# Eindexamen Wiskunde A VWO 2005 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2005/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 2

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 2

### Vraag 4 – Opgave 2

### Vraag 5 – Opgave 2

### Vraag 6 – Opgave 2

### Vraag 7 – Opgave 2

### Vraag 8 – Opgave 2

### Vraag 9 – Opgave 2

### Vraag 10 – Opgave 2

### Vraag 11 – Opgave 2

### Vraag 12 – Opgave 2

### Vraag 13 – Opgave 2

### Vraag 14 – Opgave 2

### Vraag 15 – Opgave 2

### Vraag 16 – Opgave 2

### Vraag 17 – Opgave 2

### Vraag 18 – Opgave 2

### Vraag 19 – Opgave 2

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
wiskunde A1
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs
20 05
Tijdvak 2
Woensdag 22 juni
13.30 - 16.30 uur
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
juiste antwoord meestal geen punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te
behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
gevraagd en je geeft er meer dan twee redenen,
dan worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegeteld.
500048-2-140
Begin

### Pagina 2

Spaarrekeningen
'Wij blijven maar sparen en sparen', zo luidde in oktober 2001 de kop van een artikel in de
krant. Aanleiding hiervoor is een bericht van het Centraal Bureau voor de Statistiek.
Daarin werden gegevens verstrekt gema-kt over de groei van het spaargeld op de
Nederlandse spaarrekeningen. Deze groei ontstaat doordat meer geld op rekening-n gestort
wordt dan er afgehaald wordt. In het artikel was figuur 1 opgenomen. De bedragen in deze
figuur zijn genoteerd in guldens (f); de gulden was tot 1 januari 2002 de nationale munt in
Nederland.
figuur 1
[FIGUUR: Een staafdiagram met op de x-as de maanden van 1999, 2000 en 2001 en op de y-as het spaargeld in miljarden guldens. De y-as loopt van -2 tot 7.]
Zoals je onder de grafiek kunt zien, was de groei van het spaargeld in de eerste acht
maanden van 2001 (28,9 miljard) ongeveer 3 keer zo groot als in de eerste acht maanden
van 1999 (9,4 miljard).
De groei in de eerste acht maanden van 2001 is een flink aantal malen zo groot als de groei
5p 1 in de eerste acht maanden van 2000.
Bereken hoeveel keer zo groot.

Eind augustus 2000 was het totale bedrag aan spaargeld ongeveer 291,5 miljard gulden, bij
elkaar gespaard op 25 miljoen spaarrekeningen. In de periode van eind augustus 2000 tot
eind augustus 2001 steeg het totale bedrag aan spaargeld met 9,8%. In diezelfde periode
steeg het aantal spaarrekeningen met 2,8%.
4p 2 Bereken het gemiddelde bedrag per spaarrekening in de genoemde
periode is toegenomen.
500048-2-14o
2
Lees verder

### Pagina 3

Bij INTERNETBANK kun je alleen maar sparen via een internetrekening. In het begin van
het jaar 2000 waren er bij INTERNETBANK 1200 van zulke rekeningen. Vanaf dat
moment heeft men bij INTERNETBANK aan het eind van elke maand bijgehouden hoeveel
rekeningen er waren. Het aantal rekeningen $N$, hier aangegeven in honderdtallen, is dan
afhankelijk van $t$, het aantal maanden vanaf het begin van 2000.
Aanvankelijk ging men ervan uit dat $N$ elke maand met 850 zou toenemen. Dan geldt dus de
formule:
$N = 8,5t + 12$
Maar na verloop van tijd bleek de volgende formule een betere benadering te zijn:
$$N = \frac{780}{3+62\cdot(0,73)^t}$$
Voor een bepaalde periode voorspelde de tweede formule een groter aantal rekeningen dan
de eerste formule.
5p 3 Hoeveel maanden duurde deze periode? Licht je antwoord toe.
Bij INTERNETBANK realiseerde men zich dat volgens de tweede formule het aantal
rekeningen op den duur nauwelijks zou toenemen en een grenswaarde zou bereiken. Men
wilde weten na hoeveel maanden het aantal rekeningen minder dan 1% van deze
grenswaarde zou afwijken.
5p 4 Onderzoek na hoeveel maanden dit voor het eerst het geval was.
500048-2-14o 3 Leés verder


### Pagina 4

Macht

Sinds 1 mei 2004 bestaat de Europese Unie uit 25 landen. In de Raad van Ministers heeft
elk land één zetel. In deze raad worden veel beslissingen genomen. Daarbij heeft niet elk
land evenveel stemmen. Zo heeft Frankrijk 29 stemmen, Nederland 13 stemmen,
Denemarken 7 stemmen. Op deze wijze beschikken de 25 landen samen over 321 stemmen.
Een land stemt of voor of tegen en kan zich dus niet van stemming onthouden of met een
deel van zijn stemmen voor en een ander deel tegen stemmen.
Vaak worden beslissingen genomen bij meerderheid van stemmen. Dat betekent dat een
voorstel alleen wordt aangenomen als meer dan de helft van de stemmen voor dat voorstel
is. Dan kan het gebeuren dat de stemming van Nederland de doorslag geeft. Dat is of
niet aannemen van een voorstel. Dat is bijvoorbeeld het geval wanneer de overige
landen 152 stemmen voor zijn en 156 stemmen tegen.

3p 5 $\Box$ Bereken bij welke aantallen voorstemmen van de overige landen de stemmen van Nederland
de doorslag geven om een meerderheid voor een voorstel te krijgen.

Bij een stemming kan dus één van de partijen soms de doorslag geven. Hoeveel invloed een
partij bij de stemming heeft, geven we aan met de machtsindex ($mi$).
Aan de hand van een voorbeeld laten we zien hoe je die kunt uitrekenen.
We gaan uit van drie partijen $A$, $B$ en $C$. Partij $A$ heeft 6 stemmen, partij $B$ heeft 4 stemmen
en partij $C$ heeft 3 stemmen. Zij beslissen over een voorstel bij meerderheid van stemmen.
Eén van de mogelijkheden is de volgende: $A$ stemt voor, $B$ stemt voor en $C$ stemt tegen.
Deze mogelijkheid noteren we met ($V, V, T$).

3p 6 $\Box$ Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er in totaal?

tabel 1
|                |              |
| -------------- | ------------ |
| mogelijkheid I  | (V, V, T)    |
| mogelijkheid II | (V, T, V)    |
| mogelijkheid III| (T, V, V)    |
| mogelijkheid IV | (T, V, T)    |

Omdat de partijen samen 13 stemmen hebben, zijn er minstens 7 stemmen nodig voor een
meerderheid. Bij de mogelijkheden I, II en III is er een meerderheid voor het voorstel.
Bij de mogelijkheden II en III zijn de 4 voorstemmen van $B$ onmisbaar om een meerderheid
te realiseren.
Bij mogelijkheid I zou die meerderheid ook behaald zijn als $B$ niet voor zou stemmen.
Bij mogelijkheid IV is er geen meerderheid.
Omdat de stemmen van $A$ bij 2 van de 4 mogelijkheden doorslaggevend zijn, zeggen we:
de machtsindex van $B = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

We gebruiken dus de volgende definitie van de machtsindex ($mi$) van een partij:
$$ mi = \frac{aantal\ mogelijkheden\ waarbij\ de\ voorstemmen\ van\ die\ partij\ doorslaggevend\ zijn\ voor\ de\ meerderheid}{totaal\ aantal\ mogelijkheden\ waarbij\ die\ partij\ voorstemt} $$

Wanneer er sprake is van vier partijen, zijn er meer mogelijkheden. We nemen de volgende
situatie: partij $A$ heeft 7 stemmen, partij $B$ heeft 4 stemmen, partij $C$ heeft 4 stemmen en
partij $D$ heeft 2 stemmen.
Ook nu beslissen de partijen bij meerderheid van stemmen.
6

### Pagina 5

6p 8 □ We nemen nu een situatie met vijf partijen A, B, C, D en E.
Partij A heeft 3 stemmen en de overige partijen hebben elk 1 stem.
Onderzoek of de machtsindex van A meer dan drie maal zo groot is als de machtsindex van B.
500048-2-14o 5 Lees verder

### Pagina 6

De wet van Benford

In 1881 ontdekte Simon Newcomb een bijzondere eigenschap van sommige reeksen getallen. Hij keek steeds naar het begincijfer van de getallen in zo’n reeks en constateerde dat daarbij lage begincijfers veel vaker voorkomen dan hoge begincijfers. Een voorbeeld van zo’n reeks getallen zijn de beurskoersen die elke dag in de krant verschijnen. De lijst met beurskoersen van vrijdag 10 september 2004 begon met de getallen:
17,75 9,15 5,30 28,07 11,02 6,66 39,67 18,73 1,59 1,53 24,29 41,00
20,37 42,31 6,32 5,03 26,08 19,33 10,77 19,39 50,15 1,54 21,86 13,64
Je kunt hier bijvoorbeeld zien dat bij deze reeks getallen het begincijfer 1 veel vaker voorkomt dan het begincijfer 6 (tien keer tegen twee keer).

In 1938 deed Frank Benford uitgebreid onderzoek naar dit verschijnsel. Hij bekeek onder andere de wateroppervlakte van een groot aantal rivieren. Het resultaat van zijn onderzoek vind je in tabel 2.

tabel 2 wateroppervlakte van rivieren
[FIGUUR: Tabel met twee rijen: "begincijfer" en "frequentie". De kolommen zijn genummerd van 1 tot en met 9. De frequenties voor de begincijfers zijn: 1 (104), 2 (55), 3 (36), 4 (38), 5 (24), 6 (29), 7 (18), 8 (14), 9 (17).]

3p 9 □ Je ziet dat lage begincijfers vaker voorkomen dan hoge.
Bereken in hoeveel procent van de waarnemingen in tabel 2 het begincijfer 1, 2 of 3 is.

Het blijkt dat dit verschijnsel bij veel reeksen van getallen optreedt, bijvoorbeeld ook bij de lengte van rivieren of bij de inwoneraantallen van gemeenten.
Benford heeft een formule opgesteld waarmee je in dergelijke situaties de relatieve frequentie van de verschillende begincijfers kunt benaderen. Deze formule, die bekend staat als de wet van Benford, ziet er als volgt uit:
$$ F(n) = 100 \cdot \log\left(\frac{n+1}{n}\right) $$
In deze formule is $F(n)$ het percentage getallen met het begincijfer $n$ ($n = 1, 2, 3, \dots, 9$).
Bij getallenreeksen die voldoen aan de wet van Benford zal bijvoorbeeld ongeveer 17,6% van de getallen met het cijfer 2 beginnen, want $F(2) = 100 \cdot \log\left(\frac{3}{2}\right) \approx 17,6$.
En in ongeveer 60,2% van de gevallen zal het begincijfer 1, 2 of 3 zijn, want $F(1) + F(2) + F(3) \approx 60,2$.

Benford heeft aangetoond dat ook de oneindige rij opeenvolgende machten van het getal 2, de rij 1, 2, 4, 8, 16, ..., voldoet aan deze wet.
Maar het is de vraag of de wet van Benford ook geldt wanneer je je beperkt tot een beginstuk van deze rij. Om dat na te gaan, tellen we hoe vaak de cijfers 1, 2 of 3 als begincijfer voorkomen bij de eerste tw

### Pagina 7

4p 12 [FIGUUR: Een vierkant met daarin een zwart rechthoekig blok.] Onderzoek of dit voor Levrek & Partners voldoende aanleiding is voor nader onderzoek.

Bevallen

In het ‘Moeders voor moeders babyboek’ staat dat 75% van de zwangere vrouwen bevalt tussen 14 dagen vóór en 14 dagen na de uitgerekende datum. Bij het bepalen van deze uitgerekende datum gaat men uit van een zwangerschap van 40 weken, dus 280 dagen. De zwangerschapsduur is bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 280 dagen.
Met behulp van deze gegevens kun je berekenen dat de bijbehorende standaardafwijking, afgerond op één decimaal, gelijk is aan 12,2 dagen.

4p 13 [FIGUUR: Een vierkant met daarin een zwart rechthoekig blok.] In 2002 vonden er in Nederland 199 205 bevallingen plaats. Van een aantal van deze bevallingen duurde de zwangerschap minder dan 36 weken.
Bereken bij hoeveel bevallingen dit het geval was.

4p 14 [FIGUUR: Een vierkant met daarin een zwart rechthoekig blok.] De standaardafwijking kan nauwkeuriger bepaald worden.
Bereken deze standaardafwijking in twee decimalen nauwkeurig.

Volgens een krantenartikel uit 2000 is hevige zwangerschapsmishandeling een voorteken dat er een meisje op komst is. In Zweden is een groot onderzoek gedaan naar vrouwen die wegens zwangerschapsmishandeling waren opgenomen in een ziekenhuis. Daarbij bleek 55,7% van de geboren kinderen een meisje te zijn.

4p 15 [FIGUUR: Een vierkant met daarin een zwart rechthoekig blok.] Drie vrouwen zijn in het ziekenhuis opgenomen wegens zwangerschapsmishandeling.
Bereken de kans dat de drie baby’s die uit deze zwangerschappen geboren worden van hetzelfde geslacht zijn.

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

500048-2-14o 7 Lees verder


### Pagina 8

Sponsorloop

Een school houdt een sponsorloop voor een goed doel. De sponsorloop bestaat uit het lopen
van een aantal ronden in een sportpark. Elke leerling die meeloopt, maakt vooraf met
ouders en bekenden afspraken over het bedrag dat ze voor elke gelopen ronde aan het goede
doel zullen bijdragen.
Er doen 251 leerlingen mee aan de sponsorloop. Na elke ronde wordt genoteerd hoeveel
leerlingen de ronde hebben uitgelopen. In tabel 3 staan de gegevens van de sponsorloop.
Ga ervan uit dat wie aan een volgende ronde begint, deze ook helemaal uitloopt.

tabel 3
[FIGUUR: Tabel met twee kolommen: Aantal ronden en Aantal leerlingen.
Aantal ronden: $\ge 1$, $\ge 2$, $\ge 3$, $\ge 4$, $\ge 5$, $\ge 6$, $\ge 7$, $\ge 8$, $\ge 9$, $\ge 10$, $\ge 11$, $\ge 12$, $\ge 13$, $\ge 14$, $\ge 15$.
Aantal leerlingen: 251, 250, 239, 200, 125, 66, 43, 29, 21, 14, 9, 5, 2, 0.]

Je kunt in tabel 3 bijvoorbeeld aflezen dat 200 leerlingen de vijfde ronde hebben uitgelopen
en dat geen enkele leerling meer dan 14 ronden liep.
4p 16 Bereken het gemiddelde aantal ronden per leerling.

Joris is een fanatieke hardloper. Hij heeft een schema gemaakt voor de sponsorloop waarbij
hij ervan uit gaat dat hij rustig begint en elke ronde steeds 2 seconden sneller loopt dan de
voorgaande ronde. De eerste ronde loopt hij in 150 seconden; over de tweede ronde doet hij
dus 148 seconden; enzovoort. Voor de rondetijden geldt de volgende formule:
$t_n = 152 - 2n$
Hierin is $t_n$ de tijd in seconden voor ronde $n$.
De totale tijd $T_n$ die Joris over $n$ ronden doet, wordt gegeven door de formule:
$$T_n = 151n - n^2$$
4p 17 Toon aan dat de formule voor $T_n$ juist is.

De sponsorloop duurt 30 minuten.
4p 18 Bereken hoeveel volledige ronden Joris in die tijd kan afleggen.

Joris wordt gesponsord door zijn ouders. Voor zijn eerste ronde geven zij slechts 0,01 euro,
maar voor elke volgende ronde geven zij twee maal zo veel als voor de voorafgaande ronde.
Het bedrag in euro’s waarmee zij de $n$-de ronde van Joris sponsoren noemen we $b_n$. Er geldt
dus:
$b_n = 0,005 \cdot 2^n$
5p 19 Bereken hoeveel geld zijn ouders totaal betalen als Joris 13 ronden loopt.

Einde

500048-2-14o
8