# Eindexamen Natuurkunde VWO 2023 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2

## Vraag 1 – Valhoogte berekenen bij een fietshelmtest (3 punten)

Bereken deze valhoogte. Verwaarloos hierbij de invloed van eventuele wrijvingskrachten.

Wat kun je verwachten: Je berekent de valhoogte die nodig is om een specifieke impactsnelheid te bereiken, uitgaande van de wet van behoud van energie en het verwaarlozen van wrijvingskrachten.

Wat moet je kennen: wet van behoud van energie: ΔE_z = ΔE_k (als wrijving verwaarloosd wordt)
formule voor zwaarte-energie: E_z = mgh [J = kg·m/s²]
formule voor kinetische energie: E_k = ½mv² [J = kg·(m/s)²]
valversnelling: g = 9,81 m/s²

Wat moet je kunnen: Je past de wet van behoud van energie toe door zwaarte-energie gelijk te stellen aan kinetische energie.
Je herleidt de formules voor zwaarte-energie en kinetische energie om de valhoogte (h) te bepalen.
Je vult de gegeven waarden (snelheid v en valversnelling g) correct in de herleide formule in.
Je voert de berekening nauwkeurig uit.

Waar op letten: Het eindantwoord moet in meters (m) zijn. Rond het antwoord af op drie significante cijfers, gebaseerd op de gegeven snelheid van 5,42 m/s. Let op het correct kwadrateren van de snelheid.

Kernbegrippen: wet van behoud van energie, zwaarte-energie, kinetische energie, vrije val

Veelgemaakte fouten:
- De snelheid vergeten te kwadrateren in de formule voor kinetische energie.
- Een onjuiste waarde voor de valversnelling 'g' gebruiken.
- Reken- of afrondingsfouten.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/1

## Vraag 2 – Versnelling bij impact dummyhoofd (4 punten)

In het dummyhoofd zit een versnellingsmeter. Tijdens de impact van het hoofd met de grondplaat mag de verticale versnelling van het hoofd nooit groter worden dan de normwaarde van 250 g. Hierin is g de valversnelling. De absorptielaag in een fietshelm kan maximaal 20 mm indeuken. Deze afstand is groot genoeg om ervoor te zorgen dat de gemiddelde versnelling niet groter is dan de normwaarde.

Toon dit aan.

Wat kun je verwachten: Je toont aan dat de gemiddelde versnelling van het hoofd, bij een indeukafstand van 20 mm, niet groter is dan de normwaarde van 250 g.

Wat moet je kennen: Arbeid: W = F·s [J = N·m]
Kinetische energie: E_k = ½mv² [J]
Tweede wet van Newton: F_res = m·a [N = kg·m/s²]
Wet van arbeid en kinetische energie: W_res = ΔE_k
Valversnelling: g ≈ 9,81 m/s²

Wat moet je kunnen: Je past de wet van arbeid en kinetische energie toe om een verband te leggen tussen remweg, remkracht en snelheidsverandering.
Je combineert de wet van arbeid en kinetische energie met de tweede wet van Newton om de gemiddelde versnelling te bepalen.
Je rekent eenheden om, zoals millimeter naar meter.
Je vergelijkt de berekende versnelling met de gegeven normwaarde, uitgedrukt in 'g'.

Waar op letten: Let op de eenheid van het eindantwoord (m/s² of 'g'). Gebruik de juiste significantie voor het eindantwoord. Zorg ervoor dat je de indeukafstand omrekent naar meters.

Kernbegrippen: arbeid en kinetische energie, tweede wet van Newton, eenparig versnelde beweging, omrekenen van eenheden, tweede wet van newton

Veelgemaakte fouten:
- remweg in mm gebruiken in plaats van m
- verkeerde waarde voor beginsnelheid gebruiken
- vergeten de berekende versnelling te vergelijken met de normwaarde in g

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/2

## Vraag 3 – Snelheid bepalen uit (a,t)-diagram (2 punten)

De snelheid waarmee het dummyhoofd de plaat raakt is in beide experimenten gelijk.
Leg uit hoe je dit kunt concluderen uit figuur 3.

Wat kun je verwachten: Je moet uitleggen hoe je uit een (a,t)-diagram kunt concluderen dat de snelheden waarmee het dummyhoofd de plaat raakt in twee experimenten gelijk zijn.

Wat moet je kennen: De relatie tussen versnelling, snelheid en tijd: a = dv/dt. De oppervlakte onder een (a,t)-grafiek is gelijk aan de snelheidsverandering Δv.

Wat moet je kunnen: Je moet de betekenis van de oppervlakte onder een (a,t)-grafiek kunnen benoemen. Je moet kunnen uitleggen dat je de oppervlakten onder de twee grafieken in figuur 3 moet vergelijken om de snelheidsverandering te bepalen.

Waar op letten: Je moet de eenheid van snelheidsverandering (m/s) correct benoemen. Je moet benoemen dat de oppervlakten onder de grafieken vergeleken moeten worden. Richting/teken is hier niet cruciaal, omdat het om de grootte van de snelheidsverandering gaat.

Kernbegrippen: (a,t)-diagram, snelheidsverandering, oppervlaktebepaling in een grafiek

Veelgemaakte fouten:
- Alleen naar de piekhoogte van de versnelling kijken in plaats van naar de oppervlakte.
- Verwarren van versnelling met snelheid.
- Onjuiste schatting van de oppervlakte onder de kromme lijnen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/3

## Vraag 4 – Remweg in fietshelm en kracht-indrukking relatie (2 punten)

Hoewel de maximale remweg in een fietshelm 20 mm bedraagt is het belangrijk om te voorkomen dat deze hele afstand gebruikt wordt tijdens een impact.
Leg met behulp van figuur 5 uit waarom de remweg niet te groot mag worden.

Wat kun je verwachten: Je legt uit waarom de remweg in een fietshelm niet te groot mag worden, door de relatie tussen kracht en indrukking uit figuur 5 te koppelen aan het verband tussen kracht en versnelling.

Wat moet je kennen: Tweede wet van Newton: F_res = m·a [N = kg·m/s²]
Grootheden: kracht (F), massa (m), versnelling (a), indrukking (x)
Eenheden: Newton (N), kilogram (kg), meter per seconde kwadraat (m/s²), millimeter (mm)

Wat moet je kunnen: Je interpreteert een F-x grafiek (kracht-indrukking grafiek)
Je leest af uit de grafiek hoe de kracht verandert bij toenemende indrukking
Je legt een verband tussen de afgelezen kracht en de resulterende versnelling met behulp van de tweede wet van Newton

Waar op letten: Je redenering moet duidelijk maken dat een grote kracht leidt tot een grote versnelling. Er is geen numeriek antwoord, dus significantie is niet van toepassing. Let op de eenheden in de grafiek (mm en N).

Kernbegrippen: Tweede wet van Newton, kracht, versnelling, grafiek aflezen, tweede wet van newton, indrukking

Veelgemaakte fouten:
- Alleen de grafiek beschrijven zonder de link te leggen naar de fysische gevolgen (grote kracht -> grote versnelling).
- De term 'remweg' verwarren met de remafstand van een voertuig, in plaats van de indrukkingsafstand van het materiaal.
- Vergeten te concluderen waarom een grote versnelling ongewenst is in de context van een helm.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/4

## Vraag 5 – Berekening van constante C in piepschuimmodel (2 punten)

In de regels 2 en 4 van het model staan de formules die de grafieken van figuur 5 beschrijven. Voor indrukkingen kleiner dan 1 mm geldt dat de kracht evenredig is met de indrukking (regel 2). Voor grotere waarden van *x* geldt een ingewikkeldere formule (regel 4). De formules in het model van figuur 6 gelden voor piepschuim met een dichtheid van 31 kg m⁻³.
Bereken met behulp van de formules in de modelregels 2 en 4 de waarde van *C* voor dit type piepschuim.

Wat kun je verwachten: Je berekent de waarde van de constante C door twee modelregels aan elkaar gelijk te stellen op een gegeven grenswaarde.

Wat moet je kennen: Je moet de gegeven formules uit de modelregels 2 en 4 kennen. Je moet weten dat 1 mm = 0,001 m.

Wat moet je kunnen: Je moet de twee gegeven formules aan elkaar gelijkstellen op de grenswaarde van x = 0,001 m. Je moet de kracht F_p berekenen met de formule uit modelregel 4 voor x = 0,001 m. Je moet vervolgens deze berekende kracht invullen in de formule uit modelregel 2 om de constante C te bepalen. Je moet correct omgaan met machten en eenheden.

Waar op letten: Let op de eenheid van het eindantwoord (N m⁻¹). Geef het antwoord in twee significante cijfers. Zorg dat je de indrukking x omrekent van mm naar m voordat je deze in de formules invult.

Kernbegrippen: Natuurkundig model, Formules toepassen, Continuïteit op een grenswaarde, natuurkundig model, formules toepassen, continuïteit op een grenswaarde

Veelgemaakte fouten:
- Eenheidsfout (mm naar m)
- Rekenmachinefout bij machtsverheffen
- Verkeerd gelijkstellen van de formules

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/5

## Vraag 6 – Numeriek model: resulterende kracht (2 punten)

Regel 7 van het model is nog niet compleet.
Geef aan wat er in regel 7 van het model moet staan.

Wat kun je verwachten: Je moet de formule voor de resulterende kracht in een numeriek model aanvullen, rekening houdend met de richting van de krachten.

Wat moet je kennen: Je moet de definitie van resulterende kracht kennen: F_res = ΣF. Je moet weten dat krachten vectorgrootheden zijn en dat hun richting van belang is bij het samenstellen van krachten. Je moet weten dat de zwaartekracht (F_z) naar beneden werkt en een tegenwerkende kracht (F_p) omhoog.

Wat moet je kunnen: Je moet een correcte tekenconventie toepassen voor krachten die in tegengestelde richtingen werken. Je moet de resulterende kracht correct opstellen als de som van de krachten, waarbij je rekening houdt met hun richting.

Waar op letten: Let op de correcte tekenconventie voor de krachten; als je de zwaartekracht positief rekent, moet de tegenwerkende kracht negatief zijn, of andersom. De eenheid van kracht is Newton (N).

Kernbegrippen: resulterende kracht, zwaartekracht, krachten samenstellen, numeriek model, tekenconventie

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde tekenconventie voor de krachten
- Krachten optellen in plaats van aftrekken
- De zwaartekracht en de tegenwerkende kracht verwisselen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/6

## Vraag 7 – Maximale versnelling bij verschillende dichtheden piepschuim (2 punten)

Leg uit bij welke dichtheid van het piepschuim de maximale versnelling van de vallende plaat het kleinst is geweest.

Wat kun je verwachten: Je moet de maximale versnelling van een vallende plaat bepalen aan de hand van een (v,t)-diagram voor verschillende dichtheden piepschuim en hieruit een conclusie trekken.

Wat moet je kennen: Je moet weten dat de versnelling de helling is van een (v,t)-diagram. Je moet weten dat een grotere steilheid van de grafiek een grotere versnelling betekent.

Wat moet je kunnen: Je moet de steilheid van verschillende kromme lijnen in een (v,t)-diagram visueel kunnen vergelijken. Je moet de maximale steilheid van elke grafieklijn kunnen identificeren. Je moet een conclusie kunnen trekken over welke dichtheid de kleinste maximale versnelling geeft.

Waar op letten: Je moet letten op de steilheid van de grafieklijnen, niet op de snelheid zelf. De maximale versnelling correspondeert met het steilste deel van de grafiek. Er is geen eenheid of significantie van toepassing, omdat het een kwalitatieve vergelijking is.

Kernbegrippen: (v,t)-diagram, versnelling, steilheid van een grafiek, grafiek interpreteren

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van snelheid met versnelling.
- Verkeerd interpreteren van 'maximale versnelling' als de hoogste waarde op de y-as in plaats van de grootste (absolute) helling.
- De steilheid van de grafieken onjuist vergelijken.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/7

## Vraag 8 – Reactievergelijking kernfusie (3 punten)

Geef de reactievergelijking van dit proces.

Wat kun je verwachten: Je geeft de reactievergelijking van een kernfusieproces. Je noteert de deeltjes correct met massagetal en atoomnummer en zorgt dat de behoudswetten kloppen.

Wat moet je kennen: Notatie van isotopen: A_Z X (A = massagetal, Z = atoomnummer). Deeltjes: deuterium (²₁H), proton (¹₁p of ¹₁H), helium-3 (³₂He). Behoud van massagetal (aantal nucleonen) en behoud van atoomnummer (lading) in kernreacties.

Wat moet je kunnen: Je stelt een kloppende reactievergelijking op voor een kernreactie. Je past de behoudswetten voor massagetal en atoomnummer toe om het product van de reactie te bepalen of te controleren. Je noteert de deeltjes correct met hun massagetal en atoomnummer.

Waar op letten: Zorg dat het massagetal (boven) en het atoomnummer (onder) aan beide zijden van de reactiepijl gelijk zijn. Gebruik de correcte notatie voor de deeltjes. Er is geen eenheid of significantie van toepassing.

Kernbegrippen: kernfusie, behoudswetten, isotoopnotatie, massagetal en ladingsgetal

Veelgemaakte fouten:
- verkeerde notatie voor proton
- massagetal en ladingsgetal verwisselen
- behoudswetten niet correct toepassen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/8

## Vraag 9 – Golflengte van D_α aantonen (4 punten)

Toon aan dat de golflengte van D_α gelijk is aan 655,95 nm.

Wat kun je verwachten: Je moet de golflengte van D_α aantonen door de energieovergang te berekenen en deze om te zetten naar een golflengte.

Wat moet je kennen: Energieniveaus van deuterium: E_n = -k/n² [eV]
Constante k voor deuterium: k = 13,609 eV
Fotonenergie bij overgang: E_f = ΔE_n = E_hoog - E_laag [eV]
Relatie fotonenergie en golflengte: E_f = hc/λ [J]
Constante van Planck: h = 6,62607·10⁻³⁴ J·s (BINAS tabel 7A)
Lichtsnelheid: c = 2,99792·10⁸ m/s (BINAS tabel 7A)
Omrekenfactor eV naar Joule: 1 eV = 1,60218·10⁻¹⁹ J (BINAS tabel 5)

Wat moet je kunnen: Je berekent het energieniveau E_n voor n=3 en n=2 met de gegeven formule en constante k voor deuterium.
Je berekent het energieverschil ΔE_n tussen de energieniveaus E_3 en E_2.
Je zet de berekende energie in eV om naar Joule.
Je berekent de golflengte λ met de formule E_f = hc/λ.
Je converteert de golflengte van meter naar nanometer.

Waar op letten: Let op de eenheid van het eindantwoord (nm). Gebruik de juiste constante k voor deuterium (13,609 eV). Zorg ervoor dat je de fotonenergie omrekent van eV naar Joule voordat je de golflengte berekent. Rond af op het juiste aantal significante cijfers, meestal 5 in dit geval.

Kernbegrippen: atoommodel van Bohr, energieniveaus, fotonemissie, fotonenergie, relatie golflengte-energie, atoommodel van bohr

Veelgemaakte fouten:
- verkeerde energieniveaus gebruiken (bv. n=2 naar n=1 i.p.v. n=3 naar n=2)
- vergeten de fotonenergie om te rekenen van eV naar Joule
- de constante k voor waterstof gebruiken in plaats van voor deuterium

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/9

## Vraag 10 – Radiale snelheid van de Orionnevel (5 punten)

Voer de volgende opdrachten uit:
– Leg uit of de Orionnevel van ons af beweegt of naar ons toe beweegt.
– Bereken de radiale snelheid van de Orionnevel. Noteer je antwoord in het juiste aantal significante cijfers.

Wat kun je verwachten: Je legt uit of de Orionnevel van ons af beweegt of naar ons toe beweegt en je berekent de radiale snelheid van de Orionnevel.

Wat moet je kennen: Formule voor dopplerverschuiving: v = (Δλ/λ) · c. Grootheden: v [m/s] (radiale snelheid), Δλ [m] (dopplerverschuiving), λ [m] (rustgolflengte), c [m/s] (lichtsnelheid). Je moet weten dat roodverschuiving betekent dat een object van je af beweegt en blauwverschuiving dat het naar je toe beweegt.

Wat moet je kunnen: Je bepaalt de dopplerverschuiving Δλ door de waargenomen golflengte te vergelijken met de rustgolflengte. Je past de formule voor radiale snelheid toe. Je trekt een conclusie over de bewegingsrichting op basis van rood- of blauwverschuiving. Je noteert het eindantwoord in het juiste aantal significante cijfers.

Waar op letten: Het eindantwoord voor de radiale snelheid moet in m/s zijn. Let op het juiste aantal significante cijfers, vooral na de aftrekking voor Δλ. De conclusie over de bewegingsrichting moet expliciet zijn.

Kernbegrippen: dopplereffect, roodverschuiving, radiale snelheid, emissiespectrum, significante cijfers

Veelgemaakte fouten:
- De waargenomen golflengte en de rustgolflengte (λ en λ₀) verwisselen in de formule.
- Onjuist aantal significante cijfers toepassen op het eindantwoord, met name na de aftrekking voor Δλ.
- Vergeten een expliciete conclusie te trekken over de bewegingsrichting (van de aarde af).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/10

## Vraag 11 – Oppervlakte bepalen voor totale intensiteit Dα (1 punt)

Geef in de figuur op de uitwerkbijlage de oppervlakte aan die bepaald moet worden om de totale intensiteit van Dα te bepalen.

Wat kun je verwachten: Je moet in een gegeven grafiek de oppervlakte arceren die de totale intensiteit van Dα representeert.

Wat moet je kennen: Je moet weten dat de intensiteit in een golflengte-interval gelijk is aan de oppervlakte onder de grafiek van intensiteit tegen golflengte.

Wat moet je kunnen: Je moet de juiste piek in een intensiteitsspectrum kunnen identificeren en de bijbehorende oppervlakte onder de grafiek kunnen arceren.

Waar op letten: Zorg ervoor dat je de oppervlakte onder de correcte piek (Dα) volledig en duidelijk arceert. Het gaat om een oppervlakte, niet alleen een lijn.

Kernbegrippen: Spectraalanalyse, Intensiteit, Oppervlakte onder een grafiek, spectraalanalyse, intensiteit, oppervlakte onder een grafiek, emissiespectrum

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde piek arceren (bijvoorbeeld de diepe absorptielijn)
- Alleen een lijn trekken in plaats van een oppervlakte
- Onvolledig arceren van de piek

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/11

## Vraag 12 – Berekening ondergrens halveringstijd deuterium (3 punten)

Bereken de ondergrens voor de halveringstijd die uit deze gegevens volgt.

Wat kun je verwachten: Je berekent de ondergrens van de halveringstijd van deuterium op basis van een gegeven afnamefactor over een bepaalde tijdsperiode.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor exponentieel verval kennen: N(t) = N₀ · (½)^(t/t₁⁄₂). Je moet weten dat N(t) de hoeveelheid op tijd t is, N₀ de beginhoeveelheid, t de verstreken tijd en t₁⁄₂ de halveringstijd. Je moet weten dat een kleine halveringstijd overeenkomt met een snelle afname, dus de grootste afnamefactor.

Wat moet je kunnen: Je moet de juiste afnamefactor kiezen die hoort bij de ondergrens van de halveringstijd. Je moet de formule voor exponentieel verval kunnen invullen met de gegeven waarden. Je moet een exponentiële vergelijking kunnen oplossen om de halveringstijd te bepalen, eventueel met behulp van logaritmen.

Waar op letten: Let op de eenheid van het eindantwoord: miljard jaar. Rond het eindantwoord af op het juiste aantal significante cijfers, gebaseerd op de gegeven waarden. De richting/teken is hier niet van toepassing.

Kernbegrippen: halveringstijd, exponentieel verval, logaritmisch rekenen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde afnamefactor kiezen (2 i.p.v. 3)
- Verwarring tussen ondergrens halveringstijd en afnamefactor
- Reken- of algebrafouten bij het oplossen van de exponentiële vergelijking

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/12

## Vraag 13 – Uitleg sinusloop trein (3 punten)

Leg uit hoe de ontwerpkenmerken 1 en 2 er samen voor zorgen dat een rijdende trein de sinusloop van figuur 2 zal uitvoeren.

Wat kun je verwachten: Je legt uit hoe de twee ontwerpkenmerken van treinwielen samen de sinusloop van een rijdende trein veroorzaken.

Wat moet je kennen: omlooptijd T [s]
straal r [m]
lineaire snelheid v [m/s]
hoekfrequentie ω [rad/s]
verband tussen lineaire snelheid en hoeksnelheid: v = ω·r
verband tussen hoeksnelheid en omlooptijd: ω = 2π/T

Wat moet je kunnen: Je legt uit dat de omlooptijd voor beide wielen gelijk is omdat ze een star geheel vormen (ontwerpkenmerk 1).
Je legt uit dat de conische vorm van de wielen (ontwerpkenmerk 2) ervoor zorgt dat de effectieve straal van het contactpunt met de rail verschilt wanneer de as niet in het midden van het spoor is.
Je legt uit hoe een verschil in effectieve straal, bij gelijke omlooptijd, leidt tot een verschil in lineaire snelheid van de wielen.
Je legt uit hoe dit snelheidsverschil de trein een stuurrichting geeft, wat resulteert in de sinusloop.

Waar op letten: Je uitleg moet volledig zijn en beide ontwerpkenmerken expliciet verbinden met de sinusloop. Er is geen numeriek antwoord, dus significantie en eenheden zijn niet van toepassing. Richting van de sturing is cruciaal voor de uitleg.

Kernbegrippen: cirkelbeweging, rolweerstand, kinematica, verband tussen lineaire en hoeksnelheid

Veelgemaakte fouten:
- Niet inzien dat de omlooptijd voor beide wielen gelijk is omdat ze een star geheel vormen.
- De relatie tussen de straal van het contactpunt en de lineaire snelheid verkeerd interpreteren.
- De uitleg is onvolledig door slechts één van de twee ontwerpkenmerken te noemen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/13

## Vraag 14 – Eenheid van wielbandconiciteit aantonen (2 punten)

Voor de golflengte λ van de sinusloop geldt de formule van Klingel:
λ = 2π √(d r₀ / 2γ)
Hierin is:
− d de afstand tussen de twee spoorrails in m
− r₀ de gemiddelde straal van het wiel in m, dus gemeten in het midden van het loopvlak
− γ de wielbandconiciteit

De wielbandconiciteit is een maat voor het verschil tussen binnen- en buitendiameter van een wiel.
Toon aan dat de wielbandconiciteit geen eenheid heeft.

Wat kun je verwachten: Je toont aan dat de wielbandconiciteit (γ) geen eenheid heeft door middel van dimensieanalyse van de formule van Klingel.

Wat moet je kennen: Formule van Klingel: λ = 2π √(d r₀ / 2γ)
Grootheden en hun eenheden: λ [m], d [m], r₀ [m]
Regels voor dimensieanalyse: eenheden van grootheden in een formule moeten consistent zijn.

Wat moet je kunnen: Je kunt de formule van Klingel algebraïsch omschrijven om γ uit te drukken in de andere grootheden.
Je kunt de eenheden van de grootheden correct invullen in de omgeschreven formule.
Je kunt de eenheden vereenvoudigen om de eenheid van γ te bepalen.

Waar op letten: Je eindantwoord is de afleiding die aantoont dat de eenheid van γ dimensieloos is (1). Let op de correcte algebraïsche stappen bij het omschrijven van de formule en het kwadrateren van alle termen. Zorg dat je alle eenheden correct invult en vereenvoudigt.

Kernbegrippen: Dimensieanalyse, Eenheden, Formules omschrijven, dimensieanalyse, eenheden, formules omschrijven

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het kwadrateren van de formule (bijv. 2π vergeten te kwadrateren).
- Onjuiste eenheden invullen voor de grootheden.
- Algebraïsche fout bij het vereenvoudigen van de eenhedenbreuk.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/14

## Vraag 15 – Sinusloop van een trein (3 punten)

In Nederland gelden de volgende gegevens:
Treinen rijden meestal met een snelheid van 140 km/h. De afstand tussen twee spoorrails is 1435 mm. De waarde van de wielbandconiciteit is 0,050. De gemiddelde diameter van een treinwiel is 95 cm.
Toon aan dat de periode van de sinusloop bij deze snelheid 0,42 s is.

Wat kun je verwachten: Je moet aantonen dat de periode van de sinusloop van een trein 0,42 s is, gegeven de snelheid van de trein, de afstand tussen de spoorrails, de wielbandconiciteit en de diameter van de treinwielen. Je gebruikt hiervoor de formule van Klingel en de relatie tussen snelheid, golflengte en periode.

Wat moet je kennen: Formule van Klingel: λ = 2π√(dr₀/2γ)
Relatie snelheid, golflengte, frequentie: v = λf
Relatie frequentie, periode: f = 1/T
Eenheden: snelheid [m/s], afstand [m], straal [m], periode [s], golflengte [m]
Omrekenfactor km/h naar m/s: 1 km/h = 1/3,6 m/s

Wat moet je kunnen: Je zet gegeven waarden om naar de juiste SI-eenheden (mm naar m, cm naar m, km/h naar m/s).
Je identificeert de straal (r₀) uit de gegeven diameter van het wiel.
Je past de formule van Klingel correct toe om de golflengte (λ) te berekenen.
Je combineert de formules v = λf en f = 1/T om de periode (T) te berekenen.
Je voert de berekeningen nauwkeurig uit en rondt af op het juiste aantal significante cijfers.

Waar op letten: Let op de eenheid van het eindantwoord, dit moet seconden (s) zijn. Zorg ervoor dat je alle gegeven waarden omrekent naar SI-eenheden voordat je ze in de formules invult. Rond het eindantwoord af op twee significante cijfers, passend bij de gegeven waarden.

Kernbegrippen: trillingstijd, golflengte, snelheid, eenheden omrekenen, sinusloop

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde eenheden gebruiken (km/h, mm, cm) zonder om te rekenen naar SI-eenheden (m/s, m).
- Diameter van het wiel gebruiken in plaats van de straal (r₀).
- De factor 3,6 verkeerd toepassen bij het omrekenen van km/h naar m/s.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/15

## Vraag 16 – Resonantie bij een massa-veersysteem van een treinwagon (3 punten)

Bij een bepaalde snelheid gaat het massa-veersysteem resoneren met de sinusloop. Om comfortabel te rijden bij een snelheid van 140 km/h wordt de totale veerconstante van de veren zo gekozen dat het massa-veersysteem een eigentrilling heeft die sterk afwijkt van 0,42 s.
Voor het massa-veersysteem van de wagon met wielen geldt:
m_wagon = 21,5·10³ kg
C_totaal = 1,0·10⁵ Nm⁻¹

Bereken de snelheid waarbij resonantie optreedt.

Wat kun je verwachten: Je berekent de snelheid waarbij resonantie optreedt in een massa-veersysteem, gegeven de massa en de totale veerconstante. Je gebruikt de relatie tussen snelheid, golflengte en trillingstijd.

Wat moet je kennen: Formule voor trillingstijd van een massa-veersysteem: T = 2π√(m/C) [s = √(kg/(N/m))]
Relatie tussen snelheid, golflengte en frequentie: v = λf [m/s = m·Hz]
Relatie tussen frequentie en trillingstijd: f = 1/T [Hz = 1/s]
Concept van resonantie: resonantie treedt op als de frequentie van de aandrijvende kracht gelijk is aan de eigenfrequentie van het systeem, ofwel de trillingstijd van de aandrijvende kracht is gelijk aan de eigentrillingstijd van het systeem.
Grootheden: m (massa), C (veerconstante), T (trillingstijd), v (snelheid), λ (golflengte), f (frequentie).
Eenheden: kg (kilogram), N/m (Newton per meter), s (seconde), m/s (meter per seconde), km/h (kilometer per uur), Hz (Hertz).

Wat moet je kunnen: Je berekent de eigentrillingstijd van het massa-veersysteem met de gegeven massa en veerconstante.
Je herkent dat de golflengte (λ) van de sinusloop (oneffenheden op het spoor) constant is, wat impliceert dat v·T constant is.
Je stelt een vergelijking op (v₁T₁ = v₂T₂) om de onbekende snelheid te berekenen.
Je rekent indien nodig eenheden om (bijvoorbeeld km/h naar m/s of andersom) om consistent te blijven in de berekening, of je zorgt dat je consistent blijft met de eenheden van de gegeven snelheden en trillingstijden.

Waar op letten: Let op de eenheid van het eindantwoord, deze moet in km/h zijn. Rond het eindantwoord af op twee significante cijfers, gebaseerd op de gegeven waarden. Er is geen sprake van vectoraandacht in deze vraag.

Kernbegrippen: resonantie, eigentrillingstijd, massa-veersysteem, harmonische trilling, golflengte, frequentie

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde eenheden gebruiken, bijvoorbeeld km/h en s door elkaar halen zonder omrekenen.
- Het concept dat de golflengte (λ) van de sinusloop constant is, en dus vT constant is, niet begrijpen.
- De formule voor de trillingstijd van een massa-veersysteem vergeten of verkeerd toepassen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/16

## Vraag 17 – Stroomrichting in wervelstroomrem (1 punt)

Geef in de figuur op de uitwerkbijlage de stroomrichting in punt K weer.

Wat kun je verwachten: Je moet de stroomrichting in een spoel bepalen op basis van de aangegeven magnetische polen van de elektromagneet.

Wat moet je kennen: Je moet de rechterhandregel voor een spoel kennen om de relatie tussen stroomrichting en de richting van het magnetisch veld (noord- en zuidpool) te bepalen.

Wat moet je kunnen: Je moet de rechterhandregel correct toepassen op de spoel in de figuur om de stroomrichting in punt K te bepalen en deze met een pijl in de figuur op de uitwerkbijlage weergeven.

Waar op letten: Let op de correcte toepassing van de rechterhandregel voor spoelen. Let op de richting van de pijl die de stroomrichting aangeeft.

Kernbegrippen: elektromagnetisme, rechterhandregel (spoel), magnetisch veld

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van noord- en zuidpool
- Verkeerde handregel (linkerhand i.p.v. rechterhand)
- Verwarren van stroomrichting met richting van magneetveldlijnen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/17

## Vraag 18 – Richting wervelstromen in wervelstroomrem (1 punt)

Figuur 4 staat nogmaals op de uitwerkbijlage met daarnaast een vooraanzicht van de schijf. Hierin is de lorentzkracht op het schijfdeel M weergegeven.
Geef in de figuur op de uitwerkbijlage de richting aan van de wervelstromen in de punten P en Q.

Wat kun je verwachten: Je moet de richting van wervelstromen in een draaiende metalen schijf bepalen, gebaseerd op de wet van Lenz en de lorentzkracht, en deze aangeven in een figuur.

Wat moet je kennen: Wet van Lenz: een geïnduceerde stroom wekt een magneetveld op dat de oorzaak van de inductie tegenwerkt.
Rechterhandregel (voor stroomrichting en magneetveld) of linkerhandregel (voor lorentzkracht, stroom en magneetveld).
Richting van het magneetveld: van de noordpool naar de zuidpool.
Lorentzkracht: F_L = B·I·l (voor een stroomdraad in een magneetveld) of F_L = B·q·v (voor een bewegende lading in een magneetveld).
Grootheden: magnetische inductie B [T], stroom I [A], lengte l [m], lading q [C], snelheid v [m/s].
Eenheden: Tesla [T], Ampère [A], meter [m], Coulomb [C], meter per seconde [m/s].

Wat moet je kunnen: Je moet de richting van het magneetveld tussen de polen van de elektromagneet bepalen.
Je moet de bewegingsrichting van de schijf en daarmee de verandering van de magnetische flux door de schijf bepalen.
Je moet de wet van Lenz toepassen om de richting van de geïnduceerde wervelstromen te bepalen die deze fluxverandering tegenwerken.
Je moet de rechterhandregel of linkerhandregel correct toepassen om de relatie tussen magneetveld, stroom en kracht te bepalen.
Je moet de richting van de wervelstromen in de punten P en Q correct aangeven in de figuur op de uitwerkbijlage.

Waar op letten: Je moet de richting van de pijlen voor de wervelstromen correct aangeven in de figuur. Let op de juiste toepassing van de wet van Lenz en de rechterhandregel om de richting van de geïnduceerde stroom te bepalen die de fluxverandering tegenwerkt.

Kernbegrippen: wervelstromen, wet van Lenz, lorentzkracht, magnetische inductie, wet van lenz, fluxverandering

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd toepassen van de rechterhandregel of linkerhandregel.
- De richting van het magneetveld (van noord naar zuid) verkeerd bepalen.
- De wet van Lenz onjuist interpreteren (tegenwerken van de fluxverandering).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/18

## Vraag 19 – Wervelstroomrem en magneetveldsterkte (3 punten)

De snelheid van de trein heeft invloed op de remkracht van de wervelstroomrem. Om bij elke snelheid toch dezelfde remkracht te krijgen kan de magneetveldsterkte worden aangepast.
Leg uit of de magneetveldsterkte bij lage snelheid groter of kleiner moet zijn dan bij hoge snelheid.

Wat kun je verwachten: Je legt uit hoe de magneetveldsterkte moet worden aangepast bij een lagere snelheid om dezelfde remkracht te behouden.

Wat moet je kennen: Je moet de relatie kennen tussen snelheid en de sterkte van geïnduceerde wervelstromen. Je moet de relatie kennen tussen de sterkte van wervelstromen en de afremmende Lorentzkracht. Je moet de relatie kennen tussen de magneetveldsterkte en de afremmende Lorentzkracht.

Wat moet je kunnen: Je moet de oorzaak-gevolgrelaties tussen snelheid, wervelstromen, Lorentzkracht en magneetveldsterkte logisch kunnen beredeneren. Je moet een conclusie kunnen trekken over de aanpassing van de magneetveldsterkte.

Waar op letten: Je moet duidelijk aangeven of de magneetveldsterkte groter of kleiner moet zijn. Je moet de redenering stapsgewijs en logisch opbouwen. Er is geen eenheid of significantie van toepassing.

Kernbegrippen: wervelstromen, inductie, lorentzkracht, magnetische veldsterkte

Veelgemaakte fouten:
- Oorzaak en gevolg verwarren
- Verkeerd verband leggen tussen snelheid en benodigde magneetveldsterkte
- De twee lorentzkrachten (op elektronen en op stroom) door elkaar halen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/19

## Vraag 20 – Schakelschema voor meting soortelijke weerstand kleirol (2 punten)

Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de verbindingssnoeren die voor deze schakeling nodig zijn.

Wat kun je verwachten: Je tekent de verbindingssnoeren in een schematische weergave van een elektrische schakeling op de uitwerkbijlage.

Wat moet je kennen: symbool spanningsbron
symbool stroommeter (A)
symbool spanningsmeter (V)
serieschakeling: componenten achter elkaar geschakeld, stroom is overal gelijk
parallelschakeling: componenten naast elkaar geschakeld, spanning is overal gelijk

Wat moet je kunnen: Je tekent een serieschakeling van een spanningsbron, stroommeter en de kleirol.
Je tekent een spanningsmeter parallel over de kleirol.

Waar op letten: Let op de correcte symbolen voor de meters. De stroommeter moet in serie geschakeld zijn met de kleirol en de spanningsmeter parallel over de kleirol.

Kernbegrippen: elektrische schakeling, serieschakeling, parallelschakeling, stroommeter, spanningsmeter

Veelgemaakte fouten:
- De stroommeter (ammeter) in parallel schakelen in plaats van in serie.
- De spanningsmeter (voltmeter) in serie schakelen in plaats van in parallel.
- De symbolen voor de stroom- en spanningsmeter verwisselen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/20

## Vraag 21 – Berekening soortelijke weerstand klei (5 punten)

Bereken de soortelijke weerstand van de klei. Noteer je antwoord in het juiste aantal significante cijfers.

Wat kun je verwachten: Je berekent de soortelijke weerstand van een materiaal aan de hand van gegeven afmetingen, spanning en stroomsterkte.

Wat moet je kennen: soortelijke weerstand: ρ = (R·A)/l [Ωm]
wet van Ohm: U = I·R [V = A·Ω]
oppervlakte cirkel: A = ¼πd² of A = πr² [m²]

Wat moet je kunnen: Je leest de lengte, diameter, spanning en stroomsterkte af uit de tabel 'metingen Ameera en Noa'.
Je rekent de lengte en diameter om van cm naar m.
Je berekent de weerstand R met de wet van Ohm.
Je berekent de doorsnede A van de kleirol.
Je berekent de soortelijke weerstand ρ met de formule ρ = (R·A)/l.
Je noteert het eindantwoord in het juiste aantal significante cijfers.

Waar op letten: Het eindantwoord moet in Ωm. Let op de significantie van de meetgegevens, met name de diameter van 4 cm. Zorg dat alle eenheden consistent zijn (cm omrekenen naar m).

Kernbegrippen: soortelijke weerstand, wet van Ohm, doorsnede, significante cijfers, wet van ohm

Veelgemaakte fouten:
- De diameter (4 cm) heeft maar één significant cijfer, wat het eindantwoord bepaalt.
- Vergeten eenheden om te rekenen (cm naar m).
- De diameter gebruiken in de formule A = πr² in plaats van de straal.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/21

## Vraag 22 – Weerstand van een kleirol (3 punten)

Ameera en Noa rollen de kleirol uit totdat deze twee keer zo lang is geworden.

3p 22 Beredeneer hoeveel keer zo groot of klein de weerstand van de kleirol is geworden.

Wat kun je verwachten: Je beredeneert hoe de weerstand van een kleirol verandert wanneer de lengte twee keer zo groot wordt, terwijl het volume constant blijft.

Wat moet je kennen: Wet van Pouillet: R = ρ·l/A [Ω]
Volume van een cilinder: V = A·l [m³]
Grootheden: R (weerstand), ρ (soortelijke weerstand), l (lengte), A (doorsnede), V (volume)
Eenheden: Ω (ohm), Ωm (ohm meter), m (meter), m² (vierkante meter), m³ (kubieke meter)

Wat moet je kunnen: Je past de wet van Pouillet toe op een veranderende geometrie.
Je gebruikt het principe van volumebehoud om de relatie tussen doorsnede en lengte te bepalen.
Je combineert formules om een verband af te leiden tussen weerstand en lengte.
Je redeneert over evenredigheden om de factor van verandering te bepalen.

Waar op letten: Je eindantwoord is een factor (bijvoorbeeld 'vier keer zo groot') en geen eenheid. Je redenering moet duidelijk maken hoe de doorsnede verandert als de lengte verandert, en hoe dit de weerstand beïnvloedt.

Kernbegrippen: Soortelijke weerstand, Wet van Pouillet, Volumebehoud, Evenredigheidsverbanden, soortelijke weerstand, wet van pouillet, volumebehoud, evenredigheidsverbanden

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten dat de doorsnede (A) verandert wanneer de lengte (l) toeneemt.
- Aannemen dat de weerstand lineair evenredig is met de lengte (R ∝ l), in plaats van kwadratisch (R ∝ l²).
- Het volume van de klei niet als een constante grootheid beschouwen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/22

## Vraag 23 – Ster eindigt als zwart gat (3 punten)

Als de massa van een ster groter is dan 12 keer de massa van de zon, zal deze uiteindelijk een zwart gat worden. Op de uitwerkbijlage staat een Hertzsprung-Russell diagram. Hierin is een ster gemarkeerd.
Bepaal of deze ster zal eindigen als een zwart gat.

Wat kun je verwachten: Je bepaalt of een gemarkeerde ster in een Hertzsprung-Russell diagram zal eindigen als een zwart gat. Je gebruikt hiervoor de massa-lichtkrachtrelatie en vergelijkt de berekende massa met de gegeven grenswaarde van 12 keer de zonsmassa.

Wat moet je kennen: Massa-lichtkrachtrelatie: P/P_zon = (M/M_zon)^3,8
Stralingsvermogen P [W]
Massa M [kg]
Zonsmassa M_zon [kg]
Stralingsvermogen van de zon P_zon [W]
Definitie van een zwart gat (massa > 12 * M_zon)

Wat moet je kunnen: Je leest het stralingsvermogen van de gemarkeerde ster af uit het Hertzsprung-Russell diagram, relatief ten opzichte van de zon.
Je werkt de massa-lichtkrachtrelatie om om de massaverhouding M/M_zon te bepalen uit de stralingsvermogenverhouding P/P_zon.
Je berekent de massaverhouding van de ster ten opzichte van de zon.
Je vergelijkt de berekende massaverhouding met de grenswaarde van 12 en trekt een conclusie of de ster een zwart gat wordt.

Waar op letten: Let op de correcte omzetting van de machtsverheffing bij het oplossen van de formule. Rond het eindantwoord af op twee significante cijfers. Geef een duidelijke conclusie op basis van je berekening.

Kernbegrippen: stralingsvermogen, massa-lichtkrachtrelatie, zwarte gaten, Hertzsprung-Russell diagram, hertzsprung-russell diagram

Veelgemaakte fouten:
- Hertzsprung-Russell diagram verkeerd aflezen
- rekenfout bij het omwerken van de machtsverheffing (bijv. vermenigvuldigen met 3,8 i.p.v. machtsverheffen tot 1/3,8)
- vergeten een conclusie te trekken op basis van de berekening

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/23

## Vraag 24 – Afleiden van de ontsnappingssnelheid (3 punten)

Leid formule (2) af met behulp van formules uit het informatieboek.

Wat kun je verwachten: Je leidt een formule af voor de ontsnappingssnelheid met behulp van de wet van behoud van energie en de formules voor kinetische en gravitatie-energie.

Wat moet je kennen: Je moet de wet van behoud van energie kennen: E_tot = constant. Je moet de formule voor kinetische energie kennen: E_kin = 0.5·m·v² [J = kg·(m/s)²]. Je moet de formule voor gravitatie-energie kennen: E_g = -G·(m·M)/r [J = (N·m²/kg²)·(kg·kg)/m]. Je moet de gravitatieconstante G kennen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de wet van behoud van energie toepassen. Je kunt de formules voor kinetische en gravitatie-energie correct invullen. Je kunt algebraïsch een formule omschrijven om de ontsnappingssnelheid v vrij te maken. Je stelt de totale energie op oneindige afstand gelijk aan nul.

Waar op letten: Let op het negatieve teken van de gravitatie-energie. Let op de correcte algebraïsche stappen bij het omschrijven van de formule. Het eindantwoord is een formule, geen numerieke waarde.

Kernbegrippen: behoud van energie, gravitatie-energie, kinetische energie, ontsnappingssnelheid

Veelgemaakte fouten:
- Teken van gravitatie-energie verkeerd (+ i.p.v. -)
- Eindenergie niet op nul stellen
- Algebraïsche fouten bij het omschrijven

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/24

## Vraag 25 – Berekening van de Schwarzschildstraal (2 punten)

Bereken de schwartzschildstraal van een zwart gat met een massa die 20 keer zo groot is als die van de zon.

Wat kun je verwachten: Je berekent de Schwarzschildstraal van een zwart gat, gegeven de massa van het zwarte gat in verhouding tot de zonsmassa.

Wat moet je kennen: Formule voor de Schwarzschildstraal: r_s = (2GM)/c²
Gravitatieconstante G [N·m²/kg²]
Lichtsnelheid in vacuüm c [m/s]
Massa van de zon M_zon [kg]
Grootheden: r_s (Schwarzschildstraal) [m], G (gravitatieconstante) [N·m²/kg²], M (massa) [kg], c (lichtsnelheid) [m/s]

Wat moet je kunnen: Je zoekt de gravitatieconstante G op in BINAS tabel 7A.
Je zoekt de lichtsnelheid c op in BINAS tabel 7A.
Je zoekt de massa van de zon op in BINAS tabel 32C.
Je vermenigvuldigt de massa van de zon met de gegeven factor (20) om de massa van het zwarte gat te bepalen.
Je vult de waarden correct in de formule voor de Schwarzschildstraal in.
Je voert de berekening correct uit met je rekenmachine.

Waar op letten: Je eindantwoord moet in meters [m] zijn. Je rondt af op het juiste aantal significante cijfers, gebaseerd op de minst nauwkeurige gegeven waarde. Let op het kwadrateren van de lichtsnelheid in de noemer.

Kernbegrippen: schwarzschildstraal, ontsnappingssnelheid, gravitatie, gebruik van BINAS-constanten, gebruik van binas-constanten

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de massa van de zon met 20 te vermenigvuldigen.
- Vergeten de lichtsnelheid te kwadrateren in de noemer.
- Onjuiste significantie in het eindantwoord.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/25

## Vraag 26 – Hawkingstraling en zwarte gaten (2 punten)

Om het verdampen van een zwart gat te beschrijven beschouwde Hawking dit als een zwarte straler met straal rₛ en temperatuur T. De hawkingstraling wordt in dit model dus beschreven met een planckkromme. Voor de temperatuur geldt dan:

T = (1,227·10²³)/M      (3)

26 Leg uit waarom hawkingstraling moeilijk waarneembaar is.

Wat kun je verwachten: Je moet uitleggen waarom hawkingstraling moeilijk waarneembaar is. Je gebruikt hiervoor de gegeven formule voor de temperatuur van een zwart gat en je redeneert over de relatie tussen massa, temperatuur en stralingsintensiteit.

Wat moet je kennen: Formule (3): T = (1,227·10²³)/M
Grootheden: T (temperatuur), M (massa)
Eenheden: T in Kelvin [K], M in kilogram [kg]
Het verband tussen temperatuur en stralingsintensiteit van een zwarte straler (Planckkromme/Wet van Stefan-Boltzmann).

Wat moet je kunnen: Je moet de relatie tussen massa en temperatuur van een zwart gat interpreteren uit formule (3).
Je moet de relatie tussen temperatuur en stralingsintensiteit van een zwarte straler toepassen.
Je moet een logische redenering opbouwen die leidt tot de conclusie dat hawkingstraling moeilijk waarneembaar is.

Waar op letten: Je redenering moet logisch en volledig zijn. Je moet de juiste conclusies trekken uit de gegeven formule en de eigenschappen van zwarte stralers. Er is geen numeriek antwoord, dus significantie en eenheid zijn niet van toepassing.

Kernbegrippen: Hawkingstraling, Zwarte straler, Temperatuur en massa van een zwart gat, Omgekeerd evenredig verband, Stralingsintensiteit, hawkingstraling, zwarte straler, temperatuur en massa van een zwart gat, omgekeerd evenredig verband, stralingsintensiteit

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten dat de massa M van een zwart gat zeer groot is.
- Niet koppelen van een lage temperatuur aan een lage, moeilijk waarneembare stralingsintensiteit.
- Het verband in formule (3) verkeerd interpreteren (bijv. als recht evenredig).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/26

## Vraag 27 – Afleiding van het verband tussen uitgestraald vermogen en massa van een zwart gat (3 punten)

Toon met behulp van formule (2) en formule (3) en een formule uit het informatieboek aan dat het verband in formule (4) klopt.

Wat kun je verwachten: Je toont aan dat het verband in formule (4) klopt, door formule (2), formule (3) en een formule uit het informatieboek te combineren.

Wat moet je kennen: Wet van Stefan-Boltzmann: P = σAT⁴ [W = W/(m²K⁴) · m² · K⁴]
Oppervlakte van een bol: A = 4πr² [m²]
Schwarzschildstraal: r_s = 2GM/c²
Formule (3): T = 1,227 · 10²³/M
Formule (4): P ∝ M⁻²
Grootheden: P (vermogen), A (oppervlakte), T (temperatuur), M (massa), r_s (Schwarzschildstraal)
Eenheden: W (Watt), m² (vierkante meter), K (Kelvin), kg (kilogram), m (meter)

Wat moet je kunnen: Je zoekt de wet van Stefan-Boltzmann op in BINAS.
Je zoekt de formule voor de oppervlakte van een bol op in BINAS.
Je leidt evenredigheden af uit gegeven formules, zoals A ∝ M² uit r_s ∝ M en A = 4πr_s².
Je combineert evenredigheden door substitutie, bijvoorbeeld P ∝ A · T⁴.
Je vereenvoudigt machten van M bij het combineren van evenredigheden, zoals M² · (M⁻¹)⁴ = M⁻².

Waar op letten: Je eindigt de afleiding met P ∝ M⁻². Let op de correcte machtsverheffing bij het combineren van evenredigheden. Er is geen specifieke eenheid of significantie voor het eindantwoord, omdat het een afleiding van een evenredigheid betreft.

Kernbegrippen: Wet van Stefan-Boltzmann, Hawkingstraling, formules combineren, evenredigheden afleiden, Schwarzschildstraal, wet van stefan-boltzmann, hawkingstraling, schwarzschildstraal

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde machtsverheffing bij het combineren van evenredigheden, bijvoorbeeld (M⁻¹)⁴ vergeten.
- De relatie tussen oppervlakte A en massa M verkeerd afleiden (A ∝ M i.p.v. A ∝ M²).
- De wet van Stefan-Boltzmann niet kunnen vinden of toepassen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/27

## Vraag 28 – Massaverlies zwart gat door hawkingstraling (2 punten)

Door de hawkingstraling verliest een zwart gat voortdurend energie en daarmee ook massa. Hierbij geldt dat het massaverlies evenredig is met de uitgestraalde energie van het zwarte gat.

In figuur 2 zijn twee (M,t)-grafieken getekend.

28 Leg uit welke grafiek, A of B, het juiste verband weergeeft tussen de massa van een zwart gat en de tijd.

Wat kun je verwachten: Je moet uitleggen welke van de twee gegeven (M,t)-grafieken het juiste verband weergeeft tussen de massa van een zwart gat en de tijd, gebaseerd op de eigenschappen van hawkingstraling.

Wat moet je kennen: Je moet weten dat massaverlies evenredig is met de uitgestraalde energie. Je moet weten dat de temperatuur van een zwart gat hoger is naarmate de massa kleiner is, wat resulteert in een grotere uitgestraalde energie (en dus massaverlies) bij kleinere massa's.

Wat moet je kunnen: Je moet de helling van een (M,t)-grafiek kunnen interpreteren als de snelheid van massaverandering (dM/dt). Je moet de relatie tussen de massa van een zwart gat en de uitgestraalde energie door hawkingstraling kunnen toepassen. Je moet een conclusie kunnen trekken op basis van deze relaties en de vorm van de grafieken.

Waar op letten: Let op de interpretatie van de steilheid van de grafiek als de snelheid van massaverlies. Let op de relatie tussen massa en temperatuur van een zwart gat. Er is geen eenheid of significantie van toepassing, omdat het een kwalitatieve redenering is.

Kernbegrippen: hawkingstraling, zwart gat, grafiek interpretatie, afgeleide als helling, massaverlies

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde interpretatie van de helling (steilheid van de grafiek relateren aan de snelheid van massaverlies).
- De aanname doen dat een grotere massa meer energie uitstraalt, wat voor hawkingstraling het omgekeerde is.
- Grafiek A (afnemend massaverlies) verwarren met grafiek B (toenemend massaverlies).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2023/tijdvak-2/vraag/28

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2023
tijdvak 2
tijdsduur: 3 uur
natuurkunde
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 28 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 74 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg, berekening of afleiding gevraagd wordt,
worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring,
uitleg, berekening of afleiding ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft er meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1023-a-23-2-o

### Pagina 2

Fietshelm

Een fietshelm is ontworpen om het hoofd te beschermen tijdens een botsing of val. Tijdens zo'n botsing, ook wel impact genoemd, kan het hoofd blootgesteld worden aan enorm grote versnellingen. Deze kunnen leiden tot ernstig hoofdletsel. Een fietshelm is ontworpen om de grootte van deze versnellingen tijdens een impact zo klein mogelijk te houden.

De fietshelm is opgebouwd uit verschillende lagen. Zie figuur 1. Onder de harde schaal aan de buitenkant bevindt zich de zogenaamde absorptielaag. Deze laag bestaat meestal uit piepschuim. Dit piepschuim wordt tijdens een impact ingedrukt.

figuur 1
[FIGUUR: Een doorsnede van een fietshelm met de lagen 'harde schaal' en 'absorptielaag van piepschuim' aangeduid.]

Fietshelmen moeten voldoen aan een Europese norm, de EN-1078. Daarin staan tests beschreven die de fietshelm met goed succes moet doorlopen. In één van deze tests valt een dummyhoofd met helm op een harde grondplaat met een voorgeschreven impactsnelheid van $5,42 \, \text{m s}^{-1}$. Zie figuur 2.

figuur 2
[FIGUUR: Schematische weergave van een helm die op een grondplaat valt, met de beginsnelheid $v=0$ en de eindsnelheid $v = 5,42 \, \text{m s}^{-1}$ aangegeven.]

3p 1 Bereken deze valhoogte. Verwaarloos hierbij de invloed van eventuele wrijvingskrachten.

VW-1023-a-23-2-o 2 / 16 lees verder ► ► ►

### Pagina 3

4p 2 In het dummyhoofd zit een versnellingsmeter. Tijdens de impact van het
hoofd met de grondplaat mag de verticale versnelling van het hoofd nooit
groter worden dan de normwaarde van 250 g. Hierin is g de
valversnelling. De absorptielaag in een fietshelm kan maximaal 20 mm
   ind euken. Deze afstand is groot genoeg om ervoor te zorgen dat de
gemiddelde versnelling niet groter is dan de normwaarde.
Toon dit aan.

In de praktijk is de beweging van het dummyhoofd tijdens de impact niet
eenparig vertraagd. Er zijn dus momenten waarop de versnelling groter is
dan de gemiddelde waarde. De maximale versnelling op deze momenten
mag niet groter worden dan de normwaarde van 250 g.
In figuur 3 zijn de meetresultaten weergegeven van een impact van een
dummyhoofd met en zonder helm.

figuur 3
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as versnelling 'a' in (g) en op de x-as tijd 't' in (ms). Twee lijnen: een solide lijn die een hoge piek bereikt en snel afneemt, en een stippellijn die een lagere, bredere piek bereikt. Een horizontale stippellijn is gemarkeerd als 'normwaarde' op ongeveer 250 g. De solide lijn bereikt pieken van rond de 800g.]
Legenda:
zonder helm
-- met helm
De snelheid waarmee het dummyhoofd de plaat raakt is in beide
experimenten gelijk.
2p 3 Leg uit hoe je dit kunt concluderen uit figuur 3.

VW-1023-a-23-2-0 3 / 16 lees verder

### Pagina 4

Een fietshelm is zo ontworpen dat deze de fietser optimaal beschermt bij
een val. Naast de dikte van de absorptielaag moet de ontwerper ook
rekening houden met het indrukgedrag van het gebruikte piepschuim. Dit
indrukgedrag kan onderzocht worden in een proefopstelling, zie figuur 4.

In deze opstelling valt een metalen plaat
met een massa van 1,0 kg op een schijfje
piepschuim, waardoor het piepschuim
ingedrukt wordt. Tijdens deze impact
worden zowel de indrukking van het
piepschuim als de kracht op de grondplaat
gemeten.

Het indrukgedrag van piepschuim is afhankelijk van de dichtheid van het
piepschuim. Van piepschuim met drie verschillende dichtheden is het
indrukgedrag gemeten. In figuur 5 is voor elk van de drie dichtheden het
verband tussen kracht en indrukking weergegeven.

[FIGUUR: Schematische weergave van een valopstelling met een vallende plaat van 1 kg op een stuk piepschuim van 20 mm dik.]

figuur 4

vallende plaat
v
piepschuim
grondplaat
20 mm

figuur 5

kracht
(N)
↑
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0
5
10
15
20
→ indrukking (mm)

51 kgm⁻³
31 kgm⁻³
15 kgm⁻³

Hoevel de maximale remweg in een fietshelm 20 mm bedraagt is het
belangrijk om te voorkomen dat deze hele afstand gebruikt wordt tijdens
een impact.

2p 4 Leg met behulp van figuur 5 uit waarom de remweg niet te groot mag
worden.

VW-1023-a-23-2-o 4 / 16 lees verder ► ► ►

### Pagina 5

De impact van de vallende plaat op het piepschuim kan gesimuleerd
worden met een numeriek model. Zie figuur 6.
In dit model is $x$ de indrukking van het piepschuim in m.

figuur 6

|   | Modelformules | startwaarden |
|---|---|---|
| 1 | Als $x < 0,001$ Dan | $x = 0$ (m) |
| 2 | $F_p = C x$ | $v = 5,42$ (m s$^{-1}$) |
| 3 | Anders | $m = 1,0$ (kg) |
| 4 | $F_p = \frac{19,8}{(0,020 - x)^{0,9}}$ | $g = 9,81$ (m s$^{-2}$) |
| 5 | EindAls | $t = 0$ (s) |
| 6 | $F_z = mg$ | $dt = 10^{-5}$ (s) |
| 7 | $F_{res} = \ldots$ | $C = \ldots$ (N m$^{-1}$) |
| 8 | $a = \frac{F_{res}}{m}$ |   |
| 9 | $v = v + adt$ |   |
| 10 | $x = x + vdt$ |   |
| 11 | Als $v < 0$ Dan |   |
| 12 | stop |   |
| 13 | EindAls |   |
| 14 | $t = t + dt$ |   |

[FIGUUR: Een systeemdynamica diagram met een kringloop. Variabelen zijn onder andere C, Fp, Fz, Fres, g, m, a, v, x en t. Er zijn stocks, flows en connectors.]

VW-1023-a-23-2-o 5 / 16 lees verder ➢➢➢


### Pagina 6



### Pagina 7

Deuterium
Een klein deel van alle waterstof in het heelal heeft naast een proton ook
nog een neutron in de kern. Dit isotoop $^{2}_{1}$H wordt deuterium genoemd,
vaak kortweg aangeduid als D. Sterrenkundigen denken dat al het
deuterium in het heelal vlak na de oerknal is gevormd. Sindsdien is de
hoeveelheid deuterium in het heelal afgenomen door kernfusie in sterren.
Bij deze reactie fuseert een deuteriumkern met een proton tot een nieuw,
zwaarder deeltje.
3p 8 Geef de reactievergelijking van dit proces.
Sterrenkundigen willen graag weten hoe snel de hoeveelheid deuterium in
het heelal afneemt. In gaswolken waar nog nooit een ster is ontstaan is de
verhouding tussen de hoeveelheden D en H sinds de oerknal niet
veranderd. Sterrenkundigen willen daarom de verhouding D/H in zulke
gaswolken vergelijken met de verhouding D/H op andere plaatsen in het
heelal.
Een veelgebruikt manier om de verhouding van het aantal atomen
deuterium en waterstof in een gaswolk te bepalen is door te kijken naar
het emissiespectrum van zo'n wolk. Wanneer een waterstof- of
deuteriumatoom terugvalt van de $2^{e}$ naar de $1^{e}$ aangeslagen toestand,
zendt het zichtbaar licht uit. Deze spectraallijn wordt bij waterstof
aangeduid met $H_{\alpha}$ en bij deuterium met $D_{\alpha}$. De verhouding tussen de
intensiteiten van $D_{\alpha}$ en $H_{\alpha}$ is dus een maat voor de verhouding D/H in de
wolk.
De energieniveaus van waterstof en deuterium zijn gegeven door:
$$E_n = - \frac{k}{n^2}$$
Hierin is
– $E_n$ het energieniveau van de toestand $n$ in eV
– $k$ een constante, die voor waterstof gelijk is aan 13,606 eV en voor
deuterium gelijk is aan 13,609 eV
– $n$ de toestand
4p 9 Toon aan dat de golflengte van $D_{\alpha}$ gelijk is aan 655,95 nm.
VW-1023-a-23-2-o
7 / 16
lees verder ► ► ►

### Pagina 8

De Orionnevel is een grote wolk van
gloeiend gas in het sterrenbeeld Orion.
figuur 1
Zie figuur 1. Het emissiespectrum van
deze gaswolk is nauwkeurig onderzocht.

[FIGUUR: Een foto van de Orionnevel.]

5p 10 De waargenomen golflengte van $D_{\alpha}$ in de Orionnevel is $656,14 \text{ nm}$.
Voer de volgende opdrachten uit:
- Leg uit of de Orionnevel van ons af beweegt of naar ons toe beweegt.
- Bereken de radiale snelheid van de Orionnevel. Noteer je antwoord in
het juiste aantal significante cijfers.

In figuur 2 staat een deel van het waargenomen spectrum van de
Orionnevel afgebeeld. De golflengte van $D_{\alpha}$ is iets kleiner dan de golflengte
van $H_{\alpha}$. De totale intensiteit van $H_{\alpha}$ is vele malen groter dan de totale
intensiteit van $D_{\alpha}$, waardoor $D_{\alpha}$ niet zichtbaar is in deze figuur. In figuur 3
staat het spectrum nogmaals afgebeeld, maar is op de verticale as alleen
het onderste deel van het diagram weergegeven. Hierop is $D_{\alpha}$ wel
zichtbaar.

figuur 2
intensiteit
(W m-2 nm-1)
Hα
655,8 656,2 656,6 657,0
A (nm)
figuur 3
intensiteit
(W m-2 nm-1)
Dα
655,8 656,2 656,6 657,0
A (nm)

VW-1023-a-23-2-o
8 / 16
lees verder ► ► ►

### Pagina 9

Uit de figuren 2 en 3 kunnen de wetenschappers de totale intensiteit bepalen voor $H_\alpha$ en $D_\alpha$. De intensiteit in een bepaald golflengte-interval is gelijk aan de oppervlakte onder de grafiek tussen de grenzen van dit interval.

1p 11 Figuur 3 staat vergroot op de uitwerkbijlage. Geef in de figuur op de uitwerkbijlage de oppervlakte aan die bepaald moet worden om de totale intensiteit van $D_\alpha$ te bepalen.

Uit de figuren 2 en 3 kan de verhouding tussen het aantal atomen deuterium en het aantal atomen waterstof in de Orionnevel bepaald worden. Om de hypothese te toetsen dat deuterium verloren gaat bij het ontstaan van sterren hebben wetenschappers vergelijkbare metingen uitgevoerd aan grote gaswolken met een lage dichtheid. Door deze lage dichtheid weten wetenschappers dat hier nog nooit sterren gevormd zijn.

Met behulp van deze metingen hebben de wetenschappers een model opgesteld waarmee het verloop van de hoeveelheid deuterium in het heelal beschreven kan worden. Volgens dit model neemt elke 15 miljard jaar de hoeveelheid deuterium af met een factor tussen 2 en 3. Dit model gaat dus uit van een exponentiële afname. De tijd waarin de helft van de hoeveelheid deuterium in het heelal verloren is gegaan noemen we de halveringstijd.

3p 12 Bereken de ondergrens voor de halveringstijd die uit deze gegevens volgt.

VW-1023-a-23-2-o 9 / 16 lees verder ►►►

### Pagina 10

Treinwielen

Een trein blijft nooit precies in het midden van het spoor rijden. Er is
ruimte tussen de wielen en het spoor waardoor de trein enigszins heen en
weer kan slingeren. Om te voorkomen dat treinen ontsporen zijn de wielen
als volgt ontworpen:
1 Beide wielen zitten vast aan dezelfde as. De wielen en de as vormen
een star geheel.
2 Beide wielen hebben een conische vorm: de diameter van het wiel is
aan de binnenkant groter dan aan de buitenkant. Zie figuur 1.

figuur 1
[FIGUUR: Een schematische dwarsdoorsnede van een wiel dat op een rail staat. Het wiel heeft een conische vorm en de rail is ook conisch gevormd.]

Een as die zich niet precies in het midden van het spoor bevindt zal door
deze constructie van de wielen tijdens het rijden vanzelf terug naar het
midden bewegen.

In figuur 2 is een schematisch bovenaanzicht van de treinwielen
weergegeven op verschillende tijdstippen (a t/m e). Op tijdstip a staat de
as uit het midden. Even later is de as enigszins geroteerd en beweegt
richting het midden van het spoor. Zie tijdstip b. Vervolgens schiet de as
een stukje door, zie tijdstip c, waarna aan de andere kant hetzelfde effect
optreedt. De trein gaat dus een slingerende zijwaartse beweging
uitvoeren. Hij "waggelt" een beetje over het spoor. Men noemt deze
golfbeweging de sinusloop.

figuur 2
[FIGUUR: Een bovenaanzicht van treinwielen op rails op verschillende tijdstippen. De rails hebben een wisselende afstand, waardoor de wielen heen en weer bewegen. Een gestippelde lijn toont de beweging van de as.]

3p 13 Leg uit hoe de ontwerpkenmerken 1 en 2 er samen voor zorgen dat een
rijdende trein de sinusloop van figuur 2 zal uitvoeren.

VW-1023-a-23-2-o
10 / 16
lees verder ►►►

### Pagina 11

Voor de golflengte $\lambda$ van de sinusloop geldt de formule van Klingel:
$$ \lambda = 2\pi \sqrt{\frac{d r_0}{2\gamma}} $$
Hierin is:
- $d$ de afstand tussen de twee spoorrails in m
- $r_0$ de gemiddelde straal van het wiel in m, dus gemeten in het midden van het loopvlak
- $\gamma$ de wielbandconiciteit

De wielbandconiciteit is een maat voor het verschil tussen binnen- en buitendiameter van een wiel.
14 2p Toon aan dat de wielbandconiciteit geen eenheid heeft.

In Nederland gelden de volgende gegevens:
Treinen rijden meestal met een snelheid van 140 km/h. De afstand tussen twee spoorrails is 1435 mm. De waarde van de wielbandconiciteit is 0,050. De gemiddelde diameter van een treinwiel is 95 cm.
15 3p Toon aan dat de periode van de sinusloop bij deze snelheid 0,42 s is.

Om in de wagon geen last te hebben van oneffenheden op het spoor zijn er veren geplaatst tussen de wagon en de wielen. We kunnen het geheel benaderen als een massa-veersysteem. Zie figuur 3.

[FIGUUR: Een schematische tekening van een wagon met aan de onderkant veren die de wielen met de rails verbinden.]

Bij een bepaalde snelheid gaat het massa-veersysteem resoneren met de sinusloop. Om comfortabel te rijden bij een snelheid van 140 km/h wordt de totale veerconstante van de veren zo gekozen dat het massa-veersysteem een eigentrilling heeft die sterk afwijkt van 0,42 s. Voor het massa-veersysteem van de wagon met wielen geldt:

$m_{\text{wagon}} = 21,5 \cdot 10^3 \text{ kg}$

$C_{\text{totaal}} = 1,0 \cdot 10^5 \text{ Nm}^{-1}$

16 3p Bereken de snelheid waarbij resonantie optreedt.

VW-1023-a-23-2-o 11 / 16 lees verder ►►►

### Pagina 12

Wervelstroomrem
Voor het remmen zijn sommige treinen uitgerust
met wervelstroomremmen. Hierin wordt een
draaiende metalen schijf afgeremd met behulp
van een magneetveld. In figuur 4 is een
wervelstroomrem geschetst. De metalen schijf zit
vast aan de as en draait mee met de wielen.
Met een elektromagneet wordt een magneetveld
loodrecht op de draaiende schijf opgewekt.
De elektromagneet bestaat uit een weekijzeren
kern die gemagnetiseerd wordt door het
magnetisch veld van een spoel die eromheen
gewikkeld is. Zie figuur 4. Deze figuur staat
vergrooot op de uitwerkbijlage.
Geef in de figuur op de uitwerkbijlage de
stroomrichting in punt K weer.

[FIGUUR: Schematische weergave van een wervelstroomrem met een elektromagneet boven een draaiende schijf. De elektromagneet bestaat uit een U-vormige kern met een spoel eromheen. De schijf is aangeduid met M en er is een pijl die de draairichting aangeeft. ZUID en NOORD duiden de polen van de elektromagneet aan.]

Door het draaien van de schijf, beweegt steeds een gedeelte van de schijf
het magneetveld in. De elektronen in de schijf ondervinden dan een
lorenzkracht waardoor de elektronen in de schijf gaan bewegen. Op deze
manier ontstaan zogenaamde wervelstromen in de metalen schijf. Vier
voorbeelden van deze stromen zijn schematisch weergegeven in figuur 4.

De wervelstromen zorgen op hun beurt weer voor een lorenzkracht die de
schijf, en daarmee ook het wiel, afremt.
Figuur 4 staat nogmaals op de uitwerkbijlage met daarnaast een
vooraanzicht van de schijf. Hierin is de lorenzkracht op het schijfdeel M
weergegeven.
Geef in de figuur op de uitwerkbijlage de richting aan van de
wervelstromen in de punten P en Q.

De snelheid van de trein heeft invloed op de remkracht van de
wervelstroomrem. Om bij elke snelheid toch dezelfde remkracht te krijgen
kan de magneetveldsterkte worden aangepast.
Leg uit of de magneetveldsterkte bij lage snelheid groter of kleiner moet
zijn dan bij hoge snelheid.

1p 17

1p 18

3p 19

VW-1023-a-23-2-0 12 / 16 lees verder

### Pagina 13

Geleidende klei
Op internet zijn instructies te vinden om geleidende 'klei' te maken.
Dit is een deeg waaraan keukenzout is toegevoegd. Ameera en Noa
onderzoeken diverse eigenschappen van deze geleidende klei. Daarvoor
maken ze een kleirol zoals te zien is in figuur 1.
figuur 1
[FIGUUR: Een kleirol, vastgeklemd aan beide uiteinden met metalen lipjes, op een houten ondergrond.]
Om de soortelijke weerstand te bepalen bouwen Ameera en Noa een
schakeling met de kleirol, een gelijkspanningsbron van 12,0 V, een
stroommeter en een spanningsmeter. Deze componenten staan
schematisch weergegeven op de uitwerkbijlage.
2p 20 Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de verbindingsnoeren die voor
deze schakeling nodig zijn.
Ameera en Noa doen de volgende metingen:
lengte van de kleirol: 21 cm
diameter van de kleirol: 4 cm
spanning over de kleirol: 12,0 V
stroomsterkte door de kleirol: 0,186 A
5p 21 Bereken de soortelijke weerstand van de klei. Noteer je antwoord in het
juiste aantal significante cijfers.
Ameera en Noa rollen de kleirol uit totdat deze twee keer zo lang is
geworden.
3p 22 Beredeneer hoeveel keer zo groot of klein de weerstand van de kleirol is
geworden.
VW-1023-a-23-2-o
13 / 16
lees verder ▶►
Voor alle eindexamens, zie www.allexamens.nl. Voor de perfecte voorbereiding op je eindexamen, zie ook www.ssleiden.nl.

### Pagina 14

Hawkingstraling

Een zwart gat is een object
waarvan de zwaartekracht zo
groot is dat zelfs licht er niet meer
aan kan ontsnappen: de
ontsnappingssnelheid is groter
dan de lichtsnelheid.
Onlangs is het wetenschappers
gelukt om uit een enorme
hoeveelheid afzonderlijke
opnamen een beeld van een zwart
gat te construeren.
Op 10 april 2019 werd de eerste foto ooit van een zwart gat gepubliceerd.
Zie figuur 1.

figuur 1
[FIGUUR: Afbeelding van een zwart gat met een gloeiende ring eromheen.]

De massa van een ster uit de hoofdreeks is af te leiden uit het
stralingsvermogen met behulp van de volgende formule:

$$ \frac{P}{P_{\text{zon}}} = \left( \frac{M}{M_{\text{zon}}} \right)^{3.8} (1) $$

hierin is:
- $ P $ het stralingsvermogen van de ster
- $ P_{\text{zon}} $ het stralingsvermogen van de zon
- $ M $ de massa van de ster
- $ M_{\text{zon}} $ de massa van de zon

Als de massa van een ster groter is dan 12 keer de massa van de zon, zal
deze uiteindelijk een zwart gat worden. Op de uitwerkbijlage staat een
Hertzsprung-Russell diagram. Hierin is een ster gemarkeerd.
3p 23 Bepaal of deze ster zal eindigen als een zwart gat.

Om te kunnen ontsnappen aan de gravitatiekracht van een zwaar
hemellichaam moet de snelheid groter zijn dan de ontsnappingssnelheid
van dat hemellichaam. Deze is te berekenen met de volgende formule:

$$ v = \sqrt{\frac{2GM}{r}} (2) $$

hierin is:
- $ v $ de ontsnappingssnelheid in $ \text{m s}^{-1} $
- $ G $ de gravitatieconstante in $ \text{N m}^2 \text{ kg}^{-2} $
- $ M $ de massa van het hemellichaam in $ \text{kg} $
- $ r $ de afstand tot aan het middelpunt in $ \text{m} $

VW-1023-a-23-2-o

14 / 16

lees verder


### Pagina 15

3p 24 Leid formule (2) af met behulp van formules uit het informatieboek.
Bij een zwart gat geldt dat op een bepaalde afstand van het middelpunt
de benodigde ontsnappingssnelheid gelijk is aan de lichtsnelheid. Deze
afstand wordt de schwarzschildstraal $r_s$ genoemd. Alles wat dichterbij
komt dan $r_s$ zal nooit meer aan het zwarte gat kunnen ontsnappen.
Hoewel er bij snelheid in de buurt van de lichtsnelheid rekening moet
worden gehouden met de relativiteitstheorie, blijk je voor de berekening
van de schwarzschildstraal de klassieke formule (2) te kunnen gebruiken.
2p 25 Bereken de schwarzschildstraal van een zwart gat met een massa die 20
keer zo groot is als die van de zon.

Onder andere Stephen Hawking voorspelde in 1974 dat zwarte gaten in
staat zijn om straling uit te zenden, ondanks het feit dat niets aan een
zwart gat kan ontsnappen. Deze straling wordt hawkingstraling genoemd.
Als gevolg hiervan verliest een zwart gat energie, wat ten koste gaat van
de massa. Zwarte gaten 'verdampen' als het ware.
Hawkingstraling is tot nu toe nog niet experimenteel waargenomen. De
reden daarvoor is dat de straling, als de voorspelling klopt, zeer moeilijk
waarneembaar is.

Om het verdampen van een zwart gat te beschrijven beschouwde
Hawking dit als een zwarte straler met straal $r_s$ en temperatuur $T$. De
hawkingstraling wordt in dit model dus beschreven met een planck-
kromme. Voor de temperatuur geldt dan:
$$T = \frac{1,227 \cdot 10^{23}}{M} \quad (3)$$
2p 26 Leg uit waarom hawkingstraling moeilijk waarneembaar is.

Voor het verband tussen het uitgestraalde vermogen door een zwart gat
en de massa bestaat het volgende verband:
$$P \propto M^{-2} \quad (4)$$
hierin betekent het symbool $\propto$ 'evenredig met'.

3p 27 Toon met behulp van formule (2) en formule (3) en een formule uit het
informatieboek aan dat het verband in formule (4) klopt.

Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.

VW-1023-a-23-2-o 15 / 16 lees verder ►►►

### Pagina 16

Door de hawkingstraling verliest een zwart gat voortdurend energie en
daarmee ook massa. Hierbij geldt dat het massaverlies evenredig is met
de uitgestraalde energie van het zwarte gat.
In figuur 2 zijn twee (M, t)-grafieken getekend.
figuur 2
[FIGUUR: Grafiek met op de verticale as M en op de horizontale as t. Er zijn twee curven getekend: A, een volle curve die begint hoog en langzaam daalt, en B, een gestippelde curve die lager begint en sneller daalt.]
2p 28 Leg uit welke grafiek, A of B, het juiste verband weergeeft tussen de
massa van een zwart gat en de tijd.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
VW-1023-a-23-2-0
16/16
einde ■