# Eindexamen Wiskunde A VWO 2023 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1

## Vraag 1 – Vraag

Karima is van plan een duik op een diepte van 10 meter uit te voeren. Ze heeft een duikfles met een inhoud van 14 liter die gevuld is met lucht met een druk van 200 bar. Karima weet in eerste instantie haar luchtverbruik niet en maakt gebruik van het gegeven dat het luchtverbruik van een met haar vergelijkbare duiker 18 liter/minuut is. Aan het einde van de duik wil ze als reserve nog minstens 50 bar druk in haar fles hebben.
Bereken met deze gegevens hoeveel minuten haar duik maximaal mag duren. Geef je antwoord in hele minuten.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je gegevens uit een tekst en mogelijk een tabel moet combineren om een berekening uit te voeren. Vaak gaat het om het invullen van een formule of het opstellen van een eenvoudige vergelijking.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je eenheden correct interpreteert en hoe je een formule opstelt of invult op basis van een beschreven situatie. Je moet ook weten hoe je data uit een tabel afleest.

Wat moet je kunnen: Je kunt de relevante gegevens uit de vraagtekst en een eventuele tabel halen. Je kunt deze gegevens correct invullen in een formule en de berekening nauwkeurig uitvoeren. Je kunt je antwoord correct afronden volgens de vraagstelling.

Waar op letten: Je moet de juiste druk aflezen uit de tabel voor de diepte van 10 meter.
Je moet goed onderscheid maken tussen de startdruk en de reservedruk, en deze correct verwerken in de berekening van de beschikbare druk.
Let op de eenheden: liter, bar, liter/minuut. Zorg dat je consistent rekent.
Je moet de formule correct opstellen of de gegeven formule correct invullen met de juiste waarden.
Rond pas af op hele minuten aan het einde van je berekening.

Kernbegrippen: formule substitutie, aflezen van data uit een tabel

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/1

## Vraag 2 – Vraag

In bovenstaande berekening is voor het luchtverbruik van Karima een waarde van een met haar vergelijkbare duiker gebruikt. Voor een nauwkeuriger berekening wil zij haar individuele luchtverbruik berekenen op basis van gegevens van een vorige duik. Eerder heeft Karima een duik gemaakt met een duikdiepte van 15 meter. Ze begon met een volle duikfles van 14 liter met 200 bar druk. Aan het einde van haar duik, na 49 minuten, had ze nog 63 bar druk in haar duikfles.
Bereken haar luchtverbruik in liter per minuut tijdens die duik. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een verband moet leggen tussen de drukverandering in de duikfles, de diepte van de duik, de duur van de duik en het volume van de fles om het luchtverbruik te berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet de relatie kennen tussen druk en diepte onder water, en hoe dit zich verhoudt tot het verbruik van lucht uit een duikfles. Je moet ook weten hoe je een vergelijking kunt opstellen en oplossen met meerdere variabelen.

Wat moet je kunnen: Je moet de relevante gegevens uit de tekst kunnen halen en deze correct kunnen toepassen in een formule. Je moet een vergelijking kunnen opstellen en deze vervolgens algebraïsch kunnen oplossen voor de gevraagde variabele (luchtverbruik). Je moet ook correct kunnen afronden.

Waar op letten: Let goed op de eenheden: liter, bar, meter, minuten. Zorg dat je consistent bent.
De druk op een bepaalde diepte is cruciaal. Je moet deze mogelijk afleiden uit de context of een bijbehorende tabel (die hier niet is gegeven, maar wel geïmpliceerd).
Je moet een formule opstellen of een bestaande formule omwerken om het luchtverbruik te vinden.
Rond pas af op één decimaal bij het allerlaatste antwoord.
Controleer of je alle gegeven informatie hebt gebruikt en of je antwoord logisch is in de context van duiken.

Kernbegrippen: lineair verband, formule omwerken, variabelen substitueren

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/2

## Vraag 3 – Vraag

Om sneller de maximale duiktijd te berekenen, is het handig om in plaats van de druk p op de duikdiepte direct de duikdiepte d in meter in de formule in te kunnen vullen. Hiervoor moet de formule aangepast worden. Stel met behulp van de tabel een dergelijke formule voor T op.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een lineair verband moet afleiden uit een tabel en dit verband vervolgens moet gebruiken om een andere formule te herschrijven door middel van substitutie.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een lineaire formule (y = ax + b) opstelt aan de hand van twee punten of een tabel. Je moet ook de basisregels van algebra kennen voor het substitueren van uitdrukkingen in formules.

Wat moet je kunnen: Je moet de coëfficiënten 'a' (richtingscoëfficiënt) en 'b' (startgetal) van een lineaire functie kunnen berekenen. Je moet ook een algebraïsche uitdrukking kunnen vervangen in een bestaande formule om een nieuwe formule te creëren.

Waar op letten: Je moet eerst de tabel goed interpreteren om het lineaire verband tussen p en d te herkennen.
Je moet de juiste methode gebruiken om de parameters 'a' en 'b' van de lineaire formule p = ad + b te bepalen.
Je moet de gevonden lineaire formule correct substitueren in de oorspronkelijke formule voor T.
Je moet ervoor zorgen dat de uiteindelijke formule voor T alleen de variabele 'd' bevat, naast de andere constanten.
Je moet nauwkeurig werken met de variabelen en constanten om fouten bij het substitueren te voorkomen.

Kernbegrippen: lineair verband opstellen, formules substitueren

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/3

## Vraag 4 – Vraag

Voor een situatie met een fles van 10 liter met een begindruk van 180 bar, een einddruk van 60 bar en een luchtverbruik van een duiker van 25 liter/minuut geldt voor de maximale duiktijd de volgende formule:
T' = 1200 / (2,5d + 25)
Deze functie is dalend.

4 Onderzoek met behulp van de afgeleide van T' of de maximaal toegestane duiktijd in deze situatie toenemend of afnemend daalt bij grotere duikdiepte.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een functie en je moet met behulp van differentiëren het gedrag van die functie analyseren. Specifiek moet je bepalen of de daling van de functie 'toenemend' of 'afnemend' is.

Wat moet je kennen: Je moet de regels voor differentiëren kennen, met name de quotiëntregel of de kettingregel. Ook moet je de relatie tussen de eerste en tweede afgeleide en het gedrag van een functie (stijgend/dalend, toenemend/afnemend) begrijpen.

Wat moet je kunnen: Je moet een gegeven functie correct kunnen differentiëren. Vervolgens moet je de afgeleide(n) kunnen analyseren om te bepalen of de functie toenemend of afnemend daalt. Je moet je redenering helder kunnen opschrijven en de juiste conclusie trekken.

Waar op letten: Je moet de juiste differentieerregel toepassen: de quotiëntregel of de kettingregel, afhankelijk van hoe je de functie herschrijft.
Let goed op de mintekens bij het differentiëren, vooral bij de kettingregel of de quotiëntregel.
Je moet de betekenis van de eerste afgeleide (T') en eventueel de tweede afgeleide (T'') correct interpreteren om te bepalen of de daling 'toenemend' of 'afnemend' is.
Een dalende functie heeft een negatieve afgeleide. Als deze negatieve afgeleide toeneemt (minder negatief wordt), dan is de daling afnemend. Als de negatieve afgeleide afneemt (meer negatief wordt), dan is de daling toenemend.
Je moet je conclusie duidelijk formuleren in termen van 'afnemend dalend' of 'toenemend dalend' en deze onderbouwen met je analyse van de afgeleide(n).

Kernbegrippen: differentiëren, quotiëntregel, kettingregel, afnemend dalend, toenemend dalend, afgeleide functie interpreteren

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/4

## Vraag 5 – Vraag (3 punten)

Van een bepaald soort whisky is het engelen deel 4,5%. Neem aan dat het engelen deel elk jaar hetzelfde percentage is.
Bereken hoelang het duurt totdat nog maar de helft van de whisky over is. Geef je antwoord in jaren en gehele maanden.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over exponentiële afname. Je moet een groeifactor bepalen en deze gebruiken in een exponentiële vergelijking. Daarna los je deze vergelijking op en interpreteer je het resultaat in jaren en maanden.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een groeifactor berekent bij een percentage afname. Je moet ook weten hoe je een exponentiële vergelijking oplost, zowel met logaritmen als met de grafische rekenmachine. Tot slot moet je weten hoe je een decimaal deel van een jaar omrekent naar maanden.

Wat moet je kunnen: Je kunt de groeifactor correct bepalen. Je kunt een exponentiële vergelijking opstellen en oplossen. Je kunt het decimale deel van een jaar nauwkeurig omrekenen naar een aantal maanden.

Waar op letten: Zet het percentage 'engelen deel' correct om naar een groeifactor (let op: afname!).
Stel de exponentiële vergelijking correct op: (groeifactor)^t = resterend deel.
Rond pas af in de allerlaatste stap. Gebruik voldoende decimalen voor de berekening van de maanden.
Let op de eenheid van het antwoord: jaren én gehele maanden. Een decimaal jaar moet je omrekenen naar maanden (bijvoorbeeld 0,5 jaar is 6 maanden, 0,25 jaar is 3 maanden).

Kernbegrippen: exponentiële afname, groeifactor, exponentiële vergelijking oplossen, omrekenen decimaal jaar naar maanden

Veelgemaakte fouten:
- verkeerde groeifactor gebruiken (bv. 1,045 of 0,045)
- incorrect omrekenen van decimaal jaar naar maanden

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/5

## Vraag 6 – Vraag

Pappy Van Winkle 23 is een zeer exclusieve whisky die op traditionele wijze geproduceerd wordt en, zoals de naam al suggereert, 23 jaar in een houten vat rijpt voordat hij in flessen gedaan wordt. Op de website van de producent staat het volgende:

Het rijpingsproces begint met een vat met 200 liter whisky. Het eerste jaar gaat er maar liefst 10% verloren, doordat de whisky in het hout trekt. De 8 jaren erna gaat er 4% per jaar verloren en daarna steeds 3% per jaar. Tenslotte gaat er van het eindproduct ook nog 6 liter verloren bij het vullen van de flessen.

Pappy Van Winkle 23 wordt verkocht in flessen van 750 ml.
Bereken hoeveel van zulke flessen kunnen worden gevuld, uitgaande van 200 liter whisky.

Wat kun je verwachten: Je zult een meerstapsberekening moeten uitvoeren waarbij je verschillende groeifactoren toepast over verschillende tijdsperioden. Daarna trek je een vast bedrag af en deel je door de inhoud per fles.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een percentage afname omzet naar een groeifactor en hoe je deze groeifactor toepast over meerdere jaren. Ook moet je weten hoe je eenheden omrekent (liter naar milliliter en vice versa).

Wat moet je kunnen: Je moet een exponentieel model kunnen opstellen en berekeningen kunnen uitvoeren met verschillende groeifactoren voor verschillende periodes. Je moet ook nauwkeurig kunnen rekenen met liters en milliliters en correct afronden bij het bepalen van het aantal flessen.

Waar op letten: Zet percentages om naar groeifactoren (bijvoorbeeld 10% verlies is groeifactor 0.90).
Verdeel de 23 jaar rijping correct over de verschillende verliespercentages.
Reken alle hoeveelheden om naar dezelfde eenheid (bijvoorbeeld alles in liters of alles in milliliters).
Trek het vaste verlies van 6 liter pas af ná de procentuele verliezen.
Rond het aantal flessen altijd naar beneden af, omdat je geen halve flessen kunt vullen.

Kernbegrippen: procentuele afname, groeifactor, samengestelde afname

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/6

## Vraag 7 – Vraag

De meeste whisky rijpt tegenwoordig niet meer in houten vaten. In plaats daarvan wordt de whisky in grote metalen ketels gedaan en worden er houtsnippers aan toegevoegd. Hierdoor wordt het engelendeel beperkt tot zo'n 3% per jaar. Voor het vervolg van de opgave gaan we ervan uit dat het engelendeel ieder jaar 3% is.

Bij de massaproductie van whisky wordt ervoor gezorgd dat de totale hoeveelheid whisky gelijk blijft door jaarlijks de ketel weer bij te vullen met nieuw geproduceerde whisky. Hierdoor ontstaat er een mengsel dat maar voor een deel uit de oorspronkelijke whisky bestaat.

Bijvoorbeeld: Een ketel bevat 500 liter whisky. Na een jaar is daarvan 3%, dus 15 liter, verloren gegaan. Er wordt aan het eind van dat jaar 15 liter nieuw geproduceerde whisky in de ketel gedaan, zodat er dan 485 liter whisky van 1 jaar oud en 15 liter whisky van 0 jaar oud in zit. Aan het eind van het tweede jaar is er weer 15 liter verloren gegaan en ook dit wordt weer aangevuld met nieuw geproduceerde whisky, enzovoorts.

In de tabel staat voor een aantal jaren de samenstelling van het mengsel aan het eind van het jaar, in procenten.

tabel

| | leeftijd van de whisky |
|---|---|---|---|---|---|
| jaar (n) | n | n-1 | n-2 | n-3 | n-4 |
| 0 | 100 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 97 | 3 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 94,09 | 2,91 | 3 | 0 | 0 |
| 3 | 91,27 | 2,82 | 2,91 | 3 | 0 |
| 4 | 88,53 | 2,74 | 2,82 | 2,91 | 3 |
| 5 | 85,87 | ... | ... | ... | ... |

In de tabel kun je bijvoorbeeld aflezen dat aan het eind van het 4e jaar 88,53% van het mengsel bestaat uit 4 jaar oude whisky, 2,74% uit 3 jaar oude whisky, 2,82% uit 2 jaar oude whisky, 2,91% uit 1 jaar oude whisky en 3% uit nieuw geproduceerde whisky (0 jaar oude whisky).

Bereken hoeveel procent van het mengsel aan het eind van het 7e jaar bestaat uit whisky van 5 jaar of ouder. Geef je antwoord in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een exponentiële afname moet toepassen om de percentages van de oudere whisky te berekenen. Je zult de groeifactor moeten bepalen en deze herhaaldelijk toepassen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een groeifactor berekent bij een gegeven percentage afname. Je moet ook begrijpen hoe je met deze groeifactor de hoeveelheid (of het percentage) na een aantal jaren kunt berekenen.

Wat moet je kunnen: Je moet de groeifactor correct kunnen toepassen om de percentages whisky van verschillende leeftijden te berekenen. Je moet ook de berekende percentages correct kunnen optellen om tot het gevraagde totale percentage te komen en dit op de juiste manier afronden.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen de 'oorspronkelijke' whisky die afneemt en de 'nieuw geproduceerde' whisky die wordt toegevoegd.
Zorg dat je de groeifactor correct afleidt uit het percentage 'engelendeel'.
Begrijp hoe de percentages in de tabel zijn opgebouwd: de 'nieuw geproduceerde' whisky is altijd 3%, en de oudere whisky is het percentage van het vorige jaar vermenigvuldigd met de groeifactor.
Rond pas af in de allerlaatste stap om afrondingsfouten te voorkomen.
Vergeet niet dat je de percentages van '5 jaar of ouder' moet optellen, wat betekent dat je de percentages voor 5, 6 en 7 jaar oud moet berekenen en bij elkaar optellen.

Kernbegrippen: procentuele afname, groeifactor, exponentiële afname, sommering

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/7

## Vraag 8 – Vraag

Als we alleen kijken naar de later toegevoegde whisky in een bepaald jaar, dan vormen de percentages later toegevoegde whisky's in dat jaar een meetkundige rij.

Om te berekenen hoeveel procent van een whiskymengsel bestaat uit later toegevoegde whisky, kun je de termen uit deze meetkundige rij bij elkaar optellen.
Er geldt dus: T(n) = Σ_{k=0}^{n-1} W(k) met W(k) = 3 ⋅ 0,97^k

In deze formule is T(n) het percentage later toegevoegde whisky na n jaar en W(k) het percentage whisky van k jaar oud in het mengsel.

Bereken, gebruik makend van bovenstaande somformule, welk percentage van het mengsel na 7 jaar bestaat uit alle later toegevoegde whisky. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een som van termen van een meetkundige rij moet berekenen. Dit doe je waarschijnlijk met de sommatiefunctie op je grafische rekenmachine.

Wat moet je kennen: Je moet de notatie van een sommatie (Sigma-teken) kennen en begrijpen hoe de index (k) en de grenzen (0 en n-1) werken. Je moet ook weten wat een meetkundige rij is en hoe je de termen ervan berekent.

Wat moet je kunnen: Je moet de sommatiefunctie op je grafische rekenmachine correct kunnen gebruiken. Je moet de gegeven formule W(k) correct kunnen invullen en de juiste grenzen voor k kunnen bepalen op basis van de vraag (n=7).

Waar op letten: Let goed op de index van de sommatie: T(n) is de som van k=0 tot n-1. Voor T(7) betekent dit dat je de termen van k=0 tot 6 moet optellen.
Zorg ervoor dat je de formule W(k) = 3 * 0.97^k correct invoert in je GR, inclusief de exponent k.
Rond pas af op één decimaal in de allerlaatste stap van je berekening.
De eenheid van het antwoord is een percentage (%). Vergeet dit niet te vermelden of te interpreteren.

Kernbegrippen: somformule, meetkundige rij, rekenen met de grafische rekenmachine

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/8

## Vraag 9 – Vraag

Een volwassen man wandelt wekelijks met een snelheid van 4 km/uur in 2 uur een rondje van 8 km. Hij wil meer MET-uren realiseren en besluit om hetzelfde rondje met een snelheid van 6 km/uur te gaan wandelen. De tijd die ‘overblijft’ van die 2 uur, wordt stilzittend doorgebracht.
Onderzoek of dit voor hem het gewenste resultaat oplevert.

Wat kun je verwachten: Je kunt een vraag verwachten waarbij je verschillende stappen moet doorlopen om tot een conclusie te komen. Je moet gegevens uit de tekst halen, berekeningen uitvoeren en deze logisch combineren.

Wat moet je kennen: Je moet de basisformule voor afstand, snelheid en tijd kennen (afstand = snelheid × tijd). Ook moet je begrijpen hoe 'MET-uren' worden berekend (MET-waarde × tijd).

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om een probleem in verschillende deelproblemen op te splitsen. Je moet nauwkeurig kunnen rekenen met tijd en snelheid, en de MET-waarden correct toepassen. Tot slot moet je een duidelijke conclusie kunnen formuleren op basis van je berekeningen.

Waar op letten: Let goed op de eenheden: uren, km/uur, km. Zorg dat je consistent rekent.
Verwar snelheid niet met MET-waarde. De MET-waarde is een factor die je vermenigvuldigt met de tijd.
Vergeet niet de 'overblijvende' tijd mee te nemen in de berekening van de totale MET-uren.
Rond pas af in de allerlaatste stap om afrondingsfouten te voorkomen.
Vergelijk de uiteindelijke totale MET-uren van de nieuwe situatie met de oorspronkelijke situatie om de conclusie te trekken.

Kernbegrippen: rekenen met eenheden, MET-uren, samengestelde berekening, tijd-afstand-snelheid

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/9

## Vraag 10 – Vraag

Om meer MET-uren te realiseren, wil deze volwassen man per week maximaal 3 keer (op dinsdag, woensdag en/of donderdag) een uur fietsen of een uur hardlopen en daarmee in totaal precies 12 MET-uren realiseren. Hij kan dan bijvoorbeeld hardlopen op dinsdag en rustig fietsen op donderdag. Hij wil op één dag één uur dezelfde activiteit uitvoeren dus wisselen van activiteit na een half uur is voor hem geen optie.
Onderzoek hoeveel verschillende weekindelingen hij kan maken.

Wat kun je verwachten: Je kunt een vraag verwachten waarbij je verschillende scenario's moet onderscheiden om tot een totaal aantal mogelijkheden te komen. Je zult combinatorische principes moeten toepassen om het aantal manieren te tellen waarop activiteiten over dagen verdeeld kunnen worden.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van combinatoriek kennen, zoals het verschil tussen combinaties en permutaties, en hoe je deze toepast. Je moet ook weten hoe je de vermenigvuldigingsregel gebruikt bij het tellen van mogelijkheden.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om de context van de vraag te analyseren en de relevante informatie (MET-waarden, aantal dagen, aantal activiteiten) eruit te filteren. Je moet de vraag kunnen opdelen in logische deelproblemen en voor elk deelprobleem het aantal mogelijkheden correct kunnen berekenen. Tot slot moet je de resultaten van de deelproblemen correct combineren om tot het eindantwoord te komen.

Waar op letten: Lees goed hoeveel MET-uren elke activiteit oplevert. Dit is cruciaal voor het bepalen van de combinaties.
Let op het maximale aantal activiteiten per week (3 keer) en dat elke activiteit 1 uur duurt.
Bedenk dat 'stevig fietsen' en 'hardlopen' dezelfde MET-waarde hebben en dus als één type activiteit kunnen worden beschouwd voor de berekening van MET-uren.
Splits de vraag op in verschillende 'gevallen' of 'scenario's' om alle mogelijkheden systematisch te tellen.
Vergeet niet de volgorde van de activiteiten op de dagen mee te nemen in je telling, als dat relevant is (permutaties of combinaties).

Kernbegrippen: combinatoriek, casework, vermenigvuldigingsregel, combinaties

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/10

## Vraag 11 – Vraag

De totale fysieke activiteit per dag varieert jaarlijks van minimaal 29,4 MET-uren per dag tot 30,5 MET-uren per dag. Op 21 december, de kortste dag, is de totale fysieke activiteit per dag minimaal. De totale fysieke activiteit wordt gemodelleerd met een formule van de vorm:

f = a + b sin(c(t – d))

Hierin is f de totale fysieke activiteit in MET-uren per dag en is t de tijd in dagen met t = 0 op 1 januari.
Bereken de waarden van a, b, c en d. Geef a en b in twee decimalen, c in vijf decimalen en d in gehelen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een context waarin een periodiek verschijnsel wordt beschreven. Je moet de parameters van een gegeven sinusfunctie bepalen die dit verschijnsel modelleert. Je zult de evenwichtsstand, amplitude, periode en faseverschuiving moeten afleiden uit de tekst.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een sinusfunctie kennen: f = a + b sin(c(t – d)). Je moet weten wat elke parameter (a, b, c, d) betekent in relatie tot de grafiek van de functie (evenwichtsstand, amplitude, periode, faseverschuiving). Je moet ook weten hoe je de periode berekent uit 'c' en andersom.

Wat moet je kunnen: Je kunt de evenwichtsstand (a) berekenen als het gemiddelde van het maximum en minimum. Je kunt de amplitude (b) berekenen als de helft van het verschil tussen het maximum en minimum. Je kunt de periode (T) bepalen uit de context (een jaar) en daarmee 'c' berekenen met de formule T = (2pi)/c. Je kunt de faseverschuiving (d) bepalen door de gegeven datum van een extremum (minimum in dit geval) te relateren aan de standaard sinusgrafiek.

Waar op letten: Let goed op de eenheden van tijd (dagen) en de start van de telling (t=0 op 1 januari).
Zorg ervoor dat je de juiste formules gebruikt voor het berekenen van a, b en c uit de gegeven informatie.
Bij het bepalen van 'd' is het cruciaal om te bedenken of de sinusfunctie start met een stijging (sin(x)) of een daling (-sin(x)) en waar het eerste minimum of maximum zich bevindt ten opzichte van t=0.
Rond pas af in de allerlaatste stap volgens de opgegeven precisie voor elke parameter (a en b in twee decimalen, c in vijf decimalen en d in gehelen).
Houd rekening met de periode van de sinusfunctie bij het bepalen van 'd'; er zijn meerdere mogelijke waarden voor 'd' die hetzelfde model beschrijven, maar vaak wordt de dichtstbijzijnde positieve waarde gevraagd of een waarde binnen één periode.

Kernbegrippen: sinusfunctie, periodieke functies, amplitude, evenwichtsstand, periode, faseverschuiving

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/11

## Vraag 12 – Vraag

Het grootste verschil in gemiddeld gewicht in een jaar is procentueel gezien kleiner dan het grootste verschil in gemiddelde calorie-inname in een jaar.
Toon dit aan met behulp van de formules.

Wat kun je verwachten: Je krijgt formules die een periodiek verband beschrijven, vaak met sinus of cosinus. Je moet de eigenschappen van deze functies, zoals evenwichtsstand en amplitude, kunnen herkennen en gebruiken om minimale en maximale waarden te bepalen. Vervolgens moet je procentuele veranderingen kunnen berekenen en vergelijken.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een sinusfunctie kennen (A + B sin(C(x-D))) en weten hoe je de evenwichtsstand (A) en amplitude (B) hieruit afleest. Je moet ook de formule voor procentuele verandering kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet uit de gegeven formules de evenwichtsstand en amplitude kunnen aflezen. Je moet hiermee de minimale en maximale waarden van de functies kunnen berekenen. Daarna moet je de procentuele toename van het minimum naar het maximum kunnen berekenen voor beide situaties en deze twee percentages met elkaar kunnen vergelijken om de bewering aan te tonen.

Waar op letten: Let goed op de evenwichtsstand en de amplitude in de gegeven formules om de minimale en maximale waarden te bepalen.
Bereken de procentuele verandering correct: ((nieuw - oud) / oud) * 100%. Bepaal hierbij wat 'oud' (minimum) en 'nieuw' (maximum) is.
Rond pas af in de laatste stap. Gebruik tussendoor voldoende decimalen.
Vergelijk de twee procentuele verschillen om de bewering aan te tonen.
Zorg ervoor dat je de eenheden (kcal, kg) correct vermeldt bij de berekende waarden.

Kernbegrippen: sinusfunctie, amplitude, evenwichtsstand, minimum en maximum bepalen, procentuele verandering

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/12

## Vraag 13 – Vraag

Het gemiddelde gewicht is later maximaal dan de gemiddelde calorie-inname.
Bereken hoeveel dagen later dit volgens de formules is.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je de maxima van twee sinusfuncties moet bepalen en vervolgens het tijdsverschil tussen deze maxima moet berekenen. Dit vereist inzicht in sinusfuncties en het gebruik van je grafische rekenmachine.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe een sinusfunctie werkt, wat de parameters A, B, C en D betekenen, en hoe je de periode van een sinusfunctie berekent. Ook moet je bekend zijn met het vinden van maxima van functies met je grafische rekenmachine.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven formules correct invoeren in je grafische rekenmachine. Je moet de functie 'maximum' van je GR kunnen gebruiken om de t-waarden van de maxima te vinden. Vervolgens moet je het verschil tussen deze t-waarden correct kunnen berekenen, rekening houdend met de cyclische aard van de tijd (een jaar).

Waar op letten: Je moet de t-waarden vinden waar de sinusfuncties hun maximum bereiken. Dit doe je met de grafische rekenmachine.
Let op de periode van de sinusfunctie. Een jaar heeft 365 dagen (of 365,25 dagen, zoals in de opmerkingen genoemd). Als een maximum aan het begin van het jaar en het andere aan het eind van het jaar valt, moet je dit verrekenen.
Zorg ervoor dat je de juiste formules invoert in je GR en dat je de maxima correct afleest.
Rond pas af op een geheel getal bij de allerlaatste stap, tenzij anders aangegeven. Gebruik tussentijds voldoende decimalen.
De vraag vraagt om 'dagen later', dus de volgorde van aftrekken is belangrijk.

Kernbegrippen: sinusfunctie, maximum bepalen, grafische rekenmachine, periode

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/13

## Vraag 14 – Vraag

Bereken de jaarlijkse procentuele afname in deze periode, uitgaande van de exponentiële trend. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je moet een totale procentuele afname omzetten naar een groeifactor, en deze groeifactor vervolgens omrekenen naar een jaarlijkse groeifactor. Tot slot zet je de jaarlijkse groeifactor weer om naar een jaarlijkse procentuele afname.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een procentuele afname omzet naar een groeifactor (bijvoorbeeld 40% afname is groeifactor 0,6). Je moet ook weten hoe je een groeifactor over een langere periode omrekent naar een groeifactor per jaar, en vice versa. Denk aan de formule g_totaal = g_jaar^t.

Wat moet je kunnen: Je kunt de totale groeifactor berekenen uit de gegeven procentuele afname. Je kunt de juiste tijdspanne bepalen. Je kunt de jaarlijkse groeifactor berekenen door de juiste wortel te trekken of een macht te gebruiken. Je kunt de jaarlijkse groeifactor omzetten naar een procentuele afname en correct afronden.

Waar op letten: Zet de procentuele afname eerst om naar een groeifactor (bijvoorbeeld 40% afname is 1 - 0.40 = 0.60).
Bepaal de exacte duur van de periode in jaren (bijvoorbeeld 2017 - 1992 = 25 jaar).
Gebruik de juiste macht of wortel om de jaarlijkse groeifactor te vinden (g^25 = 0.60, dus g = 0.60^(1/25)).
Rond pas af in de allerlaatste stap naar het gevraagde aantal decimalen.
Let op het verschil tussen een groeifactor (bijvoorbeeld 0.9797) en een procentuele afname (1 - 0.9797 = 0.0203 = 2.03%).

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor per tijdseenheid, procentuele verandering, groeifactor omrekenen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/14

## Vraag 15 – Vraag

Nadat het aantal heivlinders vanaf 2003 stabiel leek en zich in de periode
2011–2013 zelfs wat leek te herstellen, was 2017 weer een rampjaar voor
de heivlinder.
Bereken met behulp van de figuur het percentage heivlinders in 2017 ten
opzichte van het aantal heivlinders in 1992. Geef je antwoord in één
decimaal.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een waarde moet aflezen uit een grafiek met een logaritmische schaal en deze moet interpreteren als een percentage.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een logaritmische schaal correct afleest en interpreteert. Je moet ook begrijpen wat een populatie-index betekent in relatie tot een referentiejaar.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig een waarde kunnen aflezen uit een grafiek met een logaritmische y-as. Je moet deze afgelezen waarde vervolgens correct kunnen omzetten naar een percentage ten opzichte van het basisjaar (1992).

Waar op letten: Let goed op de schaalverdeling van de y-as. Dit is een logaritmische schaal, wat betekent dat de afstanden tussen de lijnen niet lineair zijn.
De populatie-index in 1992 is de referentiewaarde (100%). Je moet de waarde voor 2017 aflezen en deze direct interpreteren als een percentage ten opzichte van 1992.
Wees nauwkeurig met aflezen of meten in de grafiek. Een kleine afwijking kan leiden tot een ander antwoord.
Rond pas af op één decimaal bij de allerlaatste stap van je berekening.

Kernbegrippen: logaritmische schaal, aflezen van een grafiek, indexcijfers

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/15

## Vraag 16 – Vraag (2 punten)

Als de trend zich op dezelfde manier blijft doorzetten, zal het aantal getelde heivlinders in een gegeven jaar minder dan 2% zijn van het aantal getelde heivlinders in 1992.
Bereken in welk jaar dat volgens de gegeven formule voor het eerst het geval zal zijn.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een logaritmische vergelijking moet opstellen en oplossen. Je moet de context van procentuele afname correct vertalen naar de variabele in de formule en vervolgens de berekende tijd omzetten naar een specifiek jaartal.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van logaritmen kennen om de vergelijking op te lossen. Ook moet je weten hoe je een percentage (2%) omzet naar een factor die past bij de gegeven formule (P=2). Je moet ook weten hoe je de variabele 't' (jaren na 1992) omrekent naar een kalenderjaar.

Wat moet je kunnen: Je moet een logaritmische vergelijking kunnen opstellen op basis van de gegeven informatie. Je moet deze vergelijking algebraïsch kunnen oplossen of met behulp van je grafische rekenmachine. Tot slot moet je de berekende waarde van 't' correct kunnen interpreteren en omzetten naar het gevraagde jaartal.

Waar op letten: Let goed op de betekenis van '2% zijn van het aantal in 1992'. Dit betekent dat de populatie-index P gelijk moet zijn aan 2, niet 0.02.
Vergeet niet dat 'log(P)' in de formule staat, dus je moet log(2) gebruiken, niet alleen 2.
Rond pas af in de allerlaatste stap. Bereken t zo nauwkeurig mogelijk voordat je het jaartal bepaalt.
De variabele t staat voor het aantal jaren ná 1992. Tel de berekende t op bij 1992 om het juiste jaartal te vinden.
Lees goed of er 'minder dan' of 'gelijk aan' staat. Dit kan invloed hebben op het afronden van het jaartal.

Kernbegrippen: logaritmische vergelijking oplossen, exponentieel model, procentuele afname, variabelen interpreteren

Veelgemaakte fouten:
- P=0.02 gebruiken ipv P=2
- t=57.6 als antwoord geven ipv jaartal
- afrondingsfout bij jaartal (2049 ipv 2050)
- log(P) = 2 gebruiken ipv log(P) = log(2)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/16

## Vraag 17 – Vraag

De formule log(P) = −0,026t + 1,8 kan worden herleid tot een formule van de vorm P = b · g^t waarmee de populatie-index in een bepaald jaar in één keer kan worden berekend.
Geef deze herleiding. Geef b in gehelen en g in drie decimalen.

Wat kun je verwachten: Je zult een logaritmische vergelijking moeten herleiden naar een exponentiële vergelijking. Je moet de rekenregels voor logaritmen en machten correct toepassen en de constanten b en g berekenen en afronden zoals gevraagd.

Wat moet je kennen: Je moet de definitie van een logaritme kennen (log(A)=B is equivalent aan A=10^B). Ook moet je de rekenregels voor machten kennen, met name a^(p+q) = a^p * a^q en a^(p*q) = (a^p)^q.

Wat moet je kunnen: Je kunt een logaritmische vergelijking omzetten naar een exponentiële vergelijking. Je kunt de rekenregels voor machten toepassen om een exponentiële formule in de vorm P = b * g^t te schrijven. Je kunt de waarden van b en g berekenen en correct afronden.

Waar op letten: Let goed op de definitie van logaritme: log(P) = X betekent P = 10^X. Dit is de eerste cruciale stap.
Gebruik de juiste rekenregels voor machten: a^(p+q) = a^p * a^q om de termen met 't' te scheiden.
Gebruik de rekenregel (a^p)^q = a^(p*q) om de groeifactor 'g' te isoleren als (10^(exponent zonder t))^t.
Rond de constante 'b' af op een geheel getal en de groeifactor 'g' op drie decimalen, zoals in de vraag staat.
Voer de berekeningen nauwkeurig uit en rond pas af in de allerlaatste stap om afrondingsfouten te voorkomen.

Kernbegrippen: logaritme, exponentiële functie, rekenregels machten, formule herleiden

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/17

## Vraag 18 – Vraag

Gegeven zijn de volgende (basis)tijden:
– Maarten Brzoskowski zwom in november 2021 de 50 meter vrije slag in 22,26 seconden; de bijbehorende basistijd is 20,16 seconden.
– Op 16 december 2021 zwom Anne Louise Palmans de 100 meter schoolslag in 1 minuut en 10,25 seconden; de bijbehorende basistijd is 1 minuut en 4,13 seconden.

Bepaal welke van de twee genoemde zwemmers het hoogste aantal FINA-punten scoorde.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een formule moet toepassen die je uit de context of eerdere opgaven kent. Je zult getallen moeten invullen en berekeningen moeten uitvoeren, waarbij je goed op eenheden moet letten.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor het berekenen van FINA-punten kennen of kunnen afleiden uit de gegeven informatie. Je moet ook weten hoe je tijden (minuten en seconden) omrekent naar alleen seconden.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven tijden correct kunnen omzetten naar de juiste eenheid (seconden). Je moet de formule correct kunnen invullen en de berekeningen nauwkeurig kunnen uitvoeren. Tot slot moet je de resultaten van de twee zwemmers kunnen vergelijken en de conclusie trekken.

Waar op letten: Let goed op de eenheden van tijd. Soms staat een tijd in minuten en seconden, die je eerst moet omrekenen naar alleen seconden voordat je deze in de formule invult.
De formule voor FINA-punten is P = 1000 * (basistijd / zwemtijd)^3. Zorg ervoor dat je de basistijd en de zwemtijd op de juiste plek invult.
Rond pas af in de laatste stap. De vraag vraagt om een vergelijking, dus nauwkeurigheid is belangrijk.
Vergelijk de berekende FINA-punten van beide zwemmers om te bepalen wie de hoogste score heeft.

Kernbegrippen: formule invullen, rekenen met machten, eenheden omrekenen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/18

## Vraag 19 – Vraag

Als 0,01 s sneller gezwommen wordt dan de basistijd, dan zijn er twee opties voor de bijbehorende score:
1 1000 FINA-punten (dit is het geval voor langere basistijden)
2 1001 of meer FINA-punten (dit is het geval voor kortere basistijden)

Bereken de grootste basistijd waarbij 0,01 s sneller zwemmen dan de basistijd leidt tot een score van minimaal 1001 FINA-punten. Geef je antwoord in seconden en in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je zult een vergelijking moeten opstellen door de gegeven informatie (0,01 s sneller en minimaal 1001 FINA-punten) in de formule te substitueren. Daarna los je deze vergelijking op, waarschijnlijk met behulp van je grafische rekenmachine.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor het berekenen van FINA-punten kennen (deze wordt in de vraag of bijlage gegeven). Je moet ook weten hoe je een vergelijking opstelt op basis van een tekstuele beschrijving en hoe je deze vergelijking oplost met je GR.

Wat moet je kunnen: Je kunt de relatie tussen de gezwommen tijd (T) en de basistijd (B) correct vertalen naar een wiskundige uitdrukking. Je kunt de gegeven FINA-punten (P) correct in de formule plaatsen. Je kunt de resulterende vergelijking nauwkeurig oplossen met je grafische rekenmachine en het antwoord correct afronden.

Waar op letten: Let goed op de relatie tussen de gezwommen tijd (T) en de basistijd (B): '0,01 s sneller gezwommen dan de basistijd' betekent T = B - 0,01.
De score moet 'minimaal 1001 FINA-punten' zijn. Voor de grens bereken je met P = 1001.
Zorg ervoor dat je de vergelijking correct opstelt voordat je deze in je GR invoert. Een kleine fout hier kan leiden tot een volledig verkeerd antwoord.
Wees zorgvuldig met het invoeren van de vergelijking in je GR, vooral met haakjes en machten.
Rond je eindantwoord pas op het allerlaatste moment af op twee decimalen, zoals gevraagd, en vermeld de eenheid (seconden).

Kernbegrippen: vergelijking opstellen, algebraïsche substitutie, vergelijking oplossen met GR

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/19

## Vraag 20 – Vraag

De FINA-punten worden onder andere gebruikt om te bepalen welke zwemmers mee mogen doen aan het NJK (Nederlands juniorenkampioenschap). Voor het NJK wordt een plaatsingslijst gemaakt door per zwemmer voor 6 verschillende zwemnummers het aantal FINA-punten uit te rekenen en deze punten bij elkaar op te tellen. Degene die in totaal de meeste FINA-punten heeft, komt boven aan de plaatsingslijst, daarna volgt diegene met het een-na-hoogste totaal, et cetera. Op basis van de plaatsingslijst wordt bepaald wie mee mag doen aan het NJK.

Met formule 1 kan het aantal FINA-punten berekend worden op basis van een gezwommen tijd en een basistijd. Als je als zwemmer bezig bent met je plek op de plaatsingslijst, dan is het nuttig om uit te rekenen welke tijd je moet zwemmen om een bepaald aantal FINA-punten te halen. Dit kan met de formule:

T = (10B) / (√P) (formule 2)

Toon door middel van een herleiding aan dat formule 1 en formule 2 met elkaar overeenkomen.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een van de gegeven formules moet omvormen naar de andere formule. Dit vereist het toepassen van algebraïsche regels voor het herleiden van formules, specifiek met machten en wortels.

Wat moet je kennen: Je moet de rekenregels voor machten en wortels kennen. Denk hierbij aan (a/b)^n = a^n / b^n, en hoe je een variabele onder een macht of wortel vandaan haalt (bijvoorbeeld door de omgekeerde bewerking uit te voeren, zoals tot de macht 3 verheffen om een derdemachtswortel op te heffen).

Wat moet je kunnen: Je moet een formule kunnen herleiden door stapsgewijs algebraïsche bewerkingen uit te voeren. Je moet in staat zijn om een specifieke variabele (in dit geval T of P) te isoleren door de vergelijking te manipuleren.

Waar op letten: Je moet de regels voor machten en wortels correct toepassen. Let op het verschil tussen kwadraat en derdemacht, en vierkantswortel en derdemachtswortel.
Je moet stap voor stap werken en elke algebraïsche bewerking aan beide zijden van de vergelijking uitvoeren.
Je moet goed opletten bij het isoleren van de variabele T of P.
Je moet de haakjes correct gebruiken, vooral bij het kwadrateren of tot de macht verheffen van een breuk of product.
Je moet de herleiding duidelijk en overzichtelijk opschrijven, zodat elke stap logisch volgt.

Kernbegrippen: algebraïsche vaardigheden, formules herleiden, machtsfuncties, wortelfuncties

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/20

## Vraag 22 – Vraag

Onderzoek met behulp van bovenstaande gegevens en met de figuur op de uitwerkbijlage of de bewering van Frank Wielaard klopt.

Wat kun je verwachten: Je zult een meerstapsvraag tegenkomen waarbij je eerst gegevens uit een grafiek moet halen, vervolgens een groeimodel moet opstellen en toepassen, en daarna met verschillende percentages en tijdsperioden moet rekenen om tot een conclusie te komen.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van exponentiële groei kennen, inclusief het berekenen van een groeifactor per tijdseenheid. Je moet ook weten hoe je met percentages en verhoudingen rekent, en hoe je een bewering onderbouwt met berekeningen.

Wat moet je kunnen: Je moet grafieken kunnen aflezen en interpreteren. Je moet een exponentieel groeimodel kunnen opstellen en gebruiken om te extrapoleren. Je moet nauwkeurig kunnen rekenen met percentages en verhoudingen, en je berekeningen logisch kunnen presenteren om een conclusie te trekken.

Waar op letten: Lees de gegevens nauwkeurig af uit de grafiek. Let op de eenheden (miljoenen).
Bereken de groeifactor per jaar correct. Dit is een exponentieel verband.
Extrapoleer het inwoneraantal naar het gevraagde jaar (2018). Gebruik de berekende groeifactor en het meest recente afgelezen punt.
Reken stap voor stap met de gegeven verhoudingen (man-vrouw, geboortecijfer) en de tijdsduur (26 dagen van het WK).
Rond pas af in de allerlaatste stap om afrondingsfouten te voorkomen. Gebruik tussentijds voldoende decimalen.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor berekenen, extrapoleren, rekenen met verhoudingen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/22

## Vragen in dit examen

### Vraag 21 – Vraag

Waar op letten: Er staat expliciet 'met behulp van de formule van de afgeleide': je moet dus eerst algebraïsch de afgeleide bepalen met de machtsregel en mag niet volstaan met alleen een GR-benadering.
Let goed op het minteken bij de afgeleide: een negatieve afgeleide betekent dat de tijd afneemt (de zwemster moet sneller zwemmen om meer punten te halen).
Rond tussenwaarden niet te grof af wanneer je aantoont dat de ene waarde ongeveer 2 keer de andere is.
Benoem bij de praktische betekenis duidelijk de context: geef aan wat een punt erbij betekent voor de vereiste tijdsverbetering en vergelijk de zwemster van 300 punten met die van 500 punten.

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2023
tijdvak 1
donderdag 11 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1024-a-23-1-o

### Pagina 2

OVERZICHT FORMULES
Differentiëren
naam van de regel functie afgeleide
somregel s(x) = f(x) + g(x) s'(x) = f'(x) + g'(x)
verschilregel v(x) = f(x) - g(x) v'(x) = f'(x) - g'(x)
productregel p(x) = f(x) · g(x) p'(x) = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)
quotiëntregel $$q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$$ $$q'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$$
kettingregel $$k(x) = f(g(x))$$ $$k'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \text{ of } \frac{dk}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$$
Logaritmen
regel voorwaarden
g log(a) + g log(b) = g log(ab) g > 0, g != 1, a > 0, b > 0
g log(a) - g log(b) = g log($$\frac{a}{b}$$) g > 0, g != 1, a > 0
g log(a^p) = p · g log(a) g > 0, g != 1, a > 0
g log(a) = $$\frac{^{p}\log(a)}{^{p}\log(g)}$$ g > 0, g != 1, a > 0, p != 1
VW-1024-a-23-1-o 2 / 17 lees verder ► ► ►

### Pagina 3

Duiken

Karima volgt een duikcursus voor beginners. In het theorieboekje wordt uitgelegd dat er onder water een grotere druk heerst dan boven water. Aan de oppervlakte is de druk 1 bar. Omdat een duiker op grotere diepte lucht inademt onder een hogere druk gebruikt hij zijn luchtvoorraad sneller en is de maximale duiktijd korter. Door het gewicht van het water neemt de druk onder water lineair toe met de diepte: zie de onderstaande tabel.

tabel
[FIGUUR: tabel met kolommen diepte en druk]
diepte | druk
-------|-------
0 m    | 1 bar
10 m   | 2 bar
20 m   | 3 bar
30 m   | 4 bar
40 m   | 5 bar

Een duiker neemt samengeperste lucht mee in een duikfles om onder water te kunnen ademen. Het is van levensbelang om een duik goed te plannen, zodat de duiker nooit zonder lucht komt te zitten. De maximale duiktijd op grond van de beschikbare luchtvoorraad kan volgens het theorieboekje van Karima berekend worden met de volgende formule¹):

$$ T = \frac{V(b-e)}{q \cdot p} $$

Hierin is $T$ de maximale duiktijd op een vaste diepte in minuten, $V$ de inhoud van de duikfles in liters, zijn $b$ en $e$ de druk in de fles in bar aan het begin respectievelijk aan het eind van de duik, is $q$ het luchtverbruik van de duiker in liter/minuut en $p$ de druk op de duikdiepte.

3p 1 Karima is van plan een duik op een diepte van 10 meter uit te voeren. Ze heeft een duikfles met een inhoud van 14 liter die gevuld is met lucht met een druk van 200 bar. Karima weet in eerste instantie haar luchtverbruik niet en maakt gebruik van het gegeven dat het luchtverbruik van een met haar vergelijkbare duiker 18 liter/minuut is. Aan het einde van de duik wil ze als reserve nog minstens 50 bar druk in haar fles hebben.
Bereken met deze gegevens hoeveel minuten haar duik maximaal mag duren. Geef je antwoord in hele minuten.

noot 1 Er zijn ook formules waarbij rekening gehouden wordt met de tijdsduur van de duik en de druk tijdens het dalen en stijgen, maar in deze opgave laten we dat buiten beschouwing.

VW-1024-a-23-1-o 3 / 17 lees verder

### Pagina 4

4p 2 Bovenstaande berekening is voor het luchtverbruik van Karima een
waarde van een met haar vergelijkbare duiker gebruikt. Voor een
nauwkeuriger berekening wil zij haar individuele luchtverbruik berekenen
op basis van gegevens van een vorige duik. Eerder heeft Karima een duik
gemaakt met een duikdiepte van 15 meter. Ze begon met een volle
duikfles van 14 liter met 200 bar druk. Aan het einde van haar duik, na
49 minuten, had ze nog 63 bar druk in haar duikfles.
Bereken haar luchtverbruik in liter per minuut tijdens die duik. Geef je
antwoord in één decimaal.
3p 3 Om sneller de maximale duiktijd te berekenen, is het handig om in plaats
van de druk $p$ op de duikdiepte direct de duikdiepte $d$ in meter in de
formule in te kunnen vullen. Hiervoor moet de formule aangepast worden.
Stel met behulp van de tabel een dergelijke formule voor $T$ op.

Voor een situatie met een fles van 10 liter met een begin druk van 180 bar,
een einddruk van 60 bar en een luchtverbruik van een duiker van
25 liter/minuut geldt voor de maximale duiktijd de volgende formule:
$$T = \frac{1200}{2,5d + 25}$$
Deze functie is dalend.
4p 4 Onderzoek met behulp van de afgeleide van $T$ of de maximaal toegestane
duiktijd in deze situatie toenemend of afnemend daalt bij grotere
duikdiepte.
VW-1024-a-23-1-o 4 / 17 lees verder ►►►

### Pagina 5

Ga verder op de volgende pagina.
VW-1024-a-23-1-o
5 / 17
lees verder ►►►

### Pagina 6

3a (4p)
Traditioneel gebrouwen whisky wordt enkele jaren in houten vaten
opgeslagen om daarin te rijpen. In het algemeen geldt: hoe langer de
whisky rijpt, hoe beter hij smaakt. Lang rijpen heeft echter een nadeel:
een deel van de whisky gaat verloren doordat deze in het houten vat trekt
of verdampt.
Het deel van de whisky dat tijdens het rijpen verloren gaat, wordt het
engelendeel genoemd. Het engelendeel wordt uitgedrukt in een
percentage per jaar.

Van een bepaald soort whisky is het engelendeel 4,5%. Neem aan dat het
engelendeel elk jaar hetzelfde percentage is.
Bereken hoelang het duurt totdat nog maar de helft van de whisky over is.
Geef je antwoord in jaren en gehele maanden.

In werkelijkheid is bij traditioneel gebrouwen whisky het engelendeel niet
ieder jaar even groot. Zeker aan het begin van de rijpingsperiode is dit
deel een stuk groter, doordat de whisky nog in het hout moet trekken.

Pappy Van Winkle 23 is een zeer exclusieve whisky die op traditionele
wijze geproduceerd wordt en, zoals de naam al suggereert, 23 jaar in een
houten vat rijpt voordat hij in flessen gedaan wordt. Op de website van de
producent staat het volgende:

Het rijpingsproces begint met een vat met 200 liter whisky. Het eerste jaar
gaat er maar liefst 10% verloren, doordat de whisky in het hout trekt. De
8 jaren erna gaat er 4% per jaar verloren en daarna steeds 3% per jaar.
Tenslotte gaat er van het eindproduct ook nog 6 liter verloren bij het
vullen van de flessen.

4p 6
Pappy Van Winkle 23 wordt verkocht in flessen van 750 ml.
Bereken hoeveel van zulke flessen kunnen worden gevuld, uitgaande van
200 liter whisky.

VW-1024-a-23-1-o 6 / 17 lees verder ►►►

### Pagina 7

De meeste whisky rijpt tegenwoordig niet meer in houten vaten. In plaats daarvan wordt de whisky in grote metalen ketels gedaan en worden er houtsnippers aan toegevoegd. Hierdoor wordt het engeldeel beperkt tot zo'n 3% per jaar. Voor het vervolg van de opgave gaan we ervan uit dat het engeldeel ieder jaar 3% is.

Bij de massaproductie van whisky wordt ervoor gezorgd dat de totale hoeveelheid whisky gelijk blijft door jaarlijks de ketel weer bij te vullen met nieuw geproduceerde whisky. Hierdoor ontstaat er een mengsel dat maar voor een deel uit de oorspronkelijke whisky bestaat.

Bijvoorbeeld: Een ketel bevat 500 liter whisky. Na een jaar is daarvan 3%, dus 15 liter, verloren gegaan. Er wordt aan het eind van dat jaar 15 liter nieuw geproduceerde whisky in de ketel gedaan, zodat er dan 485 liter whisky van 1 jaar oud en 15 liter whisky van 0 jaar oud in zit. Aan het eind van het tweede jaar is er weer 15 liter verloren gegaan en ook dit wordt weer aangevuld met nieuw geproduceerde whisky, enzovoorts.

In de tabel staat voor een aantal jaren de samenstelling van het mengsel aan het eind van het jaar, in procenten.

tabel
[FIGUUR: Tabel met kolommen "jaar (n)", "n", "n-1", "n-2", "n-3", "n-4". Rijen met jaartallen 0 tot 5 en percentages.]

In de tabel kun je bijvoorbeeld aflezen dat aan het eind van het 4e jaar 88,53% van het mengsel bestaat uit 4 jaar oude whisky, 2,74% uit 3 jaar oude whisky, 2,82% uit 2 jaar oude whisky, 2,91% uit 1 jaar oude whisky en 3% uit nieuw geproduceerde whisky (0 jaar oude whisky).

4p 7. Bereken hoeveel procent van het mengsel aan het eind van het 7e jaar bestaat uit whisky van 5 jaar of ouder. Geef je antwoord in twee decimalen.

VW-1024-a-23-1-o 7 / 17 lees verder

### Pagina 8

Als we alleen kijken naar de later toegevoegde whisky in een bepaald
jaar, dan vormen de percentages later toegevoegde whisky's in dat jaar
een meetkundige rij.

Om te berekenen hoeveel procent van een whiskymengsel bestaat uit
later toegevoegde whisky, kun je de termen uit deze meetkundige rij bij
elkaar optellen.

Er geldt dus: $T(n) = \sum_{k=0}^{n-1} W(k)$ met $W(k) = 3 \cdot 0,97^k$

In deze formule is $T(n)$ het percentage later toegevoegde whisky
na $n$ jaar en $W(k)$ het percentage whisky van $k$ jaar oud in het mengsel.

2p 8 Bereken, gebruikmakend van bovenstaande somformule, welk
percentage van het mengsel na 7 jaar bestaat uit alle later toegevoegde
whisky. Geef je antwoord in één decimaal.

VW-1024-a-23-1-o 8 / 17 lees verder ➢➢➢

### Pagina 9

Gewicht in beweging

Begin deze eeuw deed de bioloog Yunsheng Ma samen met andere biologen onderzoek naar het verband tussen het lichaamsgewicht, de hoeveelheid lichaamsbeweging en het eetpatroon tijdens feestdagen van een groep Amerikanen.

Bij het onderzoek naar de invloed van beweging op het lichaamsgewicht speelt de MET-waarde¹) een rol. De MET-waarde is een eenheid voor de hoeveelheid energie die een bepaalde fysieke activiteit kost ten opzichte van de hoeveelheid benodigde energie in rust. Een MET komt overeen met de ruststofwisseling, de hoeveelheid energie die verrukt wordt tijdens stilzitten. De MET-waarde van lichamelijke activiteiten varieert van 0,9 MET (tijdens slaap) tot 18 MET (bij zware inspanning). In de tabel is voor een aantal activiteiten de MET-waarde voor volwassen mannen weergegeven.

tabel

| activiteit | MET-waarde 18 jaar en ouder |
|---|---|
| stilzitten | 1 |
| wandelen, rustig, 3-5 km/uur | 3,5 |
| wandelen, stevig, 5-6 km/uur | 4,3 |
| fietsen, rustig, 16-19 km/uur | 4,0 |
| fietsen, stevig, 19-22 km/uur | 8,0 |
| hardlopen, algemeen | 8,0 |
| wielrennen | 15,8 |
| zwemmen, recreatief | 4,0 |
| zwemmen, sportief | 9,8 |

Met behulp van de MET-waarde en de duur van de activiteit kan het aantal MET-minuten of MET-uren van een activiteit berekend worden. Als een volwassen man bijvoorbeeld 45 minuten lang rustig fietst, dan zegt men ook wel dat hij 180 MET-minuten of 3 MET-uren heeft uitgevoerd. Dit gebruikt men om de mate van lichaamsbeweging te beschrijven.

5p 9 Een volwassen man wandelt wekelijks met een snelheid van 4 km/uur in 2 uur een rondje van 8 km. Hij wil meer MET-uren realiseren en besluit om hetzelfde rondje met een snelheid van 6 km/uur te gaan wandelen. De tijd die 'overblijft' van die 2 uur, wordt stilzittend doorgebracht. Onderzoek of dit voor hem het gewenste resultaat oplevert.

noot 1 MET: Metabolic Equivalent of Task

VW-1024-a-23-1-o 9 / 17 lees verder ► ► ►

### Pagina 10

Om meer MET-uren te realiseren, wil deze volwassen man per week
maximaal 3 keer (op dinsdag, woensdag en/of donderdag) een uur fietsen
of een uur hardlopen en daarmee in totaal precies 12 MET-uren
realiseren. Hij kan dan bijvoorbeeld hardlopen op dinsdag en rustig
fietsen op donderdag. Hij wil op één dag één uur dezelfde activiteit
uitvoeren dus wisselen van activiteit na een half uur is voor hem geen
optie.
10 Onderzoek hoeveel verschillende weekindelingen hij kan maken.

Na de feestdagen blijken Amerikanen gemiddeld zwaarder dan daarvoor.
Dat zou mede veroorzaakt kunnen worden door de geringe hoeveelheid
lichaamsbeweging in die periode. In figuur 1 is voor de groep onderzochte
Amerikanen het verband geschetst tussen de totale fysieke activiteit per
dag en de tijd. Hierbij komt $t=0$ overeen met 1 januari.

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as "fysieke activiteit (in MET-uren per dag)" met waarden 29.5, 30.0, 30.5, en op de x-as "tijd (in dagen)" met waarden -50, 0, 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350. De grafiek toont een sinusvormige curve die begint rond dag -50 op een niveau net onder 29.5, stijgt naar een maximum van ongeveer 30.5 rond dag 100, en daalt vervolgens weer richting dag 350.]

De totale fysieke activiteit per dag varieert jaarlijks van minimaal
29,4 MET-uren per dag tot 30,5 MET-uren per dag. Op 21 december, de
kortste dag, is de totale fysieke activiteit per dag minimaal. De totale
fysieke activiteit wordt gemodelleerd met een formule van de vorm:
$$F=a+b\sin(c(t-d))$$
Hierin is $F$ de totale fysieke activiteit in MET-uren per dag en is $t$ de tijd in
dagen met $t=0$ op 1 januari.
11 Bereken de waarden van $a$, $b$, $c$ en $d$. Geef $a$ en $b$ in twee decimalen, $c$ in
vijf decimalen en $d$ in gehelen.

VW-1024-a-23-1-o 10 / 17 lees verder ► ► ►

### Pagina 11

Men heeft ook bijgehouden hoeveel calorieën de deelnemers gemiddeld
per dag gedurende het jaar binnenkregen en hoe het gemiddelde gewicht
van de deelnemers gedurende het jaar varieerde. Zie figuren 2 en 3.

figuur 2
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as "gemiddelde calorie-inname per dag (in kcal)" en op de x-as "tijd (in dagen)". De grafiek toont een sinusvormige curve.]

figuur 3
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as "gemiddelde gewicht (in kg)" en op de x-as "tijd (in dagen)". De grafiek toont een sinusvormige curve.]

De gemiddelde calorie-inname wordt gemodelleerd met de formule:
$$C=2005+45 \sin (0,0172 t+2,3756)$$
Hierin is $C$ de gemiddelde calorie-inname in kcal per dag en is $t$ weer de
tijd in dagen met $t=0$ op 1 januari.

Het gemiddelde gewicht wordt gemodelleerd met de formule:
$$G=83,87+0,24 \sin (0,0172 t+1,1017)$$
Hierin is $G$ het gemiddelde gewicht in kg en is $t$ weer de tijd in dagen met
$t=0$ op 1 januari.

VW-1024-a-23-1-o 11 / 17 lees verder ►►►


### Pagina 12

Het grootste verschil in gemiddeld gewicht in een jaar is procentueel gezien kleiner dan het grootste verschil in gemiddelde calorie-inname in een jaar.
4p 12 Toon dit aan met behulp van de formules.
Het gemiddelde gewicht is later maximaal dan de gemiddelde calorie-inname.
3p 13 Bereken hoeveel dagen later dit volgens de formules is.
VW-1024-a-23-1-o 12 / 17 lees verder ► ► ►

### Pagina 13

Vlinders in Nederland

De Vlinderstichting in Nederland houdt jaarlijks vlindertellingen. Het totaal aantal vlinders is in de periode 1992-2017 met 40% afgenomen. Hierbij vermoedt men een exponentiële trend.

14 (4p) Bereken de jaarlijkse procentuele afname in deze periode, uitgaande van de exponentiële trend. Geef je antwoord in één decimaal.

De heivlinder is een van de vlindersoorten waarvan het aantal sterk is gedaald. Zie figuur 1.

[FIGUUR: Foto van een heivlinder.]

figuur 1 heivlinders

[FIGUUR: Lijngrafiek met op de x-as de jaren 1990 tot en met 2015 en op de y-as een logaritmische schaal met waarden 1, 10, 100, 1000. De grafiek toont een dalende trend met schommelingen.]

In figuur 1 is op de verticale as een logaritmische schaalverdeling gebruikt. Op deze as is niet het aantal heivlinders maar de populatie- index weergegeven. Deze index geeft het percentage heivlinders aan ten opzichte van het totaal aantal heivlinders in 1992. De populatie-index van het jaar 1992 is dus 100. In 1995 is de populatie-index weer (ongeveer) 100. Met andere woorden: in 1995 waren er (ongeveer) evenveel heivlinders als in 1992.

Nadat het aantal heivlinders vanaf 2003 stabiel leek en zich in de periode 2011-2013 zelfs wat leek te herstellen, was 2017 weer een rampjaar voor de heivlinder.

15 (3p) Bereken met behulp van de figuur het percentage heivlinders in 2017 ten opzichte van het aantal heivlinders in 1992. Geef je antwoord in één decimaal.

VW-1024-a-23-1-o 13 / 17 lees verder ►►►

### Pagina 14

In figuur 2 zie je dezelfde grafiek als in figuur 1 maar nu is een trendlijn
toegevoegd.
figuur 2 heivlinders met trendlijn
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as 'populatieindex' en op de x-as 'jaar'. De y-as loopt van 1 tot 1000. De x-as loopt van 1990 tot 2015. Er is een lijn getekend die de populatie-index weergeeft en een trendlijn die een dalende trend aangeeft.]
De trendlijn in figuur 2 hoort bij een exponentieel model voor de afname
van de populatie-index. De trendlijn kan worden beschreven met de
volgende formule:
$$ \log(P) = -0,026t + 1,8 $$
Hierin is $P$ de populatie-index en is $t$ het aantal jaren na 1992.
2p 16 Als de trend zich op dezelfde manier blijft doorzetten, zal het aantal
getelde heivlinders in een gegeven jaar minder dan 2% zijn van het aantal
getelde heivlinders in 1992.
Bereken in welk jaar dat volgens de gegeven formule voor het eerst het
geval zal zijn.
De formule $\log(P) = -0,026t + 1,8$ kan worden herleid tot een formule van
de vorm $P = b \cdot g^t$ waarmee de populatie-index in een bepaald jaar in één
keer kan worden berekend.
4p 17 Geef deze herleiding. Geef $b$ in gehelen en $g$ in drie decimalen.
VW-1024-a-23-1-o 14 / 17 lees verder

### Pagina 15

Zwem tijden en FINA-punten

Bij wedstrijdzwemmen worden er verschillende zwemnummers
gezwommen, bijvoorbeeld de 50 meter rugslag voor heren en de
200 meter schoolslag voor vrouwen. Om prestaties bij verschillende
zwemnummers met elkaar te vergelijken, wordt gebruikgemaakt van
FINA-punten¹). Hoe meer FINA-punten, hoe beter de prestatie van een
zwemmer.

Het aantal FINA-punten wordt berekend met de formule:
$$ P = 1000 \left(\frac{B}{T}\right)^3 \quad \text{(formule 1)} $$
$P$ is hierbij het aantal FINA-punten, $T$ de gezwommen tijd in seconden in
twee decimalen en $B$ de basistijd in seconden in twee decimalen. De
basistijd²) is het wereldrecord op een zwemnummer aan het begin van
het jaar.

Het aantal FINA-punten is altijd een geheel getal. Als de uitkomst van de
formule geen geheel getal is, dan wordt er een geheel getal van gemaakt
door alle cijfers achter de komma weg te laten. Zo wordt 345,798
bijvoorbeeld 345.

Gegeven zijn de volgende (basis)tijden:
– Maarten Brzoskowski zwom in november 2021 de 50 meter vrije slag
in 22,26 seconden; de bijbehorende basistijd is 20,16 seconden.
– Op 16 december 2021 zwom Anne Louise Palmas de 100 meter
schoolslag in 1 minuut en 10,25 seconden; de bijbehorende basistijd is
1 minuut en 4,13 seconden.

2p 18 Bepaal welke van de twee genoemde zwemmers het hoogste aantal
FINA-punten scoorde.

Omdat het aantal FINA-punten altijd een geheel getal is, is het mogelijk
dat verschillende gezwommen tijden bij dezelfde basistijd een gelijk
aantal FINA-punten opleveren.

Als 0,01 s sneller gezwommen wordt dan de basistijd, dan zijn er twee
opties voor de bijbehorende score:
1 1000 FINA-punten (dit is het geval voor langere basistijden)
2 1001 of meer FINA-punten (dit is het geval voor kortere basistijden)

4p 19 Bereken de grootste basistijd waarbij 0,01 s sneller zwemmen dan de
basistijd leidt tot een score van minimaal 1001 FINA-punten. Geef je
antwoord in seconden en in twee decimalen.

noot 1 De FINA is een internationale zwembond: Fédération Internationale de Natation.
noot 2 In deze opgave wordt gebruikgemaakt van de basistijden uit 2021.

VW-1024-a-23-1-o 15 / 17 lees verder ► ► ►


### Pagina 16

De FINA-punten worden onder andere gebruikt om te bepalen welke zwemmers mee mogen doen aan het NJK (Nederlands junioren- kampioenschap). Voor het NJK wordt een plaatsingslijst gemaakt door per zwemmer voor 6 verschillende zwemnummers het aantal FINA-punten uit te rekenen en deze punten bij elkaar op te tellen. Degene die in totaal de meeste FINA-punten heeft, komt boven aan de plaatsingslijst, daarna volgt diegene met het een-na-hoogste totaal, et cetera. Op basis van de plaatsingslijst wordt bepaald wie mee mag doen aan het NJK.

Met formule 1 kan het aantal FINA-punten berekend worden op basis van een gezwommen tijd en een basistijd. Als je als zwemmer bezig bent met je plek op de plaatsingslijst, dan is het nuttig om uit te rekenen welke tijd je moet zwemmen om een bepaald aantal FINA-punten te halen. Dit kan met de formule:
$$ T = \frac{10B}{\sqrt[3]{P}} $$ (formule 2)

3p 20 Toon door middel van een herleiding aan dat formule 1 en formule 2 met elkaar overeenkomen.

De snelste tijd die een zwemmer ooit gezwommen heeft, noemen we het persoonlijke record van die zwemmer. Een van de zwemnummers die gebruikt wordt voor de plaatsingslijst van het NJK is de 100 meter vrije slag. Bij de 100 meter vrije slag voor meisjes is de basistijd 50,25 seconden. Er geldt dus:
$$ T = 502,5 \cdot P^{-1/3} $$ (formule 3)

In de volgende vraag vergelijken we twee zwemsters. De ene heeft als beste prestatie een tijd staan met een score van 300 FINA-punten, de ander een tijd met een score van 500 FINA-punten. We laten de eis dat FINA-punten altijd een geheel getal zijn buiten beschouwing.

3p 21 Laat met behulp van de formule van de afgeleide zien dat $ T'(300) \approx 2 \cdot T'(500) $ en leg uit wat de praktische betekenis hiervan voor de zwemsters is.

Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.

VW-1024-a-23-1-o 16 / 17 lees verder ►►►

### Pagina 17

Baby's in Nigeria

Nigeria is een dichtbevolkt land in Afrika, met een sterke bevolkingsgroei.
Tijdens het WK voetbal in 2018 was Nigeria het deelnemende land met na
Brazilië de meeste inwoners en IJsland het deelnemende land met de
minste inwoners. Tijdens de wedstrijd tussen IJsland en Nigeria deed de
Nederlandse verslaggever Frank Wielaard de volgende uitspraak:

“In Nigeria komen er tijdens de 26 dagen van dit WK minstens zoveel
baby's bij als het totale aantal inwoners van IJsland.”

Het is natuurlijk de vraag of deze uitspraak klopt. Om dit uit te zoeken heb
je een aantal gegevens nodig. Die volgen hieronder.

Ten tijde van dit WK had IJsland 341 000 inwoners. In de figuur op de
uitwerkbijlage staan de inwoneraantallen van Nigeria voor de jaren 1960
tot en met 2009. Neem aan dat de bevolkingsgroei exponentieel is en dat
deze exponentiële groei zich tot en met het WK van 2018 heeft
voortgezet.

In het jaar van dit WK heerste er in Nigeria een mannenoverschot. Dit
betekent dat er meer mannen dan vrouwen waren. Per vrouw waren er
1,04 mannen.

Er werden in het jaar 2018 gemiddeld 0,09 baby's geboren per vrouw in
Nigeria. Hierbij is het gemiddelde berekend over alle leeftijden. Neem aan
dat de geboorten in Nigeria gelijkmatig over de dagen van het jaar verdeeld
zijn.

7p 22 Onderzoek met behulp van bovenstaande gegevens en met de figuur op
de uitwerkbijlage of de bewering van Frank Wielaard klopt.

Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
VW-1024-a-23-1-0 17 / 17 einde