# Eindexamen Wiskunde A VWO 2006 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2006/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 18

### Vraag 19 – Opgave 19

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

wiskunde A1,2
Examen VWO
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs
20 06
Tijdvak 1
Donderdag 1 juni
13.30 – 16.30 uur

Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te
behalen; het examen bestaat uit 20 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Voor de beantwoording van de vragen 8, 10 en
14 is een uitwerkbijlage bijgevoegd.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
aantal van deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
gevraagd en je geeft meer dan twee redenen,
dan worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegedeeld.

600025-1-16o
Begin

### Pagina 1

wiskunde A1
Examen VWO
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs
20 06
Tijdvak 1
Donderdag 1 juni
13.30 – 16.30 uur
Voor dit examen zijn maximaal 82 punten te
behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Voor de beantwoording van vraag 8 is een
uitwerkbijlage bijgevoegd.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden o.i.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
gevraagd en je geeft er meer dan twee redenen,
dan worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegeteld.
600025-1-140
Begin

### Pagina 2

Beschuit

Gewone beschuiten worden verkocht in beschuitrollen van 13 stuks. Een gewone beschuit
weegt gemiddeld 8,0 gram.
Er zijn ook grotere, zogenaamde ‘Twentsche beschuiten’ die worden verkocht in zakken van
10 stuks. Een Twentsche beschuit weegt gemiddeld 10,7 gram.

[FIGUUR: Twee stapels beschuiten op de voorgrond. Op de achtergrond staan verpakkingen van beschuiten.]

Enige tijd geleden kostte in de supermarkt een rol gewone beschuit € 0,91 en een zak
Twentsche beschuit € 0,93.
3p 1 Bij welk van deze twee artikelen verwacht je het meeste beschuit voor je geld? Motiveer je
antwoord.

Vanzelfsprekend wegen beschuiten niet allemaal precies even veel. Het gewicht van een
gewone beschuit is normaal verdeeld met een gemiddeld gewicht van 8,0 gram en een
standaardafwijking van 0,6 gram. Het gewicht van een Twentsche beschuit is ook normaal
verdeeld. Een Twentsche beschuit weegt gemiddeld 10,7 gram met een standaardafwijking
van 0,9 gram.
Zowel bij een rol gewone beschuit als bij een zak Twentsche beschuit kan het gebeuren dat
de inhoud minder weegt dan de 100 gram die op de verpakking staat vermeld.
6p 2 Bereken bij welke soort beschuit de kans daarop het grootst is.

Een fabrikant van gewone beschuit gaat ervan uit dat de machines voor productie van
gewone beschuiten zo zijn ingesteld dat slechts 5% van de beschuiten te licht is. Een
medewerker van deze fabriek heeft echter de indruk dat meer dan 5% van de beschuiten te
licht is. Om zijn vermoeden te onderzoeken, pakt hij willekeurig 50 beschuiten. Van deze
50 beschuiten blijken er 6 te licht te zijn.
6p 3 Onderzoek of dit resultaat voldoende aanleiding is om de medewerker in het gelijk te
stellen. Hanteer daarbij een significantieniveau van 1%.

600025-1-16o 2 Lees verder

### Pagina 2

Beschuit

Gewone beschuiten worden verkocht in beschuitrollen van 13 stuks. Een gewone beschuit
weegt gemiddeld 8,0 gram.
Er zijn ook grotere, zogheten 'Twentsche beschuiten' die worden verkocht in zakken van
10 stuks. Een Twentsche beschuit weegt gemiddeld 10,7 gram.

[FIGUUR: Twee stapels beschuiten, één met een verpakking met "TWENTSCHE" erop.]

foto

Enige tijd geleden kostte in de supermarkt een rol gewone beschuit € 0,91 en een zak
Twentsche beschuit € 0,93.
3p 1 Bij welk van deze twee artikelen verwacht je het meeste beschuit voor je geld? Motiveer je
antwoord.

Vanzelfsprekend wegen beschuiten niet allemaal precies even veel. Het gewicht van een
gewone beschuit is normaal verdeeld met een gemiddeld gewicht van 8,0 gram en een
standaardafwijking van 0,6 gram. De kans is daarom vrij groot dat een willekeurige gewone
beschuit meer weegt dan 7,5 gram. Toch gebeurt het niet vaak dat in een rol gewone
beschuit elke beschuit meer dan 7,5 gram weegt.

5p 2 Bereken de kans dat in een rol gewone beschuit elke beschuit meer dan 7,5 gram weegt.

Het gewicht van een Twentsche beschuit is ook normaal verdeeld. Een Twentsche beschuit
weegt gemiddeld 10,7 gram met een standaardafwijking van 0,9 gram.
Zowel bij een rol gewone beschuit als bij een zak Twentsche beschuit kan het gebeuren dat
de inhoud minder weegt dan de 100 gram die op de verpakking staat vermeld. Voor gewone
beschuit is de kans op deze gebeurtenis 0,032.
5p 3 Bereken bij welke soort beschuit de kans het grootst is dat de inhoud minder weegt dan de
100 gram die op de verpakking staat.

600025-1-140 2 Lees verder

### Pagina 3

Krasactie
Schoenwinkel Boermans bestaat 40 jaar. Om dat te vieren overweegt eigenaar Boermans om
een actie met kraskaarten te houden. ledere klant die voor ten minste 50 euro in de winkel
besteedt, krijgt een kraskaart. Op elke kraskaart komen acht vakjes die opengekrast kunnen
worden. In zes willekeurig gekozen vakjes staat het woord ‘jammer!’. In de andere twee
vakjes staat het gezicht van Boermans afgebeeld. De klant mag naar keuze twee vakjes
openkrassen. Indien een klant ten minste één maal het gezicht van Boermans te voorschijn
krast, dan levert dat de klant een cadeaubon op.
Een klant die een kraslot mag gaan krassen, heeft een kans van $\frac{26}{56}$ op een cadeaubon.
Het is mogelijk dat van de eerste tien klanten die op een dag hebben gekrast, er drie een
cadeaubon hebben gewonnen en zeven geen cadeaubon hebben gewonnen.
Bereken de kans dat dit gebeurt.
Boermans verwacht dat hij per dag gemiddeld 13 cadeaubonnen zal moeten uitdelen. Deze
verwachting baseert hij op het gemiddelde aantal klanten per dag die in het verleden
50 euro of meer besteedden.
Bereken dit gemiddelde aantal klanten per dag waarvan Boermans is uitgegaan.
De krasactie van Boermans gaat een jaar duren. Een klant kan met een in de krasactie
gewonnen cadeaubon een keuze maken uit een beperkte, speciaal daarvoor aangewezen
voorraad artikelen in Boermans' winkel.
Boermans heeft nog niet besloten hoe groot hij de waarde van de cadeaubonnen zal maken.
Hij wil kiezen uit de volgende twee mogelijkheden.
• Mogelijkheid A: gedurende de hele actie is elke cadeaubon 17,50 euro waard.
• Mogelijkheid B: elke cadeaubon die op de eerste dag wordt uitgedeeld is 5 euro waard; elke
cadeaubon die op de tweede dag wordt uitgedeeld is 5,10 euro waard; elke cadeaubon die
op de derde dag wordt uitgedeeld is 5,20 euro, enzovoort. Elke dag dat de winkel geopend is
worden de bonnen 0,10 euro meer waard. Omdat Boermans in een jaar 300 dagen geopend
is, zijn de bonnen op de laatste dag van de actie 34,90 euro waard.
Boermans wil een indicatie hebben hoeveel geld hij bij beide mogelijkheden kwijt zal raken
aan cadeaubonnen. Bij de berekeningen mag je ervan uit gaan dat Boermans elke dag
precies 13 cadeaubonnen uitdeelt.
Bij mogelijkheid B kan de totale dagwaarde $d_n$ van de cadeaubonnen die Boermans op de
$n$-de dag uitdeelt, berekend worden met de formule $d_n = (4,90 + 0,10n) \cdot 13 = 63,7 + 1,3n$.
De totale dagwaarde van dag 1 is dus $63,7 + 1,3 \cdot 1 = 65$ euro en die van dag 2 is 66,3.
De totale actiewaarde $a_n$ is de optelsom van alle cadeaubonnen die tot en met de $n$-de dag
zijn uitgedeeld. Dus $a_n = d_1 + d_2 + \dots + d_n$. Dit betekent dat de totale actiewaarde $a_n$ kan
worden berekend met de formule $a_n = 64,35n + 0,65n^2$.
Toon de juistheid van de formule $a_n = 64,35n + 0,65n^2$ aan.
Onderzoek bij welk van beide

### Pagina 3

Krasactie
Schoenwinkel Boermans bestaat 40 jaar. Om dat te vieren overweegt eigenaar Boermans om
een actie met kraskaarten te houden. Iedere klant die voor ten minste 50 euro in de winkel
besteedt, krijgt een kraskaart. Op elke kraskaart komen acht vakjes die opengekrast kunnen
worden. In zes willekeurig gekozen vakjes staat het woord 'jammer'. In de andere twee
vakjes staat het gezicht van Boermans afgebeeld. De klant mag naar keuze twee vakjes
openkrassen. Indien een klant ten minste één maal het gezicht van Boermans te voorschijn
krast, dan levert dat de klant een cadeaubon op.
Een klant die een kraslot mag gaan krassen, heeft een kans van $\frac{26}{56}$ op een cadeaubon.
4p 4□ Laat met een berekening zien dat deze kans juist is.

Het is mogelijk dat de vijfde klant die op een dag gaat krassen, de eerste klant is die op die
dag een cadeaubon wint.
3p 5□ Bereken de kans dat dit gebeurt.

Boermans verwacht dat hij per dag gemiddeld 13 cadeaubonnen zal moeten uitdelen. Deze
verwachting baseert hij op het gemiddelde aantal klanten per dag die in het verleden
50 euro of meer besteedden.
3p 6□ Bereken dit gemiddelde aantal klanten per dag waarvan Boermans is uitgegaan.

De krasactie van Boermans gaat een jaar duren. Een klant kan met een in de krasactie
gewonnen cadeaubon een keuze maken uit een beperkte, speciaal daarvoor aangewezen
voorraad artikelen in Boermans' winkel.

Boermans heeft nog niet besloten hoe groot hij de waarde van de cadeaubonnen zal maken.
Hij wil kiezen uit de volgende twee mogelijkheden:
• Mogelijkheid A: gedurende de hele actie is elke cadeaubon 17,50 euro waard.
• Mogelijkheid B: elke cadeaubon die op de eerste dag wordt uitgedeeld is 5 euro waard; elke
cadeaubon die op de tweede dag op de tweede dag wordt uitgedeeld is 5,10 euro waard; elke cadeaubon die
op de derde dag wordt uitgedeeld is 5,20 euro, enzovoort. Elke dag dat de actie geopend is
worden de bonnen 0,10 euro meer waard. Omdat Boermans in een jaar 300 dagen geopend is,
zijn de bonnen op de laatste dag van de actie 34,90 euro waard.

Boermans wil een indicatie hebben hoeveel geld hij bij beide mogelijkheden kwijt zal raken
aan cadeaubonnen. Bij de berekeningen mag je ervan uit gaan dat Boermans elke dag
precies 13 cadeaubonnen uitdeelt.
6p 7□ Bereken hoeveel geld Boermans kwijt is bij elk van beide mogelijkheden.

600025-1-14o 3 Lees verder


### Pagina 4

Voedsel zoeken

De meeste roofdieren proberen iedere dag hun voedsel zo snel mogelijk te vangen.
Naarmate meer voedsel is gevangen, wordt het vaak moeilijker om nog meer voedsel te
vangen. Deze opgave gaat over het wiskundige model dat daarbij gemaakt kan worden.
In dat model geeft de opbrengstfunctie het verband aan tussen de hoeveelheid voedsel (de
voedselopbrengst) en de tijd die nodig is om die hoeveelheid voedsel te vangen.

In figuur 1 is de grafiek getekend van de opbrengstfunctie voor roofdiersoort A. De
voedselopbrengst is uitgedrukt in energie-eenheden (ee) en de benodigde tijd in uren.
Figuur 1 staat vergroot op de uitwerkbijlage.

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as 'voedselopbrengst (ee)' van 0 tot 5 en op de x-as 'tijd (uren)' van 0 tot 6. De grafiek is een kromme die start op (0,0) en stijgt, met een afnemende stijging.]

We bekijken een roofdier van soort A. Na 0,5 uur heeft dit roofdier een bepaalde
hoeveelheid energie aan voedsel gevangen. Om de dubbele hoeveelheid te vangen is meer
dan het dubbele van 0,5 uur nodig.
4p 8 Bepaal met behulp van figuur 1 hoeveel maal zo groot de daarvoor benodigde tijd is.

Sommige roofdieren leven niet in hetzelfde gebied als hun prooidieren. Zulke roofdieren
moeten zich eerst verplaatsen naar hun voedselgebied voordat ze met de jacht kunnen
beginnen. De tijd die nodig is om een bepaalde hoeveelheid voedsel te vangen wordt
daardoor uitgebreid met de reistijd. Dit heeft gevolgen voor de gemiddelde opbrengst per uur.

In figuur 2 is de grafiek van de opbrengstfunctie van roofdiersoort B getekend. Zoals je in
figuur 1 kunt zien, is een roofdier van deze soort 2 uur onderweg (1 uur heen en 1 uur
terug). Figuur 2 staat vergroot op de uitwerkbijlage.

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as 'voedselopbrengst (ee)' van 0 tot 5 en op de x-as 'tijd (uren)' van 0 tot 6. De grafiek toont een doorgetrokken lijn en een stippellijn. De doorgetrokken lijn start op (0,0) en stijgt, met een afnemende stijging. Een punt Q ligt op deze lijn bij (5,3). Een stippellijn begint op (0,0) en gaat door punt P, dat ongeveer op (3,1.8) ligt. Een rechte lijn (stippellijn) gaat door de oorsprong en punt Q.]

Op de grafiek van roofdiersoort B bevindt zich het punt Q met coördinaten (5, 3). Dat wil
zeggen dat, als een roofdier van roofdiersoort B 5 uur jaagt (inclusief verplaatsing), dan is
zijn voedselopbrengst 3 ee. De gemiddelde voedselopbrengst is dan $\frac{3}{5} = 0,6$ ee/uur.

3p 9 In figuur 2 is ook een stippellijn getekend die gaat door de oorsprong en punt Q. Deze
stippellijn snijdt de grafiek van roofdiersoort B ook in punt P.
Leg uit, zonder berekening, dat de gemiddelde voedselopbrengst die hoort bij punt P ook
gelijk is aan 0,6 ee/uur.

4p 10 Op de grafiek van roofdiersoort B bevindt zich een punt waarbij

### Pagina 4

Mobiel

In de jaren negentig van de twintigste eeuw hebben steeds meer mensen een mobiele telefoon aangeschaft. Om de ontwikkelingen te volgen, kijken telefoonbedrijven vooral naar het $deelnamepercentage$. Dat is het aantal abonnees met een mobiele telefoon in een land, uitgedrukt als percentage van het aantal inwoners van dat land.
In de grafiek van figuur 1 is weergegeven hoe de deelnamepercentages van Nederland en Italië zich de afgelopen jaren hebben ontwikkeld. Figuur 1 staat vergroot op de uitwerkbijlage.

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as percentage en op de x-as de jaren '91 tot '03. Er zijn twee lijnen: een stippellijn voor Italië en een doorgetrokken lijn voor Nederland. Beide lijnen stijgen.]

Zoals je in figuur 1 kunt zien, is het deelnamepercentage van Italië vanaf 1994 voortdurend groter dan het deelnamepercentage van Nederland. Het verschil tussen het deelnamepercentage van Italië en het deelnamepercentage van Nederland is echter niet elk jaar even groot.

5p 8 $\Box$ Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de grafiek van dit verschil vanaf 1994. Licht je werkwijze toe.

De grafiek van Nederland kan goed worden benaderd met de formule:
$p_{\text{Nederland}} = \frac{81}{1+30 \cdot 0,49^t}$

Hierin is $p_{\text{Nederland}}$ het deelnamepercentage van Nederland en $t$ de tijd in jaren. Hierbij komt $t=0$ overeen met 1 januari 1995.

4p 9 $\Box$ Gedurende het hele jaar 2000 had Nederland ongeveer 16 miljoen inwoners.
Onderzoek met behulp van de formule of er in het jaar 2000 meer dan 2 miljoen abonnees zijn bijgekomen.

De markt voor mobiele telefoons is vrijwel verzadigd wanneer het deelnamepercentage de 80 passeert.
5p 10 $\Box$ Bereken met behulp van de formule in welke maand van welk jaar dat in Nederland het geval is.

De grafiek van Italië kan goed worden benaderd met de formule:
$p_{\text{Italië}} = \frac{81}{1+10 \cdot 0,49^t}$

Hierin is $t$ weer de tijd in jaren. Met $t=0$ komt 1 januari 1995 overeen.

Aan de hand van de formules van Nederland en Italië kunnen we berekenen wanneer het verschil tussen het deelnamepercentage van Italië en het deelnamepercentage van Nederland het grootst was.
4p 11 $\Box$ Hoe groot is volgens de formules het maximale verschil tussen de deelnamepercentages van Italië en Nederland? Licht je antwoord toe.

600025-1-14o 4 Lees verder


### Pagina 5

Een roofdier van soort C is in totaal 1 uur onderweg. Voor deze roofdieren is de
opbrengstfunctie gegeven door de formule:
$r = 4\sqrt{t-1}$ als $t > 1$ (voor het eerste uur geldt: $r = 0$)
Hierin is $t$ de tijd in uren en $r$ de hoeveelheid gevonden voedsel in ce.

Deze opbrengstfunctie $r$ heeft voor $t > 1$ de volgende twee eigenschappen:
• een langere tijd levert altijd een hogere opbrengst op;
• de toename van de opbrengst wordt steeds geringer naarmate $t$ groter wordt.
Deze twee eigenschappen zijn zichtbaar in de grafiek van $r$, maar ze kunnen ook worden
verklaard aan de hand van de grafiek van de afgeleide van $r$.
5p 11 □ Schets de grafiek van de afgeleide van $r$ en verklaar de beide eigenschappen aan de hand
van deze grafiek.

600025-1-16o 5 Lees verder


### Pagina 5

Cine-tv

De firma Cine-tv vertoont speelfilms op de kabeltelevisie. Alleen mensen die een
abonnement hebben, kunnen deze films zien. Hun televisietoestel is daarvoor voorzien van
een decoder.

Het abonnement bij Cine-tv kost momenteel € 30,- per kwartaal. Bij Cine-tv overweegt men
de abonnees meer films aan te bieden. Maar dan moet de abonnementsprijs wel worden
verhoogd. Om na te gaan welke verhoging Cine-tv het best kan toepassen, is een enquête
onder de abonnees gehouden. In tabel 1 zie je in procenten uitgedrukt hoeveel leden
akkoord gaan met een verhoging en hoeveel leden hun abonnement zullen opzeggen.

[FIGUUR: Tabel met opbrengst verhoging abonnementsprijs en percentage akkoord en percentage opzeggers]

tabel 1
verhoging kwartaalprijs met
percentage akkoord
percentage opzeggers
€ 0,-
100
0
€ 2,50
94
6
€ 5,-
87
13
€ 7,50
79
21

4p 12 $\Box$
Een verhoging van de abonnementsprijs levert Cine-tv een andere opbrengst op. Bij Cine-tv
wil men weten bij welke van de verhogingen die in de tabel worden genoemd, deze
opbrengst het grootst is.
Onderzoek bij welke verhoging van de abonnementsprijs dat het geval is.

Elke zaterdagavond zendt Cine-tv een zogenaamde *special* uit. Dat is een speelfilm die door
een panel van 50 willekeurig gekozen abonnees is geselecteerd. Voor de selectie van de
special krijgen de 50 panelleden zes films voorgelegd. Ieder lid van het panel geeft nu zijn
voorkeur aan door 3 punten toe te kennen over de zes films. Dat kan als volgt:
• een panellid kent aan drie verschillende films elk 1 punt toe, of
• een panellid kent aan één film 2 punten toe en aan één andere film nog 1 punt, of
• een panellid kent aan één film alle 3 punten toe.
De film met de meeste punten is de special die op de zaterdagavond wordt uitgezonden.

5p 13 $\Box$
Bij een van de zaterdagenavonden had het panel de keuze uit zes films waaronder de thriller
‘Footsteps in the dark’. Bij de keuze bleek dat 41 panelleden aan deze film geen enkel punt
hadden toegekend. Toch werd deze film uitgezonden.
Laat met een getallenvoorbeeld zien dat dit inderdaad mogelijk is.

4p 14 $\Box$
Voor de zes films waaruit de special wordt geselecteerd, heeft Cine-tv de beschikking over
50 thrillers, 40 avonturenfilms, 30 komedies en 30 science-fiction-films. Uit deze 150 films
kiest Cine-tv willekeurig zes films die aan het panel voorgelegd zullen worden.
Bereken de kans dat van de zes films twee een thriller zijn.

600025-1-14o 5 Lees verder


### Pagina 6

Bouwproject

De gemeente Vriesbergen wil woningen en winkels laten bouwen op een terrein van $1\,000\,000\,\text{m}^2$.

foto

nieuwbouw

[FIGUUR: Foto van een rij moderne huizen met tuinen.]

De gemeentelijke planologische dienst gaat dit project ontwerpen. Dit project zal aan enkele voorwaarden moeten voldoen:

Verdeling

* Voor elke $\text{m}^2$ woonoppervlak moet $1\,\text{m}^2$ ‘tuin’ extra gereserveerd worden voor de woningen. Dus voor elke $\text{m}^2$ woonoppervlak wordt $2\,\text{m}^2$ grond in gebruik genomen.
* Voor elke $50\,\text{m}^2$ winkeloppervlak moet $20\,\text{m}^2$ extra voor parkeerplaatsen worden bestemd.
* Om ruimte te hebben voor openbare groenvoorzieningen en wegen mag het totale grondoppervlak voor woningen (inclusief tuin) plus het totale grondoppervlak voor winkels (inclusief parkeerplaatsen) samen ten hoogste $60%$ van het totale oppervlak beslaan.

Verontreiniging

* Voor $1\,\text{m}^2$ woonoppervlak rekent men 40 eenheden verontreiniging en voor $1\,\text{m}^2$ winkeloppervlak rekent men 4 eenheden verontreiniging.
* In totaal is maximaal 3 000 000 eenheden verontreiniging toelaatbaar.

Regionale functie
Omdat het gebied een regionale winkelfunctie moet krijgen, eist de gemeente dat het aantal $\text{m}^2$ winkeloppervlak ten minste gelijk is aan $50\,000\,\text{m}^2$ plus vier maal het aantal $\text{m}^2$ woonoppervlak.

Noem het aantal $\text{m}^2$ woonoppervlak $x$ en het aantal $\text{m}^2$ winkeloppervlak $y$. Naast de beperkende voorwaarden $x \ge 0$ en $y \ge 0$ gelden nu ook de voorwaarden:

(1) $2x + 1,4y \le 600\,000$
(2) $y - 4x \ge 50\,000$
(3) $10x + y \le 750\,000$

5p 12 $\Box$ Laat zien hoe de voorwaarden (1), (2) en (3) uit bovenstaande gegevens volgen.

600025-1-16o 6 Lees verder


### Pagina 6

Verkeersslachtoffers in Nederland
In het jaar 2000 zijn 1160 personen in het verkeer in Nederland om het leven gekomen. Ten opzichte van het jaar 2000 is het aantal verkeersdoden in het jaar 2001 gedaald met 6,47%. Bij de mannen daalde het aantal verkeersdoden met 31 tot 821. Met deze gegevens kunnen we berekenen met welk percentage het aantal vrouwelijke verkeersdoden in 2001 is gedaald ten opzichte van 2000.
5p 15 □ Bereken dit percentage.
In figuur 2 staan de verkeersdoden van het jaar 2000 in een staafdiagram verdeeld naar leeftijds categorie.

[FIGUUR: Staafdiagram met op de y-as 'aantal doden' (lopend van 0 tot 160) en op de x-as leeftijds categorieën (0 tot 5, 5 tot 10, ..., 70 tot 75, 75 en ouder). De staven laten het aantal doden per categorie zien.]

figuur 2

De bevolkingsopbouw van het jaar 2000 is weergegeven in figuur 3.
figuur 3
[FIGUUR: Bevolkingspiramide met op de y-as leeftijds categorieën (0-4, 5-9, ..., 85-89) en op de x-as percentages (lopend van 7% links naar 7% rechts, met 0 in het midden). De piramide toont de verdeling van mannen (links) en vrouwen (rechts) per leeftijdsgroep.]
Om het totale percentage per leeftijdscategorie te bepalen moet je de percentages mannen en vrouwen optellen. Voor, bijvoorbeeld, de leeftijdscategorie 5 tot 10 jaar is af te lezen dat het totale percentage ongeveer 6,4% is.
6p 16 □ Onderzoek aan de hand van figuur 2 en figuur 3 of in het jaar 2000 een persoon uit de leeftijdscategorie 25 tot 30 jaar een grotere of kleinere kans had op een dodelijk verkeersongeval dan een persoon uit de leeftijdscategorie 70 tot 75 jaar.
600025-1-140 6 Lees verder

### Pagina 7

Nog een aspect van het project waar een voorwaarde uit voortvloeit, wordt gevormd door de
kosten.

Kosten
* Het hele project mag niet meer dan 400 miljoen euro kosten.
* De bouw van 1 m² woonoppervlak kost 2400 euro.
* De bouw van 1 m² winkeloppervlak kost 800 euro.

2p 13 [] Op grond van de gegevens over de kosten kun je de beperkende voorwaarde (4) opstellen.
Stel deze beperkende voorwaarde op.

In figuur 3 zijn de grenzen van de vier beperkende voorwaarden getekend. Figuur 3 staat
vergoot op de uitwerkbijlage.

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as waarden van 0 tot 700.000 en op de x-as waarden van 0 tot 200.000. Er zijn vier lijnen getekend die verschillende snijpunten hebben.]

5p 14 [] Met behulp van figuur 3 is in te zien dat een van de vier beperkende voorwaarden eigenlijk
overbodig is.
Welke van de vier beperkende voorwaarden is overbodig? Licht je antwoord toe met behulp
van de figuur op de uitwerkbijlage.

4p 15 [] De gemeentelijke planologische dienst wil zo veel mogelijk m² woonoppervlak realiseren.
Onderzoek hoeveel m² het totale grondoppervlak voor woningen (inclusief tuin) plus het
totale grondoppervlak voor winkels (inclusief parkeerplaatsen) in dat geval zal beslaan.

600025-1-160 7 Lees verder

### Pagina 7

In figuur 4 zie je een grafiek van het aantal verkeersdoden voor de jaren 1950 tot en met
2002.
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as 'aantal verkeersdoden' (lopend van 0 tot 3500) en op de x-as 'tijd' (lopend van 1950 tot 2005). De grafiek toont een reeks punten die eerst stijgt, dan een piek bereikt rond 1970, en daarna gestaag daalt.]
4p 17 □ Bereken dit percentage.
Het verloop van het aantal verkeersdoden, zoals je dat ziet in figuur 4, kan bij benadering
worden beschreven met de volgende formule:
$$ N = 0,8 + \frac{t+2}{10+(0,04t)^{6,8}} $$
In deze formule is $N$ het aantal verkeersdoden per jaar in duizendtallen en $t$ is de tijd in
jaren vanaf 1950, dus $t=0$ in 1950.
Deze formule is slechts een model dat hoort bij figuur 4. Daarom komt de grafiek die hoort
bij de formule niet precies overeen met de grafiek uit figuur 4. Een belangrijk verschil is
bijvoorbeeld dat volgens de formule de piek in het aantal verkeersdoden met 1972
plaatsvond, maar in een ander jaar.
3p 18 □ Onderzoek in welk jaar de piek plaatsvond volgens bovenstaande formule.
Uiteeraard is ieder verkeersslachtoffer er een te veel. De overheid wil het aantal
verkeersslachtoffers dan ook verminderen. Wanneer de overheid de reeds bestaande
maatregelen voortzet, dan verwacht men dat het aantal verkeersdoden zich in de toekomst
ontwikkelt volgens bovenstaande formule. Alleen als de overheid nog extra maatregelen
neemt om de verkeersveiligheid te bevorderen, zal het aantal verkeersdoden in de toekomst
lager kunnen worden dan volgens de formule. Doelstelling is om het aantal verkeersdoden
minder dan 750 te laten zijn.
4p 19 □ Onderzoek, uitgaande van de gegeven formule, of er inderdaad extra maatregelen nodig zijn
om deze doelstelling te halen.
Einde
600025-1-140 7
eiden.nl. Pagina: 1809

### Pagina 8

Verkeersslachtoffers in Nederland
In het jaar 2000 zijn 1160 personen in het verkeer in Nederland om het leven gekomen. Ten
opzichte van het jaar 2000 is het aantal verkeersdoden in het jaar 2001 gedaald met 6,47%.
Bij de mannen daalde het aantal verkeersdoden met 31 tot 821.
Met deze gegevens kunnen we berekenen met welk percentage het aantal vrouwelijke
verkeersdoden in 2001 is gedaald ten opzichte van 2000.
5p 16 Bereken dit percentage.
In figuur 4 staan de verkeersdoden van het jaar 2000 in een staafdiagram verdeeld naar
leeftijdscategorie.

[FIGUUR: Staafdiagram met leeftijdsgrenzen op de x-as en aantal doden op de y-as.]
figuur 4 aantal verkeersdoden per leeftijdscategorie
aantal
doden
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0 tot 5
5 tot 10
10 tot 15
15 tot 20
20 tot 25
25 tot 30
30 tot 35
35 tot 40
40 tot 45
45 tot 50
50 tot 55
55 tot 60
60 tot 65
65 tot 70
70 tot 75
75 en ouder
leeftijdscategorie

De bevolkingsopbouw van het jaar 2000 is weergegeven in figuur 5.

[FIGUUR: Bevolkingspiramide met leeftijdsgroepen op de y-as en percentage op de x-as, verdeeld in mannen en vrouwen.]
figuur 5 leeftijdscategorie M V
85-89
80-84
75-79
70-74
65-69
60-64
55-59
50-54
45-49
40-44
35-39
30-34
25-29
20-24
15-19
10-14
5-9
0-4
7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7
%

Om het totale percentage per leeftijdscategorie te bepalen moet je de percentages mannen
en vrouwen optellen. Voor, bijvoorbeeld, de leeftijdscategorie 5 tot 10 jaar is af te lezen dat
het totale percentage ongeveer 6,4% is.

6p 17 Onderzoek aan de hand van figuur 4 en figuur 5 of in het jaar 2000 een persoon uit de
leeftijdscategorie 25 tot 30 jaar een grotere of kleinere kans had op een dodelijk
verkeersongeval dan een persoon uit de leeftijdscategorie 70 tot 75 jaar.
600025-1-16o 8 Lees verder

### Pagina 9

In figuur 6 zie je een grafiek van het aantal verkeersdoden voor de jaren 1950 tot en met
2002.
[FIGUUR: Grafiek met op de x-as de jaren van 1950 tot 2005 en op de y-as het aantal verkeersdoden van 0 tot 3500. De grafiek toont de daling van verkeersdoden sinds 1972.]

4p 18 $\Box$ Bereken dit percentage.

Het verloop van het aantal verkeersdoden, zoals je dat ziet in figuur 6, kan bij benadering
worden beschreven met de volgende formule:
$$ N = 0,8 + \frac{t+2}{10+(0,04t)^{6,8}} $$
In deze formule is $N$ het aantal verkeersdoden per jaar in duizendtallen en $t$ is de tijd in
jaren vanaf 1950, dus $t = 0$ in 1950.

Deze formule is slechts een model dat hoort bij figuur 6. Daarom komt de grafiek die hoort
bij bijvoorbeeld dat volgens de formule de piek in het aantal verkeersdoden met 1972
plaatsvond, maar in een ander jaar.
3p 19 $\Box$ Onderzoek in welk jaar de piek plaatsvond volgens bovenstaande formule.

Uiteraard is ieder verkeersslachtoffer er een te veel. De overheid wil het aantal
verkeersslachtoffers dan ook verminderen. Wanneer de overheid de reeds bestaande
maatregelen voortzet, dan verwacht men dat het aantal verkeersdoden zich in de toekomst
ontwikkelt volgens bovenstaande formule. Alleen als de overheid nog extra maatregelen
neemt om de verkeersveiligheid te bevorderen, zal het aantal verkeersdoden in de toekomst
lager kunnen worden dan volgens de formule. Doelstelling is om het aantal verkeersdoden
minder dan 750 te laten zijn.
4p 20 $\Box$ Onderzoek, uitgaande van de gegeven formule, of er inderdaad extra maatregelen nodig zijn
om deze doelstelling te halen.

Einde

600025-1-16o 9