# Eindexamen Wiskunde A VWO 2022 tijdvak 3

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3

## Vraag 1 – Opgave 2

Bereken met behulp van de bovenstaande referentiepunten de temperatuur in °C van het ijsmengsel dat Fahrenheit gebruikte.

Wat kun je verwachten: Je kunt een vraag verwachten waarbij je twee bekende punten gebruikt om een lineair verband te bepalen en vervolgens een onbekende waarde te berekenen door te extrapoleren.

Wat moet je kennen: Je moet weten dat er een lineair verband bestaat tussen de Celsius- en Fahrenheit-schaal. Ook moet je het concept van verhoudingen en extrapolatie begrijpen.

Wat moet je kunnen: Je moet een lineair verband kunnen opstellen of gebruiken op basis van twee gegeven punten. Je moet ook nauwkeurig kunnen rekenen met temperaturen en verhoudingen om de gevraagde waarde te vinden.

Waar op letten: Let goed op welke temperatuur bij welke schaal hoort (Fahrenheit bij Fahrenheit, Celsius bij Celsius).
Bedenk dat er een lineair verband is tussen de twee temperatuurschalen.
Bereken eerst hoeveel graden Celsius een stijging van 1 graad Fahrenheit vertegenwoordigt.
Voer de berekening stap voor stap uit en rond pas af bij het eindantwoord.
Controleer of je antwoord logisch is, gezien de referentiepunten.

Kernbegrippen: lineair verband, verhoudingsrekening, extrapolatie

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/1

## Vraag 2 – Opgave 2 (3 punten)

De metingen van Fahrenheit waren vrij onnauwkeurig en daarmee was zijn temperatuurschaal dat ook. Inmiddels is de Fahrenheitschaal nauwkeuriger vastgesteld en geldt tussen graden Celsius (°C) en graden Fahrenheit (°F) het volgende verband: C = (F - 32).

3p 2 Bereken bij welke temperatuur beide temperatuurschalen dezelfde temperatuur aangeven.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule die het verband tussen twee eenheden beschrijft. Je moet een specifieke situatie (gelijke waarden) vertalen naar een vergelijking en deze oplossen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een lineaire vergelijking met één onbekende oplost. Je kent de basisregels van algebra, zoals termen naar de andere kant van het is-teken brengen en vermenigvuldigen/delen.

Wat moet je kunnen: Je kunt een tekstuele voorwaarde omzetten in een wiskundige vergelijking. Je kunt een lineaire vergelijking systematisch oplossen om de waarde van de onbekende te vinden.

Waar op letten: Je moet de gegeven formule correct interpreteren en toepassen.
Je stelt een vergelijking op door de voorwaarde 'dezelfde temperatuur' te vertalen naar een wiskundige expressie.
Je lost de lineaire vergelijking stap voor stap op.
Je controleert of je antwoord logisch is in de context van temperatuur.
Je vermeldt de eenheid (°C of °F) bij je eindantwoord.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/2

## Vraag 3 – Opgave 2 (3 punten)

**Vraaginterpretatie:** Deze vraag test je begrip van verschillende temperatuurschalen en de lineaire verbanden daartussen. Je moet in staat zijn om temperaturen tussen deze schalen om

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een lineaire formule moet herleiden door substitutie. Je krijgt twee formules die een keten vormen (F naar C, en C naar K) en je moet deze combineren tot één directe formule (F naar K).

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je lineaire formules herleidt en hoe je haakjes uitwerkt. Ook moet je bekend zijn met het principe van substitutie, waarbij je de ene formule in de andere invult.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om een variabele (C) te vervangen door een uitdrukking in termen van een andere variabele (F). Je moet ook algebraïsche vaardigheden bezitten om de resulterende formule te vereenvoudigen tot de vorm K = aF + b en de waarden van a en b te bepalen.

Waar op letten: Let goed op de volgorde van bewerkingen bij het substitueren van de ene formule in de andere.
Vergeet niet de haakjes correct uit te werken na substitutie.
Rond pas af op het gevraagde aantal decimalen (2 decimalen) bij de allerlaatste stap van je berekening voor de coëfficiënten a en b.
Zorg ervoor dat je de juiste variabelen (F en K) gebruikt in je uiteindelijke formule K = aF + b.
Controleer of je de constante term (b) en de coëfficiënt van F (a) correct hebt geïdentificeerd na het herleiden.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/3

## Vraag 4 – Opgave 2 (4 punten)

**Vraaginterpretatie:** De vraag test je begrip van verschillende temperatuurschalen en hoe je deze kunt omzetten met behulp van een grafiek. Je moet waarschijnlijk spec

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een lineaire relatie moet vinden tussen twee temperatuurschalen die in een grafiek worden weergegeven. Je zult de grafiek moeten interpreteren om de benodigde informatie te verkrijgen.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een lineaire vergelijking kennen (y = ax + b) en weten hoe je de richtingscoëfficiënt (a) en het startgetal (b) bepaalt aan de hand van twee punten of door aflezen uit een grafiek. Je moet ook weten dat 0 Kelvin overeenkomt met -273,15 °C en dat 0 Rankine overeenkomt met 0 Kelvin.

Wat moet je kunnen: Je moet punten nauwkeurig kunnen aflezen uit een grafiek. Je moet de richtingscoëfficiënt van een lijn kunnen berekenen met behulp van twee punten. Je moet een lineaire vergelijking kunnen opstellen op basis van de berekende richtingscoëfficiënt en een punt. Je moet ook de context van temperatuurschalen kunnen toepassen op de wiskundige modellen.

Waar op letten: Let goed op welke schalen je moet gebruiken voor de formule (Celsius en Rankine).
Bedenk dat een lineaire formule de vorm y = ax + b heeft, of in dit geval C = pR + q.
Gebruik de grafiek om twee punten af te lezen die op de lijn van Rankine staan en de bijbehorende Celsius-waarden.
Controleer of de schalen van Rankine en Kelvin even steil zijn, en of de schalen van Fahrenheit en Celsius dat zijn. Dit kan je helpen bij het bepalen van de richtingscoëfficiënt.
Rond pas af in de laatste stap, en zorg dat je de juiste eenheden (graden Celsius, graden Rankine) in gedachten houdt.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/4

## Vraag 5 – Opgave 2 (3 punten)

**Vraaginterpretatie:** Deze vraag vraagt je om de maximale veilige zonblootstellingstijd te bepalen. Je moet hierbij rekening houden met je huidtype, de

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een eenvoudige vermenigvuldiging moet uitvoeren om de veilige zonblootstellingstijd met zonnebrandcrème te berekenen. Ook moet je mogelijk een omrekening doen tussen minuten en uren.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een factor toepast op een gegeven waarde. Je moet ook de relatie tussen minuten en uren kennen (1 uur = 60 minuten).

Wat moet je kunnen: Je moet de maximale onbeschermde zonblootstellingstijd kunnen aflezen uit de context. Je moet vervolgens deze tijd kunnen vermenigvuldigen met de zonnebrandfactor. Tot slot moet je de berekende tijd kunnen vergelijken met de gewenste zonblootstellingstijd en de juiste minimale factor kunnen kiezen.

Waar op letten: Lees goed af wat de maximale onbeschermde zonblootstellingstijd is voor het gegeven huidtype.
Begrijp dat de factor van de zonnebrandcrème een vermenigvuldigingsfactor is voor de veilige zonblootstellingstijd.
Let op de eenheden: de tijd wordt vaak in minuten gegeven, maar de vraag kan om uren vragen. Zorg dat je dit correct omrekent.
Rond pas af in de laatste stap en zorg dat je de minimale factor kiest die voldoet aan de gestelde eis.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/5

## Vraag 6 – Opgave 2 (4 punten)

**Vraaginterpretatie:** Deze vraag vraagt je om zonkrachtmetingen uit een grafiek te interpreteren en te begrijpen hoe een sinusoïde functie, zoals gegeven door de

Wat kun je verwachten: Je krijgt een grafiek van een sinusoïde en een algemene formule voor een sinusoïde. Je moet de parameters (a, b, c, d) van deze formule bepalen door de grafiek te analyseren.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een sinusoïde kennen (bijvoorbeeld f(t) = a + b sin(c(t-d))) en weten welke parameter correspondeert met de evenwichtsstand, amplitude, periode en faseverschuiving. Je moet ook de relatie tussen de periode en de parameter 'c' kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet de evenwichtsstand, amplitude, periode en faseverschuiving kunnen aflezen uit een gegeven grafiek van een sinusoïde. Vervolgens moet je deze waarden correct kunnen invullen in de algemene formule van de sinusoïde.

Waar op letten: Let goed op de eenheden op de assen: tijd in uren en zonkracht.
Identificeer de evenwichtsstand, amplitude, periode en faseverschuiving direct uit de grafiek.
Onthoud de relatie tussen de periode en de parameter 'c' in de sinusoïde formule (periode = 2pi/c).
De faseverschuiving 'd' is het tijdstip waarop de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat.
Rond pas af in de laatste stap en let op de gevraagde precisie (exacte breuk voor c, 1 decimaal voor d).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/6

## Vraag 7 – Opgave 2 (4 punten)

Voor die dag in augustus is door een onderzoeker voor de maximaal mogelijke zonkracht Z de volgende formule opgesteld:
Z = 2,65 + 2,65 sin(0,50(t − 10,7))
Hierin is t de tijd in uren met 7,6 ≤ t ≤ 20,1.
Neem aan dat de zon op deze dag de hele dag schijnt met de maximaal mogelijke kracht, dus volgens de formule.
4p 7 Toon met behulp van deze formule aan dat Marieke met zonnebrandcrème factor 15 niet deze hele dag in de zon kan blijven.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een goniometrische formule en je moet deze gebruiken om een bewering te controleren. Je zult een vergelijking moeten oplossen en de resultaten moeten interpreteren in de context van de vraag.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een goniometrische vergelijking oplost, zowel algebraïsch als met je grafische rekenmachine. Je moet ook de betekenis van de variabelen in de formule begrijpen en hoe je de gegeven informatie over zonnebrandcrème en maximale blootstellingstijd interpreteert.

Wat moet je kunnen: Je kunt de formule voor zonkracht Z gelijkstellen aan de kritieke zonkrachtwaarde. Je kunt de resulterende vergelijking oplossen voor t. Je kunt de tijdsduur berekenen dat de zonkracht boven een bepaalde waarde is. Je kunt deze berekende duur vergelijken met de maximale veilige blootstellingstijd van Marieke en hieruit een conclusie trekken.

Waar op letten: Let goed op de eenheden: tijd is in uren, maar de maximale blootstellingstijd kan in minuten gegeven zijn. Zorg dat je consistent bent.
De formule is een sinusfunctie. Houd rekening met de periode en het bereik van de functie bij het oplossen van de vergelijking.
Vergeet niet het gegeven tijdsinterval (7,6 ≤ t ≤ 20,1) mee te nemen bij het bepalen van de relevante oplossingen voor t.
Rond pas af in de laatste stap. Gebruik voldoende decimalen bij tussenberekeningen om afrondingsfouten te voorkomen.
De vraag vraagt om 'aantonen'. Dit betekent dat je een duidelijke redenering moet geven, niet alleen een antwoord.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/7

## Vraag 8 – Opgave 2 (4 punten)

Touwtjespringen

Op veel schoolpleinen van basisscholen zie je groepen kinderen
touwtjespringen. Twee kinderen draaien een lang touw rond, terwijl
andere kinderen één voor één al springend het draaiende touw
binnengaan en weer uitgaan.

In de figuur is een model van het springtouw in een assenstelsel
getekend. De doorgetrokken lijn is het springtouw in de laagste stand en
de stippellijn is het springtouw in de hoogste stand. Het springtouw wordt
door de draaiers vastgehouden in de punten A en B. Het springtouw raakt
de grond precies midden tussen de draaiers in. We gaan er in dit model
van uit dat het springtouw symmetrisch om de as AB heen draait.

figuur

De formule die hoort bij de doorgetrokken lijn in de figuur is:
H(x) = e^−0,31x + e^0,31x − 2

Hierin is H(x) de hoogte (in meters) van het springtouw en x de ‘afstand’1)
(in meters) gemeten vanaf het punt waar het springtouw de grond raakt.
In dit model verwaarlozen we de dikte van het springtouw. Het model is
symmetrisch ten opzichte van de H-as en de maximale hoogte van de
stippellijn in de figuur is 1,54 meter.

Uit de gegevens volgt dat de draaiers ongeveer 5,5 meter van elkaar
staan.

4p 8 Bereken de afstand tussen de punten A en B. Geef je antwoord in hele
centimeters.

noot 1 Als x negatief is, betekent dit dat het bijbehorende punt op de doorgetrokken lijn
ergens tussen A en het laagste punt van de doorgetrokken lijn ligt. Zie de figuur.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een vergelijking moet opstellen en oplossen met behulp van je grafische rekenmachine. Je zult de context moeten interpreteren om de juiste waarde voor H(x) te bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je exponentiële functies invoert in je grafische rekenmachine en hoe je snijpunten van grafieken kunt vinden. Ook moet je het concept van symmetrie begrijpen en hoe dit de berekening van de totale afstand beïnvloedt.

Wat moet je kunnen: Je moet de maximale hoogte van de stippellijn kunnen relateren aan de hoogte van de punten A en B. Je moet de vergelijking H(x) = constante kunnen oplossen met je GR en de gevonden x-waarden correct kunnen interpreteren om de afstand tussen A en B te berekenen. Tot slot moet je de eenheid correct omzetten van meters naar centimeters en afronden op een geheel getal.

Waar op letten: De maximale hoogte van de stippellijn is 1,54 meter. Bedenk wat dit betekent voor de hoogte van de punten A en B.
De formule H(x) = e^−0,31x + e^0,31x − 2 beschrijft de doorgetrokken lijn. Je moet deze formule gelijkstellen aan de hoogte van de punten A en B.
Let op de symmetrie van het model ten opzichte van de H-as. Dit betekent dat als je één x-waarde vindt, de andere x-waarde het tegengestelde is.
Rond pas af in de laatste stap. De vraag vraagt om het antwoord in hele centimeters, dus vergeet niet de omrekening van meters naar centimeters.
De 'afstand' x is gemeten vanaf het punt waar het springtouw de grond raakt (x=0). De afstand tussen A en B is dus 2 keer de absolute waarde van de x-coördinaat van A of B.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/8

## Vraag 9 – Opgave 2 (4 punten)

**Vraaginterpretatie:** Deze vraag test je vermogen om wiskundige concepten toe te passen op een praktische situatie, zoals touwtjespringen, waarbij je relaties of

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een gegeven formule moet interpreteren en gebruiken om een specifieke vraag over de hoogte van een touw op te lossen. Je zult waarschijnlijk een vergelijking moeten opstellen en oplossen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een functievoorschrift interpreteert en hoe je een vergelijking oplost. Je moet ook inzicht hebben in symmetrie bij wiskundige modellen.

Wat moet je kunnen: Je moet een vergelijking kunnen opstellen op basis van de vraag en de gegeven formule. Je moet deze vergelijking vervolgens algebraïsch of met je grafische rekenmachine kunnen oplossen. Tot slot moet je je antwoord in de juiste context kunnen plaatsen en correct afronden.

Waar op letten: Let goed op welke hoogte de vraag precies stelt: is het de hoogte van het touw zelf, of de afstand tot het hoogste punt?
Verwar de variabele 'x' in de formule niet met de gevraagde lengte. 'x' staat voor de horizontale afstand vanaf het midden.
Denk na over de symmetrie van de beweging van het touw. Dit kan je helpen bij het oplossen.
Rond pas af in de allerlaatste stap om afrondingsfouten te voorkomen.
Controleer de eenheden in je antwoord (meters of centimeters).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/9

## Vraag 10 – Opgave 2 (4 punten)

Bij het touwtjespringen kunnen verschillende spelletjes gespeeld worden.
Een groep van tien kinderen speelt zo’n spel. Bij dit spel wordt deze groep als volgt verdeeld:
– twee kinderen draaien met het touw, de zogenaamde draaiers;
– de overige acht kinderen worden in twee gelijke teams verdeeld.
4p 10 Bereken hoeveel verschillende verdelingen er op deze manier mogelijk zijn.

Wat kun je verwachten: Je zult een combinatorische vraag tegenkomen waarbij je een groep mensen moet verdelen in kleinere subgroepen met specifieke rollen. Je moet hierbij goed nadenken over de volgorde en of er sprake is van dubbeltellingen.

Wat moet je kennen: Je moet de combinatoriek-formule nCr kennen en weten wanneer je deze toepast. Ook moet je inzicht hebben in situaties waarin je moet corrigeren voor dubbeltellingen, zoals bij het verdelen in gelijkwaardige groepen.

Wat moet je kunnen: Je moet de vraag kunnen opdelen in kleinere, behapbare stappen. Je moet de juiste combinatorische techniek (nCr) kunnen toepassen voor elke stap en vervolgens de resultaten correct kunnen combineren. Tot slot moet je kunnen herkennen wanneer een correctie voor dubbeltellingen nodig is en deze correctie correct kunnen uitvoeren.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen 'kiezen' (combinaties) en 'rangschikken' (permutaties). Hier gaat het om kiezen, dus gebruik je combinaties (nCr).
Verdeel de vraag in logische stappen: eerst de draaiers kiezen, dan de teams samenstellen uit de overgebleven kinderen.
Bedenk of de volgorde van de teams ertoe doet. Als team A en team B hetzelfde zijn als team B en team A, moet je corrigeren.
Rond pas af in de allerlaatste stap. In dit geval werk je met gehele getallen, dus afronden is niet direct aan de orde, maar zorg dat je geen stappen overslaat.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/10

## Vraag 11 – Opgave 2 (3 punten)

**Vraaginterpretatie:** Deze vraag test je vermogen om verschillende wiskundige vaardigheden toe te passen binnen een praktische context van touwtjespringen, waarbij je bereken

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een tabel moet invullen of aflezen en op basis daarvan een conclusie moet trekken. Dit type vraag test je nauwkeurigheid en je vermogen om informatie uit een schema te verwerken.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je gegevens uit een tabel haalt en hoe je eenvoudige optellingen uitvoert om totalen te berekenen.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om systematisch de gegevens per kind te verwerken, de totalen te berekenen en deze totalen vervolgens met elkaar te vergelijken om de gevraagde conclusie te trekken.

Waar op letten: Lees de tabel nauwkeurig af: zorg dat je de juiste rij en kolom interpreteert voor elk kind.
Tel alle sprongen per kind correct op. Een kleine telfout kan leiden tot een verkeerde conclusie.
Vergelijk de totalen van alle kinderen om de hoogste waarde te vinden.
Zorg dat je de vraag beantwoordt: welk kind maakt de meeste sprongen, niet hoeveel sprongen dat zijn.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/11

## Vraag 12 – Opgave 2 (4 punten)

Toon aan dat de formule voor AH juist is.

Wat kun je verwachten: Je kunt een vraag verwachten waarbij je een wiskundige formule moet afleiden of aantonen op basis van een beschrijving of een figuur. Dit vereist vaak het toepassen van meetkundige stellingen en algebraïsche vaardigheden.

Wat moet je kennen: Je moet de Stelling van Pythagoras kennen en weten hoe je deze toepast in verschillende situaties. Ook moet je de regels voor het uitwerken van merkwaardige producten, zoals (a+b)^2, goed beheersen.

Wat moet je kunnen: Je moet een figuur kunnen analyseren om de relevante meetkundige relaties te identificeren. Je moet algebraïsche uitdrukkingen kunnen opstellen en herleiden, inclusief het correct uitwerken van haakjes en het vereenvoudigen van termen.

Waar op letten: Identificeer de juiste rechthoekige driehoek waar de Stelling van Pythagoras op van toepassing is.
Benoem de lengtes van de zijden van deze driehoek correct in termen van de gegeven variabelen (straal en x).
Pas de Stelling van Pythagoras correct toe: c^2 = a^2 + b^2, waarbij c de hypotenusa is.
Werk de haakjes correct uit (merkwaardig product (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2).
Vereenvoudig de uitdrukking stap voor stap om tot de gevraagde formule te komen.

Kernbegrippen: stelling van Pythagoras, algebraïsche herleiding, merkwaardige producten

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/12

## Vraag 13 – Opgave 2 (3 punten)

Wie de Domtoren in Utrecht beklimt, kan op 75 meter ooghoogte en op 90 meter ooghoogte naar buiten kijken.
Bereken hoeveel je op 90 meter ooghoogte verder kunt kijken dan op 75 meter ooghoogte. Geef je antwoord in gehele km nauwkeurig.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een gegeven formule moet toepassen. Je zult waarden uit de vraag in de formule moeten invullen en de resultaten correct moeten interpreteren en verwerken. Ook moet je goed letten op eenheden en afronding.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je eenheden omrekent (meters naar kilometers). Je moet ook weten hoe je een formule invult en de uitkomst berekent. Daarnaast moet je de regels voor afronden op een geheel getal kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven hoogtes (75 meter en 90 meter) kunnen omzetten naar kilometers. Je moet deze omgerekende waarden vervolgens correct kunnen substitueren in de formule AH(x) = 3,57 * sqrt(x). Tot slot moet je het verschil tussen de twee berekende afstanden kunnen bepalen en dit verschil correct kunnen afronden op een geheel getal.

Waar op letten: Let goed op de eenheden: de hoogtes zijn in meters, maar de formule gebruikt x in kilometers. Je moet dus eerst de meters omrekenen naar kilometers.
Rond pas af in de allerlaatste stap. Gebruik de volledige, niet-afgeronde waarden voor de kijkafstanden om het verschil te berekenen.
Het antwoord moet in gehele kilometers nauwkeurig zijn. Dit betekent dat je op het einde correct moet afronden op een geheel getal.
Vergeet niet dat je het verschil tussen de twee kijkafstanden moet berekenen, niet alleen de afstanden zelf.

Kernbegrippen: formule substitueren, eenheden omrekenen, afronden

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/13

## Vraag 14 – Opgave 2 (2 punten)

Dat je verder kunt kijken als je hoger staat, betekent dat AH toeneemt als x toeneemt.
Uit de formule blijkt dat dit het geval is.
Beredeneer aan de hand van de formule van AH dat AH toeneemt als x toeneemt.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule en je moet beredeneren waarom een bepaalde variabele toeneemt als een andere variabele toeneemt. Dit vereist inzicht in hoe functies zich gedragen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe de grafieken van basisfuncties zoals y=x, y=x^2 en y=sqrt(x) eruitzien en hoe hun waarden veranderen als x toeneemt (voor x>0). Je moet ook weten hoe samengestelde functies werken.

Wat moet je kunnen: Je moet een logische redenering kunnen opbouwen en deze helder kunnen formuleren. Je moet de eigenschappen van functies kunnen toepassen om een verband tussen variabelen te verklaren.

Waar op letten: Je moet de redenering stap voor stap opbouwen, beginnend bij de binnenste term van de formule.
Je moet expliciet benoemen waarom elke stap in de redenering leidt tot een toename.
Je moet de eigenschappen van de functies (lineair, kwadratisch, wortel) correct toepassen.
Je moet je redenering baseren op de structuur van de gegeven formule, niet op intuïtie.
Je moet de conclusie helder formuleren.

Kernbegrippen: stijgende functie, wortelfunctie, redeneren met functies, samengestelde functie

Veelgemaakte fouten:
- onvolledige redenering
- conclusie zonder argumentatie

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/14

## Vraag 15 – Opgave 2 (5 punten)

Bepaal de afgeleide dAH/dx en beredeneer aan de hand van de formule van deze afgeleide, dus zonder een schets of tekening van de grafiek van de afgeleide te maken, dat AH toeneemt als x toeneemt.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een functie die je moet differentiëren. Daarna moet je op basis van de afgeleide beredeneren of de oorspronkelijke functie stijgt of daalt.

Wat moet je kennen: Je moet de differentieerregels kennen, met name de machtregel en de kettingregel. Ook moet je weten dat een positieve afgeleide betekent dat de functie stijgt.

Wat moet je kunnen: Je moet een functie kunnen differentiëren met behulp van de kettingregel. Je moet ook in staat zijn om het teken van een algebraïsche uitdrukking te bepalen en hieruit conclusies te trekken over het gedrag van de oorspronkelijke functie.

Waar op letten: Vergeet de kettingregel niet bij het differentiëren van een wortelfunctie. Een wortel kun je schrijven als een macht.
Let goed op de algebraïsche vereenvoudiging van de afgeleide, zodat je het teken makkelijker kunt bepalen.
Beredeneer zorgvuldig waarom de teller en de noemer van de afgeleide positief zijn, rekening houdend met de context (x >= 0).
Concludeer correct over het teken van de afgeleide en de implicatie daarvan voor het stijgen of dalen van de oorspronkelijke functie.
Presenteer je redenering helder en stap voor stap.

Kernbegrippen: differentiëren, kettingregel, teken van de afgeleide, stijgende functie

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/15

## Vraag 16 – Opgave 2 (3 punten)

Henk beweert dat, als je tweemaal zo hoog staat, je ook altijd tweemaal zo ver kunt kijken.
Onderzoek met behulp van de formule voor AH of Henk gelijk heeft.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je een bewering moet controleren met behulp van een gegeven formule. Dit vereist dat je de bewering wiskundig vertaalt en vervolgens de formule toepast om de bewering te bevestigen of te ontkrachten.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een formule gebruikt om waarden te berekenen en hoe je een algemene bewering wiskundig kunt testen. Kennis van wortelfuncties en het oplossen van vergelijkingen met wortels is hierbij handig.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om een bewering te vertalen naar een wiskundige uitdrukking, waarden in een formule te substitueren, en de resultaten te interpreteren om een conclusie te trekken. Ook moet je een vergelijking met wortels kunnen manipuleren en oplossen.

Waar op letten: Je moet de bewering van Henk correct vertalen naar een wiskundige vergelijking of ongelijkheid met de formule AH.
Je kunt een tegenvoorbeeld gebruiken: kies een waarde voor x, bereken AH(x), kies 2x, bereken AH(2x) en vergelijk AH(2x) met 2 * AH(x).
Je kunt ook proberen de algemene vergelijking AH(2x) = 2 * AH(x) op te lossen en te kijken of dit voor alle positieve x geldt.
Let op de wortelfunctie in de formule; het kwadrateren van beide zijden kan nodig zijn bij de algemene aanpak.
Je conclusie moet duidelijk zijn en direct antwoord geven op de vraag of Henk gelijk heeft.

Kernbegrippen: modelonderzoek, substitutie, tegenvoorbeeld, wortelfuncties

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/16

## Vraag 17 – Opgave 2 (3 punten)

**Vraaginterpretatie:** Deze vraag vraagt je om berekeningen uit te voeren met betrekking tot de maandelijkse ontwikkeling van een hypotheekschuld, waarbij de invloed

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een groeifactor voor een bepaalde periode (bijvoorbeeld jaar) moet omrekenen naar een groeifactor voor een kortere periode (bijvoorbeeld maand). Dit is een standaardvaardigheid bij financiële berekeningen.

Wat moet je kennen: Je moet de relatie kennen tussen een groeifactor per jaar en een groeifactor per maand. Je moet weten dat als de jaarlijkse groeifactor 'g_jaar' is, de maandelijkse groeifactor 'g_maand' gelijk is aan g_jaar^(1/12).

Wat moet je kunnen: Je moet een gegeven jaarlijkse groeifactor kunnen omrekenen naar een maandelijkse groeifactor door de juiste macht te gebruiken. Je moet ook nauwkeurig kunnen afronden op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Let op het verschil tussen een jaarlijkse en een maandelijkse groeifactor.
Denk goed na over de macht die je moet gebruiken bij het omrekenen van de groeifactor (1/12 voor maanden).
Rond pas af in de laatste stap, en zorg dat je het juiste aantal decimalen gebruikt (hier 3 decimalen).
Verwar groeifactor niet met rentepercentage; de groeifactor is (1 + rentepercentage als decimaal).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/17

## Vraag 18 – Opgave 2 (4 punten)

Voor de hypotheek van Casper geldt B = 1225,10. Volgens zijn hypotheekadviseur is het zo dat hij na 10 jaar meer dan 20% van zijn hypotheek heeft afgelost.

4p 18 Onderzoek of de hypotheekadviseur gelijk heeft.

Wat kun je verwachten: Je berekent de restschuld van een annuïteitenhypotheek na een bepaalde periode en vergelijkt dit met de oorspronkelijke hypotheek om te bepalen hoeveel er is afgelost. Je moet een percentage berekenen en een conclusie trekken.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor de restschuld van een annuïteitenhypotheek kennen en weten hoe je deze toepast. Je moet ook weten hoe je een percentage berekent en hoe je een groeifactor omzet van jaarbasis naar maandbasis (of andersom, afhankelijk van de context).

Wat moet je kunnen: Je kunt de juiste waarden (oorspronkelijke hypotheek, maandelijkse betaling, rentepercentage, aantal termijnen) in de restschuldformule invullen. Je kunt de groeifactor correct omrekenen naar de juiste periode (maanden). Je kunt het afgeloste bedrag en het afgeloste percentage berekenen en een duidelijke conclusie formuleren op basis van je berekeningen.

Waar op letten: Let op de eenheid van tijd: de betaling B is per maand, dus je moet de rente en de periode (10 jaar) omrekenen naar maanden.
Zorg ervoor dat je de juiste formule voor de restschuld gebruikt en alle variabelen correct invult.
Verwar 'afgelost' niet met 'restschuld'. Als er meer dan 20% is afgelost, betekent dit dat de restschuld minder dan 80% is.
Rond pas af in de allerlaatste stap van je berekening om afrondingsfouten te voorkomen.
Formuleer een duidelijke conclusie die antwoord geeft op de vraag of de hypotheekadviseur gelijk heeft, en onderbouw dit met je berekeningen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/18

## Vraag 19 – Opgave 2 (4 punten)

Voor Casper kan de aflossing van zijn hypotheek benaderd worden met de formule
F = 345,24e^0,0035n
met n in maanden.
figuur
bedrag (in €)
looptijd (in maanden)
Legenda
_____ rente (I)
------ aflossing (F)
4p 19 Bereken na hoeveel maanden Casper voor het eerst meer aflossing dan rente betaalt.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een exponentiële formule moet gebruiken in combinatie met informatie uit een grafiek. Je zult een vergelijking of ongelijkheid moeten opstellen en deze oplossen, waarschijnlijk met behulp van logaritmen of je grafische rekenmachine.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van exponentiële functies kennen en weten hoe je deze kunt oplossen met logaritmen. Ook moet je weten hoe je een grafiek en de bijbehorende legenda correct interpreteert. Je moet ook begrijpen wat 'meer dan' betekent in de context van een ongelijkheid.

Wat moet je kunnen: Je moet een exponentiële vergelijking kunnen opstellen en oplossen, zowel algebraïsch met logaritmen als met je grafische rekenmachine (bijvoorbeeld met de intersect-functie of de solver). Je moet ook in staat zijn om relevante informatie uit een grafiek en de bijbehorende legenda te halen en deze te vertalen naar wiskundige termen.

Waar op letten: Let goed op de legenda van de grafiek om te zien welke lijn de aflossing (F) en welke de rente (I) voorstelt.
De vraag vraagt wanneer de aflossing 'meer' is dan de rente, wat betekent dat je een ongelijkheid moet opstellen (F > I).
Zorg ervoor dat je de formule voor de rente (I) correct afleidt uit de gegeven informatie en de grafiek, of uit de totale maandlast als die gegeven is.
Rond pas af aan het einde van de berekening, en let op dat 'na hoeveel maanden' een geheel aantal maanden impliceert.
Controleer of je de exponentiële vergelijking correct omzet naar een logaritmische vorm om n op te lossen, of dat je de grafische rekenmachine correct gebruikt.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/19

## Vraag 20 – Opgave 2 (2 punten)

Na 10 jaar bedraagt de restschuld van Casper nog € 198 396. 1) Hij heeft op dat moment de mogelijkheid € 50 000 van zijn hypotheek af te lossen. Het nadeel is wel dat hij dan voor de resterende looptijd van 20 jaar een nieuwe lening moet afsluiten met 0,375% rente per maand.

2p 20 Toon aan dat het bedrag dat hij per maand moet betalen, gelijk wordt aan € 938,83 als hij € 50 000 van zijn hypotheek aflost.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een financiële context waarin je een annuïteitenformule moet toepassen om een maandelijks te betalen bedrag te berekenen. Je moet de gegevens uit de tekst correct interpreteren en omzetten naar de juiste variabelen voor de formule.

Wat moet je kennen: Je moet de annuïteitenformule kennen en weten welke variabele waarvoor staat (hoofdsom, rentepercentage, aantal termijnen). Je moet ook weten hoe je percentages omzet naar decimalen en jaren naar maanden.

Wat moet je kunnen: Je moet de annuïteitenformule correct kunnen invullen met de gegeven waarden. Je moet nauwkeurig kunnen rekenen met percentages en tijdseenheden. Ook moet je een 'toon aan'-vraag kunnen beantwoorden door de berekening duidelijk te presenteren.

Waar op letten: Let goed op de eenheid van de rente: 0,375% per maand. Je moet dit omzetten naar een decimaal getal voor gebruik in de formule.
De looptijd is 20 jaar. Je moet dit omrekenen naar het aantal maanden, aangezien de rente per maand wordt gegeven.
De aflossing van € 50 000 moet je eerst van de restschuld aftrekken voordat je de annuïteitenformule toepast.
Rond pas af op twee decimalen bij de allerlaatste stap, zoals gevraagd in de opgave (€ 938,83).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/20

## Vraag 21 – Opgave 2 (5 punten)

Casper heeft nu twee mogelijkheden:
I Hij verandert niets aan zijn hypotheek en blijft € 1225,10 per maand betalen. De € 50 000 zet hij op een lange-termijnspaarrekening waar hij 2,95% rente per jaar krijgt.
II Hij lost met de € 50 000 zijn hypotheek voor een deel af en betaalt nog maar € 938,83 per maand. Het geld dat hij per maand minder uitgeeft, zet hij op de bank maar hij ontvangt hier geen rente over.
5p 21 Onderzoek welke mogelijkheid voor Casper het gunstigst is.

Wat kun je verwachten: Je zult een financiële vergelijking moeten maken tussen twee scenario's. Dit betekent dat je voor elk scenario de totale inkomsten en uitgaven over een bepaalde periode (20 jaar) moet berekenen en deze vervolgens met elkaar moet vergelijken.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je met groeifactoren rekent voor renteberekeningen (exponentiële groei). Ook moet je weten hoe je totale bedragen berekent over een langere periode, zowel met vaste maandelijkse bedragen als met rente op spaargeld.

Wat moet je kunnen: Je kunt de groeifactor berekenen op basis van een rentepercentage. Je kunt de totale opbrengst van spaargeld met rente over 20 jaar berekenen. Je kunt de totale uitgaven voor de hypotheek over 20 jaar berekenen voor beide mogelijkheden. Tot slot kun je de resultaten van beide mogelijkheden vergelijken en een conclusie trekken over welke het gunstigst is.

Waar op letten: Zet percentages (2,95%) om naar decimalen (0.0295) voor berekeningen met groeifactoren.
Let op de tijdsperiode: 20 jaar is 240 maanden. Zorg dat je consequent rekent met jaren of maanden.
Rond pas af in de allerlaatste stap van je berekening om afrondingsfouten te voorkomen.
Vergelijk de totale financiële uitkomst van beide mogelijkheden op een consistente manier (bijvoorbeeld totale kosten of totale opbrengsten).
Vergeet niet de eenheid (€) bij je antwoord te vermelden.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/21

## Vraag 22 – Opgave 2 (7 punten)

**Vraaginterpretatie:** Deze vraag daagt je uit om de financiële situatie van de Wijkertunnel kritisch te analyseren. Je moet de financiële gevolgen van de invester

Wat kun je verwachten: Je zult een financiële analyse moeten uitvoeren op basis van gegeven informatie in infographics. Je berekent totale opbrengsten over een langere periode en vergelijkt deze met investeringen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je gegevens uit grafieken en tabellen interpreteert. Je moet ook het concept van een lineaire toename over tijd begrijpen en hoe je hiermee rekent voor een totale som over meerdere jaren. Kennis van de somformule van een rekenkundige rij kan handig zijn.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om relevante informatie uit infographics te selecteren en te combineren. Je moet een strategie kunnen opstellen om de totale opbrengst over een periode te berekenen, rekening houdend met een lineaire groei. Je vergelijkt vervolgens de berekende opbrengst met de initiële investering om de 'meeropbrengst' te bepalen.

Waar op letten: Let goed op de verschillende periodes waarover je de opbrengsten moet berekenen (bijvoorbeeld 1996 apart en 1997-2025).
Zorg dat je de juiste gegevens uit de infographics haalt, zoals de investering van de banken en de toename van het aantal auto's.
Bedenk hoe je de totale opbrengst over een langere periode berekent, vooral als er sprake is van een lineaire toename (denk aan het gemiddelde of een somrij).
Rond pas af in de allerlaatste stap van je berekening en geef het antwoord in de gevraagde eenheid (miljoenen euro's).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/22

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2022
tijdvak 3
woensdag 6 juli
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 82 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redeneren worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1024-a-22-3-o

### Pagina 2

OVERZICHT FORMULES

Differentiëren

naam van de regel | functie | afgeleide
------- | -------- | --------
somregel | $s(x) = f(x) + g(x)$ | $s'(x) = f'(x) + g'(x)$
verschilregel | $s(x) = f(x) - g(x)$ | $s'(x) = f'(x) - g'(x)$
productregel | $p(x) = f(x) \cdot g(x)$ | $p'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
quotiëntregel | $q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ | $q'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$
kettingregel | $k(x) = f(g(x))$ | $k'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ of $$ \frac{dk}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx} $$

Logaritmen

regel | voorwaarde
------- | --------
$^g \log(a) + ^g \log(b) = ^g \log(ab)$ | $g > 0, g \neq 1, a > 0, b > 0$
$^g \log(a) - ^g \log(b) = ^g \log(\frac{a}{b})$ | $g > 0, g \neq 1, a > 0, b > 0$
$^g \log(a^p) = p \cdot ^g \log(a)$ | $g > 0, g \neq 1, a > 0$
$^g \log(a) = \frac{^p \log(a)}{^p \log(g)}$ | $g > 0, g \neq 1, a > 0, p > 0, p \neq 1$

VW-1024-a-o 2 / 14 lees verder ►►►

### Pagina 3

Ga verder op de volgende pagina.
VW-1024-a-o 3 / 14 lees verder ► ► ►

### Pagina 4

Temperatuurschalen

In Nederland drukken we temperaturen meestal uit in graden Celsius ($^\circ C$), maar er bestaan veel meer temperatuurschalen. In deze opgave bekijken we een aantal van deze temperatuurschalen.

In de Verenigde Staten wordt de temperatuur uitgedrukt in graden Fahrenheit ($^\circ F$). De Fahrenheitsschaal is in 1724 ontwikkeld door de Duitser Gabriel Fahrenheit. Hij gebruikte bij het bedenken van deze schaal de volgende drie referentiepunten:

1 Hij maakte een mengsel van ijs, water en een bepaald soort zout. Dat was in die tijd de manier om een zo laag mogelijke temperatuur te verkrijgen. Die temperatuur noemde hij $0 ^\circ F$.
2 Het vriespunt van water. Dat noemde hij $32 ^\circ F$.
3 De lichaamstemperatuur van een gezond mens. Die noemde hij $96 ^\circ F$.

In graden Celsius is de lichaamstemperatuur van een gezond mens gelijk aan $37 ^\circ C$ en is het vriespunt van water $0 ^\circ C$. Zowel de Celsiussschaal als de Fahrenheitsschaal is lineair. En ook het verband tussen de temperatuur in graden Celsius en die in graden Fahrenheit is lineair.

4p 1 Bereken met behulp van de bovenstaande referentiepunten de temperatuur in $^\circ C$ van het ijsmengsel dat Fahrenheit gebruikte.

De metingen van Fahrenheit waren vrij onnauwkeurig en daarmee was zijn temperatureschaal dat ook. Inmiddels is de Fahrenheitsschaal nauwkeuriger vastgesteld en geldt tussen graden Celsius ($C$) en graden Fahrenheit ($F$) het volgende verband:
$$ C = \frac{5}{9} (F - 32) $$

3p 2 Bereken bij welke temperatuur beide temperatuurschalen dezelfde waarde geven.

In de wetenschap werkt men meestal met de Kelvinschaal. Deze schaal is afgeleid van de Celsiussschaal, maar heeft een ander nulpunt, namelijk het zogenoemde absolute nulpunt. Dat is de laagst mogelijke temperatuur. In graden Celsius is dat $-273,15 ^\circ C$.

Er geldt: $K = C + 273,15$ met $K$ in Kelvin.
Door de twee bovenstaande formules te gebruiken, kun je een formule opstellen die de temperatuur in Kelvin uitdrukt in graden Fahrenheit. Deze formule heeft de vorm $K = aF + b$.

3p 3 Bereken de waarden van $a$ en $b$. Geef je antwoorden in twee decimalen.

VW-1024-a-o 4 / 14 lees verder ►►►


### Pagina 5

In de figuur zijn de grafieken getekend van verschillende
temperatuurschalen: Celsius, Fahrenheit en Kelvin. Beide assen hebben
een lineaire schaalverdeling. Op de horizontale as is echter geen
schaalverdeling weergegeven: daar staan enkele natuurkundige
verschijnselen die bij de betreffende temperaturen plaatsvinden.
In de figuur is ook de grafiek getekend van de schaal van Rankine. Deze
schaal is in de negentiende eeuw afgeleid van die van Fahrenheit, maar
heeft, net als de Kelvinschaal, het absolute nulpunt als nulpunt. De
grafieken die horen bij Fahrenheit en Rankine zijn evenwijdig.
[FIGUUR: Grafiek met op de verticale as temperaturen van -500 tot 800, met de schalen Celsius, Fahrenheit, Kelvin en Rankine weergegeven. Op de horizontale as zijn de temperatuur van het ijsmengsel van water, het smeltpunt van water, de lichaamstemperatuur en het kookpunt van water aangegeven.]
Met behulp van deze grafieken en/of de voorgaande formules is het
mogelijk om een verband op te stellen tussen de temperatuur in $^\circ \text{C}$ en die
in graden Rankine ($^\circ \text{Ra}$).
Dat verband heeft de vorm: $C = pR + q$ met $C$ de temperatuur in $^\circ \text{C}$ en
$R$ de temperatuur in $^\circ \text{Ra}$.
4p 4 Stel deze formule op. Licht je antwoord toe en geef de waarden van $p$ en
$q$ in twee decimalen.
VW-1024-a-o
5 / 14
lees verder ► ► ►

### Pagina 6

Zonkracht en beschermingsfactor

Op de verpakking van een zonnebrandcrème staat de volgende tabel:

tabel
[FIGUUR: Tabel met huidtypes en maximale zonduur zonder en met crème.]
maximale tijd in de zon in uren en minuten (bij zonkracht 8)
huidtype
zonder crème
met crème factor 20
1 zeer lichte huid
7,5 minuten
2 uur 30 minuten
2 lichte huid
12,5 minuten
4 uur 10 minuten
3 licht getinte huid
25 minuten
8 uur 20 minuten
4 getinte huid
37,5 minuten
12 uur 30 minuten

De beschermingsfactor van een zonnebrandcrème geeft aan met welke
factor je de maximale tijd in de zon zonder crème moet vermenigvuldigen
om de maximale tijd in de zon met crème te krijgen. Zo kun je in de tabel
aflezen dat met huidtype 1 de maximale tijd in de zon zonder crème
7,5 minuten is. Met crème factor 20 is deze maximale tijd 20 maal zo lang.

Bovengenoemde tabel geldt voor zonkracht 8. De zonkracht is een maat
voor de intensiteit van de zonnestraling. Zonkracht 8 is de maximale
zonkracht die in Nederland voorkomt. Hoe lang iemand in de zon kan
blijven, hangt niet alleen af van zijn huidtype en de zonnebrandcrème,
maar ook van de zonkracht. Voor $T$, de maximale tijd in de zon zonder
crème, wordt wel de volgende formule gebruikt:
$$T = \frac{\text{huidwaarde}}{\text{zonkracht}}$$
Hierbij is $T$ in minuten en heeft huidtype 1 huidwaarde 60, huidtype 2
huidwaarde 100, huidtype 3 huidwaarde 200 en huidtype 4 huidwaarde
300.

Er zijn zonnebrandcrèmes met beschermingsfactor 10, 15, 20, 30 en 50
beschikbaar.

3p 5 Op een licht bewolkte dag in juni is de zonkracht 5. Iemand met
huidtype 2 wil 4 uur in de zon kunnen blijven.
Bereken welke beschermingsfactor hij van bovenstaande beschikbare
beschermingsfactoren minimaal nodig heeft in zijn zonnebrandcrème.

VW-1024-a-o 6 / 14 lees verder

### Pagina 7

In werkelijkheid is de zonkracht gedurende een dag nooit constant, maar
varieert afhankelijk van de bewolking en het moment van de dag. In de
figuur zie je de gemeten zonkracht op 5 september 2015 in Bilthoven.
Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as 'zonkracht' (van 0 tot 4) en op de x-as 'tijd (in uren)' (van 7 tot 20). Een grillige lijn met punten geeft de gemeten zonkracht weer. Een gladde curve geeft de maximale mogelijke zonkracht weer.]
De met lijntjes verbonden punten geven de metingen aan. In de figuur is
ook een grafiek getekend die de maximaal mogelijke zonkracht geeft, dat
wil zeggen de zonkracht bij onbewolkte hemel. Onderzoekers benaderen
deze grafiek met een formule van de vorm:
$Z = a + b \sin(c(t-d))$
Hierin is $Z$ de maximaal mogelijke zonkracht en $t$ de tijd in uren.
4p 6 Bepaal, met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage, de waarden van $a$,
$b$, $c$ en $d$ in deze formule. Licht je antwoorden toe.
Op een bepaalde dag in augustus moet Marieke een lange tijd in de zon
werken. Marieke heeft huidtype 1 en ze smeert zich altijd in met
zonnebrandcrème factor 15. Je kunt nu berekenen dat Marieke maximaal
225 minuten in de zon kan blijven als de zonkracht constant 4 zou zijn.
Voor die dag in augustus is door een onderzoeker voor de maximaal
mogelijke zonkracht $Z$ de volgende formule opgesteld:
$Z = 2,65 + 2,65 \sin(0,50(t - 10,7))$
Hierin is $t$ de tijd in uren met $7,6 \leq t \leq 20,1$.
Neem aan dat de zon op deze dag de hele dag schijnt met de maximaal
mogelijke kracht, dus volgens de formule.
7 Toon met behulp van deze formule aan dat Marieke met
zonnebrandcrème factor 15 niet deze hele dag in de zon kan blijven.
VW-1024-a-o
7 / 14
lees verder

### Pagina 8

Touwtespringen

Op veel schoolpleinen van basisscholen zie je groepen kinderen touwtjespringen. Twee kinderen draaien een lang touw rond, terwijl andere kinderen één voor één al springend het draaiende touw binnengaan en weer uitgaan.

In de figuur is een model van het springtouw in een assenstelsel getekend. De doorgetrokken lijn is het springtouw in de laagste stand en de stippellijn is het springtouw in de hoogste stand. Het springtouw wordt door de draaiers vastgehouden in de punten A en B. Het springtouw raakt de grond precies midden tussen de draaiers in. We gaan er in dit model van uit dat het springtouw symmetrisch om de as AB heen draait.

figuur

[FIGUUR: Een grafiek met de H-as verticaal en de x-as horizontaal. De H-as heeft schaalstreepjes bij 0, 1, 2. De x-as heeft schaalstreepjes bij -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Een doorgetrokken lijn vormt een parabool, beginnend bij punt A, dalend naar de x-as, en weer stijgend naar punt B. Een stippellijn vormt een hogere parabool, symmetrisch ten opzichte van de doorgetrokken lijn.]

De formule die hoort bij de doorgetrokken lijn in de figuur is:
$$ H(x) = e^{-0,31x} + e^{0,31x} - 2 $$
Hierin is $H(x)$ de hoogte (in meters) van het springtouw en $x$ de ‘afstand’$^{1)}$ (in meters) gemeten vanaf het punt waar het springtouw de grond raakt. In dit model verwaarlozen we de dikte van het springtouw. Het model is symmetrisch ten opzichte van de $H$-as en de maximale hoogte van de stippellijn in de figuur is 1,54 meter.

Uit de gegevens volgt dat de draaiers ongeveer 5,5 meter van elkaar staan.

4p 8 Bereken de afstand tussen de punten $A$ en $B$. Geef je antwoord in hele centimeters.

noot 1 Als $x$ negatief is, betekent dit dat het bijbehorende punt op de doorgetrokken lijn ergens tussen $A$ en het laagste punt van de doorgetrokken lijn ligt. Zie de figuur.

VW-1024-a-o
8 / 14

### Pagina 9

Bij een bepaald onderdeel van het spel moeten de kinderen rechtop onder het springtouw door rennen, zonder daarbij het touw te raken. Dat moeten ze zo dicht mogelijk bij een van de draaiers doen. Het is natuurlijk het handigst om het zo te doen dat je onder het touw door rent als het in de hoogste stand is.

4p 9 Milan is 1,39 meter lang.
Onderzoek op welke afstand van de draaiers Milan minimaal moet rennen om het touw niet tegen zijn hoofd te krijgen. Geef je antwoord in hele centimeters.

Bij het touwtjespringen kunnen verschillende spelletjes gespeeld worden. Een groep van tien kinderen speelt zo’n spel. Bij dit spel wordt deze groep als volgt verdeeld:
- twee kinderen draaien met het touw, de zogenaamde draaiers;
- de overige acht kinderen worden in twee gelijke teams verdeeld.

4p 10 Bereken hoeveel verschillende verdelingen er op deze manier mogelijk zijn.

Bij dit spel gaan de kinderen van een team één voor één het springtouw
binnen. Het eerste kind maakt dan één sprong. Zodra het eerste kind één
sprong gemaakt heeft, komt het tweede kind het springtouw binnen en
samen maken ze twee sprongen.
Na deze twee sprongen komt het derde kind het springtouw binnen en
met z’n drieën maken ze vier sprongen.
Tot slot komt het vierde kind binnen en met z’n vieren springen ze dan
zes keer.
Direct na deze laatste sprongen verlaat het eerste kind het springtouw
weer en kind 2, 3 en 4 volgen hem steeds met tussenpozen van drie
sprongen. In totaal wordt er zo dus 22 keer gesprongen.

3p 11 Op de uitwerkbijlage zie je een gedeeltelijk ingevuld schema bij dit spel.
Vul het schema op de uitwerkbijlage verder in en onderzoek hiermee welk
kind de meeste sprongen maakt.

VW-1024-a-o 9 / 14 lees verder ► ► ►

### Pagina 10

Hoe ver is de horizon?
Bij helder weer geldt: naarmate je hoger staat, kun je verder kijken. Maar is het ook zo dat je tweemaal zo ver kunt kijken als je tweemaal zo hoog staat? Dat onderzoeken we in deze opgave.
Daarvoor maken we een model: we beschouwen de aarde als een gladde bol. Zie de figuur.

[FIGUUR: Een cirkel met middelpunt M en een punt A net buiten de cirkel. Een lijnstuk AH is een lijn vanuit A die de cirkel raakt in punt H. De lijn AH vormt een rechte hoek met de straal MH. Er is ook een lijnstuk MA getekend. De lengte AH is gelabeld met x. De afstand van A tot de grond is niet getekend maar wordt beschreven als hoogte.]

De ogen van een waarnemer staan in punt A en de waarnemer kan tot punt H kijken: zó ver reikt zijn horizon. Punt M is het middelpunt van de aarde. Lijnstuk MH is een straal van de aarde; $MH = 6371$ km. De lengte van lijnstuk MA is 6371 km plus de hoogte van A boven de grond. De hoogte van A boven de grond noemen we $x$ (in kilometers).
Driehoek AHM is rechthoekig. Met de stelling van Pythagoras
$AH^2 + HM^2 = AM^2$
kunnen we nu de afstand AH (in kilometers) uitdrukken in $x$:
$AH = \sqrt{12742x + x^2}$

4p 12 Toon aan dat de formule voor $AH$ juist is.

Wie de Domtoren in Utrecht beklimt, kan op 75 meter ophoogte en op 90 meter ophoogte naar buiten kijken.

3p 13 Bereken hoeveel je op 90 meter ophoogte verder kunt kijken dan op 75 meter ophoogte. Geef je antwoord in gehele km nauwkeurig.

VW-1024-a-o
10 / 14
lees verder ►►►

### Pagina 11

2p 14
Dat je verder kunt kijken als je hoger staat, betekent dat $AH$ toeneemt als $x$ toeneemt.
Uit de formule blijkt dat dit het geval is.
Bereteneer aan de hand van de formule van $AH$ dat $AH$ toeneemt als $x$ toeneemt.

Ook door te differentiëren kun je aantonen dat $AH$ toeneemt als $x$ toeneemt.
5p 15 Bepaal de afgeleide $\frac{dA H}{dx}$ en bereteneer aan de hand van de formule van deze afgeleide, dus zonder een schets of tekening van de grafiek van de afgeleide te maken, dat $AH$ toeneemt als $x$ toeneemt.
3p 16 Henk beweert dat, als je tweemaal zo hoog staat, je ook altijd tweemaal zo ver kunt kijken.
Onderzoek met behulp van de formule voor $AH$ of Henk gelijk heeft.

VW-1024-a-o 11 / 14 lees verder ►►►

### Pagina 12

Hypotheek
In 2015 koopt Casper een nieuwe woning. Om die te kunnen betalen, sluit
hij bij een bank een hypotheek af. Hij spreekt met de bank een periode af
waarin hij de lening terugbetaalt, de looptijd van de hypotheek. Hierbij is
het maandelijks te betalen bedrag gedurende de looptijd iedere maand
hetzelfde. Dit bedrag bestaat voor een deel uit rente en voor een deel uit
aflossing; deze aflossing is een terugbetaling van een gedeelte van het
geleende bedrag.
De hoogte van de maandelijkse betaling wordt zó gekozen dat aan het
eind van de looptijd de hypotheek precies is afgelost en alle rente is
betaald.
De hypotheek van Casper is € 250 000. Bij zijn hypotheek is de rente
gedurende de gehele looptijd van 30 jaar hetzelfde, namelijk 4,3% rente
per jaar. Over de nog terug te betalen deel van het geleende bedrag.
Voor de restschuld van Casper kan de volgende recursieve formule
worden opgesteld:
$R_n = 1,0035 \cdot R_{n-1} - B$ met $R_0 = 250000$
In deze formule is $R_n$ de restschuld (in euro's) na $n$ maanden en $B$ het
bedrag (in euro's) dat hij per maand betaalt.
De maandelijkse groeifactor is in deze formule afgerond op 4 decimalen
tot 1,0035.
3p 17 Bereken deze maandelijkse groeifactor in 5 decimalen nauwkeurig.

Voor de hypotheek van Casper geldt $B = 1225, 10$. Volgens zijn
hypotheekadviseur is het zo dat hij na 10 jaar meer dan 20% van zijn
hypotheek heeft afgelost.
4p 18 Onderzoek of de hypotheekadviseur gelijk heeft.

Het bedrag dat Casper per maand betaalt, bestaat voor een deel uit rente
($I$) en voor een deel uit aflossing ($F$). Er geldt dus: $B = I + F$.
Aan het begin van de looptijd bestaat dit bedrag voor het grootste deel uit
rente en slechts voor een klein deel uit aflossing, maar naarmate er meer
afgelost wordt, neemt het rentedeel af en de aflossing toe.
Voor de hypotheek van Casper is met $B = 1225, 10$ het verloop van $I$ en $F$
weergegeven in de figuur.
[FIGUUR: grafiek met twee lijnen, 'rente' (I) en 'aflossing' (F), over tijd]
VW-1024-a-o 12 / 14 lees verder ►►►

### Pagina 13

Voor Casper kan de aflossing van zijn hypotheek benaderd worden met de formule
$F = 345,24e^{0,0035n}$
met $n$ in maanden.

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as 'bedrag (in €)' van €0,00 tot €1.400,00, en op de x-as 'looptijd (in maanden)' van 1 tot 351. Een vaste lijn toont rente (I) en een gestippelde lijn toont aflossing (F). De rente lijn daalt van ongeveer €800,00 bij 1 maand naar ongeveer €400,00 bij 351 maanden. De aflossing lijn stijgt van ongeveer €200,00 bij 1 maand naar ongeveer €1.400,00 bij 351 maanden.]

4p 19
Bereken na hoeveel maanden Casper voor het eerst meer aflossing dan rente betaalt.

In het algemeen geldt voor het berekenen van het maandelijkse betalen bedrag $B$ de volgende formule:
$$B=L \cdot \frac{0,01r}{1-(1+0,01r)^{-n}}$$
In deze formule is $L$ de hoogte van de lening, $r$ het rentepercentage per maand en $n$ de (resterende) looptijd van de lening in maanden.

Na 10 jaar bedraagt de restschuld van Casper nog € 198 396.¹ Hij heeft op dat moment de mogelijkheid € 50 000 van zijn hypotheek af te lossen. Het nadeel is wel dat hij dan voor de resterende looptijd van 20 jaar een nieuwe lening moet afsluiten met 0,375% rente per maand.

2p 20
Toon aan dat het bedrag dat hij per maand moet betalen, gelijk wordt aan € 938,83 als hij € 50 000 van zijn hypotheek aflost.

Casper heeft nu twee mogelijkheden:
I
Hij verandert niets aan zijn hypotheek en blijft € 1225,10 per maand betalen. De € 50 000 zet hij op een lange-termijnspaarrekening waar hij 2,95% rente per jaar krijgt.
II
Hij lost met de € 50 000 zijn hypotheek voor een deel af en betaalt nog maar € 938,83 per maand. Het geld dat hij per maand minder uitgeeft, zet hij op de bank maar hij ontvangt hier geen rente over.

5p 21
Onderzoek welke mogelijkheid voor Casper het gunstigst is.

noot 1
Dit bedrag is ontstaan door te rekenen met de formule van $R_n$, zonder tussentijds af te ronden.

Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.

VW-1024-a-o
13 / 14
lees verder ►►►

### Pagina 14

Wijkertunnel
'Banken verdienen fors aan Wijkertunnel'
In mei 2013 stond deze kop boven een artikel in het Financieel Dagblad
over de Wijkertunnel. Deze tunnel, deel van de A9 tussen Velsen en
Beverwijk, is gebouwd tussen 1993 en 1996 om de fileproblemen op de
weg op te lossen.
Dit artikel is door vele kranten geciteerd.

Fragment uit het artikel
Wijkertunnel dubbel betaald
De staat verliest tot 2026 honderden miljoen euro's op de Wijkertunnel bij
Beverwijk. De tunnel is in de jaren negentig gebouwd met privaat geld. De
afspraak was dat de overheid de investeerders ING en Commerzbank in
30 jaar zou terugbetalen afhankelijk van het gebruik van de tunnel.
Doordat er veel meer auto's doorheen gaan dan verwacht, betaalt de
staat meer dan de bouw van de tunnel de investeerders heeft gekost.

Op de uitwerkbijlage staan enkele infographics. Dat zijn figuren die de
gemaakte berekeningen van het Financieel Dagblad toelichten. Met
behulp van deze infographics kun je berekenen hoeveel de banken
in de periode van 1996 tot 2026 betaald krijgen door de staat dan ze
hebben uitgegeven aan de bouw van de tunnel.
Als de groei zoals die was in de periode 1997 tot en met 2010 zich zo
voortzet tot en met 2025 dan gaan de banken inderdaad veel verdienen
aan de tunnel.

7p 22 Bereken met behulp van de infographics hoeveel de banken meer betaald
krijgen dan ze uitgegeven hebben aan de bouw van de tunnel.

VW-1024-a-o
14 / 14
einde