# Eindexamen Wiskunde A VWO 2022 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2

## Vraag 1 – Resultaat

Op een dag is de luchttemperatuur 23 °C en de luchtvochtigheid 65%. Op tafel staat een glas limonade. Het glas heeft een temperatuur van 12 °C. Onderzoek of er dan goed zichtbare condens op het glas ontstaat.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je een natuurkundig fenomeen (condensatie) moet onderzoeken met behulp van wiskundige modellen. Je zult twee formules na elkaar moeten gebruiken om tot een conclusie te komen.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van de variabelen in de formules kennen en weten hoe je deze correct invult. Ook moet je de werking van de natuurlijke logaritme (ln) op je rekenmachine kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig kunnen substitueren in formules, de natuurlijke logaritme kunnen berekenen en de resultaten correct kunnen interpreteren om een conclusie te trekken. Je moet ook de stappen van een ketenberekening kunnen volgen.

Waar op letten: Let goed op de volgorde van de berekeningen: eerst G, dan Td.
Zorg ervoor dat je de juiste waarden voor luchttemperatuur (L) en relatieve luchtvochtigheid (R) op de juiste plek in de formules invult.
Rond tussenresultaten niet te vroeg af om afrondingsfouten in het eindantwoord te voorkomen.
Vergeet niet de uiteindelijke conclusie te trekken door het berekende dauwpunt te vergelijken met de glastemperatuur en de drempelwaarde voor zichtbare condens (meestal 3 °C, maar controleer de context of bijlage voor specifieke instructies).
Wees nauwkeurig met het invoeren van de getallen in je rekenmachine, vooral bij de logaritme.

Kernbegrippen: formules substitueren, logaritme, ketenformule

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/1

## Vraag 2 – Resultaat

De zomer van 2018 was in heel Europa erg warm. Bij een hoge luchttemperatuur is het dauwpunt ook hoog en dan wordt de luchttemperatuur dus als onaangenaam ervaren. In Nederland liep de temperatuur op tot 33 °C en in het zuiden van Spanje zelfs tot 46 °C.
In Nederland werd de maximumtemperatuur als zeer onaangenaam ervaren, terwijl in Spanje de veel hogere maximumtemperatuur dankzij een lage luchtvochtigheid als enigszins onaangenaam werd ervaren.
Bereken de minimale luchtvochtigheid in Nederland bij de maximumtemperatuur in de zomer van 2018. Geef je antwoord in hele procenten.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een complexe vraag krijgt waarbij je informatie uit een tabel moet combineren met gegeven formules. Je moet stapsgewijs vergelijkingen oplossen, mogelijk met behulp van je grafische rekenmachine.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van de variabelen in de formules kennen (zoals T, Td, R, G). Je moet ook weten hoe je logaritmische vergelijkingen oplost en hoe je een tabel interpreteert om een grenswaarde te vinden.

Wat moet je kunnen: Je moet een tabel kunnen aflezen en de juiste grenswaarde voor 'zeer onaangenaam' kunnen bepalen. Je moet vergelijkingen met logaritmen kunnen opstellen en oplossen, zowel handmatig als met je grafische rekenmachine. Je moet ook correct kunnen afronden naar een heel percentage.

Waar op letten: Lees de tabel met de ervaren temperaturen nauwkeurig af om de juiste grenswaarde voor het dauwpunt te bepalen.
Zorg dat je de formules correct invult en de juiste variabelen substitueert. Er zijn meerdere stappen nodig om tot de uiteindelijke oplossing te komen.
Let op de volgorde van bewerkingen bij het oplossen van de vergelijkingen, vooral met betrekking tot de logaritmische functie (ln).
Rond pas af in de allerlaatste stap naar een heel percentage, zoals gevraagd. Denk eraan dat 'minimaal' betekent dat je naar boven moet afronden als het decimaal is.

Kernbegrippen: vergelijking oplossen, substitutie, logaritmische functie, aflezen uit tabel

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/2

## Vraag 3 – Resultaat

In de winter zetten de meeste mensen hun verwarming op 20 °C.
Bij een vaste luchttemperatuur van 20 °C kan formule 1 herleid worden tot:
T_d = (237,7 * (ln(R) - 3,265)) / (20,535 - ln(R)) (formule 2)
Laat deze herleiding zien.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je formules moet herleiden. Dit betekent dat je stap voor stap moet laten zien hoe je van de ene formule naar de andere komt door middel van algebraïsche bewerkingen en substitutie.

Wat moet je kennen: Je moet de rekenregels voor logaritmen kennen, met name ln(a/b) = ln(a) - ln(b). Ook moet je weten hoe je constanten combineert en hoe je een uitdrukking substitueert in een andere formule.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig kunnen substitueren, logaritme-rekenregels kunnen toepassen en algebraïsche uitdrukkingen kunnen vereenvoudigen. Je moet ook zorgvuldig omgaan met afronden, waarbij je pas aan het einde van de herleiding afrondt op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Substitueer de waarde van L (20 °C) correct in de formule voor G.
Pas de logaritme-rekenregel ln(a/b) = ln(a) - ln(b) correct toe op ln(R/100).
Rond tussentijdse berekeningen niet te vroeg af; gebruik voldoende decimalen (minimaal 4-5) om afrondingsfouten in het eindresultaat te voorkomen.
Combineer alle constante termen in de uitdrukking voor G tot één getal.
Substitueer de vereenvoudigde uitdrukking voor G correct in de formule voor T_d en vereenvoudig de noemer.

Kernbegrippen: formules herleiden, substitutie, rekenregels voor logaritmen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/3

## Vraag 4 – Resultaat

In de winter is de luchtvochtigheid in huis vaak aan de lage kant. Als de luchtvochtigheid lager is dan 30%, is dit schadelijk voor de gezondheid.

In een huiskamer met een luchttemperatuur van 20 °C blijkt het dauwpunt 3 °C te zijn.
Onderzoek met behulp van formule 2 of de luchtvochtigheid in deze huiskamer schadelijk is voor de gezondheid.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een gegeven formule moet invullen met bekende waarden en vervolgens de onbekende variabele (R) moet oplossen. Daarna moet je de uitkomst interpreteren in de context van de vraag.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een vergelijking met logaritmen kunt oplossen met behulp van je grafische rekenmachine. Je moet ook de betekenis van de variabelen in de formule begrijpen.

Wat moet je kunnen: Je moet de juiste waarden uit de vraagtekst in de formule kunnen invullen. Je moet de grafische rekenmachine effectief kunnen gebruiken om het snijpunt van twee functies te vinden. Tot slot moet je de berekende waarde kunnen vergelijken met de gegeven drempelwaarde en een correcte conclusie kunnen trekken.

Waar op letten: Zorg ervoor dat je de juiste waarden voor de luchttemperatuur en het dauwpunt op de juiste plek in de formule invult.
Let op de notatie van de natuurlijke logaritme (ln) in de formule.
Rond pas af in de allerlaatste stap van je berekening, om afrondingsfouten te voorkomen.
Vergeet niet de conclusie te formuleren op basis van je berekende R-waarde en de drempel van 30%.
Controleer of je GR-window goed is ingesteld om het snijpunt te kunnen zien.

Kernbegrippen: vergelijking oplossen, natuurlijke logaritme, grafische rekenmachine

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/4

## Vraag 5 – Resultaat

Onderzoek of het theoretisch mogelijk is dat elk skûtsje in de einduitslag een geheel aantal punten heeft.

Wat kun je verwachten: Je moet een scenario bedenken en beschrijven waarin aan de gestelde voorwaarde wordt voldaan. Dit vereist logisch redeneren en het toepassen van de gegeven regels.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van logisch redeneren kennen en hoe je een bewijs of tegenvoorbeeld opstelt. Je moet ook de specifieke regels van de puntentelling en het schrappen van resultaten kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet een complex probleem kunnen ontleden in kleinere delen. Je moet een scenario kunnen construeren dat voldoet aan alle voorwaarden en dit scenario helder kunnen uitleggen. Je moet ook kunnen controleren of je scenario voor alle betrokkenen werkt.

Waar op letten: Je moet de puntentelling goed begrijpen: wat levert een overwinning op, en wat een andere plaats?
Je moet de regel van het schrappen van het slechtste resultaat correct toepassen.
Je moet nagaan of de som van de punten, na schrapping, voor ELK skûtsje een geheel getal kan zijn.
Je moet een scenario bedenken (of uitsluiten) waarin dit mogelijk is, en dit logisch onderbouwen.
Je moet niet alleen kijken naar de winnaar, maar naar alle deelnemers.

Kernbegrippen: logisch redeneren, getaltheorie, casuïstiek

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/5

## Vraag 6 – Resultaat

De afmetingen van de deelnemende skûtsjes zijn niet identiek. Om er toch een eerlijke wedstrijd van te maken, wordt voor elk skûtsje het maximaal toegestane zeiloppervlak berekend.

In eerste instantie rekende de SKS met formule Amels, maar deze formule is in 2000 aangepast en opnieuw aangepast in 2016:

S = 1,90 · L · (B + 2D) (formule Amels)
S = 2,15 · L · (B + 2D) (formule 2000)
S = 2,15 · L · (⅓B + 1,25 + 2D) (formule 2016)

Hierin is S het maximaal toegestane zeiloppervlak in m², L de lengte van het skûtsje, B de breedte en D de diepgang (L, B en D in meters).

De invoering van formule 2000 had tot gevolg dat elk skûtsje hetzelfde percentage extra zeil mocht hebben.
2p 6 Bereken het percentage extra zeil dat elk skûtsje van formule 2000 mag hebben ten opzichte van formule Amels. Geef je antwoord in hele procenten.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je twee formules met elkaar moet vergelijken om een procentuele verandering te berekenen. De formules beschrijven een model voor het zeiloppervlak van skûtsjes.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van procentuele verandering en groeifactoren kennen. Je moet weten hoe je een groeifactor berekent en hoe je deze omzet naar een percentage, en vice versa. Ook moet je in staat zijn om de relevante delen van de formules te identificeren.

Wat moet je kunnen: Je moet de groeifactor kunnen berekenen door de coëfficiënten van de twee formules te vergelijken. Je moet deze groeifactor vervolgens kunnen omzetten naar een percentage en dit percentage correct afronden tot een geheel getal.

Waar op letten: Let goed op welke formule de 'oude' situatie beschrijft (Amels) en welke de 'nieuwe' (2000).
Identificeer de delen van de formules die identiek zijn en welke verschillen.
Bereken de groeifactor correct door de nieuwe waarde te delen door de oude waarde.
Zet de berekende groeifactor om naar een percentage. Denk hierbij aan de relatie tussen groeifactor en procentuele verandering (groeifactor = 1 + p/100).
Rond pas af in de allerlaatste stap, en dan ook naar een geheel percentage zoals gevraagd.

Kernbegrippen: procentuele verandering, groeifactor, formules vergelijken

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/6

## Vraag 7 – Resultaat

Een van de skûtsjes is 17,13 m lang en 3,57 m breed en mag volgens formule 2000 een maximaal zeiloppervlak van 160,2 m² hebben.
Bereken hoeveel m² zeiloppervlak dit skûtsje volgens formule 2016 meer mag hebben dan volgens formule 2000. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je zult een onbekende variabele (diepgang D) moeten berekenen met behulp van de gegevens en één van de formules. Daarna gebruik je deze berekende waarde in de andere formule om een nieuw zeiloppervlak te vinden. Tot slot bereken je het verschil tussen de twee zeiloppervlakken.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een lineaire vergelijking oplost en hoe je waarden correct substitueert in een formule. Je moet ook begrijpen dat de context van de vraag (skûtsjes, zeiloppervlak) je helpt bij het interpreteren van de formules, maar de wiskundige stappen zijn universeel.

Wat moet je kunnen: Je moet een vergelijking kunnen opstellen en oplossen om een onbekende variabele te vinden. Je moet vervolgens deze variabele en andere gegeven waarden correct kunnen invullen in een andere formule. Tot slot moet je een verschil kunnen berekenen en correct afronden op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Lees goed welke formule bij welk jaartal hoort en welke variabelen je waar moet invullen.
Let op de volgorde van bewerkingen bij het oplossen van de vergelijking voor D.
Rond pas af in de allerlaatste stap, anders introduceer je afrondingsfouten.
De vraag vraagt om het 'meer' zeiloppervlak, dus je moet een verschil berekenen.
De eenheid van het antwoord is m² en moet in één decimaal worden gegeven.

Kernbegrippen: formules substitueren, vergelijking oplossen, algebraïsche vaardigheden

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/7

## Vraag 8 – Resultaat (3 punten)

Voor het IFKS-kampioenschap worden andere regels gehanteerd voor het maximaal toegestane zeiloppervlak. Hier wordt gebruikgemaakt van de volgende formule:
S = (3,2525 – 0,05L) · L · B (formule IFKS)
Hierin is S het maximaal toegestane zeiloppervlak in m², L de lengte van het skûtsje en B de breedte (L en B in meters).

Voor een skûtsje met een breedte van 3,52 m en een diepgang van 0,42 m geeft formule 2016 van de SKS een zeiloppervlak dat 25 m² groter is dan het toegestane zeiloppervlak volgens formule IFKS.
Bereken de lengte van dit skûtsje. Geef je antwoord in meters en in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een vergelijking moet opstellen door twee formules aan elkaar te relateren. Daarna moet je deze vergelijking oplossen, waarschijnlijk met behulp van je grafische rekenmachine.

Wat moet je kennen: Je moet de formules voor het zeiloppervlak van zowel IFKS als SKS (indien gegeven in de bijlage of eerdere vragen) kennen en begrijpen welke variabelen ze bevatten. Je moet ook de betekenis van 'groter dan' kunnen vertalen naar een wiskundige expressie.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven waarden correct kunnen substitueren in de formules. Je moet een vergelijking kunnen opstellen die de relatie tussen de twee zeiloppervlakken weergeeft. Tot slot moet je deze vergelijking kunnen oplossen met je grafische rekenmachine door de intersect-functie te gebruiken en het antwoord correct afronden.

Waar op letten: Zorg ervoor dat je alle gegeven waarden (breedte, diepgang) correct invult in de juiste formules.
Let goed op de relatie tussen de twee zeiloppervlakken: 'SKS is 25 m² groter dan IFKS' betekent S_SKS = S_IFKS + 25.
Vergeet niet dat er in de vraagtekst een formule 2016 van de SKS wordt genoemd. Deze formule moet je zelf opzoeken of uit de context van het examen halen als deze niet expliciet in de vraag staat.
Rond pas af op twee decimalen bij het eindantwoord, zoals gevraagd.
Controleer of je de eenheden correct interpreteert (m² voor oppervlak, m voor lengte/breedte/diepgang).

Kernbegrippen: vergelijking opstellen, substitutie, numeriek oplossen met GR

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/8

## Vraag 9 – Resultaat (5 punten)

Kies een vaste waarde voor B, stel hiermee de afgeleide dS/dL op en toon aan, zonder een schets te maken, dat voor een skûtsje de afgeleide van formule IFKS positief is.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule met meerdere variabelen. Je moet een van de variabelen een vaste waarde geven, de formule differentiëren en vervolgens aantonen dat de afgeleide positief is binnen een bepaald bereik van de andere variabele.

Wat moet je kennen: Je moet de regels voor differentiëren kennen, in het bijzonder de productregel. Je moet ook weten hoe je een ongelijkheid oplost en hoe je een conclusie trekt op basis van een interval.

Wat moet je kunnen: Je moet een variabele substitueren met een gekozen waarde. Je moet een functie correct differentiëren. Je moet een ongelijkheid algebraïsch oplossen en je bevindingen interpreteren binnen de context van een gegeven interval.

Waar op letten: Je moet eerst een concrete waarde voor B kiezen, bijvoorbeeld B=1, om de formule hanteerbaar te maken.
Je moet de productregel correct toepassen bij het differentiëren van de formule S naar L, tenzij je eerst de haakjes uitwerkt.
Je moet algebraïsch aantonen dat de afgeleide positief is. Een schets is expliciet verboden.
Je moet de conclusie specifiek trekken voor het gegeven interval van L (12 < L < 20) dat hoort bij een skûtsje.
Je moet zorgvuldig zijn met de algebraïsche stappen bij het oplossen van de ongelijkheid dS/dL > 0.

Kernbegrippen: differentiëren, afgeleide functie, productregel, tekenonderzoek afgeleide, lineaire functie

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/9

## Vraag 10 – Resultaat (3 punten)

Bereken de afstand van het wegdek tussen de punten A en B. Geef je antwoord in gehele meters.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule van een sinusfunctie en je moet de afstand tussen twee punten op het wegdek berekenen. Dit komt neer op het vinden van de nulpunten van de functie en vervolgens de afstand daartussen bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet weten dat 'op het wegdek' betekent dat de hoogte (y-waarde) nul is. Je moet ook de basisprincipes van het oplossen van goniometrische vergelijkingen kennen, of hoe je dit met je grafische rekenmachine doet.

Wat moet je kunnen: Je moet een goniometrische vergelijking kunnen oplossen, zowel algebraïsch als met je grafische rekenmachine. Je moet ook de gevonden x-waarden correct interpreteren om de afstand te berekenen en het antwoord correct afronden.

Waar op letten: De hoogte van het wegdek is 0, dus je stelt de functie gelijk aan 0.
Let op de haakjes in de sinusfunctie; de factor pi/244 geldt voor (x+122).
Bij het oplossen van een sinusvergelijking zijn er vaak meerdere oplossingen. Zorg dat je de juiste twee nulpunten vindt die bij A en B horen.
Rond pas af in de allerlaatste stap, zoals gevraagd (gehele meters).
De afstand tussen twee punten op de x-as is het absolute verschil tussen hun x-coördinaten.

Kernbegrippen: sinusfunctie, vergelijking oplossen, nulpunt berekenen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/10

## Vraag 11 – Resultaat (4 punten)

De formule van de bovenrand wordt verkregen door formule 1 in verticale richting te herschalen met factor 1,17 en vervolgens met 1,87 omhoog te schuiven.
Met behulp van de formules voor de boven- en de onderrand kan de verticale afstand tussen de boven- en de onderrand van de hoofdboog worden berekend.
Bereken de verticale afstand tussen de boven- en de onderrand bij het hoogste punt van de hoofdboog. Geef je antwoord in meters en in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je kunt een vraag verwachten waarbij je een bestaande functie moet transformeren (herschalen en verschuiven) en vervolgens de functiewaarde op een specifiek punt moet berekenen om een afstand te bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet de regels voor het transformeren van grafieken kennen: hoe een verticale herschaling (vermenigvuldiging) en een verticale verschuiving (optelling) de formule beïnvloeden. Je moet ook weten hoe je het hoogste punt van een sinusfunctie kunt vinden of hoe je een specifieke x-waarde (zoals x=0) in een formule invult.

Wat moet je kunnen: Je moet een nieuwe formule kunnen opstellen op basis van gegeven transformaties. Je moet een x-waarde kunnen invullen in een formule om de bijbehorende y-waarde te berekenen. Tot slot moet je het verschil tussen twee y-waarden kunnen berekenen en correct afronden.

Waar op letten: Je moet de volgorde van de transformaties correct toepassen: eerst herschalen, dan verschuiven.
Je moet het 'hoogste punt' van de hoofdboog correct interpreteren. Vaak is dit het punt waar x=0 bij symmetrische functies zoals deze.
Je moet de y-waarden van zowel de boven- als de onderrand op dit hoogste punt berekenen.
Je moet de verticale afstand berekenen door de y-waarden van elkaar af te trekken.
Je moet je eindantwoord afronden op één decimaal, zoals gevraagd, en de eenheid (meters) vermelden.

Kernbegrippen: transformaties van grafieken, sinusfunctie, verticale verschuiving, verticale vermenigvuldiging

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/11

## Vraag 12 – Resultaat (4 punten)

Net als de hoofdboog bestaan de andere vier bogen uit een halve periode van een sinusfunctie. Voor de boog direct rechts van de hoofdboog kan een formule worden opgesteld van de vorm y = a + b * sin(c(x-d)).

Hiervoor zijn de volgende gegevens van belang, zie figuur 2:
- De pijlers zijn 7 meter breed.
- De boog begint direct naast de pijler op 11 meter onder het wegdek.
- Het hoogste punt van de boog raakt het wegdek.
- Het wegdek dat boven de boog ligt, heeft een lengte van 95 m.

Stel de formule op voor de boog direct rechts van de hoofdboog.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een beschrijving van een boog en de algemene vorm van een sinusfunctie. Je moet de specifieke waarden van de parameters a, b, c en d bepalen op basis van de gegeven afmetingen en posities.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van de parameters a, b, c en d in de algemene sinusfunctie y = a + b * sin(c(x-d)) kennen. Je moet weten dat 'a' de evenwichtsstand is, 'b' de amplitude, 'c' gerelateerd is aan de periode (T = 2pi/c), en 'd' de horizontale verschuiving is.

Wat moet je kunnen: Je moet de evenwichtsstand en amplitude kunnen afleiden uit de minimale en maximale hoogte van de boog. Je moet de periode kunnen berekenen uit de breedte van de boog en deze omzetten naar parameter 'c'. Je moet het startpunt van de boog nauwkeurig kunnen bepalen om de horizontale verschuiving 'd' vast te stellen.

Waar op letten: Let goed op de eenheden: alle afmetingen zijn in meters.
Bedenk dat de gegeven breedte van 95 m een halve periode van de sinusfunctie voorstelt, niet de hele periode.
De evenwichtsstand (parameter 'a') is de gemiddelde hoogte van de boog. Bedenk goed of deze positief of negatief is ten opzichte van het wegdek.
De amplitude (parameter 'b') is de maximale afwijking van de evenwichtsstand. Bedenk of deze positief of negatief moet zijn om de juiste vorm van de boog te krijgen.
De horizontale verschuiving (parameter 'd') is cruciaal. Bepaal het startpunt van de boog nauwkeurig, rekening houdend met de breedte van de pijlers en de hoofdboog (die je uit de figuur moet afleiden).

Kernbegrippen: sinusfunctie, amplitude, evenwichtsstand, periode, horizontale verschuiving, parameters bepalen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/12

## Vraag 13 – Resultaat (4 punten)

In 2015 was het werkelijke aantal bonte vliegvangers 50% hoger dan in 1990.
Bereken met behulp van de figuur de waarde van c in de formule en onderzoek vervolgens of het werkelijke aantal bonte vliegvangers in 2015 in overeenstemming met de formule was.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een kwadratisch model moet gebruiken om een situatie te beschrijven. Je zult een onbekende parameter in de formule moeten bepalen door een punt uit een grafiek te gebruiken. Daarna moet je een voorspelling doen met het model en deze vergelijken met een gegeven werkelijke waarde om een conclusie te trekken.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een punt uit een grafiek afleest en hoe je dit punt invult in een gegeven formule om een onbekende variabele (parameter 'c' in dit geval) op te lossen. Je moet ook weten hoe je een percentageverhoging berekent en toepast op een gegeven waarde.

Wat moet je kunnen: Je moet een punt (t, V) nauwkeurig kunnen aflezen uit de gegeven figuur. Je moet een vergelijking kunnen opstellen en oplossen om de waarde van 'c' te vinden. Vervolgens moet je de berekende 'c' gebruiken om een nieuwe V-waarde te berekenen voor een specifieke t. Tot slot moet je de berekende modelwaarde kunnen vergelijken met een gegeven werkelijke waarde en een passende conclusie kunnen formuleren.

Waar op letten: Lees de grafiek nauwkeurig af om een geschikt punt (t, V) te vinden dat op de trendlijn ligt. Kies een punt dat duidelijk op een roosterpunt ligt om afleesfouten te minimaliseren.
Zorg ervoor dat je de variabele 't' correct interpreteert. Vaak staat t voor 'aantal jaar na een startjaar'. Controleer wat t=0 betekent in deze context.
Rond de waarde van 'c' pas af aan het einde van de berekening, of gebruik de onafgeronde waarde in de vervolgberekening om afrondingsfouten te voorkomen.
Vergeet niet de tweede deelvraag: het onderzoeken of het werkelijke aantal in overeenstemming is met de formule. Dit vereist een vergelijking en een conclusie.
Let op de procentuele toename van het werkelijke aantal bonte vliegvangers. Dit is een aparte gegeven en moet je gebruiken om de werkelijke waarde in 2015 te bepalen.

Kernbegrippen: kwadratisch model, parameter bepalen, model toetsen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/13

## Vraag 14 – Resultaat (4 punten)

Leg uit hoe de formule B_n+1 = 0,95 · B_n volgt uit de gegevens.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een recursieve formule moet afleiden die de verandering van een populatie over de tijd beschrijft. Dit type vraag test je vermogen om tekstuele informatie om te zetten in een wiskundig model.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van populatiemodellen kennen, inclusief hoe je groeifactoren en overlevingskansen toepast. Je moet ook weten hoe je percentages omzet naar decimale getallen voor berekeningen.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegevens uit de vraag zorgvuldig kunnen analyseren en de verschillende factoren die de populatie beïnvloeden (sterfte, geboorte) kunnen identificeren. Je moet deze factoren vervolgens kunnen vertalen naar wiskundige termen en ze combineren tot één samenhangende formule.

Waar op letten: Je moet de verschillende onderdelen van de populatiegroei (overlevende volwassenen, nieuwe volwassen vogels uit jongen) apart benoemen en berekenen.
Je moet goed opletten hoe percentages (zoals 18%) als decimale factoren (0,18) in de berekening worden gebruikt.
Je moet de relatie tussen het aantal nesten, het aantal jongen per nest en het aantal volwassen vogels correct leggen.
Je moet de twee componenten van de nieuwe populatie (overlevende volwassenen en nieuwe volwassen jongen) bij elkaar optellen om tot de totale B_n+1 te komen.
Je moet de uitleg helder en logisch opbouwen, zodat elke stap van de formule afleiding duidelijk is.

Kernbegrippen: recursieve formule, groeifactor, modelvorming, procenten

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/14

## Vraag 15 – Resultaat (3 punten)

In het verleden waren er veel meer volwassen vogels van type B. Neem aan dat in een zeker jaar het aantal volwassen vogels van type B vijf keer zo groot was als het aantal volwassen vogels van type A. Bereken na hoeveel jaar het aantal volwassen vogels van type A dan voor het eerst groter is dan dat van type B.

Wat kun je verwachten: Je kunt een vraag verwachten waarbij je twee exponentiële modellen moet opstellen en met elkaar moet vergelijken. Je zult de grafische rekenmachine gebruiken om het snijpunt te vinden of om tabellen te genereren.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een exponentiële groeiformule kennen (N(t) = N(0) * g^t). Je moet ook weten hoe je een groeifactor afleidt uit een percentage groei of afname. Daarnaast moet je begrijpen wat een ongelijkheid betekent in de context van 'groter dan'.

Wat moet je kunnen: Je moet de twee exponentiële formules correct kunnen opstellen, inclusief de beginwaarden. Je moet de grafische rekenmachine kunnen gebruiken om de functies in te voeren, het snijpunt te bepalen (met 'intersect' of door tabellen te bekijken) en de uitkomst correct te interpreteren in de context van de vraag (het eerstvolgende gehele jaar).

Waar op letten: Let goed op de groeifactoren: is het groei (g > 1) of afname (0 < g < 1)?
De beginverhouding is cruciaal: 'vijf keer zo groot' betekent dat als A_0 = x, dan B_0 = 5x. Je kunt zelf een handige startwaarde kiezen, bijvoorbeeld A_0 = 1 en B_0 = 5, of A_0 = 1000 en B_0 = 5000.
Je zoekt het moment dat het aantal van A voor het eerst 'groter is dan' B, dus A_n > B_n. Dit betekent dat je na het snijpunt naar het eerstvolgende gehele jaar moet kijken.
Rond pas af in de allerlaatste stap. Tussentijds afronden kan leiden tot een verkeerd eindantwoord.
De eenheid van 'n' is 'jaar'. Zorg dat je antwoord in jaren is en een geheel getal, aangezien het om 'na hoeveel jaar' gaat.

Kernbegrippen: exponentiële groei, exponentiële afname, ongelijkheid oplossen, recursieve formule, directe formule

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/15

## Vraag 16 – Resultaat (2 punten)

In 1984 waren er 60 000 bonte vliegenvangers. Het totale aantal vogels N in jaar t, met t = 0 in 1984, kan worden benaderd met de volgende continue formule:
N(t) = 60 000 ⋅ (a ⋅ 1,09^t + b ⋅ 0,95^t)
Hierin is a het beginaandeel van type A en b het beginaandeel van type B. Dus als er in jaar 0 bijvoorbeeld 20% van type A is en dus 80% van type B, dan is a = 0,2 en b = 0,8. In dat geval is er een minimumaantal bonte vliegenvangers in 1990.
We weten dat a en b samen 1 moeten zijn, dus a + b = 1.
Nu kunnen we de afgeleide van N(t), met t = 0 in 1984, als volgt benaderen:
N'(t) = 60 000 ⋅ (a ⋅ 0,086 ⋅ 1,09^t − (1 − a) ⋅ 0,051 ⋅ 0,95^t)
2p 16 Toon dit aan.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule met exponentiële termen en je moet de afgeleide daarvan bepalen. Dit is een 'toon aan'-vraag, dus je werkt van de gegeven N(t) naar de gegeven N'(t).

Wat moet je kennen: Je moet de differentieerregel voor exponentiële functies kennen: als f(t) = c * g^t, dan is f'(t) = c * g^t * ln(g). Ook moet je weten hoe je met constanten en substituties omgaat.

Wat moet je kunnen: Je moet een variabele (b) kunnen substitueren door een uitdrukking met een andere variabele (1-a). Je moet de afgeleide van een exponentiële functie kunnen bepalen en de natuurlijke logaritme kunnen berekenen en afronden.

Waar op letten: Je moet de relatie a + b = 1 gebruiken om b te substitueren in de formule voor N(t).
Je moet de differentieerregel voor exponentiële functies kennen: d/dt(g^t) = g^t * ln(g).
Je moet de natuurlijke logaritme (ln) correct toepassen op de grondtallen van de exponentiële functies.
Je moet de waarden van ln(1,09) en ln(0,95) benaderen om tot de gegeven formule te komen. Let op het minteken dat ontstaat bij ln(0,95).
Je moet de constante factor 60 000 buiten haakjes laten staan tijdens het differentiëren.

Kernbegrippen: differentiëren, exponentiële functie, natuurlijke logaritme, substitutie

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/16

## Vraag 17 – Resultaat (3 punten)

In 1984 waren er 60 000 bonte vliegenvangers. Het totale aantal vogels N in jaar t, met t = 0 in 1984, kan worden benaderd met de volgende continue formule:

N(t) = 60 000 ⋅ (a ⋅ 1,09^t + b ⋅ 0,95^t)

Hierin is a het beginaandeel van type A en b het beginaandeel van type B. Dus als er in jaar 0 bijvoorbeeld 20% van type A is en dus 80% van type B, dan is a = 0,2 en b = 0,8. In dat geval is er een minimumaantal bonte vliegenvangers in 1990.

We weten dat a en b samen 1 moeten zijn, dus a + b = 1.
Nu kunnen we de afgeleide van N(t), met t = 0 in 1984, als volgt benaderen:

N'(t) = 60 000 ⋅ (a ⋅ 0,086 ⋅ 1,09^t − (1 − a) ⋅ 0,051 ⋅ 0,95^t)

We willen onderzoeken met welke waarden van a en b dit model zou kunnen passen bij de waargenomen trend van de aantallen bonte vliegenvangers in de figuur. We zien dat dan het totale aantal vogels minimaal moet zijn in 1998.

17 Onderzoek met behulp van de formule van de afgeleide bij welke beginverdeling van type A en type B het totale aantal vogels minimaal is in 1998. Geef de beginverdeling in hele procenten.

Wat kun je verwachten: Je zult een vergelijking moeten oplossen waarin de variabele 'a' voorkomt. Deze vergelijking ontstaat door de gegeven afgeleide N'(t) gelijk te stellen aan nul voor het juiste tijdstip 't'.

Wat moet je kennen: Je moet weten dat een minimum van een functie optreedt wanneer de afgeleide van die functie gelijk is aan nul. Ook moet je de relatie tussen het jaartal en de variabele 't' kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet een exponentiële vergelijking kunnen opstellen en oplossen, eventueel met behulp van je grafische rekenmachine. Je moet ook de context van de vraag correct kunnen vertalen naar de wiskundige formule.

Waar op letten: Zorg dat je de juiste waarde voor 't' gebruikt die hoort bij het jaar 1998. t=0 is 1984.
Een minimum van een functie vind je door de afgeleide gelijk te stellen aan nul.
Vergeet niet dat a en b samen 1 zijn (a + b = 1), wat betekent dat b = 1 - a. Dit is al verwerkt in de gegeven afgeleide formule.
Rond pas af in de allerlaatste stap naar hele procenten, zoals gevraagd.
Let op de eenheid van je antwoord: het zijn procenten voor de beginverdeling van type A en type B.

Kernbegrippen: extreme waarden, afgeleide gelijkstellen aan nul, exponentiële functies, vergelijking oplossen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/17

## Vraag 18 – Resultaat (4 punten)

In 1900 waren er wereldwijd naar schatting 33,1 miljoen kinderen, van wie er zo’n 12 miljoen in dat jaar kwamen te overlijden. In 2007 was het aantal kinderen met 380% gestegen ten opzichte van 1900, terwijl er in dat jaar 2,8 miljoen minder kinderen kwamen te overlijden dan in 1900.
Bereken hoeveel keer zo klein de kindersterfte in 2007 was als in 1900. Geef je antwoord als geheel getal.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je eerst de kindersterfte in 1900 als percentage berekent. Daarna bereken je het totale aantal kinderen in 2007 en het aantal overleden kinderen in 2007. Vervolgens bereken je de kindersterfte in 2007 als percentage. Tot slot vergelijk je deze twee percentages met elkaar om te bepalen hoeveel keer zo klein de sterfte in 2007 was.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een percentage berekent (deel/geheel * 100%). Je moet ook weten hoe je een procentuele toename omzet naar een groeifactor (bijvoorbeeld 380% toename is factor 4,8).

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven informatie nauwkeurig kunnen interpreteren en omzetten naar de juiste berekeningen. Je moet percentages kunnen berekenen en deze percentages met elkaar kunnen vergelijken door een verhouding te bepalen.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen absolute aantallen en relatieve aantallen (percentages).
Een stijging van 380% betekent dat het nieuwe aantal 100% + 380% = 480% van het oorspronkelijke aantal is. Dit vertaal je naar een groeifactor.
Rond pas af in de allerlaatste stap om afrondingsfouten te voorkomen.
De vraag vraagt 'hoeveel keer zo klein', wat een verhouding impliceert. Zorg dat je de juiste getallen deelt om deze verhouding te vinden.
De eenheid is 'miljoen kinderen', maar voor de verhouding maakt dit niet uit zolang je consistent bent.

Kernbegrippen: procentuele toename, groeifactor, verhouding berekenen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/18

## Vraag 19 – Resultaat (3 punten)

In Mali nam het aantal kinderen in de periode 1960-2015 flink toe. We gebruiken hiervoor het volgende model:
K = 240 900 ∙ e^(0,0203t) (formule 1)
Hierin is K het aantal kinderen in Mali en t de tijd in jaren met t = 0 op 31 december 1960. Het aantal kinderen wordt net als de kindersterfte aan het einde van ieder jaar bepaald.

Bereken, zonder waarden voor K uit te rekenen, het percentage waarmee het aantal kinderen in Mali volgens formule 1 iedere 10 jaar toeneemt. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je kunt een vraag verwachten waarbij je een exponentiële groeiformule moet analyseren om een procentuele verandering over een specifieke periode te bepalen. Dit vereist inzicht in groeifactoren en hoe deze zich verhouden tot procentuele veranderingen.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een exponentiële groeiformule kennen (K = A * g^t of K = A * e^(kt)). Je moet ook weten hoe je een groeifactor omzet naar een percentage en vice versa. Daarnaast moet je de rekenregels voor machten beheersen, met name (g^a)^b = g^(a*b).

Wat moet je kunnen: Je moet een groeifactor per jaar kunnen afleiden uit een exponentiële formule met 'e'. Je moet vervolgens deze jaarlijkse groeifactor kunnen omrekenen naar een groeifactor voor een langere periode (in dit geval 10 jaar) door de machtsregel toe te passen. Tot slot moet je de berekende groeifactor correct kunnen omzetten naar een procentuele toename en afronden op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Let op het verschil tussen de groeifactor per jaar en de groeifactor per 10 jaar. Je moet de groeifactor per jaar eerst berekenen en dan correct omzetten naar de groeifactor per 10 jaar.
Vergeet niet dat een groeifactor van bijvoorbeeld 1,2250 overeenkomt met een toename van 22,5%. Je moet de groeifactor dus nog omzetten naar een percentage.
Rond pas af in de allerlaatste stap, zoals gevraagd (één decimaal). Gebruik tussendoor voldoende decimalen om afrondingsfouten te voorkomen.
De constante '240 900' in de formule is de beginwaarde. De vraag stelt expliciet dat je 'zonder waarden voor K uit te rekenen' moet werken, wat betekent dat de beginwaarde niet relevant is voor de procentuele toename.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor, procentuele toename, rekenregels voor machten

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/19

## Vraag 20 – Resultaat (3 punten)

Formule 2 kan met behulp van deze gegevens worden herleid tot:
S = (99 251 − 1305t) ⋅ e^0,0203t (formule 3)
In deze formule is S het aantal kinderen in Mali dat overlijdt in het jaar t, met t de tijd in jaren en t = 0 op 31 december 1960.

Leid formule 3 uit de gegevens af.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je verschillende wiskundige modellen (lineair en exponentieel) moet combineren en algebraïsch moet herleiden tot een nieuwe formule. Je moet de context goed begrijpen om de juiste variabelen en hun relaties te identificeren.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een lineaire functie (y = ax + b) kennen en weten hoe je de parameters a en b bepaalt aan de hand van twee punten. Ook moet je bekend zijn met het werken met exponentiële functies en het omzetten van percentages naar decimale waarden in berekeningen.

Wat moet je kunnen: Je moet een lineaire formule kunnen opstellen uit gegeven data, formules kunnen substitueren in een andere formule, en vervolgens de resulterende uitdrukking algebraïsch kunnen herleiden en vereenvoudigen tot de gevraagde vorm. Je moet ook nauwkeurig kunnen rekenen met decimalen en afronden tot de laatste stap bewaren.

Waar op letten: Let goed op de definitie van t=0 en hoe je de jaren omzet naar t-waarden voor de lineaire formule.
Zorg ervoor dat je de juiste gegevens gebruikt om de lineaire formule voor P op te stellen (twee punten bepalen de lijn).
Vergeet niet dat een percentage (P) in een formule vaak als decimaal (P/100 of 0.01 * P) moet worden gebruikt.
Rond de coëfficiënten van de lineaire formule niet te vroeg af; gebruik voldoende decimalen voor nauwkeurigheid in de herleiding.
Voer de algebraïsche herleiding zorgvuldig uit om tot de exacte vorm van formule 3 te komen.

Kernbegrippen: lineair model opstellen, formules substitueren, algebraïsch herleiden

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/20

## Vraag 21 – Resultaat (4 punten)

In de figuur zie je de grafiek van S. In de grafiek is te zien dat het aantal kinderen dat jaarlijks in Mali overlijdt na 1960, dus vanaf t = 0, eerst toenam en pas later begon af te nemen.

4p 21 Stel de formule op van de afgeleide S' en toon met behulp van deze afgeleide aan dat volgens dit model de afname van het aantal kinderen dat jaarlijks in Mali overlijdt na 1990 steeds sneller gaat.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een functie moet differentiëren die bestaat uit een product van twee andere functies. Vervolgens moet je de betekenis van de afgeleide interpreteren in de context van een afname die steeds sneller gaat.

Wat moet je kennen: Je moet de productregel en de kettingregel voor differentiëren kennen. Ook moet je weten hoe je de afgeleide van een e-macht differentieert. Je moet ook de relatie tussen de afgeleide en het gedrag van de oorspronkelijke functie begrijpen (positieve/negatieve afgeleide, toenemende/afnemende snelheid).

Wat moet je kunnen: Je moet de productregel en kettingregel correct kunnen toepassen om de afgeleide S' op te stellen. Je moet vervolgens het gedrag van S' kunnen analyseren (bijvoorbeeld door een schets te maken of door waarden in te vullen) en dit gedrag correct kunnen interpreteren om de vraag te beantwoorden.

Waar op letten: De formule S is een product van twee functies van t. Je moet dus de productregel toepassen bij het differentiëren.
Let op de kettingregel bij het differentiëren van e^(0.0203t).
De vraag vraagt om aan te tonen dat de *afname* steeds sneller gaat. Dit betekent dat de afgeleide S' steeds *negatiever* moet worden.
Vergeet niet de conclusie te trekken en deze te koppelen aan de context van de vraag (kindersterfte en afname).
Rond pas af in de laatste stap, of gebruik de gegeven constanten nauwkeurig.

Kernbegrippen: differentiëren, productregel, afgeleide functie interpreteren, grafiek van afgeleide

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/21

## Vraag 22 – Resultaat (6 punten)

Onderzoek hoe groot het verval van Piet Versnel maximaal mag zijn om de 3000 meter in minder dan 5 minuten af te leggen. Geef je antwoord in seconden en in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een context waarin een sporter een bepaalde afstand aflegt en waarbij de rondetijden volgens een patroon veranderen. Je moet een onbekende variabele (het verval) bepalen op basis van een totale tijdslimiet.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van een rekenkundige rij kennen, inclusief de formule voor de som van een rekenkundige rij. Je moet ook weten hoe je een lineaire vergelijking oplost.

Wat moet je kunnen: Je moet de totale tijdslimiet omzetten naar seconden. Je moet de tijd voor de eerste 200 meter correct aftrekken om de beschikbare tijd voor de volledige ronden te bepalen. Je moet een formule opstellen voor de rondetijden en de som van deze tijden gelijkstellen aan de beschikbare tijd. Vervolgens los je deze vergelijking op voor het verval en rond je correct af.

Waar op letten: Zet alle tijden om naar seconden voordat je begint met rekenen. Let op de 5 minuten.
Houd rekening met de starttijd voor de eerste 200 meter die al gegeven is en trek deze af van de totale tijd.
De rondetijden vormen een rekenkundige rij. Je moet de formule voor de som van een rekenkundige rij correct toepassen, of de tijden handmatig optellen.
Let goed op het aantal ronden dat je meeneemt in je berekening voor de som van de rondetijden.
Rond pas af op twee decimalen bij het eindantwoord, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: rekenkundige rij, som van een rekenkundige rij, lineair verband, vergelijking oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten 5 minuten om te rekenen naar 300 seconden.
- Verkeerd berekenen van de tijd voor de eerste volledige ronde (1,65 * 23,3).
- Fout in het opstellen van de som van de rekenkundige rij (bijv. verkeerd aantal termen of verkeerde formule).
- Niet afronden op twee decimalen zoals gevraagd.
- Vergeten de tijd van de eerste 200m af te trekken van de totaaltijd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/22

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2022
tijdvak 2
tijdsduur: 3 uur
wiskunde A

Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redeneren worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1024-a-22-2-o

### Pagina 2

OVERZICHT FORMULES

Differentiëren

naam van de regel | functie | afgeleide
------- | -------- | --------
somregel | $s(x) = f(x) + g(x)$ | $s'(x) = f'(x) + g'(x)$
verschilregel | $v(x) = f(x) - g(x)$ | $v'(x) = f'(x) - g'(x)$
productregel | $p(x) = f(x) \cdot g(x)$ | $p'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
quotiëntregel | $q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ | $q'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$
kettingregel | $k(x) = f(g(x))$ | $k'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ of $$ \frac{dk}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx} $$

Logaritmen

regel | voorwaarde
------- | --------
${}^g \log(a) + {}^g \log(b) = {}^g \log(ab)$ | $g>0, g \neq 1, a>0, b>0$
${}^g \log(a) - {}^g \log(b) = {}^g \log(\frac{a}{b})$ | $g>0, g \neq 1, a>0, b>0$
${}^g \log(a^p) = p \cdot {}^g \log(a)$ | $g>0, g \neq 1, a>0$
${}^g \log(a) = \frac{{}^p \log(a)}{{}^p \log(g)}$ | $g>0, g \neq 1, a>0, p>0, p \neq 1$

VW-1024-a-22-2-o 2 / 18 lees verder ▶▶▶

### Pagina 3

Ga verder op de volgende pagina.
VW-1024-a-22-2-0 3 / 18 lees verder ► ► ►

### Pagina 4

Dauwpunt

Als je op een zomerse dag een glas limonade op tafel zet, dan kan het glas binnen de kortste keren aan de buitenkant nat zijn. Dat komt doordat waterdamp uit de lucht neerslaat op het glas. We noemen dat condens. Condens ontstaat als de temperatuur van het glas lager is dan het zogenaamde dauwpunt: de temperatuur waarbij waterdamp uit de lucht condenseert.
Het dauwpunt $T_d$ in ${ }^{\circ}\text{C}$ is afhankelijk van de luchttemperatuur en de luchtvochtigheid en kan worden berekend met formule 1:

$$ T_d = \frac{237.7 \cdot G}{17.27 - G}, \text{ met } G = \frac{17.27 \cdot L}{237.7 + L} + \ln\left(\frac{R}{100}\right) \quad (\text{formule } 1) $$

Hierin is $L$ de luchttemperatuur in ${ }^{\circ}\text{C}$ en $R$ de (relatieve) luchtvochtigheid in % (met $0 < R \le 100$).

Hoewel de eerste condens al eerder ontstaat, is de condens pas goed zichtbaar als de temperatuur van het glas minimaal $3\text{ }^{\circ}\text{C}$ onder het dauwpunt ligt.

Op een dag is de luchttemperatuur $23\text{ }^{\circ}\text{C}$ en de luchtvochtigheid $65%$. Op tafel staat een glas limonade. Het glas heeft een temperatuur van $12\text{ }^{\circ}\text{C}$.
3p 1 Onderzoek of er dan goed zichtbare condens op het glas ontstaat.

Er wordt vaak gezegd dat een hoge luchtvochtigheid oncomfortabel is. Amerikaans onderzoek toonde echter aan dat comfortgevoel niet alleen bepaald wordt door de luchtvochtigheid, maar ook door het dauwpunt. In de tabel wordt het verband tussen het dauwpunt en het comfortgevoel aangegeven.

tabel

| dauwpunt (${ }^{\circ}\text{C}$) | comfortgevoel |
| :-------------------------- | :----------------- |
| $\ge 26$                    | ernstig onaangenaam |
| $24 < < 26$                 | zeer onaangenaam   |
| $21 < < 24$                 | behoorlijk onaangenaam |
| $18 < < 21$                 | enigszins onaangenaam |
| $16 < < 18$                 | voor de meeste mensen acceptabel |
| $13 < < 16$                 | comfortabel        |
| $10 < < 13$                 | zeer comfortabel   |
| $< 10$                      | aan de droge kant  |

[FIGUUR: Tabel met twee kolommen: "dauwpunt (°C)" en "comfortgevoel". De eerste kolom bevat temperatuurbereiken, en de tweede kolom beschrijft het bijbehorende comfortgevoel.]

VW-1024-a-22-2-o 4 / 18 lees verder ► ► ►

### Pagina 5

De zomer van 2018 was in heel Europa erg warm. Bij een hoge
luchttemperatuur is het dauwpunt ook hoog en dan wordt de
luchttemperatuur dus als onaangenaam ervaren. In Nederland liep de
temperatuur op tot 33 °C en in het zuiden van Spanje zelfs tot 46 °C.

In Nederland werd de maximumtemperatuur als zeer onaangenaam
ervaren, terwijl in Spanje de veel hogere maximumtemperatuur dankzij
een lage luchtvochtigheid als enigszins onaangenaam werd ervaren.
5p 2 Bereken de minimale luchtvochtigheid in Nederland bij de
maximumtemperatuur in de zomer van 2018. Geef je antwoord in hele
procenten.

In de winter zetten de meeste mensen hun verwarming op 20 °C.
Bij een vaste luchttemperatuur van 20 °C kan formule 1 herleid worden
tot:

$$
T_d = \frac{237,7 \cdot (\ln R) - 3,265}{20,535 - \ln R}
$$
(formule 2)

4p 3 Laat deze herleiding zien.

In de winter is de luchtvochtigheid in huis vaak aan de lage kant. Als de
luchtvochtigheid lager is dan 30%, is dit schadelijk voor de gezondheid.

In een huiskamer met een luchttemperatuur van 20 °C blijkt het dauwpunt
3p 4 3 °C te zijn.
Onderzoek met behulp van formule 2 of de luchtvochtigheid in deze
huiskamer schadelijk is voor de gezondheid.

VW-1024-a-22-2-o 5 / 18 lees verder ►►►

### Pagina 6

Ga verder op de volgende pagina.
VW-1024-a-22-2-o 6 / 18 lees verder ► ► ►

### Pagina 7

Skûtsjesilen

Elk jaar vindt in Friesland het skûtsjesilen plaats. Dit zijn zeilwedstrijden met oude vrachtschepen, skûtsjes genaamd. Er zijn twee organisaties die deze wedstrijden organiseren: de SKS$^1$) en de IFKS$^2$).

[FIGUUR: Een foto van meerdere skûtsjes die aan het zeilen zijn.]

Voor het jaarlijkse SKS-kampioenschap worden 11 wedstrijden gezeild, waaraan 14 skûtsjes meedoen.
Voor elke wedstrijd krijgen de skûtsjes punten in volgorde van aankomst. De winnaar krijgt 0,9 punt. Nummer twee krijgt 2 punten, nummer drie krijgt 3 punten, enzovoort.
Zie de tabel.

tabel

uitslag | punten
------- | --------
winnaar | 0,9
2e plaats | 2
3e plaats | 3
... | ...
14e plaats | 14

Na afloop van de 11 wedstrijden wordt voor elk skûtsje het slechtste resultaat geschrapt. De punten van de overige 10 wedstrijden worden per skûtsje bij elkaar opgeteld. Het skûtsje dat dan de minste punten heeft, is kampioen.

3p 5 Onderzoek of het theoretisch mogelijk is dat elk skûtsje in de einduitslag een geheel aantal punten heeft.

noot 1 SKS = Sintrale Kommisje Skûtsjesilen
noot 2 IFKS = Iepen Fryske Kampioenskipen Skûtsjesilen

VW-1024-a-22-2-0 7 / 18 lees verder ►►►


### Pagina 8

De afmetingen van de deelnemende skûtsjes zijn niet identiek. Om er toch
een eerlijke wedstrijd van te maken, wordt voor elk skûtsje het maximaal
toegestane zeiloppervlak berekend.

In eerste instantie rekende de SKS met formule Amels, maar deze
formule is in 2000 aangepast en opnieuw aangepast in 2016:
$S = 1,90 \cdot L \cdot (B+2D)$ (formule Amels)
$S = 2,15 \cdot L \cdot (B+2D)$ (formule 2000)
$S = 2,15 \cdot L \cdot (\frac{2}{3} B + 1,25 + 2D)$ (formule 2016)

Hierin is $S$ het maximaal toegestane zeiloppervlak in $m^2$, $L$ de lengte van
het skûtsje, $B$ de breedte en $D$ de diepgang ($L, B$ en $D$ in meters).

De invoering van formule 2000 had tot gevolg dat elk skûtsje hetzelfde
percentage extra zeil mocht hebben.

6 2p Bereken het percentage extra zeil dat elk skûtsje van formule 2000 mag
hebben ten opzichte van formule Amels. Geef je antwoord in hele
procenten.

7 4p Een van de skûtsjes is $17,13$ m lang en $3,57$ m breed en mag volgens
formule 2000 een maximaal zeiloppervlak van $160,2$ m$^2$ hebben.
Bereken hoeveel m$^2$ zeiloppervlak dit skûtsje volgens formule 2016 meer
mag hebben dan volgens formule 2000. Geef je antwoord in één
decimaal.

VW-1024-a-22-2-o 8 / 18 lees verder ➢➢►

### Pagina 9

Voor het IFKS-kampioenschap worden andere regels gehanteerd voor het maximaal toegestane zeiloppervlak. Hier wordt gebruikgemaakt van de volgende formule:
$$S = (3,2525 – 0,05L) \cdot L \cdot B \quad (\text{formule IFKS})$$
Hierin is $S$ het maximaal toegestane zeiloppervlak in m$^2$, $L$ de lengte van het skûtsje en $B$ de breedte ($L$ en $B$ in meters).

Voor een skûtsje met een breedte van 3,52 m en een diepgang van 0,42 m geeft formule 2016 van de SKS een zeiloppervlak dat 25 m$^2$ groter is dan het toegestane zeiloppervlak volgens formule IFKS.
8 (3p) Bereken de lengte van dit skûtsje. Geef je antwoord in meters en in twee decimalen.

Een skûtsje heeft altijd een lengte $L$ tussen de 12 en 20 meter. Bij een vaste breedte van het skûtsje geldt: hoe langer het skûtsje, des te groter het maximaal toegestane zeiloppervlak.
Dit is echter niet meteen duidelijk te zien in formule IFKS.
Om dit aan te tonen kun je een vaste waarde voor $B$ kiezen en daarna laten zien dat de afgeleide $\frac{dS}{dL}$ van formule IFKS positief is.

9 (5p) Kies een vaste waarde voor $B$, stel hiermee de afgeleide $\frac{dS}{dL}$ op en toon aan, zonder een schets te maken, dat voor een skûtsje de afgeleide van formule IFKS positief is.

VW-1024-a-22-2-o 9 / 18 lees verder ►►►

### Pagina 10

Waalbrug

De Waalbrug is een verkeersbrug die Nijmegen en Lent met elkaar verbindt. In figuur 1 is een schematische tekening van de Waalbrug weergegeven. Hierin zijn de rechthoekjes de pijlers van de brug en is de horizontale lijn het wegdek.

figuur 1
[FIGUUR: Schematische tekening van een brug met bogen, pijlers en een wegdek, met de punten A, O, B en de assen x en y aangegeven.]

De Waalbrug heeft vijf bogen, waarvan er vier zich geheel onder het wegdek bevinden. De middelste boog, de zogenaamde hoofdboog, heeft een boven- en een onderrand. De onderrand komt tussen de punten $A$ en $B$ boven het wegdek uit.

In figuur 1 is het wegdek als $x$-as genomen en gaat de $y$-as door de top van de hoofdboog. Voor de onderrand van de hoofdboog kan de volgende formule worden opgesteld:

$y = -11 + 38,6 \cdot \sin \left( \frac{\pi}{244} (x+122) \right)$ (formule 1)

Hierin zijn $x$ en $y$ in meters.

3p 10 Bereken de afstand van het wegdek tussen de punten $A$ en $B$. Geef je antwoord in gehele meters.

### Pagina 11

De formule van de bovenrand wordt verkregen door formule 1 in verticale
richting te herschalen met factor 1,17 en vervolgens met 1,87 omhoog te
schuiven.
Met behulp van de formules voor de boven- en de onderrand kan de
verticale afstand tussen de boven- en de onderrand van de hoofdboog
worden berekend.
4p 11 Bereken de verticale afstand tussen de boven- en de onderrand bij het
hoogste punt van de hoofdboog. Geef je antwoord in meters en in één
decimaal.
De gehele lengte van het wegdek dat hoort bij de hoofdboog – het stuk
tussen de twee middelste pijlers – bedraagt 244 meter. Zie figuur 2.
figuur 2
[FIGUUR: Een paraboolachtige boog wordt getekend boven een horizontale lijn. Op de lijn staan pijlers. Een pijler aan de linkerkant is 11 meter hoog. De horizontale as is de x-as en de verticale as de y-as. De boog raakt de y-as op het hoogste punt. Punt A is getekend op de boog, aan de linkerkant. Punt B is getekend op de boog, aan de rechterkant waar de boog de x-as raakt. De afstand van O tot waar de boog de x-as raakt is 244 meter. Twee pijlers zijn getekend op de x-as, met een afstand van 7 meter ertussen. De boog gaat door tot aan punt X aan de rechterkant.]
Net als de hoofdboog bestaan de andere vier bogen uit een halve periode
van een sinusfunctie. Voor de boog direct rechts van de hoofdboog kan
een formule worden opgesteld van de vorm $y = a + b \cdot \sin(c(x-d))$.
Hiervoor zijn de volgende gegevens van belang, zie figuur 2:
- De pijlers zijn 7 meter breed.
- De boog begint direct naast de pijler op 11 meter onder het wegdek.
- Het hoogste punt van de boog raakt het wegdek.
- Het wegdek dat boven de boog ligt, heeft een lengte van 95 m.
4p 12 Stel de formule op voor de boog direct rechts van de hoofdboog.

### Pagina 12

Bunte vliegenvanger

De bonte vliegenvanger is een trekvogel die in de lente en zomer in Nederland broedt en in Afrika overwintert. In Nederland nam het aantal bonte vliegenvangers aan het eind van de twintigste eeuw af. Daarna namen de aantallen weer toe. Zie de figuur.

figuur
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as index van 1990=100, oplopend van 0 tot 180 en op de x-as de jaren van 1984 tot 2010. Twee lijnen zijn weergegeven, een doorgetrokken lijn met stipjes die schommelt en een stippellijn die een stijgende trend aangeeft. De stippellijn begint rond de 120, daalt naar ongeveer 90 en stijgt dan geleidelijk.]

De aantallen worden gegeven als percentages, waarbij het aantal in 1990 op 100% gesteld is. De relatieve aantallen bonte vliegenvangers per jaar ten opzichte van 1990 zijn in de figuur weergegeven met stippen.

In de figuur is door middel van een stippellijn een kwadratische trendlijn getekend. Deze trendlijn bereikt een minimum van 81% in 1998 en is daarna stijgend. Ook na 2008 heeft deze trend zich doorgezet. De formule voor de trendlijn kan worden geschreven als:
$$ V = c \cdot t^2 + 81 $$
Hierin is $V$ het aantal bonte vliegenvangers als percentage van het aantal in 1990, $t$ de tijd in jaren met $t=0$ in 1998 en $c$ een constante.

In 2015 was het werkelijke aantal bonte vliegenvangers 50% hoger dan in 1990.

4p 13 Bereken met behulp van de figuur de waarde van $c$ in de formule $V=ct^2+81$ en onderzoek vervolgens of het werkelijke aantal bonte vliegenvangers in 2015 in overeenstemming met de formule was.

VW-1024-a-22-2-o 12 / 18 lees verder >>>

### Pagina 13

Om de afname en de toename van het aantal bonte vliegenvangers te verklaren, gebruiken onderzoekers een model waarbij ze uitgaan van precies twee typen bonte vliegenvangers, type A en type B. De vogels van type A starten eerder met broeden dan die van type B. In de loop der jaren is er steeds vroeger veel voedsel beschikbaar voor de jonge vogels, waardoor er steeds meer vogels van type A en minder van type B komen.

Voor elk van de typen A en B nemen we het volgende aan:
- Het aantal volwassen vogels in (de lente van) jaar $n+1$ is het aantal volwassen vogels uit jaar $n$ dat de winter overleefd heeft plus het aantal jonge vogels dat er in jaar $n$ bij gekomen is en die de winter overleefd hebben.
- Er zijn evenveel volwassen mannetjes als vrouwtjes. Deze vormen allemaal paartjes, elk paartje maakt een nest.
- Jonge vogels worden geboren in een nest. Ze zijn na een jaar volwassen of ze hebben de winter niet overleefd.

Van beide typen overleeft 50% van de volwassen vogels de winter. Van type A vliegen gemiddeld 5,9 jongen per nest uit en van deze jongen overleeft 20% de winter. Voor type B is dit ongunstiger: er vliegen gemiddeld 5,0 jongen per nest uit en daarvan overleeft 18% de winter.

Met behulp van deze gegevens kan het volgende model opgesteld worden:
$$A_{n+1} = 1,09 \cdot A_n \text{ met beginwaarde } A_0$$
$$B_{n+1} = 0,95 \cdot B_n \text{ met beginwaarde } B_0$$
Hierin is $A_n$ het aantal volwassen vogels van type A en $B_n$ het aantal volwassen vogels van type B in jaar $n$.

4p 14 Leg uit hoe de formule $B_{n+1} = 0,95 \cdot B_n$ volgt uit de gegevens.

In het verleden waren er veel meer volwassen vogels van type B dan van type A. Neem aan dat in een zeker jaar het aantal volwassen vogels van type B vijf keer zo groot was als het aantal volwassen vogels van type A.

3p 15 Bereken na hoeveel jaar het aantal volwassen vogels van type A dan voor het eerst groter is dan dat van type B.

VW-1024-a-22-2-o 13 / 18 lees verder ►►►

### Pagina 14

In 1984 waren er 60 000 bonte vliegenvangers. Het totale aantal vogels $N$ in jaar $t$, met $t=0$ in 1984, kan worden benaderd met de volgende continue formule:
$$N(t) = 60\,000 \cdot (a \cdot 1,09^t + b \cdot 0,95^t)$$
Hierin is $a$ het beginaandeel van type A en $b$ het beginaandeel van type B. Dus als er in jaar 0 bijvoorbeeld 20% van type A is en dus 80% van type B, dan is $a=0,2$ en $b=0,8$. In dat geval is er een minimumaantal bonte vliegenvangers in 1990.

We weten dat $a$ en $b$ samen 1 moeten zijn, dus $a+b=1$. Nu kunnen we de afgeleide van $N(t)$, met $t=0$ in 1984, als volgt benaderen:
$$N'(t) = 60\,000 \cdot (a \cdot 0,086 \cdot 1,09^t - (1-a) \cdot 0,051 \cdot 0,95^t)$$
2p 16 Toon dit aan.

We willen onderzoeken met welke waarden van $a$ en $b$ dit model zou kunnen passen bij de waargenomen trend van de aantallen bonte vliegenvangers in de figuur. We zien dat dan het totale aantal vogels minimaal moet zijn in 1998.

3p 17 Onderzoek met behulp van de formule van de afgeleide bij welke beginverdeling van type A en type B het totale aantal vogels minimaal is in 1998. Geef de beginverdeling in hele procenten.

### Pagina 15

Ga verder op de volgende pagina.
VW-1024-a-22-2-o
15 / 18
lees verder

### Pagina 16

Afname van de kindersterfte in Mali

Een van de landen met de hoogste kindersterfte ter wereld is Mali in
West-Afrika. De kindersterfte in een bepaald jaar is gedefinieerd als het
percentage kinderen van onder de vijf jaar dat in dat jaar komt te
overlijden. In deze opgave wordt met ‘kinderen’ steeds ‘kinderen onder de
vijf jaar’ bedoeld.

In 1900 waren er wereldwijd naar schatting 33,1 miljoen kinderen, van wie
er zo’n 12 miljoen in dat jaar kwamen te overlijden. In 2007 was het aantal
kinderen met 380% gestegen ten opzichte van 1900, terwijl er in dat jaar
2,8 miljoen minder kinderen kwamen te overlijden dan in 1900.
4p 18 Bereken hoeveel keer zo klein de kindersterfte in 2007 was als in 1900.
Geef je antwoord als geheel getal.

In Mali nam het aantal kinderen in de periode 1960-2015 flink toe. We
gebruiken hiervoor het volgende model:

$K=240\ 900 \cdot e^{0,0203t}$ (formule 1)

Hierin is $K$ het aantal kinderen in Mali en $t$ de tijd in jaren met $t=0$ op
31 december 1960. Het aantal kinderen wordt net als de kindersterfte aan
het einde van ieder jaar bepaald.

3p 19 Bereken, zonder waarden voor $K$ uit te rekenen, het percentage waarmee
het aantal kinderen in Mali volgens formule 1 iedere 10 jaar toeneemt.
Geef je antwoord in één decimaal.

Het aantal kinderen $S$ dat jaarlijks in Mali komt te overlijden kun je
berekenen door het totale aantal kinderen in Mali te vermenigvuldigen met
het deel van de kinderen dat komt te overlijden. Er geldt dus:

$S = 0,01 \cdot P \cdot K$ (formule 2)

Hierin is $P$ het percentage kinderen dat jaarlijks komt te overlijden.

In 1960 was de kindersterfte in Mali 41,2%. In 2015 was dit percentage
gedaald tot 11,4%. Neem aan dat de afname van dit percentage $P$ in de
periode 1960-2015 lineair is verlopen.

Formule 2 kan met behulp van deze gegevens worden herleid tot:

$S = (99\ 251 - 1305t) \cdot e^{0,0203t}$ (formule 3)

In deze formule is $S$ het aantal kinderen in Mali dat overlijdt in het jaar $t$,
met $t$ de tijd in jaren en $t=0$ op 31 december 1960.

3p 20 Leid formule 3 uit de gegevens af.

VW-1024-a-22-2-o 16 / 18 lees verder ► ► ►


### Pagina 17

figuur
[FIGUUR: Een grafiek met op de y-as 'S (x1000)' oplopend van 0 tot 120 en op de x-as 't' oplopend van 0 tot 70. De grafiek toont een kromme die start op 100 bij t=0, stijgt naar een maximum rond t=30, en daarna daalt.]
In de figuur zie je de grafiek van $S$. In de grafiek is te zien dat het aantal kinderen dat jaarlijks in Mali overlijdt na 1960, dus vanaf $t=0$, eerst toenam en pas later begon af te nemen.
4p 21 Stel de formule van de afgeleide $S'$ en toon met behulp van deze afgeleide aan dat jaarlijks in Mali overlijdt na 1990 steeds sneller gaat.
Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.
VW-1024-a-22-2-o 17 / 18 lees verder ►►►

### Pagina 18

Rondetijden
Bij het langebaanschaatsen spelen rondetijden een belangrijke rol. Bij korte afstanden, zoals de 500 meter, gaat het erom zo snel mogelijk na de start een zo hoog mogelijke snelheid te krijgen en daarna die snelheid zo lang mogelijk vast te houden. Op middellange afstanden zoals de 3000 meter werkt dat echter niet, omdat de schaatser dan ruim voor de finish al zo vermoeid raakt dat hij haast niet meer vooruitkomt.

[FIGUUR: Een panoramafoto van een schaatsbaan met veel schaatsers op het ijs en publiek op de tribunes.]

Veel schaatsers proberen op de middellange afstanden hun race zó in te delen dat ze elke ronde iets langzamer rijden dan de ronde ervoor, zodat ze niet voor het eind van de wedstrijd instorten. De toename van de rondetijden wordt verval genoemd. Een schaatser die bijvoorbeeld eerst een ronde in 36 seconden aflegt en daarna in 39 seconden, heeft een verval van 3 seconden.

Amateurschaatser Piet Versnel is aan het trainen om de 3000 meter in minder dan 5 minuten af te leggen. De 3000 meter bestaat uit een eerste deel van 200 meter en daarna nog zeven volledige ronden van elk 400 meter.

De tijd over de eerste 200 meter van Piet is na enkele maanden trainen gelijk aan 23,3 seconden. Piet weet dat hij 65% langer doet over de eerste volledige ronde dan over de eerste 200 meter.

Hij wil de 3000 meter zó rijden dat zijn verval gedurende de 7 volledige ronden elke ronde constant is.

6p 22 Onderzoek hoe groot het verval van Piet Versnel maximaal mag zijn om de 3000 meter in minder dan 5 minuten af te leggen. Geef je antwoord in seconden en in twee decimalen.

Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.
VW-1024-a-22-2-o
18 / 18
einde