# Eindexamen Wiskunde A VWO 2003 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2003/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 10 – Opgave 2

### Vraag 16 – Opgave 2

### Vraag 17 – Opgave 2

### Vraag 18 – Opgave 2

### Vraag 19 – Opgave 2

### Vraag 20 – Opgave 2

### Vraag 21 – Opgave 2

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Wiskunde A1 (nieuwe stijl)
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs
20 03
Tijdvak 2
Woensdag 18 juni
13.30 – 16.30 uur
Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te
behalen; het examen bestaat uit 21 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Voor de uitwerking van de vragen 10 en 16 is
een bijlage toegevoegd.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redener worden
gevraagd en je geeft er meer dan twee redenen,
dan worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegeteld.
300035 18
Begin

### Pagina 2

Startende ondernemingen

In Nederland starten elk jaar ongeveer 50 000 bedrijven. Sommige van deze startende
bedrijven verdwijnen weer snel, andere overleven langere tijd. De Kamers van Koophandel
houden de gegevens hiervan nauwkeurig bij. Op basis hiervan is in figuur 1 weergegeven
hoeveel procent van deze bedrijven na een aantal jaren verdwenen is.

figuur 1 Startende ondernemingen

[FIGUUR: Een grafiek met op de y-as "percentage 60 opgeheven 50 bedrijven" en op de x-as "aantal jaren na de start" van 0 tot 9. De grafiek toont een curve die stijgt van 0% bij jaar 0 tot ongeveer 40% bij jaar 4, en dan langzamer stijgt naar ongeveer 60% bij jaar 9. Er staat een illustratie van een man in pak aan de linkerkant van de grafiek.]

We maken een wiskundig model. In dit model gaan we ervan uit dat elk bedrijf elk jaar
dezelfde vaste overlevingskans heeft. Uit figuur 1 kun je afleiden dat een startend bedrijf
40% kans heeft om de eerste 9 jaar te overleven. Op grond hiervan kan de jaarlijkse vaste
overlevingskans van startende bedrijven worden berekend.

4p 1 □ Bereken deze jaarlijkse overlevingskans in vier decimalen nauwkeurig.

In de volgende twee vragen gaan we uit van een jaarlijkse overlevingskans van 0,9.

4p 2 □ Bereken de kans dat een startend bedrijf na 4 jaar nog bestaat en onderzoek of deze
uitkomst in overeenstemming is met de gegevens van figuur 1.

Bij een steekproef worden uit de landelijke gegevens van de Kamers van Koophandel
willekeurig 50 startende bedrijven geselecteerd.

4p 3 □ Bereken in twee decimalen nauwkeurig de kans dat van de 50 startende bedrijven na 1 jaar
minstens 45 bedrijven nog bestaan.

Gemeente A heeft door goede begeleiding van startende bedrijven weten te bereiken dat de
jaarlijkse overlevingskans voor die bedrijven in deze gemeente op 0,95 uitkomt. Het beleid
is erop gericht dat in deze gemeente jaarlijks 144 bedrijven starten. Een ambtenaar heeft
namelijk berekend dat er dan 'een heel grote kans' is dat na 5 jaar ten minste 100 van deze
bedrijven nog bestaan.

5p 4 □ Bereken in twee decimalen nauwkeurig hoe groot die kans is.

300035 18 2 Lees verder


### Pagina 3

Hier is een gedetailleerde analyse van de examenpagina:

**1. Type pagina**:
Opgave (examenopgave)

**2. Visuele elementen**:
*   **Formule**: $A = 0,005v^2 + 0,28v$. Dit is een kwadratische formule die de veilige afstand ($A$) relateert aan de snelheid ($v$).
*   **Foto/Afbeelding**: Een zwart-witfoto van een man in een uniform, die met zijn rechterhand een 'peace'-teken (V-gebaar) maakt. Onder de foto staat de tekst: "voldoende afstand kan veel verkeersongevallen voorkomen".

**3. Wiskundig/wetenschappelijk concept**:
*   **Wiskundige modellering**: Het gebruik van een kwadratische formule om een reële situatie (veilige afstand) te beschrijven.
*   **Analyse van functies**:
    *   **Toenamediagrammen**: Vraag 5 vraagt om het tekenen van een toenamediagram om toenemende stijging aan te tonen, wat inhoudt dat de snelheid waarmee de afstand toeneemt, zelf ook toeneemt bij hogere snelheden.
    *   **Oplossen van kwadratische vergelijkingen**: Vraag 6 vereist het bepalen van de waarde van $v$ gegeven een waarde voor $A$.
*   **Eenheden omrekenen**: Afstanden in meters en snelheden in km/u moeten mogelijk worden omgerekend naar m/s, zoals impliciet in vraag 7.
*   **Proportionaliteit/Verbanden**:

### Pagina 4

Sojabonen
In de Verenigde Staten worden op grote schaal sojabonen geteeld. Vanaf begin september
worden de sojabonen geoogst. Voor de jaren 1985 tot en met 1998 heeft men berekend
hoeveel procent van de jaarroogst aan het eind van elke week was geoogst. Het gemiddelde
van deze 14 jaren is weergegeven in figuur 2. Deze figuur staat ook op de bijlage.
figuur 2
[FIGUUR: Grafiek met op de x-as de maanden van september tot december en op de y-as het percentage van de jaarroogst. De lijn geeft een stijgende curve weer, beginnend bij 0% op 5 september en eindigend bij 100% op 5 december.]
percentage van
de jaarroogst
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
5 sept
12 sept
19 sept
26 sept
3 okt
10 okt
17 okt
24 okt
31 okt
7 nov
14 nov
21 nov
28 nov
5 dec
gemiddelde 1985-1998

4p 9
Tijdens een aantal weken werd gemiddeld per dag meer dan 1% van de jaarroogst geoogst.
Onderzoek aan de hand van de grafiek in figuur 2 welke weken dat zijn.
300035 18 4 Lees verder

### Pagina 5

Hier is een analyse van de examenpagina:

1.  **Type pagina**: Opgave (met een grafiek die als "figuur 3" wordt aangeduid en instructies die verwijzen naar een "bijlage" voor een andere figuur, wat impliceert dat dit een pagina met vragen en benodigde gegevens is).

2.  **Visuele elementen**:
    *   **Staafdiagram (Figuur 3)**:
        *   **Titel**: "percentage geoogst" (verticale as).
        *   **Verticale as (Y-as)**: Gelabeld als "percentage geoogst" met waarden van 0 tot 25 in stappen van 5.
        *   **Horizontale as (X-as)**: Chronologische datums, beginnend bij 5-9-1999 en eindigend bij 28-11-1999, elk label staat voor een week.
        *   **Staven**: Vertonen variërende hoogtes die het percentage van de jaaroogst weergeven dat in de betreffende week is binnengehaald. De hoogste staven liggen rond eind september/begin oktober.

3.  **Wiskundig/wetenschappelijk concept**:
    *   **Statistiek en Data-analyse**:
        *   Interpreteren en visualiseren van gegevens in een staafdiagram.
        *   Het verbinden van discrete gegevenspunten (wekelijkse percentages) met een continue grafiek (een verwijzing naar "figuur 2" die niet op deze pagina staat, maar impliceert dat een cumulatieve of frequentiepolygoon wordt gevraagd).
        *   **Normale verdeling**: Vraag 11 introduceert het concept van normaal verdeelde gegevens (percentage geoogste sojabonen) met een gemiddelde en standaardafwijking.
        *   **Kansberekening**: Het berekenen van de kans dat een bepaalde gebeurtenis (minder dan 20% geoogst op een specifieke datum) zich voordoet binnen een normaal verdeelde dataset.

4.  **Context**:
    *   De student wordt gevraagd gegevens met betrekking tot de sojaboonoogst in 1

### Pagina 6

Dit is een zorgvuldige analyse van de examenpagina:

**1. Type pagina:** Opgave

**2. Visuele elementen:**
*   **Logo/Paginanummering:** Linksboven een zwart vlak, waarschijnlijk voor een logo of codering. Linksonder staat "300035 18", wat duidt op een documentnummer en paginanummer. Rechtsonder staat "Pagina: 2239".
*   **Paginanummer:** Centraal onderaan staat het cijfer "6", waarschijnlijk het paginanummer binnen dit specifieke examenonderdeel.
*   **Navigatie-indicator:** Rechtsonder het paginanummer staat "Lees verder" met een pijl naar rechts, wat aangeeft dat de opgave op de volgende pagina doorgaat.
*   **Formules:**
    *   Formule (1): `20 ⋅ log N = 202 - ⁴⁄₃L`
    *   Formule (2): `20 ⋅ log N = 248 - 2L`
    *   Een afgeleide van formule (2): `N = 10^(12,4 – 0,1L)`
*   **Markeringen voor subvragen:** De vragen 12, 13, 14 en 15 zijn genummerd en voorzien van een vierkantje en puntentelling (bijv. "5p 12 □").
*   **Geen grafieken, tabellen, figuren of diagrammen direct zichtbaar op déze pagina.** Er wordt echter wel verwezen naar "figuur 4" in de tekst, die "ook op de bijlage" staat.

**3. Wiskundig/wetenschappelijk concept:**
*   **Logaritmische schalen/functies:** Het gebruik van "log N" in de formules wijst op het werken met logaritmen, waarschijnlijk de logaritme met grondtal 10.
*   **Lineaire relaties:** Binnen de logaritmische formules zijn lineaire relaties tussen 'log N' en 'L' te herkennen.
*   **Exponentiële functies:** De transformatie van een logaritmische formule naar `N =

### Pagina 7

figuur 4
N
(x1000)
1500
1400
1300
1200
1100
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
71
69
68
67
66
65
64
63
62
L
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as N (x1000) en op de x-as L. De grafiek toont een stijgende lijn.]
5p 16 Schts op de bijlage ook voor de nieuwe formule (2) het verband tussen L en N en geef een
argument waarom milieugroepen, met betrekking tot het lawaai, kritiek hebben op de
nieuwe formule. Gebruik je argument om je argument te onderbouwen.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
300035 18
7
Lees verder

### Pagina 8

NoppesNet
Een internetprovider biedt zijn klanten volledig gratis toegang tot internet aan. Dat klinkt
aantrekkelijk, maar in de praktijk valt het tegen, zoals blijkt uit onderstaand artikel uit een
computertijdschrift.

artikel 2
De nieuwe provider NoppesNet biedt sinds enige
tijd volledig gratis toegang tot internet aan. Een
gratis telefoonnummer, geen inbelkosten, geen
abonnementskosten, noppes. Wij wilden wel eens
weten hoe dat bevalt, en hebben een aantal lezers
gevraagd enige tijd hun ervaringen bij te houden.
Daar word je niet vrolijk van. Verbindingen komen,
zo lijkt het, slechts bij toeval tot stand.

Telkens als ze ze verbinding probeerden te maken
met NoppesNet noteerden de deelnemers aan het
onderzoek of ze wel of niet een internetverbinding
kregen. De conclusie: slechts 1 op de 20 pogingen
leverde succesvol.
NoppesNet heeft zijn zaakjes duidelijk niet goed
voor elkaar. Voorlopig stellen we daarom vast dat
je voor noppes ook noppes krijgt.

We gaan er in de rest van deze opgave van uit dat bij iedere poging de kans op succes
precies gelijk is aan 0,05.

Inge is klant van NoppesNet. Het computerprogramma dat zij gebruikt om
internetverbindingen te maken, probeert na een mislukte poging automatisch opnieuw
verbinding te maken.
In theorie kan Inge het computerprogramma net zo vaak laten proberen totdat er een
verbinding tot stand gekomen is. Het benodigde aantal pogingen noemen we $n$. De kans dat
er precies $n$ pogingen nodig zijn noemen we $p_n$.

3p 17 ☐ Er geldt bijvoorbeeld: $p_3 = 0,045125$.
Toon dit aan.

4p 18 ☐ Voor $p_n$ kan zowel een recursieve als een directe formule opgesteld worden.
Geef zowel een recursieve formule als een directe formule voor $p_n$.

4p 19 ☐ In de praktijk kan het programma niet meer dan 12 pogingen doen.
Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat het computerprogramma een verbinding
tot stand brengt.

4p 20 ☐ Bereken in één decimaal nauwkeurig hoeveel pogingen het computerprogramma naar
verwachting doet.

We nemen nu aan dat Inge het maximale aantal pogingen van de computer zelf kan
instellen. We noemen dit maximale aantal $M$. Inge wil $M$ zó kiezen, dat de kans dat er geen
verbinding tot stand komt tenslotte hoogste 30% is.

5p 21 ☐ Bereken de kleinste waarde van $M$ waarvoor dit het geval is.

Einde

300035 18
8