# Eindexamen Wiskunde A VWO 2003 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/wiskunde-a/2003/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Vraag

### Vraag 2 – Vraag

### Vraag 3 – Vraag

### Vraag 4 – Vraag

### Vraag 5 – Vraag

### Vraag 6 – Vraag

### Vraag 7 – Vraag

### Vraag 8 – Vraag

### Vraag 9 – Vraag

### Vraag 10 – Vraag

### Vraag 11 – Vraag

### Vraag 12 – Vraag

### Vraag 13 – Vraag

### Vraag 14 – Vraag

### Vraag 15 – Vraag

### Vraag 16 – Vraag

### Vraag 17 – Vraag

### Vraag 18 – Vraag

### Vraag 19 – Vraag

### Vraag 20 – Vraag

### Vraag 21 – Vraag

### Vraag 22 – Vraag

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Wiskunde A1 (nieuwe stijl)
Examen VWO
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs
20 03
Tijdvak 1
Dinsdag 27 mei
13.30-16.30 uur

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
aantal punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
gevraagd en je geeft meer dan twee redenen,
dan worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegeteld.

Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te
behalen; het examen bestaat uit 22 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.

300010 18
Begin


### Pagina 2

Levensduur van koffiezetapparaten

Enkele jaren geleden is onderzocht hoe lang nieuw aangeschafte koffiezetapparaten
meegaan. Op basis daarvan is een kansmodel gemaakt zoals weergegeven in figuur 1.
Hierin is bijvoorbeeld te zien dat alle apparaten een half jaar na aanschaf nog in gebruik
zijn. Ook is te zien dat voor een apparaat van 1,5 jaar oud de kans 0,97 is dat het een jaar
later nog steeds in gebruik is, en dus de kans 0,03 is dat het in dat jaar wordt afgedankt.

[FIGUUR: Een horizontale lijn met markeringen voor 0,5 jaar, 1,5 jaar, 2,5 jaar, 3,5 jaar, 4,5 jaar, 5,5 jaar, 6,5 jaar, 7,5 jaar, 8,5 jaar na aanschaf. Boven de lijn staan boxen met "apparaat aangeschaft" en pijlen naar de markeringen. Onder de markeringen staan de kansen: 1,00, 0,99, 0,97, 0,87, 0,75, 0,60, 0,46, 0,37, 0,16.]

We passen dit model toe op een groep van 1500 nieuwe koffiezetapparaten. De levensduur
van een apparaat is de tijdsduur tussen het aanschaffen en het afdanken van het apparaat.
Uit de gegevens in figuur 1 volgt dat 187 van deze 1500 koffiezetapparaten een levensduur
hebben tussen 2,5 en 3,5 jaar.

4p 1 $\Box$ Laat met een berekening zien dat dit klopt.

Het bovengenoemde aantal 187 vind je terug in tabel 1. De andere aantallen in deze tabel
zijn op overeenkomstige wijze berekend.

tabel 1 Levensduur van 1500 koffiezetapparaten

levensduur aantal
in jaren koffiezetapparaten
0,5-1,5 15
1,5-2,5 45
2,5-3,5 187
3,5-4,5 313
4,5-5,5 376
5,5-6,5 305
6,5-7,5 163
7,5-8,5 81
>8,5 15

7p 2 $\Box$ Verwerk de gegevens van tabel 1 op normaal waarschijnlijkheidspapier en toon daarmee
aan dat de levensduur bij benadering normaal verdeeld is met een gemiddelde van 5,0 jaar
en een standaardafwijking van 1,6 jaar.

We nemen voor de rest van deze opgave aan dat de levensduur van koffiezetapparaten
normaal verdeeld is met een gemiddelde van 5,0 jaar en een standaardafwijking van
1,6 jaar.

Iemand heeft 9 jaar geleden zijn eerste koffiezetapparaat gekocht en nu, 9 jaar later, is net
zijn derde koffiezetapparaat kapot gegaan. Hij gaat naar de winkel en moppert tegen de
verkop er dat dit toch wel heel uitzonderlijk is.
De klant redeneert als volgt: “Drie koffiezetapparaten in negen jaar, dat is drie jaar per
apparaat. Je zou verwachten dat zo’n apparaat wel langer dan drie jaar meegaat. De kans dat
dit drie keer achter elkaar niet het geval is, is wel heel erg klein.”

5p 3 $\Box$ Bereken de kans dat drie willekeurig gekozen koffiezetapparaten elk een levensduur van ten
hoogste drie jaar hebben.

300010 18 2 Lees verder

### Pagina 3

We gaan nog even terug naar het onderzoek uit het begin van de opgave. Voor dit
onderzoek heeft men een aantal koffiezetapparaten gedurende hun hele levensduur
gevolgd. In plaats daarvan heeft men begin januari 1997 een enquête uitgevoerd onder
4000 huishoudens. Deze enquête heeft men precies een jaar later opnieuw uitgevoerd bij
dezelfde 4000 huishoudens. Beide keren werd gevraagd of men een koffiezetapparaat
gebruikte en zo ja, in welk kalenderjaar het was aangeschaft.
Op basis van de zo verkregen gegevens hebben de onderzoekers het model van figuur 1
opgesteld. Daarbij gingen ze ervan uit dat koffiezetapparaten uit verschillende jaren
gelijkmatig zijn wat de levensduur betreft. Bovendien gingen ze ervan uit dat de
koffiezetapparaten uit elk kalenderjaar gelijkmatig gespreid over dat jaar zijn aangeschaft,
en dus aan het eind van het jaar van aanschaf gemiddeld een half jaar oud zijn.

Begin januari 1997 gebruikten 506 van de onderzochte huishoudens een koffiezetapparaat
dat in 1993 was aangeschaft. Begin januari 1998, een jaar later dus, bleek dat 125 van deze
apparaten inmiddels waren afgedankt.

3p 4 [FIGUUR: Een vierkant vakje.] Welke van de kansen uit figuur 1 kan uit deze gegevens worden afgeleid? Licht je antwoord
toe met een berekening van de betreffende kans.

300010 18 3 Lees verder


### Pagina 4

De Nederlandse bevolking

In figuur 2 is de groei van de Nederlandse bevolking tussen 1900 en 1974 weergegeven.
Langs de verticale as is een logaritmische schaalverdeling gebruikt. Zo kun je aflezen dat
Nederland in 1900 ruim 5 miljoen inwoners telde. Ook zie je in de figuur een 'inzetsje'
waarin informatie staat over het stijgingspercentage van grafieken bij een logaritmische
schaalverdeling.

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as een logaritmische schaal van 10^6 tot 10^8 en op de x-as de jaren van 1900 tot 1970. Er zijn twee lijnen te zien: een gestippelde lijn die de bevolkingsgroei weergeeft en een lijn met een 'inzetsje' die het stijgingspercentage weergeeft.]

De bevolking groeide in de beschreven periode bij benadering exponentieel.

Tussen 1 januari 1900 en 1 januari 1974 is de Nederlandse bevolking van 5 miljoen naar
13,4 miljoen mensen gegroeid. Hieruit kunnen we de volgende formule afleiden:
$N = 5 \cdot 1,142^t$
In deze formule is $N$ het aantal inwoners van Nederland in miljoenen en $t$ de tijd in
tientallen jaren met $t = 0$ op 1 januari 1900.

4p 5 ☐ Toon aan dat deze formule klopt door de formule af te leiden uit de aantallen van 1900 en
1974.

De grafiek van $N$ vertoont een knikje bij het jaar 1945. Volgens een demograaf die deze
grafiek in een artikel gebruikt, betekent deze knik dat er in 1945 ruim 80 000 inwoners
minder waren dan er volgens bovenstaande formule voor $N$ zouden zijn.
3p 6 ☐ Leg uit hoe de demograaf dit getal gevonden kan hebben. Maak daarbij gebruik van de
grafiek in figuur 2 en de formule voor $N$.

Neem voor de volgende vraag aan dat het aantal inwoners van Nederland zich ook na
1974 zou hebben ontwikkeld volgens de formule voor $N$.
4p 7 ☐ Bereken in welk jaar het aantal van 18 miljoen mensen dan zou worden bereikt.

300010 18 4 Lees verder

### Pagina 5

Met behulp van het inzetje in figuur 2 kun je groeipercentages aflezen. Voor de Nederlandse bevolking kun je aflezen dat het groeipercentage tussen 5% en 10% lag. Aan het inzetje is echter niet te zien wat men precies bedoelt. Het zou hier kunnen gaan om

A) een groeipercentage per jaar.
B) een groeipercentage per 5 jaar.
C) een groeipercentage per 10 jaar of
D) een groeipercentage per 15 jaar.

4p 8 [ ] Geef met behulp van een berekening aan welke mogelijkheid van de hierboven genoemde mogelijkheden A, B, C of D bedoeld wordt.

300010 18 5 Lees verder

### Pagina 6

Reislust
Reislust is een reisorganisatie die klassieke reizen organiseert. Bij een grote deelname geeft
Reislust doorgaans aantrekkelijke kortingen.
foto
Een klassiek reisdoel
[FIGUUR: Een foto van het Parthenon in Athene, Griekenland.]
In 2002 organiseerde Reislust een reis naar Griekenland. Reislust deed geïnteresseerden een
aanbod waarbij men uitging van een basisprijs van 2000 euro per persoon. Deze basisprijs
werd verlaagd met 10 euro per deelnemer. Als er bijvoorbeeld 12 personen mee zouden
gaan, dan zou men per persoon $2000 - 12 \times 10 = 1880$ euro betalen.
Na enige tijd bleek dat zich 25 personen hadden opgegeven. Op het laatste moment meldde
zich echter nog één persoon méér aan.
9 Bereken hoeveel Reislust door deze extra aanmelding in totaal meer ontvangt dan bij een
deelname van 25 personen.
Het aantal personen dat meedoet aan de reis noemen we $n$.
Stel een formule op waarbij je de totale opbrengst van Reislust uitdrukt in $n$.
Omdat de belangstelling in 2002 toch wat tegenviel, overweegt Reislust voor 2003 een
ander aanbod. Dit aanbod betreft een reis voor maximaal 53 personen, eveneens naar
Griekenland. Ook neemt men het basisbedrag van 2000 euro per persoon als
uitgangspunt. Vervolgens zorgt elke deelnemer voor een vermindering van het basisbedrag:
de eerste deelnemer levert een vermindering op van 1 euro, de tweede deelnemer een
vermindering van 2 euro, de derde deelnemer een vermindering van 3 euro, enzovoort. Elke
vermindering geldt telkens voor alle deelnemers. Bij een deelname van bijvoorbeeld 5
personen moet elke deelnemer $2000 - (1+2+3+4+5) = 1985$ euro betalen.
Dit aanbod is voor deelnemers pas aantrekkelijk bij grote deelname. Het is zelfs zo dat de
prijs per persoon kan zakken tot minder dan 1000 euro.
11 Onderzoek hoeveel deelnemers zich ten minste moeten opgeven om ervoor te zorgen dat de
te betalen prijs op minder dan 1000 euro per persoon uit zal komen.
Wanneer de reis van 2003 is volgeboekt en er dus 53 deelnemers zijn, wordt de prijs per
persoon 569 euro. Dat zou Reislust dan in totaal $53 \times 569 = 30157$ euro opleveren. Je kunt
eenvoudig nagaan dat dit bedrag niet het maximale totale bedrag voor Reislust is,
te rekenen dat Reislust bij een deelname van 52 personen een grotere opbrengst heeft.
12 Bereken hoeveel Reislust in totaal meer ontvangt bij 52 deelnemers.
Reislust berekent dat de totale opbrengst bij het aanbod voor 2003 maximaal is bij
36 deelnemers. De leiding van de reisorganisatie vindt dit aantal te weinig en besluit
daarom het aanbod te wijzigen. Uiteindelijk ziet dit er als volgt uit:
Het basisbedrag wordt verlaagd tot 1950 euro. Ook nu zorgt elke deelnemer voor een
vermindering van dit basisbedrag: de $n^e$ deelnemer levert niet een vermindering van $n$ euro
maar van $0,5n$ euro op. Elke vermindering geldt weer voor alle deelnemers.
Met deze gegevens kunnen we een formule opstellen voor het bedrag $T(n)$ dat Reislust in
totaal ontvangt bij een deelname van $n$ personen:
$T(n) = n \cdot (1950 - 0,5n(n+1))$
13 Onderzoek bij welk aantal deelnemers $T(n)$ maximaal is.
300010 18
6
Lees verder

### Pagina 7

Strike it rich
Bij het Engelse televisiespelletje Strike it rich speelt een deelnemer in de finale tien rondes.
Bij elke ronde krijgt de deelnemer drie beeldschermen voor zich, waar nog niets op te zien
is. De deelnemer moet telkens één van deze beeldschermen kiezen. Nadat hij een
scherm heeft aangewezen, worden alle schermen zichtbaar. Op één van de drie
beeldschermen komt Ga door, te staan, op een ander beeldscherm Hot Spot, en op het derde
beeldscherm Vraag. Voor alle duidelijkheid: deze woorden worden op
selectieve wijze op de
beeldschermen geplaatst voordat de deelnemer kiest maar worden pas na zijn keuze
zichtbaar voor hem.

Het is mogelijk dat een deelnemer in de tien rondes precies één keer een beeldscherm met
Vraag erop aanwijst.
3p 14 OBereken de kans dat dit het geval is. Geef je antwoord in vier decimalen nauwkeurig.

De deelnemer kan bij elke ronde een strafpunt krijgen. Daarvoor gelden de volgende regels.
Wanneer op het aangewezen scherm Ga door verschijnt, gaat de deelnemer zonder strafpunt
door naar de volgende ronde.
Wanneer op het aangewezen scherm Hot Spot verschijnt, krijgt de deelnemer een strafpunt
en gaat door naar de volgende ronde.
Wanneer op het aangewezen scherm Vraag verschijnt, krijgt de deelnemer een vraag gesteld
die hij met ja of met nee moet beantwoorden. Wanneer het antwoord fout is, krijgt hij een
strafpunt en gaat door naar de volgende ronde. Wanneer het antwoord goed is, gaat hij
zonder strafpunt door naar de volgende ronde.

Uit het bovenstaande volgt dat voor een deelnemer die alle vragen foutloos beantwoordt bij
iedere ronde de kans op een strafpunt gelijk is aan $\frac{1}{3}$.
Maar voor een deelnemer die de vragen puur op de gok beantwoordt, dus met 50% kans op
het juiste antwoord, is bij iedere ronde de kans op een strafpunt gelijk aan $\frac{1}{2}$.

3p 15 O Toon de juistheid van deze laatste kans met een berekening aan.

3p 16 O Bereken voor deze gokkende deelnemer ook de kans dat hij in de tien rondes hoogstens
twee strafpunten krijgt. Geef het antwoord in vier decimalen nauwkeurig.

Vóór het begin van het spel moet de deelnemer kiezen of hij voor maximaal 2, maximaal 3
of maximaal 4 strafpunten speelt. Alle strafpunten die de deelnemer gedurende de tien
rondes oploopt, worden opgeteld. Als hij na tien rondes niet meer dan het gekozen aantal
strafpunten heeft, krijgt hij een prijs, zoals vermeld in de volgende tabel 2. (₤ betekent
Britse pond.)

tabel 2 |
maximum aantal strafpunten
waarvoor deelnemer speelt
prijs als het totaal aantal strafpunten niet boven
het gekozen maximum aantal strafpunten uitkomt
2
₤ 10 000
3
₤ 7000
4
₤ 5000

Als een deelnemer bijvoorbeeld voor maximaal 3 strafpunten heeft gekozen en hij heeft na
de tien rondes 3 of minder strafpunten, dan krijgt hij de geldprijs van £ 7000. Heeft hij 4 of
meer strafpunten, dan krijgt hij in dat geval niets.

Voor een deelnemer die alle vragen puur op de gok beantwoordt, is de verwachtingswaarde
van de geldprijs zo hoog mogelijk wanneer hij voor maximaal 4 strafpunten speelt.
We vragen ons nu af hoe dat zit met een deelnemer die alle vragen foutloos moet beantwoorden.
6p 17 O Onderzoek voor welk maximum aantal strafpunten deze deelnemer moet spelen om te
zorgen dat de verwachtingswaarde van de geldprijs zo hoog mogelijk is.

300010 18 7 Lees verder
Beschikbaar gesteld door Stichting Studievelegiding Leiden (SSL).

### Pagina 8

Sportprestaties
In de atletiek kent men verschillende onderdelen. De ene atleet is goed in hardlopen, de
andere atleet in hoogspringen of speerwerpen. Iemand die de 100 meter binnen de
11 seconden loopt is een goede sprinter, terwijl iemand die met een polsstok hoger springt
dan 5 meter een goede polsstokhooghringer is. Men kan zich afvragen wie van de twee de
betere atleet is. Om prestaties bij verschillende atletiekonderdelen te kunnen vergelijken,
hanteert de Koninklijke Nederlandse Atletiek Unie (KNAU) een puntensysteem. Met dit
systeem worden sportprestaties omgerekend tot een aantal punten met behulp van
verschillende formules. Vanzelfsprekend hoort bij een betere prestatie een groter aantal
punten. Zie tabel 3.
tabel 3
KNAU-puntensysteem
soort sport formule
onderdeel
mannen
vrouwen
a
b
a
b
loop-
nummers
$P=\frac{a}{t}-b$
100 meter
200 meter
400 meter
800 meter
1500 meter
3000 meter
29550
52611,4
111960
248544
489971,4
1077300
1881,5
1547,1
1433,5
1323,2
1224,7
1234,9
30672
54720
111720
247200
557448
1197450
1682,5
1342
1084,5
975,5
1181,5
1176
spring-
nummers
$P=a\sqrt{r}-b$
hoogspringen
verspringen
hinkstapsprong
polsstokhoogspringen
2440
1094,4
762,9
1040
2593,5
2075,3
2074,5
1272,5
2635,6
1076,3
750,3
1225,8
2501,5
1729,4
1730,6
1500,2
werp-
nummers
$P=a\sqrt{r}-b$
kogelstoten
discuswerpen
speerwerpen
462,5
249,8
190,2
1001,8
893,5
711,3
429,5
224,8
197,5
768,3
686,5
482,5
In tabel 3 lezen we af dat voor hardlopen het behaalde aantal punten P wordt berekend met
de formule $P=\frac{a}{t}-b$. Hierbij is $t$ de tijd in seconden die de atleet nodig heeft om de
afstand te lopen. De getallen $a$ en $b$ worden afgelezen in de betreffende kolommen voor
mannen of vrouwen. Bijvoorbeeld bij 100 meter hardlopen voor mannen
$a=29550$ en voor vrouwen $a = 30672$.
4p 18
Een man en een vrouw lopen allebei de 3000 meter in 8 minuten en 25 seconden.
Bereken hoeveel punten de vrouw meer heeft behaald dan de man.
3p 19
Als een man de 100 meter in 10,70 seconden loopt, dan heeft hij daarmee 880,2 punten
behaald.
Bereken hoeveel seconden, in 2 decimalen nauwkeurig, een man over de 400 meter moet
doen om ook 880,2 punten te behalen.
Voor de spring- en werpnummers wordt de formule $P=a\sqrt{r}-b$ gebruikt. Hierin is r de
gesprongen hoogte of afstand in meters of de geworpen afstand in meters. De getallen a en
b staan in tabel 3 weer in de kolommen ernaast. Deze formule is alleen maar zinvol als er
een niet te kleine afstand wordt gehaald. Bij zeer kleine afstanden kan het behaalde aantal
punten zelfs negatief zijn.
4p 20
Bereken hoeveel meter een vrouw de discus moet werpen om geen negatief aantal punten te
halen. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
300010 18
8
Lees verder

### Pagina 9

De International Association of Athletics Federations (IAAF) kent ook een puntensysteem.
Voor het berekenen van de punten gebruikt de IAAF andere formules dan de KNAU. Zo
gebruikt de IAAF bij het speerwerpen voor mannen de formule $ P = 10,14 \cdot (r - 7)^{1,08} $.
Wanneer we de formule van speerwerpen voor mannen van de KNAU met die van de IAAF
vergelijken, dan blijkt dat voor sommige geworpen afstanden $r$ de formule van de KNAU
meer punten oplevert dan de formule van de IAAF.
5p 21 Onderzoek voor welke waarden van $r$ dat het geval is.

Bij het verspringen voor mannen gebruikt de IAAF de formule
$ P = 0,14354 \cdot (100 \cdot r - 2,2)^{1,4} $. Deze formule kan ook in de ‘IAAF-werpnumer’-vorm
geschreven worden. In dat geval ziet de IAAF-verspringformule voor mannen eruit als
$ P = a(r - 2,2)^{1,4} $ voor een bepaalde waarde van $ a $.
3p 22 Bereken in twee decimalen nauwkeurig hoe groot de waarde van $a$ in dat geval moet zijn.

Einde
300010 18 9