# Eindexamen Wiskunde A VWO 2009 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2009/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Vraag

### Vraag 2 – Vraag

### Vraag 3 – Vraag

### Vraag 4 – Vraag

### Vraag 5 – Vraag

### Vraag 6 – Vraag

### Vraag 7 – Vraag

### Vraag 8 – Vraag

### Vraag 9 – Vraag

### Vraag 10 – Vraag

### Vraag 11 – Vraag

### Vraag 12 – Vraag

### Vraag 13 – Vraag

### Vraag 14 – Vraag

### Vraag 15 – Vraag

### Vraag 16 – Vraag

### Vraag 17 – Vraag

### Vraag 18 – Vraag

### Vraag 19 – Vraag

### Vraag 20 – Vraag

### Vraag 21 – Vraag

### Vraag 22 – Vraag

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2009
tijd vak 1
maandag 25 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A1
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
925-0141-a-VW-1-o

### Pagina 2

Emissierechten

Om de uitstoot van kooldioxide ($CO_2$) onder controle te krijgen verdeelt de
overheid elk jaar zogenoemde emissierechten onder bedrijven die $CO_2$ uitstoten.
Eén emissierecht betekent dat een bedrijf het recht heeft om in een jaar één
ton $CO_2$ uit te stoten.

In 2005 stootte de Nederlandse industrie 80,4 miljoen ton $CO_2$ uit. Dat was
8 procent minder dan ze van de overheid aan emissierechten had gekregen.
Bereken hoeveel emissierechten de overheid in 2005 had verdeeld onder de
Nederlandse industrie.

Wanneer een bedrijf meer emissierechten heeft dan het aan $CO_2$ uitstoot, kan
het de overgebleven rechten verkopen aan een bedrijf dat nog emissierechten
nodig heeft. Deze handel in emissierechten vindt plaats op de Amsterdamse
klimaatbeurs ECX.
Aan de hand van een voorbeeld gaan we in de rest van deze opgave na wat de
handel in emissierechten voor een bedrijf kan betekenen.

Het bedrijf Fychem stoot per jaar 100 000 ton $CO_2$ uit en beschikt over slechts
95 000 emissierechten. We onderzoeken de volgende twee mogelijkheden:
- mogelijkheid 1: het bedrijf koopt er 5000 emissierechten bij;
- mogelijkheid 2: het bedrijf neemt maatregelen om de uitstoot tot 90 000 ton
$CO_2$ terug te brengen. Dit kost het bedrijf 60 000 euro. Het bedrijf houdt nu
5000 emissierechten over en verkoopt die op de beurs.

We gaan ervan uit dat de koopprijs en de verkoopprijs van een emissierecht
even groot zijn en noemen dat de prijs van een emissierecht. Afhankelijk van de
prijs van een emissierecht kun je uitrekenen welke van de twee mogelijkheden
het voordeligst is voor Fychem.

3p 2 Neem aan dat de prijs van een emissierecht gelijk is aan 10 euro.
Onderzoek welke mogelijkheid voor Fychem het voordeligst is.

De prijs van een emissierecht op de klimaatbeurs varieert. Bij een andere prijs
dan 10 euro moet opnieuw bekeken worden welke van de twee mogelijkheden
het voordeligst is voor Fychem. Er is een prijs waarbij het voor Fychem niet
uitmaakt welke van de twee genoemde mogelijkheden wordt gekozen.
4p 3 Bereken in dat geval de prijs van een emissierecht.

925-0141-a-VW-1-o 2 lees verder ►►►

### Pagina 3

De kosten om de uitstoot van $CO_2$ te verminderen hangen af van de hoeveelheid waarmee de uitstoot wordt verminderd. Voor Fychem geldt de volgende formule:
$$K(x) = \frac{540x}{100000-x}$$
In deze formule stelt $K$ de kosten voor in duizenden euro's en $x$ het aantal ton waarmee de $CO_2$-uitstoot wordt verminderd.

Hoe meer Fychem de uitstoot van $CO_2$ vermindert, des te meer kosten zal het bedrijf hiervoor moeten maken.
4p 4 Beredeneer dit aan de hand van de formule voor $K$ zonder getallenvoorbeelden te geven.

Wanneer Fychem veel investeert in het verminderen van de uitstoot van $CO_2$, kan het bedrijf de overtollige emissierechten verkopen op de klimaatbeurs. Voor de winst die Fychem zo kan behalen geldt de formule:
$$W = 0,001 \cdot p \cdot (x-5000) - \frac{540x}{100000-x}$$
In deze formule is $W$ de winst van Fychem in duizenden euro's, $p$ de prijs van een emissierecht in euro's en $x$ het aantal ton waarmee de $CO_2$-uitstoot van Fychem wordt verminderd.

Bij een prijs van een emissierecht van 14 euro kan het verband tussen $W$ en $x$ geschreven worden als $W=0,014x-70-\frac{540x}{100000-x}$.
3p 5 Toon aan dat dit het geval is.

In figuur 1 is het verband tussen $W$ en $x$ bij een prijs van een emissierecht van 14 euro grafisch weergegeven.
figuur 1
[FIGUUR: Grafiek van W tegen x. De x-as loopt van 0 tot 100000. De y-as is gelabeld met W en begint bij 0. Er is een kromme getekend die begint onder de x-as, stijgt tot een maximum en vervolgens daalt en weer onder de x-as uitkomt. De x-as wordt gekruist op 0 en een ander punt rond de 70000. De oorsprong is gemarkeerd met O.]

3p 6 Je ziet dat de grafiek een maximum heeft. Bereken de maximale winst die Fychem bij een prijs van een emissierecht van 14 euro kan maken.

925-0141-a-VW-1-o 3 lees verder ►►►

### Pagina 4

Nominaal volume

Veel vloeistoffen worden verhandeld in flessen. De hoeveelheid vloeistof die volgens het etiket in de fles moet zitten, heet het nominaal volume. Als er bijvoorbeeld “400 ml e” op staat, dan is het nominaal volume 400 ml. Dat betekent niet dat er dan ook altijd precies 400 ml vloeistof in zit. De werkelijke hoeveelheid vloeistof in de fles zou bijvoorbeeld 401,8 ml kunnen zijn of 399,6 ml. Als de werkelijke hoeveelheid vloeistof minder is dan het nominaal volume, dan spreken we van een afwijking in minus. De afwijking in minus mag niet te groot zijn. Daar zijn Europese richtlijnen voor. In tabel 1 is voor volumes tussen 50 ml en 1000 ml de maximaal toelaatbare afwijking in minus weergegeven volgens de Europese richtlijn.

tabel 1

| nominaal volume in ml | max. toelaatbare afwijking in ml |
|---|---|
| | in % van het nominaal volume | in ml |
| 50 tot 100 | - | 4,5 |
| 100 tot 200 | 4,5 | - |
| 200 tot 300 | - | 9 |
| 300 tot 500 | 3 | - |
| 500 tot 1000 | - | 15 |

Aan de hand van tabel 1 kan een grafiek worden gemaakt van het verband tussen het nominaal volume en de maximaal toelaatbare afwijking in minus. In figuur 1 is daar al een begin mee gemaakt.

figuur 1
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as 'maximaal toelaatbare afwijking in minus in ml' (lopend van 0 tot 16) en op de x-as 'nominaal volume in ml' (lopend van 0 tot 1000). De grafiek toont een lijn die begint bij een afwijking van 4,5 ml bij een nominaal volume van 50 ml, stijgt lineair naar 9 ml bij 200 ml, en stijgt dan lineair naar 15 ml bij 500 ml.]

4p 7 Maak de grafiek af op de uitwerkbijlage.

925-0141-a-VW-1-o 4 lees verder ►►►

### Pagina 5

Flessen heten ondeugdelijk als de afwijking in minus groter is dan de maximaal
toelaatbare afwijking in minus.

Een firma produceert hoestsiroop. Volgens het etiket bevat een fles hoestsiroop
400 ml, dus het nominaal volume is 400 ml. De maximaal toelaatbare afwijking
in minus is dan 12 ml.
De werkelijke hoeveelheid hoestsiroop per fles is normaal verdeeld met een
gemiddelde van 405 ml. Uit onderzoek is gebleken dat per 1000 flessen
hoestsiroop gemiddeld 5,2 flessen ondeugdelijk zijn. Met behulp van deze
gegevens kan worden berekend dat de standaardafwijking van de werkelijke
hoeveelheid hoestsiroop per fles ongeveer gelijk is aan 6,6 ml.

5p 8 Bereken de standaardafwijking van de werkelijke hoeveelheid hoestsiroop per
fles in twee decimalen nauwkeurig.

4p 9 De firma levert een partij van 5000 flessen hoestsiroop aan een apotheek.
Bereken het verwachte aantal flessen in deze partij dat een afwijking in minus
heeft.

De overheid controleert regelmatig partijen flessen om te zien of er niet te veel
ondeugdelijke flessen tussen zitten. In tabel 2 staan de Europese richtlijnen voor
zulke controles.

tabel 2

[FIGUUR: Tabel met twee kolommen en zeven rijen. De eerste kolom heet 'grootte van de partij (aantal flessen)' met de rijen: 100 t/m 150, 151 t/m 280, 281 t/m 500, 501 t/m 1200, 1201 t/m 3200, 3201 en meer. De tweede kolom heet 'grootte van de steekproef' met de rijen: 20, 32, 50, 80, 125, 200. De derde kolom heet 'goedkeur- criterium' met de rijen: ≤1, ≤2, ≤3, ≤5, ≤7, ≤10. De vierde kolom heet 'afkeur- criterium' met de rijen: ≥2, ≥3, ≥4, ≥6, ≥8, ≥11.]

In tabel 2 zien we dat voor een partij van bijvoorbeeld 200 flessen er een
steekproef van 32 flessen genomen moet worden. Deze partij wordt
goedgekeurd als er in de steekproef niet meer dan 2 flessen ondeugdelijk zijn en
afgekeurd bij 3 of meer ondeugdelijke flessen.

Door problemen met de productie is gedurende een periode 6% van de flessen
ondeugdelijk. Tijdens deze periode wordt een partij van 5000 flessen
gecontroleerd volgens de richtlijnen in tabel 2. De firma hoopt natuurlijk dat de
partij wordt goedgekeurd.

4p 10 Bereken de kans dat dit gebeurt.

925-0141-a-VW-1-o 5 lees verder ►►►

### Pagina 6

Regelmaat

figuur 1
[FIGUUR: Patronen bestaande uit gestileerde Y-vormige figuren die steeds kleiner worden in rijen.]

De Duitse kunstenaar Alfons Kunen heeft als
voorstudie voor kunstwerken met het thema
"geconstrueerde groei" het patroon van figuur 1
getekend.

Alle figuurtjes in figuur 1 hebben dezelfde vorm.
Het figuurtje linksonder is het grootst. Uitgaande
van dit figuurtje worden in horizontale, verticale
en diagonale richting de figuurtjes steeds kleiner
volgens een vaste regelmaat.
We kijken hiervoor naar de onderste rij. Het
langste lijnstukje van het grootste figuurtje is in werkelijkheid 78 mm. Het
overeenkomstige lijnstukje in het figuurtje direct rechts hiervan is 0,71 keer zo
groot, dus in werkelijkheid ongeveer 55 mm. Er geldt de volgende regelmaat: als
je één figuurtje naar rechts gaat, worden de afmetingen met 0,71
vermenigvuldigd.

Deze regelmaat kan natuurlijk verder naar rechts worden voortgezet. Op den
duur worden de figuurtjes in de rij te klein om nog te kunnen tekenen.
Bereken hoeveel figuurtjes er in deze rij zijn waarvan het langste lijnstukje in
werkelijkheid langer is dan 2 mm.

4p 11

Als basis voor het patroon van figuur 1 heeft de kunstenaar een rooster gebruikt
van steeds kleiner wordende vierkanten. Zo'n rooster noemen we een
basisrooster. Zie figuur 2.

figuur 2
[FIGUUR: Een patron opgebouwd uit gestapelde vierkanten die trapsgewijs kleiner worden, gevormd tot een spiraalachtige structuur.]

De lengte van de zijden van de vierkanten
neemt op dezelfde wijze af als bij de figuurtjes
in figuur 1: de lengte van de zijden wordt telkens
met 0,71 vermenigvuldigd.
Die vermenigvuldigingsfactor 0,71 is afgerond.
Kunen heeft ervoor gezorgd dat de oppervlakte
van elk nieuw vierkant in een horizontale rij
steeds de helft is van die van het vorige
vierkant. Met behulp van deze voorwaarde is de
vermenigvuldigingsfactor nauwkeuriger te
berekenen.

4p 12

Bereken de vermenigvuldigingsfactor in vier
decimalen nauwkeurig.

breedte

925-0141-a-VW-1-o
6
lees verder ►►►

### Pagina 7

We bekijken nu een basisrooster waarbij het grootste vierkant een zijde van
z mm heeft. In figuur 2 is aangegeven wat met de totale breedte van een
basisrooster bedoeld wordt.
Voor de totale breedte $B$ (in mm) van een basisrooster van $n$ bij $n$ vierkanten
geldt de formule $B=z+z \cdot 0,71+z \cdot 0,71^2 + \dots + z \cdot 0,71^{n-1}$.
Hierin is $z$ de lengte (in mm) van de zijde van het grootste vierkant.
Deze formule kan voor elke waarde van $z$ worden geschreven als:
$$ B=z \cdot \frac{1-0,71^n}{0,29} $$
3p 13 Leg uit dat de formule $B=z \cdot \frac{1-0,71^n}{0,29}$ inderdaad correct is.
Met een basisrooster van 3 bij 3 vierkanten
wil men een Kunen-kunstwerk aanbrengen
op de buitenmuur van een gebouw. Voor het
kunstwerk is een stuk muur van 2 bij 2 meter
beschikbaar. Men wil dit stuk helemaal
gebruiken, dus het basisrooster moet
precies 2 bij 2 meter zijn. Zie figuur 3.
[FIGUUR: Een raster van vierkanten dat van klein naar groot op elkaar gestapeld is, met de afmetingen 2 m aan de zijkant en 2 m aan de onderkant.]
3p 14 Bereken de afmetingen van het grootste
vierkant in dit basisrooster. Rond je
antwoord af op hele mm.
Er kunnen allerlei figuurtjes in de vierkanten van het basisrooster getekend
worden. Een mogelijkheid om zulke figuurtjes te maken is de volgende: zet in
een vierkant van het basisrooster negen punten: één punt in het midden, vier
punten op de hoeken en vier op de middens van de zijden. Trek nu vanuit het
middelste punt lijnstukjes naar drie andere punten. In figuur 4 zijn drie
verschillende figuurtjes te zien die op deze manier gemaakt zijn.
figuur 4
[FIGUUR: Een raster met punten waarop lijnen getekend zijn die verschillende figuurtjes vormen.]
Er zijn echter nog veel meer figuurtjes te maken door het middelste punt met
drie andere punten te verbinden. Als extra voorwaarde wordt gesteld dat er in
een dergelijk figuurtje precies één diagonaal lijnstukje moet voorkomen. Bij de
figuurtjes in figuur 4 is dit overigens ook al het geval.
4p 15 Hoeveel verschillende figuurtjes kunnen er dan getekend worden? Licht je
antwoord toe.

925-0141-a-VW-1-o

### Pagina 8

Fouten
Overal waar tekst verwerkt wordt, worden fouten gemaakt. Het gaat dan om
slecht lopende zinnen, spelfouten, typefouten, enzovoort. Het is vrijwel
onmogelijk om er voor te zorgen dat in lange teksten zoals een boek, krant of
tijdschrift geen enkele fout voorkomt. Een manier om het aantal fouten te
verminderen is de tekst te laten controleren door een zogenoemde screener.
Een screener is iemand die fouten in een tekst probeert te ontdekken. Ook
screeners kunnen fouten over het hoofd zien. In deze opgave bekijken we een
model waarin fouten in teksten met een bepaalde kans worden ontdekt.

Screener Chris heeft al vaak teksten gecontroleerd. De kans dat een fout in de
tekst door hem wordt ontdekt is gelijk aan 0,8. Deze kans geldt voor elke fout in
de tekst. We noteren deze kans als $p_C$, dus: $p_C = 0,8$.

4p 16 Veronderstel dat er in een tekst 52 fouten zitten.
Bereken de kans dat screener Chris minstens 40 van de 52 fouten ontdekt.

De screeners Chris en Dieuwerke controleren volkomen onafhankelijk van elkaar
een tekst waarin 375 fouten zitten. Dieuwerke heeft iets minder ervaring dan
Chris. De kans $p_D$ dat een fout in de tekst door haar wordt ontdekt is 0,72, dus
voor Dieuwerke geldt $p_D = 0,72$. Voor Chris geldt weer $p_C = 0,8$.

3p 17 Bereken hoeveel fouten naar verwachting zowel door Chris als ook door
Dieuwerke zullen worden gevonden.

Een document bevat 64 fouten. Omdat het een belangrijk document is, maakt
men gebruik van vier goede screeners, die volkomen onafhankelijk van elkaar
de tekst controleren. De kans dat een van deze screeners een fout over het
hoofd ziet, is voor iedere screener voor elke fout gelijk aan 0,15.

4p 18 Bereken de kans dat alle 64 fouten worden ontdekt.

Bij het screenen van een tekst is vooraf natuurlijk niet bekend hoeveel fouten er
in voorkomen. Ook is niet altijd bekend hoe groot de kans is dat een fout door
een screener wordt ontdekt. De wiskundige Polya vroeg zich af of je na
screening van een tekst kunt weten hoeveel fouten er naar verwachting nog in
de tekst zitten. Polya bedacht dat je daar achter kunt komen door twee
screeners in te schakelen. Hij nam daarbij aan dat de screeners onafhankelijk
van elkaar een fout wel of niet ontdekken.
Elke screener maakt een lijst van de door hem ontdekte fouten. Daaruit kan een
lijst worden gemaakt van de gemeenschappelijk gevonden fouten. Dat zijn de
fouten die de screeners allebei hebben ontdekt. Niet-ontdekte fouten zijn fouten
die door geen van beide screeners zijn ontdekt.

925-0141-a-VW-1-o 8 lees verder

### Pagina 9

Polya heeft hiervoor de volgende formule opgesteld:
het verwachte aantal niet-ontdekte fouten = $\frac{(N_A - N_G) \cdot (N_B - N_G)}{N_G}$
In deze formule is:
$N_A$ = het aantal fouten dat door screener A is gevonden.
$N_B$ = het aantal fouten dat door screener B is gevonden
en
$N_G$ = het aantal gemeenschappelijk gevonden fouten.
We bekijken nu de volgende situatie: in een tekst heeft screener A een aantal fouten gevonden. Screener B heeft alle fouten gevonden die A al gevonden had, plus nog een aantal extra fouten.
3p 19 Leg uit dat in deze situatie het verwachte aantal niet-ontdekte fouten volgens de formule nul is.
4p 20 De screeners Frits en Laura controleren een tekst. Frits vindt 90 fouten en Laura vindt 88 fouten. Het aantal gemeenschappelijk gevonden fouten is 66. Nu kan met behulp van de formule van Polya het verwachte aantal fouten in de tekst berekend worden.
Bereken op grond van de resultaten van de screening het totaal aantal fouten dat naar verwachting in de tekst zit.

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
925-0141-a-VW-1-o
9
lees verder

### Pagina 10

Wedden

Via internet kun je tegenwoordig bij verschillende bookmakers terecht om te
wedden op de uitslag van een sportwedstrijd. Aan de hand van een
voetbalwedstrijd laten we zien hoe dat in zijn werk gaat.
De informatie die een bookmaker verstrekte voor de voetbalwedstrijd
Ajax – Vitesse van 27 januari 2007 zag er als volgt uit:

tabel 1

| Wedstrijd: Ajax – Vitesse | Uitkering per
ingezette euro |
| :-------------------------- | :------------------------------------- |
| Bij winst voor Ajax         | € 1,75                                 |
| Bij gelijkspel              | € 3,10                                 |
| Bij verlies van Ajax        | € 4,10                                 |

De getallen 1,75; 3,10 en 4,10 heten de quotes van deze weddenschap.
Uiteráárd kun je meer dan 1 euro inzetten, maar de inzet moet wel altijd een
geheel aantal euro's zijn.

De bookmaker stelt bij elke wedstrijd opnieuw de quotes van tevoren vast en
maakt deze op internet bekend. Vervolgens kunnen gokkers geld inzetten op
een bepaalde uitslag. Hoeveel geld een gokker wint of verliest hangt dan alleen
nog af van de uitslag van de wedstrijd.
Stel dat een supporter van Ajax € 45 op winst voor Ajax inzet. Als Ajax ook
daadwerkelijk wint, zal de supporter 45 · 1,75 = 33,75 euro winst maken.
Bij elke andere uitslag zal hij € 45 verlies hebben.
De supporter besluit om zijn kansen te spreiden door € 25 in te zetten op winst
voor Ajax, € 15 op gelijkspel en € 5 op verlies van Ajax.

4p 21. Bereken met de quotes van tabel 1 welke uitslag – winst, gelijkspel of
verlies van Ajax – bij deze inzet financieel het beste uitpakt voor deze supporter.

Veronderstel dat de quotes voor een andere wedstrijd als volgt zouden zijn:
1,50; 5,90 en 8,30 voor respectievelijk winst, gelijkspel en verlies. Charles zet in
totaal € 45 in. Hij kan die € 45 zo verdelen over de drie uitslagen (winst,
gelijkspel of verlies) dat hij altijd winst maakt, ongeacht de uitslag van de
wedstrijd.
4p 22. Hoe moet Charles die € 45 dan verdelen? Licht je antwoord toe.

In de praktijk komt de situatie van Charles natuurlijk nooit voor. Bookmakers
kiezen de quotes namelijk zodanig dat zoiets niet kan gebeuren.

925-0141-a-VW-1-o*
10
einde