# Eindexamen Wiskunde A VWO 2016 tijdvak 2 > Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2016/tijdvak-2 ## Vragen in dit examen ### Vraag 1 – Vraag ### Vraag 2 – Vraag ### Vraag 3 – Vraag ### Vraag 4 – Vraag ### Vraag 5 – Vraag ### Vraag 6 – Vraag ### Vraag 7 – Vraag ### Vraag 8 – Vraag ### Vraag 9 – Vraag ### Vraag 10 – Vraag ### Vraag 11 – Vraag ### Vraag 12 – Vraag ### Vraag 13 – Vraag ### Vraag 14 – Vraag ### Vraag 15 – Vraag ### Vraag 16 – Vraag ### Vraag 17 – Vraag ### Vraag 18 – Vraag ### Vraag 19 – Vraag ### Vraag 20 – Vraag ### Vraag 21 – Vraag ### Vraag 22 – Vraag ## Opgaven (tekst van het examen) ### Pagina 1 Examen VWO 2016 tijd vak 2 woensdag 22 juni 13:30 - 16:30 uur wiskunde A Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 22 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 82 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden. Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt. Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. VW-1024-a-16-2-0 ### Pagina 2 OVERZICHT FORMULES Kansrekening Voor toevalsvariabelen $X$ en $Y$ geldt: $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ Voor onafhankelijke toevalsvariabelen $X$ en $Y$ geldt: $\sigma(X+Y) = \sqrt{\sigma^2(X) + \sigma^2(Y)}$ $\sqrt{n}$-wet: bij een serie van $n$ onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten geldt voor de som $S$ en het gemiddelde $\overline{X}$ van de uitkomsten $X$: $$E(S) = n \cdot E(X)$$ $$\sigma(S) = \sqrt{n} \cdot \sigma(X)$$ $$E(\overline{X}) = E(X)$$ $$\sigma(\overline{X}) = \frac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}$$ Binomiale verdeling Voor de binomiale verdeelde toevalsvariabele $X$, waarbij $n$ het aantal experimenten is en $p$ de kans op succes per keer, geldt: $$P(X = k) = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \text{ met } k = 0, 1, 2, 3, \dots, n$$ Verwachting: $E(X) = n \cdot p$ Standaardafwijking: $\sigma(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ Normale verdeling Voor een toevalsvariabele $X$ die normaal verdeeld is met gemiddelde $\mu$ en standaardafwijking $\sigma$ geldt: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \text{ is standaard-normaal verdeeld en } P(X < g) = P(Z < \frac{g - \mu}{\sigma})$$ Diffentiëren | naam van de regel | functie | afgeleide | |---|---|---| | somregel | $s(x) = f(x) + g(x)$ | $s'(x) = f'(x) + g'(x)$ | | productregel | $p(x) = f(x) \cdot g(x)$ | $p'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$ | | quotiëntregel | $q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ | $q'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$ | | kettingregel | $k(x) = f(g(x))$ | $k'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \text{ of }$ $$ \frac{dk}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx} $$ | VW-1024-a-16-2-o 2 / 14 lees verder ▶▶▶ ### Pagina 3 Logaritmen regel voorwaarde $ ^{g}\log a + ^{g}\log b = ^{g}\log ab $ $ g>0, g\neq 1, a>0, b>0 $ $ ^{g}\log a - ^{g}\log b = ^{g}\log \frac{a}{b} $ $ g>0, g\neq 1, a>0, b>0 $ $ ^{g}\log a^{p} = p \cdot ^{g}\log a $ $ g>0, g\neq 1, a>0 $ $ ^{g}\log a = \frac{^{p}\log a}{^{p}\log g} $ $ g>0, g\neq 1, a>0, p>0, p\neq 1 $ VW-1024-a-16-2-o 3 / 14 lees verder ### Pagina 4 VW-1024-a-16-2-o 4 / 14 lees verder ### Pagina 5 Hittegolven in Nederland In Nederland is er sprake van een hittegolf als de maximumtemperatuur in De Bilt gedurende minstens 5 opeenvolgende dagen 25 °C of hoger is en bovendien op minstens 3 van deze dagen de maximumtemperatuur 30 °C of hoger is. In tabel 1 op de uitwerkbijlage staat een overzicht van alle 39 hittegolven in Nederland in de periode 1911-2013. Van elke hittegolf is het aantal dagen aangegeven in tabel 1. Volgens Joost heeft een willekeurig gekozen dag uit de periode 1911-2013 (dus inclusief de wintermaanden) een kans van ongeveer 1% om in een hittegolf voor te komen. 1 Onderzoek of dit juist is. Hierbij hoef je geen rekening te houden met schrikkeljaren. Er zijn jaren waarin er geen of precies één hittegolf voorkomt. Er zijn ook jaren waarin er twee of nog meer hittegolven voorkomen, bijvoorbeeld 1911. Een wiskundige heeft op basis van deze periode van 103 jaar een model opgesteld voor het aantal jaren waarin $k$ hittegolven in één jaar voorkomen (met $k = 0, 1, 2, 3, 4$). Bij dit model hoort de volgende formule: $N(k) = 72 \cdot (\frac{39}{103})^k \frac{1}{k!}$ De afgeronde waarde van $N$ is het aantal jaren dat er naar verwachting $k$ hittegolven in één jaar voorkomen. 2 Onderzoek of er waarden van $k$ zijn waarbij dit model meer dan 1 afwijkt van het werkelijke aantal jaren in de periode 1911-2013 dat er $k$ hittegolven in één jaar voorkomen. Licht je antwoord toe. In tabel 2 op de uitwerkbijlage zijn de maximumtemperaturen van elk van deze 39 hittegolven vermeld. Joost vermoedt dat de maximumtemperaturen van hittegolven normaal verdeeld zijn. 3 Onderzoek met behulp van het normaal-waarschijnlijkheidspapier in de uitwerkbijlage of de maximumtemperaturen van de 39 hittegolven in tabel 2 aanleiding zijn om Joost gelijk te geven. Neem de eerste klasse van 30 tot en met 31, dus de klasse $<30, 31]$. VW-1024-a-16-2-o 5 / 14 lees verder ### Pagina 6 Hier is een gedetailleerde analyse van de scan: **1. Type pagina**: Examen/Opgaaf pagina. Dit blijkt uit de genummerde vragen (4 en 5), de puntentelling (3p, 4p), de paginanummering (6/14) en de verwijzingen naar eindexamens onderaan de pagina. **2. Visuele elementen**: * **Titel**: "SMOG-index" staat bovenaan de pagina, gecentreerd en vetgedrukt. * **Lijn**: Onder de titel bevindt zich een horizontale grijze lijn, wat de koptekst scheidt van de introductietekst. * **Tekstfragment**: Een ingesprongen en omrand tekstblok met de titel "fragment". Dit bevat een artikeldeel over Google's gebruiksvoorwaarden en de SMOG-index. * **Wiskundige formule**: De belangrijkste visuele element is de formule voor de SMOG-index: $S = 1,0430 \cdot \sqrt{M \cdot \frac{30}{Z}} + 3,1291$ Hierbij worden de variabelen M en Z uitgelegd. **3. Wiskundig/wetenschappelijk concept**: * **SMOG-index**: Dit is een leesbaarheidsformule die de moeilijkheidsgraad van een tekst meet en uitdrukt in het aantal jaar opleiding dat nodig is om de tekst te begrijpen. * **Wortelfuncties**: De formule bevat een vierkantswortel ($\sqrt{}$) wat indiceert dat er gerekend moet worden met vierkantswortels. * **Lineaire transformatie/Schaalvergroting/Verschuiving**: De formule bevat een vermenigvuldigingsfactor (1,0430) en een optelling (+3,1291), wat duidt op een lineaire transformatie van de wortelterm. * **Vergelijkingen en herstructurering**: Vraag 5 vraagt om het effect van het veranderen van variabelen (M en Z) op de SMOG-index (S) te analyseren en te berekenen, wat neerkomt op het oplossen van of manipuleren ### Pagina 7 Hier is een gestructureerde analyse van de examenpagina: 1. **Type pagina**: Opgave 2. **Visuele elementen**: * De pagina bevat voornamelijk tekst. * Er zijn wiskundige formules en vergelijkingen in de tekst geïntegreerd, zoals `M = p * Z`, `S = 1,0430 * √75 * √30 * Z^(-1/2) + 3,1291`, `S = 49,47 * Z^(-1/2) + 3,1291`, en de notatie voor een afgeleide `dS/dZ`. * Er zijn geen grafieken, tabellen, diagrammen of figuren aanwezig. 3. **Wiskundig/wetenschappelijk concept**: * **Directe Evenredigheid**: Het concept van een recht evenredig verband (`M = p * Z`). * **Machten en Wortels**: Formules bevatten machten met breuken (`Z^(-1/2)`) en wortels (`√`). * **Differentiëren (Afgeleiden)**: Het concept van het bepalen van de afgeleide van een functie (`dS/dZ`) om de verandering van S met betrekking tot Z te analyseren. * **Interpretatie van Afgeleiden**: Het gebruik van de afgeleide om Monotoniciteit (of een functie afnemend daalt in dit geval) te verklaren. 4. **Context**: Van de student worden de volgende taken verwacht: * **Vraag 6 (5 punten)**: Bereken de waarde van `p` in één decimaal nauwkeurig, gegeven een bepaalde waarde voor `S` en de contextuele informatie over de SMOG-index en het verband tussen `M` en `Z`. Hierbij is impliciet dat de SMOG-index (17) gelijkgesteld moet worden aan S. * **Vraag 7 (4 punten)**: * Geef de formule van de afgeleide (`dS/dZ`) van de gegeven formule voor `S`. * Leg met behulp van deze afgeleide uit waarom `S` af ### Pagina 8 Buisfolie Een bedrijf produceert plastic verpakkingsmateriaal. Men maakt er onder andere buisfolie. Buisfolie wordt verwerkt tot plastic zakken. Bij de productie van de buisfoliezakken moet de breedte binnen nauwe grenzen blijven. De streefwaarde is 715 mm. Om het risico te beperken dat de zakken te smal zijn, wordt de gemiddelde breedte ingesteld op 715,6 mm. Neem aan dat de breedte normaal verdeeld is met $ \sigma = 0,5 $ mm. 3p 8 Bij de productie van buisfoliezakken voor een bepaalde afnemer is vastgelegd dat het tolerantiegebied het gebied is waar de breedte van de zakken maximaal 1 mm van de streefwaarde van 715 mm afwijkt. Bereken het percentage van de partij zakken dat buiten dit tolerantlegebied ligt. 2p 9 Men vindt het productieproces voor een andere afnemer van buisfoliezakken acceptabel als hoogstens 2,5% van de zakken breder is dan 716 mm. Hiervoor moet de standaardafwijking wel veranderen. Het is mogelijk de machine zo in te stellen dat de gemiddelde breedte niet verandert maar de standaardafwijking wel. Berééneer of de standaardafwijking dan kleiner of groter dan 0,5 moet zijn. De bedrijfsleiding streeft naar een weekproductie van 26 000 kg buisfolie. In 2013 bewerkden de technici van het bedrijf dat in 2014 voor elk van de 48 gewone werkweken de kans minstens 75% zou zijn dat die weekproductie van 26 000 kg (of meer) gerealiseerd kon worden. 6p 10 Later bleek echter dat die weekproductie van 26 000 kg (of meer) in 2014 slechts in 27 van de 48 gewone werkweken gehaald was. Onderzoek met behulp van een hypothesetoets of er reden is om de bewering van de technici in twijfel te trekken. Neem daarbij een significantieniveau van 1%. Bij het bedrijf komt het verzoek binnen om een spoedorder te verwerken van 23 750 kg buisfolie. Deze bestelling moet binnen een week geleverd worden. 3p 11 Op basis van eerdere gegevens gaat de leiding ervan uit dat het gewicht in kg van de buisfolie die per week geproduceerd wordt normaal verdeeld is met $ \mu = 28000 $ en $ \sigma = 3300 $. Toon hiermee aan dat de kans dat het bedrijf de weekproductie van 23 750 kg niet haalt ongeveer 9,9% is. VW-1024-a-16-2-0 8 / 14 lees verder ### Pagina 9 Er bestaat dus een kans van 9,9% dat het bedrijf de weekproductie niet haalt. Het bedrijf kan zodoende met 90,1% zekerheid de spoedorder uitvoeren. Voor die spoedorder van 23 750 kg buisfolie wordt een prijs van € 2,15 per kg gerekend als deze binnen die week geleverd wordt. Als dit echter niet lukt dan haakt de klant af en kan het bedrijf een boete van € 50 000,- verwachten. De partij buisfolie kan dan nog wel te zijner tijd afgemaakt worden en aan een andere klant worden verkocht voor € 0,50 per kg. Het is nu de taak van het management om de risico's af te wegen en een keuze te maken of men deze spoedorder al dan niet zal accepteren. 4p 12 Bereken de verwachtingswaarde van de opbrengst voor het bedrijf als men deze spoedorder accepteert. VW-1024-a-16-2-o 9 / 14 lees verder ►►► ### Pagina 10 Tarwe Tarwe is één van de belangrijkste granen. Van tarwe wordt bloem gemalen en brood gemaakt. Aan het begin van iedere week wordt op de groothandelsbeurs van Rotterdam de actuele marktprijs van tarwe (in euro per 1000 kg) bekendgemaakt. Op de site productschapakkerbouw.nl zijn voor de eerste weken van 2014 deze marktprijzen door middel van stippen in een figuur gezet. De stippen zijn met lijnstukjes verbonden. Zie onderstaande figuur. figuur [FIGUUR: Lijn-grafiek met op de y-as 'marktprijs in euro per 1000 kg' en op de x-as 'weeknummers 2014'. De grafiek toont prijsschommelingen van week 1 tot en met week 20.] 3p 13 In de figuur zie je dat de marktprijs van week 3 naar week 4 gedaald is. Ook van week 13 naar week 14 is een daling te zien. Berenedeneer, zonder berekening, in welk van beide perioden de procentuele daling van de marktprijs van tarwe het grootst is. Er is een verband tussen de vraag naar tarwe en de prijs van tarwe. In het boek 'Wiskunde voor economie' wordt daarvoor de volgende prijs-vraag-formule vermeld: $p = 10\sqrt{-23q + 3800}$ Hierin is $p$ de prijs in euro per 1000 kg en $q$ de vraag in 1000 kg per maand. 3p 14 Bereken de grootste gehele waarde van $q$ waarvoor deze prijs-vraag-formule nog betekenis heeft. VW-1024-a-16-2-0 10 / 14 leest verder ► ► ► ### Pagina 11 Op een bepaald moment wordt tarwe verhandeld voor 232 euro per 1000 kg. 4p 15 Berekent, uitgaande van de formule, met hoeveel kg per maand de vraag afneemt als de prijs toeneemt van 232 euro per 1000 kg naar 238 euro per 1000 kg. Rond je antwoord af op tientallen kilo's. Voor de totale maandopbrengst van tarwe TO geldt de formule: $TO = p \cdot q = 10\sqrt{-23q + 3800} \cdot q$ 3p 16 De eenheid van TO is euro per maand. Toon dit aan en bereken bij $q = 100$ de totale maandopbrengst. De afgeleide van $TO$ is: $\frac{dTO}{dq} = 10\sqrt{-23q+3800} - \frac{115q}{\sqrt{-23q+3800}}$ 4p 17 Onderzoek met behulp van $\frac{dTO}{dq}$ of $TO$ een maximum heeft. VW-1024-a-16-2-o 11/14 lees verder ►►► ### Pagina 12 Prille groei Gemiddeld duurt een zwangerschap bij de mens 38 weken. Een ongeboren kind van 8 weken of ouder wordt een foetus genoemd. In tabel 1 staat het (gemiddelde) lichaamsgewicht G in gram van een foetus bij een leeftijd van t weken. tabel 1 [FIGUUR: Tabel met twee kolommen: "Leeftijd t in weken" en "Lichaamsgewicht G in gram". Rijden met waarden: 8, 4.7; 10, 21; 15, 160; 20, 480; 25, 990; 30, 1700; 35, 2700; 38, 3500.] In deze opgave willen we onderzoeken welk model er bij tabel 1 zou kunnen passen. Het eerste model dat we bekijken is dat van exponentiële groei: $G = b \cdot a^t$ met a en b constanten. 3p 18 Veronderstel dat de groei tussen week 8 en week 10 inderdaad exponentieel verloopt. Bereken met hoeveel procent per week het gewicht van de foetus dan toeneemt in die periode. Exponentiële groei is echter geen goed model voor de groei van de foetus in de gehele periode van 8 tot 38 weken. Dit kun je afleiden uit de tabel. 3p 19 Laat dat met een berekening zien. VW-1024-a-16-2-o 12 / 14 lees verder ►►► ### Pagina 13 Om een beter model voor de groei van de foetus te maken, berekenen we de logaritmes van de getallen in tabel 1. We bekijken dus de waarden van $M = \log(G)$ ten opzichte van $L = \log(t)$. Zie tabel 2 en de bijbehorende punten in figuur 1. tabel 2 [FIGUUR: Tabel met twee kolommen, de linkerkolom met kop 'L = log(t)' en waarden 0,90, 1,00, 1,18, 1,30, 1,40, 1,48, 1,54, 1,58. De rechterkolom met kop 'M = log(G)' en waarden 0,67, 1,32, 2,20, 2,68, 3,00, 3,23, 3,43, 3,54.] figuur 1 [FIGUUR: Een grafiek met de L-as horizontaal van 0 tot 1,8 en de M-as verticaal van 0 tot 4,0. Er zijn punten getekend in de grafiek die een gebogen lijn vormen, beginnend bij ongeveer (0,85; 0,5) en eindigend bij ongeveer (1,6; 3,7). De lijn lijkt een parabool te zijn.] De punten in figuur 1 liggen bij benadering op een bergparabool. Deze parabool is in figuur 1 getekend. Bij deze parabool hoort de volgende formule: $$M = -7,131+11,305 \cdot L - 2,892 \cdot L^2$$ Het gewicht van een foetus van 30 weken kan met deze formule worden berekend: bij $t=30$ hoort $L = \log(30) \approx 1,48$. Met de formule kun je de waarde van $M$ en daarna de bijbehorende waarde van $G$ berekenen. Die waarde wijkt af van de waarde volgens tabel 1. 3p 20 Bereken hoeveel deze afwijking bedraagt. Als de parabool van figuur 1 de groei goed beschrijft, dan zou de grafiek moeten stijgen gedurende de hele zwangerschap. 4p 21 Bereken met behulp van de afgeleide functie $M'$ de waarde van $t$ waar de grafiek van $M$ weer gaat dalen en leg uit dat dit voor het model geen bezwaar is. Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina. VW-1024-a-16-2-o 13 / 14 lees verder ►►► ### Pagina 14 Voor een foetus van 20 weken en ouder blijkt een rechte lijn nog beter bij de punten in figuur 1 te passen dan de parabool van zojuist. Deze lijn is in figuur 2 getekend. figuur 2 [FIGUUR: Een grafiek met op de y-as de variabele M van 0,5 tot 4,0 en op de x-as de variabele L van 0 tot 1,8. De grafiek bevat een rechte lijn die door verschillende punten gaat.] De vergelijking van deze lijn is: $M = -1,314 + 3,075 \cdot L$ Omdat geldt $M = \log(G)$ en $L = \log(t)$ is deze vergelijking te schrijven als $\log(G) = -1,314 + 3,075 \cdot \log(t)$ (formule 1) Deze formule 1 is te herschrijven tot formule 2: $G = 0,0485 \cdot t^{3,075}$ (formule 2) 4p 22 Laat zien hoe je formule 1 kunt herleiden tot formule 2 of hoe je formule 2 kunt herleiden tot formule 1. VW-1024-a-16-2-o 14 / 14 einde ■