# Eindexamen Wiskunde A VWO 2005 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2005/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 16 – Opgave 2

### Vraag 17 – Opgave 2

### Vraag 18 – Opgave 2

### Vraag 19 – Opgave 2

### Vraag 20 – Opgave 2

### Vraag 21 – Opgave 2

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
wiskunde A1
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs
20 05
Tijdvak 1
Woensdag 25 mei
13.30 - 16.30 uur
Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te
behalen; het examen bestaat uit 21 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Voor de uitwerking van vraag 16 is een
uitwerkbijlage toegevoegd.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
aantal meestal geen punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
gevraagd en je geeft er meer dan twee, dan
worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegeteld.
500018-1-140
Begin

### Pagina 2

Meer neerslag
De laatste tijd komen er steeds meer aanwijzingen dat het klimaat op aarde verandert. Dit
heeft onder andere gevolgen voor de jaarlijkse hoeveelheid neerslag in Nederland. Om een
indruk te krijgen van de jaarlijkse hoeveelheid neerslag zijn in tabel 1 gegevens van vijf
meetstations in de periode 1905-1998 weergegeven.

tabel 1
Gemiddelde jaarlijkse hoeveelheid neerslag gedurende de periode 1905-1998

|                 | De Bilt | Gemert Volkel | Leeuwarden | Hoogdorrp | Winterswijk |
|-----------------|---------|---------------|------------|-----------|-------------|
| gemiddelde (mm) | 783     | 711           | 751        | 768       | 768         |
| standaardafwijking (mm) | 139     | 123           | 106        | 127       | 136         |

We nemen aan dat de jaarlijkse hoeveelheid neerslag bij elk van de meetstations normaal
verdeeld is.

We bekijken de kans dat er in een jaar meer dan 950 mm neerslag valt. Weerkundigen
veronderstelden tot voor kort dat dergelijke kansen in de loop van de jaren niet veranderen.

Op grond van het bovenstaande kunnen we nagaan of deze kans in Winterswijk groter is
dan in Hoofddorp zonder deze kans uit te rekenen.

4p 1 Gebruik het idee dat de kans op meer dan 950 mm neerslag in de plaats en het jaar groter is. Geef aan in welk van beide plaatsen de kans dat er in een jaar meer dan 950 mm neerslag valt, het grootst is. Motiveer je antwoord zonder daarbij deze kans uit te rekenen.

3p 2 Bereken de kans dat in een jaar in Leeuwarden meer dan 950 mm neerslag valt.

Zoals gezegd veronderstelden weerkundigen tot voor kort dat kansen op meer dan een bepaalde
hoeveelheid neerslag in de loop van de jaren niet veranderen. Inmiddels is men tot het
inzicht gekomen dat er sprake is van een trend: de jaarlijkse hoeveelheid neerslag in
Nederland neemt langzaam toe. In figuur 1 is voor elk jaar de gemiddelde hoeveelheid
neerslag van de vijf meetstations met een blokje aangegeven. Bovendien is daarbij de
zogenaamde trendlijn getekend. De trendlijn volgt zo goed mogelijk de gemiddelde
jaarlijkse hoeveelheid neerslag. De trendlijn kan worden gebruikt om een schatting te
maken van de te verwachten hoeveelheid neerslag in de komende jaren.

figuur 1
[FIGUUR: Grafiek met op de x-as de jaren van 1900 tot 2000 en op de y-as de hoeveelheid neerslag in mm, oplopend van 0 tot 1100. De grafiek toont datapunten en een trendlijn die een lichte stijging aangeeft.]
Legenda:
trendlijn
gemiddelde hoeveelheid neerslag van de vijf meetstations
500018-1-14o 2 Lees verder

### Pagina 3

We veronderstellen dat de te verwachten jaarlijkse hoeveelheid neerslag N in mm in de toekomst lineair zal blijven toenemen. N kan dan worden geschreven als een functie van het aantal jaren t dat is verstreken vanaf 1900.
5p 3 $\Box$ Stel een formule op voor N en bereken daarmee in welk jaar de hoeveelheid neerslag volgens de trendlijn voor het eerst groter zal zijn dan 850 mm.
Er zijn ook andere manieren om te onderzoeken of het gedurende de afgelopen eeuw de 'natter' is geworden. We kunnen kijken naar de 5 'natste' jaren. Deze zijn namelijk 1961, 1965, 1966, 1994 en 1998. Het blijkt dat de 5 'natste' jaren allemaal na 1951 vielen, dus in de tweede helft van de periode 1905-1998.
4p 4 $\Box$ Stel dat je 5 jaren willekeurig kiest uit deze periode van 94 jaar. De kans dat je uitsluitend jaren uit de tweede helft van de periode kiest, is klein. Bereken deze kans. Geef het antwoord in vier decimalen nauwkeurig.
Een andere maat voor de 'natheid' van een jaar is het aantal maanden van dat jaar dat de neerslag boven een bepaalde waarde, de grenswaarde, komt. Die grenswaarden zijn zijn 30, 40, 50, ..., 130 mm. Met de gegevens over de periode 1905-1998 is tabel 2 gemaakt.
tabel 2 Gemiddeld aantal maanden per jaar met grenswaar denoverschrijding
grenswaarde
neerslag (mm)
>30
>40
>50
>60
>70
>80
>90
>100
>110
>120
>130
gemiddeld aantal
maanden per jaar
10,2
9,2
7,9
6,5
5,4
3,8
2,7
1,9
1,4
1,1
0,6
Uit tabel 2 lezen we bijvoorbeeld af dat het aantal maanden per jaar waarin meer dan 60 mm neerslag viel, gemiddeld 6,5 bedroeg.
Men spreekt van een extreem nat jaar als meer dan 9 van deze grenswaar den vaker worden overschreden dan de overeenkomstige waarde in tabel 2.
De gegevens van De Bilt over 2001 zijn weergegeven in tabel 3.
tabel 3 Maandelijks hoeveelheid neerslag in De Bilt in 2001
maand
neerslag (mm)
jan
71
feb
89
mrt
74
apr
87
mei
29
juni
54
juli
87
aug
116
sep
211
okt
41
nov
85
dec
94
4p 5 $\Box$ Onderzoek of 2001 voor De Bilt een extreem nat jaar was.
500018-1-14o 3 Lees verder

### Pagina 4

Breedte van wegen
InFiguur 2 zie je enkele gegevens van de staat Wisconsin die betrekking hebben op het
aantal verkeersslachtoffers in de jaren 1950 en 1960.
De gegevens zijn verdeeld over vier categorieën.
[FIGUUR: Een cirkeldiagram met vier segmenten. Het diagram is opgedeeld in de volgende percentages: 7%, 10%, 45%, 39%, 4%, 6%. De legenda toont vier categorieën: gewonden vrouwen, dodelijke slachtoffers vrouwen, gewonden mannen, dodelijke slachtoffers mannen. De percentages corresponderen met de categorieën in de jaren 1950 en 1960.]
1950
totaal 4046
1960
totaal 4332
In de figuur zie je dat het percentage dodelijke slachtoffers bij de mannen en bij de vrouwen
is gestegen.
5p 6
Ga door een berekening na of de relatieve toename van het aantal dodelijke slachtoffers bij
de mannen groter is dan bij de vrouwen.
In de jaren vijftig deed de Amerikaan D.L. Gerlough onderzoek naar de
voetgangersveiligheid van wegen. Als er veel verkeer over een weg gaat, is er voor
voetgangers weinig gelegenheid om veilig over te steken.
Daarom stelde Gerlough de zogenaamde 'veilige norm' op. Een weg voldoet aan deze
veilige norm wanneer er zich gemiddeld elke minuut een gelegenheid voordoet om veilig
over te steken. Dat lukt alleen als het aantal auto's dat per uur passeert onder een maximum
blijft. Dit maximum geven we hier aan met $N_{max}$ en is afhankelijk van de breedte van de
weg. Bij een brede weg duurt het oversteken langer dan bij een smalle weg. Voor wegen die
voldoen aan de veilige norm, betekent dit dat er bij een brede weg per uur minder auto's
mogen passeren dan bij een smalle weg. Gerlough kwam tot de volgende formule:
$N_{max} = \frac{8289.3 \cdot (1.778 - \log B)}{B}$
In deze formule is B de breedte van de weg in meters.
Vanzelfsprekend is deze formule een model van de werkelijkheid. Met behulp van dit model
kunnen we enig inzicht krijgen in de veiligheid bij de aanleg van wegen.
3p 7
Een weg is 5,40 meter breed. Tijdens de spits passeren er 1740 auto's per uur.
Voldoet deze weg aan de veilige norm? Licht je antwoord toe.
3p 8
De formule van Gerlough heeft alleen betekenis als $N_{max}$ positief is.
Bereken voor welke waarden van B dit het geval is. Geef je antwoord in centimeters
nauwkeurig.
Een weg waarover volgens de veilige norm per uur maximaal 1648 auto's mogen passeren,
wordt 0,50 meter smaller gemaakt. Dit heeft tot gevolg dat het maximum aantal auto's dat
per uur mag passeren groter wordt.
5p 9
Bereken hoeveel auto's er per uur méér mogen passeren in de nieuwe situatie.
500018-1-140
4
Lees verder

### Pagina 5

Leugendetector

In het tijdschrift Nature stond enige tijd geleden een artikel waarin de werking van een
leugendetector werd uitgelegd. Iemand die liegt, krijgt een nauwelijks waarneembaar
‘blosje’ in het gezicht. De leugendetector probeert dit blosje waar te nemen. Volgens het
artikel is de leugendetector een belangrijk hulpmiddel om na te gaan of iemand liegt.
Met de leugendetector zijn veel experimenten uitgevoerd. Daaruit is gebleken dat de
leugendetector niet altijd foutloos werkt. Zo wordt in slechts 75% van de gevallen een
leugenaar daadwerkelijk als leugenaar herkend.
We nemen aan dat voor iedere leugenaar geldt dat de kans dat deze correct als leugenaar
herkend wordt, gelijk is aan 0,75.

4p 10 □ Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat de leugendetector bij 200 leugenaars 40
of meer fouten maakt.

Ook bij eerlijke mensen (mensen die niet liegen) werkt de leugendetector niet altijd
foutloos. Gemiddeld blijkt de leugendetector 1 van de 12 eerlijke mensen toch als leugenaar
te bestempelen.
We bekijken een groep van 100 personen, bestaande uit 40 leugenaars en 60 eerlijke
mensen. Je kunt narekenen dat de leugendetector naar verwachting bij 85% van deze
groep de juiste conclusie zal trekken. Men spreekt in dit geval van een betrouwbaarheid
van 85% voor deze groep.

De betrouwbaarheid hangt af van de samenstelling van de groep. Wanneer we een groep van
100 personen nemen met daarin 16 leugenaars, krijgen we een andere waarde voor de
betrouwbaarheid.

3p 11 □ Bereken hoe groot de betrouwbaarheid dan is.

De leugendetector kan ook worden ingezet bij grootscheepse controles, zoals op
vliegvelden. Daar moeten alle passagiers antwoord geven op de vraag of ze iets hebben aan
te geven. Niet iedereen antwoordt naar waarheid.

Veronderstel dat 0,4% van alle passagiers niet naar waarheid antwoordt en dus liegt. Dan
kan berekend worden dat 8,3% van alle passagiers eerlijk is en door de leugendetector toch
als leugenaar bestempeld wordt.
Deze informatie vinden we terug in tabel 4:

tabel 4
[FIGUUR: Tabel met twee kolommen: 'oordeel leugendetector' en 'werkelijkheid'. De kolom 'oordeel leugendetector' heeft twee rijen: 'eerlijke passagier' en 'leugenaar'. De kolom 'werkelijkheid' heeft twee subkolommen: 'eerlijke passagier' en 'leugenaar'. De cellen bevatten de volgende percentages: eerlijke passagier / eerlijke passagier: 91,3%, eerlijke passagier / leugenaar: 0,1%, leugenaar / eerlijke passagier: 8,3%, leugenaar / leugenaar: 0,3%.]

4p 12 □ Bereken de kans dat een passagier die door de leugendetector als leugenaar wordt
bestempeld, ook werkelijk een leugenaar is. Geef je antwoord in vier decimalen
nauwkeurig.

500018-1-140
5
Lees verder

### Pagina 6

Vijvertest
Vijverbezitters kunnen tegenwoordig bij een tuincentrum laten onderzoeken of het water in
hun vijver van goede kwaliteit is. Met een eenvoudige test kan van het water zowel de
hardheid, aangegeven met $KH$ (carbonaathardheid), als de zuurgraad, aangegeven met $pH$,
worden vastgesteld. Deze twee waarden bepalen op hun beurt het $CO_2$-gehalte van het
water. Het $CO_2$-gehalte, dat we in deze opgave zullen aangeven met $C$, is een belangrijke
indicator voor de kwaliteit van het vijverwater. Met behulp van tabel 5 kan bij gegeven $KH$
en $pH$ de waarde van $C$ worden bepaald.

tabel 5
CO$_2$-gehalte $C$ in mg per liter

[FIGUUR: Tabel met kolommen voor pH (6,0, 6,4, 6,8, 7,2, 7,6, 8,0) en rijen voor KH (12, 10, 8, 6, 5, 4, 3, 2), met bijbehorende CO2-gehaltes.]

De waarde van $KH$ wordt in gehele getallen weergegeven; de waarde van $pH$ wordt altijd
met een nauwkeurigheid van 0,1 weergegeven.
Uit de tabel lezen we bijvoorbeeld af dat voor vijverwater met $KH = 5$ en $pH = 7,2$ geldt:
$C = 12,6$.

Als je voor $pH$ een vaste waarde kiest, dan hangt $C$ alleen nog maar af van $KH$. In de
kolommen van de tabel is te zien dat bij iedere vaste waarde van $pH$ er een lineair (en zelfs
evenredig) verband is tussen $KH$ en $C$.

3p 13 $\square$ Bereken welk getal er moet komen te staan op de plaats die hoort bij $KH = 6$ en $pH = 6,8$.

Als je voor $KH$ een vaste waarde kiest, dan hangt $C$ alleen nog maar af van $pH$. Bij iedere
vaste waarde van $KH$ bestaat er een exponentieel verband tussen $pH$ en $C$; als $pH$ met 1
toeneemt, neemt $C$ met 90% af.

4p 14 $\square$ Bekijk de rij die hoort bij $KH = 4$.
Laat door middel van berekeningen zien dat alle waarden van $C$ in deze rij
overeenstemming zijn met het bovengenoemde exponentiële verband tussen $pH$ en $C$ en met
de genoemde afname met 90%.

500018-1-14o 6 Lees verder

### Pagina 7

Volgens de folder is het water in een vijver van goede kwaliteit als voldaan is aan de
volgende drie voorwaarden:
(I) de $KH$-waarde van het water moet ten minste 6 en ten hoogste 10 zijn
(II) de $pH$-waarde van het water moet ten minste 7 en ten hoogste 8 zijn
(III) de $C$-waarde van het water moet ten minste 10 zijn.

Een vijverbezitter laat zijn vijverwater testen. Bij de test worden de volgende waarden
gemeten: $pH$ = 7 en $KH$ = 8. Op basis van tabel 5 kan de bijbehorende waarde voor $C$
worden berekend. Vervolgens kan worden nagegaan of voldaan is aan de drie voorwaarden
voor goede waterkwaliteit.

4p 15 $\Box$ Bereken deze bijbehorende waarde van $C$ en onderzoek daarmee of dit vijverwater van
goede kwaliteit is.

In folders waarin voorlichting gegeven wordt over de kwaliteit van vijverwater, zou men
tabel 5 kunnen afdrukken. Maar daarin staat slechts een beperkt aantal waarden van $KH$ en
$pH$. Een formule zal men in zulke folders niet graag gebruiken. Vandaar dat vaak gekozen
wordt voor een ‘plaatje’. In figuur 3 is begonnen met het maken van zo’n plaatje. Bij elk
punt in figuur 3 hoort een waarde van $pH$ en van $KH$. Deze bepalen de waarde van $C$, net
als in tabel 5. In figuur 3 is een kromme getekend. Daarop liggen alle punten waarvoor
geldt dat $C = 10$, zoals bijvoorbeeld het punt met $pH = 7,6$ en $KH = 10$ dat we al kennen uit
tabel 5.

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as KH en op de x-as pH. Er is een kromme getekend die stijgt.]

Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage. Om deze figuur bruikbaar te maken voor een
voorlichtingsfolder, moet hierin het gebied worden aangegeven dat bestaat uit alle punten
waarvan de waarden van $pH$, $KH$ en $C$ voldoen aan de voorwaarden (I), (II) en (III) voor
vijverwater van goede kwaliteit.

4p 16 $\Box$ Geef dit gebied in de figuur op de uitwerkbijlage duidelijk aan. Licht je werkwijze toe.

500018-1-14o 7 Lees verder


### Pagina 8

Leesbaarheid
Overheidsinstellingen geven vaak schriftelijk informatiemateriaal uit, zoals folders en
brochures. Het is van belang dat mensen die dit materiaal lezen, goed begrijpen wat er staat.
Men heeft verschillende formules ontwikkeld om te bepalen hoe moeilijk een tekst te
begrijpen is.

In 1952 introduceerde Robert Gunning de Fog-index. Deze index wordt nog steeds veel
gebruikt.
De Fog-index $F$ is een maat voor de moeilijkheid van een tekst. Naarmate een tekst
moeilijker is, is de Fog-index $F$ groter. De waarde van $F$ wordt bepaald door:
$w$: het gemiddelde aantal woorden per zin en
$l$: het gemiddelde aantal lange woorden per zin (lange woorden zijn woorden van drie of
meer lettergrepen).
De bijbehorende formule is: $F=0,4 \cdot w+40 \cdot \frac{l}{w}$

4p 17 $\square$ Een tekst bestaat uit 95 zinnen met in totaal 1178 woorden, waarvan 159 lange woorden.
Bereken de Fog-index van deze tekst. Rond je antwoord af op één decimaal.

[FIGUUR: Boxplot met schaalverdeling van 5,3 tot 11,3. De box loopt van 7,3 tot 9,3, met een mediaan op 8,3.]
figuur 4

Van de 12 $F$-waarden worden de gevonden $F$-waarden weergegeven in een boxplot. Zie figuur 4.

5p 18 $\square$ Geef een mogelijke $F$-waarde die – samen met de 11 gegeven waarden – de boxplot van
figuur 4 oplevert. Licht je antwoord toe.

Bij een onderzoek worden twee teksten, tekst A en tekst B, met elkaar vergeleken. Beide
teksten hebben gemiddeld 12 lange woorden per zin: $l=2$. Tekst A heeft korte zinnen met
gemiddeld weinig woorden: $w=10$, terwijl tekst B lange zinnen heeft. Toch hebben beide
teksten dezelfde Fog-index.

5p 19 $\square$ Bereken de waarde van $w$ voor tekst B.

500018-1-14o 8 Lees verder


### Pagina 9

Vaak kun je in een tekst veel korte woorden toevoegen of juist weglaten, zonder dat de
betekenis van de tekst ingrijpend gewijzigd wordt. Dan verandert $w$, terwijl $l$ gelijk blijft.
Anders gezegd: voor elke vaste waarde van $l$ is $F$ een functie van $w$. In figuur 5 is voor
enkele waarden van $l$ de bijbehorende grafiek van $F$ getekend. Je ziet dat de grafiek van $F$
eerst daalt en vervolgens stijgt. De grafiek van $F$ heeft dus steeds een minimum.
[FIGUUR: Grafiek van F tegen w met F op de y-as (van 5 tot 25) en w op de x-as (van 0 tot 25). Er zijn vier krommen, elk voor een verschillende waarde van l: l = 2,5, l = 2, l = 1,5 en l = 1.]
4p 20 $\square$ Een tekstschrijver weet uit ervaring dat zijn teksten gemiddeld 2,6 lange woorden per zin
hebben. Hij wil graag dat zijn teksten zo eenvoudig mogelijk zijn.
Bereken wat het gemiddeld aantal woorden per zin in dat geval moet zijn. Rond
je antwoord af op één decimaal.
Een andere manier om de Fog-index van een tekst te berekenen is als volgt:
$$F = 0,4 \left( k + l + 100 \cdot \frac{l}{k+l} \right)$$
Hierbij is $k$ het gemiddelde aantal korte woorden per zin, met andere woorden: $k+l=w$.
Uit deze formule is de oorspronkelijke formule $F = 0,4 \cdot w + 40 \cdot \frac{l}{w}$ af te leiden.
3p 21 $\square$ Geef deze afleiding.
Einde
500018-1-140 9