# Eindexamen Wiskunde VMBO-GL/TL 2022 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/vmbo-gl-tl/wiskunde-vmbo-gl-tl/2022/tijdvak-1

## Vraag 1 – Percentage vleermuizen in Nederland (2 punten)

2p 1 Hoeveel procent van alle verschillende soorten vleermuizen komt in Nederland voor? Schrijf je berekening op. De watervleermuis is een soort die in Nederland voorkomt. De grafiek geeft het verband weer tussen het verwachte aantal watervleermuizen en de tijd in jaren. a 250 200 150 100 50 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 \( \rightarrow t \) De formule die bij deze grafiek hoort, is \( a = -0,5t^2 + 5t + 213 \) Hierin is \( a \) het aantal watervleermuizen en \( t \) de tijd in jaren met \( t = 0 \) op 1 januari 2015.

Wat kun je verwachten: Je berekent welk percentage van het totale aantal vleermuissoorten in Nederland voorkomt.

Wat moet je kennen: De formule voor het berekenen van een percentage: deel : geheel × 100%.

Wat moet je kunnen: Een percentage berekenen op basis van gegeven aantallen.

Waar op letten: Deel het aantal soorten in Nederland door het totale aantal soorten wereldwijd, en vermenigvuldig daarna met 100 om het percentage te krijgen.

Kernbegrippen: procenten berekenen

Veelgemaakte fouten:
- Deelt het totaal (1100) door het deel (15) in plaats van andersom.
- Vergeet de uitkomst met 100 te vermenigvuldigen om een percentage te krijgen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vmbo-gl-tl/wiskunde-vmbo-gl-tl/2022/tijdvak-1/vraag/1

## Vraag 2 – Aantal watervleermuizen berekenen (2 punten)

De watervleermuis is een soort die in Nederland voorkomt. De grafiek geeft het verband weer tussen het verwachte aantal watervleermuizen en de tijd in jaren.
De formule die bij deze grafiek hoort, is a = -0,5t² + 5t + 213
Hierin is a het aantal watervleermuizen en t de tijd in jaren met t = 0 op 1 januari 2015.
2p 2 Hoeveel watervleermuizen waren er op 1 januari 2017 volgens de formule? Schrijf je berekening op.

Wat kun je verwachten: Je berekent het aantal watervleermuizen op een specifiek moment met een gegeven formule.

Wat moet je kennen: De formule a = -0,5t² + 5t + 213 en de betekenis van de variabelen a en t.

Wat moet je kunnen: De juiste waarde voor t bepalen en deze substitueren in een kwadratische formule om a te berekenen.

Waar op letten: Let op dat je de correcte waarde voor t gebruikt, waarbij t=0 op 1 januari 2015 is. Voorkom rekenfouten bij het invullen in de formule.

Kernbegrippen: substitutie, kwadratische functie, variabelen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde waarde voor t gebruiken (bijv. t=1 of t=2017 in plaats van t=2)
- Reken- of invoerfout bij het substitueren in de formule

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vmbo-gl-tl/wiskunde-vmbo-gl-tl/2022/tijdvak-1/vraag/2

## Vraag 3 – Aantal watervleermuizen onder de 100 (3 punten)

3p 3 Ga ervan uit dat het aantal watervleermuizen na 2020 volgens deze formule blijft dalen. → Bereken op 1 januari van welk jaar het aantal watervleermuizen voor het eerst onder de 100 zal zijn. Schrijf je berekening op.

Wat kun je verwachten: Je moet berekenen in welk jaar het aantal watervleermuizen voor het eerst onder de 100 komt, uitgaande van een dalende trend.

Wat moet je kennen: De gegeven formule voor het aantal watervleermuizen en het startjaar t=0 in 2015.

Wat moet je kunnen: Het aantal watervleermuizen berekenen voor verschillende waarden van t en de resultaten interpreteren om het juiste jaartal te vinden.

Waar op letten: Let op het correct optellen van de berekende t-waarde bij het startjaar 2015 om het juiste kalenderjaar te bepalen.

Kernbegrippen: kwadratische functie, inklemmen, dalende grafiek

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd jaartal berekenen door t op te tellen bij een ander startjaar dan 2015.
- De vergelijking gelijkstellen aan 100 en het niet-gehele antwoord verkeerd interpreteren.
- Reken- of invulfouten in de formule.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vmbo-gl-tl/wiskunde-vmbo-gl-tl/2022/tijdvak-1/vraag/3

## Vraag 4 – Exponentiële groei grootoorvleermuizen (3 punten)

3p 4 De grootoorvleermuis is een andere soort die in Nederland voorkomt en juist toeneemt. Op 1 januari 2015 waren er 100 grootoorvleermuizen in Nederland. Dit aantal neemt sindsdien met 6,5% per jaar toe. → Bereken hoeveel grootoorvleermuizen er dan op 1 januari 2027 zullen zijn. Schrijf je berekening op. GT-0153-a-o

Wat kun je verwachten: Je berekent het aantal grootoorvleermuizen na een aantal jaar met een gegeven jaarlijkse procentuele toename.

Wat moet je kennen: De formule voor exponentiële groei en hoe je een groeifactor afleidt van een procentuele toename.

Wat moet je kunnen: Het aantal grootoorvleermuizen berekenen met de formule: Beginaantal × groeifactor^aantal jaren.

Waar op letten: Let op het correct berekenen van het aantal jaren en het omzetten van het groeipercentage naar de juiste groeifactor. Rond het eindantwoord af op hele vleermuizen.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor, procentuele toename

Veelgemaakte fouten:
- Groeifactor verwarren met groeipercentage (rekenen met 6,5 of 0,065 in plaats van 1,065).
- Incorrect aantal jaren berekenen (2027 - 2015 = 12 jaar).
- Lineaire groei toepassen in plaats van exponentiële groei.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vmbo-gl-tl/wiskunde-vmbo-gl-tl/2022/tijdvak-1/vraag/4

## Vraag 5 – Uitzichtpunt piramide El Castillo (3 punten)

In Mexico staat een piramide, genaamd El Castillo. Op de uitwerkbijlage zie je een gedeelte van een kaart. Langs de weg is een uitzichtpunt waar je de piramide goed kunt zien. In punt B staat onderstaand bord om de afstand via de weg tot het uitzichtpunt aan te geven.

[afbeelding van een verkeersbord met een piramide-icoon en de tekst '2 km']

5 Geef op de uitwerkbijlage met de letter C aan waar dit uitzichtpunt kan liggen. Laat met een berekening zien hoe je aan je antwoord komt.

Wat kun je verwachten: Je moet de locatie van een uitzichtpunt op een kaart aangeven door een afstand op schaal te berekenen en te tekenen.

Wat moet je kennen: De schaal van de kaart is 1:50.000 en 1 km = 100.000 cm.

Wat moet je kunnen: De afstand van 2 km omrekenen naar centimeters en vervolgens de afstand op de kaart berekenen met de gegeven schaal.

Waar op letten: Let op het correct omrekenen van kilometers naar centimeters en het correct toepassen van de schaal. Vergeet niet dat er twee mogelijke locaties voor punt C zijn langs de weg.

Kernbegrippen: schaalrekenen, eenheden omrekenen

Veelgemaakte fouten:
- Foutieve omrekening van kilometers naar centimeters.
- Incorrecte toepassing van de kaartschaal (bijv. vermenigvuldigen i.p.v. delen).
- Afstand in een rechte lijn meten in plaats van langs de weg.
- Vergeten dat er twee mogelijke locaties zijn voor punt C.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vmbo-gl-tl/wiskunde-vmbo-gl-tl/2022/tijdvak-1/vraag/5

## Vraag 6 – Tempel in bovenaanzicht tekenen (3 punten)

Hieronder zie je een foto en een tekening van de piramide El Castillo. Het grondvlak is een vierkant (PQRS) met zijden van 54 meter. T ligt recht boven het midden van PQRS. Op een hoogte van 24 meter is de piramide afgeknot en daar bevindt zich een tempel met een vierkant grondvlak met zijden van 15 meter.

15 m
S
54 m
Q
P
T

3p 6 Op de uitwerkbijlage is het begin van het bovenaanzicht van de piramide getekend.
→ Teken de tempel op de juiste plaats in het bovenaanzicht, met de juiste afmetingen. Laat zien hoe je aan je antwoord komt.

Wat kun je verwachten: Je tekent de tempel op de juiste plaats en met de juiste afmetingen in het bovenaanzicht van de piramide.

Wat moet je kennen: De eigenschappen van een bovenaanzicht en schaalrekenen.

Wat moet je kunnen: Het middelpunt van een vierkant bepalen en een vierkant op schaal tekenen.

Waar op letten: Let op de schaal van de tekening en zorg dat de tempel precies in het midden van het grondvlak wordt getekend.

Kernbegrippen: schaaltekenen, bovenaanzicht, meetkunde, piramide

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde schaal gebruiken voor de tempel.
- De tempel niet in het midden van het grondvlak tekenen.
- De afmetingen van de tempel (15m) verwarren met de afmetingen van het grondvlak (54m).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vmbo-gl-tl/wiskunde-vmbo-gl-tl/2022/tijdvak-1/vraag/6

## Vraag 7 – Hoogte piramide berekenen met tangens (4 punten)

We bekijken nu alleen het wiskundige model. Je ziet een tekening van de piramide. M is het midden van grondvlak PQRS met zijden van 54 meter. Hoek N in de driehoek MNT is 51°.

Bereken, zonder te meten, hoeveel meter de hoogte MT is. Schrijf je berekening op.

Wat kun je verwachten: Je berekent de hoogte van een piramide met behulp van goniometrie.

Wat moet je kennen: De tangens-regel in een rechthoekige driehoek: tan(hoek) = overstaande zijde / aanliggende zijde.

Wat moet je kunnen: De lengte van een zijde berekenen met de tangens-regel en de helft van een zijde van een vierkant bepalen.

Waar op letten: Gebruik de juiste goniometrische verhouding (tangens) en bereken de lengte van MN correct als de helft van de zijde van het grondvlak.

Kernbegrippen: goniometrie, tangens, rechthoekige driehoek

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde goniometrische verhouding gebruiken (sinus of cosinus)
- Foutieve berekening van de lengte van MN (bijv. 54 meter gebruiken i.p.v. 27)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vmbo-gl-tl/wiskunde-vmbo-gl-tl/2022/tijdvak-1/vraag/7

## Vraag 8 – Lengte van de trap berekenen met sinus (4 punten)

4p 8 De trap naar de tempel loopt van punt \(N\) tot punt \(L\) en maakt een hoek van \(51^\circ\) met de grond. \(KM = 24\) meter. Zie de tekening hieronder. \(T\) \(K\) \(L\) \(24\) m \(M\) \(51^\circ\) \(N\) \(=\) Bereken, zonder te meten, hoeveel meter de lengte van \(LN\) is. Schrijf je berekening op. GT-0153-a-o

Wat kun je verwachten: Je berekent de lengte van de trap LN met behulp van goniometrie.

Wat moet je kennen: De formule voor de sinus in een rechthoekige driehoek: sin(hoek) = overstaande zijde / schuine zijde.

Wat moet je kunnen: De lengte van een zijde in een rechthoekige driehoek berekenen met de sinus.

Waar op letten: Let goed op dat je de juiste goniometrische verhouding (sinus) gebruikt en de vergelijking correct opstelt.

Kernbegrippen: goniometrie, sinus, rechthoekige driehoek

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde goniometrische verhouding gebruiken (cosinus of tangens)
- Vergelijking incorrect opstellen (bijv. schuine en overstaande zijde verwisselen)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vmbo-gl-tl/wiskunde-vmbo-gl-tl/2022/tijdvak-1/vraag/8

## Vraag 9 – Steilheid van hellingen berekenen (5 punten)

naam helling | starthoogte | eindhoogte | horizontale afstand
---|---|---|---
Pietracolora | 275 m | 805 m | 8700 m
Plan del Falco | 548 m | 1352 m | 16300 m

5p 9 Bereken welke van deze twee hellingen gemiddeld het steilst is. Schrijf je berekening op.

Wat kun je verwachten: Je berekent de steilheid van twee hellingen en vergelijkt deze.

Wat moet je kennen: De formule voor het hellingsgetal: hoogteverschil : horizontale afstand, of de tangens van de hellingshoek.

Wat moet je kunnen: De steilheid van twee hellingen berekenen en de resultaten vergelijken om de steilste helling te bepalen.

Waar op letten: Let op dat je het hoogteverschil deelt door de horizontale afstand en niet andersom, en trek de juiste conclusie uit je berekeningen.

Kernbegrippen: hellingsgetal, steilheid, hellingshoek, tangens

Veelgemaakte fouten:
- Horizontale afstand verwarren met de werkelijke afstand op de helling.
- Foutieve berekening van het hoogteverschil.
- Horizontale afstand delen door hoogteverschil in plaats van andersom.
- De verkeerde conclusie trekken ondanks correcte berekeningen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vmbo-gl-tl/wiskunde-vmbo-gl-tl/2022/tijdvak-1/vraag/9

## Vraag 10 – Gemiddelde snelheid berekenen (3 punten)

Een Italiaan heeft deze tiende etappe van 219 km gewonnen in een tijd van 05:44:32 (5 uur, 44 minuten en 32 seconden).
10 Bereken in km/uur de gemiddelde snelheid van de winnende Italiaan tijdens deze tiende etappe. Schrijf je berekening op.

Wat kun je verwachten: Je berekent de gemiddelde snelheid van een wielrenner in km/uur.

Wat moet je kennen: De formule voor gemiddelde snelheid: snelheid = afstand : tijd.

Wat moet je kunnen: De totale tijd omrekenen naar uren en vervolgens de gemiddelde snelheid berekenen.

Waar op letten: Let op het correct omrekenen van de tijd (uren, minuten, seconden) naar één tijdseenheid (uren of seconden) voordat je de snelheid berekent.

Kernbegrippen: gemiddelde snelheid, omrekenen tijdseenheden

Veelgemaakte fouten:
- Tijd 05:44:32 incorrect omrekenen naar een decimaal getal, bijvoorbeeld 5,4432 uur.
- Fout bij het omrekenen van seconden naar uren, bijvoorbeeld delen door 60 in plaats van 3600.
- Afstand door tijd delen in plaats van andersom.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vmbo-gl-tl/wiskunde-vmbo-gl-tl/2022/tijdvak-1/vraag/10

## Vraag 11 – Tijdverschil berekenen (2 punten)

2p 11 Het grootste deel van de wielrenners kwam 27 minuten en 33 seconden later dan de winnaar over de finish. → Geef de tijd van het grootste deel van de wielrenners over deze etappe. Schrijf je antwoord als volgt op: uu:mm:ss. GT-0153-a-o u

Wat kun je verwachten: Je moet de finishtijd van een groep wielrenners berekenen, gegeven het tijdsverschil met de winnaar.

Wat moet je kennen: De notatie van tijd in uren, minuten en seconden (uu:mm:ss).

Wat moet je kunnen: Tijden bij elkaar optellen, inclusief het omrekenen van seconden naar minuten en minuten naar uren.

Waar op letten: Let op het correct optellen van de seconden en minuten, en het omzetten naar de volgende tijdseenheid wanneer het totaal 60 of meer is. Zorg dat de eindnotatie exact uu:mm:ss is.

Kernbegrippen: tijdrekenen, tijdnotatie

Veelgemaakte fouten:
- Foutief optellen van tijdseenheden, bijvoorbeeld het niet correct doorrekenen van seconden naar minuten of minuten naar uren.
- Incorrecte notatie van het eindantwoord.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vmbo-gl-tl/wiskunde-vmbo-gl-tl/2022/tijdvak-1/vraag/11

## Vraag 12 – Helling bepalen op basis van afstand (4 punten)

4p 12 De tiende etappe was 219 km lang en had 7 hellingen. Deze hellingen zijn in de tekening genummerd. Onder de tekening staat op hoeveel kilometer vanaf de start de top van de helling ligt. 1 Passo Della Collina 2 Pietracolora 3 4 Ospitaletto Serramazzoni 5 Polinago 6 Plan del Falco 7 0 37,5 75,8 121,3 133,2 164,5 203,0 219,0 Een Belgische wielrenner heeft de tiende etappe niet uitgereden en is op één van de hellingen van zijn fiets gestapt. Hij heeft in totaal 3 uur en 22 minuten gefietst met een gemiddelde snelheid van 9,6 m/s. → Op welke helling is deze wielrenner afgestapt? Schrijf je berekening op. GT-0153-a-o

Wat kun je verwachten: Je berekent de afgelegde afstand en koppelt deze aan een specifieke helling op een kaart.

Wat moet je kennen: De formule afstand = snelheid × tijd en het omrekenen van tijdseenheden en lengte-eenheden.

Wat moet je kunnen: De totale fietstijd omrekenen naar seconden, de afgelegde afstand berekenen in meters en vervolgens omzetten naar kilometers, en de juiste helling identificeren op basis van de berekende afstand.

Waar op letten: Let goed op het omrekenen van uren en minuten naar seconden en van meters naar kilometers. Interpreteer de afstanden onder de tekening als de top van de helling.

Kernbegrippen: snelheid, afstand, tijd, eenheden omrekenen

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het omrekenen van tijd (uren en minuten) naar seconden.
- Vergeten de berekende afstand in meters om te rekenen naar kilometers.
- De afstanden op de horizontale as verkeerd interpreteren als het beginpunt van een helling in plaats van de top.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vmbo-gl-tl/wiskunde-vmbo-gl-tl/2022/tijdvak-1/vraag/12

## Vraag 13 – Oppervlakte cirkels vergelijken (3 punten)

Cirkels

In twee vierkanten met zijden van 8 cm zijn cirkels getekend. In het vierkant van figuur 1 is één cirkel getekend. Bij figuur 2 zijn vier even grote cirkels getekend.

figuur 1
figuur 2

8 cm
8 cm

13 Laat met een berekening zien dat de oppervlakte van de cirkel van figuur 1 even groot is als de oppervlakte van de vier cirkels samen van figuur 2.

Wat kun je verwachten: Je moet aantonen dat de totale oppervlakte van de cirkels in twee figuren gelijk is.

Wat moet je kennen: De formule voor de oppervlakte van een cirkel: oppervlakte = π × straal².

Wat moet je kunnen: De straal van de cirkels bepalen en de oppervlakte berekenen om deze te vergelijken.

Waar op letten: Verwar de straal niet met de diameter en vergeet niet de oppervlakte van de vier kleine cirkels bij elkaar op te tellen.

Kernbegrippen: oppervlakte cirkel, straal, diameter

Veelgemaakte fouten:
- Straal en diameter verwarren (bv. r=8 voor figuur 1, of r=4 voor figuur 2).
- Vergeten de oppervlakte van de kleine cirkel met 4 te vermenigvuldigen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vmbo-gl-tl/wiskunde-vmbo-gl-tl/2022/tijdvak-1/vraag/13

## Vraag 14 – Oppervlakte buiten cirkel kleuren (1 punt)

1p 14 Je ziet op de uitwerkbijlage nogmaals figuur 1 en 2. Bij figuur 2 is een gedeelte buiten de cirkels zwart gekleurd. → Kleur op de uitwerkbijlage in figuur 1 een gedeelte buiten de cirkel dat dezelfde oppervlakte heeft als het zwarte gedeelte van figuur 2. GT-0153-a-o

Wat kun je verwachten: Je moet een gedeelte van een figuur inkleuren dat een specifieke oppervlakte heeft.

Wat moet je kennen: Het concept van oppervlakte en visuele representatie van delen van een figuur.

Wat moet je kunnen: Een gedeelte van een figuur inkleuren dat overeenkomt met een gegeven oppervlakte.

Waar op letten: Kleur niet het hele gebied buiten de cirkel in figuur 1, maar slechts een gedeelte dat qua oppervlakte overeenkomt met het zwarte gedeelte van figuur 2.

Kernbegrippen: oppervlakte, visuele representatie

Veelgemaakte fouten:
- De leerling kleurt het hele gebied buiten de cirkel in figuur 1, in plaats van een gedeelte met dezelfde oppervlakte als het zwarte deel in figuur 2.
- De leerling kleurt een willekeurig deel in, zonder na te denken over de oppervlakte.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vmbo-gl-tl/wiskunde-vmbo-gl-tl/2022/tijdvak-1/vraag/14

## Vraag 15 – Straal van de middelste cirkel berekenen (5 punten)

5p 15 Je ziet vierkant \(ABCD\) met zijden van 16 cm. In dit vierkant zijn vier vierkanten getekend met elk zijden van 8 cm. D G C M H F 16 cm A E B In vierkant \(ABCD\) zijn vijf cirkels getekend. De middelste cirkel heeft punt \(M\) als middelpunt. → Bereken, zonder te meten, hoeveel cm de straal van de middelste cirkel is. Schrijf je berekening op en rond je antwoord af op één decimaal. GT-0153-a-o

Wat kun je verwachten: Je berekent de straal van de middelste cirkel in een vierkant met behulp van de Stelling van Pythagoras.

Wat moet je kennen: Stelling van Pythagoras, straal, diameter, diagonaal, vierkant.

Wat moet je kunnen: De Stelling van Pythagoras toepassen en een straal berekenen.

Waar op letten: Let op het correct toepassen van de Stelling van Pythagoras, het aftrekken van de juiste lengte (diameter in plaats van straal) en het delen door twee om de straal te vinden. Rond pas af op het eindantwoord.

Kernbegrippen: Stelling van Pythagoras, straal, diameter, diagonaal, vierkant

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd toepassen van de stelling van Pythagoras.
- De straal van de grote cirkel (4 cm) aftrekken in plaats van de diameter (8 cm) in de CV-methode.
- Vergeten het resultaat (diameter) te delen door twee om de straal te vinden.
- Te vroeg afronden in de berekening.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vmbo-gl-tl/wiskunde-vmbo-gl-tl/2022/tijdvak-1/vraag/15

## Vraag 16 – Aantal zetten bij 8 schijven (1 punt)

1p 16 Laat met een berekening zien dat met 8 schijven het minimale aantal zetten 255 is.

Wat kun je verwachten: Je moet aantonen dat het minimale aantal zetten 255 is met 8 schijven.

Wat moet je kennen: De formule voor het minimale aantal zetten bij een gegeven aantal schijven.

Wat moet je kunnen: Een waarde invullen in een exponentiële formule en de uitkomst berekenen.

Waar op letten: Voorkom rekenmachinefouten bij het berekenen van de macht.

Kernbegrippen: exponentiële functie, formule invullen

Veelgemaakte fouten:
- Rekenmachinefout bij het berekenen van de macht.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vmbo-gl-tl/wiskunde-vmbo-gl-tl/2022/tijdvak-1/vraag/16

## Vraag 17 – Maximale schijven berekenen (3 punten)

3p 17 Bij het spelen van dit spel is het gelukt om de toren van schijven te verplaatsen in 50 zetten. → Bereken het maximale aantal schijven waarmee dit spel gespeeld kan zijn. Schrijf je berekening op.

Wat kun je verwachten: Je berekent het maximale aantal schijven dat verplaatst kan worden binnen een gegeven aantal zetten.

Wat moet je kennen: De formule voor het aantal zetten bij de Toren van Hanoi is 2^n - 1, waarbij n het aantal schijven is.

Wat moet je kunnen: Je moet de formule toepassen door waarden in te vullen en te controleren of het resultaat binnen de gestelde limiet valt (inklemmen).

Waar op letten: Let op dat het berekende aantal zetten niet meer mag zijn dan de beschikbare 50 zetten. Kies dus de grootste n waarbij het aantal zetten kleiner of gelijk is aan 50.

Kernbegrippen: exponentiële functie, formule toepassen, inklemmen

Veelgemaakte fouten:
- Het antwoord 6 geven, omdat 63 zetten dichter bij 50 ligt dan 31 zetten, zonder te realiseren dat 63 zetten meer is dan de beschikbare 50 zetten.
- Een onjuiste algebraïsche oplossing proberen met logaritmen in plaats van proberen/inklemmen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vmbo-gl-tl/wiskunde-vmbo-gl-tl/2022/tijdvak-1/vraag/17

## Vraag 18 – Toren van Hanoi: berekening van tijd (4 punten)

4p 18 Volgens een legende hielden Indiase priesters zich bezig met het verplaatsen van een toren met 64 gouden schijven. Ga ervan uit dat één zet één seconde duurt. → Bereken hoeveel miljard jaar het verplaatsen van deze toren minimaal duurt. Schrijf je berekening op. GT-0153-a-o

Wat kun je verwachten: Je berekent de minimale tijd in miljarden jaren om een toren met 64 schijven te verplaatsen.

Wat moet je kennen: De formule voor het aantal zetten van de Toren van Hanoi: z = 2^n - 1.

Wat moet je kunnen: Het aantal zetten berekenen, eenheden omrekenen van seconden naar jaren en het antwoord in wetenschappelijke notatie of miljarden jaren weergeven.

Waar op letten: Let op het correct toepassen van de formule (vergeet de -1 niet), het nauwkeurig omrekenen van seconden naar jaren en het correct afronden naar miljarden jaren.

Kernbegrippen: machtsfunctie, exponentiële groei, omrekenen van eenheden, wetenschappelijke notatie

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de -1 in de formule z = 2^n - 1 toe te passen.
- Rekenmachinefout bij het berekenen van 2^64.
- Fout bij het omrekenen van seconden naar jaren (bijvoorbeeld verkeerd aantal dagen, uren, minuten of seconden gebruiken).
- Afrondingsfout, waardoor het eindantwoord niet op 585 miljard uitkomt.
- Het antwoord niet in miljarden jaren geven, maar in jaren.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vmbo-gl-tl/wiskunde-vmbo-gl-tl/2022/tijdvak-1/vraag/18

## Vraag 19 – Hoogte water in regenton (1 punt)

1p 19 Laat met een berekening zien dat de hoogte van het water in de regenton afgerond 1,30 meter is op het moment dat Sven het kraantje opendraait.

Wat kun je verwachten: Je moet de hoogte van het water in een regenton berekenen op een specifiek moment.

Wat moet je kennen: De formule voor de hoogte van het water: h = (40 – 4√t) / 30,8.

Wat moet je kunnen: De waarde t=0 substitueren in de formule en de uitkomst afronden op twee decimalen.

Waar op letten: Let op dat 'het moment dat het kraantje opendraait' betekent dat t=0 in de formule moet worden ingevuld.

Kernbegrippen: formule toepassen, substitutie, rekenvolgorde, afronden

Veelgemaakte fouten:
- Niet herkennen dat 'het moment dat het kraantje opendraait' overeenkomt met t=0.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vmbo-gl-tl/wiskunde-vmbo-gl-tl/2022/tijdvak-1/vraag/19

## Vraag 20 – Grafiek tekenen bij een formule (4 punten)

4p 20 Teken op de uitwerkbijlage de grafiek die bij de formule hoort. Vul eerst de tabel in en rond de getallen in de tabel af op twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je vult een tabel in en tekent de bijbehorende grafiek.

Wat moet je kennen: Het invullen van een formule om een tabel te maken en het tekenen van een grafiek in een coördinatenstelsel.

Wat moet je kunnen: De formule invullen, de getallen afronden, de punten in een assenstelsel plaatsen en een vloeiende lijn tekenen.

Waar op letten: Let op rekenfouten bij het invullen van de formule, het correct afronden op twee decimalen en het tekenen van een vloeiende lijn door de punten.

Kernbegrippen: formule invullen, tabel maken, grafiek tekenen, coördinatenstelsel

Veelgemaakte fouten:
- rekenfouten bij invullen formule
- verkeerd afronden op twee decimalen
- punten verkeerd in assenstelsel plaatsen
- geen vloeiende lijn tekenen maar punten met rechte lijnen verbinden

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vmbo-gl-tl/wiskunde-vmbo-gl-tl/2022/tijdvak-1/vraag/20

## Vraag 21 – Inhoud van een cilinder en gieter vullen (5 punten)

De hoogte van het water in een volle regenton is 1,30 meter. Ga ervan uit dat de regenton cilindervormig is, met een straal van 2 dm. Sven wil een gieter met een inhoud van 14 liter vullen. Hij zet de gieter onder het kraantje van de volle regenton en draait het kraantje open en na precies een halve minuut weer dicht.
→ Is de gieter na deze halve minuut helemaal vol? Leg je antwoord uit met een berekening.

Wat kun je verwachten: Je moet berekenen of een gieter vol is na een bepaalde tijd, gebaseerd op de inhoud van een cilinder.

Wat moet je kennen: De formule voor de inhoud van een cilinder: Inhoud = π × straal² × hoogte. Ook de omrekening van dm³ naar liter.

Wat moet je kunnen: De waterhoogte berekenen met de gegeven formule, het volume van het uitgestroomde water bepalen en dit vergelijken met de inhoud van de gieter.

Waar op letten: Let op het correct omrekenen van eenheden (m naar dm, dm³ naar liter) en het kwadrateren van de straal in de formule. Voorkom afrondingsfouten in tussenstappen.

Kernbegrippen: inhoud cilinder, eenheden omrekenen, formule substitueren

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd omrekenen van meters naar decimeters (factor 10) of kubieke decimeters naar liters (factor 1).
- Vergeten de straal te kwadrateren in de volumeformule.
- Foutief afronden tijdens tussenberekeningen, wat tot een ander eindantwoord kan leiden (hoewel het CV hier coulant is).
- Verkeerd interpreteren van t = halve minuut (t=0,5).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vmbo-gl-tl/wiskunde-vmbo-gl-tl/2022/tijdvak-1/vraag/21

## Vraag 22 – Regenton leegrekenen (4 punten)

Een paar dagen later zit de regenton weer vol met water. Sven zet het kraantje om 13.00 uur open.
→ Bereken hoe laat de regenton volgens de formule helemaal leeg is. Schrijf je berekening op.

Wat kun je verwachten: Je berekent de eindtijd wanneer een regenton leeg is, gegeven een starttijd en een formule.

Wat moet je kennen: De formule die de hoogte van het water in de regenton beschrijft.

Wat moet je kunnen: Een vergelijking oplossen door substitutie en de berekende tijd omrekenen naar uren en minuten.

Waar op letten: Let op de correcte omrekening van minuten naar uren en minuten, en tel de berekende duur op bij de starttijd.

Kernbegrippen: vergelijking oplossen, tijdrekenen, formule substitueren

Veelgemaakte fouten:
- Foutieve omrekening van minuten naar uren en minuten (bijvoorbeeld 100 minuten als 1,67 uur in plaats van 1 uur en 40 minuten).
- Vergeten de berekende tijdsduur op te tellen bij de starttijd van 13:00 uur.
- Algebraïsche fouten bij het oplossen van de vergelijking voor t.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/vmbo-gl-tl/wiskunde-vmbo-gl-tl/2022/tijdvak-1/vraag/22

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen VMBO-GL en TL
2022
tijdvak 1
dinsdag 17 mei
13.30 - 15.30 uur
wiskunde CSE GL en TL

Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.

GT-0153-a-22-1-o

### Pagina 2

OVERZICHT FORMULES:

omtrek cirkel = $\pi \times$ diameter

oppervlakte cirkel = $\pi \times straal^2$

inhoud prisma = oppervlakte grondvlak $\times$ hoogte

inhoud cilinder = oppervlakte grondvlak $\times$ hoogte

inhoud kegel = $\frac{1}{3} \times$ oppervlakte grondvlak $\times$ hoogte

inhoud piramide = $\frac{1}{3} \times$ oppervlakte grondvlak $\times$ hoogte

inhoud bol = $\frac{4}{3} \times \pi \times straal^3$

GT-0153-a-o
2 / 11
lees verder ► ► ►

### Pagina 3

Vleermuis

Op de wereld zijn 1100 verschillende soorten vleermuizen.
In Nederland komen 15 verschillende soorten vleermuizen voor.

2p 1 Hoeveel procent van alle verschillende soorten vleermuizen komt in
Nederland voor? Schrijf je berekening op.

De watervleermuis is een soort die in Nederland voorkomt. De grafiek
geeft het verband weer tussen het verwachte aantal watervleermuizen en
de tijd in jaren.
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as het aantal watervleermuizen (a) oplopend van 0 tot 250, en op de x-as de tijd (t) in jaren oplopend van 0 tot 16. De grafiek toont een curve die begint bij ongeveer 210 op t=0 en langzaam stijgt tot een maximum rond t=4, waarna de curve langzaam daalt tot ongeveer 180 op t=16.]

De formule die bij deze grafiek hoort, is
$$a = -0,5t^2 + 5t + 213$$
Hierin is a het aantal watervleermuizen en t de tijd in jaren met $t = 0$ op
1 januari 2015.

2p 2 Hoeveel watervleermuizen waren er op 1 januari 2017 volgens de
formule? Schrijf je berekening op.

3p 3 Ga ervan uit dat het aantal watervleermuizen na 2020 volgens deze
formule blijft dalen.
→ Bereken op 1 januari van welk jaar het aantal watervleermuizen voor
het eerst onder de 100 zal zijn. Schrijf je berekening op.

3p 4 De grootoorvleermuis is een andere soort die in Nederland voorkomt en
juist toeneemt. Op 1 januari 2015 waren er 100 grootoorvleermuizen in
Nederland. Dit aantal neemt sindsdien met 6,5% per jaar toe.
→ Bereken hoeveel grootoorvleermuizen er dan op 1 januari 2027 zullen
zijn. Schrijf je berekening op.

GT-0153-a-0
3 / 11
lees verder

### Pagina 4

El Castillo
In Mexico staat een piramide, genaamd El Castillo. Op de uitwerkbijlage
zie je een gedeelte van een kaart. Langs de weg is een uitzichtpunt waar
je de piramide goed kunt zien. In punt $B$ staat onderstaand bord om de
afstand via de weg tot het uitzichtpunt aan te geven.
[FIGUUR: Een verkeersbord met een gestileerde afbeelding van een piramide met trap, met daaronder het tekstbord "2 km".]
3p 5 Geef op de uitwerkbijlage met de letter $C$ aan waar dit uitzichtpunt kan
liggen. Laat met een berekening zien hoe je aan je antwoord komt.
Hieronder zie je een foto en een tekening van de piramide El Castillo. Het
grondvlak is een vierkant ($PQRS$) met zijden van $54$ meter. $T$ ligt recht
boven het midden van $PQRS$. Op een hoogte van $24$ meter is de piramide
afgeknot en daar bevindt zich een tempel met een vierkant grondvlak met
zijden van $15$ meter.
[FIGUUR: Foto van de piramide El Castillo met trap aan één zijde. Rechts een perspectieftekening van de piramide met de hoekpunten $P$, $Q$, $R$, $S$ aangegeven op het grondvlak. Op het bovenste vlak van de piramide is een kleinere vierkante tempel getekend met het hoogste punt $T$. De zijde van het grondvlak is met $54$ m aangegeven. De zijde van de tempel is met $15$ m aangegeven.]
3p 6 Op de uitwerkbijlage is het begin van het bovenaanzicht van de piramide
getekend.
→ Teken de tempel op de juiste plaats in het bovenaanzicht, met de
juiste afmetingen. Laat zien hoe je aan je antwoord komt.
GT-0153-a-o
4 / 11
lees verder ►►►

### Pagina 5

We bekijken nu alleen het wiskundige model. Je ziet een tekening van de piramide. M is het midden van grondvlak PQRS met zijden van 54 meter. Hoek N in de driehoek MNT is 51°.

[FIGUUR: Schematische weergave van een piramide met grondvlak PQRS en top T. M is het midden van het grondvlak. Lijnsegment MT is de hoogte van de piramide. Hoek MNT is 51°.]

4p 7 Bereken, zonder te meten, hoeveel meter de hoogte MT is. Schrijf je berekening op.

4p 8 De trap naar de tempel loopt van punt N tot punt L en maakt een hoek van 51° met de grond. KM = 24 meter. Zie de tekening hieronder.

[FIGUUR: Rechthoekige driehoek MNT, waarbij MT de hoogte is, MN de afstand tot het midden van het grondvlak is en TN de hypotenusa. Hoek TNM is 51°. Een tweede figuur toont een rechthoek MKLN met een punt T boven K. MT is 24m, hoek TLN is 51°.]

→ Bereken, zonder te meten, hoeveel meter de lengte van LN is. Schrijf je berekening op.

GT-0153-a-o 5 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 6

Giro d'Italia

De Giro d'Italia is een meerdaagse wielerwedstrijd, waarbij de wielrenners in meerdere etappes een afstand moeten fietsen.

[FIGUUR: Wielrenners in een peloton die over een asfaltweg fietsen.]

De tiende etappe van de Giro d'Italia 2016 was 219 km lang. Tijdens deze etappe moesten de wielrenners verschillende hellingen beklimmen. Van twee hellingen staan gegevens in de tabel.

| naam helling | starthoogte | eindhoogte | horizontale afstand |
|---|---|---|---|
| Pietracolora | 275 m | 805 m | 8700 m |
| Plan del Falco | 548 m | 1352 m | 16 300 m |

5p 9 Bereken welke van deze twee hellingen gemiddeld het steilst is. Schrijf je berekening op.

Een Italiaan heeft deze tiende etappe van 219 km gewonnen in een tijd van 05:44:32 (5 uur, 44 minuten en 32 seconden).

3p 10 Bereken in km/uur de gemiddelde snelheid van de winnende Italiaan tijdens deze tiende etappe. Schrijf je berekening op.

2p 11 Het grootste deel van de wielrenners kwam 27 minuten en 33 seconden later dan de winnaar over de finish.
→ Geef de tijd van het grootste deel van de wielrenners over deze etappe. Schrijf je antwoord als volgt op: uu:mm:ss.

GT-0153-a-o 6 / 11 lees verder ► ► ►

### Pagina 7

4p 12 De tiende etappe was 219 km lang en had 7 hellingen. Deze hellingen zijn in de tekening genummerd. Onder de tekening staat op hoeveel kilometer vanaf de start de top van de helling ligt.
[FIGUUR: Een hoogteprofiel van een wielerwedstrijd met 7 genummerde hellingen. De horizontale as toont de afstand in kilometers vanaf de start, met markeringen op 0, 37.5, 75.8, 121.3, 133.2, 164.5, 203.0 en 219.0. De verticale as vertegenwoordigt de hoogte. Boven de hellingpieken staan de nummers en namen van de hellingen: 1 Passo Della Collina, 2 Pietracolora, 3 Ospitaletto, 4 Serramazzoni, 5 Polínago, 6 Pian del Falco, 7.]
Een Belgische wielrenner heeft de tiende etappe niet uitgereden en is op één van de hellingen van zijn fiets gestapt. Hij heeft in totaal 3 uur en 22 minuten gefietst met een gemiddelde snelheid van 9,6 m/s.
→ Op welke helling is deze wielrenner afgestapt? Schrijf je berekening
op.
GT-0153-a-o 7 / 11 lees verder ► ► ►

### Pagina 8

Cirkels

In twee vierkanten met zijden van 8 cm zijn cirkels getekend. In het
vierkant van figuur 1 is één cirkel getekend. Bij figuur 2 zijn vier even
grote cirkels getekend.

figuur 1
[FIGUUR: Een vierkant met een grote cirkel erin, waarbij de cirkel de zijden van het vierkant raakt. Een pijl wijst naar de rechteronderhoek van het vierkant met de tekst "8 cm".]

figuur 2
[FIGUUR: Een vierkant, opgedeeld in vier kleinere vierkanten. In elk kleiner vierkant is een cirkel getekend die de zijden van het kleinere vierkant raakt. Een pijl wijst naar de rechterzijkant van het vierkant met de tekst "8 cm".]

3p 13 Laat met een berekening zien dat de oppervlakte van de cirkel van
figuur 1 even groot is als de oppervlakte van de vier cirkels samen van
figuur 2.

1p 14 Je ziet op de uitwerkbijlage nogmaals figuur 1 en 2. Bij figuur 2 is een
gedeelte buiten de cirkels zwart gekleurd.
Kleur op de uitwerkbijlage in figuur 1 een gedeelte buiten de cirkel dat
dezelfde oppervlakte heeft als het zwarte gedeelte van figuur 2.

GT-0153-a-o 8 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 9

5p 15 Je ziet vierkant ABCD met zijden van 16 cm. In dit vierkant zijn vier vierkanten getekend met elk zijden van 8 cm.
[FIGUUR: Een vierkant ABCD met daarin vier cirkels die elkaar raken in het midden. Een diagonaal is getekend van A naar C. Er zijn letters D, G, C, F, H, M, E, B die de hoekpunten en middelpunten aanduiden.]
In vierkant ABCD zijn vijf cirkels getekend. De middelste cirkel heeft punt M als middelpunt.
→ Bereken, zonder te meten, hoeveel cm de straal van de middelste cirkel is. Schrijf je berekening op en rond je antwoord af op één decimaal.
GT-0153-a-o 9 / 11 lees verder ► ► ►

### Pagina 10

Torens van Hanoi

De Torens van Hanoi is een spel met een aantal schijven. Het doel van
het spel is om de complete toren van schijven van het eerste stokje te
verplaatsen naar een ander stokje.

[FIGUUR: Een afbeelding van de Torens van Hanoi met een stapel schijven op een stokje en twee lege stokjes ernaast.]

Het spel heeft twee regels. Er mag maar één schijf tegelijk verplaatst
worden. En er mag nooit een grotere schijf op een kleinere schijf
geplaatst worden.

De formule hieronder geeft het minimale aantal zetten (verplaatsingen)
aan, waarmee je de complete toren van schijven kunt verplaatsen.
$z = 2^n - 1$
Hierin is $z$ het minimale aantal zetten en $n$ is het aantal schijven waarmee
het spel gespeeld wordt.

1p 16 Laat met een berekening zien dat met 8 schijven het minimale aantal
zetten 255 is.

3p 17 Bij het spelen van dit spel is het gelukt om de toren van schijven te
verplaatsen in 50	zetten.
$\rightarrow$ Bereken het maximale aantal schijven waarmee dit spel gespeeld kan
zijn. Schrijf je berekening op.

4p 18 Volgens een legende hielden Indiase priesters zich bezig met het
verplaatsen van een toren met 64 gouden schijven. Ga ervan uit dat
één zet één seconde duurt.
$\rightarrow$ Bereken hoeveel miljard jaar het verplaatsen van deze toren minimaal
duurt. Schrijf je berekening op.

GT-0153-a-0
10 / 11
lees verder ►►►

### Pagina 11

Regenton

[FIGUUR: Een regenwaterton staat naast een huis, met een regenpijp die water in de ton leidt. Een kleine gieter staat onder de kraan van de ton.]

De regenton van Sven zit vol met water. Vanaf het moment dat Sven het
kraantje aan de onderkant van de regenton opendraait, loopt het water
eruit. Ga ervan uit dat de hoogte van het water in de regenton daalt
volgens de formule

$$ h = \frac{(40 - 4\sqrt{t})}{30,8} $$

Hierin is $h$ de hoogte van het water in de regenton in meter en $t$ de tijd in
minuten met $t = 0$ op het moment dat Sven het kraantje opendraait.

1p 19 Laat met een berekening zien dat de hoogte van het water in de regenton
afgerond 1,30 meter is op het moment dat Sven het kraantje opendraait.

4p 20 Teken op de uitwerkbijlage de grafiek die bij de formule hoort. Vul eerst
de tabel in en rond de getallen in de tabel af op twee decimalen.

5p 21 De hoogte van het water in een volle regenton is 1,30 meter. Ga ervan uit
dat de regenton cilindervormig is, met een straal van 2 dm. Sven wil een
gieter met een inhoud van 14 liter vullen. Hij zet de gieter onder het
kraantje van de volle regenton en draait het kraantje open en na precies
een halve minuut weer dicht.
→ Is de gieter na deze halve minuut helemaal vol? Leg je antwoord uit
met een berekening.

4p 22 Een paar dagen later zit de regenton weer vol met water. Sven zet het
kraantje om 13.00 uur open.
→ Bereken hoe laat de regenton volgens de formule helemaal leeg is.
Schrijf je berekening op.

GT-0153-a-o 11 / 11 einde ■