# Eindexamen Wiskunde A VWO 2022 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1

## Vraag 1 – Winst

Een dammer die het wereldrecord blindsimultaandammen wil verbreken, moet tegen meer tegenstanders spelen dan de zittende wereldrecordhouder. Bovendien moet hij minstens 70% van het maximaal te behalen aantal punten scoren.

In 1950 scoorde de Nederlandse dammer Piet Roozenburg tegen in totaal 5 tegenstanders precies 70%. Met deze score werd hij toen recordhouder. Onderzoek op welke manieren deze partijen van Piet Roozenburg verdeeld kunnen zijn in aantallen keren winst, verlies en remise.

Wat kun je verwachten: Je zult een situatie analyseren waarin een dammer een bepaald percentage van de punten heeft behaald. Je moet de mogelijke combinaties van winst, remise en verlies vinden die aan de gegeven voorwaarden voldoen.

Wat moet je kennen: Je moet weten dat winst 2 punten oplevert, remise 1 punt en verlies 0 punten. Je moet ook weten hoe je een percentage omzet naar een absoluut aantal punten.

Wat moet je kunnen: Je moet vergelijkingen kunnen opstellen op basis van de context en deze systematisch kunnen oplossen door verschillende combinaties te proberen. Je moet ook percentages kunnen omrekenen naar absolute waarden.

Waar op letten: Je moet eerst het totale aantal behaalde punten berekenen op basis van het percentage.
Je moet de puntentelling per uitslag (winst, remise, verlies) correct toepassen.
Je moet twee vergelijkingen opstellen: één voor het totale aantal partijen en één voor het totale aantal punten.
Je moet systematisch alle mogelijke combinaties van winst, remise en verlies onderzoeken die aan beide vergelijkingen voldoen.
Je moet controleren of de gevonden aantallen gehele getallen zijn en niet negatief.

Kernbegrippen: procentrekenen, stelsel van vergelijkingen, systematisch tellen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/1

## Vraag 2 – Winst

Bij een latere recordpoging in 2014 speelde de Nederlandse dammer Ton Sijbrands tegen 32 dammers. Hij won 14 partijen en verloor er geen. Een sportjournalist beweerde: “Gelukkig heeft hij geen wedstrijd verloren, want anders had hij geen 70%-score gehaald”.
Onderzoek of deze bewering juist is.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een scenario moet doorrekenen en een percentage moet berekenen om een bewering te controleren. Je zult de gegevens uit de tekst moeten gebruiken om de puntentelling en het totaal aantal partijen te bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van procentrekenen kennen en hoe je een deel van een geheel als percentage uitdrukt. Ook moet je weten hoe je een score berekent op basis van gewonnen, verloren en remise partijen.

Wat moet je kunnen: Je moet de informatie uit de vraag kunnen vertalen naar een rekenmodel. Je moet het aantal punten kunnen berekenen in een hypothetische situatie en dit kunnen omzetten naar een percentage. Vervolgens moet je dit percentage kunnen vergelijken met de gegeven drempelwaarde om de bewering te beoordelen.

Waar op letten: Lees goed de puntentelling per type partij (winst, verlies, remise).
Bepaal het totaal aantal partijen en het maximaal aantal te behalen punten.
Bereken de score in de hypothetische situatie (één verliespartij in plaats van remise).
Zet de berekende score om naar een percentage van het maximaal aantal punten.
Rond percentages af op één decimaal, tenzij anders gevraagd, en vergelijk dit met de 70%.

Kernbegrippen: procentrekenen, rekenen met scores, hypothese toetsen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/2

## Vraag 3 – Vraag (4 punten)

De punten in figuur 1 liggen bij benadering op een lijn. Deze lijn is in figuur 1 ook getekend. De lijn suggereert dat Sijbrands in de toekomst een record van 38 partijen kan behalen.
Bereken in welk jaar dit, uitgaande van deze lijn, het geval zou zijn.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een grafiek met punten die een lineair verband suggereren, en een getekende lijn. Je moet de vergelijking van deze lijn opstellen en deze gebruiken om een toekomstig punt te voorspellen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je de vergelijking van een rechte lijn (y = ax + b of p = at + b) opstelt aan de hand van twee punten of een punt en de helling. Je moet ook weten hoe je een lineaire vergelijking oplost.

Wat moet je kunnen: Je kunt de coördinaten van punten nauwkeurig aflezen uit een grafiek. Je kunt de richtingscoëfficiënt en het startgetal van een lijn bepalen. Je kunt een lineaire vergelijking opstellen en oplossen. Tot slot kun je de berekende waarde van de variabele (tijd) correct interpreteren in de context van de vraag (een jaartal).

Waar op letten: Let goed op de schaalverdeling van de assen in figuur 1. Wat stelt t=0 voor?
Zorg dat je de coördinaten van twee duidelijke punten op de getekende lijn correct afleest om de vergelijking op te stellen.
Controleer of je de helling (richtingscoëfficiënt) en het startgetal (y-intercept) van de lijn correct bepaalt.
Vergeet niet de berekende waarde van 't' om te zetten naar het uiteindelijke jaartal. Wat is het referentiejaar voor t=0?
Rond pas af in de allerlaatste stap, als dat nodig is. In dit geval is een geheel jaartal vereist.

Kernbegrippen: lineair model, vergelijking opstellen, vergelijking oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aflezen van punten op de grafiek om de vergelijking op te stellen.
- Vergeten de berekende waarde van t (42) om te zetten naar een jaartal (1982 + 42 = 2024).
- Rekenfout bij het oplossen van de lineaire vergelijking.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/3

## Vraag 4 – Winst

Maak het *d*-*p*-diagram op de uitwerkbijlage af.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je twee of meer grafieken moet combineren om een nieuw diagram te maken. Je moet waarden aflezen en deze correct interpreteren en plotten.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je punten afleest uit een grafiek en hoe je een spreidingsdiagram opbouwt. Je moet ook begrijpen dat een punt in een diagram een combinatie is van twee waarden die bij elkaar horen.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig waarden kunnen aflezen van assen met verschillende schaalverdelingen. Je moet de afgelezen coördinaten correct kunnen plaatsen in een nieuw diagram. Je moet ook zorgvuldig kunnen werken met de gegeven marge voor het aflezen.

Waar op letten: Je moet de juiste waarden van *d* en *p* aflezen bij *dezelfde* tijdstippen *t* uit de twee verschillende bron-grafieken.
Je moet goed letten op de schaalverdeling van de assen in alle grafieken om nauwkeurig af te lezen.
Je moet de afgelezen punten correct plotten in het *d*-*p*-diagram, waarbij je goed kijkt welke variabele op de horizontale as (*d*) en welke op de verticale as (*p*) staat.
Je moet de punten duidelijk en nauwkeurig tekenen, zonder ze met elkaar te verbinden, tenzij de vraag dit expliciet vraagt (wat hier niet het geval is voor een spreidingsdiagram).

Kernbegrippen: grafieken combineren, punten aflezen, spreidingsdiagram

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/4

## Vraag 5 – Winst

Volgens een recente schatting zal in 2099 de levensverwachting van Nederlanders 90,78 jaar zijn.
Onderzoek met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage of deze schatting overeenkomt met een schatting die uitgaat van een lineaire toename van de levensverwachting.

Wat kun je verwachten: Je zult een grafiek moeten interpreteren en daaruit een lineair model moeten afleiden. Vervolgens gebruik je dit model om een voorspelling te doen en deze te vergelijken met een gegeven waarde.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een lineair verband is, hoe je de richtingscoëfficiënt van een lijn berekent en hoe je een lineaire vergelijking opstelt (y = ax + b of y = y1 + a(x - x1)). Ook moet je begrijpen wat extrapoleren betekent.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig punten kunnen aflezen uit een grafiek. Je moet de richtingscoëfficiënt kunnen berekenen en deze kunnen gebruiken om een lineaire formule op te stellen. Tot slot moet je met deze formule een voorspelling kunnen doen en deze kritisch kunnen vergelijken met een andere gegeven waarde om een conclusie te trekken.

Waar op letten: Lees de punten op de grafiek nauwkeurig af om de richtingscoëfficiënt te bepalen. Kies punten die ver uit elkaar liggen voor meer precisie.
Bereken de richtingscoëfficiënt (rc) als (verandering in y) / (verandering in x).
Gebruik de berekende richtingscoëfficiënt en een startpunt (bijvoorbeeld het jaar 2013 met de bijbehorende levensverwachting) om de levensverwachting in 2099 te voorspellen met het lineaire model.
Vergelijk jouw voorspelling met de gegeven schatting van 90,78 jaar en trek een duidelijke conclusie.
Let op de eenheden: jaren voor de levensverwachting en kalenderjaren voor de tijd.

Kernbegrippen: lineair model, richtingscoëfficiënt, extrapoleren, grafiek aflezen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/5

## Vraag 6 – Winst (3 punten)

Met een gemiddeld inkomen per persoon van $128 722 is Qatar het land met het hoogste gemiddelde inkomen per persoon ter wereld. Toch was de levensverwachting daar in 2012 lager dan je volgens de trendlijn mag verwachten.
Bereken met behulp van schattingen in de grafiek hoeveel procent lager dit is. Geef je antwoord als een geheel getal.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een grafiek moet interpreteren met een trendlijn en individuele datapunten. Je moet waarden aflezen van zowel de assen als de trendlijn en vervolgens een procentuele berekening uitvoeren.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een logaritmische schaal afleest. Je moet de formule voor procentuele verandering kennen en kunnen toepassen: (verschil / oorspronkelijke waarde) * 100%.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig punten kunnen aflezen op een grafiek, zowel de coördinaten van een specifiek punt als de waarde op de trendlijn bij een gegeven x-waarde. Je moet de procentuele afwijking correct kunnen berekenen en het resultaat op de juiste manier afronden.

Waar op letten: Let goed op de logaritmische schaalverdeling van de x-as bij het aflezen van het inkomen.
Lees de werkelijke levensverwachting van Qatar nauwkeurig af uit de grafiek.
Lees de levensverwachting volgens de trendlijn nauwkeurig af bij het inkomen van Qatar.
Zorg dat je de procentuele afwijking berekent ten opzichte van de *verwachte* waarde (de trendlijn), niet de werkelijke waarde.
Rond je eindantwoord pas op het allerlaatste moment af op een geheel getal, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: aflezen van een logaritmische schaal, procentuele verandering, trendlijn interpretatie

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aflezen van de logaritmische x-as
- Verkeerde basis voor percentageberekening (delen door de werkelijke waarde i.p.v. de voorspelde waarde)
- Niet afronden op een geheel getal

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/6

## Vraag 7 – Winst (4 punten)

De trendlijn in figuur 2 is een rechte lijn, dus er bestaat een lineair verband tussen log(L) en log(P). Dit verband ziet er als volgt uit:
log(L) = 0,084 · log(P) + 1,509
Je kunt deze formule ook schrijven als een machtsverband. Dat verband ziet er dan als volgt uit:
L = 32,28 · P^0,084
4p 7 Laat zien hoe de tweede formule uit de eerste formule is af te leiden.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een logaritmische vergelijking moet omzetten naar een machtsverband. Dit vereist een goed begrip van de rekenregels voor logaritmen en machten.

Wat moet je kennen: Je moet de basisrekenregels voor logaritmen en machten kennen, zoals log(a) + log(b) = log(ab), k * log(a) = log(a^k), en de definitie van een logaritme: log(x) = y is equivalent aan x = 10^y. Ook moet je weten dat 10^(log(x)) = x.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om een vergelijking met logaritmen stap voor stap om te vormen naar een machtsverband. Je moet de juiste rekenregels op het juiste moment toepassen en de afleiding helder en logisch presenteren.

Waar op letten: Je moet alle stappen van de afleiding duidelijk laten zien, niet alleen het begin en het eind.
Let goed op de rekenregels voor logaritmen en machten. Een veelvoorkomende fout is het verkeerd toepassen van log(a) + log(b) of k * log(a).
Onthoud dat 'log' zonder grondtal in VWO Wiskunde A staat voor logaritme met grondtal 10.
Rond alleen af in de allerlaatste stap, en dan alleen de constante (32,28). De exponent (0,084) neem je exact over.
Zorg ervoor dat je de overgang van logaritmische vorm naar exponentiële vorm (en andersom) correct uitvoert.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/7

## Vraag 8 – Winst (4 punten)

In figuur 2 is duidelijk te zien dat wanneer het gemiddelde inkomen per persoon stijgt, de levensverwachting volgens de trendlijn dat ook doet. Door de logaritmische schaal is echter niet te zien of dit een toenemende of een afnemende stijging is.
4p 8 Onderzoek met behulp van de afgeleide van L of er sprake is van toenemende of afnemende stijging.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule voor L in termen van P. Je moet de afgeleide van L naar P bepalen en vervolgens analyseren hoe deze afgeleide zich gedraagt als P toeneemt. Dit leidt tot een conclusie over toenemende of afnemende stijging.

Wat moet je kennen: Je moet de machtregel voor differentiëren kennen: als f(x) = a * x^n, dan is f'(x) = a * n * x^(n-1). Je moet ook weten dat de tweede afgeleide (of het gedrag van de eerste afgeleide) bepaalt of een functie toenemend of afnemend stijgt/daalt.

Wat moet je kunnen: Je moet een functie kunnen differentiëren met behulp van de machtregel. Je moet de afgeleide kunnen analyseren om te bepalen of deze toeneemt of afneemt bij toenemende waarden van de variabele. Tot slot moet je deze analyse kunnen vertalen naar een conclusie over toenemende of afnemende stijging van de oorspronkelijke functie.

Waar op letten: Je moet de afgeleide van L bepalen met betrekking tot P (L').
Je moet de machtregel voor differentiëren correct toepassen, vooral bij negatieve of gebroken exponenten.
Je moet de betekenis van de afgeleide (L') interpreteren: een dalende L' betekent afnemende stijging, een stijgende L' betekent toenemende stijging.
Je moet goed kijken naar het teken van de exponent na differentiëren en hoe dit de waarde van L' beïnvloedt als P toeneemt.
Je moet je conclusie helder formuleren op basis van je analyse van de afgeleide.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/8

## Vraag 9 – Winst

Veronderstel dat een winkelier jaarlijks 100 stuks van een bepaald product verkoopt. Hij wil dat er per jaar in totaal 100 exemplaren besteld worden in n even grote bestellingen, bijvoorbeeld 4 bestellingen van elk 25 stuks.
Bepaal welke andere aantallen bestellingen in deze situatie mogelijk zijn.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een lijst met getallen moet geven die voldoen aan de gestelde voorwaarde in de vraag. Het gaat hier om het vinden van delers van een getal.

Wat moet je kennen: Je moet de definitie van een deler van een getal kennen en hoe je deze kunt vinden. Je moet ook begrijpen dat het aantal producten per bestelling een geheel getal moet zijn.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om de context van de vraag te vertalen naar een wiskundig probleem (het vinden van delers). Je moet systematisch alle delers van 100 kunnen opsommen.

Waar op letten: Je moet goed begrijpen wat 'n even grote bestellingen' betekent in relatie tot het totale aantal van 100 stuks.
Je zoekt naar getallen die 100 precies kunnen verdelen, zodat het aantal stuks per bestelling een geheel getal is.
Denk na over alle mogelijke gehele getallen die aan deze voorwaarde voldoen.
Controleer of je geen getallen mist of onjuiste getallen toevoegt.

Kernbegrippen: delers van een getal, context naar wiskunde vertalen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/9

## Vraag 10 – Winst

Voor een bepaald product hanteert een winkelier € 8,- bestelkosten per bestelling. De voorraadkosten zijn € 0,60 per product per jaar. Per jaar verkoopt de winkelier 1000 stuks van dit product en hij wil dus ook dat er 1000 producten per jaar besteld worden.
De winkelier wil dat de totale jaarlijkse kosten maximaal € 110,- zijn.
Bereken welk aantal bestellingen per jaar minimaal mogelijk is.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je een realistische situatie moet vertalen naar een wiskundig model. Je stelt een formule op, lost een ongelijkheid op en interpreteert de uitkomst in de context van de vraag.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een formule opstelt voor totale kosten, bestaande uit vaste en variabele delen. Je moet ook de abc-formule kennen voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen en hoe je ongelijkheden oplost.

Wat moet je kunnen: Je kunt een wiskundig model opstellen op basis van een tekstuele beschrijving. Je kunt een kwadratische vergelijking of ongelijkheid oplossen, zowel algebraïsch als met de grafische rekenmachine. Je kunt de gevonden wiskundige oplossingen interpreteren in de context van de vraag en het juiste antwoord formuleren.

Waar op letten: Let goed op de eenheden: kosten per bestelling, kosten per product per jaar, aantal producten per jaar.
Bedenk goed wat de variabele 'n' voorstelt in jouw formule (aantal bestellingen of aantal producten per bestelling). Dit is cruciaal voor de juiste opbouw van de formule.
De voorraadkosten zijn per product per jaar. Als je een bestelling plaatst, heb je gemiddeld de helft van de bestelgrootte op voorraad. Dit 'gemiddelde' is een belangrijke aanname.
Rond pas af in de allerlaatste stap. Tussentijds afronden kan leiden tot een foutief eindantwoord.
De vraag vraagt om het 'minimale aantal bestellingen'. Zorg ervoor dat je na het oplossen van de vergelijking of ongelijkheid ook daadwerkelijk het antwoord geeft op de gestelde vraag.

Kernbegrippen: formule substitueren, ongelijkheid oplossen, kwadratische vergelijking, variabelen interpreteren

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/10

## Vraag 11 – Winst

In het vervolg van deze opgave gaan we uit van het algemene model waarbij we geen rekening meer houden met het feit dat n eigenlijk een geheel getal moet zijn. Dat n positief moet zijn, blijft wel een eis.

De optimale bestelgrootte is het aantal producten per bestelling waarbij de totale jaarlijkse kosten minimaal zijn.

In formule (1) zijn A, B en V getallen die bij een bepaald product bekend zijn. Daarom kan de optimale bestelgrootte worden berekend door de vergelijking dK/dn = 0 op te lossen.
Hieruit volgt de zogeheten formule van Camp:

n = sqrt((2*A*B)/V) (2)

Met deze formule van Camp kun je de optimale bestelgrootte direct berekenen als je A, B en V weet.

Laat zien dat de formule van Camp inderdaad volgt uit dK/dn = 0.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een functie K(n) en je moet de afgeleide dK/dn bepalen. Vervolgens stel je deze afgeleide gelijk aan nul en los je de vergelijking op naar n. Het eindresultaat moet de gegeven formule van Camp zijn.

Wat moet je kennen: Je moet de regels van differentiëren kennen, met name de machtregel. Ook moet je vaardig zijn in het algebraïsch oplossen van vergelijkingen, inclusief het werken met breuken en machten.

Wat moet je kunnen: Je kunt een functie differentiëren naar een variabele (hier n). Je kunt een vergelijking oplossen door termen te isoleren en wortels te trekken. Je kunt de stappen van een afleiding logisch en overzichtelijk presenteren.

Waar op letten: Je moet de functie K (die in formule (1) staat, maar niet is meegeleverd in de vraagtekst) correct differentiëren naar n. Let op de machtregel.
Je moet de afgeleide dK/dn gelijkstellen aan 0.
Je moet de resulterende vergelijking algebraïsch oplossen om n uit te drukken in A, B en V.
Let goed op de mintekens en breuken bij het differentiëren en oplossen.
Zorg dat je elke stap van de afleiding duidelijk opschrijft.

Kernbegrippen: differentiaalrekening, afgeleide bepalen, machtregel, vergelijking oplossen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/11

## Vraag 13 – Vraag

Bepaal met behulp van figuur 1 de hartslag van deze persoon.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een grafiek die een periodiek verschijnsel weergeeft. Je moet een specifieke eigenschap (de periode) aflezen en deze omrekenen naar een andere eenheid (slagen per minuut).

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een periode is in de context van een grafiek en hoe je deze afleest. Je moet ook de relatie tussen seconden en minuten kennen (1 minuut = 60 seconden).

Wat moet je kunnen: Je moet grafieken kunnen aflezen, specifiek de periode van een herhalend patroon. Je moet ook eenheden kunnen omrekenen om tot het gevraagde antwoord te komen.

Waar op letten: Je leest de grafiek nauwkeurig af om de duur van één hartslag (de periode) te bepalen.
Je let goed op de eenheden op de assen; de tijd is in seconden, maar de vraag vraagt om slagen per minuut.
Je controleert of je de juiste omrekening toepast van seconden naar minuten (of andersom).
Je rondt pas af bij de laatste stap, en zorgt dat je antwoord een geheel getal is zoals gevraagd voor hartslagen.

Kernbegrippen: grafiek aflezen, periode bepalen, eenheden omrekenen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/13

## Vraag 14 – Winst

Een tweede persoon heeft een hartslag van 66 slagen per minuut. Zijn bovendruk is 124 en zijn onderdruk is 82.
Stel een formule voor P op van de bloeddruk van deze persoon, horend bij het model van de sinusoïde.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je de gegeven medische waarden moet vertalen naar de parameters van een sinusoïde. Je stelt vervolgens de formule van de sinusoïde op die de bloeddruk van de persoon beschrijft.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een sinusoïde kennen (P = a + b sin(ct) of P = a + b cos(ct)). Je moet weten hoe je de evenwichtsstand, amplitude en periode afleidt uit de context. Je moet ook de relatie tussen de periode en de parameter c kennen (periode = 2pi/c).

Wat moet je kunnen: Je moet de evenwichtsstand kunnen berekenen als het gemiddelde van de maximum- en minimumwaarde. Je moet de amplitude kunnen berekenen als de helft van het verschil tussen de maximum- en minimumwaarde. Je moet de periode kunnen afleiden uit de hartslagfrequentie. Tot slot moet je deze parameters correct invullen in de algemene formule van een sinusoïde.

Waar op letten: Je moet de bovendruk en onderdruk correct gebruiken om de evenwichtsstand (a) en de amplitude (b) te bepalen.
Je moet de hartslag per minuut omzetten naar de periode in seconden, omdat de tijd (t) in de formule vaak in seconden wordt uitgedrukt.
Je moet de relatie tussen de periode en de parameter c (periode = 2pi/c) correct toepassen.
Je moet controleren of je de juiste eenheden gebruikt voor de periode (seconden) en de hartslag (slagen per minuut) bij het omrekenen.
Je moet de formule correct opschrijven, inclusief de variabele P voor bloeddruk en t voor tijd.

Kernbegrippen: sinusoïde, amplitude, evenwichtsstand, periode, formule opstellen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/14

## Vraag 15 – Winst

Stel een formule op voor het verband tussen K, de bloeddruk in kilopascal en H, de bloeddruk in mmHg. Rond daarbij zonodig af op twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een formule moet opstellen die een recht evenredig verband beschrijft. Je krijgt waarschijnlijk informatie over de omrekening tussen twee eenheden, die je moet gebruiken om de evenredigheidsconstante te bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een recht evenredig verband kennen (y = ax). Je moet ook weten hoe je de constante 'a' berekent als je een paar waarden (of een omrekenfactor) hebt.

Wat moet je kunnen: Je moet een formule kunnen opstellen op basis van een beschrijving van een recht evenredig verband. Je moet de evenredigheidsconstante kunnen berekenen en deze correct afronden. Je moet ook de variabelen (K en H) correct in de formule plaatsen.

Waar op letten: Herken je dat dit een recht evenredig verband is? Dat betekent dat de formule de vorm y = ax heeft.
Let goed op welke variabele je als afhankelijke en welke als onafhankelijke variabele kiest (K = aH of H = aK). Beide zijn correct, zolang je de juiste constante berekent.
Gebruik de juiste omrekenfactor. Je moet weten hoeveel kPa overeenkomt met 1 mmHg, of hoeveel mmHg overeenkomt met 1 kPa.
Rond de evenredigheidsconstante pas aan het einde af op twee decimalen, zoals gevraagd.
Controleer of je de eenheden correct hebt gebruikt bij het bepalen van de constante 'a'.

Kernbegrippen: recht evenredig verband, formule opstellen, eenheden omrekenen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/15

## Vraag 16 – Winst

Van een patiënt kan de bloeddruk benaderd worden met de formule:
P = 110 + 23sin(2πt) (met P in mmHg en t in seconden)
Bij een bloeddrukmeting volgens de methode van Riva-Rocci pompt een verpleegkundige een bloeddrukmeter op tot een waarde van 170 mmHg. Daarna laat hij, vanaf t = 0, de druk gelijkmatig afnemen met 10 mmHg per seconde.
Bereken welke bovendruk en onderdruk de verpleegkundige rapporteert. Geef je antwoord in gehele getallen.

Wat kun je verwachten: Je kunt een vraag verwachten waarbij je een lineair verband moet opstellen en dit moet combineren met een gegeven sinusoïde. Je gebruikt je grafische rekenmachine om snijpunten te vinden en interpreteert deze in de context van de vraag.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een lineaire functie (y = ax + b) en een sinusoïde (y = A + Bsin(C(x-D))) kennen. Je moet ook weten hoe je deze functies invoert in je grafische rekenmachine en hoe je snijpunten berekent.

Wat moet je kunnen: Je moet een lineaire formule kunnen opstellen uit een beschrijving. Je moet twee functies kunnen invoeren in je GR en de snijpunten ervan kunnen bepalen. Je moet de resultaten van de snijpunten correct kunnen interpreteren als bovendruk en onderdruk en deze correct afronden.

Waar op letten: Je moet eerst de formule voor de bloeddrukmeter opstellen. Let goed op de startwaarde en de afnamesnelheid.
Je moet de twee formules aan elkaar gelijkstellen om de snijpunten te vinden. Dit doe je het handigst met je grafische rekenmachine.
Je moet de P-waarden van de snijpunten interpreteren: het eerste snijpunt geeft de bovendruk, het laatste snijpunt de onderdruk.
Je moet de gevonden P-waarden afronden op gehele getallen, zoals gevraagd in de vraag.
Let op de eenheden: P is in mmHg en t in seconden.

Kernbegrippen: sinusoïde, lineair model opstellen, snijpunten van grafieken, grafische rekenmachine

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/16

## Vraag 17 – Vraag

Uit de figuur blijkt dus dat na twee jaar meer dan de helft van de tijd aan support wordt besteed en dat er na vijf jaar (ongeveer) 16% van de beschikbare werktijd aan nieuwe software besteed wordt.
Bereken met behulp van de formule de procentuele toename van het percentage werktijd dat aan support wordt besteed tussen twee en vijf jaar na de lancering van de nieuwe software. Geef je antwoord in gehele procenten.

Wat kun je verwachten: Je zult een formule krijgen, waarschijnlijk een exponentiële, waarin je waarden voor de tijd (t) moet invullen. Daarna moet je de procentuele verandering berekenen tussen de twee uitkomsten.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor procentuele toename kennen en weten hoe je deze correct toepast. Ook moet je weten hoe je waarden invult in een gegeven formule en hoe je correct afrondt op een geheel percentage.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven formule kunnen gebruiken om twee percentages te berekenen. Vervolgens moet je de procentuele toename tussen deze twee percentages kunnen berekenen en je eindantwoord correct afronden op een geheel percentage.

Waar op letten: Lees goed welke formule je moet gebruiken voor 'support' en welke variabele de tijd voorstelt.
Vul de juiste waarden voor 't' in de formule in om de percentages op t=2 en t=5 te vinden. Rond deze tussenresultaten nog niet af.
Gebruik de correcte formule voor procentuele toename: ((nieuw - oud) / oud) * 100%.
Let op de eenheid van het antwoord: 'gehele procenten'. Rond pas op het allerlaatste moment af.
Verwar procentuele toename niet met het verschil in percentages.

Kernbegrippen: procentuele toename, exponentiële groei, formule substitutie

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/17

## Vraag 18 – Winst (3 punten)

Veel beginnende softwarebedrijven houden er binnen een paar jaar mee op, omdat ze zich verkijken op de tijd die in support moet worden gestoken.
Bereken met behulp van de formule hoelang het duurt totdat 90% van het percentage werktijd bij X-tent-O aan support wordt besteed. Geef je antwoord in hele maanden.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een exponentiële vergelijking moet oplossen. Dit betekent dat je waarschijnlijk logaritmen zult moeten gebruiken om de variabele uit de exponent te halen. Daarna moet je het resultaat omrekenen naar de gevraagde eenheid.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van exponentiële functies kennen en weten hoe je een exponentiële vergelijking oplost met behulp van logaritmen. Ook moet je weten hoe je een decimaal aantal jaren omrekent naar een aantal hele maanden.

Wat moet je kunnen: Je moet een exponentiële vergelijking kunnen opstellen en oplossen. Je moet ook nauwkeurig kunnen omrekenen tussen verschillende tijdseenheden (jaren naar maanden) en correct kunnen afronden naar een geheel aantal maanden.

Waar op letten: Zorg ervoor dat je de formule correct opstelt door het gegeven percentage (90%) gelijk te stellen aan de formule.
Let goed op de variabele 't' in de exponent; deze staat voor jaren, maar de vraag vraagt om maanden. Je moet dus goed omrekenen.
Rond pas af in de allerlaatste stap. Gebruik tussentijds voldoende decimalen om afrondingsfouten te voorkomen.
Controleer of je de logaritme correct toepast om de exponent uit de macht te halen.
Vergeet niet de eenheid van je eindantwoord te vermelden (maanden).

Kernbegrippen: exponentiële vergelijking oplossen, logaritmen, omrekenen eenheden

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/18

## Vraag 19 – Vraag

Met behulp van de afgeleide van P kan de verandering van het percentage dat aan support wordt besteed, worden bepaald. Die afgeleide is van de vorm P' = k·0,97¹²ᵗ. Afgerond op één decimaal geldt: k = 36,6.

Bereken k met behulp van differentiëren. Geef je antwoord in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je zult een functie moeten differentiëren die een exponentiële term bevat, waarbij je de kettingregel en de regel voor de afgeleide van een exponentiële functie toepast. Daarna vergelijk je jouw resultaat met een gegeven vorm om een onbekende constante te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet de differentieerregels kennen, specifiek de kettingregel en de regel voor het differentiëren van exponentiële functies van de vorm a^x of a^f(x). Je moet ook weten wat de natuurlijke logaritme (ln) is en hoe je deze gebruikt bij differentiëren.

Wat moet je kunnen: Je moet een functie kunnen differentiëren die uit meerdere termen bestaat en waarbij een van de termen een exponentiële functie is met een samengestelde exponent. Je moet de berekende afgeleide kunnen manipuleren en vergelijken met een gegeven vorm om een specifieke constante te isoleren en te berekenen.

Waar op letten: Je moet de functie P eerst herschrijven naar een vorm die makkelijker te differentiëren is, zoals P = 100 - 100 * 0.97^(12t).
Je past de kettingregel correct toe bij het differentiëren van de exponentiële term 0.97^(12t).
Je weet dat de afgeleide van a^f(x) gelijk is aan a^f(x) * ln(a) * f'(x).
Je vergelijkt jouw berekende afgeleide P' met de gegeven vorm P' = k * 0.97^(12t) om k te isoleren.
Je rondt je eindantwoord pas op het allerlaatste moment af op twee decimalen.

Kernbegrippen: differentiëren, kettingregel, afgeleide van een exponentiële functie, natuurlijke logaritme

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/19

## Vraag 20 – Vraag

Het percentage werktijd dat aan support wordt besteed heeft, zoals ook in de figuur te zien is, een grenswaarde (van 100%). Dat percentage stijgt afnemend naar die grenswaarde.
Beredeneer aan de hand van de afgeleide van P dat het percentage werktijd dat aan support wordt besteed inderdaad steeds minder sterk toeneemt.

Wat kun je verwachten: Je moet de eigenschappen van een functie en zijn afgeleide kunnen koppelen aan de context van een exponentieel model. Je beredeneert waarom de stijging van een percentage afneemt, door te kijken naar de afgeleide van de functie die dit percentage beschrijft.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van de afgeleide kennen als maat voor de groeisnelheid. Je moet ook weten hoe je de afgeleide van een exponentiële functie interpreteert en hoe een exponentiële term met een grondtal tussen 0 en 1 zich gedraagt als de variabele toeneemt.

Wat moet je kunnen: Je moet de afgeleide van een gegeven functie kunnen bepalen (of interpreteren als deze al gegeven is). Je moet vervolgens de eigenschappen van deze afgeleide (teken en stijgen/dalen) kunnen gebruiken om uitspraken te doen over het gedrag van de oorspronkelijke functie (stijgen/dalen en toenemende/afnemende stijging/daling).

Waar op letten: Je moet de relatie tussen de functie P en de afgeleide P' begrijpen: P' geeft de groeisnelheid van P weer.
Een positieve afgeleide (P' > 0) betekent dat de oorspronkelijke functie (P) stijgt.
Een dalende afgeleide (P' daalt) betekent dat de oorspronkelijke functie (P) steeds minder sterk stijgt (of steeds minder sterk daalt, afhankelijk van het teken van P').
Je moet de eigenschappen van exponentiële functies kennen, met name hoe een grondtal kleiner dan 1 de functie beïnvloedt bij toenemende t.
Zorg dat je je beredenering helder en logisch opbouwt, met de juiste terminologie.

Kernbegrippen: afgeleide functie, groeisnelheid, stijgen en dalen, exponentiële functie

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/20

## Vraag 21 – Winst (8 punten)

**Vraaginterpretatie:** Deze vraag daagt je uit om met behulp van combinatoriek verschillende scenario's van puntentelling in een shorttrackwedstrijd te analyseren.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een systematische aanpak moet volgen om alle mogelijke manieren te vinden waarop een schaatser precies 65 punten kan scoren. Dit betekent dat je eerst de combinaties van posities moet bepalen en daarna het aantal manieren waarop deze posities over de vier afstanden verdeeld kunnen worden.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van combinatoriek kennen, waaronder het verschil tussen combinaties en permutaties. Je moet ook weten hoe je het aantal permutaties berekent, vooral wanneer er herhalingen zijn binnen een set van elementen (zoals meerdere keren dezelfde positie).

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om een complex probleem op te splitsen in kleinere, beheersbare stappen. Je moet systematisch alle mogelijke combinaties van posities kunnen opsporen die aan de puntentotaal-eis voldoen. Vervolgens moet je voor elke gevonden combinatie het juiste aantal permutaties kunnen berekenen, rekening houdend met eventuele gelijke posities.

Waar op letten: Je moet alle mogelijke combinaties van posities vinden die samen exact 65 punten opleveren.
Let goed op de punten die bij elke positie horen (1e = 34, 2e = 21, 3e = 13, 4e = 8, 5e = 5, 6e = 3).
Vergeet niet dat de volgorde van de afstanden ertoe doet: een 1e plaats op afstand 1 en een 2e op afstand 2 is anders dan een 2e op afstand 1 en een 1e op afstand 2.
Houd rekening met herhalingen van posities binnen de vier afstanden (bijvoorbeeld twee keer een 4e plaats). Dit beïnvloedt het aantal permutaties.
Rond pas aan het einde af, maar in dit geval is het antwoord een exact geheel getal.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/21

## Vragen in dit examen

### Vraag 12 – Winst

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je meerdere stappen moet doorlopen om tot het eindantwoord te komen. Je zult waarden moeten substitueren in formules en vervolgens een vergelijking moeten oplossen.

Wat moet je kennen: Je moet de formules (1), (2) en (3) kennen en begrijpen hoe je variabelen hierin invult. Je moet ook weten hoe je een eenvoudige vergelijking oplost waarbij 'c' de onbekende is.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig kunnen rekenen met wortels en breuken. Je moet ook in staat zijn om de resultaten van de ene berekening correct te gebruiken als invoer voor een volgende berekening. Tot slot moet je een vergelijking kunnen opstellen en oplossen om de waarde van 'c' te vinden.

Waar op letten: Let goed op de volgorde van de bewerkingen: eerst invullen in formule (3) en (2), dan de resultaten gebruiken in formule (1).
Zorg ervoor dat je de juiste waarden (A, B, V) in de juiste formules invult.
Rond tussentijds niet af; gebruik de volledige getallen uit je rekenmachine om de nauwkeurigheid te bewaren. Afronden doe je pas bij de allerlaatste stap.
Vergeet niet dat je uiteindelijk twee uitdrukkingen voor de minimale kosten aan elkaar gelijk moet stellen om 'c' op te lossen.
Controleer of je antwoord voldoet aan de afrondingseis van twee decimalen.

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2022
tijdvak 1
vrijdag 20 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A

Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Dit examen bestaat uit 21 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

VW-1024-a-22-1-o

### Pagina 2

OVERZICHT FORMULES
Differentiëren
naam van de regel
functie
afgeleide
somregel
$s(x) = f(x) + g(x)$
$s'(x) = f'(x) + g'(x)$
verschilregel
$v(x) = f(x) - g(x)$
$v'(x) = f'(x) - g'(x)$
productregel
$p(x) = f(x) \cdot g(x)$
$p'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
quotiëntregel
$q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$
$q'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$
kettingregel
$k(x) = f(g(x))$
$k'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ of
$\frac{dk}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$

Logaritmen
regel
voorwaarde
$^g \log(a) + ^g \log(b) = ^g \log(ab)$
$g > 0, g \neq 1, a > 0, b > 0$
$^g \log(a) - ^g \log(b) = ^g \log\left(\frac{a}{b}\right)$
$g > 0, g \neq 1, a > 0, b > 0$
$^g \log(a^p) = p \cdot ^g \log(a)$
$g > 0, g \neq 1, a > 0$
$^g \log(a) = \frac{^p \log(a)}{^p \log(g)}$
$g > 0, g \neq 1, a > 0, p > 0, p \neq 1$

VW-1024-a-o
2 / 16
lees verder ►►►

### Pagina 3

Blindsimultaan dammen

Blindsimultaan dammen is een tak van de damsport waarbij een dammer het gelijktijdig opneemt tegen meerdere tegenstanders. De dammer in kwestie ziet de speelborden en tegenstanders niet en speelt dus alle partijen uit zijn hoofd. Deze opgave gaat over deze damsportvariant.
De puntentelling bij dammen is als volgt: de winnaar krijgt 2 punten, de verliezer 0. Bij gelijkspel (dat wordt remise genoemd) krijgen beide spelers 1 punt.
Een dammer die het wereldrecord blindsimultaan dammen wil verbreken, moet tegen meer tegenstanders spelen dan de zittende wereldrecordhouder. Bovendien moet hij minstens 70% van het maximaal te behalen aantal punten scoren.

3p 1 In 1950 scoorde de Nederlandse dammer Piet Roozenburg in totaal 5 tegenstanders precies 70%. Met deze score werd hij toen recordhouder. Onderzoek op welke manieren deze partijen van Piet Roozenburg verdeeld kunnen zijn in aantallen keren winst, verlies en remise.

3p 2 Bij een latere recordpoging in 2014 speelde de Nederlandse dammer Ton Sijbrands tegen 32 dammers. Hij won 14 partijen en verloor er geen. Een sportjournalist beweerde: “Gelukkig heeft hij geen wedstrijd verloren, want anders had hij geen 70%-score gehaald”.
Onderzoek of deze bewering juist is.

Sinds 1982 heeft Ton Sijbrands het wereldrecord behoorlijk stevig in handen. De tabel geeft een overzicht van zijn wereldrecords.

tabel
jaar | partijen | winst | remise | verlies | score(%)
1982 | 10 | 9 | 1 | 0 | 95,00
1986 | 12 | 11 | 1 | 0 | 95,83
1987 | 14 | 12 | 1 | 1 | 89,29
1991 | 15 | 13 | 2 | 0 | 93,33
1993 | 18 | 14 | 4 | 0 | 88,89
1999 | 20 | 17 | 3 | 0 | 92,50
2002 | 22 | 17 | 5 | 0 | 88,64
2004 | 24 | 20 | 4 | 0 | 91,67
2007 | 25 | 21 | 4 | 0 | 92,00
2009 | 28 | 18 | 7 | 3 | 76,79
2014 | 32 | 14 | 18 | 0 | 71,88

VW-1024-a-o
3 / 16
lees verder 

### Pagina 4

In de rest van deze opgave bekijken we deze ontwikkeling nader.
We letten daarbij eerst op het verloop van het aantal partijen $p$ in de tijd.
We noteren de tijd $t$ in jaren, waarbij $t=0$ overeenkomt met het jaar 1982.
Hiermee maken we figuur 1.

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as "aantal partijen p" en op de x-as "t (in jaren)". De grafiek toont een stippellijn met enkele datapunten die een stijgende trend aangeven.]

De punten in figuur 1 liggen bij benadering op een lijn. Deze lijn is in
figuur 1 ook getekend. De lijn suggereert dat Sijbrands in de toekomst een
record van 38 partijen kan behalen.
3a (4p) Bereken in welk jaar dit, uitgaande van deze lijn, het geval zou zijn.

Vervolgens kijken we naar de duur van de recordpogingen. In figuur 2 is
deze duur $d$ in uren uitgezet tegen de tijd $t$ in jaren. Ook hier komt
$t=0$ overeen met het jaar 1982.

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as "duur d (in uren)" en op de x-as "t (in jaren)". De grafiek toont een aantal datapunten die een stijgende trend aangeven.]

VW-1024-a-o 4 / 16 lees verder ▶ ► ►

### Pagina 5

In figuur 2 kun je onder andere aflezen dat de duur van de recordpoging van Sijbrands in 1987 en 1991 ongeveer 11 uur was en in 2014 ongeveer 48 uur.

We noemen figuur 1 een $p-t$-diagram en figuur 2 een $d-t$-diagram. Door deze figuren te combineren, kunnen we een $d-p$-diagram maken. In figuur 3 is hiermee een begin gemaakt. Figuur 3 staat ook vergroot op de uitwerkbijlage.

figuur 3
[FIGUUR: een scatterplot met op de y-as "duur $d$ (in uren)" van 0 tot 60, en op de x-as "aantal partijen $p$" van 0 tot 35. Er zijn 10 datapunten weergegeven.]

4p 4 Maak het $d-p$-diagram op de uitwerkbijlage af.

VW-1024-a-o 5 / 16 lees verder ▶▶▶

### Pagina 6

Ga verder op de volgende pagina.
VW-1024-a-o 6 / 16 lees verder ►►►

### Pagina 7

Hier is een gestructureerde analyse van de examenpagina:

1.  **Type pagina**: Opgave

2.  **Visuele elementen**:
    *   **Titel**: "Levensverwachting" staat bovenaan de pagina.
    *   **Tekstblokken**: Er zijn drie inleidende tekstblokken die context bieden over levensverwachting in Nederland en de stijging ervan over tijd. Een vierde tekstblok geeft een recentere schatting voor 2099.
    *   **Grafiek (Figuur 1)**: Dit is een lijngrafiek met de titel "figuur 1" en de aslabels "levensverwachting in jaren" (verticaal) en "jaar" (horizontaal).
        *   De verticale as loopt van 68 tot 82 jaar, met een indicatie van een onderbreking van 0 naar 68.
        *   De horizontale as toont jaren van 1950 tot 2012, met stappen van 2 jaar gemarkeerd.
        *   De grafiek toont een glooiende lijn die over het algemeen stijgt, wat de ontwikkeling van de levensverwachting in Nederland over die periode weergeeft. De lijn beweegt vrijwel altijd omhoog, wat een toename suggereert.
    *   **Opgavenummering**: Een genummerde opgave (5) met puntenaanduiding (4p).
    *   **Voetnoot/Koptekst**: Onderaan de pagina staat "VW-1024-a-o", "7/16" (paginanummer), "lees verder ►►", en een copyright/beschikbaarheidsinformatie voor eindexamens.

3.  **Wiskundig/wetenschappelijk concept**:
    *   **Statistiek/Data-analyse**: Het interpreteren van grafieken die trends weergeven (levensverwachting over tijd).
    *   **Lineaire groei/modelvorming**: Het beoordelen of een trend "vrijwel lineair" is en het onderzoeken of een toekomstige schatting overeenkomt met een lineaire toename. De student moet mogelijk zelf een lineaire projectie uitvo

### Pagina 8

Hier is een gestructureerde analyse van de examenpagina:

1.  **Type pagina**: Opgavepagina (onderdeel van een examen)

2.  **Visuele elementen**:
    *   **Grafiek "figuur 2"**:
        *   Een spreidingsdiagram met op de horizontale as "gemiddeld inkomen per persoon P (in dollars)" en op de verticale as "levensverwachting L (in jaren)".
        *   Beide assen hebben een logaritmische schaalverdeling (zichtbaar door de ongelijke afstanden tussen gelijke numerieke intervallen zoals 100, 1.000, 10.000, etc. op de horizontale as en 10, 100 op de verticale as).
        *   De grafiek bevat vele grijze stippen, waarbij elke stip een land voorstelt en de relatie tussen gemiddeld inkomen en levensverwachting in dat land in 2012 weergeeft.
        *   Er is een dikke zwarte (lineaire) trendlijn toegevoegd die de algemene relatie tussen inkomen en levensverwachting benadert.
        *   Twee specifieke landen zijn met zwarte stippen gemarkeerd en gelabeld: "Nederland" en "Qatar".

3.  **Wiskundig/wetenschappelijk concept**:
    *   **Statistiek/Data-analyse**: Het interpreteren van een spreidingsdiagram, het herkennen van trends en afwijkingen van die trends.
    *   **Logaritmische schalen**: Begrijpen hoe data wordt weergegeven op een logaritmische schaal en hoe dit de visuele presentatie van relaties beïnvloedt.
    *   **Trendlijnen**: Het concept van een trendlijn als benadering van een verband tussen twee variabelen.
    *   **Procentuele berekeningen**: Het berekenen van procentuele verschillen.
    *   **Relatie tussen inkomen en levensverwachting**: Een sociaal-economisch/demografisch concept dat onderzocht wordt.

4.  **Context**:
    *   De student wordt gevraagd om een gegeven scenario te analyseren waarin de levensverw

### Pagina 9

De trendlijn in figuur 2 is een rechte lijn, dus er bestaat een lineair
verband tussen log(L) en log(P). Dit verband ziet er als volgt uit:

$log(L) = 0,084 \cdot log(P) + 1,509$

Je kunt deze formule ook schrijven als een machtsverband. Dat verband
ziet er dan als volgt uit:

$L = 32,28 \cdot P^{0,084}$

4p 7 Laat zien hoe de tweede formule uit de eerste formule is af te leiden.

In figuur 2 is duidelijk te zien dat wanneer het gemiddelde inkomen per
persoon stijgt, de levensverwachting volgens de trendlijn dat ook doet.
Door de logaritmische schaal is echter niet te zien of dit een toenemende
of een afnemende stijging is.

4p 8 Onderzoek met behulp van de afgeleide van L of er sprake is van
toenemende of afnemende stijging.

VW-1024-a-o 9 / 16 lees verder ►►►

### Pagina 10

Formule van Camp

Voor een winkelier zijn zowel aan het bestellen van producten als aan het
in voorraad houden van producten kosten verbonden. Daarom doen
economen onderzoek naar een juiste balans tussen het aantal
bestellingen per jaar en het aantal producten per bestelling.

Veronderstel dat een winkelier jaarlijks 100 stuks van een bepaald
product verkoopt. Hij wil dat er per jaar in totaal 100 exemplaren besteld
worden in n even grote bestellingen, bijvoorbeeld 4 bestellingen van elk
25 stuks.
2p 9 Bepaal welke andere aantallen bestellingen in deze situatie mogelijk zijn.

Bij een veel gebruikt algemeen model nemen economen aan dat de
winkelier voor elke bestelling en voor elk in voorraad gehouden product
een vast bedrag rekent. De formule bij dit model is:

$$K = \frac{A \cdot B}{n} + \frac{1}{2} \cdot n \cdot V$$ (1)

Hierin is:
- K de totale jaarlijkse kosten in euro's;
- A het aantal producten dat jaarlijks besteld wordt;
- B de bestelkosten per bestelling in euro's;
- n het aantal producten per bestelling;
- V de voorraadkosten per product per jaar in euro's.

Voor een bepaald product hanteert een winkelier € 8,- bestelkosten per
bestelling. De voorraadkosten zijn € 0,60 per product per jaar. Per jaar
verkoopt de winkelier 1000 stuks van dit product en hij wil dus ook dat er
1000 producten per jaar besteld worden.
5p 10 De winkelier wil dat de totale jaarlijkse kosten maximaal € 110,- zijn.
Bereken welk aantal bestellingen per jaar minimaal mogelijk is.

VW-1024-a-o 10 / 16 lees verder ▶▶▶

### Pagina 11

In het vervolg van deze opgave gaan we uit van het algemene model
waarbij we geen rekening meer houden met het feit dat $n$ eigenlijk een
geheel getal moet zijn. Dat $n$ positief moet zijn, blijft wel een eis.

De optimale bestelgrootte is het aantal producten per bestelling waarbij
de totale jaarlijkse kosten minimaal zijn.

In formule (1) zijn $A$, $B$ en $V$ getallen die bij een bepaald product bekend
zijn. Daarom kan de optimale bestelgrootte worden berekend door de
vergelijking $\frac{dK}{dn} = 0$ op te lossen.

Hieruit volgt de zogeheten formule van Camp:
$$ n = \sqrt{\frac{2 \cdot A \cdot B}{V}} \quad (2) $$
Met deze formule van Camp kun je de optimale bestelgrootte direct
berekenen als je $A$, $B$ en $V$ weet.

11 4p Laat zien dat de formule van Camp inderdaad volgt uit $\frac{dK}{dn} = 0$.

Door formule (2) en formule (1) te combineren, kan een uitdrukking
gevonden worden voor de minimale kosten. Er blijkt dat deze minimale
kosten evenredig zijn met de wortel uit $A \cdot B \cdot V$.
Er geldt dus:
$$ K_{\min} = c \cdot \sqrt{A \cdot B \cdot V} \quad (3) $$
Hierin is $c$ de evenredigheidsconstante.

De waarde van $c$ kan onder andere berekend worden door de waarden
$A = 1000$, $B = 8$ en $V = 0,60$ (zie eerder in deze opgave) te gebruiken. Die
waarden moeten dan zowel in formule (3) als in formule (2) ingevuld
worden. Daarna kan met deze resultaten en gebruikmakend van
formule (1) de waarde van $c$ berekend worden.
12 5p Bereken de waarde van $c$. Geef je antwoord in twee decimalen.
VW-1024-a-o 11 / 16 lees verder ‣‣‣

### Pagina 12

Hier is een gestructureerde analyse van de examenpagina:

1.  **Type pagina**: Opgave

2.  **Visuele elementen**:
    *   **Titel**: "Bloeddruk" staat bovenaan de pagina.
    *   **Tekstblokken**: Er zijn drie inleidende tekstblokken die uitleg geven over bloeddruk, hartslag, bovendruk en onderdruk, en de eenheden van bloeddruk.
    *   **Grafiek (figuur 1)**: Een lijngrafiek met de titel "bloeddruk" op de verticale as (met een pijl omhoog wat toename aangeeft) en "tijd (in seconden)" op de horizontale as. De horizontale as is genummerd van 0 tot 5. De grafiek toont een periodiek, golvend patroon dat de bloeddruk over tijd representeert, met duidelijke pieken en dalen die de systolische en diastolische druk en de hartslag cyclus weergeven. Er zijn ongeveer 5 volledige pulsen zichtbaar tussen t=0 en t=5.

3.  **Wiskundig/wetenschappelijk concept**:
    *   **Biologie/Fysiologie**: Bloeddruk, hartslag, bovendruk (systolische druk), onderdruk (diastolische druk).
    *   **Wiskunde (Analyse/Algebra)**:
        *   Interpreteren van grafieken (periodieke functies).
        *   Sinusoïdale functies: Het model $P=a+b\sin(c\cdot t)$ wordt geïntroduceerd om bloeddruk te beschrijven, wat wijst op kennis van amplitude, verticale verschuiving en frequentie/periode van sinusoïden.
        *   Eenhedenomrekening: Van mmHg naar kPa en vice versa, gebaseerd op een recht evenredig verband en gegeven conversiewaarden.
    *   **Natuurkunde/Chemie**: Druk (mmHg, kPa).

4.  **Context**:
    *   **Algemeen**: De pagina behandelt het fenomeen bloeddruk in het menselijk lichaam, de meting en modellering ervan.
    *   **Vraag 13 (2 punten)**:

### Pagina 13

3p 15 Stel een formule op voor het verband tussen $K$, de bloeddruk in kilopascal en $H$, de bloeddruk in mmHg. Rond daarbij zonodig op twee decimalen.
Bloeddruk meten wordt meestal gedaan met de methode van Riva-Rocci, genoemd naar de Italiaanse uitvinder ervan.
Die werkt als volgt: met een opblaasbare band om de bovenarm wordt de polsslagader afgekneld, zodat er geen bloed meer doorheen stroomt. Daarna laat men langzaam de lucht uit de band lopen, totdat er voor het eerst weer een bloedstroming waarneembaar is. De bijbehorende druk is de bovendruk. Daarna laat men de band nog verder leeglopen, totdat de bloedstroming niet meer waarneembaar is. De druk die daarbij hoort is de onderdruk.
In figuur 2 staat een schets die bij deze methode past.
figuur 2
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as de druk en op de x-as de tijd. De y-as heeft een pijl omhoog en is gelabeld 'druk'. Er zijn twee lijnen: een aflopende lijn, gelabeld 'bloeddrukmeter' en een lijn die een golfpatroon weergeeft, gelabeld 'bloeddruk'. De golfpatroonlijn heeft pieken en dalen. Er zijn verticale strepen aangegeven die de pieken en dalen markeren. Boven de pieken staat 'bovendruk' en onder de dalen staat 'onderdruk'. De x-as is gelabeld 'tijd' met een pijl naar rechts. De oorsprong (0) is aangegeven op de x-as.]
In figuur 2 gaat de lijn van de bloeddrukmeter precies door twee toppen van de bloeddruk. In werkelijkheid is dit meestal niet zo, omdat het verloop van deze lijn afhangt van hoe ver de band opgeblazen wordt en hoe snel deze leegloopt. Daarom is een dergelijke bloeddrukmeting nooit helemaal nauwkeurig. Boven- en onderdruk (of eigenlijk benaderingen daarvan) worden gevonden door te bepalen waar de twee grafieken elkaar voor het eerst en voor het laatst snijden.
Van een patiënt kan de bloeddruk benaderd worden met de formule:
$$ P = 110 + 23\sin(2\pi t) \quad (\text{met } P \text{ in mmHg en } t \text{ in seconden}) $$
Bij een bloeddrukmeting volgens de methode van Riva-Rocci pompt een verpleegkundige een bloeddrukmeter op tot een waarde van 170 mmHg. Daarna laat hij, vanaf $t=0$, de druk gelijkmatig afnemen met 10 mmHg per seconde.
5p 16 Bereken welke bovendruk en onderdruk de verpleegkundige rapporteert. Geef je antwoord in gehele getallen.
VW-1024-a-o 13 / 16 lees verder ► ► ►

### Pagina 14

Support
Softwarebedrijven maken nieuwe software maar moeten ook aandacht
besteden aan het geven van support aan hun klanten. Het geven van
deze support kost bij veel softwarebedrijven steeds meer tijd. Als een
softwarebedrijf vervolgens geen nieuw personeel wil aannemen, gaat de
toenemende tijd die besteed wordt aan support ten koste van de tijd voor
het ontwikkelen van nieuwe software.

Bij softwarebedrijf X-tent-O is geconstateerd dat men, als gevolg van deze
toenemende vraag naar support, elke maand 3% minder tijd dan in de
maand daarvoor besteedt aan het ontwikkelen van nieuwe software. Zie
de figuur.

figuur
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as "% beschikbare werktijd dat besteed wordt aan support" en de waarden 0, 20, 40, 60, 80, 100. Op de x-as staat "tijd (in jaren)" met de waarden 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Een curve stijgt vanaf de oorsprong en vlakt af naar de rechterbovenhoek. Bij t=2 jaar is er een tekstballon met "na 2 jaar wordt al meer dan de helft van de tijd besteed aan support".]

Na twee jaar moet al meer dan de helft van de beschikbare werktijd
besteed worden aan support. En na vijf jaar kan nog maar 16% van de
beschikbare werktijd aan het ontwikkelen van nieuwe software besteed
worden.

Als er door de toename van de support elke maand 3% minder tijd
besteed kan worden aan het ontwikkelen van nieuwe software dan in de
maand daarvoor, dan kun je het percentage werktijd $P$ dat aan support
wordt besteed, met de volgende formule berekenen:
$$P = 100 \cdot (1 - 0,97^t)$$
Hierin is $t$ de tijd in jaren vanaf de lancering van de nieuwe software.

VW-1024-a-o
14 / 16
lees verder

### Pagina 15

Uit de figuur blijkt dus dat na twee jaar meer dan de helft van de tijd aan support wordt besteed en dat er na vijf jaar (ongeveer) 16% van de beschikbare werktijd aan nieuwe software besteed wordt.
3p 17 Bereken met behulp van de formule de procentuele toename van het percentage werktijd dat aan support wordt besteed tussen twee en vijf jaar na de lancering van de nieuwe software. Geef je antwoord in gehele procenten.

Veel beginnende softwarebedrijven houden er binnen een paar jaar mee op, omdat ze zich verkijken op de tijd die in support moet worden gestoken.
3p 18 Bereken met behulp van de formule hoelang het duurt totdat 90% van het percentage werktijd bij X-tent-O aan support wordt besteed. Geef je antwoord in hele maanden.

Met behulp van de afgeleide van $P$ kan de verandering van het percentage dat aan support wordt besteed, worden bepaald. Die afgeleide is van de vorm $P' = k \cdot 0,97^{12t}$. Afgerond op één decimaal geldt: $k = 36,6$.
5p 19 Bereken $k$ met behulp van differentiëren. Geef je antwoord in twee decimalen.

Het percentage werktijd dat aan support wordt besteed heeft, zoals ook in de figuur te zien is, een grenswaarde (van 100%). Dat percentage stijgt afnemend naar die grenswaarde.
3p 20 Beredeeneer aan de hand van de afgeleide van $P$ dat het percentage werktijd dat aan support wordt besteed inderdaad steeds minder sterk toeneemt.

Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.
VW-1024-a-o 15 / 16 lees verder ►►►

### Pagina 16

Hier is een gestructureerde analyse van de examenpagina:

1.  **Type pagina**: Opgave

2.  **Visuele elementen**:
    *   **Afbeelding (rechtsboven)**: Een zwart-witfoto van twee shorttrackers in actie op het ijs, met de tekst "Sport" duidelijk zichtbaar op de achtergrond. De racers dragen strakke, gestroomlijnde pakken en zijn diep voorovergebogen om snelheid te maximaliseren. Op de ijsbaan is de tekst "DORDRECHT" te zien, wat verwijst naar de context van het shorttrackkampioenschap.
    *   **Tabel (midden)**: Twee kleine tabellen, naast elkaar geplaatst, die de puntverdeling tonen voor shorttrackers op basis van hun behaalde plaats.
        *   De linker tabel heeft twee kolommen: "plaats" (1 t/m 4) en "punten" (34, 21, 13, 8).
        *   De rechter tabel heeft ook twee kolommen: "plaats" (5 t/m 8) en "punten" (5, 3, 2, 1).
    *   **Voetnoot/Bronvermelding**: Onderaan de pagina staat een bronvermelding en copyright-informatie, inclusief de paginanummering (16/16), examenidentificatie (VW-1024-a-o) en links naar websites voor eindexamens.

3.  **Wiskundig/wetenschappelijk concept**:
    *   **Combinatoriek**: De kern van de opgave is het berekenen van het aantal manieren om een specifiek totaal aantal punten te behalen uit verschillende afstanden, waarbij de puntverdeling per plaats vaststaat. Dit omvat principe van samenstellen van combinaties/permutaties van scores.
    *   **Puntentelling/Scoring**: Het systeem van puntentoewijzing op basis van rangschikking in een competitie.
    *   **Algebraïsche sommatie**: Het optellen van punten voor de verschillende afstanden.

4.  **Context**:
    De student wordt gevraagd om een probleem op te lossen binnen de context van shorttrack scha