# Eindexamen Wiskunde A VWO 2018 tijdvak 2 > Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2018/tijdvak-2 ## Vragen in dit examen ### Vraag 1 – Vraag ### Vraag 2 – Vraag ### Vraag 3 – Vraag ### Vraag 4 – Vraag ### Vraag 5 – Vraag ### Vraag 6 – Vraag ### Vraag 7 – Vraag ### Vraag 8 – Vraag ### Vraag 9 – Vraag ### Vraag 10 – Vraag ### Vraag 11 – Vraag ### Vraag 12 – Vraag ### Vraag 13 – Vraag ### Vraag 14 – Vraag ### Vraag 15 – Vraag ### Vraag 16 – Vraag ### Vraag 17 – Vraag ### Vraag 18 – Vraag ### Vraag 19 – Vraag ### Vraag 20 – Vraag ### Vraag 21 – Vraag ### Vraag 22 – Vraag ## Opgaven (tekst van het examen) ### Pagina 1 Examen VWO 2018 tijdvak 2 dinsdag 19 juni 13.30 - 16.30 uur wiskunde A Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 22 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden. Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt. Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. VW-1024-a-18-2-o ### Pagina 2 OVERZICHT FORMULES Differentiëren naam van de regel | functie | afgeleide ------- | -------- | -------- somregel | $s(x) = f(x) + g(x)$ | $s'(x) = f'(x) + g'(x)$ verschilregel | $s(x) = f(x) - g(x)$ | $s'(x) = f'(x) - g'(x)$ productregel | $p(x) = f(x) \cdot g(x)$ | $p'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$ quotiëntregel | $q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ | $q'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$ kettingregel | $k(x) = f(g(x))$ | $k'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ of $$ \frac{dk}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx} $$ Logaritmen regel | voorwaarde ------- | -------- $^g \log(a) + ^g \log(b) = ^g \log(ab)$ | $g>0, g \neq 1, a>0, b>0$ $^g \log(a) - ^g \log(b) = ^g \log(\frac{a}{b})$ | $g>0, g \neq 1, a>0, b>0$ $^g \log(a^p) = p \cdot ^g \log(a)$ | $g>0, g \neq 1, a>0$ $^g \log(a) = \frac{^p \log(a)}{^p \log(g)}$ | $g>0, g \neq 1, a>0, p \neq 1$ VW-1024-a-18-2-o | 2 / 14 | lees verder ► ► ► ### Pagina 3 Ga verder naar de volgende pagina. VW-1024-a-18-2-o 3 / 14 lees verder ► ► ► ### Pagina 4 Knab Knab is een tamelijk nieuwe bank, gestart in 2012 als onderdeel van Aegon. In het begin groeide Knab maar langzaam: eind 2013 had de bank nog maar 4500 klanten. Daarom besloot de bank in 2014 de zaken anders aan te pakken. Dit leverde direct resultaat op, want het aantal klanten is in 2014 tien keer zo groot geworden. Zie de figuur. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage. figuur [FIGUUR: Een staafdiagram met een curve erdoorheen. De horizontale as is de weeknummer en loopt van 1 tot 52. De verticale as is het aantal klanten en loopt van 0 tot 50000.] In de figuur zijn door middel van staven de aantallen klanten om de drie weken weergegeven. Bovendien is de grafiek getekend van een exponentieel model dat de werkelijke aantallen goed benadert. Het exponentiële model wordt gegeven door de formule: $N = 4500 \cdot e^{0.0463 \cdot t}$ Hierin is $t$ de tijd in weken sinds het begin van 2014 met $t = 0$ in week 1 en $N$ het aantal klanten. In week 43 lijkt het verschil tussen het aantal klanten volgens het model en het werkelijke aantal klanten het grootst. 3p 1 Bereken dit verschil in week 43. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage. Rond je antwoord af op honderdtallen. VW-1024-a-18-2-o 4 / 14 lees verder ▶►► ### Pagina 5 Zoals gezegd is het aantal klanten in het jaar 2014 vertienvoudigd. Dat lijikt inderdaad precies een jaar geduurd te hebben. 3p 2 Bereken met behulp van de formule het gehele aantal weken dat in het model nodig is voor een vertienvoudiging. De snelheid waarmee het aantal klanten per week groeit, kun je benaderen door de helling van de grafiek op het betreffende tijdstip te bepalen. 4p 3 Benader met behulp van de grafiek in de figuur op de uitwerkbijlage de snelheid waarmee het aantal klanten per week groeit in week 31 van 2014. Rond je antwoord af op honderdtallen. Je kunt de formule $N = 4500 \cdot e^{0,0463 \cdot t}$ zó herschrijven, dat bij een gegeven aantal klanten berekend wordt in welke week dat aantal bereikt wordt. Dat verband is van de vorm: $$ t = a \cdot \ln(b \cdot N) $$ 3p 4 Bereken $a$ en $b$. Rond de waarde van $a$ af op twee decimalen en de waarde van $b$ op vijf decimalen. VW-1024-a-18-2-o 5 / 14 lees verder ‣‣‣ ### Pagina 6 Blinkstapelingen Bij het spel blikgooien krijgt de speler één of meer blikken waarmee hij of zij moet proberen zoveel mogelijk blikken van een toren af te gooien. Zo’n toren is altijd op dezelfde manier opgebouwd: op de onderste laag staan een aantal blikken en op de lagen erboven steeds één minder. Op de foto zie je een toren met zes blikken. [FIGUUR: Een toren van blikken met 6 blikken op de onderste laag, 3 blikken op de middelste laag en 1 blik op de bovenste laag. De blikken zijn genummerd van 1 tot 6.] We nemen in deze opgave aan dat, als een bal de toren raakt, de onderste laag in zijn geheel blijft staan. Neem aan dat een geraakt blik ook werkelijk van de toren afvalt en nooit “mooi” op een lager gelegen laag terechtkomt en ook dat blikken niet blijven staan als één of meer blikken eronder wegvallen. Lars gooit één bal naar een toren met zes blikken, zoals op de foto. Na zijn worp blijft de onderste laag van drie blikken staan. Er zijn nu vijf mogelijkheden voor de overgebleven toren. Drie van deze mogelijkheden zijn in figuur 1a, 1b en 1c schematisch getekend. figuur 1a [FIGUUR: Schematische weergave van een toren met 3 blikken op de onderste laag en 2 blikken op de middelste laag.] figuur 1b [FIGUUR: Schematische weergave van een toren met 3 blikken op de onderste laag en 1 blik op de middelste laag.] figuur 1c [FIGUUR: Schematische weergave van een toren met 3 blikken op de onderste laag en 2 blikken op de laag erboven, met één blik aan de linkerkant.] 2p 5 Teken de andere twee mogelijkheden. We gaan in deze opgave deze situatie wat theoretischer bekijken. We tellen het aantal mogelijke stapelingen van blikken op een onderste laag van $n$ blikken. Hierbij staat vanaf de tweede laag ieder blik steeds boven op twee onderliggende blikken. We nemen steeds aan dat er één keer gegooid is en dat de hele onderste laag is blijven staan. Voor $n=1$ is er maar één blik, dus is er ook één mogelijke stapeling. Voor $n=2$ zijn er twee mogelijke stapelingen. Zie figuur 2. VW-1024-a-18-2-o 6 / 14 lees verder ► ► ► ### Pagina 7 figuur 2 [FIGUUR: Twee configuraties van vierkanten, een met twee vierkanten naast elkaar, de andere met twee vierkanten naast elkaar onder één vierkant.] Je kunt nu met een redenering nagaan dat het aantal mogelijke stapelingen voor $n=3$ gelijk is aan 5. Deze redenering gaat als volgt: - Er is één manier met 3 blikken op de onderste laag en 0 blikken op de tweede laag. - Er zijn twee manieren met 3 blikken op de onderste laag en 1 blik op de tweede laag. - Er is één manier met 3 blikken op de onderste laag en 2 blikken op de tweede laag (figuur 1b). - Er is één manier met 3 blikken op de onderste laag, 2 blikken op de tweede laag en 1 blik op de derde laag (figuur 1a). Dat is samen $1 + 2 + 1 + 1 = 5$ mogelijkheden. Voor $n=4$ is het aantal mogelijke stapelingen gelijk aan 14. 4p 6 Toon dit aan. De Belgische wiskundige Charles Catalan ontdekte in de 19e eeuw de volgende formule: $$ C_n = C_0 \cdot C_{n-1} + C_1 \cdot C_{n-2} + C_2 \cdot C_{n-3} + \dots + C_{n-2} \cdot C_1 + C_{n-1} \cdot C_0 \text{ met } C_0 = 1 $$ Hierin is $C_n$ het aantal mogelijke stapelingen met $n$ blikken op de onderste laag. 3p 7 Bereken met behulp van bovenstaande formule $C_5$. Voor deze rij getallen, de zogenaamde Catalan-getallen, bestaat geen directe formule. Wel bestaat er een formule die voor grote waarden van $n$ de Catalan-getallen benadert. Deze formule is $B_n \approx 0,564 \cdot e^{1,386 \cdot n} \cdot n^{-1,5}$, waarbij $B_n$ een benadering is van het $n^e$ Catalan-getal ($C_n$). De getallen voor $B_n$ worden snel groter. Hoe snel dit gaat, is te berekenen met behulp van de afgeleide van $B_n$. Er geldt (bij benadering): $$ B_n' = 0,782 \cdot e^{1,386 \cdot n} \cdot n^{-1,5} - 0,846 \cdot e^{1,386 \cdot n} \cdot n^{-2,5} $$ 4p 8 Toon dit aan. Vanaf een bepaald aantal blikken zal het aantal mogelijke stapelingen met meer dan 500.000 toenemen als de onderste laag met één blik toeneemt. 3p 9 Onderzoek met behulp van de afgeleide van $B_n$ vanaf welk aantal blikken op de onderste laag dit is. VW-1024-a-18-2-o 7 / 14 lees verder ### Pagina 8 Kaarten schudden Na het schudden begint een kaartspel meestal met het gelijk verdelen van de kaarten onder een aantal spelers. Neem aan dat bij een bepaald spel 16 verschillende kaarten gelijk verdeeld worden onder vier spelers A, B, C en D. Spelers A, B, C en D krijgen ieder dus vier kaarten. We bekijken een stapel kaarten bestaand uit 16 verschillende kaarten. Deze kaarten kunnen op circa 2,1 1013 verschillende volgordes liggen. Het aantal volgordes waarin de kaarten kunnen liggen, is veel groter dan het aantal mogelijkheden om de kaarten onder de vier spelers A, B, C en D te verdelen. Bereken hoeveel keer zo groot dit aantal is. Rond af op tienduizendtallen. 4p 10 In 1992 publiceerden de Amerikaanse wiskundigen Bayer en Diaconis een artikel over het schudden van kaarten. Voor dit artikel hadden zij de meest gebruikte manier van schudden onderzocht, de zogeheten Riffle Shuffle (zie de foto). foto [FIGUUR: Een close-up van twee handen die een stapel kaarten op de Riffle Shuffle manier schudden.] Zij kwamen tot de conclusie dat het met deze schudtechniek niet mogelijk is een stapel kaarten écht willekeurig te maken, zoals bijvoorbeeld een computer dat wel kan. Voor het spelen van een kaartspel is het goed genoeg als de kaarten "voldoende willekeurig" geschud zijn. Bayer en Diaconis ontdekten tijdens hun onderzoek dat het aantal keren dat een stapel kaarten minstens geschud moet worden om als "voldoende willekeurig" bestempeld te worden, kan worden benaderd met de formule: A = 1,5 . 2 log(n) In deze formule is A het aantal keren dat een stapel van n kaarten minstens geschud moet worden om als "voldoende willekeurig" bestempeld te worden. A wordt naar boven afgerond op een geheel getal. VW-1024-a-18-2-o 8 / 14 lees verder ### Pagina 9 11 Het kaartspel jokeren wordt gespeeld met twee sets van 52 speelkaarten, aangevuld met in totaal 4 zogeheten jokers. Bereken hoe vaak de kaarten bij jokeren minstens geschud moeten worden volgens de formule van Bayer en Diaconis. Als het aantal te schudden kaarten toeneemt, neemt ook het aantal keren dat er minstens geschud moet worden toe. Dit aantal neemt echter steeds langzamer toe. Je kunt dit zien aan de afgeleide $\frac{dA}{dn}$. 12 Stel de formule op van de afgeleide $\frac{dA}{dn}$ en beredeneer aan de hand van deze formule, dus zonder getallen in te vullen of een schets te maken, dat A afnemend stijgend is. In de meeste casino's kun je het spel blackjack spelen. Dat wordt over het algemeen gespeeld met vier spellen kaarten (totaal 208 kaarten). Het aantal keer dat zo'n groot aantal kaarten minstens geschud moet worden is helemaal niet zo groot: volgens de formule van Bayer en Diaconis slechts 12 keer. Dat is maar drie keer schudden meer dan bij één spel kaarten. 13 Volgens de formule van Bayer en Diaconis geldt in het algemeen: als het aantal kaarten vier keer zo groot wordt, hoeft er maar drie keer extra geschud te worden. Toon dit aan met behulp van de formule voor A en de rekenregels voor logaritmen zonder gebruik te maken van getallenvoorbeelden. VW-1024-a-18-2-o 9 / 14 lees verder ► ► ► ### Pagina 10 Zeepbellen Op de foto zie je een dubbele zeepbel: twee bolvormige zeepbellen die aan elkaar vastzitten. Beide zeepbellen zijn een deel van een bol. Het scheidingsvlies tussen deze zeepbellen is ook een deel van een bol. Men heeft ontdekt dat voor elke dubbele zeepbel de volgende formule geldt: $$ \frac{1}{c} = \frac{1}{b} - \frac{1}{a} $$ In deze formule is $a$ de straal van de grootste zeepbel, $b$ de straal van de kleinste zeepbel en $c$ de straal van het bolvormige scheidingsvlies. In de figuur is dit schematisch weergegeven. foto figuur [FIGUUR: Twee zeepbellen die elkaar overlappen.] [FIGUUR: Schematische weergave van twee overlappende bollen met stralen a, b en c aangegeven.] 3p 14 De dubbele zeepbel op de foto bestaat uit een zeepbel met een straal van 2,5 cm en een zeepbel met een straal van 4 cm. Bereken met behulp van bovenstaande formule de straal van het scheidingsvlies. Rond je antwoord af op hele millimeters. Neem nu aan dat de grootste zeepbel een vaste straal heeft van 3 cm (dus $a=3$). We vragen ons af wat er gebeurt als de straal van de kleinste zeepbel steeds kleiner wordt: wordt het scheidingsvlies dan steeds platter of steeds boller? Met andere woorden: neemt $c$ toe of af? 4p 15 Beredeneer aan de hand van bovenstaande formule of $c$ toeneemt of afneemt als de straal van de kleinste zeepbel steeds kleiner wordt. VW-1024-a-18-2-o 10 / 14 lees verder ►►► ### Pagina 11 Als de stralen $a$ en $b$ bekend zijn, kun je $c$ snel en rechtstreeks berekenen door de formule $\frac{1}{c} = \frac{1}{b} - \frac{1}{a}$ te herleiden tot $c = \frac{ab}{a-b}$. 3p 16 Geef deze herleiding. Het antwoord op de vraag of het scheidingsvlies steeds platter of boller wordt als de kleinste zeepbel steeds kleiner wordt, kunnen we ook vinden met behulp van de afgeleide van $c$. We nemen opnieuw een grootste zeepbel met een vaste straal van 3 cm. De formule $c = \frac{ab}{a-b}$ wordt dan $c = \frac{3b}{3-b}$ met $0 < b < 3$. 5p 17 Stel de afgeleide $\frac{dc}{db}$ van $c = \frac{3b}{3-b}$ op en beredeneer aan de hand van de formule van deze afgeleide of $c$ toeneemt of afneemt als de straal van de kleinste zeepbel kleiner wordt. ### Pagina 12 Schildpadden Sommige mensen hebben een schildpad als huisdier. Bepaalde soorten houden onder natuurlijke omstandigheden een winterslaap. De eigenaar kan ervoor kiezen om zijn schildpad ook in winterslaap te laten gaan, omdat hij anders de hele winter extra licht en warmte moet geven aan zijn huisdier. Een schildpad moet een gezond gewicht hebben bij het begin van zijn winterslaap, anders is er een kans dat hij het niet overleeft. Om vast te stellen of de schildpad een gezond gewicht heeft, wordt vaak de Jackson Ratio gebruikt. De Jackson Ratio $R$ wordt berekend met de formule $R = \frac{G}{L^3}$. Hierin is $G$ het gewicht van de schildpad in gram en $L$ de lengte van het schild van de schildpad in cm. Voor de Griekse landschildpad geldt de volgende vuistregel: een schildpad kan veilig aan een winterslaap beginnen als zijn Jackson Ratio tussen 0,18 en 0,22 ligt. 3p 18 Jesse heeft een Griekse landschildpad met een schildlengte van 15 cm en wil hem een winterslaap laten houden. Bereken in hele grammen nauwkeurig tussen welke waarden zijn gewicht dan mag liggen volgens de vuistregel. De lengte van het schild moet recht gemeten worden, bijvoorbeeld door de schildpad met ingetrokken kop tussen een schuifmaat te zetten (zie foto 1). Veronderstel dat iemand toch de lengte over het schild heen meet (zie foto 2). foto 1 [FIGUUR: Foto van de kop van een schildpad die deels is ingetrokken, met naast de kop een schuifmaat die de lengte van het schild zou moeten meten.] foto 2 [FIGUUR: Foto van een schildpad, waarbij een flexibel meetlint om het schild wordt gewikkeld om de lengte te meten.] 3p 19 Beredeneer of een schildpad door op die manier te meten een grotere of een kleinere Jackson Ratio krijgt dan hij in werkelijkheid heeft. VW-1024-a-18-2-o 12 / 14 lees verder ► ► ► ### Pagina 13 Op een Engelse website staat het volgende: als je het gewicht meet in Engelse ponden (lbs) en de schildlengte in inches, kun je de Jackson Ratio berekenen met de formule $R = c \cdot \frac{W}{l^3}$. Hierin is $W$ het gewicht in Engelse ponden en $l$ de schildlengte in inches. 1 Engels pond (lb) $\approx 454$ gram en 1 inch $= 2,54$ cm. De Jackson Ratio moet dan ook weer dezelfde waarde opleveren. 3p 20 Bereken de waarde van $c$ in deze formule. Rond je antwoord af op één decimaal. Een andere manier om te bepalen of een Griekse landschildpad veilig aan een winterslaap kan beginnen, is met behulp van de grafiek in onderstaande figuur. De grafiek geeft het gewicht van gezonde schildpadden als functie van de schildlengte. Als een schildpad met zijn lengte en gewicht in de buurt van deze grafiek zit, is het veilig om hem in winterslaap te laten gaan. figuur [FIGUUR: Een lijngrafiek met op de y-as het gewicht G (in grammen) oplopend van 0 tot 4000, en op de x-as de schildlengte L (in cm) oplopend van 10 tot 26. De lijn begint bij ongeveer (10, 0) en stijgt progressief.] We vragen ons af of de grafiek van de figuur bij benadering overeenstemt met de eerder genoemde vuistregel. Om dit te onderzoeken kunnen we in de figuur de grafieken tekenen van de onder- en de bovengrens die horen bij de eerder genoemde vuistregel en vervolgens het gebied dat hoort bij die vuistregel in de figuur aangeven. De figuur staat ook op de uitwerkbijlage. 6p 21 Geef in de figuur op de uitwerkbijlage het gebied aan waarin een schildpad zich volgens de vuistregel met zijn schildlengte en gewicht moet bevinden om veilig aan een winterslaap te kunnen beginnen. Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina. VW-1024-a-18-2-0 13 / 14 lees verder ### Pagina 14 Hier is een gestructureerde analyse van de examenpagina: 1. **Type pagina**: Opgave (dit is een examenopdracht, geen antwoorden, theorie of correctievoorschrift). 2. **Visuele elementen**: * **Titel**: "Grotere windmolens" staat bovenaan de pagina. * **Tekstblokken**: Meerdere paragrafen tekst die de context en de aanpak van de opgave uitleggen. * **Figuur**: Een schematische tekening van een windmolen (een zwarte silhouette) met drie rotorbladen. De rotorbladen en gondel zijn in een lichte cirkel geplaatst. * **Labels in figuur**: De ashoogte `h` is aangegeven met een pijl van de grond tot de as van de rotor. De rotordiameter `D` is aangegeven met een lijn door het midden van de rotorbladen. Dit label is enigszins onduidelijk, aangezien `D` meestal de diameter van de cirkel beschrijft die de rotorbladen doorlopen, en hier slechts de halve diameter lijkt te representeren in de tekening. De tekst specificeert echter dat `D` de rotordiameter is. * **Formule**: Een wiskundige formule is apart weergegeven: $P = 2,21 \cdot 10^{-4} \cdot g^h \cdot D^2$. * **Vraagnummering**: "7p" en "22" staan links van de laatste paragraaf, wat aangeeft dat het de 22e vraag is en 7 punten waard. 3. **Wiskundig/wetenschappelijk concept**: * **Vermogen van windmolens**: De relatie tussen de afmetingen van een windmolen (ashoogte $h$, rotordiameter