# Eindexamen Natuurkunde VWO 2022 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2

## Vraag 1 – Massa bepalen in de ruimte (2 punten)

Om in de ruimte de massa van astronauten te bepalen, is speciale apparatuur nodig. Anders dan op aarde kan de massa niet worden bepaald door de astronauten op een gewone personenweegschaal te laten staan.
Leg uit waarom dat niet kan.

Wat kun je verwachten: Je moet uitleggen waarom een gewone personenweegschaal niet werkt om massa te bepalen in een ruimtestation.

Wat moet je kennen: Je moet het verschil kennen tussen massa [kg] en gewicht [N]. Je moet weten dat gewicht de zwaartekracht is die op een voorwerp werkt (F_z = m·g). Je moet weten dat gewichtloosheid in een ruimtestation betekent dat je geen normaalkracht ervaart, ook al is er nog zwaartekracht.

Wat moet je kunnen: Je moet een natuurkundige verklaring geven voor het functioneren van een weegschaal en dit toepassen op de situatie van gewichtloosheid in een ruimtestation.

Waar op letten: Je moet duidelijk het onderscheid maken tussen massa en gewicht. Je moet uitleggen wat een weegschaal meet. Je moet de situatie van gewichtloosheid correct beschrijven.

Kernbegrippen: gewicht, massa, gewichtloosheid, zwaartekracht

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen massa en gewicht.
- Denken dat er geen zwaartekracht is in de ruimte.
- Niet begrijpen dat een weegschaal een normaalkracht meet die het gewicht compenseert.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2/vraag/1

## Vraag 2 – Totale veerconstante van een massa-veersysteem (4 punten)

André beweert dat het massa-veersysteem, bestaande uit de slede en de twee veren, een totale veerconstante heeft van 50 Nm⁻¹.

In de figuur op de uitwerkbijlage is in de situaties 2 en 3 de veerkracht F⃗_L van de linker veer op de slede getekend.
Voer de volgende opdrachten uit:
– Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de veerkracht F⃗_R van de rechter veer op de slede in de situaties 2 en 3.
– Leg hiermee uit dat André gelijk heeft.

Wat kun je verwachten: Je moet de veerkracht van de rechter veer tekenen in twee situaties en vervolgens uitleggen waarom de totale veerconstante van het systeem 50 Nm⁻¹ is, gebaseerd op de verandering van de resulterende kracht bij een uitwijking.

Wat moet je kennen: Wet van Hooke: F = C·u [N = Nm⁻¹·m]
Resulterende kracht: F_res = ΣF [N]
Veerconstante: C [Nm⁻¹]
Grootheid: uitwijking u [m]
Grootheid: kracht F [N]

Wat moet je kunnen: Je tekent vectoren (krachten) met de juiste richting en lengte in een gegeven figuur.
Je redeneert over de verandering van veerkrachten bij een uitwijking uit de evenwichtsstand.
Je legt uit hoe de individuele veerkrachten bijdragen aan de resulterende kracht en de totale veerconstante van het systeem.

Waar op letten: Let op de richting van de veerkrachten; ze werken tegengesteld aan de uitrekking/indrukking. Let op de relatieve lengtes van de krachtvectoren in de verschillende situaties. De uitleg moet helder aantonen dat de verandering van de resulterende kracht tweemaal de verandering van een individuele veerkracht is.

Kernbegrippen: Wet van Hooke, resulterende kracht, krachtenevenwicht, veerconstante, wet van hooke, vector

Veelgemaakte fouten:
- De richting van de veerkracht verkeerd tekenen.
- Vergeten dat beide veren bijdragen aan de toename van de resulterende kracht bij een uitwijking.
- Een rekenfout maken bij het optellen van de krachtveranderingen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2/vraag/2

## Vraag 3 – Massa bepalen uit trillingstijd (3 punten)

Bepaal de massa van de slede met behulp van figuur 3. Noteer je antwoord in twee significante cijfers.

Wat kun je verwachten: Je moet de massa van een slede bepalen die een harmonische trilling uitvoert. Hiervoor gebruik je een (x,t)-diagram om de trillingstijd af te lezen en vervolgens de formule voor de trillingstijd van een massa-veersysteem om de massa te berekenen.

Wat moet je kennen: Formule voor trillingstijd van een massa-veersysteem: T = 2π√(m/C)
Grootheden: T [s] (trillingstijd), m [kg] (massa), C [N/m] (veerconstante)
Eenheden: seconde (s), kilogram (kg), newton per meter (N/m)

Wat moet je kunnen: Je leest de trillingstijd (T) af uit een (x,t)-diagram.
Je herkent een volledige trilling in een (x,t)-diagram.
Je herleidt de formule T = 2π√(m/C) naar m = (T²C)/(4π²).
Je voert een berekening uit met de juiste waarden.
Je noteert het eindantwoord in de gevraagde significantie.

Waar op letten: Je moet de trillingstijd correct aflezen uit de grafiek. Het eindantwoord voor de massa moet in kilogram (kg) zijn en in twee significante cijfers worden genoteerd.

Kernbegrippen: harmonische trilling, trillingstijd, massa-veersysteem, aflezen van grafiek

Veelgemaakte fouten:
- trillingstijd incorrect aflezen (bijvoorbeeld een halve trilling nemen)
- formule voor trillingstijd foutief omvormen
- onjuiste significantie (de vraag specificeert twee significante cijfers)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2/vraag/3

## Vraag 4 – Maximale snelheid en (v,t)-diagram van een harmonische trilling (5 punten)

Voer de volgende opdrachten uit:
– Bepaal met behulp van het (x,t)-diagram op de uitwerkbijlage de maximale snelheid van de stoel. Noteer je antwoord in twee significante cijfers.
– Teken in de figuur op de uitwerkbijlage het bijbehorende (v,t)-diagram.

Wat kun je verwachten: Je bepaalt de maximale snelheid van een harmonische trilling uit een (x,t)-diagram en tekent vervolgens het bijbehorende (v,t)-diagram.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor de maximale snelheid bij een harmonische trilling kennen: v_max = 2πA/T. Je moet weten dat de snelheid de afgeleide is van de plaats naar de tijd (v = dx/dt). Je moet weten dat de (v,t)-grafiek van een harmonische trilling een sinusfunctie is als de (x,t)-grafiek een cosinusfunctie is, met een faseverschil van een kwart periode.

Wat moet je kunnen: Je kunt de amplitude (A) en de trillingstijd (T) aflezen uit een (x,t)-diagram. Je kunt de maximale snelheid berekenen met de formule v_max = 2πA/T. Je kunt een raaklijn tekenen aan een (x,t)-diagram op het punt waar x=0 en de helling van deze raaklijn bepalen om de maximale snelheid te vinden. Je kunt een (v,t)-diagram tekenen op basis van een (x,t)-diagram, waarbij je rekening houdt met de periode, de amplitude en de fase (v=0 als x maximaal is, en v is negatief als x afneemt vanaf het maximum). Je zorgt ervoor dat het getekende diagram vloeiend is en het volledige bereik van 11 s beslaat.

Waar op letten: Het eindantwoord voor de maximale snelheid moet in m/s zijn en in twee significante cijfers worden genoteerd. Let bij het tekenen van het (v,t)-diagram op de correcte fase: als de (x,t)-grafiek een cosinus is, is de (v,t)-grafiek een negatieve sinus.

Kernbegrippen: harmonische trilling, amplitude, trillingstijd, maximale snelheid, grafiek aflezen

Veelgemaakte fouten:
- periode of amplitude verkeerd aflezen uit de (x,t)-grafiek
- faseverschil tussen x(t) en v(t) negeren bij het tekenen
- rekenfout met 2π (graden/radialen verwarring)
- onjuiste significantie in het eindantwoord

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2/vraag/4

## Vraag 5 – Veerenergie in een massa-veersysteem met wrijving (1 punt)

Dan bedenkt Jasper dat er in het ruimtestation wrijving is. Hij past het model aan door een wrijvingskracht toe te voegen. Hij voegt ook de formules toe voor de kinetische energie Eₖ, de veerenergie Eᵥ en de totale energie Eₜ van het massa-veersysteem. Hierbij is Eₜ = Eₖ + Eᵥ.
Welke formule voor de veerenergie is de juiste?

A   Eᵥ = ½C(uₗ² – uᵣ²)
B   Eᵥ = ½C(uₗ² + uᵣ²)
C   Eᵥ = ½C(uₗ – uᵣ)²
D   Eᵥ = ½C(uₗ + uᵣ)²

Jasper maakt met het aangepaste model grafieken voor de kinetische energie, de veerenergie en de totale energie als functie van de tijd. Zie figuur 5.

Wat kun je verwachten: Je kiest de juiste formule voor de veerenergie in een systeem met twee veren, gebaseerd op de gegeven symbolen uₗ en uᵣ.

Wat moet je kennen: Formule voor veerenergie: Eᵥ = ½C·u² [J = N/m · m²]
Grootheden: Eᵥ (veerenergie), C (veerconstante), u (uitrekking)
Eenheden: Joule (J), Newton per meter (N/m), meter (m)

Wat moet je kunnen: Je moet de algemene formule voor veerenergie toepassen op een systeem met twee veren, waarbij de totale uitrekking de som is van de afzonderlijke uitrekkingen (uₗ en uᵣ).

Waar op letten: Je kiest de correcte formule uit de meerkeuzeopties. Let op de correcte wiskundige bewerking van de uitrekkingen uₗ en uᵣ. Er is geen eenheid of significantie van toepassing, omdat het een formulekeuze betreft.

Kernbegrippen: veerenergie, kinetische energie, totale mechanische energie, gedempte trilling, energieomzetting

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen de som van de kwadraten (uₗ² + uᵣ²) en het kwadraat van de som (uₗ + uᵣ)².
- Aannemen dat de energie van één veer geldt voor het hele systeem met twee veren.
- Verkeerd interpreteren van de symbolen uₗ en uᵣ als verplaatsingen in plaats van uitrekkingen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2/vraag/5

## Vraag 6 – Verklaring voor niet-nul veerenergie (1 punt)

Uit figuur 5 blijkt dat de veerenergie niet tot 0 J daalt.
Geef hiervoor de natuurkundige verklaring.

Wat kun je verwachten: Je moet een natuurkundige verklaring geven waarom de veerenergie in een systeem niet tot 0 J daalt, gebaseerd op de informatie uit een figuur.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat veerenergie is: E_v = 0.5·C·u² [J = N/m·m²]. Je moet de relatie tussen uitwijking (u) en veerenergie kennen. Je moet het concept van voorspanning van een veer kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet de grafiek van veerenergie (E_v) in figuur 5 kunnen interpreteren en aflezen dat de minimale waarde van E_v niet nul is. Je moet dit kunnen koppelen aan het concept van voorspanning.

Waar op letten: Je antwoord moet een duidelijke natuurkundige verklaring zijn. Er is geen eenheid of significantie van toepassing, omdat het een kwalitatieve verklaring betreft.

Kernbegrippen: veerenergie, voorspanning, energieomzetting, gedempte trilling

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van de verschillende energielijnen in de grafiek.
- Aannemen dat veerenergie altijd nul wordt in een trilling.
- Niet kunnen verklaren waarom de veerenergie niet nul wordt.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2/vraag/6

## Vraag 7 – Energieverlies bij constante wrijvingskracht (2 punten)

André constateert dat het totale energieverlies per seconde afwisselend toe- en afneemt, waardoor de grafiek van E_t er nogal hobbelig uitziet. Hij ziet ook dat E_t het snelst daalt als E_k maximaal is. André vermoedt dat dit komt doordat in het model voor de wrijvingskracht de formule voor luchtweerstand is gebruikt. Omdat deze afhankelijk is van de snelheid zal het energieverlies per seconde het grootst zijn als de snelheid maximaal is. Om deze hypothese te toetsen past André de modelformule voor de wrijvingskracht aan zodat de grootte van de wrijvingskracht constant is. Vervolgens maakt André met het model de grafieken van E_k en E_t opnieuw. Hij verwacht dat de grafiek van E_t nu geen hobbels meer vertoont.
Leg uit of de verwachting van André terecht is.

Wat kun je verwachten: Je moet uitleggen of de verwachting van André terecht is, gebaseerd op de relatie tussen vermogen, wrijvingskracht en snelheid.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor vermogen kennen: P = F·v [W = N·m/s]. Je moet weten dat P staat voor vermogen, F voor kracht en v voor snelheid. Je moet weten dat energieverlies per seconde gelijk is aan het vermogen.

Wat moet je kunnen: Je moet de relatie tussen vermogen, kracht en snelheid toepassen om te beredeneren hoe energieverlies per seconde varieert, zelfs als de wrijvingskracht constant is. Je moet een consequente conclusie trekken op basis van je redenering.

Waar op letten: Je moet de eenheden correct gebruiken in je redenering. Je moet specifiek ingaan op de afhankelijkheid van het energieverlies per seconde van de snelheid. Er is geen sprake van significantie of vectorrichting in deze kwalitatieve redenering.

Kernbegrippen: energieverlies, vermogen, wrijvingskracht, gedempte trilling

Veelgemaakte fouten:
- Denken dat een constante wrijvingskracht leidt tot een constant energieverlies per seconde.
- Het verschil tussen energie (arbeid) en vermogen (energie per tijdseenheid) niet correct toepassen.
- Vergeten dat de snelheid van het object varieert tijdens de trilling.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2/vraag/7

## Vraag 8 – Hartritme bepalen uit ECG (3 punten)

Het hartritme is gedefinieerd als het aantal slagen van het hart per minuut.
Bepaal met behulp van figuur 1 het hartritme van deze persoon. Noteer je antwoord in twee significante cijfers.

Wat kun je verwachten: Je bepaalt het hartritme van een persoon door een elektrocardiogram (ECG) te analyseren. Je moet de periode van de hartslag aflezen en omrekenen naar een frequentie in slagen per minuut.

Wat moet je kennen: frequentie: f = 1/T [Hz = s⁻¹]
periode: T [s]
hartritme: aantal slagen per minuut [min⁻¹]

Wat moet je kunnen: Je leest afstanden af in een diagram (ECG).
Je gebruikt de gegeven snelheid van de pen om een afstand om te zetten naar een tijd.
Je berekent de periode (T) van de hartslag uit de afgelezen tijd en het aantal periodes.
Je berekent de frequentie (f) uit de periode.
Je rekent de frequentie om naar het hartritme in slagen per minuut.
Je past de regels voor significante cijfers toe.

Waar op letten: Het eindantwoord moet in slagen per minuut (min⁻¹) zijn en in twee significante cijfers worden genoteerd. Let op het correct tellen van het aantal periodes tussen de pieken en het correct omrekenen van de eenheden.

Kernbegrippen: frequentie en periode, aflezen van diagrammen, eenheden omrekenen, significante cijfers

Veelgemaakte fouten:
- verkeerd aantal periodes tellen (bijv. 5 pieken is 4 periodes, niet 5)
- de schaalfactor (papier-snelheid) verkeerd gebruiken of vergeten
- onjuiste significantie in het eindantwoord

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2/vraag/8

## Vraag 9 – Uitleg spanningswet van Kirchhoff (2 punten)

Leg uit met behulp van de spanningswet van Kirchhoff.

Wat kun je verwachten: Je legt uit hoe de spanningswet van Kirchhoff toegepast wordt op een gesloten kring A-B-C om aan te tonen dat U_AC = U_AB + U_BC. Je moet de juiste tekenconventies voor spanningen gebruiken.

Wat moet je kennen: Spanningswet van Kirchhoff: ΣUᵢ = 0 in een gesloten kring
Definitie van spanning U_XY = -U_YX
Grootheid: spanning U [V]

Wat moet je kunnen: Je past de spanningswet van Kirchhoff toe op een gesloten kring van punten (bijvoorbeeld A-B-C-A)
Je redeneert met de tekenconventie van spanningen (U_AC = -U_CA)

Waar op letten: Je zorgt ervoor dat je de spanningswet van Kirchhoff correct formuleert voor de gesloten kring. Je let op de juiste tekenconventie bij het omschrijven van U_CA naar U_AC. Het antwoord is een uitleg, dus geen eenheid of significantie van toepassing.

Kernbegrippen: Spanningswet van Kirchhoff, Elektrische spanning, Gesloten kring, spanningswet van kirchhoff, elektrische spanning, gesloten kring, tekenconventie spanning

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen U_AC en U_CA (tekenconventie)
- Onvolledige redenering, direct de conclusie opschrijven zonder de wet van Kirchhoff te noemen
- De kring A-B-C niet als een gesloten kring herkennen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2/vraag/9

## Vraag 10 – Voordelen MRI-scan boven CT-scan (1 punt)

Bij mensen die een traag hartritme hebben, wordt vaak een pacemaker ingebracht. Dit apparaat meet voortdurend het hartritme en kan met kleine stroomstootjes het ritme bijsturen.
Voor het plaatsen van een pacemaker wordt een dun slangetje, een katheter, in het hart aangebracht. Om tijdens het inbrengen de katheter te volgen wordt een CT-scan van de patiënt gemaakt. Tegelijkertijd wordt de hartfunctie in de gaten gehouden met een ECG.
In plaats van gebruik te maken van een CT-scan zou het voor de patiënt beter zijn als het inbrengen van de katheter gevolgd zou worden met een MRI-scan.
10 Geef een natuurkundige reden waarom dit beter is voor de patiënt.

Wat kun je verwachten: Je geeft een natuurkundige reden waarom een MRI-scan beter is voor de patiënt dan een CT-scan bij het volgen van een katheter.

Wat moet je kennen: Je moet weten dat een CT-scan gebruikmaakt van ioniserende straling (röntgenstraling) en een MRI-scan niet. Je moet de eigenschappen en risico's van ioniserende straling kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet het verschil tussen de stralingstypes van een CT-scan en een MRI-scan kunnen benoemen en de implicaties daarvan voor de patiënt kunnen uitleggen.

Waar op letten: Je antwoord moet een natuurkundige reden zijn. Je moet specifiek benoemen dat ioniserende straling bij een CT-scan wordt gebruikt en dat dit bij een MRI-scan niet het geval is.

Kernbegrippen: ioniserende straling, medische beeldvorming, MRI-scan, CT-scan

Veelgemaakte fouten:
- Het verschil tussen ioniserende en niet-ioniserende straling niet kennen.
- De principes van CT- en MRI-scans verwarren.
- Een niet-natuurkundige reden geven, zoals kosten of beschikbaarheid.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2/vraag/10

## Vraag 11 – Lorentzkracht en ladingsscheiding in de aorta (3 punten)

Voer de volgende opdrachten uit:
− Geef in de cirkel in de figuur op de uitwerkbijlage de richting aan van de lorentzkracht op de positieve ionen.
− Leg uit dat er in de aorta ladingsscheiding optreedt.
− Leg hiermee uit op welke spanning (U_AB, U_BC of U_AC) de invloed van deze ladingsscheiding het grootst is.

Wat kun je verwachten: Je moet de richting van de lorentzkracht bepalen, uitleggen hoe ladingsscheiding ontstaat en beredeneren welke spanning hierdoor het meest wordt beïnvloed.

Wat moet je kennen: Lorentzkracht: F_L = B·I·l·sin(α) [N = T·A·m]
Lorentzkracht op bewegende lading: F_L = B·q·v·sin(α) [N = T·C·m/s]
Rechterhandregel (of FBI-regel) voor de richting van de lorentzkracht
Conventionele stroomrichting: van plus naar min, tegengesteld aan de bewegingsrichting van negatieve ladingen
Grootheden: F_L (lorentzkracht), B (magnetische veldsterkte), I (stroomsterkte), l (lengte), q (lading), v (snelheid), U (spanning)
Eenheden: N (newton), T (tesla), A (ampère), m (meter), C (coulomb), m/s (meter per seconde), V (volt)

Wat moet je kunnen: Je past de rechterhandregel toe om de richting van de lorentzkracht op positieve ionen te bepalen, gegeven de richting van het magnetisch veld en de stroomsnelheid.
Je legt uit dat de lorentzkrachten op positieve en negatieve ionen tegengesteld zijn, wat leidt tot ladingsscheiding.
Je beredeneert dat de ladingsscheiding ontstaat langs de werklijn van de lorentzkracht en dat dit de spanning langs die lijn het meest beïnvloedt.
Je interpreteert de richtingen van v⃗ en B⃗₀ uit figuur 4.

Waar op letten: Let op de correcte toepassing van de rechterhandregel voor de richting van de lorentzkracht. Zorg dat je de stroomrichting van negatieve ionen correct relateert aan hun bewegingsrichting. De richting van de lorentzkracht is cruciaal voor de ladingsscheiding.

Kernbegrippen: lorentzkracht, rechterhandregel, ladingsscheiding, elektrische stroom, magnetisch veld, spanning

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd toepassen van de rechterhandregel voor de lorentzkracht.
- Vergeten dat de conventionele stroomrichting van negatieve ionen tegengesteld is aan hun bewegingsrichting.
- De richting van het magneetveld of de stroomsnelheid verkeerd interpreteren uit de figuur.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2/vraag/11

## Vraag 12 – Ladingsscheiding in de aorta (4 punten)

Samira en Fatima realiseren zich dat de bovenstaande verklaring alleen kan kloppen als d kleiner is dan de diameter van de aorta.
Leg met behulp van een berekening uit of de verandering van het ECG verklaard zou kunnen worden door ladingsscheiding in de aorta.

Wat kun je verwachten: Je berekent de stroomsnelheid van bloed in de aorta en vervolgens de afstand van ladingsscheiding. Daarna vergelijk je deze afstand met de diameter van de aorta om te bepalen of de verklaring klopt.

Wat moet je kennen: Formule (1): U_ls = v·B₀·d
Formule (2): v = Q/A
Oppervlakte cirkel: A = ¼πd² of A = πr²
Grootheden: U_ls (spanning), v (stroomsnelheid), B₀ (magnetische veldsterkte), d (afstand ladingsscheiding), Q (volumedebiet), A (oppervlakte dwarsdoorsnede)
Eenheden: V (volt), m/s (meter per seconde), T (tesla), m (meter), m³/s (kubieke meter per seconde), m² (vierkante meter)
Conversie: 1 mL = 10⁻⁶ m³, 1 cm = 10⁻² m

Wat moet je kunnen: Je zet gegeven waarden om naar de juiste SI-eenheden (mL/s naar m³/s, cm naar m).
Je berekent de oppervlakte van de dwarsdoorsnede van de aorta met de gegeven diameter.
Je berekent de stroomsnelheid van het bloed met behulp van het volumedebiet en de oppervlakte.
Je berekent de afstand van de ladingsscheiding met de gegeven spanning, magnetische veldsterkte en de berekende stroomsnelheid.
Je vergelijkt de berekende afstand met de diameter van de aorta en trekt een conclusie.

Waar op letten: Let op de juiste eenheden bij het omrekenen van mL/s naar m³/s en cm naar m. Rond het eindantwoord af op het juiste aantal significante cijfers en vermeld de eenheid (meter).

Kernbegrippen: Volumedebiet, Ladingsscheiding, Lorentzkracht, Eenheden omrekenen, volumedebiet, ladingsscheiding, lorentzkracht, eenheden omrekenen, oppervlakteberekening

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde eenheidsconversie (mL naar m³, cm naar m)
- Fout in oppervlakteberekening (diameter vs. radius)
- Vergeten de berekende afstand te vergelijken met de diameter

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2/vraag/12

## Vraag 13 – Fotonenergie en energieniveaus van waterstof (5 punten)

Voer de volgende opdrachten uit:
− Bereken, uitgaande van de gegeven golflengte, de fotonenergie in eV van de overheersende waterstoflijn in het spectrum van een emissienevel. Noteer je antwoord in het juiste aantal significante cijfers.
− Toon met behulp van de formule voor de energie van het waterstofatoom aan dat deze lijn hoort bij de overgang tussen de eerste en de tweede aangeslagen toestand van waterstof.
− Geef aan of het een overgang is van eerste naar tweede aangeslagen toestand of andersom.

Wat kun je verwachten: Je berekent de fotonenergie van een waterstoflijn in eV en toont aan dat deze hoort bij een specifieke overgang tussen aangeslagen toestanden van waterstof. Je geeft ook de richting van de overgang aan.

Wat moet je kennen: fotonenergie: E_f = h·c/λ [J]
energie van waterstofatoom: E_n = -13,6 eV / n²
constante van Planck: h [J·s]
lichtsnelheid in vacuüm: c [m/s]
golflengte: λ [m]
elementair ladingskwantum: e [C] (voor omrekening J naar eV)
1 eV = 1,60218·10⁻¹⁹ J
grondtoestand (n=1), eerste aangeslagen toestand (n=2), tweede aangeslagen toestand (n=3)
emissie: overgang van hogere naar lagere energietoestand

Wat moet je kunnen: Je berekent de fotonenergie met de formule E_f = h·c/λ.
Je rekent energie om van Joule naar elektronvolt (eV).
Je gebruikt de formule voor de energieniveaus van waterstof E_n = -13,6 eV / n².
Je identificeert de juiste energieniveaus (n-waarden) voor de eerste en tweede aangeslagen toestand.
Je berekent het energieverschil tussen twee energieniveaus.
Je vergelijkt de berekende fotonenergie met het energieverschil tussen de niveaus.
Je bepaalt de richting van de overgang (emissie of absorptie) op basis van de context (emissienevel).
Je past de regels voor significante cijfers toe op je eindantwoord.

Waar op letten: Let op de eenheid van het eindantwoord voor de fotonenergie (eV). Zorg dat je de golflengte omrekent naar meters en dat je het juiste aantal significante cijfers hanteert in je eindantwoord. Bij emissie gaat de overgang van een hogere naar een lagere energietoestand.

Kernbegrippen: fotonenergie, energieniveaus, atoommodel van Bohr, emissiespectrum, significante cijfers, waterstofspectrum, emissie

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de golflengte om te rekenen van nanometer (nm) naar meter (m).
- Verwarring tussen de eerste aangeslagen toestand (n=2) en de grondtoestand (n=1).
- Onjuiste conclusie over de richting van de overgang; bij emissie gaat een elektron van een hoge naar een lage energietoestand.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2/vraag/13

## Vraag 14 – Noodzaak van hoogfrequente straling voor emissienevels (2 punten)

Om van een interstellaire wolk een emissienevel te maken moet aan twee voorwaarden worden voldaan:
1 er moet een ster in de nevel aanwezig zijn.
2 deze ster moet vooral straling uitzenden met frequenties die groter zijn dan van zichtbaar licht.

Leg uit waarom voorwaarde 2 noodzakelijk is.

Wat kun je verwachten: Je legt uit waarom een ster in een interstellaire wolk straling met frequenties groter dan zichtbaar licht moet uitzenden om een emissienevel te vormen.

Wat moet je kennen: Fotonenergie: E = h·f [J]
Constante van Planck: h = 6,626·10⁻³⁴ J·s (BINAS tabel 7A)
Lichtsnelheid: c = 2,998·10⁸ m/s (BINAS tabel 7A)
Relatie tussen frequentie en golflengte: c = λ·f
Ionisatie-energie van waterstof (BINAS tabel 21A)
Energieniveaus van waterstof (BINAS tabel 21A)
Elektromagnetisch spectrum: volgorde van frequenties/golflengtes van verschillende soorten straling (BINAS tabel 19B)

Wat moet je kunnen: Je legt een verband tussen fotonenergie en frequentie.
Je zoekt de ionisatie-energie van waterstof op in BINAS tabel 21A.
Je vergelijkt de energie van fotonen van zichtbaar licht met de benodigde ionisatie-energie of aanslagenergie van waterstof.
Je redeneert dat voor ionisatie/aanslag van waterstof een minimale fotonenergie nodig is, en dus een minimale frequentie.

Waar op letten: Je redenering moet logisch en volledig zijn, waarbij je de benodigde energie voor ionisatie/aanslag van waterstof expliciet vergelijkt met de energie van zichtbaar licht. Er zijn geen specifieke eenheden of significantie-regels van toepassing op het eindantwoord, omdat het een kwalitatieve redenering is.

Kernbegrippen: fotonenergie, ionisatie-energie, energieniveaus, elektromagnetisch spectrum, waterstofspectrum

Veelgemaakte fouten:
- Niet koppelen van frequentie aan fotonenergie (E=hf)
- Energie van zichtbaar licht overschatten
- Vergeten de benodigde ionisatie-energie op te zoeken in BINAS

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2/vraag/14

## Vraag 15 – Uitleg Planckkromme en zichtbaar licht (2 punten)

Leg met behulp van figuur 2 uit dat de ster aan voorwaarde 2 voldoet.

Wat kun je verwachten: Je legt uit waarom een ster voldoet aan een bepaalde voorwaarde, gebaseerd op de straling die de ster uitzendt volgens een Planckkromme. Je moet de relatie leggen tussen de golflengtes van de uitgezonden straling en het bereik van zichtbaar licht.

Wat moet je kennen: Elektromagnetisch spectrum: de volgorde van stralingstypen en hun bijbehorende golflengtebereiken.
Zichtbaar licht: het golflengtebereik van zichtbaar licht (ongeveer 380 nm tot 750 nm).
Eenheden: 1 µm = 1000 nm.

Wat moet je kunnen: Je leest de golflengte af op de x-as van de Planckkromme in figuur 2.
Je interpreteert de intensiteitsverdeling van de straling als functie van de golflengte uit de Planckkromme.
Je vergelijkt het golflengtebereik van de uitgezonden straling met het golflengtebereik van zichtbaar licht.
Je zet de eenheid µm om naar nm om te kunnen vergelijken met het zichtbare spectrum.
Je formuleert een conclusie op basis van de analyse van de grafiek en je kennis van het elektromagnetisch spectrum.

Waar op letten: Let op de juiste omrekening van micrometers (µm) naar nanometers (nm). Zorg dat je het golflengtebereik van zichtbaar licht correct toepast. Er is geen numeriek eindantwoord, dus significantie is niet van toepassing.

Kernbegrippen: Planckkromme, elektromagnetisch spectrum, golflengte, zichtbaar licht, planckkromme, intensiteit

Veelgemaakte fouten:
- De golflengte-eenheid op de x-as (µm) verkeerd omrekenen naar nanometer (nm) voor vergelijking met zichtbaar licht.
- De golflengtes van het zichtbare spectrum niet correct kennen (ongeveer 380-750 nm).
- Verwarring tussen golflengte en frequentie (een kleine golflengte correspondeert met een hoge frequentie).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2/vraag/15

## Vraag 16 – Temperatuur van een ster bepalen met de Wet van Wien (3 punten)

Toon met behulp van figuur 2 aan dat de ster een temperatuur van 4·10⁴ K heeft.

Wat kun je verwachten: Je moet de temperatuur van een ster aantonen met behulp van de Wet van Wien en een gegeven spectrum.

Wat moet je kennen: Wet van Wien: λ_max·T = k_W
Constante van Wien: k_W = 2,898·10⁻³ m·K (BINAS tabel 7A)
Grootheden: λ_max (golflengte van maximale intensiteit), T (absolute temperatuur), k_W (constante van Wien)
Eenheden: λ_max in meter [m], T in Kelvin [K], k_W in meter Kelvin [m·K]

Wat moet je kunnen: Je leest de golflengte van maximale intensiteit (λ_max) af uit de Planckkromme in figuur 2.
Je zet de afgelezen golflengte om van micrometer (µm) naar meter (m).
Je zoekt de waarde van de constante van Wien (k_W) op in BINAS tabel 7A.
Je herrangschikt de Wet van Wien om de temperatuur (T) te berekenen: T = k_W / λ_max.
Je voert de berekening uit en toont aan dat de temperatuur 4·10⁴ K is.

Waar op letten: Let op de eenheid van de golflengte; deze moet in meters zijn voor de Wet van Wien. Rond het eindantwoord af op het juiste aantal significante cijfers, gebaseerd op de minst nauwkeurige meetwaarde (λ_max).

Kernbegrippen: Wet van Wien, Planckkromme, Zwartelichaamstraling, grafiek aflezen, wet van wien, planckkromme, zwartelichaamstraling, golflengte, temperatuur

Veelgemaakte fouten:
- De golflengte λ_max onnauwkeurig aflezen uit de grafiek.
- Vergeten de eenheid van de golflengte (µm) om te rekenen naar meters (m) voor de formule.
- De constante van Wien (k_W) niet kunnen vinden in BINAS of een verkeerde waarde gebruiken.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2/vraag/16

## Vraag 17 – Vermogen en straal van een ster bepalen met HR-diagram en Stefan-Boltzmann (5 punten)

Voer de volgende opdrachten uit:
- Toon met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage aan dat het uitgestraald vermogen van de ster gelijk is aan 2·10³² W .
- Bereken hiermee de straal van de ster.

Wat kun je verwachten: Je toont aan dat het uitgestraald vermogen van de ster 2·10³² W is en berekent vervolgens de straal van de ster.

Wat moet je kennen: Wet van Stefan-Boltzmann: P = σAT⁴ [W = W/(m²K⁴) · m² · K⁴]. Formule voor oppervlakte van een bol: A = 4πR² [m²]. Grootheden: P (vermogen), A (oppervlakte), T (temperatuur), R (straal). Eenheden: W (Watt), m (meter), K (Kelvin). Constanten: σ (constante van Stefan-Boltzmann), P_zon (vermogen van de zon).

Wat moet je kunnen: Je leest de verhouding P/P_zon af uit het Hertzsprung-Russell-diagram bij een gegeven temperatuur. Je zoekt het vermogen van de zon (P_zon) op in BINAS tabel 32C. Je zoekt de constante van Stefan-Boltzmann (σ) op in BINAS tabel 7A. Je berekent het vermogen van de ster. Je herleidt de formule P = σAT⁴ naar R = √(P / (4πσT⁴)). Je vult de bekende waarden in en berekent de straal van de ster.

Waar op letten: Het eindantwoord voor de straal moet in meters (m) zijn en in twee significante cijfers. Let op het correct aflezen van de logaritmische schalen in het HR-diagram en het tot de vierde macht verheffen van de temperatuur.

Kernbegrippen: Hertzsprung-Russell-diagram, Wet van Stefan-Boltzmann, Lichtkracht van een ster, BINAS gebruiken, hertzsprung-russell-diagram, wet van stefan-boltzmann, lichtkracht van een ster, binas gebruiken, logaritmische schaal

Veelgemaakte fouten:
- Het HR-diagram verkeerd aflezen, met name de logaritmische schalen.
- Vergeten de temperatuur tot de vierde macht te verheffen in de wet van Stefan-Boltzmann.
- Vergeten de wortel te trekken bij het berekenen van de straal R uit de oppervlakte A.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2/vraag/17

## Vraag 18 – Stralingsintensiteit ster bepalen met spectrum (4 punten)

Voer de bepaling van Eva en Isa uit en toon aan dat de uitkomst inderdaad tussen 3·10⁻⁹ W m⁻² en 4·10⁻⁹ W m⁻² ligt.

Wat kun je verwachten: Je voert een bepaling uit van de totale stralingsintensiteit van een ster op basis van een gemeten intensiteit in een specifiek golflengtegebied en een gegeven spectrum. Je toont aan dat de berekende waarde binnen een opgegeven bereik valt.

Wat moet je kennen: Stralingsintensiteit [W m⁻²]. Het verband tussen de oppervlakte onder een stralingsspectrum en de totale stralingsintensiteit.

Wat moet je kunnen: Je interpreteert een grafiek van stralingsintensiteit als functie van golflengte. Je berekent de werkelijke stralingsintensiteit in een golflengtegebied door te corrigeren voor de detectie-efficiëntie. Je bepaalt de verhouding tussen de oppervlakte van een deel van het spectrum en de totale oppervlakte onder de grafiek. Je gebruikt deze verhouding om de totale stralingsintensiteit te berekenen.

Waar op letten: Let op de eenheid van het eindantwoord (W m⁻²). Hanteer de regels voor significante cijfers bij de berekening. Zorg ervoor dat de correctie voor de detectie-efficiëntie correct wordt toegepast.

Kernbegrippen: stralingsintensiteit, spectrum, grafiekinterpretatie, verhoudingsrekening

Veelgemaakte fouten:
- De 60% detectie-efficiëntie vergeten te corrigeren.
- Oppervlaktes (hokjes) verkeerd bepalen of gebruiken.
- Reken- of afrondingsfouten.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2/vraag/18

## Vraag 19 – Afstand tot de Adelaarsnevel (3 punten)

De Adelaarsnevel bevindt zich op een afstand van 7·10³ lichtjaar.
Toon met behulp van een berekening aan of aan voorwaarde 1 kan zijn voldaan.

Wat kun je verwachten: Je berekent de afstand tot een ster op basis van het uitgestraalde vermogen en de stralingsintensiteit, en vergelijkt deze afstand met een gegeven waarde. Je moet een formule omzetten en eenheden omrekenen.

Wat moet je kennen: stralingsintensiteit: I = P / (4πr²) [W/m² = W / m²]
uitgestraald vermogen: P [W]
afstand: r [m]
lichtjaar: ly
omrekenfactor lichtjaar naar meter (BINAS tabel 5)

Wat moet je kunnen: Je lost de formule I = P / (4πr²) op naar r.
Je vult de gegeven waarden correct in de formule in.
Je rekent de berekende afstand van meter om naar lichtjaar.
Je vergelijkt de berekende afstand met de gegeven afstand en trekt een conclusie.

Waar op letten: Let op de eenheid van het eindantwoord (lichtjaar). Gebruik de juiste significantie voor het eindantwoord. Zorg dat je de factor 4π en de wortel correct toepast.

Kernbegrippen: stralingsintensiteit, kwadratenwet, uitgestraald vermogen, omrekenen van eenheden

Veelgemaakte fouten:
- De factor 4π vergeten in de noemer, die hoort bij het oppervlak van een bol.
- Vergeten de wortel te trekken bij het oplossen van de vergelijking voor r.
- De omrekening van meter naar lichtjaar vergeten of een foute omrekenfactor gebruiken.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2/vraag/19

## Vraag 20 – Afleiding van formules voor snelheid en totale energie van een satelliet (4 punten)

Leid de formules (1) en (2) af met behulp van formules uit het informatieboek.

Wat kun je verwachten: Je leidt twee formules af: één voor de snelheid van een satelliet in een baan en één voor de totale energie van die satelliet. Je gebruikt hiervoor basisformules uit het informatieboek (BINAS).

Wat moet je kennen: Middelpuntzoekende kracht: F_mpz = mv²/r [N = kg·m²/s²]
Gravitatiekracht: F_g = GmM/r² [N = N·m²/kg² · kg·kg/m²]
Kinetische energie: E_k = ½mv² [J = kg·m²/s²]
Gravitatie-energie: E_g = -GmM/r [J = N·m²/kg² · kg·kg/m]
Totale energie: E_t = E_k + E_g
Grootheden: F_mpz (middelpuntzoekende kracht), F_g (gravitatiekracht), m (massa satelliet), M (massa aarde), v (snelheid), r (baanstraal), G (gravitatieconstante), E_k (kinetische energie), E_g (gravitatie-energie), E_t (totale energie).
Eenheden: N (Newton), kg (kilogram), m (meter), s (seconde), J (Joule).

Wat moet je kunnen: Je stelt de middelpuntzoekende kracht gelijk aan de gravitatiekracht voor een satelliet in een stabiele baan.
Je combineert de formules voor middelpuntzoekende kracht en gravitatiekracht en herleidt deze tot de formule voor de snelheid v.
Je combineert de formules voor kinetische energie en gravitatie-energie om de totale energie E_t te bepalen.
Je substitueert de afgeleide formule voor v² in de formule voor kinetische energie.
Je vereenvoudigt de uitdrukking voor de totale energie tot de gevraagde formule.
Je gebruikt de juiste formules uit BINAS voor de afleidingen.

Waar op letten: Let op het juiste teken van de gravitatie-energie (negatief). Zorg dat je de formules correct algebraïsch herleidt. De eenheid van de snelheid is m/s en van de energie J. Significantie is hier niet van toepassing, omdat het een afleiding betreft.

Kernbegrippen: gravitatiekracht, middelpuntzoekende kracht, kinetische energie, gravitatie-energie, totale energie

Veelgemaakte fouten:
- Teken-fout bij gravitatie-energie (E_g is negatief)
- Verwarren van formules voor gravitatiekracht en gravitatie-energie
- Algebraïsche fouten bij het combineren van de formules

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2/vraag/20

## Vraag 21 – Snelheid van een LEO-satelliet (3 punten)

Een bepaalde LEO-satelliet bevindt zich op een hoogte van 425 km. Toon aan dat deze satelliet een snelheid heeft van 7,658 km s⁻¹.

Wat kun je verwachten: Je moet de snelheid van een satelliet berekenen met behulp van de gegeven formule en waarden uit BINAS.

Wat moet je kennen: v = √(GM/r) [m/s]
G: gravitatieconstante [N m² kg⁻²]
M: massa van de aarde [kg]
r: baanstraal [m]
h: hoogte [m]
R_aarde: straal van de aarde [m]
relatie tussen baanstraal, hoogte en straal van de aarde: r = R_aarde + h

Wat moet je kunnen: Je zoekt de gravitatieconstante (G) op in BINAS tabel 7A.
Je zoekt de massa van de aarde (M) op in BINAS tabel 31.
Je zoekt de straal van de aarde (R_aarde) op in BINAS tabel 31.
Je rekent de hoogte van de satelliet (h) om van km naar m.
Je berekent de baanstraal (r) door de straal van de aarde en de hoogte van de satelliet bij elkaar op te tellen.
Je vult de waarden van G, M en r in de formule v = √(GM/r) in.
Je berekent de snelheid (v) en geeft deze in de gevraagde eenheid (km s⁻¹).

Waar op letten: Je let op de eenheid van het eindantwoord (km s⁻¹). Je gebruikt de juiste significantie voor het eindantwoord, gebaseerd op de minst nauwkeurige gegeven waarde. Je zorgt ervoor dat alle afstanden in meters worden ingevoerd in de formule.

Kernbegrippen: gravitatie, cirkelbeweging, baanstraal, BINAS gebruiken, binas gebruiken, eenheden omrekenen

Veelgemaakte fouten:
- hoogte (h) en baanstraal (r) verwarren
- eenheden niet omrekenen (km naar m)
- rekenfouten met machten van tien

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2/vraag/21

## Vraag 22 – Energieverlies door atmosferische wrijving van een satelliet (4 punten)

De satelliet heeft een c_w-waarde van 2,2 en een frontaal oppervlak van 0,385 m². Bepaal de energie die deze satelliet elke seconde verliest ten gevolge van atmosferische wrijving.

Wat kun je verwachten: Je berekent het energieverlies per seconde (vermogen) van een satelliet als gevolg van atmosferische wrijving. Je gebruikt hiervoor de formule voor vermogen en de formule voor luchtwrijvingskracht. Je leest de luchtdichtheid af uit een grafiek.

Wat moet je kennen: Vermogen: P = F·v [W = N·m/s = J/s]
Luchtwrijvingskracht: F_w = ½·ρ·c_w·A·v² [N]
Grootheden: P (vermogen), F (kracht), v (snelheid), ρ (dichtheid), c_w (weerstandscoëfficiënt), A (frontaal oppervlak)
Eenheden: W (Watt), N (Newton), m/s (meter per seconde), kg/m³ (kilogram per kubieke meter), m² (vierkante meter)

Wat moet je kunnen: Je combineert de formules voor vermogen en luchtwrijvingskracht tot P = ½·ρ·c_w·A·v³.
Je leest de dichtheid (ρ) van de atmosfeer af uit figuur 2 bij de gegeven hoogte van 425 km.
Je voert een berekening uit met de afgelezen en gegeven waarden.
Je let op de juiste eenheden en significantie in het eindantwoord.

Waar op letten: Het eindantwoord moet in Joule per seconde (J/s) of Watt (W) zijn. Rond het eindantwoord af op het juiste aantal significante cijfers. Let op de factor 10⁻¹² op de y-as van de grafiek voor de dichtheid.

Kernbegrippen: wrijvingsvermogen, luchtwrijving, vermogen, grafiek aflezen

Veelgemaakte fouten:
- De factor 10⁻¹² op de y-as van de grafiek voor de dichtheid vergeten.
- De snelheid v niet tot de derde macht doen in de gecombineerde formule voor vermogen.
- De dichtheid bij een verkeerde hoogte aflezen in de grafiek (de hoogte van 425 km volgt uit de context van de voorgaande opgave).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2/vraag/22

## Vraag 23 – Afgeleide van totale energie en interpretatie van hoogteverandering door wrijving (3 punten)

De totale energie uit formule (2) is een functie van r en kun je dus ook noteren als E_t(r) = −½GmMr⁻¹.
Voer de volgende opdrachten uit:
− Geef de afgeleide dE_t/dr door E_t(r) te differentiëren.
− Leg aan de hand van het teken van dE_t/dr uit dat door de wrijving de hoogte van de LEO-satelliet steeds kleiner wordt.

Wat kun je verwachten: Je geeft de afgeleide van een gegeven energiefunctie en legt aan de hand van het teken van deze afgeleide en de invloed van wrijving uit waarom de hoogte van een satelliet afneemt.

Wat moet je kennen: Machtsregel voor differentiëren: d(ax^n)/dx = nax^(n-1). De totale energie E_t(r) = -½GmMr⁻¹. De grootheden G (gravitatieconstante), m (massa satelliet), M (massa aarde) en r (afstand tot middelpunt aarde) zijn positief. Wrijving veroorzaakt een afname van de totale energie.

Wat moet je kunnen: Je differentieert de functie E_t(r) = -½GmMr⁻¹ naar r. Je bepaalt het teken van de afgeleide dE_t/dr. Je redeneert dat door wrijving de verandering van de totale energie (dE_t) negatief is. Je combineert het teken van dE_t/dr en dE_t om het teken van dr te bepalen en hieruit de verandering van de hoogte te verklaren.

Waar op letten: Let op het correct toepassen van de differentieerregels, inclusief mintekens. Het eindantwoord heeft geen specifieke eenheid, maar de redenering moet logisch en volledig zijn. Er is geen significantie van toepassing.

Kernbegrippen: differentiaalrekening, totale energie in een zwaartekrachtveld, wrijving, verband tussen wiskunde en fysica

Veelgemaakte fouten:
- fout in de afgeleide (minteken vergeten bij de machtsregel)
- verwarring tussen het teken van de energieverandering (dE_t) en de afgeleide (dE_t/dr)
- onjuiste fysische interpretatie van een negatieve dr

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2/vraag/23

## Vraag 24 – Hoogteverlies LEO-satelliet (4 punten)

Als er niet gecorrigeerd zou worden voor het hoogteverlies door de wrijving zou de hoogte van de LEO-satelliet afnemen volgens figuur 3. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.

24 Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage het hoogteverlies per omwenteling om de aarde van de satelliet die zich op een hoogte van 425 km bevindt. Noteer je antwoord in twee significante cijfers.

Wat kun je verwachten: Je bepaalt het hoogteverlies per omwenteling van een satelliet door de helling van een h-t grafiek af te lezen en dit te combineren met de omlooptijd van de satelliet.

Wat moet je kennen: v = 2πr/T [m/s = m/s], r = R_aarde + h [m = m + m], R_aarde [m] (BINAS tabel 31).

Wat moet je kunnen: Je tekent een raaklijn aan een h-t grafiek op een specifiek punt (h = 425 km). Je berekent de helling van deze raaklijn. Je berekent de omlooptijd van een satelliet met de gegeven formule. Je rekent eenheden om (bijvoorbeeld van km/dag naar m/s of van dagen naar seconden). Je combineert de berekende helling en omlooptijd om het hoogteverlies per omwenteling te bepalen.

Waar op letten: Het eindantwoord moet in meters zijn. Rond het eindantwoord af op twee significante cijfers. Let op de eenheden bij het omrekenen van de helling en de omlooptijd.

Kernbegrippen: raaklijn bepalen, omlooptijd, cirkelbeweging, eenheden omrekenen

Veelgemaakte fouten:
- Onnauwkeurig tekenen van de raaklijn bij h=425 km, wat leidt tot een afwijkende helling.
- Verkeerd omrekenen van eenheden, met name van km/dag naar m/s of van dagen naar seconden.
- Het eindantwoord niet afronden op de gevraagde twee significante cijfers.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2/vraag/24

## Vraag 25 – Baansnelheid van een satelliet (2 punten)

Aan het eind van de levensduur verandert de baansnelheid van de satelliet.
Leg met behulp van formule (1) uit of deze baansnelheid steeds kleiner of steeds groter wordt.

Wat kun je verwachten: Je moet uitleggen hoe de baansnelheid van een satelliet verandert aan het eind van zijn levensduur, gebaseerd op een gegeven formule en het inzicht dat de hoogte afneemt.

Wat moet je kennen: Formule (1): v = \sqrt{\frac{GM}{r}} [m/s = \sqrt{\frac{N·m²/kg² · kg}{m}}]. Hierin is v de baansnelheid, G de gravitatieconstante, M de massa van het centrale hemellichaam en r de baanstraal. Je moet weten dat de baanstraal r de afstand is van het middelpunt van het centrale hemellichaam tot de satelliet, en dat deze dus afhangt van de hoogte h boven het oppervlak.

Wat moet je kunnen: Je moet het verband tussen de hoogte h en de baanstraal r herkennen. Je moet de gegeven formule (1) interpreteren en een kwalitatieve conclusie trekken over de verandering van v als r afneemt. Je moet je redenering helder formuleren.

Waar op letten: Je moet duidelijk aangeven of de baansnelheid steeds kleiner of steeds groter wordt. Je moet de relatie tussen r en h correct toepassen. Er is geen eenheid of significantie van toepassing, omdat het een kwalitatieve redenering is.

Kernbegrippen: baansnelheid, gravitatie, cirkelbeweging, omgekeerd evenredig verband

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen hoogte (h) en baanstraal (r).
- De intuïtieve maar incorrecte aanname dat een lagere baan (minder energie) ook een lagere snelheid betekent.
- Het niet herkennen van het omgekeerd evenredige verband tussen snelheid en de wortel van de straal.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vwo/natuurkunde/2022/tijdvak-2/vraag/25

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VWO
2022
tijdvak 2
tijdsduur: 3 uur
natuurkunde
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Dit examen bestaat uit 25 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 75 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg, berekening of afleiding gevraagd wordt,
worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring,
uitleg, berekening of afleiding ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1023-a-22-2-o

### Pagina 2

Massa meten in de ruimte

Astronauten verblijven soms langdurig
in een ruimtestation dat om de aarde cirkelt.
Om te voorkomen dat de astronauten spier-
en botmassa verliezen moeten ze
oefeningen doen. Daarom moet gedurende
het verblijf hun massa gemonitord worden.

Om in de ruimte de massa van astronauten
te bepalen, is speciale apparatuur nodig.
Anders dan op aarde kan de massa niet worden bepaald door de
astronauten op een gewone personenweegschaal te laten staan.
2p 1 Leg uit waarom dat niet kan.

Figuur 1 toont een foto van een astronaut in een speciale stoel waarmee
haar massa kan worden bepaald. Deze stoel is via twee veren, aan de
voor- en achterkant van de stoel, verbonden aan twee vaste
ophangpunten. Als de stoel een horizontale uitwijking krijgt, gaat hij trillen.
Door de trillingstijd te meten, kan de massa van de astronaute worden
bepaald.
Jasper en André doen een experiment waarbij ze dit simuleren. Ze
gebruiken een luchtkussenbaan met daarop een slede die met twee
identieke veren is vastgemaakt aan twee vaste klemmen (zie figuur 2). De
veerconstante van elke veer is 25 N m⁻¹.

figuur 1
[FIGUUR: Astronaut zittend in een stoel in een ruimtestation.]

figuur 2
[FIGUUR: Schematische weergave van een slede met twee veren aan klemmen.]

De klemmen A en B zijn zo ver uit elkaar gezet dat de veren gespannen
zijn als de slede in de evenwichtsstand staat. In de figuur op de
uitwerkbijlage zijn drie situaties getekend:
1 De veren zijn nog niet bevestigd aan de slede. $L_0$ is de rustlengte van
de veren.
2 De slede is aan twee gespannen veren bevestigd en bevindt zich in de
evenwichtsstand. De uitrekking van beide veren is nu $u_0$.
3 De slede heeft een uitwijking $x$ uit de evenwichtsstand. De uitrekking
van beide veren is respectievelijk $u_{\text{L}}$ en $u_{\text{R}}$.

VW-1023-a-22-2-o
2 / 15

### Pagina 3

André beweert dat het massa-veersysteem, bestaande uit de slede en de
twee veren, een totale veerconstante heeft van 50 Nm⁻¹.

4p 2 In de figuur op de uitwerkbijlage is in de situaties 2 en 3 de veerkracht $F_L$
van de linker veer op de slede getekend.
Voer de volgende opdrachten uit:
- Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de veerkracht $F_R$ van de
rechter veer op de slede in de situaties 2 en 3.
- Leg hiermee uit dat André gelijk heeft.

Nadat de slede een uitwijking uit de evenwichtsstand heeft gekregen,
beweegt deze wrijvingsloos over de lucht kussenbaan. Jasper en André
maken een videometing van de beweging van de slede. Het
$(x,t)$-diagram van deze meting staat in figuur 3.

figuur 3

[FIGUUR: Een grafiek met op de y-as 'x (cm)' van -5 tot 5 en op de x-as 't (s)' van 0 tot 1.20. De grafiek toont een sinusvormige beweging met een amplitude van ongeveer 4 cm.]

3p 3 Bepaal de massa van de slede met behulp van figuur 3. Noteer je
antwoord in twee significante cijfers.

Jasper en André maken een computermodel om het massa-veersysteem
in het ruimtestation te beschrijven. De waardes van alle grootheden zijn
dus niet hetzelfde als bij de vorige vragen. Net als bij het experiment zijn
in het model de veren gespannen als de stoel met de astronaut zich in de
evenwichtsstand bevindt.

VW-1023-a-22-2-o
3 / 15
lees verder

### Pagina 4

Jasper en André maken met het model een grafiek van $x$ als functie van
de tijd. Zie figuur 4. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.

figuur 4
[FIGUUR: Grafiek met op de horizontale as de tijd $t$ in seconden (van 0 tot 11) en op de verticale as de positie $x$ in meters (van -0,40 tot 0,40). De grafiek toont een sinusvormige golfbeweging.]

5p 4 Voer de volgende opdrachten uit:
- Bepaal met behulp van het $(x,t)$-diagram op de uitwerkbijlage de
maximale snelheid van de stoel. Noteer je antwoord in twee
significante cijfers.
- Teken in de figuur op de uitwerkbijlage het bijbehorende
$(v, t)$-diagram.

Dan bedenkt Jasper dat er in het ruimtestation wrijving is. Hij past het
model aan door een wrijvingskracht toe te voegen. Hij voegt ook de
formules toe voor de kinetische energie $E_k$, de veerenergie $E_v$ en de
totale energie $E_t$ van het massa-veersysteem. Hierbij is $E_t = E_k + E_v$.

1p 5 Welke formule voor de veerenergie is de juiste?
A $E_v = \frac{1}{2} C(u_L^2 - u_R^2)$
B $E_v = \frac{1}{2} C(u_L^2 + u_R^2)$
C $E_v = \frac{1}{2} C(u_L - u_R)^2$
D $E_v = \frac{1}{2} C(u_L + u_R)^2$

Jasper maakt met het aangepaste model grafieken voor de kinetische
energie, de veerenergie en de totale energie als functie van de tijd. Zie
figuur 5.

VW-1023-a-22-2-o 4 / 15 lees verder ►►►

### Pagina 5

figuur 5
$E$ (J)
34
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
$\rightarrow t$ (s)
Legenda
$E_t$
$E_v$
$E_k$
6
1p
Uit figuur 5 blijkt dat de veerenergie niet tot 0 J daalt.
Geef hiervoor de natuurkundige verklaring.
André constateert dat het totale energieverlies per seconde afwisselend
toe- en afneemt, waardoor de grafiek van $E_t$ er nogal hobbelig uitziet. Hij
ziet ook dat $E_k$ het snelst daalt als $E_k$ maximaal is. André vermoedt dat
dit komt doordat in het model voor de wrijvingskracht de formule voor
luchtweerstand is gebruikt. Omdat deze afhankelijk is van de snelheid zal
het energieverlies per seconde het grootst zijn als de snelheid maximaal
is. Om deze hypothese te toetsen past André de modelformule voor de
wrijvingskracht aan zodat de grootte van de wrijvingskracht constant is.
Vervolgens maakt André met het model de grafieken van $E_k$ en $E_t$
opnieuw. Hij verwacht dat de grafiek van $E_t$ nu geen hobbels meer
vertoont.
7
2p
Leg uit of de verwachting van André terecht is.

VW-1023-a-22-2-o
5 / 15

### Pagina 6

ECG in MRI
Het hart pompt het bloed door het lichaam. Dit gebeurt doordat een
elektrische prikkel de hartspier laat samentrekken. Tijdens de
samentrekkingen treedt scheiding op van elektrische lading. Dit kun je
meten en vervolgens zichtbaar maken met een elektrocardiogram (ECG).
In figuur 1 is een ECG weergegeven van een gezonde persoon. Dit ECG
is getekend door een pen die met een snelheid van $25\ \text{mm s}^{-1}$ van links
naar rechts beweegt. Figuur 1 is op ware grootte.

figuur 1
[FIGUUR: Een ECG-grafiek met meerdere duidelijke pieken en dalen, met een tijdschaal onderaan van 25 mm s⁻¹.]

Het hartritme is gedefinieerd als het aantal slagen van het hart per
minuut.
3p 8 Bepaal met behulp van figuur 1 het hartritme van deze persoon. Noteer je
antwoord in twee significante cijfers.

Bij het maken van een ECG in het ziekenhuis worden er vaak drie
elektroden op de huid van de patiënt geplakt: op de rechterarm (A), op de
linkerarm (B) en op het linkerbeen (C). Zie figuur 2. De spanningen die
tussen de elektroden worden gemeten leveren drie verschillende ECG's
op.

figuur 2
[FIGUUR: Drie schematische tekeningen van een mens van voren. In de linker tekening zijn elektroden A op de rechterarm en B op de linkerarm geplaatst, verbonden met een spanningsmeter (V). In de middelste tekening zijn elektroden A op de rechterarm en C op het linkerbeen geplaatst, verbonden met een spanningsmeter (V). In de rechter tekening zijn elektroden B op de linkerarm en C op het linkerbeen geplaatst, verbonden met een spanningsmeter (V).]

VW-1023-a-22-2-o 6/15 lees verder ➢➢➢

### Pagina 7

De spanningsmeters in figuur 2 meten respectievelijk de spanning $U_{AB}$ tussen A en B, de spanning $U_{AC}$ tussen A en C en de spanning $U_{BC}$ tussen B en C. De plus- en minaansluitingen van de spanningsmeters zijn
aangegeven in figuur 2.
Het ECG van figuur 1 is een meting van de spanning tussen A en C. Dit
ECG kan ook verkregen worden door de spanning tussen A en B en de
spanning tussen B en C te meten en deze spanningen voor ieder tijdstip
bij elkaar op te tellen.
2p 9 Leg dit uit met behulp van de spanningswet van Kirchhoff.
Bij mensen die een traag hartritme hebben, wordt vaak een pacemaker
ingebracht. Dit apparaat meet voortdurend het hartritme en kan met kleine
stroomstootjes het ritme bijsturen.
Voor het plaatsen van een pacemaker wordt een dun slangetje, een
katheter, in het hart aangebracht. Om tijdens het inbrengen de katheter te
volgen wordt een CT-scan van de patiënt gemaakt. Tegelijkertijd wordt de
hartfunctie in de gaten gehouden met een ECG.
In plaats van gebruik te maken van een CT-scan zou het voor de patiënt
beter zijn als het inbrengen van de katheter gevolgd zou worden met een
MRI-scan.
1p 10 Geef een natuurkundige reden waarom dit beter is voor de patiënt.
Het maken van een MRI-scan heeft ook nadelen. Het sterke magneetveld
van de MRI-scanner zorgt ervoor dat het ECG van de patiënt er anders
uitziet, zelfs als het hart normaal functioneert.
De verandering komt doordat in het bloed positieve en negatieve ionen
zitten. Door de stroming van het bloed en het uitwendige magneetveld van
de MRI-scanner ontstaat een lorentzkracht op de ionen. Hierdoor treedt in
het bloed ladingsscheiding op waardoor een elektrische spanning ontstaat
die de ECG-meting beïnvloedt. In figuur 3 staat een voorbeeld van de
verandering van een ECG als het magneetveld verandert. Dit is vooral te
zien bij de pijlen.
VW-1023-a-22-2-o 7 / 15 lees verder

### Pagina 8

figuur 3
[FIGUUR: Drie grafieken van de bloeddruk over tijd, elk met een pijl naar beneden. De eerste grafiek heeft een label "3.0 T", de tweede "1.5 T" en de derde "0 T".]
figuur 4
[FIGUUR: Schematische tekening van de borstkas met het hart en de aorta. Pijlen geven de richting van de bloedstroom aan in de aorta. Een magnetisch veld is aangegeven met verticale lijnen en een vector $\vec{B_0}$.]
In figuur 4 is schematisch een doorsnede van de borstkas in zijaanzicht weergegeven. Het bloed verlaat het hart onder andere via het grootste bloedvat in het lichaam, de aorta. De aorta is in figuur 4 overdreven groot weergegeven. Het uitwendige magnetisch veld $\vec{B_0}$ is aangegeven met pijlen die in de figuur van onder naar boven lopen. De horizontale pijlen $\vec{v}$ in de aorta geven de stroomsnelheid van het bloed aan. In het bovenste deel van de aorta staan de stromingsrichting van het bloed en de richting van het magneetveld loodrecht op elkaar. Figuur 4 staat ook op de uitwerkbijlage.
3p 11 Voer de volgende opdrachten uit:
- Geef in de cirkel in de figuur op de uitwerkbijlage de richting aan van de lorentzkracht op de positieve ionen.
- Leg uit dat er in de aorta ladingsscheiding optreedt.
- Leg hiermee uit op welke spanning ($U_{AB}$, $U_{BC}$ of $U_{AC}$) de invloed van deze ladingsscheiding het grootst is.
VW-1023-a-22-2-o 8 / 15 lees verder ►►►

### Pagina 9

Samira en Fatima willen controleren of de verandering in het ECG verklaard kan worden door de ladingsscheiding in de aorta als gevolg van het magneetveld in de MRI-scanner. Ze leiden een formule af voor de spanning die ontstaat als gevolg van deze ladingsscheiding:

$U_{\text{ls}} = v \cdot B_0 \cdot d$ (1)

Hierin is:
- $U_{\text{ls}}$ de spanning in de aorta als gevolg van de ladingsscheiding in V
- $v$ de stroomsnelheid van het bloed in ms$^{-1}$
- $B_0$ de sterkte van het magneetveld in de MRI-scanner in T
- $d$ de gemiddelde afstand tussen de positieve en negatieve lading in m

Samira en Fatima zien dat op een bepaald moment bij een magnetische veldsterkte van $3,0$ T de toename van de spanning in het ECG $1$ mV is ten opzichte van de situatie bij $0$ T. Ze vinden in een informatieboek dat er op dat moment tijdens een hartslag per seconde $600$ mL bloed door de aorta stroomt en dat de diameter van de aorta $3$ cm is. Ze leiden af dat voor de stroomsnelheid in het bloed geldt:

$v = \frac{Q}{A}$ (2)

Hierin is:
- $Q$ de hoeveelheid bloed die per seconde door de aorta stroomt in m$^3$ s$^{-1}$
- $A$ de oppervlakte van de dwarsdoorsnede van de aorta in m$^2$

$4\text{p } 12$ Samira en Fatima realiseren zich dat de bovenstaande verklaring alleen kan kloppen als $d$ kleiner is dan de diameter van de aorta. Leg met behulp van een berekening uit of de verandering van het ECG verklaard zou kunnen worden door ladingsscheiding in de aorta.

VW-1023-a-22-2-o 9 / 15 lees verder ►►►

### Pagina 10

Adelaarsnevel

Een interstellare wolk is een groot
gebied in het heelal, van vele
tientallen lichtjaren in omvang, dat
zeer ijl gas bevat. Dit gas bestaat voor
het grootste deel uit atomair
waterstof.
Onder bepaalde omstandigheden kan
een interstellare wolk zelf licht
uitzenden. De wolk wordt dan een
emissienevel genoemd. Figuur 1 is
een foto van zo'n nevel, de
Adelaarsnevel.
In een emissienevel wordt
voortdurend waterstof geïoniseerd,
waarna de protonen en elektronen
weer recombineren tot atomen. Hierbij wordt zichtbaar licht uitgezonden.
De lijnen van het waterstofspectrum zijn altijd terug te vinden in het
spectrum van een emissienevel. Eén van de waterstoflijnen overheerst in
het zichtbare spectrum, namelijk de lijn met een golflengte van 656,28 nm.
Emissienevels hebben daardoor vaak een karakteristieke rode kleur.

figuur 1
[FIGUUR: Een grijstintenfoto van een nevel, met veel heldere sterren en donkere, zuilvormige structuren.]

5p 13 Voer de volgende opdrachten uit:
— Bereken, uitgaande van de gegeven golflengte, de fotonenergie in eV
van de overheersende waterstoflijn in het spectrum van een
emissienevel. Noteer je antwoord in het juiste aantal significante
cijfers.
— Toon met behulp van de formule voor de energie van het
waterstofatoom aan dat deze lijn hoort bij de overgang tussen de
eerste en de tweede aangeslagen toestand van waterstof.
— Geef aan of het een overgang is van eerste naar tweede aangeslagen
toestand of andersom.

Om van een interstellare wolk een emissienevel te maken moet aan twee
voorwaarden worden voldaan:
1 er moet een ster in de nevel aanwezig zijn,
2 deze ster moet vooral straling uitzenden met frequenties die groter zijn
dan van zichtbaar licht.

2p 14 Leg uit waarom voorwaarde 2 noodzakelijk is.

VW-1023-a-22-2-o
10 / 15
lees verder ► ► ►

### Pagina 11

Het valt Eva en Isa op dat ster HD168076 op dezelfde plek aan de hemel staat als de Adelaarsnevel. Deze ster wordt in de rest van deze opgave ‘de ster’ genoemd.
Eva en Isa willen de hypothese toetsen dat de ster één van de sterren is die van de interstellare wolk een emissienevel maakt.
De planckkromme van de ster is in figuur 2 weergegeven.

figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met op de y-as de intensiteit (W m⁻² per µm) en op de x-as de golflengte λ (µm). De grafiek toont een curve die begint bij nul, stijgt naar een maximum rond 0.1 µm, en daarna weer daalt richting nul bij 1.0 µm.]

2p 15 Leg met behulp van figuur 2 uit dat de ster aan voorwaarde 2 voldoet.
3p 16 Toon met behulp van figuur 2 aan dat de ster een temperatuur van $4 \cdot 10^4$ K heeft.

Op de uitwerkbijlage is een Hertzsprung-Russell diagram weergegeven.
Op de verticale as staat het uitgezonden vermogen ten opzichte van de zon, op een logaritmische schaal. Op de horizontale as staat de temperatuur, aflopend van links naar rechts, eveneens op een logaritmische schaal.
De ster is een ster op de hoofddreeks. Eva en Isa benaderen de hoofddreeks met een lijn. Deze lijn is getekend in de figuur op de uitwerkbijlage. Ze gaan ervan uit dat hoofddreekssterren op deze lijn liggen.

VW-1023-a-22-2-o 11 / 15 lees verder ► ► ►

### Pagina 12

5p 17 Voer de volgende opdrachten uit:
- Toon met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage aan dat het uitgestraald vermogen van de ster gelijk is aan $2 \cdot 10^{32} \text{ W}$.
- Bereken hiermee de straal van de ster.
Eva en Isa gebruiken een optische telescoop om de stralingsintensiteit van de ster te bepalen die op aarde wordt ontvangen. De telescoop detecteert 60% van de stralingsintensiteit in het golflengtegebied van 400 tot 800 nm.
Eva en Isa meten met deze telescoop een stralingsintensiteit van $4,7 \cdot 10^{-11} \text{ W m}^{-2}$ in dit golflengtegebied.
Uit hun meting bepalen ze met behulp van figuur 2 dat de totale ontvangen stralingsintensiteit op aarde van de ster $3,4 \cdot 10^{-9} \text{ W m}^{-2}$ is.
[FIGUUR: Een grafiek met op de y-as stralingsintensiteit en op de x-as golflengte. De grafiek toont een curve die piekt bij ongeveer 500 nm en loopt van 0 tot 800 nm.]
Figuur 2 staat vergroot op de uitwerkbijlage. Het gebied onder de grafiek tussen 400 nm en 800 nm is gearceerd. De oppervlakte van dit gebied is gelijk aan 0,2 hokje.
4p 18 Voer de bepaling van Eva en Isa uit en toon aan dat de uitkomst inderdaad tussen $3 \cdot 10^{-9} \text{ W m}^{-2}$ en $4 \cdot 10^{-9} \text{ W m}^{-2}$ ligt.
De Adelaarsnevel bevindt zich op een afstand van $7 \cdot 10^3$ lichtjaar.
3p 19 Toon met behulp van een berekening aan of aan voorwaarde 1 kan zijn voldaan.
VW-1023-a-22-2-o 12 / 15 lees verder ►►►

### Pagina 13

LEO-satelliet

Low Earth Orbit (LEO) satellieten worden gebruikt voor onderzoek aan het broeikaseffect. Deze satellieten draaien betrekkelijk laag boven het aardoppervlak. Zie figuur 1.

De snelheid van een satelliet kan worden berekend met de formule:
$$ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} (1) $$

Hierin is:
- $v$ de snelheid in m s$^{-1}$
- $G$ de gravitatieconstante in N m$^2$kg$^{-2}$
- $M$ de massa van de aarde in kg
- $r$ de baanstraal van de satelliet in m

De totale energie $E_t$ van een satelliet is de som van de kinetische energie en de gravitatie-energie.
De totale energie van een satelliet kan berekend worden met de formule:
$$ E_t = -\frac{1}{2} G \frac{mM}{r} (2) $$

Hierin is:
- $E_t$ de totale energie van de satelliet in J
- $G$ de gravitatieconstante in N m$^2$kg$^{-2}$
- $m$ de massa van de satelliet in kg
- $M$ de massa van de aarde in kg
- $r$ de baanstraal van de satelliet in m

4p 20 Leid de formules (1) en (2) af met behulp van formules uit het informatieboek.

3p 21 Een bepaalde LEO-satelliet bevindt zich op een hoogte van 425 km. Toon aan dat deze satelliet een snelheid heeft van $7,658$ km s$^{-1}$.

Op deze hoogte is de atmosferische wrijving niet helemaal verwaarloosbaar. De dichtheid van de atmosfeer hangt sterk af van de hoogte $h$ boven het aardoppervlak. Het verloop van de dichtheid tussen $h=400$ km en $h=450$ km is weergegeven in figuur 2.

VW-1023-a-22-2-o
13 / 15
lees verder ► ► ►

Beschikbaar gesteld door Stichting Stud iebegeleding Leiden (SSL).

### Pagina 14

figuur 2
$\rho$ $(10^{-12}$ kg m$^{-3})$
h (km)
4,0
3,8
3,6
3,4
3,2
3,0
2,8
2,6
2,4
2,2
2,0
1,8
1,6
0
400 405 410 415 420 425 430 435 440 445 450
4p 22 De satelliet heeft een $c_w$-waarde van 2,2 en een frontaal oppervlak van
0,385 m$^2$.
Bepaal de energie die deze satelliet elke seconde verliest ten gevolge van
atmosferische wrijving.
De totale energie uit formule (2) is een functie van $r$ en kun je dus ook
noteren als $E_t(r) = -\frac{1}{2}G\frac{Mm}{r}$.
3p 23 Voer de volgende opdrachten uit:
- Geef de afgeleide $\frac{dE_t}{dr}$ door $E_t(r)$ te differentiëren.
- Leg aan de hand van het teken van $\frac{dE_t}{dr}$ uit dat door de wrijving de
hoogte van de LEO-satelliet steeds kleiner wordt.
VW-1023-a-22-2-o
14 / 15
le es verder ►►►

### Pagina 15

Als er niet gecorrigeerd zou worden voor het hoogteverlies door de
wrijving zou de hoogte van de LEO-satelliet afnemen volgens figuur 3.
Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.

figuur 3
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as de hoogte h (km) van 400 tot 450, en op de x-as de tijd t (dag) van 0 tot 60. Een dalende lijn snijdt de grafiek, beginnend bij (0, 450) en eindigend bij (ongeveer 57, 400).]
4p 24 Aan het eind van de levensduur van de satelliet wordt er niet meer
gecorrigeerd voor het hoogteverlies.
Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage het hoogteverlies
per omwenteling om de aarde van de satelliet die zich op een hoogte van
425 km bevindt. Noteer je antwoord in twee significante cijfers.

2p 25 Aan het eind van de levensduur verandert de baansnelheid van de
satelliet.
Leg met behulp van formule (1) uit of deze baansnelheid steeds kleiner of
steeds groter wordt.

Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.
VW-1023-a-22-2-o 15 / 15 einde ■