# Eindexamen Wiskunde A VWO 2021 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2021/tijdvak-1

## Vraag 1 – Opgave 2 (4 punten)

Onderzoek met behulp van de formule welke van de twee getallen 750 en 600 het rondst is.

Wat kun je verwachten: Je kunt een vraag verwachten waarbij je een gegeven formule moet toepassen op specifieke waarden, rekening houdend met eventuele voorwaarden binnen de formule. Daarna moet je de resultaten interpreteren en vergelijken om een conclusie te trekken.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een formule correct invult en hoe je de volgorde van bewerkingen (haakjes, machten, vermenigvuldigen/delen, optellen/aftrekken) toepast. Je moet ook begrijpen hoe je voorwaardelijke instructies binnen een formule interpreteert.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om getallen correct te substitueren in een formule. Je moet nauwkeurig kunnen rekenen, zowel met de hand als met een rekenmachine. Tot slot moet je de berekende waarden kunnen vergelijken en op basis daarvan een logische conclusie kunnen formuleren.

Waar op letten: Lees de formule R(n) heel nauwkeurig. Er zijn voorwaarden voor welke termen meetellen.
Substitueer de getallen 750 en 600 correct in de formule. Let goed op de haakjes en de volgorde van bewerkingen.
Voer de berekeningen stap voor stap uit om fouten te voorkomen.
Vergelijk de berekende waarden van R(n) en trek de juiste conclusie over welk getal het 'rondst' is. Een lagere R(n) betekent 'ronder'.
Rond je antwoord af op het gevraagde aantal decimalen, meestal pas aan het einde van de berekening.

Kernbegrippen: formule substitutie, voorwaardelijke berekening, vergelijken van waarden

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2021/tijdvak-1/vraag/1

## Vraag 2 – Opgave 2 (4 punten)

De rondheid van 1000 is groter dan die van 500. Het is echter niet zo dat 600 ook ronder is dan 500. Sterker nog, voor alle honderdtallen tussen 500 en 1000 geldt dat de rondheid ervan steeds kleiner wordt.
Je kunt dat beredeneren door de formule te herschrijven tot een formule die alleen voor honderdtallen tussen 500 en 1000 geldt. Dat kan worden gedaan met behulp van de substitutie n = 100p (met p de gehele getallen 6 tot en met 9) en daarna de formule te herleiden tot R = 23 / (16p).
Toon dit aan en beredeneer vervolgens aan de hand van deze formule, zonder getallen in te vullen of een schets te maken, dat de rondheid van de honderdtallen tussen 500 en 1000 steeds kleiner wordt.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je een algebraïsche formule moet manipuleren en vervolgens een kwalitatieve uitspraak moet doen over het gedrag van die formule. Je zult je vaardigheden in het herleiden van breuken en het beredeneren van functieverloop moeten laten zien.

Wat moet je kennen: Je moet de basisregels van het rekenen met breuken kennen, inclusief het vinden van een gemeenschappelijke noemer. Ook moet je weten hoe substitutie werkt en hoe je een verband tussen variabelen kunt beredeneren op basis van de structuur van een formule.

Wat moet je kunnen: Je moet een variabele kunnen substitueren in een formule, breuken met verschillende noemers kunnen optellen en herleiden tot één breuk. Daarnaast moet je in staat zijn om, zonder concrete getallen te gebruiken, te beredeneren hoe de waarde van een formule verandert als een van de inputvariabelen toeneemt of afneemt.

Waar op letten: Zorg ervoor dat je de substitutie n = 100p correct toepast in de oorspronkelijke formule.
Let goed op het herleiden van de breuken. Je moet een gemeenschappelijke noemer vinden om ze op te tellen.
Bij het beredeneren van het verband: leg duidelijk uit waarom een toenemende p leidt tot een kleinere R. Gebruik hierbij de termen 'teller' en 'noemer'.
Voer geen getallen in; de vraag vraagt expliciet om een beredenering zonder invullen of schetsen.

Kernbegrippen: algebraïsche substitutie, breuken herleiden, verband tussen variabelen beredeneren

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2021/tijdvak-1/vraag/2

## Vragen in dit examen

### Vraag 3 – Opgave 2

Wat kun je verwachten: Je moet verschillende aantallen en percentages combineren om tot het gevraagde percentage te komen. Dit is een typische vraag waarbij je stap voor stap de informatie moet verwerken.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van procenten kennen en hoe je hiermee rekent. Je moet ook weten hoe je een deel van een geheel berekent en hoe je dit omzet naar een percentage.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om de totale hoeveelheid antwoorden te berekenen. Je moet percentages kunnen omzetten naar absolute aantallen en andersom. Je moet ook logisch kunnen redeneren om de verschillende gegeven stukjes informatie correct te combineren om het gevraagde percentage te vinden.

Waar op letten: Bereken eerst het totale aantal gegeven antwoorden.
Let goed op het verschil tussen percentages en absolute aantallen.
Zorg dat je de juiste 'geheel' gebruikt bij het berekenen van percentages (hier: het totale aantal antwoorden).
Rond pas af in de allerlaatste stap naar het gevraagde aantal decimalen.
Controleer of je alle stappen logisch hebt doorlopen om tot het gevraagde percentage te komen.

### Vraag 4 – Opgave 2

Wat kun je verwachten: Je zult een grafiek of tabel moeten interpreteren om de verhouding of het percentage van linkshandigen en rechtshandigen te bepalen die antwoord 100 gaven, of de totale aantallen per groep. Vervolgens gebruik je de gegeven informatie over linkshandigen om het aantal voor rechtshandigen te berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je gegevens afleest uit grafieken en tabellen, inclusief grafieken met een logaritmische schaal. Je moet ook de basisprincipes van procentrekenen en verhoudingen kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig gegevens kunnen aflezen uit een grafiek of tabel. Je moet een gegeven aantal (voor linkshandigen) kunnen omrekenen naar een ander aantal (voor rechtshandigen) met behulp van percentages of verhoudingen die je uit de context haalt.

Waar op letten: Lees de relevante gegevens voor zowel linkshandigen als rechtshandigen correct af uit de bijbehorende grafiek of tabel.
Let goed op de eenheden en schaalverdeling van de grafiek, vooral als er een logaritmische schaal wordt gebruikt.
Zorg ervoor dat je de percentages of verhoudingen correct omzet naar absolute aantallen.
Rond pas af in de allerlaatste stap naar een geheel getal, aangezien het om personen gaat.
Controleer of je de vraag beantwoordt: het aantal keer dat rechtshandigen antwoord 100 gaven, niet een percentage of verhouding.

### Vraag 5 – Opgave 2

Wat kun je verwachten: Je moet de gegeven figuur analyseren en op basis daarvan bepalen of twee specifieke uitspraken wel of niet uit de figuur volgen. Je moet je antwoord goed onderbouwen met wat je in de figuur ziet.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een grafiek met eventueel een logaritmische schaal correct interpreteert. Je moet ook het verschil tussen absolute en relatieve frequenties begrijpen.

Wat moet je kunnen: Je kunt informatie aflezen uit een grafiek, trends herkennen en vergelijken, en op basis hiervan logische conclusies trekken over de geldigheid van gegeven uitspraken. Je kunt je redenering duidelijk verwoorden.

Waar op letten: Lees de assen van de grafiek zorgvuldig af: wat staat er op de x-as (de gekozen getallen) en wat op de y-as (de frequentie of het percentage)?
Let op de schaalverdeling van de assen. Is er sprake van een logaritmische schaal op één of beide assen? Dit beïnvloedt hoe je verschillen interpreteert.
Beoordeel of de uitspraken gaan over absolute aantallen of over relatieve (procentuele) verhoudingen. Dit is cruciaal voor de interpretatie.
Vergelijk de trends voor 'grote getallen' voor beide groepen (linkshandigen en rechtshandigen) als deze informatie in de figuur aanwezig is.
Formuleer je uitleg helder en beargumenteer je conclusie voor elke uitspraak expliciet met verwijzing naar de figuur.

### Vraag 6 – Opgave 2

Wat kun je verwachten: Je moet een positie op een figuur aangeven en je antwoord toelichten. Dit betekent dat je een berekening of redenering moet geven die leidt tot de aangegeven positie.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je tijdseenheden omrekent (uren naar minuten en vice versa) en hoe je een deel van een cirkelbeweging relateert aan een verstreken tijd. Je moet ook basiskennis hebben van hoeken en verhoudingen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de verstreken tijd correct berekenen. Je kunt de verstreken tijd omzetten naar een hoek of een deel van de cirkel. Je kunt deze positie vervolgens nauwkeurig op de gegeven figuur intekenen en je redenering duidelijk verwoorden.

Waar op letten: Let goed op de starttijd van de beweging en de eindtijd die gevraagd wordt. Hoeveel tijd is er precies verstreken?
Controleer of de beweging met een constante snelheid plaatsvindt en of de richting (met de klok mee/tegen de klok in) duidelijk is.
Bedenk hoe je de verstreken tijd omzet naar een hoek of een deel van de cirkel. Denk aan de totale duur van één omwenteling.
Zorg dat je de positie nauwkeurig op de figuur aangeeft en je toelichting helder is.
Verwar minuten niet met decimalen van een uur. Bijvoorbeeld, 30 minuten is 0.5 uur, niet 0.3 uur.

### Vraag 7 – Opgave 2

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je de periodes van de beweging van het huis en de weekcyclus moet identificeren. Vervolgens moet je een manier vinden om te bepalen wanneer deze cycli samenvallen, en dit omrekenen naar hele weken.

Wat moet je kennen: Je moet het concept van periodieke verschijnselen kennen en weten hoe je het kleinste gemene veelvoud (KGV) van getallen kunt bepalen. Ook moet je de omrekening van uren naar dagen en weken kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet de relevante periodes uit de vraagtekst kunnen halen en deze omzetten naar een consistente tijdseenheid (bijvoorbeeld uren). Je moet het KGV van deze periodes kunnen berekenen en het resultaat correct kunnen omrekenen naar hele weken.

Waar op letten: Let goed op de verschillende periodes die in de context worden genoemd. Er is een periode voor de beweging van het huis en een periode voor de week.
Zorg ervoor dat je alle tijdseenheden consistent maakt. Als de periodes in uren zijn, reken dan ook de week om naar uren.
De vraag vraagt om 'hele weken'. Dit betekent dat je aan het einde van je berekening moet omrekenen naar weken en mogelijk moet afronden.
Het 'kleinste gemene veelvoud' (KGV) is hier een belangrijk concept. Je zoekt naar het moment waarop alle cycli tegelijkertijd weer op hun startpunt zijn.
Vergeet niet dat de starttijd 't = 0' ook op maandag om 08.00 uur is. Je zoekt dus naar het eerstvolgende moment dat deze situatie zich herhaalt.

### Vraag 8 – Opgave 2

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule van een sinusoïde en je moet een parameter in die formule bepalen op basis van een gegeven voorwaarde over een specifiek punt (tijdstip en positie).

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een sinusoïde kennen (A sin(B(x-C)) + D) en weten welke rol elke parameter speelt. Je moet ook weten hoe je goniometrische vergelijkingen oplost.

Wat moet je kunnen: Je moet een gegeven voorwaarde (beginpunt in het noorden) kunnen vertalen naar een concrete y-waarde op t=0. Je moet deze waarden kunnen invullen in de gegeven formule en de resulterende goniometrische vergelijking kunnen oplossen om de waarde van 'd' te vinden.

Waar op letten: Je moet goed begrijpen wat 'beginpunt (t=0) in het noorden' betekent voor de y-waarde op dat moment.
Je moet de gegeven formule y = 30 · sin(π/10 · (t – d)) correct interpreteren, met name de rol van 'd' als faseverschuiving.
Je moet de vergelijking die ontstaat door t=0 en de y-waarde in te vullen, correct oplossen voor 'd'.
Je moet rekening houden met de periode van de sinusoïde bij het vinden van de juiste waarde voor 'd'.

### Vraag 9 – Opgave 2

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule met een sinusfunctie en je moet een percentage van de tijd berekenen dat aan een bepaalde voorwaarde voldoet. Dit vereist het oplossen van een trigonometrische vergelijking en het interpreteren van de periode van de functie.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van een sinusfunctie kennen, zoals amplitude en periode. Je moet ook weten hoe je een trigonometrische vergelijking oplost, zowel algebraïsch als met je grafische rekenmachine. Daarnaast moet je percentages kunnen berekenen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de periode van de sinusfunctie bepalen. Je kunt de vergelijking 30sin(π/10·t) = 15 oplossen voor t. Je kunt de tijdsintervallen bepalen waarin de afstand minder dan 15 meter is. Je kunt deze tijdsintervallen optellen en uitdrukken als een percentage van de totale periode.

Waar op letten: Zorg ervoor dat je rekenmachine in radialen staat, aangezien de hoek in de sinusfunctie in radialen is gegeven (π/10·t).
Let op het verschil tussen 'minder dan 15 meter' en 'gelijk aan 15 meter'. Dit bepaalt of je de snijpunten zelf meeneemt in de intervallen.
Bereken eerst de periode van de sinusfunctie. Dit is cruciaal voor het bepalen van het totale tijdsinterval waarover je het percentage berekent.
Rond pas af in de allerlaatste stap naar een geheel percentage, zoals gevraagd.
Vergeet niet dat de sinusfunctie symmetrisch is; dit kan je helpen bij het vinden van de juiste tijdsintervallen.

### Vraag 10 – Opgave 2

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een gegeven formule moet controleren door deze af te leiden uit een bekend wiskundig model, zoals de vergelijking van een cirkel. Dit vereist inzicht in de basisformules en vaardigheid in algebraïsch manipuleren.

Wat moet je kennen: Je moet de standaardvergelijking van een cirkel met middelpunt in de oorsprong kennen: x^2 + y^2 = r^2. Ook moet je weten hoe je een vergelijking kunt herschrijven om een variabele (in dit geval y) uit te drukken in termen van andere variabelen en constanten.

Wat moet je kunnen: Je moet een gegeven formule kunnen vergelijken met een algemene wiskundige formule. Je moet algebraïsch kunnen omschrijven, wat betekent dat je termen kunt verplaatsen, kwadrateren en worteltrekken aan beide zijden van een vergelijking, met behoud van de gelijkheid. Je moet ook nauwkeurig kunnen rekenen met decimalen en kwadraten.

Waar op letten: Je moet de algemene formule van een cirkel kennen en kunnen toepassen.
Je moet de gegeven formule voor y correct interpreteren als een deel van een cirkel.
Je moet algebraïsch correct kunnen omschrijven, inclusief kwadrateren en worteltrekken.
Let op de volgorde van bewerkingen bij het omschrijven van de formule.
Zorg ervoor dat je alle stappen duidelijk en logisch opschrijft om de 'aantonen' vraag te beantwoorden.

### Vraag 11 – Opgave 2

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een gegeven formule moet gebruiken om hoogtes te berekenen. Daarna bereken je het verschil tussen deze hoogtes en zet je de eenheid om.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een formule interpreteert en hoe je waarden invult om een uitkomst te krijgen. Ook moet je de relatie tussen meters en centimeters kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet de coördinaten van de relevante punten kunnen bepalen, deze coördinaten correct kunnen substitueren in de formule, en het resultaat nauwkeurig kunnen omrekenen naar de gevraagde eenheid.

Waar op letten: Lees goed welke punten je moet vergelijken: het beginpunt en het hoogste punt.
Controleer of je de juiste x-waarden gebruikt voor deze punten in de formule.
Let op de eenheden: de formule geeft waarschijnlijk meters, maar het antwoord moet in gehele centimeters.
Rond pas af in de allerlaatste stap naar het gevraagde aantal decimalen of gehele getal.

### Vraag 12 – Opgave 2

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een functie krijgt waarvan je de afgeleide moet bepalen. Vervolgens moet je een specifieke waarde invullen in deze afgeleide en de betekenis van het resultaat uitleggen in de context van de opgave.

Wat moet je kennen: Je moet de differentieerregels kennen, met name voor machtsfuncties. Je moet ook weten dat de afgeleide de helling van de raaklijn aan de grafiek op een bepaald punt weergeeft en dat dit de momentane verandering van de functie is.

Wat moet je kunnen: Je moet de afgeleide van een functie kunnen bepalen, een waarde kunnen invullen in de afgeleide functie en de praktische betekenis van de afgeleide kunnen formuleren in de context van de vraag.

Waar op letten: Zorg ervoor dat je de correcte regels voor differentiëren toepast op de gegeven functie.
Vergeet niet om de berekende waarde van x = -1,90 in de afgeleide functie in te vullen.
Rond je antwoord op de afgeleide correct af op het gevraagde aantal decimalen.
Leg duidelijk uit wat de praktische betekenis van de afgeleide is in de context van de vraag. Denk aan 'verandering per eenheid' of 'snelheid van verandering'.
Controleer of je de eenheden correct vermeldt bij de praktische betekenis.

### Vraag 13 – Opgave 2

Wat kun je verwachten: Je krijgt een context waarin een hoeveelheid exponentieel groeit. Je moet de groeifactor berekenen op basis van twee meetpunten en vervolgens voorspellen wanneer een bepaalde drempelwaarde wordt bereikt.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat exponentiële groei inhoudt en hoe je de formule N(t) = N(0) * g^t toepast. Ook moet je bekend zijn met het oplossen van exponentiële vergelijkingen, eventueel met behulp van logaritmes of de grafische rekenmachine.

Wat moet je kunnen: Je moet een groeifactor per tijdseenheid kunnen berekenen uit twee gegeven data en bijbehorende waarden. Je moet een exponentiële vergelijking kunnen opstellen en oplossen om de tijd te vinden waarop een bepaalde waarde wordt bereikt. Je moet ook de context correct kunnen interpreteren, zoals het omrekenen van miljoenen naar miljarden.

Waar op letten: Zorg ervoor dat je de juiste startwaarde en eindwaarde gebruikt voor het berekenen van de groeifactor.
Let goed op de tijdsduur tussen de twee meetpunten (2009 en 2016) voor het berekenen van de groeifactor per jaar.
Converteer alle bedragen naar dezelfde eenheid (bijvoorbeeld miljoenen dollars) voordat je gaat rekenen. 1 miljard dollar is 1000 miljoen dollar.
Rond de groeifactor niet te vroeg af; gebruik voldoende decimalen of sla deze op in je GR.
Het antwoord moet een jaartal zijn, dus rond je uiteindelijke berekende tijd correct af naar boven om het jaar te vinden waarin de 1 miljard dollar wordt overschreden.

### Vraag 14 – Opgave 2

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een vraag krijgt waarbij je het aantal manieren moet berekenen om een selectie te maken uit verschillende groepen, zonder dat de volgorde van de selectie belangrijk is.

Wat moet je kennen: Je moet het verschil kennen tussen combinaties en permutaties en weten wanneer je welke methode toepast. Ook moet je de vermenigvuldigingsregel voor onafhankelijke keuzes kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet de nCr-functie op je grafische rekenmachine kunnen gebruiken. Je moet ook in staat zijn om de verschillende onderdelen van de vraag te herkennen en deze correct te combineren tot één eindberekening.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen 'combinaties' (volgorde maakt niet uit) en 'permutaties' (volgorde maakt wel uit). De vraag 'verschillende samenstellingen' duidt op combinaties.
Identificeer voor elke rol (aanvaller, verdediger, ondersteunend) het totale aantal beschikbare helden (n) en het aantal helden dat je moet kiezen (r).
Onthoud dat je de resultaten van de afzonderlijke keuzes (voor aanvallers, verdedigers, ondersteunende helden) met elkaar moet vermenigvuldigen om het totale aantal samenstellingen te vinden.
Controleer of je alle onderdelen van de vraag hebt meegenomen in je berekening.
Het antwoord moet een geheel getal zijn, aangezien het gaat om aantallen samenstellingen.

### Vraag 15 – Opgave 2

Wat kun je verwachten: Je kunt een vraag verwachten waarbij je een aantal objecten (helden) moet verdelen over verschillende categorieën (zones/rollen) onder bepaalde voorwaarden. Dit vereist een systematische aanpak van combinatoriek.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van combinatoriek kennen, met name hoe je systematisch alle mogelijke verdelingen kunt vinden wanneer de volgorde niet van belang is en er restricties zijn.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om een complex telprobleem op te splitsen in kleinere, overzichtelijke stappen. Je moet een methode kunnen kiezen (bijvoorbeeld door alle mogelijkheden op te schrijven of door een slimme redenering te volgen) om tot het juiste aantal verdelingen te komen.

Waar op letten: Je moet goed begrijpen dat de helden zelf niet van belang zijn (het gaat om de aantallen per zone/rol), maar de rollen/zones wel onderscheidend zijn.
Je moet de voorwaarde 'ten minste één held in elke van de drie zones (Noord, Midden, Zuid)' correct toepassen.
Je moet systematisch te werk gaan om geen verdelingen te missen of dubbel te tellen.
Je moet controleren of de som van de helden in elke verdeling altijd vijf is.
Je moet de vier rollen (Noord, Midden, Zuid, zwervend) meenemen in je overwegingen.

### Vraag 16 – Opgave 2

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule die een situatie modelleert en je moet een specifieke waarde berekenen door de formule gelijk te stellen aan een gegeven getal. Dit is een typische toepassing van exponentiële of logaritmische modellen.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van exponentiële en logaritmische functies kennen. Je moet ook weten hoe je een vergelijking met een onbekende in de exponent oplost, zowel algebraïsch met logaritmen als grafisch met je grafische rekenmachine.

Wat moet je kunnen: Je moet een gegeven formule kunnen gebruiken om een onbekende variabele te berekenen. Je moet de stappen voor het oplossen van een exponentiële vergelijking kunnen toepassen. Ook moet je correct kunnen afronden naar een 'heel aantal dagen' in de context van de vraag.

Waar op letten: Zorg ervoor dat je de formule correct overneemt en interpreteert. Let op de variabelen en hun betekenis.
De vraag vraagt naar 'hele dagen'. Dit betekent dat je correct moet afronden, waarschijnlijk naar boven, omdat het bedrag 'na' een bepaald aantal dagen is bereikt.
Let op de eenheden: de 40 miljoen dollar moet mogelijk omgerekend worden naar de eenheid die in de formule wordt gebruikt (bijvoorbeeld in miljoenen of in dollars).
Je kunt de vergelijking algebraïsch oplossen met logaritmen, of grafisch met de GR. Kies de methode waar je het meest vertrouwd mee bent.
Controleer of je antwoord logisch is binnen de context van de vraag.

### Vraag 17 – Opgave 2

Wat kun je verwachten: Je zult een functie P(t) moeten differentiëren om de groeisnelheid te bepalen. Vervolgens bereken je de waarde van deze afgeleide op een specifiek tijdstip en vergelijkt dit met een gegeven waarde.

Wat moet je kennen: Je moet de differentieerregels kennen, inclusief de kettingregel. Ook moet je weten hoe je een afgeleide interpreteert als een momentane verandering of groeisnelheid. Daarnaast moet je begrijpen hoe je een datum omzet naar een variabele 't' in een wiskundig model.

Wat moet je kunnen: Je moet een gegeven functie kunnen differentiëren. Je moet de afgeleide kunnen evalueren voor een specifieke t-waarde. Je moet een verhouding kunnen berekenen tussen twee getallen en het resultaat correct kunnen afronden.

Waar op letten: Zorg dat je de datum '30 juni' correct omzet naar de bijbehorende t-waarde voor de functie P(t).
Vergeet niet de kettingregel toe te passen bij het differentiëren van de functie P(t).
De afgeleide P'(t) geeft de momentane verandering (groeisnelheid) op tijdstip t weer. Dit is de 'verwachte toename'.
Let op de eenheden: de prijzenpot is in miljoenen dollars, dus zorg dat je consistent bent in je berekeningen.
Rond pas af op een geheel getal bij de allerlaatste stap van je berekening.

### Vraag 18 – Opgave 2

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een bedrag uit een basisjaar moet omrekenen naar een ander jaar met behulp van indexcijfers of inflatiepercentages. Daarna bereken je een procentuele verandering.

Wat moet je kennen: Je moet de begrippen 'inflatie', 'indexcijfer', 'groeifactor' en 'reële stijging' kennen. Ook moet je weten hoe je een procentuele verandering berekent en hoe je indexcijfers gebruikt om bedragen te corrigeren voor inflatie.

Wat moet je kunnen: Je moet een bedrag uit een bepaald jaar kunnen omrekenen naar een ander jaar met behulp van indexcijfers. Je moet de groeifactor kunnen bepalen uit een percentage en andersom. Tot slot moet je een reële procentuele stijging kunnen berekenen door de inflatie te elimineren uit de nominale stijging.

Waar op letten: Zorg dat je de juiste indexcijfers of inflatiepercentages voor de jaren 1970 en 2013 gebruikt. Deze moeten waarschijnlijk uit een bijgevoegde tabel of grafiek gehaald worden.
Let goed op het verschil tussen nominale en reële waarden. De reële stijging is de stijging ná correctie voor inflatie.
Reken percentages correct om naar groeifactoren (bijvoorbeeld 5% wordt 1.05).
Rond pas af in de allerlaatste stap naar één decimaal, zoals gevraagd.
Controleer of je de stijging per jaar of over de hele periode berekent, afhankelijk van wat de vraag precies vraagt (hier: 'de reële gemiddelde huurstijging' impliceert over de hele periode, maar de formulering kan soms verwarrend zijn).

### Vraag 19 – Opgave 2

Wat kun je verwachten: Je krijgt een situatie voorgelegd waarin een bepaalde grootheid (huurlast) exponentieel groeit. Je moet bepalen wanneer deze grootheid een specifieke drempelwaarde overschrijdt.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een exponentiële groeifunctie kennen (N(t) = N(0) * g^t). Je moet ook weten hoe je een groeifactor berekent uit een percentage en hoe je een exponentiële vergelijking oplost met behulp van logaritmen of de grafische rekenmachine.

Wat moet je kunnen: Je moet een exponentiële groeifunctie kunnen opstellen op basis van de gegeven informatie. Je moet een vergelijking kunnen opstellen waarin je de huurlast gelijkstelt aan 25% en deze vergelijking vervolgens oplossen. Dit kun je doen door logaritmen toe te passen of door de grafieken van de functies in je GR te plotten en het snijpunt te bepalen, of door de tabel te gebruiken.

Waar op letten: Zet het percentage van 25% om naar een decimaal getal (0.25) voordat je het in een formule gebruikt.
Identificeer de beginwaarde en de groeifactor per jaar uit de context of gegeven formule.
Let goed op de eenheid van tijd (meestal jaren) en hoe deze zich verhoudt tot de groeifactor.
Rond pas af in de allerlaatste stap; het antwoord moet een jaartal zijn.
Controleer of je antwoord logisch is door het in de context te plaatsen (is de huurlast in dat jaar inderdaad voor het eerst groter dan 25%?).

### Vraag 20 – Opgave 2

Waar op letten: Let goed op de definitie van 'sneller stijgen': kijk naar de absolute toename in procentpunten over gelijke tijdsintervallen (of controleer of de punten op één rechte lijn liggen).
Bedenk wat 'huurlast' betekent: dit is het deel van het inkomen dat opgaat aan huur, oftewel de breuk (huur)/(inkomen).
Vergelijk voor uitspraak 2 de verandering van de teller (huur) met de noemer (inkomen) in het gevraagde tijdsinterval 1990–2000.
Sluit je redenering bij beide onderdelen altijd expliciet af met de conclusie 'waar' of 'niet waar'.

### Vraag 21 – Opgave 2

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je gegevens uit twee verschillende bronnen (een tabel en een staafdiagram) moet combineren. Je zult moeten rekenen met inkomens en inkomensverschillen om uiteindelijk een spreidingsmaat (S) te berekenen voor zowel het primaire als het secundaire inkomen, en deze te vergelijken.

Wat moet je kennen: Je moet de definitie van 'S' kennen, wat in de context van Wiskunde A VWO meestal de standaardafwijking is. Je moet ook weten hoe je een gemiddelde berekent en hoe je de standaardafwijking van een dataset berekent. Daarnaast moet je begrijpen hoe je percentages of absolute bedragen uit een tabel en een grafiek interpreteert en combineert.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig gegevens kunnen aflezen uit zowel een tabel als een staafdiagram. Je moet in staat zijn om met deze gegevens het secundaire inkomen per groep te berekenen. Vervolgens moet je de standaardafwijking (S) voor zowel het primaire als het secundaire inkomen kunnen berekenen en deze twee waarden met elkaar kunnen vergelijken om de vraag te beantwoorden.

Waar op letten: Let goed op de eenheden: de tabel geeft inkomens in euro's, de figuur geeft verschillen in euro's. Zorg dat je consistent rekent.
De vraag vraagt naar 'S', wat in deze context waarschijnlijk de standaardafwijking of een vergelijkbare spreidingsmaat is. Zorg dat je de juiste formule voor S gebruikt, zoals die in de context van de vraag of eerdere vragen is gedefinieerd (vaak de standaardafwijking van de steekproef of populatie).
Lees de waarden uit de figuur nauwkeurig af. Schat waar nodig, maar probeer zo precies mogelijk te zijn.
Vergeet niet dat het verschil 'secundair min primair' zowel positief als negatief kan zijn, wat invloed heeft op de berekening van het secundair inkomen.
Rond pas af in de allerlaatste stap om afrondingsfouten te voorkomen.

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2021
tijd vak 1
maandag 17 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 21 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 82 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1024-a-21-1-o

### Pagina 2

OVERZICHT FORMULES

Differentiëren

naam van de regel | functie | afgeleide
---|---|---
somregel | $s(x) = f(x) + g(x)$ | $s'(x) = f'(x) + g'(x)$
verschilregel | $s(x) = f(x) - g(x)$ | $s'(x) = f'(x) - g'(x)$
productregel | $p(x) = f(x) \cdot g(x)$ | $p'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
quotiëntregel | $q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ | $q'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$
kettingregel | $k(x) = f(g(x))$ | $k'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ of $$ \frac{dk}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx} $$

Logaritmen

regel | voorwaarde
---|---
$^g \log(a) + ^g \log(b) = ^g \log(ab)$ | $g>0, g \neq 1, a>0, b>0$
$^g \log(a) - ^g \log(b) = ^g \log(\frac{a}{b})$ | $g>0, g \neq 1, a>0, b>0$
$^g \log(a^p) = p \cdot ^g \log(a)$ | $g>0, g \neq 1, a>0$
$^g \log(a) = \frac{^p \log(a)}{^p \log(g)}$ | $g>0, g \neq 1, a>0, p>0, p \neq 1$

VW-1024-a-21-1-o 2 / 19 lees verder ►►►

### Pagina 3

Ga verder op de volgende pagina.
VW-1024-a-21-1-o
3 / 19
lees verder ► ► ►

### Pagina 4

Linkshandigen en ronde getallen

Onderzoek uit 2013 heeft uitgewezen dat linkshandigen eerder geneigd zijn ronde getallen te kiezen dan rechtshandigen. Deelnemers aan het onderzoek kregen elk 60 vragen voorgelegd, waarop het antwoord een geheel getal is.
De vragen waren bijvoorbeeld:
— Hoeveel knopen heb je in je klerenkast?
— Hoeveel diersoorten kun je noemen?
— Hoeveel eieren heb je vorig jaar gegeten?

Bij het onderzoek werd alleen gekeken naar de vragen waarop een antwoord werd gegeven vanaf 20 tot en met 1000. Linkshandigen bleken vaker een rond getal als antwoord te geven dan rechtshandigen.

Wat is eigenlijk een rond getal? Een rond getal is een getal dat eindigt op één of meer nullen, dus bijvoorbeeld 20 of 300. Maar is 100 een rond getal dan bijvoorbeeld 1000? En hoe zit het dan met getallen die niet op een nul eindigen, maar wel ‘mooi’ zijn, zoals bijvoorbeeld 25?

Om de rondheid van getallen te bepalen, gebruikten de onderzoekers de definitie van Sigurd. Deze definitie zegt dat de rondheid van een getal ervan afhangt of het getal een veelvoud is van machten van 10, of van helften of kwarten van machten van 10.
De rondheid $R$ wordt voor de getallen ($n$) vanaf 20 tot en met 1000 dan als volgt berekend:
$$R(n) = \frac{1000}{n} + \frac{100}{n} + \frac{10}{n} + \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{500}{n} + \frac{50}{n} + \frac{5}{n} \right) + \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{250}{n} + \frac{25}{n} \right)$$
Elke term $\frac{\text{cijfer}}{n}$ telt alleen mee als $n$ een veelvoud is van de teller is.
We spreken af dat getallen $n$ ronder zijn, naarmate $R(n)$ hoger is.

Zo geldt bijvoorbeeld voor het getal 600:
$$R(600) = \frac{1000}{600} + \frac{100}{600} + \frac{10}{600} + \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{500}{600} + \frac{50}{600} + \frac{5}{600} \right) + \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{250}{600} + \frac{25}{600} \right) \approx 0,24$$
4p 1 Onderzoek met behulp van de formule welke van de twee getallen 750 en 600 het rondst is.

VW-1024-a-21-1-o
4 / 19
lees verder ►►►

### Pagina 5

De rondheid van 1000 is groter dan die van 500. Het is echter niet zo dat
600 ook ronder is dan 500. Sterker nog, voor alle honderdtallen tussen
500 en 1000 geldt dat de rondheid ervan steeds kleiner wordt.
Je kunt dat beredeneren door de formule te herschrijven tot een formule
die alleen voor honderdtallen tussen 500 en 1000 geldt. Dat kan worden
gedaan met behulp van de substitutie $n = 100p$ (met $p$ de gehele getallen
6 tot en met 9) en daarna de formule te herleiden tot
$$R = \frac{23}{16p}.$$
4p 2 Toon dit aan en beredeneer vervolgens aan de hand van deze formule,
zonder getallen in te vullen of een schets te maken, dat de rondheid van de
honderdtallen tussen 500 en 1000 steeds kleiner wordt.
Er waren 200 deelnemers aan het onderzoek, die elk 60 vragen kregen
voorgelegd. 1,3% van de gegeven antwoorden was een getal boven de
1000. Na het wegstrepen van deze antwoorden, en het wegstrepen van
de antwoorden beneden de 20, bleven er 3412 antwoorden over die
waren gegeven door linkshandigen, en 4329 die waren gegeven door
rechtshandigen.
4p 3 Bereken het percentage gegeven antwoorden beneden de 20. Geef je
antwoord in één decimaal.

VW-1024-a-21-1-o 5 / 19 lees verder ► ► ►

### Pagina 6

In onderstaande figuur staat een overzicht van de gegeven antwoorden
door de links- en rechtshandigen. Van de 3412 antwoorden van de
linkshandigen was 6,7% het getal 20. Van de 4329 gegeven antwoorden
van de rechtshandigen was dit percentage 5,7. Het verschil tussen deze
twee percentages is 1. In de figuur zie je daarom bij het getal 20 een stip
staan op een hoogte van 1%.

figuur

[FIGUUR: Scatterplot met op de x-as het aantal antwoorden (n) op een logaritmische schaal van 20 tot 1000, en op de y-as het verschil tussen linkshandigen en rechtshandigen in procenten, van -1% tot 1%. De datapunten zijn cirkels die zich voornamelijk rond de 0% lijn bevinden, met een aantal uitschieters. Vertikale lijnen geven waarden op de x-as aan.]

De horizontale as heeft een logaritmische schaalverdeling.
In de figuur is het volgende zichtbaar gemaakt: hoe dikker de verticale
streep bij een getal, hoe ronder dat getal.
Veel ronde getallen worden procentueel vaker genoemd door
linkshandigen dan door rechtshandigen.

4p 4 Het antwoord 100 werd 276 maal gegeven door de linkshandigen.
Bereken hoe vaak het antwoord 100 gegeven werd door de
rechtshandigen.

We geven twee uitspraken:
1 Naarmate getallen groter worden, worden ze minder vaak gekozen.
2 Grote getallen worden procentueel bijna even vaak door de
linkshandigen als door de rechtshandigen als antwoord gegeven.
4p 5 Leg voor elk van deze uitspraken uit of deze wel of niet uit de figuur volgt.

VW-1024-a-21-1-o 6 / 19 lees verder ►►►

### Pagina 7

Ga verder op de volgende pagina.
VW-1024-a-21-1-0 7 / 19 lees verder ► ► ►

### Pagina 8

Draaiend huis

Op de Hasseltrotonde in Tilburg staat een huis. Eigenlijk is 'staat' niet het
goede woord, want het huis beweegt: het draait in het rond. Het gevolg is
dat elke keer dat je langs de rotonde rijdt, het huis op een andere plaats
kan staan. Het is een kunstproject, ontworpen door John Körmeling.
Zie foto 1 en foto 2 hieronder.

foto 1
[FIGUUR: Foto van een huis naast een rotonde.]

foto 2
[FIGUUR: Luchtfoto van een rotonde met veel verkeer.]

Het huis legt in 20 uur één ronde af, zodat je, als je de rotonde elke dag
op hetzelfde tijdstip passeert, het huis geen twee opeenvolgende dagen
op dezelfde plaats ziet.

Op een maandag staat het huis om acht uur 's morgens (08.00 uur)
precies aan de oostkant van de rotonde. Voor het vervolg van de opgave
is dit $t = 0$. In figuur 1 is een overzicht van de situatie te zien. Het huis is
in figuur 1 weergegeven als vierkantje en bevindt zich in punt O.

figuur 1
[FIGUUR: Cirkeldiagram met de windstreken west, noord, oost en zuid. De positie van het huis is aangegeven met een vierkantje op de oostelijke as. Er staat een pijl die een draaiende beweging aangeeft.]

Het huis draait met de rijrichting van het verkeer mee.

3p 6 Geef in de figuur op de uitwerkbijlage de plaats aan waar het huis zich op
diezelfde maandag om 20.30 uur bevindt. Licht je antwoord toe.

VW-1024-a-21-1-o 8 / 19 lees verder ► ► ►


### Pagina 9

3p 7 Bereken hoeveel hele weken na tijdstip $t = 0$ het huis zich voor het eerst
weer om 08.00 uur op maandag in punt O bevindt.
De straal van de cirkel waarover het huis beweegt, is 30 meter.
De afstand $A$ in meters van het huis tot de west-oost-as gedurende een
rondgang over de rotonde kan worden weergegeven met de formule
$A = 30 \cdot \sin(\frac{\pi}{10} \cdot t)$, met $t$ de tijd in uren, en $t = 0$ op het moment dat het huis
in O is. Hierbij worden afstanden onder de west-oost-as als negatieve
getallen weergegeven.
Je kunt de formule ook zó schrijven dat het beginpunt ($t=0$) in het
noorden, in punt N ligt. De formule heeft dan de volgende vorm:
$y = 30 \cdot \sin(\frac{\pi}{10} \cdot (t-d))$
3p 8 Bereken de waarde van $d$.
In figuur 2 zie je de vetgemaakte cirkeldelen waar het huis zich
minder dan 15 meter van de west-oost-as bevindt.
figuur 2
[FIGUUR: Een cirkel met de west-oost-as als horizontale middellijn. Het punt N bevindt zich aan de bovenkant van de cirkel, boven het middelpunt O. De afstand van O tot N is 30 meter. De west-oost-as loopt van links (west) naar rechts (oost). Een deel van de cirkel, aan de bovenkant, is vetgedrukt. Een verticale lijn vanaf de west-oost-as naar het vetgedrukte deel van de cirkel is 15 meter lang.]
west
N
15 m
O
oost
W
Z
4p 9 Bereken met behulp van de formule $A = 30 \cdot \sin(\frac{\pi}{10} \cdot t)$ hoeveel procent van
de tijd het huis zich minder dan 15 meter van de west-oost-as bevindt.
Geef je antwoord in gehele procenten.
VW-1024-a-21-1-o 9 / 19 lees verder 

### Pagina 10

Mathematical Bridge

foto 1 foto 2

Op foto 1 zie je de Mathematical Bridge, een houten brug in Cambridge.
Deze brug werd in 1748 ontworpen door William Etheridge.
Als je goed kijkt naar de brug, dan zie je dat deze bestaat uit een aantal
balken die een denkbeeldige boog (gevormd door de onderkant van de
brug) raken. Zie foto 2.
We maken van deze brug een wiskundig model. De onderkant van de
brug is 12,19 m breed en deze onderkant beschouwen we als een deel
van een cirkel met straal 9,75 m. Zie de figuur, waarin de maten gegeven
zijn in meters. De standaardformule voor een cirkel met middelpunt (0,0)
en straal $r$ is $x^2 + y^2 = r^2$.

figuur
[FIGUUR: Een cirkelboog met een breedte van 12,19 en een straal van 9,75,
met de oorsprong (0,0) aangegeven. Er zijn segmenten van de boog
zichtbaar.]

Wanneer we de oorsprong $O$ kiezen zoals in de figuur aangegeven, dan
geldt voor de hoogte van de onderkant van de brug:
$y = \sqrt{95,0625 - x^2}$
Hierbij zijn $x$ en $y$ in meters.

3p 10 Toon aan dat de formule $y = \sqrt{95,0625 - x^2}$ inderdaad past bij dit model.

VW-1024-a-21-1-o
10 / 19 lees verder ►►►

### Pagina 11

Er varen veel bootjes onder de brug door. Het is daarom belangrijk om te weten hoe hoog de onderkant van de brug op bepaalde punten is ten opzichte van de waterspiegel.

3p 11 Bereken het hoogteverschil tussen het beginpunt en het hoogste punt van de onderkant van de brug. Geef je antwoord in gehele cm.

Op foto 3 zie je een raaklijn die ongeveer gelijk loopt met het begin van het looppad van de brug. Deze raaklijn raakt de cirkel in het punt $(-1.90; 9.56)$. Zowel dit punt als het beginpunt van de raaklijn is in de foto aangegeven.

foto 3
[FIGUUR: Foto van een brug met een cirkelvormige boog. Er zijn twee punten gemarkeerd: 'beginpunt' en een punt met de coördinaten (-1.90; 9.56).]

4p 12 Bereken met behulp van de formule van de afgeleide de waarde van $y'(-1,90)$ en leg uit wat de praktische betekenis van deze waarde is.

VW-1024-a-21-1-o 11 / 19 lees verder ► ► ►

### Pagina 12

The International

Electronic Sports, afgekort E-Sports, is de term die wordt gebruikt voor
het competitief spelen van computerspellen. Hoewel het tegen andere
spelers spelen van computerspellen al bijna net zo lang bestaat als de
spellen zelf, wordt algemeen aangenomen dat E-Sports bestaat sinds
1998. Dat is namelijk het jaar dat er voor het eerst een officieel E-Sports-
toernooi gehouden werd waarbij geldprijzen te winnen waren.

In 1998 was er in totaal zo’n 100 000 dollar te verdienen door de spelers.
Sinds dat jaar is E-Sports uitgegroeid tot een internationaal fenomeen.
In 2016 streden tienduizenden spelers in zo’n honderd verschillende
spellen om een totale prijzenpot van ruim 95 miljoen dollar.

In figuur 1 is de ontwikkeling weergegeven van het totale prijzengeld dat
in E-Sports omgaat.

figuur 1

[FIGUUR: Lijn grafiek met op de horizontale as de jaren 1998 tot en met 2016, en op de verticale as het totale prijzengeld in miljoenen dollars, oplopend van 0 tot 100. De lijn begint bij een laag punt in 1998 en stijgt langzaam tot 2010, waarna de stijging exponentieel toeneemt.]

De totale prijzenpot nam van 2009 tot en met 2016 toe van 3,7 miljoen tot
95,1 miljoen dollar. Als we ervan uitgaan dat deze groei exponentieel was
en ook na 2016 exponentieel doorzet, dan zal het totale prijzengeld
binnen enkele jaren tot boven de 1 miljard dollar stijgen.

4p 13 Bereken met behulp van de gegevens uit 2009 en 2016 in welk jaar dat
het geval zal zijn.

VW-1024-a-21-1-o 12 / 19 lees verder ►►►

### Pagina 13

Bijna de helft van het totale prijzengeld in E-Sports wordt gewonnen door spelers van één bepaald spel. Dit spel wordt gespeeld door twee teams van elk vijf spelers, waarbij elk van de spelers een eigen held bestuurt. De spelers proberen met hulp van door de computer bestuurde troepen het gebied van de tegenstander te veroveren.

Er zijn bij dit spel 112 verschillende helden, die worden onderverdeeld in drie categorieën; er zijn 49 aanvallers, 27 verdedigers en de overige helden zijn ondersteunende helden.

Aan het begin van het spel kiezen de teams volgens een gecompliceerd systeem beurtelings hun helden. Iedere held kan hierbij slechts één keer gekozen worden.

Het is gebruikelijk dat een team bestaat uit twee aanvallers, één verdediger en twee ondersteunende helden.
4p 14 Bereken hoeveel verschillende samenstellingen er mogelijk zijn van twee aanvallers, één verdediger en twee ondersteunende helden.

In elk team zitten vijf helden. Het spelgebied waarop de teams elkaar bestrijden kan globaal worden ingedeeld in drie zones: Noord, Midden en Zuid. Een held kan van rol krijgen in een van deze drie zones. Bovendien bestaat er de mogelijkheid om een held tussen de zones te laten wisselen; we noemen dat een zwervende held. Er zijn dus eigenlijk vier mogelijke rollen voor een held: Noord, Midden, Zuid en zwervend.

Teams kiezen er altijd voor om in elk van de drie zones ten minste één held te plaatsen. Een mogelijke verdeling van de aanvallers helden is dan bijvoorbeeld: 1 held in Noord, 1 held in Midden, 2 helden in Zuid en 1 zwervende held. We gaan er hierbij vanuit dat het niet van belang is welke held in welke zone aanwezig is.

4p 15 Bereken hoeveel van zulke verdelingen er voor één team mogelijk zijn als elk van de zones Noord, Midden en Zuid ten minste één held moet bevatten.

Voor het spel worden gedurende het jaar diverse toernooien met uiteenlopende geldprijzen gehouden, maar het belangrijkste toernooi is The International, dat jaarlijks in augustus gehouden wordt. Teams uit alle delen van de wereld proberen via kwalificatietoernooien een van de zestien deelnamebewijzen te bemachtigen. En met een goede reden: in 2016 was de prijzenpot voor The International ruim 20 miljoen dollar.

VW-1024-a-21-1-o 13 / 19 lees verder ►►►

### Pagina 14

Dat het prijzengeld zo hoog is bij The International komt doordat het toernooi crowdfunded is. Dat wil zeggen: spelers van het spel kunnen gedurende een periode voorafgaand aan het toernooi bijdragen aan de prijzenpot.

Het verloop van de hoogte van de prijzenpot voor The International 2016 staat in figuur 2.

figuur 2
bedrag 22 500 000
(in dollars)
20 000 000
17 500 000
15 000 000
12 500 000
10 000 000
7 500 000
5 000 000
2 500 000
0
23 mei
6 jun
20 jun
4 jul
18 jul
1 aug
15 aug
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as het bedrag in dollars (van 0 tot 22 500 000) en op de x-as de datum (van 23 mei tot 15 aug). De grafiek toont een oplopende lijn die aangeeft hoe de prijzenpot groeit.]

De totale prijzenpot voor The International 2016 was als volgt opgebouwd:
- De organisatie van het toernooi, in dit geval de ontwikkelaar van het spel, legde een bepaald startbedrag in de prijzenpot.
- De ontwikkelaar gaf de spelers van het spel vanaf 16 mei de mogelijkheid om virtuele voorwerpen te kopen die zij in het spel konden gebruiken. Van de opbrengsten daarvan werd 25% aan de prijzenpot toegevoegd.

De grafiek in figuur 2 kan redelijk worden benaderd met de volgende formule:
$$P = 8,157 \cdot \ln(0,1(t+10)) + 1,6$$
In deze formule is $P$ het totale prijzengeld in miljoenen dollars en $t$ de tijd in dagen met $t = 0$ op 16 mei 2016.

VW-1024-a-21-1-o
14 / 19
lees verder

### Pagina 15

Volgens een website die verslag doet van E-Sports-toernooien hadden spelers binnen een maand 40 miljoen dollar uitgegeven aan virtuele voorwerpen.

4p 16 Bereken met behulp van de formule voor $P$ na hoeveel hele dagen dat het geval was.

In de grafiek in figuur 2 is goed te zien dat de toename van de totale prijzenpot niet regelmatig verliep. Dat kwam doordat de ontwikkelaar af en toe met speciale acties kwam om spelers te verleiden extra voorwerpen te kopen.

Een van die acties was bijvoorbeeld op 30 juni. Op die dag groeide de prijzenpot met 1,125 miljoen dollar. Dat is een veel sterkere toename dan je op basis van de afgeleide van $P$ mag verwachten.

5p 17 Bereken met behulp van differentiëren hoeveel keer zo groot de toename op 30 juni was dan je op basis van de afgeleide van $P$ had mogen verwachten. Geef je antwoord als een geheel getal.

VW-1024-a-21-1-o 15 / 19 lees verder ‣‣‣

### Pagina 16

Huurprijzen in New York
New York is al decennialang een van de populairste steden ter wereld om te wonen met als gevolg dat de gemiddelde prijs van huurwoningen er explosief gestegen is. In 1970 bedroeg de gemiddelde huur van een woning in New York $ 125 per maand. In 2013 was dat gestegen tot $ 917 per maand. Dat is een toename van ruim 600%. Zo’n vergelijking is echter niet helemaal eerlijk, want dat zegt niets over de waarde van geld verandert ook. Dat heet inflatie. Sinds 1970 bedroeg de gemiddelde inflatie per jaar 3,95%. We gaan ervan uit dat sinds 1970 de huurprijzen, onafhankelijk van andere factoren, jaarlijks door de inflatie 3,95% gestegen zijn.
Door de $ 125 uit 1970 om te rekenen naar dollars uit 2013 kan je de reële gemiddelde huurstijging berekenen. De reële gemiddelde huurstijging is de procentuele stijging van de gemiddelde huurprijzen boven op de stijging als gevolg van de inflatie.
3p 18 Bereken de reële gemiddelde huurstijging. Geef je antwoord in één decimaal.

In het vervolg van deze opgave zijn alle genoemde bedragen, getallen en percentages berekend met de naar 2013-dollars omgerekende bedragen. Je hoeft dus zelf geen rekening te houden met inflatie.
Verder spreken we in het vervolg van deze opgave over inkomen, huurprijs en huurlast, terwijl daar gemiddeld inkomen, gemiddelde huurprijs en gemiddelde huurlast bedoeld wordt.

Een belangrijke maatstaf om de betaalbaarheid van huurwoningen te onderzoeken is het percentage van het inkomen dat besteed wordt aan het betalen van de huur: de huurlast.
In 1960 bedroeg de huurprijs in New York $ 561 en was de huurlast 15%.
Doordat de huurprijzen sneller stijgen dan de inkomen, neemt de huurlast steeds verder toe: van 15% in 1960 tot 21% in 2013. Een
4p 19	economoom beweert dat er zich grote problemen zullen gaan voordoen als
de huurlast boven de 25% uitkomt. De econoom gaat ervan uit dat de
huurlast exponentieel is toegenomen sinds 1960 en dat die exponentiële
stijging zich ook na 2013 voortzet.
Bereken in welk jaar de huurlast volgens deze veronderstelling voor het eerst groter is dan 25%.

VW-1024-a-21-1-o
16 / 19
lees verder

### Pagina 17

In de figuur hieronder is het werkelijke verloop van de huurprijs in New
York en van het inkomen van zijn inwoners als percentage van de
bedragen in 1960 uitgezet tegen de tijd.

figuur
[FIGUUR: Lijn-grafiek met op de y-as de percentageverandering ten opzichte van 1960 (100% tot 170%) en op de x-as de tijd (1960 tot 2010). Er zijn twee lijnen: een gestippelde lijn met bolletjes die de 'huurprijs' weergeeft en een doorgetrokken lijn met bolletjes die 'inkomen' weergeeft.]

Hieronder staan twee uitspraken die gaan over de gegevens in de figuur:
1 In de periode 1960–1980 steeg de huurprijs sneller dan in de periode
1980–2000.
2 In de periode 1990–2000 daalde de huurlast.

4p 20 Leg voor elk van deze uitspraken uit of deze waar is of niet.

VW-1024-a-21-1-o 17 / 19 lees verder ►►►

### Pagina 18

Inkomensongelijkheid

Het primair inkomen van een huishouden bestaat uit de som van alle bruto inkomens uit werk en vermogen van alle personen uit dat huishouden. Als in een huishouden niemand betaald werk heeft of over vermogen beschikt, dan is het primair inkomen van dit huishouden gelijk aan nul.

Het totale primair inkomen van alle huishoudens in Nederland in 2014 was 376,3 miljard euro. Er waren toen in totaal 7,8 miljoen huishoudens en 16,7 miljoen personen.

In de tabel zijn alle huishoudens op basis van hun primair inkomen gerangschikt en verdeeld in tien groepen die elk ongeveer evenveel huishoudens bevatten. De eerste groep bevat de huishoudens met de laagste primaire inkomens en de tiende groep bevat die met de hoogste primaire inkomens.

tabel
[FIGUUR: Tabel met 3 rijen en 11 kolommen. De eerste kolom bevat de labels 'aandeel primair inkomen (%)', 'aantal huishoudens (x 1000)' en 'aantal personen (x 1000)'. De andere 10 kolommen vertegenwoordigen groepen, met bovenaan de nummers 1 tot en met 10. De eerste rij bevat onder deze nummers de waarden 0, 1, 3, 5, 8, 12, 16, 20, 35. De tweede rij bevat de waarden 784, 769, 776, 777, 777, 777, 777, 777, 776. De derde rij bevat de waarden 1138, 1041, 1234, 1330, 1466, 1597, 1851, 2155, 2381, 2535.]

In de tabel kun je bijvoorbeeld zien dat de groep met de hoogste primaire inkomens 776 000 huishoudens bevat en uit 2 535 000 personen bestaat. Van het totale primair inkomen van 376,3 miljard euro is 35% van deze groep. Dit is 131,705 miljard euro.

De mate van inkomensongelijkheid tussen personen wordt weergegeven door $S$. We definiëren $S$ als volgt:
$S$ is het gemiddeld inkomen per persoon in de tiende groep min het gemiddeld inkomen per persoon in de eerste groep.

Je kunt met de bovenstaande gegevens berekenen dat $S$ bij het primair inkomen ongeveer 51 955 euro is.

VW-1024-a-21-1-o 18 / 19 lees verder ►►►

### Pagina 19

Door uitkeringen te geven en belastingen te heffen, verkleint de
Nederlandse overheid de inkomensongelijkheid.
Als we bij het primair inkomen van een huishouden alle ontvangen
uitkeringen optellen en alle betaalde belastingen eraf halen, krijgen we
het secundair inkomen van het huishouden.
In de figuur staat voor dezelfde tien groepen huishoudens als in de tabel
het verschil tussen het secundair en primair inkomen per huishouden.

figuur
secundair inkomen min primair inkomen per huishouden
[FIGUUR: Een staafdiagram dat het verschil tussen secundair en primair inkomen per huishouden weergeeft. De x-as vertegenwoordigt 10 groepen huishoudens, genummerd van 1 tot 10. De y-as vertegenwoordigt het verschil in euro's (x 1000). De staven voor groepen 1-5 zijn positief, oplopend van +15 tot +18. De staven voor groepen 6-10 zijn negatief, variërend van +4 tot -76.]

In de figuur kun je bijvoorbeeld zien dat het secundair inkomen per
huishouden in de eerste vijf groepen hoger is dan het primair inkomen.
Er is dan een hoger bedrag aan uitkeringen ontvangen dan er aan
belasting is betaald.

Door de uitkeringen en belastingen zal S bij het secundair inkomen kleiner
zijn dan bij het primair inkomen.
7p 21 Onderzoek of S in 2014 bij het secundair inkomen meer of minder dan
30 000 euro lager is dan bij het primair inkomen.

VW-1024-a-21-1-o 19 / 19 einde ■
eiden.nl. Pagina: 341