telprobleem kunnen ontleden in deelproblemen. Je moet kunnen bepalen of de volgorde van belang is en of er herhaling is toegestaan. Vervolgens moet je de juiste formules (nCr, nPr, faculteit) kunnen toepassen en de resultaten correct combineren (vermenigvuldigen).

Waar op letten: Lees goed of de volgorde van de attracties van belang is. Dit bepaalt of je combinaties (nCr) of permutaties (nPr) moet gebruiken.
Identificeer welke attracties al vaststaan (zoals de London Eye) en welke nog gekozen moeten worden.
Splits het probleem op in kleinere stappen: eerst kiezen, dan rangschikken (of andersom, als dat logischer is).
Let op het verschil tussen 'kiezen' (combinatie) en 'kiezen en rangschikken' (permutatie of combinatie gevolgd door faculteit).
Controleer of je alle beschikbare attracties en het aantal te kiezen attracties correct hebt geïnterpreteerd.

Kernbegrippen: combinatoriek, combinaties, permutaties, faculteit

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/17

## Vraag 18 – Kosten

Bij deze grafiek hoort de formule h = 75 + 60·sin(0,209t). Hierbij is h de hoogte van de gondel boven de grond in meters en t de tijd in minuten met t = 0 om 11.00 uur ’s ochtends.
Deze grafiek hoort echter niet bij de gondel die zich om 11.00 uur bij het instapplatform in het laagste punt bevindt. De grafiek van de gondel die zich om 11.00 uur in het laagste punt bevindt, heeft een formule van de vorm h = 75 + 60·sin(0,209(t – d)).
Bereken een mogelijke waarde van d.

Wat kun je verwachten: Je zult een formule van een sinusoïde krijgen en je moet deze aanpassen door een horizontale verschuiving te bepalen. Dit doe je door de periode van de functie te berekenen en te bedenken welk deel van de periode overeenkomt met de gewenste startpositie.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe de algemene formule van een sinusoïde (A + B sin(C(t-D))) werkt en wat de parameters A, B, C en D betekenen. Specifiek moet je weten hoe je de periode berekent uit de parameter voor t en hoe een horizontale verschuiving (faseverschuiving) werkt.

Wat moet je kunnen: Je moet de periode van een sinusoïde kunnen berekenen. Je moet kunnen redeneren welke horizontale verschuiving nodig is om de grafiek op een specifiek punt (in dit geval het laagste punt) te laten starten op t=0. Je moet de formule voor de periode van een sinusoïde kunnen toepassen.

Waar op letten: Let op de eenheid van tijd (minuten) en hoogte (meters).
Onthoud dat de standaard sinusfunctie begint bij het evenwichtspunt en omhoog gaat.
Bedenk wat een 'laagste punt' betekent voor een sinusoïde en hoe dit zich verhoudt tot de start van een standaard sinusfunctie.
Gebruik de periode van de sinusoïde om de benodigde horizontale verschuiving te bepalen.
Rond pas af in de laatste stap, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: sinusoïde, periode, horizontale verschuiving, faseverschil

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/18

## Vraag 19 – Kosten

De gondels draaien met een dusdanig lage constante snelheid dat bij het in- en uitstappen het reuzenrad niet hoeft te worden stilgezet. Deze constante snelheid is even groot als de maximale snelheid waarmee h toeneemt of afneemt.
Bereken deze constante snelheid in km/uur. Geef je antwoord in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je zult een formule krijgen die de hoogte van een gondel beschrijft als functie van de tijd. Je moet de maximale verandering van deze hoogte bepalen en deze omrekenen naar de gevraagde eenheid.

Wat moet je kennen: Je moet weten dat de snelheid waarmee de hoogte verandert, de afgeleide van de hoogtemodel is. Je moet ook weten dat de maximale helling van een sinusfunctie optreedt wanneer de functie door de evenwichtsstand gaat. Daarnaast moet je de regels voor het omrekenen van eenheden (meter/minuut naar km/uur) kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet de afgeleide van een sinusfunctie kunnen bepalen, zowel met de hand als met je grafische rekenmachine. Je moet het tijdstip kunnen vinden waarop de hoogte het snelst verandert. Tot slot moet je nauwkeurig eenheden kunnen omrekenen en correct afronden.

Waar op letten: De formule beschrijft de hoogte (h) in meters en de tijd (t) in minuten. Let goed op deze eenheden bij het interpreteren van de afgeleide.
De maximale snelheid waarmee de hoogte verandert, komt overeen met de maximale helling van de grafiek van h(t). Denk na over waar een sinusgrafiek het steilst is.
Vergeet niet de berekende snelheid om te rekenen van meter/minuut naar kilometer/uur. Dit is een cruciale stap en een veelvoorkomende fout.
Rond pas af in de allerlaatste stap naar twee decimalen, zoals gevraagd. Gebruik tussendoor voldoende decimalen om afrondingsfouten te voorkomen.

Kernbegrippen: sinusfunctie, afgeleide, maximale helling, eenheden omrekenen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/19

## Vraag 20 – Kosten

Windsor Castle ligt hemelsbreed 40 kilometer van de London Eye vandaan. Op een heldere dag kun je vanuit de London Eye Windsor Castle zien liggen.

Bereken hoelang je per rondgang vanuit de London Eye op een heldere dag Windsor Castle kunt zien. Geef je antwoord in gehele minuten.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een wortelvergelijking moet oplossen om een hoogte te vinden, en daarna een trigonometrische vergelijking (met sinus) om tijdstippen te bepalen. Uiteindelijk bereken je een tijdsduur.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor de kijkafstand kennen (of kunnen toepassen als deze gegeven is in een bijlage). Je moet ook de algemene vorm van een sinusoïde kennen en hoe je deze kunt gebruiken om hoogtes op verschillende tijdstippen te berekenen. Daarnaast moet je weten hoe je vergelijkingen met wortels en sinussen oplost.

Wat moet je kunnen: Je moet een gegeven afstand kunnen omzetten naar de bijbehorende hoogte met behulp van een wortelvergelijking. Je moet deze hoogte vervolgens kunnen invullen in een sinusoïde-formule en de resulterende trigonometrische vergelijking kunnen oplossen om twee tijdstippen te vinden. Tot slot moet je het verschil tussen deze tijdstippen kunnen berekenen en correct afronden naar gehele minuten.

Waar op letten: Let op de eenheden: kilometers omzetten naar meters voor de kijkafstandformule.
Zorg dat je GR in de juiste modus staat (radialen) bij het oplossen van de sinusvergelijking.
Rond pas af in de allerlaatste stap, gebruik tussentijds voldoende decimalen.
De vraag vraagt om een tijdsduur, dus je moet het verschil tussen twee tijdstippen berekenen.
Het antwoord moet in gehele minuten worden gegeven.

Kernbegrippen: Wortelvergelijking oplossen, Trigonometrische vergelijking oplossen, Sinusoïde, Modelmatig rekenen, Eenheden omrekenen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/20

## Vraag 21 – Kosten

Eefje woont in Enschede en werkt in Deventer. Ze reist altijd met de trein naar haar werk. Het aantal dagen dat ze per maand moet reizen is verschillend. Eefje wil een schema maken waaruit ze voor elk mogelijk aantal reisdagen per maand kan aflezen welk abonnement voor haar het voordeligst is.

Voor het maken van dit schema moet rekening gehouden worden met de volgende gegevens:
– Eefjes werkdagen zijn van maandag tot en met donderdag.
– Eefjes heenreis is met de trein van 6.16 uur vanuit Enschede.
– Eefjes terugreis is met de trein van 17.30 uur vanuit Deventer.
– Eefje reist altijd 2e klas en via de goedkoopste route.
– Eefje reist alleen voor haar werk met de trein.
– De spits is op werkdagen van 6.30 tot 9.00 uur en van 16.00 tot 18.30 uur.
– Het tijdstip waarop je incheckt, bepaalt de korting die wordt berekend voor de hele reis.
– Een enkele reis Enschede-Deventer vol tarief 2e klas kost € 12,10.

Maak met behulp van berekeningen een schema waaruit Eefje voor elk mogelijk aantal reisdagen per maand kan aflezen welk abonnement voor haar het voordeligst is.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je verschillende scenario's (abonnementen) moet vergelijken op basis van kosten. Je zult lineaire functies moeten opstellen en de snijpunten daarvan moeten berekenen om te bepalen welk scenario onder welke voorwaarden het voordeligst is.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van lineaire functies kennen (y = ax + b), inclusief hoe je de helling (a) en het startgetal (b) bepaalt. Ook moet je weten hoe je vergelijkingen oplost om snijpunten te vinden.

Wat moet je kunnen: Je kunt informatie uit een tekst en eventuele tabellen omzetten naar wiskundige modellen (lineaire functies). Je kunt vergelijkingen opstellen en oplossen, zowel algebraïsch als met je grafische rekenmachine. Je kunt de resultaten interpreteren en presenteren in een duidelijk schema.

Waar op letten: Lees goed de spits- en daltijden en Eefjes reistijden. Bepaal per reis (heen/terug) of deze in de spits of dal valt, want dit beïnvloedt de korting.
Let op de vaste maandelijkse kosten van elk abonnement en de variabele kosten per reisdag. Dit zijn de 'b' en 'a' in je lineaire functie K = ax + b.
Zorg dat je de kortingspercentages correct toepast. Een korting van 40% betekent dat je 60% (0.60) van de prijs betaalt.
Rond geldbedragen pas op het einde af, of werk met voldoende decimalen tussendoor om afrondingsfouten te voorkomen.
De 'x' in je functies staat voor het aantal reisdagen per maand. Dit is een geheel getal, dus de omslagpunten moeten hierop worden afgerond.

Kernbegrippen: lineaire functies opstellen, kostenanalyse, vergelijkingen oplossen, snijpunten van grafieken

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/21

## Vragen in dit examen

### Vraag 8 – Kosten

Wat kun je verwachten: Je krijgt een context over populatiegroei en moet een logistisch groeimodel toepassen. Je zult een recursieve formule gebruiken om de populatie over meerdere stappen te berekenen en vervolgens een toename te bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een logistisch groeimodel kennen, inclusief de betekenis van de parameters zoals de maximale populatie (draagkracht) en de groeifactoren. Je moet ook weten hoe je een recursieve formule stap voor stap toepast.

Wat moet je kunnen: Je moet een recursieve formule kunnen toepassen om een populatie over meerdere perioden te berekenen. Je moet kunnen omrekenen tussen absolute aantallen en fracties van de maximale populatie. Tot slot moet je de toename kunnen berekenen en correct afronden.

Waar op letten: Je moet de juiste recursieve formule voor het logistisch groeimodel (model 2) gebruiken.
Je moet de startpopulatie (500 edelherten) omrekenen naar een fractie van de maximale populatie (2000 edelherten) om met de formule te kunnen werken.
Je moet de berekening stap voor stap uitvoeren voor de jaren 2021, 2022 en 2023 (dus twee stappen in de recursieve formule).
Je moet de uiteindelijke fractie weer omrekenen naar een absoluut aantal edelherten.
Je moet de toename berekenen door het startaantal af te trekken van het eindresultaat en correct afronden op een geheel aantal dieren.

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2023
tijdvak 2
tijdsduur: 3 uur
wiskunde A
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift
opgenomen.

Dit examen bestaat uit 21 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1024-a-23-2-o

### Pagina 2

OVERZICHT FORMULES

Differentiëren
naam van de regel | functie | afgeleide
------- | -------- | --------
somregel | $s(x) = f(x) + g(x)$ | $s'(x) = f'(x) + g'(x)$
verschilregel | $v(x) = f(x) - g(x)$ | $v'(x) = f'(x) - g'(x)$
productregel | $p(x) = f(x) \cdot g(x)$ | $p'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
quotiëntregel | $q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ | $q'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$
kettingregel | $k(x) = f(g(x))$ | $k'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ of $$\frac{dk}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$$

Logaritmen
regel | voorwaarde
------- | --------
$^g \log(a) + ^g \log(b) = ^g \log(ab)$ | $g > 0, g \neq 1, a > 0, b > 0$
$^g \log(a) - ^g \log(b) = ^g \log(\frac{a}{b})$ | $g > 0, g \neq 1, a > 0, b > 0$
$^g \log(a^p) = p \cdot ^g \log(a)$ | $g > 0, g \neq 1, a > 0$
$^g \log(a) = \frac{^p \log(a)}{^p \log(g)}$ | $g > 0, g \neq 1, a > 0, p > 0, p \neq 1$

VW-1024-a-23-2-o 2 / 13 lees verder ► ► ►

### Pagina 3

Herbouwkosten in Amsterdam
De herbouwkosten zijn de kosten waarvoor een woning na afbraak
opnieuw gebouwd kan worden. De herbouwkosten zijn voornamelijk
afhankelijk van het vloeroppervlak, dat is het totale oppervlak van alle
verdiepingen met een stahoogte van ten minste 1,5 meter.
De gemeente Amsterdam gebruikt voor verschillende woningtypen
verschillende rekenmodellen om de herbouwkosten te berekenen¹).
twee-onder-een-kapwoningen
Voor twee-onder-een-kapwoningen hanteert Amsterdam het volgende
lineaire model:
$H_{\text{twee}} = -5,63V + 2366,67 \text{ met } 30 \le V \le 250$
Hierin zijn $H_{\text{twee}}$ de herbouwkosten voor een twee-onder-een-kapwoning
in euro's per m$^2$ vloeroppervlak en is $V$ het vloeroppervlak van de woning
in m$^2$.
2p 1 Toon aan dat de herbouwkosten van een twee-onder-een-kap-woning met
een vloeroppervlak van 180 m$^2$ (afgerond) 243 600 euro zijn.

portiekflats
Voor portiekflats met $30 \le V \le 180$ wordt ook een lineair model voor de
herbouwkosten per m$^2$ vloeroppervlak ($H_{\text{portiek}}$) gehanteerd. Dit model is
gebaseerd op de volgende gegevens:
[FIGUUR: Tabel met twee kolommen. De eerste kolom bevat 'V (in m$^2$)' en 'H$_{portiek}$ (in euro's per m$^2$)'. De tweede kolom bevat de waarden '50' en '2429'. De derde kolom bevat de waarden '90' en '2080'.]
5p 2 Bereken met behulp van deze gegevens de maximale herbouwkosten
voor een portiekflat met $30 \le V \le 180$. Geef je antwoord in honderden
euro's.

noot 1 In deze opgave wordt uitgegaan van de regels die in 2017 in Amsterdam golden.
VW-1024-a-23-2-o 3 / 13 lees verder ►►►

### Pagina 4

hoekwoningen
Voor hoekwoningen bestaan de herbouwkosten per m² vloeroppervlak uit
een vast bedrag van 1375 euro, met daarbovenop een variabel bedrag dat
exponentieel afneemt naarmate het vloeroppervlak groter wordt. Zie de
figuur.

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as herbouwkosten $H_{hoek}$ (in euro's per m²) van 0 tot 4000 en op de x-as vloeroppervlak $V$ (in m²) van 0 tot 300. Een neerwaartse curve die begint bij ongeveer (0, 3500) en eindigt bij ongeveer (300, 1000).]

De formule die wordt gebruikt is van de vorm $H_{\text{hoek}} = b \cdot g^V + 1375$ met
$30 \le V \le 250$.

4p 3
Op de grafiek in de figuur liggen de punten (30, 3480) en (250, 1387).
Bereken de waarden van $b$ en $g$ die uit deze gegevens volgen. Geef de
waarde van $b$ in gehelen en de waarde van $g$ in vier decimalen.

In de regelgeving hanteert men ook de volgende (nauwkeuriger) formule
voor hoekwoningen:
$$ H_{\text{hoek}} = e^{-0,02359V + 8,36} + 1375 \text{ met } 30 \le V \le 250 $$
Hierin zijn $H_{\text{hoek}}$ de herbouwkosten voor een hoekwoning in euro's per m²
vloeroppervlak en is $V$ het vloeroppervlak van de woning in m².

De herbouwkosten van een hoekwoning zijn soms lager dan die van een
4p 4 twee-onder-een-kapwoning met hetzelfde vloeroppervlak.
Bereken voor welke vloeroppervlakken in gehele m² dit het geval is.

VW-1024-a-23-2-o
4 / 13
lees verder

### Pagina 5

De formule $H_{hoek} = e^{-0,02359V + 8,36} + 1375$ is te herleiden tot de vorm $H_{hoek} = b \cdot g^V + 1375$.
3p 5 Geef deze herleiding. Geef de waarde van $b$ in gehelen en de waarde van $g$ in vier decimalen.

tussenwoningen
De formule die men voor tussenwoningen gebruikt, is:
$$H_{tussen} = e^{-0,02398V + 8,144} + 1144 \text{ met } 30 \le V \le 250$$
Hierin zijn $H_{tussen}$ de herbouwkosten voor een tussenwoning in euro's per $m^2$ vloeroppervlak en is $V$ weer het vloeroppervlak van de woning in $m^2$.
In elk model gaat men ervan uit dat de herbouwkosten per $m^2$ afnemen naarmate het vloeroppervlak groter is. De mate waarin de herbouwkosten per $m^2$ afnemen, verschilt per model.
4p 6 Stel de afgeleiden van $H_{hoek}$ en $H_{tussen}$ op en onderzoek met behulp van een schets van beide afgeleiden bij welke van deze twee woningtypen de mate van afname het grootst is. Licht je antwoord toe.

VW-1024-a-23-2-o 5 / 13 lees verder ►►►

### Pagina 6

Groeimodellen

In de 18e eeuw werd algemeen aangenomen dat de toename van een
populatie dieren kan worden beschreven met behulp van een
meetkundige rij. Een model uit die tijd is:

$$
\begin{cases}
P_n = r \cdot P_{n-1} \\
P_0 = c
\end{cases}
$$
model 1

In dit model geldt:
- $P_n$ is de populatiefractie na $n$ jaar. Dat is de grootte van de populatie
als deel van de maximale populatie. $P_n$ is dus een getal tussen 0 en 1.
- $c$ is de startpopulatiefractie. Ook dit getal wordt uitgedrukt als een
deel van de maximale populatie (en dus geldt $0 < c < 1$).
- $r$ is de reproductiefactor: een getal dat aangeeft hoe snel een
populatie zich per jaar uitbreidt.

Neem aan dat in een bepaald bosrijk gebied een populatie van
165 vossen leeft. De reproductiefactor van de vossen in dit gebied is 1,28
en in het gebied is plaats voor maximaal 500 vossen.

3p 7 Bereken met behulp van model 1 na hoeveel jaar dit maximale aantal
bereikt zal zijn.

In model 1 wordt ervan uitgegaan dat een populatie altijd even snel groeit.
Dit komt echter niet overeen met de werkelijkheid: als de populatie groeit
wordt de ruimte per dier namelijk steeds kleiner, waardoor het moeilijker
wordt om voedsel te vinden. Hierdoor zal een populatie steeds minder
snel gaan groeien naarmate deze toeneemt.

Een verbeterde versie van model 1 is het logistische model:

$$
\begin{cases}
P_n = r \cdot P_{n-1} \cdot (1 - P_{n-1}) \\
P_0 = c
\end{cases}
$$
model 2

De variabelen in dit model hebben dezelfde betekenis als in model 1.

VW-1024-a-23-2-o 6 / 13 lees verder ► ► ►

### Pagina 7

De Oostvaardersplassen is een natuurgebied in de buurt van Lelystad. In 2020 leefden er in dit gebied een groot aantal edelherten. Door dit grote aantal konden andere diersoorten, voornamelijk vogels, zich niet meer goed ontwikkelen. Mede daarom wordt sinds 2021 de populatie door het afschieten van de dieren stabiel gehouden op 500 edelherten.
Neem aan dat er maximaal 2000 edelherten in de Oostvaardersplassen kunnen leven. Er geldt vanaf 2021 dat $r = 1,58$ en $c = 0,25$.
3p 8 Berekcn met behulp van model 2 hoeveel edelherten er in de periode 2021-2023 bij zouden komen als er geen dieren zouden worden afgeschoten.
In de rest van deze opgave gaan we bekijken hoe model 2 zich gedraagt bij verschillende waarden van $r$.
Als je voor $r$ een getal tussen de 0 en 1 invult, dan nadert $P_n$ voor iedere startwaarde $c$ (met $0 < c < 1$) naar 0. Je kunt dat beredeneren met de formule voor $P_n$.
3p 9 Geef een redenering waaruit blijkt dat wanneer $r$ tussen de 0 en 1 is, $P_n$ altijd naar 0 nadert.
Voor waarden van $r$ groter dan 1 wordt het model erg onvoorspelbaar.
figuur
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as $P_n$ (van 0 tot 0,9) en op de x-as $n$ (van 0 tot 20). De grafiek toont een schommelend patroon met pieken rond 0,7-0,8 en dalen rond 0,2-0,3.]
In de figuur is de grafiek getekend voor $r = 3,15$ en $c = 0,25$. Er is te zien dat de waarde van $P_n$ op den duur heen en weer gaat springen tussen twee vaste waarden.
3p 10 Onderzoek tussen welke twee waarden $P_n$ heen en weer gaat springen voor $r = 3,15$ en $c = 0,25$. Geef deze waarden in twee decimalen.
VW-1024-a-23-2-o 7 / 13 lees verder ► ► ►

### Pagina 8

Unieke woorden
Teksten bestaan uit woorden (en leestekens, maar die laten we in deze opgave buiten beschouwing). Deze woorden zijn niet allemaal verschillend. Dat wil zeggen dat ze niet allemaal uniek zijn. Hoe meer unieke woorden je naar verhouding tegenkomt, hoe moeilijker de tekst is.
In deze opgave kijken we naar het percentage unieke woorden in een tekst. Dit percentage wordt bepaald aan de hand van twee grootheden:
$U$: het aantal unieke woorden in een stuk tekst;
$T$: het totaal aantal woorden in dat stuk tekst.
We bekijken de eerste twee zinnen van deze opgave:

Teksten bestaan uit woorden (en leestekens, maar die laten we in deze opgave buiten beschouwing). Deze woorden zijn niet allemaal verschillend.

2p 11 Bepaal het percentage unieke woorden in de eerste twee zinnen van deze opgave samen. Geef je antwoord als geheel getal.
Van het boek On The Origin of Species van Charles Darwin is het verband tussen $U$ en $T$ bepaald. Zie figuur 1.
figuur 1
[FIGUUR: Een logaritmische grafiek met op de y-as het aantal unieke woorden ($U$) en op de x-as het totaal aantal woorden ($T$). De y-as loopt van 10 tot 10000 en de x-as loopt van 10 tot 100000. Er zijn 10 datapunten weergegeven als zwarte stippen, die een stijgende trend volgen. Een stippellijn loopt door de datapunten.]
VW-1024-a-23-2-o 8 / 13 lees verder ►►►

### Pagina 9

In figuur 1 is op beide assen een logaritmische schaal gebruikt. De gestippelde lijn geeft een benadering van het verband tussen $U$ en $T$. Figuur 1 staat ook vergroot op de uitwerkbijlage.

On The Origin of Species bevat in totaal 191740 woorden en er komen 8842 unieke woorden in voor. Naarmate je verder leest, kom je steeds minder nieuwe unieke woorden tegen. Als je een kwart van dit boek hebt gelezen, ben je al meer dan de helft van het totaal aantal unieke woorden tegengekomen.

5p 12 Bereken met behulp van de gestippelde lijn in de figuur op de uitwerkbijlage hoeveel procent van het totaal aantal unieke woorden je dan al bent tegengekomen. Geef je antwoord als geheel getal.

De taalkundige Gustav Herdan ontdekte een algemeen verband tussen $U$ en $T$ voor grotere teksten. Dit verband werd door Harold Stanley Heap bekendgemaakt en wordt de wet van Herdan-Heap genoemd.

De internationale nieuwsdienst Reuters heeft een database – de zogeheten RCV1 – beschikbaar gesteld ten behoeve van taalonderzoek. Onderzoekers hebben voor RCV1 het verband tussen $U$ en $T$ bepaald. Zie figuur 2, waarin $\log(U)$ tegen $\log(T)$ is uitgezet.

figuur 2

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as log(U) (waarden van 0 tot 6) en op de x-as log(T) (waarden van 0 tot 8). Een gestippelde lijn loopt van ongeveer (0,1) naar (8,6). Een dikkere, gebogen lijn loopt van ongeveer (2,1.5) naar (7,2.5), en lijkt de gestippelde lijn te volgen maar met afwijkingen.]

De grafiek in figuur 2 geeft het werkelijke verband tussen $U$ en $T$ in RCV1 en de gestippelde lijn geeft een benadering volgens de wet van Herdan-Heap.

VW-1024-a-23-2-o 9 / 13 lees verder ►►►

### Pagina 10

iemand leest een tekst die bestaat uit de eerste 7432 woorden uit RCV1.
2p 13 Ga met behulp van figuur 2 na of deze tekst voldoet aan de wet van
Her dan-Heap.
Een formule voor de gestippelde lijn in figuur 2 is
$ \log (U) = 0,49 \log (T) + 1,64 $
3p 14 Benader met behulp van deze formule het aantal unieke woorden in de
eerste 1 000 000 woorden in RCV1. Geef je antwoord in duizenden.
De formule $ \log (U) = 0,49 \log (T) + 1,64 $ kan worden herleid tot de vorm
$ U = c \cdot T^n $. Na afronding van $c$ op gehelen geldt $ U = 44 \cdot T^{0,49} $.
4p 15 Geef deze herleiding en bepaal daarmee $c$ in één decimaal.
Naarmate je vanaf het begin onafgebroken verder leest in RCV1, komen
er steeds minder unieke woorden bij. Vanaf een bepaald totaal aantal
woorden komt er (gemiddeld) minder dan één uniek woord per 50
woorden bij.
4p 16 Onderzoek bij welk totaal aantal woorden dit het geval is. Geef je
antwoord in duizenden.
VW-1024-a-23-2-o 10 / 13 lees verder ►►►

### Pagina 11

London Eye

De London Eye is een reuzenrad in foto
Londen. Zie de foto.

Een toerist heeft een kaartje gekocht
waarmee hij zelf een dagprogramma
kan samenstellen. Zo’n dagprogramma
bestaat uit een bezoek aan de London
Eye en aan nog twee andere attracties.
Die twee andere attracties mag hij
kiezen uit vijf bekende attracties in
Londen. De toerist mag zelf bepalen in welke volgorde hij de
drie attracties bezoekt.
3p 17 Bereken hoeveel verschillende dagprogramma’s de toerist kan maken.

De London Eye heeft 32 gondels, waarin de bezoekers plaatsnemen.
Eén rondgang van een gondel duurt precies 30 minuten.
De grafiek in de figuur hoort bij de hoogte van een van de gondels.
figuur
[FIGUUR: Grafiek met op de x-as 't (minuten) van 0 tot 30, en op de y-as 'h (meters)' van 0 tot 120. De grafiek is een sinusvormige curve die begint bij t=0 op ongeveer 50 meter, stijgt naar een maximum van 120 meter rond t=7.5, daalt naar een minimum van 0 meter rond t=22.5, en stijgt weer naar ongeveer 50 meter rond t=30.]
h (meters)
↑
120
100
80
60
40
20
0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
t (minuten)
→

Bij deze grafiek hoort de formule $h = 75 + 60 \cdot \sin(0,209t)$. Hierbij is $h$ de
hoogte van de gondel boven de grond in meters en $t$ de tijd in minuten
met $t = 0$ om 11.00 uur 's ochtends.
Deze grafiek hoort echter niet bij de gondel die zich om 11.00 uur bij het
instapplatfom in het laagste punt bevindt. De grafiek van de gondel die
zich om 11.00 uur in het laagste punt bevindt, heeft een formule van de
vorm $h = 75 + 60 \cdot \sin(0,209(t - d))$.
2p 18 Bereken een mogelijke waarde van $d$.

VW-1024-a-23-2-o 11 / 13 lees verder ►►►
Beschikbaar gesteld door Stichting Studiegbegeleiding Leiden (SSL).

### Pagina 12

De gondels draaien met een dusdanig lage constante snelheid dat bij het in- en uitstappen het reuzenrad niet hoeft te worden stilgezet. Deze constante snelheid is even groot als de maximale snelheid waarmee $h$ toeneemt of afneemt.
5p 19 Bereken deze constante snelheid in km/uur. Geef je antwoord in twee decimalen.
Hoe hoger je in het reuzenrad komt, hoe verder je kunt kijken. Met de formule $a = \sqrt{h^2 + 12742000h}$, waarbij $a$ de maximale kijkafstand in meters is en $h$ de hoogte boven de grond in meters, kun je benaderen hoe ver je kunt kijken vanaf een bepaalde hoogte boven de grond.
Windsor Castle ligt hemelsbreed 40 kilometer van de London Eye vandaan. Op een heldere dag kun je vanuit de London Eye Windsor Castle zien liggen.
5p 20 Bereken hoelang je per rondgang vanuit de London Eye op een heldere dag Windsor Castle kunt zien. Geef je antwoord in gehele minuten.
VW-1024-a-23-2-o 12 / 13 lees verder ►►►

### Pagina 13

NS Flex
Voor reizigers met het openbaar vervoer verkoopt de NS de zogenaamde
NS Flex-abonnementen. Je kunt dan voor elke maand opnieuw het
abonnement kiezen waarmee je in die maand in totaal de laagste kosten
hebt.
Drie van deze Flex-abonnementen zijn Dal Voordeel, Altijd Voordeel en
Dal Vrij. In de tabel staan voor deze abonnementen de kosten per maand
aangegeven en de kortingen die bij deze abonnementen gegeven worden.
In deze opgave beperken we ons tot deze drie abonnementen.
tabel
Dal Voordeel
€ 5,- per maand
40% korting in het
weekend
40% korting buiten de
spits
geen korting in de spits
Altijd Voordeel
€ 23,- per maand
40% korting in het
weekend
40% korting buiten de
spits
20% korting in de spits
Dal Vrij
€ 105,- per maand
onbeperkt reizen in het
weekend
onbeperkt reizen buiten
de spits
geen korting in de spits
Eefje woont in Enschede en werkt in Deventer. Ze reist altijd met de trein
naar haar werk. Het aantal dagen dat ze per maand moet reizen is
verschillend. Eefje wil een schema maken waaruit ze voor elk mogelijk
aantal reisdagen per maand kan aflezen welk abonnement voor haar het
voordeligst is.
Voor het maken van dit schema moet rekening gehouden worden met de
volgende gegevens:
Eefjes werkdagen zijn van maandag tot en met donderdag.
Eefjes heenreis is met de trein van 6.16 uur vanuit Enschede.
Eefjes terugreis is met de trein van 17.30 uur vanuit Deventer.
Eefje reist altijd 2e klas en via de goedkoopste route.
Eefje reist alleen voor haar werk met de trein.
De spits is op werkdagen van 6.30 tot 9.00 uur en van 16.00 tot
18.30 uur.
Het tijdstip waarop je incheckt, bepaalt de korting die wordt berekend
voor de hele reis.
Een enkele reis Enschede-Deventer vol tarief 2e klas kost € 12,10.
7p 21 Maak met behulp van berekeningen een schema waaruit Eefje voor elk
mogelijk aantal reisdagen per maand kan aflezen welk abonnement voor
haar het voordeligst is.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
VW-1024-a-23-2-0
13 / 13
einde