# Eindexamen Wiskunde A VWO 2004 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2004/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 13 – Vraag

### Vraag 14 – Vraag

### Vraag 15 – Vraag

### Vraag 16 – Vraag

### Vraag 17 – Vraag

### Vraag 18 – Vraag

### Vraag 19 – Vraag

### Vraag 20 – Vraag

### Vraag 21 – Vraag

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
wiskunde A1 (nieuwe stijl)
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs

20 04
Tijdvak 2
Woensdag 23 juni
13.30 - 16.30 uur

Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te
behalen; het examen bestaat uit 21 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Voor de uitwerking van vraag 13 is een
uitwerkbijlage toegevoegd.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redener worden
gevraagd en je geeft er meer dan twee, dan
worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegeteld.

400035-2-180 Begin
Beschikbaar gesteld door Stichting Studbegeleiding Leiden (SSL).

### Pagina 2

Hier is een gestructureerde analyse van de examenpagina:

1.  **Type pagina**: Opgave

2.  **Visuele elementen**:
    *   **Horizontaal gestapeld staafdiagram (figuur 1)**: Dit diagram toont de "leeftijd sloopauto's in jaren". De horizontale as toont percentages (0% tot 100%). De staaf is verdeeld in segmenten, elk met een eigen grijstint.
    *   **Legenda bij staafdiagram**: Onder het diagram is een legenda die de verschillende grijstinten koppelt aan leeftijdsintervallen:
        *   Lichtgrijs: 0 - < 5
        *   Donkergrijs: 5 - < 10
        *   Zeer lichtgrijs: 10 - < 15
        *   Middelgrijs: 15 - < 20
        *   Zwart: 20 - < 25

3.  **Wiskundig/wetenschappelijk concept**:
    *   **Kansrekening**: Vragen 1 en 2 behandelen kansberekening (binomiale verdeling, verwachtingswaarde) in de context van steekproeven en controles.
    *   **Verwachtingswaarde**: Vraag 3 vraagt naar de verwachtingswaarde van punten.
    *   **Statistiek (gemiddelde berekenen uit een frequentieverdeling)**: Vraag 4 vraagt om het gemiddelde te berekenen uit een gestapeld staafdiagram dat frequenties van leeftijdsgroepen toont. Dit vereist het bepalen van de bijbehorende percentages en leeftijdsmiddens per categorie.

4.  **Context**: De pagina draait om de Algemene Periodieke Keuring (APK) van auto's en de kwaliteitscontrole door de RDW.
    *   **Vraag 1**: Gaat over de kans dat een specifiek aantal gekeurde auto's niet door de RDW wordt gecontroleerd, gebaseerd op een gegeven controlepercentage (3%).
    *   **Vraag 2**: Behandelt de kans dat een garagebedrijf (Hendriks) na een aantal controles meer dan 0

### Pagina 3

Hier is een gedetailleerde analyse van de examenpagina:

1.  **Type pagina**: Opgave(n)

2.  **Visuele elementen**:
    *   **Afbeelding (Figuur 2)**: Een zwart-wit foto van een hand die een waaier van speelkaarten vasthoudt. De kaarten tonen symbolen en cijfers die horen bij een kaartspel (harten, klaveren, schoppen, ruiten). Onderschrift: "Een voorbeeld van 3 hartenkaarten, 4 klaverenkaarten, 4 ruitenkaarten en 2 schoppenkaarten."
    *   **Tabel (Tabel 1)**: Een tabel met twee rijen.
        *   Bovenste rij: "aantal klaverenkaarten" met waarden 0 t/m 8, en "9 of meer".
        *   Onderste rij: "frequentie" met bijbehorende aantallen van 10.000 spellen (130, 802, 2060, 2865, 2385, 1245, 414, 87, 12, 0).

3.  **Wiskundig/wetenschappelijk concept**:
    *   **Combinatoriek/Kansrekening**: Berekenen van het aantal manieren om kaarten te verdelen en waarschijnlijkheden gerelateerd aan kaartcombinaties (vragen 5, 6, 8).
    *   **Statistiek**:
        *   **Frequentieverdeling**: Analyse van waargenomen frequenties in een dataset (Tabel 1).
        *   **Verwachtingswaarde / Gemiddelde**: Berekening van het gemiddelde aantal klaverenkaarten (vraag 7).
        *   **Normale verdeling**: Gebruik van de normale verdeling om kansen te benaderen, inclusief parameters zoals gemiddelde en standaardafwijking (vraag 9).
        *   **Vergelijking van empirische en theoretische waarschijnlijkheden**: Vergelijken van resultaten uit de frequentietabel met theoretische kansen of kansen berekend met een normale ver

### Pagina 4

Hier is een gestructureerde analyse van de examenpagina:

1.  **Type pagina**: Opgave

2.  **Visuele elementen**:
    *   **Gecombineerd staafdiagram (Figuur 3)**: Dit diagram toont de "aantal rapporten" op de y-as en de "lengte" (van rapporten) op de x-as. Het bestaat uit staafjes van twee kleuren (grijs en wit/lichtgrijs) naast elkaar voor elke lengte-interval, wat suggereert dat het gegevens van twee verschillende bronnen presenteert. De legenda identificeert grijs als "ELK" en wit/lichtgrijs als "AZM". De x-as-waarden variëren van 0 tot 500, met stappen van 50. De y-as-waarden variëren van 0 tot 225, met stappen van 25. De klassenbreedte wordt in de tekst genoemd als 10.
    *   **Tabel (Tabel 2)**: Deze tabel toont de tien meest frequente woorden in de rapporten van beide ziekenhuizen samen.
        *   Rij 1: "woord" met daaronder de woorden "een", "de", "van", "met", "en", "het", "in", "is", "ik", "geen".
        *   Rij 2: "frequentie" met de corresponderende aantallen voor elk woord (bijv. "een": 40361, "de": 36485).
        *   Rij 3: "rangnummer" met de rangorde van de woorden (1 t/m 10) op basis van frequentie.
    *   **Wiskundige formule**: De formule `fr = C/r` wordt gepresenteerd, waarbij `fr` staat voor frequentie en `r` voor rangnummer. `C` is een constante.

3.  **Wiskundig/wetenschappelijk concept**:
    *   **Statistiek en Data-analyse**: Het analyseren van gegevensverdelingen (rapportlengtes), met concepten als kwartielen, mediaan en gemiddelde.
    *   **Data Visualisatie**: Het interpreteren van

### Pagina 5

Hier is een gedetailleerde analyse van de examenpagina:

**1. Type pagina:**
Dit is een **opgavepagina** van een examen. Dit blijkt uit de genummerde vragen met punten (3p, 4p) en het instructieve karakter van de tekst. De melding "figuur 4 is ook afgedrukt op de uitwerkbijlage" suggereert dat dit de opgaven betreft en niet de uitwerkbijlage zelf.

**2. Visuele elementen:**

*   **Grafiek (Figuur 4):**
    *   **Type:** Een spreidingsgrafiek met een logaritmische schaalverdeling op zowel de x-as (rangnummer) als de y-as (frequentie).
    *   **X-as:** Gelabeld als "rangnummer" en loopt van 1 tot 100.000 met stappen die exponentieel toenemen (1, 2, 5, 10, 20, 50, etc.).
    *   **Y-as:** Gelabeld als "frequentie" en loopt van 1 tot 100.000 met stappen die exponentieel toenemen (1, 2, 5, 10, 20, 50, etc.).
    *   **Data/Lijnen:**
        *   Een rechte, dalende lijn, gelabeld als "wet van Zipf" (de theoretische curve). Deze lijn vertegenwoordigt de functie $f_r = \frac{88000}{r}$.
        *   Een gebogen, dalende lijn, gelabeld als "werkelijkheid" (de waargenomen frequenties van woorden). Deze lijn heeft wat meer variatie en buigt wat af van de theoretische lijn.
        *   Enkele afzonderlijke punten (zwart gestippeld) in het hogere frequentiebereik, die de "bovenste 10 punten" van de woorden uit tabel 2 voorstellen. Deze punten volgen min of meer de lijn van de "werkelijkheid".
    *   **Raster:** Een fijnmazig raster (logaritmisch) is aanwezig om het aflezen van waarden te vergemakkelijken.

### Pagina 6

Al doende leert men

In de Amerikaanse industrie is ooit onderzocht hoe snel werknemers leren wanneer zij een
handeling vaker verrichten. Bij een groot aantal werknemers is bijgehouden hoeveel tijd ze
nodig hadden om een bepaalde handeling voor de eerste keer te verrichten, hoeveel tijd
voor de tweede keer, enz.

Zo bleken werknemers 16 minuten nodig te hebben om handeling A voor de eerste keer te
verrichten. Bij de tweede keer was die handelingstijd 12,8 minuten. Dus wanneer een
werknemer handeling A twee keer heeft uitgevoerd, is zijn gemiddelde handelingstijd
$$ \frac{16+12,8}{2} = 14,4 $$
minuten. Deze 14,4 minuten zie je in tabel 3. De andere waarden in deze
tabel zijn op een vergelijkbare manier berekend.

tabel 3
aantal keren dat handeling A is verricht (n)
gemiddelde handelingstijd in minuten
1
16
2
14,4
3
13,1
4
12,1
5
11,3
6
10,7

3p 14 $\Box$ Met behulp van tabel 3 kunnen we berekenen dat een werknemer 8,1 minuten nodig heeft
om handeling A voor de 5e keer te verrichten.
Geef zo’n berekening.

Wanneer we de gemiddelde handelingstijd $H_n$ willen uitrekenen voor meer dan
6 handelingen is het handig te beschikken over een formule voor $H_n$. Hiërtoe zijn
verschillende pogingen ondernomen. Eén zo’n poging resulteerde in de formule:
$$ H_n = 0,14n^2 - 2n + 17,8 $$
Deze formule komt redelijk overeen met de gegevens van tabel 3 voor $n = 1$ tot en met
$n = 6$.

3p 15 $\Box$ Bereken het grootste verschil tussen de uitkomsten uit tabel 3 en de bijbehorende waarden
van $H_n$.

4p 16 $\Box$ Voor grote waarden van $n$ is de formule voor $H_n$ echter niet geschikt om de gemiddelde
handelingstijd te beschrijven.
Leg uit waarom de formule voor $H_n$ niet geschikt is.

Het is niet zo eenvoudig een formule voor $H_n$ te vinden die wel voldoet.
Toch kunnen we bijvoorbeeld de gemiddelde handelingstijd na 10 handelingen uitrekenen.
Daarbij maken we gebruik van $T_n$, de tijd die een werknemer nodig heeft om handeling A
voor de $n$-de keer te verrichten. $T_n$ kan goed worden benaderd met de formule:
$$ T_n = 6+14,7 \cdot 0,68^n $$
In deze formule is $T_n$ in minuten. Inderdaad levert deze formule $T_1 \approx 16$ en $T_2 \approx 12,8$.
Met deze formule kunnen we ook andere handelingstijden uitrekenen en dus ook
gemiddelde handelingstijden berekenen.

4p 17 $\Box$ Bereken hoe groot de gemiddelde handelingstijd is wanneer een werknemer 10 keer
handeling A heeft uitgevoerd.

400035-2-18o
6
Lees verder


### Pagina 7

Koelkasten
Tegenwoordig worden koelkasten voorzien van een energiesticker. Op deze sticker staat vermeld in welke energieklasse de koelkast zit. Deze energieklassen worden aangegeven met de letters A tot en met G. Een koelkast in klasse A gebruikt weinig energie, een koelkast in klasse G gebruikt veel energie. In figuur 5 zie je een voorbeeld van zo'n sticker die hoort bij een koelkast uit energieklasse A.

Om te bepalen in welke energieklasse een koelkast moet worden ingedeeld, wordt het energieverbruik vergeleken met het zogenaamde standaardenergieverbruik van dat type koelkast. Hiermee berekent men de EEl, de energie-efficiëntie-index van de koelkast. Dat gebeurt met behulp van de volgende formule:

$$ EEI = \frac{\text{energieverbruik van de koelkast}}{\text{standaardenergieverbruik van de koelkast}} \cdot 100% $$

De waarde van deze EEI bepaalt in welke energieklasse de koelkast wordt ingedeeld. Zie tabel 4.

[FIGUUR: Een tabel met twee kolommen, 'energie-efficiëntie-index EEI' en 'klasse'. De index varieert van 'minder dan 55%' tot 'meer dan 125%', en de bijbehorende klassen zijn A tot en met G.]

3p 18 □ Een koelkast heeft een energieverbruik van 330 kWh per jaar en is ingedeeld in klasse B. Bereken de grootst mogelijke waarde van het bijbehorende standaardenergieverbruik.

Om het gebruik van zuinige koelkasten te stimuleren, geeft de overheid subsidie voor koelkasten in klasse A. Bij aanschaf van een koelkast in klasse A krijgt de koper € 50 subsidie.

Van twee koelkasten, de Freezer en de Icebox, zijn enkele gegevens bekend. Zie tabel 5.

[FIGUUR: Een tabel met drie kolommen: 'koelkast', 'EEI', 'aanschafprijs zonder subsidie', en 'verbruik per jaar'. De rijen bevatten 'Freezer' en 'Icebox', met hun bijbehorende waarden.]

De prijs van elektriciteit is € 0,20 per kWh.
De Icebox is duurder in aanschaf, maar verbruikt minder energie in vergelijking met de Freezer. Dat betekent dat na verloop van tijd de extra investering in de Icebox zal zijn terugverdiend.

5p 19 □ In januari van het jaar 2000 heeft iemand een Icebox gekocht. Bereken in welke maand van welk jaar de extra investering in de Icebox zal zijn terugverdiend.

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

400035-2-180 7 Lees verder

### Pagina 8

Bij de berekening van de $EEI$ moeten we weten hoe groot het standaardenergieverbruik van
een koelkast is. Dit wordt voor elk type koelkast apart uitgerekend. Hiervoor gebruikt men
de volgende formule:

standaardenergieverbruik = $m \cdot GV + n$

In deze formule is $GV$ het Gecorrigeerd Volume; dit wordt berekend met de formule:
$$GV = K + s \cdot V$$

In deze formule is $K$ het volume van de koelruimte en $V$ het volume van de vriesruimte,
beide in liters.

Om deze twee formules te kunnen gebruiken, hebben we dus de waarden van $m$, $n$ en $s$
nodig. In tabel 6 staan voor een aantal categorieën koelkasten deze waarden aangegeven.

label 6
[FIGUUR: Tabel met de kolommen 'categorie', 'm', 'n', en 's'. De rijen bevatten: 'koelkast zonder vriesruimte', 'koelkast met vriesruimte zonder ster', 'koelkast met vriesruimte *', 'koelkast met vriesruimte **' met bijbehorende waarden.]

Voor elke categorie koelkasten is de formule voor het standaardenergieverbruik van de
vorm:
standaardenergieverbruik = $a \cdot K + b \cdot V + c$

Hierbij zijn $a$, $b$ en $c$ constanten. Ook hier is $K$ weer de inhoud van de koelruimte en $V$ de
inhoud van de vriesruimte, beide in liters.

5p 20 $\Box$ Hoe groot zijn de constanten $a$, $b$ en $c$ voor de categorie koelkasten met vriesruimte ** ?

Er bestaan ook koelkasten met vriesruimte ***. Voor deze categorie koelkasten geldt de
formule:
standaardenergieverbruik = $0,657 \cdot K + 1,41255 \cdot V + 235$

Een fabrikant van koelkasten wil een nieuw type koelkast met vriesruimte *** op de markt
brengen. Dit nieuwe type moet voldoen aan de volgende voorwaarden:
• de koelkast hoort in energieklasse A;
• het jaarlijks energieverbruik is 187 kWh;
• de koelruimte is vier keer zo groot als de vriesruimte.

4p 21 $\Box$ Onderzoek hoe groot de inhoud van de vriesruimte moet zijn om aan deze voorwaarden te
voldoen.

Einde
400035-2-18o
8