# Eindexamen Wiskunde A VWO 2011 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2011/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 2

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 2

### Vraag 4 – Opgave 2

### Vraag 5 – Opgave 2

### Vraag 6 – Opgave 2

### Vraag 7 – Opgave 2

### Vraag 8 – Opgave 2

### Vraag 9 – Opgave 2

### Vraag 10 – Opgave 2

### Vraag 11 – Opgave 2

### Vraag 12 – Opgave 2

### Vraag 13 – Opgave 2

### Vraag 14 – Opgave 2

### Vraag 15 – Opgave 2

### Vraag 16 – Opgave 2

### Vraag 17 – Opgave 2

### Vraag 18 – Opgave 2

### Vraag 19 – Opgave 2

### Vraag 20 – Opgave 2

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2011
tijdvak 2
woensdag 22 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A
Dit examen bestaat uit 20 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1024-a-11-2-o

### Pagina 2

OVERZICHT FORMULES

Kansrekening

Voor toevalsvariabelen X en Y geldt: $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
Voor onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt: $\sigma(X+Y) = \sqrt{\sigma^2(X)+\sigma^2(Y)}$

$\sqrt{n}$-wet: bij een serie van $n$ onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten geldt voor de som $S$ en het gemiddelde $\overline{X}$ van de uitkomsten $X$:

$E(S) = n \cdot E(X)$ $\sigma(S) = \sqrt{n} \cdot \sigma(X)$
$E(\overline{X}) = E(X)$ $\sigma(\overline{X}) = \frac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}$

Binomiale verdeling

Voor de binomiale verdeelde toevalsvariabele $X$, waarbij $n$ het aantal experimenten is en $p$ de kans op succes per keer, geldt:

$P(X=k) = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ met $k=0, 1, 2, 3, ..., n$

Verwachting: $E(X)=n \cdot p$ Standaardafwijking: $\sigma(X)=\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$

Normale verdeling

Voor een toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde $\mu$ en standaardafwijking $\sigma$ geldt:

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ is standaard-normaal verdeeld en $P(X < g) = P(Z < \frac{g-\mu}{\sigma})$

Diffrentïeren

| naam van de regel | functie | afgeleide |
|---|---|---|
| somregel | $s(x) = f(x) + g(x)$ | $s'(x) = f'(x) + g'(x)$ |
| productregel | $p(x) = f(x) \cdot g(x)$ | $p'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$ |
| quotiëntregel | $q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ | $q'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$ |
| kettingregel | $k(x) = f(g(x))$ | $k'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ of $\frac{dk}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$ |

Logaritmen

| regel | voorwaarde |
|---|---|
| $^g \log a + ^g \log b = ^g \log ab$ | $g>0, g\neq 1, a>0, b>0$ |
| $^g \log a - ^g \log b = ^g \log \frac{a}{b}$ | $g>0, g\neq 1, a>0, b>0$ |
| $^g \log a^p = p \cdot ^g \log a$ | $g>0, g\neq 1, a>0$ |
| $^g \log a = \frac{^p \log a}{^p \log g}$ | $g>0, g\neq 1, a>0, p>0, p\neq 1$ |

VW-1024-a-11-2-o


### Pagina 3

VW-1024-a-11-2-o
lees verder ►►►
3

### Pagina 4

Snelheidscontroles en boetes
De politie controleert de snelheden van auto's op snelwegen op verschillende
manieren. Een betrekkelijk nieuwe manier is de zogeheten trajectcontrole. Met
een camera wordt een auto aan het begin en aan het eind van een traject
gefotografeerd. Met een simpel rekensommetje (lengte van het traject gedeeld
door de tijd) berekent de computer
hoe hard de auto gemiddeld
gereden heeft over het traject.
Op een voorlichtingssite van het
Openbaar Ministerie wordt dit
toegelicht met een voorbeeld.
Zie de figuur hiernaast.
In dit voorbeeld legt een auto een
traject van 3 km af in 00:01:23 uur
(1 minuut en 23 seconden). De
gemiddelde snelheid is dan 130 km/uur.
Bij dergelijke metingen zijn altijd kleine meetfouten mogelijk. Daarom krijgen
automobilisten pas bij een overschrijding van 4 km/uur of meer een boete.

figuur
[FIGUUR: Een schematische weergave van een snelweg met boven de weg een
balk met camera's en borden die de afstand aangeven. Op de weg rijden
auto's. Onder de afbeelding staat een snelheidsmeter die ongeveer 130 km/uur aangeeft en een notatie '3 km' en '00:01:23 uur'.]

Op sommige trajecten vindt de controle met meer dan twee cameraposten
plaats: voor ieder deeltraject wordt dan apart de gemiddelde snelheid berekend.
De hoogte van deze gemiddelde snelheid bepaalt dan of er een boete volgt.
Op de N256 geldt een maximumsnelheid van 80 km/uur. Op deze weg is een
traject van 9 km opgedeeld in deeltraject A van 4 km en deeltraject B van 5 km.
Een automobilist rijdt met hoge snelheid en remt in de loop van het traject flink
af. Hij legt deeltraject A af met een gemiddelde snelheid van 120 km/uur en
deeltraject B met een gemiddelde snelheid van 60 km/uur.
Voor het eerste deeltraject wordt hij beboet.
5p 1
Onderzoek door een berekening of deze automobilist een boete zou krijgen als
het traject van 9 km niet opgedeeld zou zijn in deeltrajecten.

Justitie onderscheidt drie soorten wegen, elk met een eigen boetesysteem:
buiten de bebouwde kom, autosnelwegen en binnen de bebouwde kom.

Buiten de bebouwde kom geldt voor auto's een maximumsnelheid van
80 km/uur. Voor de boetebedragen bij snelheidsovertredingen buiten de
bebouwde kom geldt (bij benadering) de volgende formule:

$$B_{\text{buiten}} = 16,527 \cdot 1,092^s$$

Hierbij is s de overschrijding van de maximumsnelheid in km/uur en $B_{\text{buiten}}$ het
onafgeronde boetebedrag in euro's. Het uiteindelijke boetebedrag wordt
afgerond op hele euro's.
Bijvoorbeeld: bij een snelheid $v = 90$ km/uur hoort een snelheidoverschrijding
$s = 10$ km/uur. Het bijbehorende boetebedrag in euro's is $16,527 \cdot 1,092^{10} \approx 39,85$
en dit wordt afgerond op 40 euro.

VW-1024-a-11-2-o 4 lees verder ►►►
Voor alle eindexamens, zie ook www.ss

### Pagina 5

Verkeersonderzoekers gebruiken liever een formule waarin niet de
snelheidsoverschrijding $s$ voorkomt, maar de werkelijke snelheid $v$ in km/uur.
Zo'n formule is van de vorm $B_{buiten}=a \cdot 1,092^v$.
4p 2 Bereken de constante $a$ in vier decimalen nauwkeurig.

Het boetebedrag op de autosnelweg (in euro's) hangt ook af van de grootte van
de overschrijding van de maximumsnelheid (in km/uur). Zie onderstaande tabel.

tabel
snelheidsoverschrijding
(km/uur)
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

boetebedrag (€)
16
20
24
27
32
37
40
45
51
56
62

Omdat bij hogere snelheden het risico van een ongeval steeds meer toeneemt,
vertonen de boetebedragen in de tabel een toenemende stijging. Althans, zo lijkt
het op het eerste gezicht, maar de stijging van de boetebedragen is soms
afnemend. Een voorbeeld: als de snelheidsoverschrijding toeneemt van 5 km/uur naar
6 km/uur neemt het boetebedrag met 4 euro toe, terwijl van 6 km/uur naar
7 km/uur de toename 3 euro is. Dat komt doordat de boetebedragen eerst met
een formule zijn berekend en vervolgens afgerond op hele euro's.

Voor de boetebedragen bij snelheidsovertredingen binnen de bebouwde kom
geldt (bij benadering) de volgende formule:
$$B_{binnen} = 3,018 \cdot s^{1,212}$$
Hierbij is $s$ de overschrijding van de maximumsnelheid in km/uur en $B_{binnen}$ het
onafgeronde boetebedrag in euro's. Het uiteindelijke boetebedrag wordt
afgerond op hele euro's.
4p 3 Toon aan dat zich bij deze formule ook het verschijnsel voordoet dat de stijging
van de afgeronde boetebedragen soms afnemend is.
4p 4 Stel een formule op voor de afgeleide van $B_{binnen}$ en toon daarmee aan dat de
onafgeronde boetebedragen bij deze formule toenemen.

VW-1024-a-11-2-o
5
lees verder

### Pagina 6

500 meter schaatsen

De prestaties van een wedstrijd schaatser zijn afhankelijk van zijn of haar
conditie, maar ook van externe factoren zoals de kwaliteit van het ijs en de
weersomstandigheden. Als een schaatser in een seizoen op dezelfde ijsbaan
meerdere keren een 500 meter aflegt, kunnen we de invloed van externe
factoren vrijwel verwaarlozen. We gaan er daarom van uit dat de 500-meter tijden in dat geval normaal verdeeld zijn.

Benjamin is een jonge schaatser, die altijd traint op dezelfde ijsbaan in Utrecht.
Zijn trainingstijd op de 500 meter zijn normaal verdeeld met een gemiddelde
van 39,72 seconden en een standaardafwijking van 0,43 seconden.
3p 5 Bereken hoeveel procent van de trainingstijden op de 500 meter van Benjamin
onder de 39 seconden ligt.

Ook Sabrina traint op deze baan voor de 500 meter. Haar gemiddelde tijd is
41,32 seconden. Van de 100 trainingsritten op de 500 meter reed zij 25 keer
onder de 41 seconden. Met behulp van deze gegevens en het feit dat haar
trainings tijden normaal verdeeld zijn, kan de bijbehorende standaardafwijking
van de trainingstijden van Sabrina berekend worden.
4p 6 Bereken deze standaardafwijking in twee decimalen nauwkeurig.

Benjamin en Sabrina trainen vrijwel altijd samen. Ze willen hun trainingsritten
elke trainingsdag in een andere volgorde rijden. Toen ze als junioren allebei
dagelijks 3 trainingsritten reden, begonnen ze op de eerste trainingsdag met de
volgorde BSS BSB waarna ze er na 20 trainingsdagen door alle mogelijke
volgordes heen. Nu ze senioren zijn, rijden ze elke trainingsdag ieder hetzelfde,
grotere aantal trainingsritten. Sabrina heeft uitgerekend dat ze nu aan een jaar
niet eens genoeg hebben om alle mogelijke volgordes uit te proberen.
4p 7 Onderzoek hoeveel trainingsritten ze elk per trainingsdag minstens rijden.

Veel schaatsers vinden het een voordeel om
op de 500 meter tijdens de laatste bocht in de
buitenbaan te rijden. De snelheid is dan ruim
50 km/uur en in de binnenbaan blijf je
moeilijker overeind. Bij een toernooi worden
dan ook altijd twee 500 meters verreden: elke
schaatser rijdt de laatste bocht een keer in de
binnenbaan en een keer in de buitenbaan.
[FIGUUR: Een schaatser in een bocht met een andere schaatser op de achtergrond.]

Een toeschouwer denkt dat het rijden van de laatste bocht in de buitenbaan een
grotere kans biedt op winst in de rit dan het rijden van de laatste bocht in de
binnenbaan. Tijdens een wereldkampioenschap eindigden 26 van de 40
schaatsers in een snellere tijd op de 500 meter wanneer zij de laatste bocht in
de buitenbaan reden dan wanneer zij die in de binnenbaan reden.
6p 8 Bereken of dit resultaat aanleiding geeft om te veronderstellen dat de
toeschouwer gelijk heeft. Hanteer een significantieniveau van 5%.

VW-1024-a-11-2-0 6 lees verder

### Pagina 7

Morfine

In het ziekenhuis krijgen patiënten vaak een pijnstiller toegediend. Als pijnstiller gebruikt men meestal een oplossing van morfine en een oplosmiddel zoals gedestilleerd water.
De concentratie van morfine in opgeloste vorm geeft men aan met een percentage. Zo bedoelt men met morfine-2% dat er in elke 100 milliliter van de oplossing 2 gram (2000 milligram) morfine aanwezig is.

In de praktijk beschikt men in een ziekenhuis vaak over kant-en-klare oplossingen, die verdund worden met het oplosmiddel om een oplossing met een lagere concentratie te verkrijgen.

Veronderstel dat men beschikt over morfine-3% en men wil daarmee morfine-1% maken.
3p 9 Bereken hoeveel milliliter oplosmiddel er per 100 milliliter morfine-3% moet worden toegevoegd.

Morfine kan ook in combinatie met een andere pijnstiller, bupivacaine, gebruikt worden. Een mogelijke situatie is de volgende:
– Neem 2 ampullen van elk 10 milliliter met een oplossing van bupivacaine-0,5%.
– Neem 3 ampullen van elk 10 milliliter met een morfine-oplossing.
– Meng de inhoud van deze vijf ampullen.
– Dien van deze oplossing 3,5 milliliter per uur toe.
4p 10 Bereken hoeveel milligram bupivacaine de patiënt per uur krijgt.

Een andere manier om morfine toe te dienen is door middel van injecties. De hoeveelheid morfine in het lichaam neemt na de injectie exponentieel af. De injectie wordt na 6 uren herhaald, want na die tijd is de hoeveelheid morfine in het lichaam te gering om nog werkzaam te zijn.
De halfwaardetijd van morfine is ongeveer 2,5 uur. Dat betekent dat na 2,5 uur de hoeveelheid morfine in het lichaam is gehalveerd.

4p 11 Uit deze gegevens volgt dat 6 uur na de injectie de hoeveelheid morfine in het lichaam 19% is van de oorspronkelijke hoeveelheid vlak na de injectie.
Toon dit met een berekening aan.

VW-1024-a-11-2-o 7 lees verder ▻▻▻

### Pagina 8

RSI
Beursanalisten geven op verschillende manieren aan hoe de waarde van een
aandeel zich ontwikkelt. Daarvoor gebruiken ze zogenoemde indicatoren.
De Amerikaan J. Welles Wilder introduceerde in 1978 een indicator die bekend
staat onder de naam RSI, de relatieve sterkte-index.

Om de $RSI$ van een aandeel te berekenen, gaat men als volgt te werk:
- neem de slotkoersen van het aandeel gedurende 14 dagen;
- bereken voor elke dag de winst of het verlies ten opzichte van de vorige dag;
- tel alle winsten bij elkaar op en tel alle verliezen bij elkaar op:
$$ r = \frac{\text{totale winst}}{\text{totale verlies}} $$
- bereken daarna $RSI$ met de formule $RSI = 100 - \frac{100}{1+r}$.

De waarden van $r$ en $RSI$ worden afgerond op twee decimalen.
Bij deze formule gaat Wilder ervan uit dat een aandeel gedurende 14 dagen niet
alleen maar winst zal maken. In dat geval is namelijk het totale verlies gelijk aan
0 en dan bestaat $r$ niet.
In onderstaande tabel zie je een voorbeeld. Van 15 juni 2007 tot en met 4 juli
2007 is van een aandeel de winst of het verlies ten opzichte van de dag ervoor
berekend. Om de winst op 15 juni te berekenen is de slotkoers van 14 juni
nodig. Daarom staan in de tabel de slotkoersen van 14 dagen.

tabel
[FIGUUR: Tabel met kolommen 'datum', 'slotkoers (in €)', 'winst (in €)', 'verlies (in €)'. De tabel bevat data van 14-06-2007 tot en met 04-07-2007 en een totaallijn.]
Op 4 juli 2007 was $r = \frac{2,07}{1,37} = 1,51$ en dus $RSI = 60,16$.

VW-1024-a-11-2-o 8 lees verder ►►►

### Pagina 9

4p 12 De slotkoers van het aandeel was op de twee volgende dagen (5 en 6 juli 2007) 22,68 respectievelijk 22,55.
Bereken de waarde van $RSI$ op 6 juli 2007.

Aan de manier waarop $r$ wordt berekend, kun je zien dat $r$ toeneemt naarmate
het aandeel 'beter presteert'.
Voor $RSI$ kunnen we ook zo'n conclusie trekken: $RSI$ neemt toe naarmate het
aandeel beter presteert, dus wanneer $r$ toeneemt.

4p 13 Bereken de afgeleide van $RSI$ en toon daarmee aan dat de conclusie die hier
boven staat, correct is.

Je kunt ook, zonder gebruik te maken van de afgeleide, aan de hand van de
formule laten zien dat de conclusie die hierboven staat, correct is.
3p 14 Toon dit aan.

Aan de waarde van $RSI$ kun je snel zien of het aandeel in een periode van
14 dagen meer verloren heeft dan gewonnen.
4p 15 Leg uit hoe je dat kunt zien.

Een belegger hanteert de regel dat je het aandeel moet verkopen wanneer
$RSI > 70$.
4p 16 Bereken bij welke waarden van $r$ je volgens deze regel het aandeel moet
verkopen.

Edward vindt de formule $RSI = 100 - \frac{100}{1+r}$ onhandig. Volgens hem is het
helemaal niet nodig om eerst $r$ uit te rekenen. Je kunt de formule van $RSI$ zo
herleiden dat deze direct afhangt van de totale winst $TW$ en het totale verlies $TV$
van het aandeel, als je gebruik maakt van $r = \frac{TW}{TV}$.

Als je dat doet, ziet de formule er als volgt uit: $RSI = 100 - \frac{100}{1+\frac{TW}{TV}}$

4p 17 Herleid deze formule tot $RSI = \frac{...}{TV+TW}$.

VW-1024-a-11-2-o
9
lees verder

### Pagina 10

Schroeven

Een fabriek produceert grote hoeveelheden schroeven. Bij het produceren van schroeven is het onvermijdelijk dat een (klein) percentage van de geproduceerde schroeven ondeugdelijk is.
Er wordt elk uur een steekproef genomen. De schroeven die in een uur geproduceerd zijn, worden een partij genoemd. Op grond van de uitkomst van de steekproef wordt een partij schroeven goedgekeurd of afgekeurd.

Er wordt elk uur een steekproef van 10 schroeven genomen. De partij wordt afgekeurd als er 1 of meer ondeugdelijke schroeven in de steekproef gevonden worden. Bij steekproefgrootte 10 kan een formule gemaakt worden waarbij de kans dat de partij wordt afgekeurd ($K$) wordt uitgedrukt in het percentage ondeugdelijke schroeven in de partij ($p$):

$$K=1-\left(1-\frac{p}{100}\right)^{10}$$

3p 18 Toon dit aan.

Het is redelijk dat een klant verlangt dat een slechte partij bijna zeker wordt afgekeurd. We definiëren deze twee vetgedrukte begrippen als volgt:
Een partij is slecht als het percentage ondeugdelijke schroeven $p=5$ of groter is.
Bijna zeker afkeuren betekent afkeuren met een kans van ten minste 0,80.
Bij steekproefgrootte $n$ is een formule waarbij $K$ wordt uitgedrukt in $p$ als volgt:

$$K=1-\left(1-\frac{p}{100}\right)^{n}$$

4p 19 Om te berekenen hoe groot de steekproefgrootte $n$ minstens moet zijn zodat een slechte partij bijna zeker wordt afgekeurd, hoeven we in de formule slechts te kijken naar het geval $p=5$. Bereken hoe groot de steekproefgrootte $n$ in dit geval minstens moet zijn.

VW-1024-a-11-2-o 10 lees verder ►►►

### Pagina 11

Het vergroten van de steekproef terwijl de partij nog steeds afgekeurd wordt als er 1 of meer ondeugdelijke schroeven in de steekproef zitten, heeft ook een nadeel. Een goede partij heeft dan een tamelijk grote kans om afgekeurd te worden. We definiëren een partij als goed als het percentage ondeugdelijke schroeven $p=1$ of kleiner is.

Daarom zal een fabrikant verlangen dat voor een goede partij de kans om afgekeurd te worden kleiner is dan 0,10.
Als een partij pas wordt afgekeurd bij 3 of meer ondeugdelijke schroeven in de steekproef en er wordt een steekproef van 100 schroeven genomen, dan kan onderzocht worden of aan het verlangen van zowel de klant als de fabrikant wordt voldaan.

6p 20 Voer dit onderzoek uit.

VW-1024-a-11-2-o* 11 einde ■