# Eindexamen Wiskunde A VWO 2007 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2007/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Budget

### Vraag 2 – Budget

### Vraag 3 – Budget

### Vraag 4 – Budget

### Vraag 5 – Budget

### Vraag 6 – Budget

### Vraag 7 – Budget

### Vraag 8 – Budget

### Vraag 9 – Budget

### Vraag 10 – Budget

### Vraag 11 – Budget

### Vraag 12 – Budget

### Vraag 13 – Budget

### Vraag 14 – Budget

### Vraag 15 – Budget

### Vraag 16 – Budget

### Vraag 17 – Budget

### Vraag 18 – Budget

### Vraag 19 – Budget

### Vraag 20 – Budget

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2007
tijdvak 2
woensdag 20 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A1
Bij dit examen hoort een bijlage.

Dit examen bestaat uit 20 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

700049-2-014o

### Pagina 2

Vakanties
In het najaar van 2003 is een enquête gehouden onder 3000 Nederlanders
waarin gevraagd werd op welke wijze zij hun vakantie hadden geboekt in de
jaren 2002 en 2003. Men onderscheidde daarbij drie mogelijkheden:
– boeken via reisbureau;
– boeken via internet;
– boeken op een andere manier.
In tabel 1 zijn enkele resultaten uit deze enquête weergegeven.

tabel 1
Vakantieboekingen

[FIGUUR: Tabel met kolommen "manier van boeken in 2002", "aantal boekingen in 2002", en "overgangspercentages naar manier van boeken in 2003" met daaronder de rijen "reisbureau", "internet", "anders".]

4p 1
Uit de tabel kun je bijvoorbeeld aflezen dat 24% van de mensen die in 2002 hun
vakantie via een reisbureau hadden geboekt, dit in 2003 via internet deden. En
ook dat 90% van de mensen die in 2002 via internet hadden geboekt, dit in 2003
weer deden.
Het aantal geënquêteerden dat via internet de vakantie had geboekt, was in
2003 groter dan in 2002.
Bereken met hoeveel procent dit aantal was toegenomen.

Niet alleen bij de 3000 geënquêteerden nam het aantal internetboekingen toe,
ook landelijk was dit het geval. Uit het onderzoek ‘Consumer’s Choice of
Channels’ van Deloitte bleek namelijk dat in 2004 in Nederland de helft van alle
reizen via internet was geboekt. In 2003 was dit nog maar 35%.
Mede op grond van deze uitkomsten heeft men een formule opgesteld, die het
percentage internetboekingen goed benadert. Deze formule ziet er als volgt uit:
$$P(t) = \frac{222}{3+43 \cdot (0,43)^t}$$
In deze formule is $t$ in jaren, waarbij $t=0$ correspondeert met het jaar 2000. $P$ is
het percentage van alle vakanties dat in dat jaar is geboekt via internet.

3p 2
Onderzoek hoeveel procent van de vakanties volgens de formule voor $P$ op den
duur via internet zal worden geboekt.

7000049-2-014o 2 lees verder

### Pagina 3

De grafiek van $P$ stijgt steeds minder snel voor waarden van $t$ die groter zijn
dan 5.
We zeggen dat het aantal internetboekingen in een kalenderjaar niet
noemenswaardig meer stijgt wanneer het percentage $P$ in dat kalenderjaar
minder dan 1 is toegenomen vergeleken met het voorafgaande jaar.
4p 3 Bepaal in welk jaar het aantal internetboekingen voor het eerst niet
noemenswaardig meer stijgt.

Niet alleen in Nederland is onderzoek gedaan naar de manier waarop een
vakantie wordt geboekt. Uit een ander onderzoek is onderstaande figuur 1
afkomstig. Deze figuur heeft betrekking op de totale omzet van de Europese
reisindustrie.

figuur 1

[FIGUUR: Een staafdiagram met op de y-as de omzet (in miljarden euro) en op de x-as de jaren van 1998 tot en met 2004. Elke staaf is opgedeeld in twee delen: een donkergrijs deel dat de omzet niet via internet weergeeft, en een lichtgrijs deel dat de omzet via internet weergeeft. De percentages van de omzet via internet staan boven de lichtgrijze delen van de staven.]

Totale omzet (in miljarden euro) en
het percentage dat per internet is geboekt

250+
240+
230+
220+
210+
200+
1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
via internet
niet via internet

In de figuur kun je de jaarlijkse omzet van de totale Europese reisindustrie
aflezen voor de jaren 1998 tot en met 2004. Zo zie je bijvoorbeeld dat in het jaar
2000 de omzet 247 miljard euro was, waarvan 1,0% afkomstig was van
boekingen via internet.
Met behulp van figuur 1 kunnen we voor 2001, 2002, 2003 en 2004 de omzet
berekenen van de reizen die geboekt zijn via internet. Die omzet is ieder jaar
toegenomen.
5p 4 Laat zien dat deze omzet in de periode 2001-2004 niet exponentieel is
toegenomen.

700049-2-0140
3
lees verder

### Pagina 4

Voetbalstress

In Nederland sterven jaarlijks duizenden mannen aan een hartaanval. In figuur 2
staat een grafiek van de sterfte ten gevolge van een hartaanval.

figuur 2
Sterfte ten gevolge van een hartaanval bij mannen
100
80
60
40
20
0
1979 1982 1985 1988 1991 1994 1997 2000

Omdat de omvang van de bevolking voortdurend verandert, geeft men de sterfte
ten gevolge van een hartaanval aan met het sterftecijfer. Dat is het aantal
sterfgevallen ten gevolge van een hartaanval per 100.000 personen. In 1979
was dit sterftecijfer voor mannen 203,0. De grafiek in figuur 2 is geïndexeerd ten
opzichte van het sterftecijfer van 1979.

5p 5 In 1995 waren in Nederland ongeveer 7,6 miljoen mannen.
Laat met een berekening zien dat er in 1995 per dag gemiddeld ongeveer
23 mannen aan een hartaanval zijn overleden.

Het aantal mensen dat aan een hartaanval overlijdt, is niet elke dag even groot.
In figuur 3 zie je een staafdiagram met de aantallen sterfgevallen bij mannen ten
gevolge van een hartaanval in de periode van 17 tot en met 27 juni 1996.

figuur 3
50
aantal
40
30
20
10
0
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
juni 1996

700049-2-014o 4 lees verder ►►►


### Pagina 5

3a (6p) Van de aantallen sterfgevallen per dag in deze periode kunnen we het
gemiddelde en de standaardafwijking berekenen.
Bereken dit gemiddelde en deze standaardafwijking.

Het aantal mannen dat in de zomermaanden per dag overlijdt aan een hartaanval is
bij benadering normaal verdeeld met gemiddelde 27,6 en standaardafwijking 4,1.

In figuur 3 zijn de 90%-grenzen van deze verdeling met stippellijnen aangegeven. Dat
betekent dat naar verwachting 90% van de staafjes een lengte heeft die tussen deze
twee grenzen ligt. Deze twee grenzen liggen symmetrisch ten opzichte van het
gemiddelde. In figuur 3 is te zien dat de grenzen in de buurt van 20 en 35 liggen.
Met behulp van de hierboven genoemde normale benadering kun je deze twee
grenzen nauwkeurig berekenen.

4p (7p) Bereken deze twee grenzen in één decimaal nauwkeurig.

De periode van 17 tot en met 27 juni 1996 is interessant omdat op 22 juni 1996
een voetbalwedstrijd werd gespeeld: Nederland – Frankrijk in de kwartfinale van
het Europees kampioenschap. Die wedstrijd was tot het einde spannend.
Uiteindelijk moest de beslissing vallen door middel van een serie strafschoppen.
Omdat Nederland de laatste strafschop miste, verloor Nederland. Op die dag
was het aantal sterfgevallen bij mannen ten gevolge van een hartaanval
opvallend hoog. In figuur 3 kun je zien dat het er die dag 41 waren.
We vragen ons af of dit toeval is. Daartoe kijken we naar de kans dat op een
willekeurige zomerse dag 41 of meer mannen overlijden ten gevolge van een
hartaanval. We gaan hierbij uit van de normale verdeling met gemiddelde 27,6
en standaardafwijking 4,1.

4p (8p) Bereken deze kans.

700049-2-014o 5 lees verder ▶▶▶

### Pagina 6

Elektriciteit

In november 2004 maakte energiebedrijf Essent de tarieven voor de levering
van elektriciteit bekend voor het jaar 2005.
In tabel 2 staan de bedragen, inclusief BTW, voor huishoudens met een
*zogenaamde enkeltariefmeter*. Zoals je kunt zien, kunnen klanten bij Essent
kiezen uit drie tarieven.

tabel 2
Elektriciteitstarieven 2005

[FIGUUR: Tabel met de kolommen "vaste kosten per jaar" en "enkeltarief kWh-prijs". De rijen zijn "KeuzeTarief Budget", "KeuzeTarief Standaard", "KeuzeTarief Plus". De prijzen zijn € 0,00, € 17,85, € 35,70 voor de vaste kosten, en € 0,0814, € 0,0635, € 0,0602 voor de kWh-prijs. Onder de tabel staat "kWh = kilowattuur".]

Naast de tarieven voor elektriciteit moeten de klanten ook nog energiebelasting
betalen. Deze energiebelasting is afhankelijk van de hoogte van het
elektriciteitsverbruik. Zie tabel 3.

tabel 3
Energiebelasting Elektriciteit 2005

[FIGUUR: Tabel met twee kolommen. De eerste kolom bevat de verbruiksintervallen: "1 - 10 000 kWh (per kWh)", "10 001 - 50 000 kWh (per kWh)", en "Heffingskorting Energiebelasting (per jaar)". De tweede kolom bevat de bijbehorende bedragen: € 0,0832, € 0,0381, en -€ 230,86.]

De heffingskorting is een bedrag dat op de energiebelasting in mindering wordt
gebracht. Voor een verbruik van minstens 2775 kWh is de korting € 230,86.

3p 9 De familie Vliet verbruikt 3200 kWh per jaar.
Bereken hoe hun elektriciteitsrekening is wanneer er gekozen is voor het
KeuzeTarief Standaard.

In een consumentenonderzoek wil men graag een overzicht opnemen waarin
een klant bij elk verbruik kan zien welk KeuzeTarief het voordeligst is.
Volgens tabel 3 hangt de energiebelasting niet af van het KeuzeTarief. Daarom
laten we de energiebelasting hier buiten beschouwing. Voor de berekeningen
die nodig zijn om het overzicht te maken, heb je dan alleen tabel 2 nodig. In het
overzicht beperkt men zich tot een verbruik van 0 kWh tot 6000 kWh.

6p 10 Bereken vanaf welk verbruik KeuzeTarief Standaard voordeliger is dan
KeuzeTarief Budget en vanaf welk verbruik KeuzeTarief Plus voordeliger is dan
KeuzeTarief Standaard.

700049-2-014o 6 lees verder ▶▶▶

### Pagina 7

Essent kent ook tarieven voor huishoudens die een elektriciteitsmeter gebruiken
waarmee onderscheid wordt gemaakt tussen laagtarief en normaaftarief.
Het laagtarief wordt berekend voor elektriciteitsverbruik in het weekend en
's nachts van 23.00 tot 7.00 uur, het normaaftarief op de andere tijden.
De tarieven in deze situatie staan in tabel 4. Ook hier zijn alle bedragen inclusief
BTW.
tabel 4
Elektriciteitstarieven 2005
[FIGUUR: Tabel met elektriciteitstarieven: rijen voor KeuzeTarief Budget, KeuzeTarief Standaard, KeuzeTarief Plus; kolommen voor vaste kosten per jaar, laagtarief kWh-prijs, normaaftarief kWh-prijs]
We gaan uit van een huishouden met een jaarverbruik van 3500 kWh dat
gebruik maakt van KeuzeTarief Standaard. We laten de vaste kosten en de
energiebelasting buiten beschouwing.
Voor een huishouden dat maar 1000 van de 3500 kWh volgens het laagtarief
verbruikt, zijn de kosten € 229,15. Dit huishouden is in dat geval duurder uit dan
met het enkeltarief volgens tabel 2.
Als het huishouden 2000 van de 3500 kWh volgens het laagtarief zou
verbruiken, was het goedkoper uit dan met het enkeltarief.
5p 11 Bereken hoeveel kWh ten minste volgens het laagtarief verbruikt moet worden
om goedkoper uit te zijn dan met het enkeltarief.
700049-2-014o
7
lees verder ►►►

### Pagina 8

Kangoeroe

Veel middelbare scholen doen jaarlijks mee aan de Europese Kangoeroe reken- en wiskundewedstrijd. Deze wedstrijd dankt zijn naam aan zijn Australische oorsprong.
[FIGUUR: Een logo met een springende kangoeroe, de tekst 'Kangoeroe menu' en 'Stichting Wiskunde Kangoeroe'.]

Tijdens de wedstrijd krijgen de leerlingen 30 vragen voorgelegd. Bij elke vraag worden 5 mogelijke antwoorden gegeven, waarvan er precies één goed is.

Door tijdgebrek heeft Wieke vorig jaar bij de laatste vier vragen moeten gokken. Op goed geluk vulde zij bij elk van deze vragen één van de vijf mogelijke antwoorden in. Zo had ze een kans om minstens twee van deze vier vragen goed te gokken.
12 4p Bereken deze kans.

Elke goed beantwoorde vraag levert punten op, maar een fout antwoord levert strafpunten op. Het aantal punten en strafpunten hangt af van het nummer van de vraag, de vragen zijn daarbij in 3 groepen verdeeld:
– de vragen 1 tot en met 10 leveren 3 punten per goed antwoord op en $\frac{3}{4}$ strafpunt per fout antwoord;
– de vragen 11 tot en met 20 leveren 4 punten per goed antwoord op en 1 strafpunt per fout antwoord;
– de vragen 21 tot en met 30 leveren 5 punten per goed antwoord op en $1\frac{1}{4}$ strafpunt per fout antwoord.
Per vraag mag je slechts één antwoord kiezen. Als je geen antwoord invult, krijg je geen punten, maar ook geen strafpunten voor die vraag.

Wieke vraagt zich af of het niet beter is om een vraag waarvan je het antwoord niet weet, onbeantwoord te laten. Je kunt dan weliswaar geen punten verdienen, maar je krijgt in elk geval ook geen strafpunten.
Wieke berekent dat bij gokken de verwachtingswaarde van het aantal punten bij de vragen 1 tot en met 10 gelijk is aan 0. Het maakt dus bij deze vragen niet uit of je gokt of geen antwoord invult.
13 4p Onderzoek hoe dat zit bij de andere vragen door de verwachtingswaarde van het aantal punten bij gokken te berekenen bij een van de vragen 11 tot en met 20 en bij een van de vragen 21 tot en met 30.

700049-2-014o 8 lees verder ►►►

### Pagina 9

Naast de genoemde punten en strafpunten krijgt elke deelnemende leerling
30 punten om mee te beginnen. Wanneer je hier de behaalde punten bij optelt
en de strafpunten er van aftrekt, krijg je de eindscore.

We gaan onderzoeken wat er kan gebeuren met de eindscore van een leerling
die bij elke vraag willekeurig een antwoord invult en geen vragen open laat.
In de tabel op de bijlage staan de kansen op verschillende eindscores.
Daarnaast staan ook de cumulatieve kansen. De kans dat een leerling die alle
antwoorden gokt een eindscore van bijvoorbeeld 40 punten haalt, is gelijk aan
0,02744. De kans op een eindscore van 40 punten of minder is 0,82869.

Vier deelnemers aan de Kangeroewedstrijd hebben besloten om bij alle vragen
het antwoord te gokken. Ze hopen dat ze daarmee minimaal de beginscore van
30 punten halen.

4p 14 Bereken de kans dat van deze vier deelnemers er twee een score van 30 punten
of meer halen en de andere twee deelnemers niet.

De kansen die in de tabel op de bijlage staan, kunnen we ook berekenen. Dat
gaan we hier doen voor de kans dat de eindscore gelijk is aan 7,5 punten.
Volgens de tabel is deze kans gelijk aan 0,00348.
De eindscore van 7,5 punten kun je alleen behalen wanneer je van de vragen 1
tot en met 10 er precies 2 goed en 8 fout hebt en de overige 20 vragen allemaal
fout.

5p 15 Toon aan dat de kans op een eindscore van 7,5 punten ongeveer 0,00348 is.

In de tabel kun je zien dat een eindscore van 0 punten wel mogelijk is, maar een
eindscore van 1,25 of 2,5 punten niet.

4p 16 Leg uit waarom een eindscore van 1,25 of 2,5 punten niet mogelijk is.

700049-2-014o 9 lees verder ► ► ►

### Pagina 10

DISK

Een hobbycomputerclub geeft elke maand het tijdschrift DISK uit, waarop alleen
eigen leden zich kunnen abonneren. Gedurende lange tijd is het aantal
abonnees gelijk aan 90. Omdat de computerclub maar liefst 5400 leden telt,
heeft men besloten een reclamecampagne te starten om meer leden te werven
voor een abonnement op DISK.
De campagne heeft succes: al na één maand zijn er 17 nieuwe abonnees, een
maand later hebben zich weer nieuwe abonnees aangemeld en wel 21. Tabel 5
geeft dit verloop voor de eerste maanden weer.

tabel 5
[FIGUUR: Tabel met 3 rijen en 6 kolommen. De eerste kolom bevat 'n (maandnummer)', 'A_n (aantal nieuwe abonnees in deze maand)' en 'N_n (totale aantal abonnees na deze maand)'. De kolommen 2 tot en met 6 bevatten de maandnummers 0, 1, 2, 3, 4 en '...'. De rij 'A_n' bevat de waarden 90, 17, 21, 25, '...'. De rij 'N_n' bevat de waarden 90, 107, 128, 153, '...'.]

De eerste drie maanden geldt voor $A_n$ de formule: $A_n = 4n + 13$. Neem bij de
vragen 17, 18 en 19 aan dat deze formule ook geldt voor alle volgende
maanden.

3p 17
Bereken het totale aantal abonnees na 6 maanden.

Met behulp van de formule voor $A_n$ kan een formule worden opgesteld voor het
totale aantal abonnees $N_n$. Deze formule kan geschreven worden als
$$N_n = an^2 + bn + c.$$ Hierin is $a = 2$.

4p 18
Bereken $b$ en $c$.

3p 19
Als het totale aantal abonnees zo blijft toenemen, zal DISK op zeker moment
meer dan 1000 abonnees hebben.
Laat zien dat er dan na 18 maanden voor het eerst meer dan 1000 abonnees
zullen zijn.

700049-2-014o 10 lees verder ► ►►

### Pagina 11

De formules voor $N_n$ en $A_n$ zijn niet realistisch. Het aantal abonnees zal bij de
start van de reclamecampagne snel toenemen en na verloop van tijd minder
snel toenemen. Het totale aantal abonnees op DISK zal nooit groter kunnen zijn
dan het aantal leden. Deze ontwikkeling is in figuur 4 met een globale grafiek
weergegeven.

figuur 4
[FIGUUR: Een grafiek met op de y-as 'aantal' en op de x-as 'tijd'. De grafiek begint bij de oorsprong, stijgt eerst snel en vlakt dan af, wat een s-vormige curve oplevert.]

De volgende formule geeft de ontwikkeling van het totale aantal abonnees beter
weer:
$$T_{n+1} = T_n + 0,2 \cdot T_n \cdot (1 - \frac{T_n}{5400}) \text{ en } T_0 = 90$$
In deze formule is $T_n$ het totale aantal abonnees na $n$ maanden.

4p 20 Onderzoek met behulp van deze formule na hoeveel maanden er voor het eerst
meer dan 1000 abonnees zijn.

700049-2-0140* 11 einde ■