# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2025 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2

## Vraag 1 – Opgave 1 (5 punten)

5p 1 Bewijs dit. Verder worden de volgende twee raaklijnen aan de grafiek van f gegeven: * lijn k met vergelijking y = 9x - 41; * lijn l met vergelijking 3x + y = 11. Lijnen k en l snijden elkaar in punt S. De cirkel c heeft middelpunt S en raakt de x-as. Zie de figuur. figuur y f O S c k l x

Wat kun je verwachten: Je moet bewijzen dat de rechter top van de grafiek van f op de x-as ligt. Dit betekent dat je de x-coördinaat van de rechter top moet vinden en vervolgens moet aantonen dat de bijbehorende y-coördinaat gelijk is aan 0.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je de afgeleide van een functie bepaalt (machtsregel). Je moet ook weten dat de afgeleide in een top (extreem) gelijk is aan nul. Verder moet je kwadratische vergelijkingen exact kunnen oplossen, bijvoorbeeld met ontbinden in factoren of de abc-formule.

Wat moet je kunnen: Je kunt de afgeleide f'(x) bepalen van de gegeven functie f(x). Je kunt f'(x) gelijkstellen aan 0 en de resulterende kwadratische vergelijking exact oplossen om de x-coördinaten van de toppen te vinden. Je kunt de juiste x-coördinaat (de grootste, voor de rechter top) kiezen en deze invullen in de oorspronkelijke functie f(x) om de y-coördinaat te berekenen. Tot slot kun je een duidelijke conclusie formuleren op basis van je berekeningen.

Waar op letten: Let goed op rekenfouten bij het differentiëren van f(x). Elke term moet correct worden gedifferentieerd.
Nadat je f'(x) = 0 hebt gesteld, zorg je ervoor dat je de kwadratische vergelijking exact oplost. Gebruik ontbinden in factoren of de abc-formule; decimaal afronden is hier niet toegestaan.
Je vindt twee x-waarden voor de toppen. Lees de vraag goed: je moet de 'rechter top' controleren. Dit is de top met de grootste x-coördinaat.
Nadat je de x-coördinaat van de rechter top hebt gevonden, moet je deze invullen in de OORSPRONKELIJKE functie f(x), niet in f'(x), om de bijbehorende y-coördinaat te vinden.
De conclusie van je bewijs is dat de y-coördinaat van de rechter top 0 is, wat betekent dat deze top op de x-as ligt. Vergeet niet deze conclusie expliciet te vermelden.

Kernbegrippen: differentiëren, extreme waarden, afgeleide gelijkstellen aan nul, kwadratische vergelijkingen oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of slordigheidsfouten bij het differentiëren.
- Fouten bij het oplossen van de kwadratische vergelijking.
- Vergeten de y-coördinaat te berekenen na het vinden van de x-coördinaten van de toppen.
- De verkeerde top (de linker in plaats van de rechter) controleren.
- Vergeten de conclusie te trekken dat de top op de x-as ligt omdat de y-coördinaat 0 is.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/1

## Vraag 2 – Opgave 2 (5 punten)

Verder worden de volgende twee raaklijnen aan de grafiek van f gegeven:
- lijn k met vergelijking y = 9x - 41;
- lijn l met vergelijking 3x + y = 11.
Lijnen k en l snijden elkaar in punt S.
De cirkel c heeft middelpunt S en raakt de x-as.
Zie de figuur.

5p 2 Stel op exacte wijze een vergelijking op van cirkel c.

Wat kun je verwachten: Je moet een vergelijking van een cirkel opstellen. Hiervoor heb je het middelpunt en de straal nodig. Het middelpunt is het snijpunt van twee gegeven lijnen, en de straal leid je af uit het feit dat de cirkel de x-as raakt.

Wat moet je kennen: Je moet de standaardvergelijking van een cirkel kennen: (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, waarbij (a, b) het middelpunt is en r de straal. Je moet ook weten hoe je het snijpunt van twee lijnen algebraïsch bepaalt.

Wat moet je kunnen: Je moet de vergelijkingen van de twee lijnen aan elkaar gelijk kunnen stellen om het snijpunt S te vinden. Vervolgens moet je de coördinaten van S gebruiken om de straal van de cirkel te bepalen, rekening houdend met het raakpunt met de x-as. Tot slot vul je deze waarden in de algemene cirkelvergelijking in.

Waar op letten: Zorg ervoor dat je de vergelijking van lijn l (3x + y = 11) correct omschrijft naar de vorm y = ... voordat je deze gelijkstelt aan de vergelijking van lijn k.
Wees nauwkeurig bij het oplossen van het stelsel vergelijkingen om de x- en y-coördinaat van snijpunt S te vinden. Een kleine rekenfout hier heeft direct gevolgen voor de rest van de opgave.
De cirkel raakt de x-as. Dit betekent dat de straal van de cirkel gelijk is aan de absolute waarde van de y-coördinaat van het middelpunt S. Let op het teken van de y-coördinaat!
Bij het invullen van de coördinaten van het middelpunt (a, b) in de cirkelvergelijking (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, moet je goed op de mintekens letten. Als de y-coördinaat van S bijvoorbeeld negatief is, wordt het (y - (-b))^2 = (y + b)^2.
De vraag vraagt om een 'exacte wijze' en een 'exacte vergelijking'. Dit betekent dat je geen decimalen mag afronden, tenzij dit onvermijdelijk is (wat hier niet het geval is).

Kernbegrippen: snijpunt van lijnen, vergelijking van een cirkel, raaklijn aan as

Veelgemaakte fouten:
- rekenfout bij oplossen stelsel
- vergelijking lijn l verkeerd omschrijven
- fout in cirkelvergelijking (tekens, kwadraat)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/2

## Vraag 3 – Opgave 3 (4 punten)

4p 3 Sloep 2 heeft de afstand van 17,3 km afgelegd in een tijd van 1 uur, 53 minuten en 58 seconden. Onderzoek welk van de twee sloepen de wedstrijd heeft gewonnen. Stel dat een van de acht roeiers in sloep 1 niet mee roeit maar alleen stuurt en dat voor de overige zeven roeiers het gemiddelde geleverde vermogen P per roeier 73,1 watt blijft. Volgens de formules zou dan de gemiddelde snelheid van deze sloep - met nu dus zeven roeiers - lager zijn dan de 2,62 m/s in de tabel.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een realistische situatie moet analyseren met behulp van gegeven formules en data. Je moet verschillende stappen doorlopen: tijd omrekenen, snelheid berekenen, en vervolgens twee andere waarden (W en P) berekenen om een conclusie te trekken over de winnaar van de wedstrijd. Dit is een typische toepassingsvraag waarbij je nauwkeurig moet werken met getallen en formules.

Wat moet je kennen: Je moet de basisbeginselen van het omrekenen van tijdseenheden kennen (uren naar minuten, minuten naar seconden). Je moet ook weten hoe je formules met meerdere variabelen en machten correct invult en uitrekent. Daarnaast moet je de context van de vraag begrijpen om de juiste conclusie te kunnen trekken.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om gegevens uit een tabel te halen en deze correct te gebruiken in formules. Je moet nauwkeurig kunnen rekenen met decimalen en machten, bij voorkeur met je rekenmachine. Je moet ook logisch kunnen redeneren om de resultaten van je berekeningen te interpreteren en een gefundeerde conclusie te trekken over welke sloep de wedstrijd heeft gewonnen.

Waar op letten: Je moet de tijdseenheden correct omrekenen naar seconden voordat je verder rekent. Let op de conversie van uren en minuten naar seconden.
Je moet de juiste formules gebruiken die in de opgave of bijlagen zijn gegeven. Controleer goed welke variabele waar hoort.
Je moet de waarden voor A en B uit de tabel correct aflezen en invullen voor sloep 2.
Je moet zorgvuldig rekenen met machten (v^2 en v^3).
Je moet niet te vroeg afronden. Gebruik voldoende decimalen in je tussenberekeningen om een nauwkeurig eindresultaat te krijgen.

Kernbegrippen: formules met variabelen, eenheden omrekenen, rekenen met machten, vergelijken van waarden

Veelgemaakte fouten:
- Fouten bij het omrekenen van tijd naar seconden.
- Verkeerd invullen van de formules.
- Voortijdig afronden van tussenantwoorden, wat kan leiden tot een onnauwkeurig eindresultaat.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/3

## Vraag 4 – Opgave 4 (3 punten)

Stel dat een van de acht roeiers in sloep 1 niet mee roeit maar alleen stuurt en dat voor de overige zeven roeiers het gemiddelde geleverde vermogen P per roeier 73,1 watt blijft. Volgens de formules zou dan de gemiddelde snelheid van deze sloep - met nu dus zeven roeiers - lager zijn dan de 2,62 m/s in de tabel.
Bereken de gemiddelde snelheid van sloep 1 in m/s in deze situatie. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een situatiebeschrijving met daarin een aanpassing van een eerder gegeven model. Je moet de nieuwe situatie vertalen naar een vergelijking en deze oplossen met je grafische rekenmachine (GR).

Wat moet je kennen: Je moet de algemene formule voor het vermogen per roeier kennen of kunnen afleiden uit de context (deze is vaak gegeven in de opgave of in een eerdere vraag). Je moet weten welke variabelen in de formule staan en wat ze betekenen.

Wat moet je kunnen: Je moet de juiste waarden uit de vraagtekst halen en correct invullen in de formule. Je moet de vergelijking die hieruit ontstaat, kunnen oplossen met je GR. Vergeet niet de stappen die je op de GR uitvoert te beschrijven, zoals 'voer Y1 = ... en Y2 = ... in en gebruik intersect'. Tot slot moet je het antwoord correct afronden op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Lees goed welke waarden veranderen ten opzichte van de eerdere situatie. Hier verandert het aantal roeiers (n).
Zorg ervoor dat je de formule correct opstelt met de nieuwe waarden. Let goed op de plaats van de variabelen en constanten.
Omdat de vergelijking complex is, los je deze op met je GR. Beschrijf duidelijk welke functies je invoert (Y1 en Y2) en welke GR-functie je gebruikt (bijvoorbeeld 'intersect').
Controleer of je de juiste variabele oplost (in dit geval 'v' voor snelheid).
Rond je eindantwoord af op het gevraagde aantal decimalen (hier: twee decimalen).

Kernbegrippen: Vergelijking opstellen, Vergelijking oplossen met de grafische rekenmachine, Werken met formules

Veelgemaakte fouten:
- Incorrecte waarden invullen in de formule (bijvoorbeeld n=8 i.p.v. n=7)
- Afrondingsfout
- Vergeten de oplosmethode met de GR te beschrijven

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/4

## Vraag 5 – Opgave 5 (3 punten)

De gemiddelde snelheid v van sloep 1 ligt ook tijdens andere wedstrijden tussen 2 en 3 m/s. Voor de waarde W van sloep 1 geldt:
W = (21,36)/(1-0,05 · v^2) (formule 3)
Met formule 3 kan voor sloep 1 beredeneerd worden dat hoe groter de waarde van v is, hoe groter de waarde van W is.
5 Geef deze redenering. Het geven van een getallenvoorbeeld of een verwijzing naar een grafiek is niet voldoende.

Wat kun je verwachten: Je moet een wiskundige redenering geven waarom de waarde van W toeneemt als v toeneemt, zonder getallen of een grafiek te gebruiken. Dit is een typische 'toon aan' of 'beredeneer' vraag.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van algebra kennen, met name hoe veranderingen in een variabele (v) de uitkomst van een formule (W) beïnvloeden, vooral bij breuken en aftrekkingen.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om stap voor stap de invloed van een variabele op de hele formule te analyseren en dit helder te verwoorden. Je moet logisch kunnen redeneren over de effecten van kwadrateren, vermenigvuldigen met een negatief getal, aftrekken en delen.

Waar op letten: Je moet de redenering stap voor stap opbouwen, beginnend bij de variabele 'v' en eindigend bij 'W'.
Je moet goed letten op de invloed van het minteken in de noemer: als 0,05 * v^2 groter wordt, wat gebeurt er dan met 1 - 0,05 * v^2?
Je moet expliciet benoemen wat er gebeurt als de noemer van een breuk kleiner wordt (terwijl de teller positief blijft).
Je mag geen getallenvoorbeeld geven of verwijzen naar een grafiek; je redenering moet puur algebraïsch zijn.
Je moet de gegeven context (v tussen 2 en 3 m/s) gebruiken om te bevestigen dat de noemer positief blijft, wat cruciaal is voor de redenering over de breuk.

Kernbegrippen: Monotonie van functies, Effect van algebraïsche operaties, Redeneren met formules, Inverse relatie bij deling

Veelgemaakte fouten:
- Gebruik van een getallenvoorbeeld in plaats van een redenering
- Incorrect redeneren over de invloed van het minteken in de noemer
- Vergeten dat delen door een kleiner positief getal een grotere uitkomst geeft

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/5

## Vraag 6 – Opgave 6 (3 punten)

3p 6 Bereken exact mogelijke waarden van p en q. Op de grafiek van f ligt het punt B zodanig dat B de rechterbovenhoek is van een vierkant waarvan twee zijden samenvallen met de assen. De oorsprong O(0,0) is de linkeronderhoek van dit vierkant. Zie de figuur. figuur y f B x

Wat kun je verwachten: Je krijgt een exponentiële functie en een beschrijving van een punt op de grafiek dat deel uitmaakt van een vierkant. Je moet de coördinaten van dit punt exact berekenen door een exponentiële vergelijking op te lossen met behulp van logaritmen en hun rekenregels.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van exponentiële functies kennen, hoe je een exponentiële vergelijking omzet naar een logaritmische vergelijking, en alle rekenregels voor logaritmen. Ook moet je weten hoe je machten met een negatieve exponent of een breuk als grondtal correct manipuleert.

Wat moet je kunnen: Je moet een exponentiële vergelijking algebraïsch kunnen oplossen. Je moet de rekenregels voor logaritmen vloeiend kunnen toepassen om uitdrukkingen te vereenvoudigen en om te zetten naar de gevraagde vorm ^p log(q). Je moet ook in staat zijn om de informatie over het vierkant te vertalen naar een wiskundige vergelijking.

Waar op letten: Let goed op de definitie van het punt B: omdat het de rechterbovenhoek is van een vierkant waarvan twee zijden samenvallen met de assen en O(0,0) de linkeronderhoek is, geldt dat de x-coördinaat en de y-coördinaat van B gelijk zijn. Dit is cruciaal voor het opstellen van de vergelijking.
Zorg ervoor dat je de rekenregels voor machten correct toepast, vooral bij termen zoals (a/b)^(x-2). Denk aan (a/b)^(x-2) = (a/b)^x * (a/b)^(-2).
Bij het omzetten van een exponentiële vergelijking naar een logaritmische vergelijking, let goed op het grondtal van de logaritme. Als je bijvoorbeeld (1/3)^x = 4 hebt, dan is x = ^(1/3)log(4).
Wees nauwkeurig met de rekenregels voor logaritmen. Als je een constante term (zoals '2') wilt combineren met een logaritme, moet je deze constante eerst omzetten naar een logaritme met hetzelfde grondtal. Bijvoorbeeld, 2 = ^(1/3)log((1/3)^2).
Het antwoord moet exact zijn. Dit betekent dat je geen decimalen mag gebruiken en dat je de logaritme in de uiteindelijke vorm ^p log(q) moet schrijven, waarbij p en q exacte waarden zijn.

Kernbegrippen: exponentiële functies, logaritmen, rekenregels voor logaritmen, algebraïsch oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd toepassen van rekenregels voor machten, bijvoorbeeld (a/b)^(x-y) ≠ (a/b)^x - (a/b)^y.
- Verkeerd toepassen van rekenregels voor logaritmen, zoals het omzetten van een exponentiële vergelijking naar een logaritmische vergelijking of het veranderen van het grondtal.
- Een rekenfout bij het combineren van termen, zoals 2 omzetten naar ^(1/3)log((1/3)^2).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/6

## Vraag 7 – Opgave 7 (4 punten)

Op de grafiek van f ligt het punt B zodanig dat B de rechterbovenhoek is van een vierkant waarvan twee zijden samenvallen met de assen. De oorsprong O(0,0) is de linkeronderhoek van dit vierkant. Zie de figuur.

Bereken de oppervlakte van het vierkant. Geef je eindantwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je moet een verband leggen tussen de eigenschappen van het vierkant en de functie f. Je stelt een vergelijking op die je vervolgens met je grafische rekenmachine oplost. Uiteindelijk bereken je de oppervlakte van het vierkant.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van een vierkant kennen, met name dat alle zijden gelijk zijn. Je moet ook weten hoe je een vergelijking opstelt als een punt op een grafiek ligt en aan bepaalde voorwaarden voldoet. Daarnaast moet je de functie f kunnen invoeren in je grafische rekenmachine en snijpunten kunnen vinden.

Wat moet je kunnen: Je kunt de coördinaten van punt B uitdrukken in één variabele, omdat het een hoekpunt van een vierkant is waarvan twee zijden op de assen liggen en de oorsprong de linkeronderhoek is. Je kunt de vergelijking f(x) = x opstellen en deze oplossen met je grafische rekenmachine. Je kunt de gevonden x-waarde gebruiken om de oppervlakte van het vierkant te berekenen en correct afronden op één decimaal.

Waar op letten: Let goed op de eigenschappen van een vierkant: als de oorsprong O(0,0) de linkeronderhoek is en twee zijden langs de assen liggen, wat betekent dat dan voor de coördinaten van punt B(x,y)?
De vraagtekst geeft aan dat punt B op de grafiek van f ligt. Hoe vertaal je dit naar een vergelijking die je kunt oplossen?
Zorg ervoor dat je de functie f correct invoert in je grafische rekenmachine. Een kleine fout kan leiden tot een verkeerd antwoord.
Vergeet niet dat de vraag de oppervlakte van het vierkant vraagt, niet alleen de x-coördinaat van punt B. Hoe bereken je de oppervlakte van een vierkant als je de zijdelengte weet?
Rond je eindantwoord pas op het allerlaatste moment af op één decimaal, zoals gevraagd in de opgave. Gebruik tussendoor de volledige waarde die je grafische rekenmachine geeft.

Kernbegrippen: exponentiële functies, vergelijking oplossen met GR, meetkundige interpretatie van functies, oppervlakte van een vierkant

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten dat voor een vierkant met een hoekpunt op de oorsprong en zijden langs de assen geldt dat y = x voor het tegenoverliggende hoekpunt.
- Foutief invoeren van de functie in de GR.
- Vergeten het eindantwoord te kwadrateren om de oppervlakte te vinden.
- Afrondingsfout in het eindantwoord.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/7

## Vraag 8 – Opgave 8 (3 punten)

De grafiek van f ontstaat door op de standaardgrafiek met formule y = 3^x de volgende twee transformaties toe te passen:
– eerst een horizontale verschuiving 2 naar links;
– dan een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met -1.
Bewijs dat de grafiek van f inderdaad ontstaat door op deze standaardgrafiek de twee genoemde transformaties toe te passen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over functietransformaties. Je moet laten zien dat een reeks transformaties op een standaardgrafiek leidt tot een specifiek functievoorschrift. Dit vereist dat je de regels voor transformaties correct toepast en vervolgens de resulterende functie algebraïsch herleidt met behulp van de rekenregels voor machten.

Wat moet je kennen: Je moet de basisregels voor functietransformaties kennen: hoe een horizontale verschuiving (naar links of rechts) en een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as (of x-as) het functievoorschrift beïnvloeden. Daarnaast moet je de rekenregels voor machten goed beheersen, zoals a^(-n) = (1/a)^n en (a^m)^n = a^(m*n).

Wat moet je kunnen: Je kunt de transformaties stap voor stap toepassen op het functievoorschrift. Je kunt vervolgens het verkregen functievoorschrift algebraïsch manipuleren met behulp van de rekenregels voor machten om aan te tonen dat het gelijk is aan het gegeven functievoorschrift. Je moet nauwkeurig zijn met tekens en haakjes, vooral in de exponenten.

Waar op letten: Let goed op de volgorde van de transformaties. Eerst de verschuiving, dan de vermenigvuldiging.
Een horizontale verschuiving 2 naar links betekent dat je 'x' vervangt door 'x+2'.
Een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met -1 betekent dat je 'x' vervangt door '-x'.
Wees nauwkeurig met de rekenregels voor machten. Vooral bij het herleiden van 3^(-x+2) naar een vorm met (1/3) en (x-2) in de exponent.
Zorg ervoor dat je elke stap duidelijk opschrijft en motiveert, zodat je bewijs goed te volgen is.

Kernbegrippen: functietransformaties, horizontale verschuiving, vermenigvuldiging t.o.v. y-as, rekenregels voor machten

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen een verschuiving naar links (x vervangen door x+c) en naar rechts (x vervangen door x-c).
- Verwarring tussen vermenigvuldiging t.o.v. de y-as (x vervangen door -x) en t.o.v. de x-as (y vervangen door -y).
- Fouten bij het algebraïsch herleiden van machten, met name het correct buiten haakjes halen van een minteken in de exponent: 3^(-x+2) = 3^-(x-2).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/8

## Vraag 9 – Opgave 9 (6 punten)

6p 9 Toon dit op algebraïsche wijze aan. De grafiek van f snijdt de x-as in het punt D. De lijn l gaat door de punten C en D en de lijn m raakt de grafiek van f in D. Zie figuur 2. figuur 2 [Hier hoort een afbeelding van figuur 2] De hoek tussen l en m is net geen 90^°.

Wat kun je verwachten: Je moet aantonen dat de afstand van punt A tot C gelijk is aan de afstand van punt B tot C. Dit doe je door eerst de coördinaten van de punten A en B algebraïsch te bepalen en vervolgens de afstanden AC en BC te berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je het randpunt van een wortelfunctie bepaalt, hoe je het snijpunt met de y-as vindt, en hoe je de afstand tussen twee punten in een coördinatenstelsel berekent met de stelling van Pythagoras.

Wat moet je kunnen: Je moet algebraïsch vergelijkingen kunnen oplossen om de coördinaten van de punten A en B te vinden. Je moet de afstandsformule (gebaseerd op Pythagoras) correct kunnen toepassen, ook met negatieve coördinaten. Je moet nauwkeurig kunnen rekenen om aan te tonen dat de afstanden gelijk zijn.

Waar op letten: Let goed op het bepalen van het randpunt A: de uitdrukking onder de wortel moet gelijk zijn aan nul. Dit geeft je de x-coördinaat. De y-coördinaat vind je door deze x-waarde in f(x) in te vullen.
Voor punt B, het snijpunt met de y-as, geldt dat x = 0. Vul x = 0 in de functie f(x) in om de y-coördinaat van B te vinden.
Gebruik de stelling van Pythagoras om de afstanden AC en BC te berekenen. De afstand tussen twee punten (x1, y1) en (x2, y2) is sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2).
Wees zorgvuldig met de tekens (+/-) bij het invullen van de coördinaten in de afstandsformule, vooral als er negatieve coördinaten zijn.
Je moet de berekeningen exact uitvoeren en niet afronden totdat je de uiteindelijke afstanden hebt berekend. Het is een bewijsvraag, dus de gelijkheid moet exact worden aangetoond.

Kernbegrippen: wortelfunctie, randpunt, coördinaten berekenen, afstand tussen twee punten, algebraïsch aantonen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd berekenen van de coördinaten van het randpunt A.
- Fout bij het invullen van de afstandsformule (Pythagoras), met name met de negatieve coördinaten.
- Reken- of tekenfout bij het berekenen van de afstanden AC en BC.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/9

## Vraag 10 – Opgave 10 (8 punten)

De grafiek van f snijdt de x-as in het punt D.
De lijn l gaat door de punten C en D en de lijn m raakt de grafiek van f in D. Zie figuur 2.
De hoek tussen l en m is net geen 90°.
Bereken op algebraïsche wijze de scherpe hoek in graden tussen l en m. Geef je eindantwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je moet de coördinaten van een snijpunt met de x-as bepalen, de richtingscoëfficiënt van een lijn door twee punten berekenen, de afgeleide van een wortelfunctie vinden en deze gebruiken om de richtingscoëfficiënt van een raaklijn te bepalen. Daarna bereken je de hoek tussen twee lijnen met behulp van goniometrie.

Wat moet je kennen: Je moet de kettingregel voor differentiëren kennen, de relatie tussen de afgeleide en de richtingscoëfficiënt van een raaklijn, en hoe je de hoek van een lijn met de x-as berekent met behulp van de tangens. Ook moet je weten hoe je de scherpe hoek tussen twee lijnen bepaalt.

Wat moet je kunnen: Je moet algebraïsch een vergelijking kunnen oplossen om het snijpunt met de x-as te vinden. Je moet de afgeleide van een functie met een wortel kunnen bepalen met de kettingregel. Je moet de richtingscoëfficiënt van een lijn door twee gegeven punten kunnen berekenen. Ten slotte moet je de arctangens functie correct kunnen gebruiken om hoeken te vinden en de scherpe hoek tussen twee lijnen kunnen bepalen.

Waar op letten: Let goed op het domein van de functie f(x) = -16 + sqrt(32x + 576). De uitdrukking onder de wortel mag niet negatief zijn.
Bij het differentiëren van sqrt(32x + 576) moet je de kettingregel toepassen. Denk aan de afgeleide van sqrt(u) en de afgeleide van u.
De richtingscoëfficiënt van een lijn door twee punten (x1, y1) en (x2, y2) is (y2 - y1) / (x2 - x1). Zorg dat je de juiste punten gebruikt voor lijn l.
De hoek die een lijn maakt met de positieve x-as is gerelateerd aan de richtingscoëfficiënt via tan(hoek) = richtingscoëfficiënt. Gebruik de arctan-functie om de hoek te vinden.
Je moet de scherpe hoek tussen de lijnen berekenen. Als je een stompe hoek krijgt, trek deze dan af van 180 graden. Zorg ervoor dat je rekenmachine in graden staat voor de arctan-berekening en het eindantwoord in één decimaal geeft.

Kernbegrippen: differentiëren, raaklijn, richtingscoëfficiënt, hoek tussen twee lijnen, snijpunt met de x-as, kettingregel

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de kettingregel toe te passen bij het differentiëren van de wortelfunctie.
- Verwarring tussen de scherpe en stompe hoek tussen de lijnen.
- Reken- of afrondingsfouten bij het berekenen van de hoeken met de arctangens.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/10

## Vraag 11 – Opgave 11 (5 punten)

5p 11 Bepaal mogelijke waarden van p, q, r en s. Geef de waarde van q in vier decimalen en de waarden van p, r en s als geheel getal. Zonnepanelen worden ten opzichte van de grond onder een bepaalde hellingshoek h geplaatst. Zie de foto. foto (image showing solar panels tilted at an angle h)

Wat kun je verwachten: Je moet de parameters p, q, r en s van een sinusoïde bepalen aan de hand van een gegeven grafiek en formule. Dit is een typische vraag waarbij je de eigenschappen van een sinusoïde (amplitude, evenwichtsstand, periode, faseverschuiving) moet koppelen aan de grafiek en de algemene formule.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een sinusoïde kennen: y = A sin(B(x-C)) + D of vergelijkbaar. Je moet weten hoe de parameters p, q, r en s in de formule E = p * sin(q * (t - r)) + s gerelateerd zijn aan de amplitude, evenwichtsstand, periode en het beginpunt van de sinusoïde. Je moet ook weten hoe je de periode omrekent naar de parameter q (of B).

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig een grafiek kunnen aflezen om het maximum, minimum en een beginpunt te bepalen. Je moet de evenwichtsstand en amplitude kunnen berekenen uit het maximum en minimum. Je moet de parameter q kunnen berekenen met behulp van de periode. Je moet het beginpunt (r) kunnen bepalen door te kijken waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat. Tot slot moet je de waarden correct afronden zoals gevraagd.

Waar op letten: Lees het maximum en minimum van de grafiek zo nauwkeurig mogelijk af. Gebruik de schaalverdeling op de E-as.
Bereken de evenwichtsstand (s) als het gemiddelde van het maximum en minimum. De amplitude (p) is het verschil tussen het maximum en de evenwichtsstand (of de helft van het verschil tussen max en min).
De periode is gegeven als 365 dagen. Gebruik de formule voor de periode van een sinusoïde (Periode = (2π)/q) om q te berekenen. Let op dat je 2π gebruikt en niet 360 graden, aangezien de formule in radialen werkt.
De parameter r is de t-waarde van het eerste punt waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat. Lees dit punt zorgvuldig af op de grafiek.
Rond de waarde van q af op vier decimalen en de waarden van p, r en s als gehele getallen, zoals expliciet gevraagd in de vraagtekst.

Kernbegrippen: sinusoïde, amplitude, evenwichtsstand, periode, beginpunt, grafiek aflezen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aflezen van maximum/minimum/beginpunt uit de grafiek.
- Verwarring tussen amplitude (p) en evenwichtsstand (s).
- Foutieve berekening van q uit de periode (vergeten van 2π).
- Afrondingsfout bij q.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/11

## Vraag 12 – Opgave 12 (3 punten)

Om een verband te vinden tussen deze hellingshoek h en de hoeveelheid ontvangen energie, heeft een onderzoeker tien dezelfde zonnepanelen naast elkaar geplaatst, elk onder een verschillende hoek h. Vervolgens heeft hij gemeten hoeveel energie elk zonnepaneel een jaar lang ontvangen heeft. Deze hoeveelheid per zonnepaneel heeft hij vergeleken met de hoeveelheid bij het zonnepaneel met h = 0. De resultaten van zijn onderzoek zijn weergegeven in figuur 2.
In figuur 2 is af te lezen dat bij een hellingshoek van 30 graden de zogenaamde 'tiltfactor' 1,11 is. Dit betekent dat het zonnepaneel met h = 30 in een jaar tijd 11 procent meer energie heeft ontvangen dan het zonnepaneel met h = 0.
Het zonnepaneel met h = 90 heeft de minste energie ontvangen.
Bereken met behulp van figuur 2 hoeveel procent minder energie dit zonnepaneel heeft ontvangen ten opzichte van de optimale situatie met h = 30. Geef je eindantwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je informatie uit een grafiek moet aflezen en vervolgens een procentuele verandering moet berekenen. Dit is een veelvoorkomende combinatie van vaardigheden in HAVO Wiskunde B.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een grafiek nauwkeurig afleest. Ook moet je de formule voor procentuele verandering kennen en kunnen toepassen. Je moet begrijpen wat 'ten opzichte van' betekent in de context van procentuele berekeningen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de juiste waarden aflezen van de horizontale en verticale as van een grafiek. Je kunt de formule voor procentuele verandering correct toepassen: (nieuw - oud) / oud * 100% of (verschil) / oud * 100%. Je kunt je eindantwoord correct afronden op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Lees de waarde voor de tiltfactor bij h = 90 graden zo nauwkeurig mogelijk af uit figuur 2. Gebruik hiervoor eventueel een liniaal.
De vraag vraagt om een vergelijking 'ten opzichte van de optimale situatie met h = 30'. Dit betekent dat de tiltfactor bij h = 30 de 'oude' of referentiewaarde is in je procentuele berekening, en dus in de noemer van de breuk komt.
Zorg ervoor dat je de juiste formule voor procentuele verandering toepast. Het gaat hier om een afname, dus je berekent het verschil tussen de optimale situatie en de situatie bij h=90, gedeeld door de optimale situatie.
Rond je eindantwoord pas aan het einde af op één decimaal, zoals gevraagd in de vraagstelling.

Kernbegrippen: aflezen van een grafiek, procentuele verandering

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aflezen van de grafiek.
- Verkeerde waarde als basis voor de procentuele berekening gebruiken (delen door 0,76 in plaats van 1,11).
- Afrondingsfouten.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/12

## Vraag 13 – Opgave 13 (5 punten)

Het verband tussen de tiltfactor T en de hellingshoek h in graden kan voor hellingshoeken tussen 0 en 50 graden benaderd worden door een formule van de vorm:
T = a ⋅ h² + b ⋅ h + 1
Hierin zijn a en b constanten. (formule 2)
We nemen aan dat de grafiek die bij formule 2 hoort de top (30; 1,11) heeft. Op basis van alleen deze top liggen de waarden van a en b in formule 2 vast. (Verder lezen we dus geen punten af.)
Bereken op algebraïsche wijze deze waarden van a en b. Geef je eindantwoorden in vier decimalen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een kwadratische formule met onbekende constanten a en b. Je krijgt informatie over de top van de bijbehorende grafiek. Je moet deze constanten algebraïsch berekenen en afronden op vier decimalen.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een kwadratische functie kennen (T = ah² + bh + c) en de relatie met de top van de parabool. Je moet weten dat de afgeleide van een functie nul is bij een top (maximum of minimum). Je moet ook de afgeleide van een machtsfunctie kunnen bepalen.

Wat moet je kunnen: Je moet een stelsel van vergelijkingen kunnen opstellen en algebraïsch kunnen oplossen. Je kunt de afgeleide van T = ah² + bh + 1 bepalen. Je kunt de coördinaten van de top gebruiken om vergelijkingen op te stellen. Je kunt ook de topvorm van een parabool (T = a(h-h_top)² + T_top) gebruiken en deze omzetten naar de gegeven vorm.

Waar op letten: Let goed op de gegeven formule T = a ⋅ h² + b ⋅ h + 1. Wat betekent de '1' in deze formule voor het punt waar h=0?
Je kunt de top (30; 1,11) op twee manieren gebruiken: ofwel door de afgeleide van T gelijk te stellen aan nul bij h=30, ofwel door de topvorm van een parabool te gebruiken.
Als je de afgeleide gebruikt, zorg er dan voor dat je de afgeleide van T = ah² + bh + 1 correct bepaalt met betrekking tot h.
Stel een stelsel van twee vergelijkingen op met a en b als onbekenden. Los dit stelsel vervolgens algebraïsch op.
Rond je eindantwoorden voor a en b af op vier decimalen, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: kwadratische functies, top van een parabool, algebraïsch oplossen, afgeleide functie

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of afrondingsfouten.
- Verkeerd opstellen van de vergelijkingen op basis van de gegeven top.
- Vergeten dat het punt (0, 1) ook gebruikt moet worden, wat volgt uit de formule T = a·h² + b·h + 1.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/13

## Vraag 14 – Opgave 14 (7 punten)

7p 14 Zijde AC is de enige zijde waarvan de lengte onbekend is. Bereken op algebraïsche wijze de lengte van deze zijde AC. Geef je eindantwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een meetkundige vraag waarbij je de lengte van een zijde in een driehoek moet berekenen. Je zult waarschijnlijk de cosinusregel of sinusregel moeten toepassen, mogelijk in combinatie met het oplossen van een kwadratische vergelijking.

Wat moet je kennen: Je moet de cosinusregel en de sinusregel perfect kennen. Ook moet je weten wat overstaande hoeken zijn en dat deze gelijk zijn. Verder moet je de abc-formule kennen voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen.

Wat moet je kunnen: Je moet de cosinusregel correct kunnen toepassen om een onbekende hoek of zijde te berekenen. Je moet overstaande hoeken kunnen herkennen en gebruiken. Je moet een kwadratische vergelijking kunnen opstellen en algebraïsch kunnen oplossen met de abc-formule. Je moet ook de sinusregel kunnen toepassen als alternatieve methode. Vergeet niet om je eindantwoord correct af te ronden op één decimaal.

Waar op letten: Let goed op de overstaande hoeken: ∠ACB en ∠DCE zijn gelijk. Dit is cruciaal voor het verband tussen de twee driehoeken.
Pas de cosinusregel zorgvuldig toe in driehoek CDE om de cosinus van ∠DCE te vinden. Controleer je rekenwerk en tekens.
Gebruik de exacte waarde van cos(∠DCE) (of een voldoende aantal decimalen) in de volgende stap om afrondingsfouten te voorkomen. Rond pas aan het einde af.
Als je de cosinusregel in driehoek ABC toepast, krijg je een kwadratische vergelijking. Los deze algebraïsch op met de abc-formule. Let op dat een zijdelengte altijd positief moet zijn.
Als je kiest voor de sinusregel, bereken dan eerst de hoek ∠DCE in graden (of radialen) en gebruik deze om andere hoeken te vinden. Ook hier geldt: gebruik voldoende decimalen voor tussenresultaten.

Kernbegrippen: cosinusregel, overstaande hoeken, kwadratische vergelijking oplossen, sinusregel

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten dat overstaande hoeken gelijk zijn (∠ACB = ∠DCE)
- Reken- of tekenfout bij het toepassen van de cosinusregel
- Fout bij het oplossen van de kwadratische vergelijking, bijvoorbeeld de negatieve oplossing kiezen
- Te vroeg afronden van tussenresultaten, zoals de hoek of de cosinuswaarde.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/14

## Vraag 15 – Opgave 15 (5 punten)

5p 15 Bereken exact de x-coördinaat van A. De grafiek van f valt samen met de bovenste helft van een cirkel met middelpunt M(2,0) en straal 2. In figuur 2 is de grafiek van f nogmaals weergegeven, maar nu met daarop een ander punt, punt B. Bovendien is hierin het gebied onder de grafiek van f én boven lijnstuk OB grijs gemaakt. Verder geldt α = \angle OMB. figuur 2 y f O 2 M α 2 B x Voor de oppervlakte S van het grijze gebied geldt: S = 2α - 2\sin(α) met α in radialen De positie van punt B is zo gekozen dat oppervlakte S de helft is van de oppervlakte van de halve cirkel.

Waar op letten: Je moet de coördinaten van punt A uitdrukken in de variabele 'a' (de x-coördinaat van A).
Je gebruikt de gegeven informatie over de helling van lijnstuk OA om een vergelijking op te stellen. De helling van een lijn door de oorsprong en een punt (x,y) is y/x.
Je lost de wortelvergelijking algebraïsch op. Dit doe je door beide kanten te kwadrateren. Let goed op dat je alle termen correct kwadrateert.
Na het kwadrateren krijg je een kwadratische vergelijking. Je herleidt deze naar de vorm Ax^2 + Bx + C = 0 en lost deze op. Vergeet niet dat kwadrateren soms 'valse' oplossingen introduceert; je moet je oplossingen controleren in de oorspronkelijke vergelijking.
Je controleert of de gevonden x-coördinaat binnen het domein van de functie f valt (0 <= x <= 4) en of deze voldoet aan de oorspronkelijke vergelijking.

Kernbegrippen: Helling van een lijnstuk, Wortelvergelijking oplossen, Kwadratische vergelijking oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Fouten bij kwadrateren
- Onterecht delen door een variabele
- Niet controleren van oplossingen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/15

## Vraag 16 – Opgave 16 (5 punten)

De grafiek van f valt samen met de bovenste helft van een cirkel met middelpunt M(2,0) en straal 2. In figuur 2 is de grafiek van f nogmaals weergegeven, maar nu met daarop een ander punt, punt B. Bovendien is hierin het gebied onder de grafiek van f én boven lijnstuk OB grijs gemaakt. Verder geldt α = ∠OMB.
Voor de oppervlakte S van het grijze gebied geldt: S = 2α - 2sin(α) met α in radialen
De positie van punt B is zo gekozen dat oppervlakte S de helft is van de oppervlakte van de halve cirkel.
Bereken hoek α in graden. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je een gegeven formule voor een oppervlakte moet gebruiken. Je moet deze formule gelijkstellen aan een andere berekende oppervlakte en de resulterende vergelijking oplossen met je grafische rekenmachine. Uiteindelijk moet je de gevonden hoek omrekenen naar graden.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor de oppervlakte van een cirkel kennen. Je moet ook weten hoe je een vergelijking oplost met je grafische rekenmachine (GR) en hoe je radialen omrekent naar graden.

Wat moet je kunnen: Je moet de oppervlakte van een halve cirkel kunnen berekenen. Je moet de gegeven formule voor S kunnen gelijkstellen aan de helft van deze oppervlakte. Je moet de vergelijking 2α - 2sin(α) = π kunnen oplossen met de GR. Je moet de gevonden waarde van α (in radialen) kunnen omrekenen naar graden en afronden op een geheel getal.

Waar op letten: Bereken eerst de oppervlakte van de hele cirkel en daarna de oppervlakte van de halve cirkel. Let op de straal van de cirkel.
Stel de gegeven formule voor S gelijk aan de helft van de oppervlakte van de halve cirkel. Dit levert een vergelijking op die je met je GR moet oplossen.
Zorg ervoor dat je GR is ingesteld op RADIALEN wanneer je de vergelijking oplost met de 'intersect' of 'solver' functie, omdat de formule voor S α in radialen vereist.
De vraag vraagt om hoek α in GRADEN. Vergeet niet je antwoord om te rekenen van radialen naar graden. Gebruik hiervoor de omrekenfactor (180/π).
Rond je eindantwoord af op een geheel getal, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: Oppervlakte cirkel, Vergelijking oplossen met GR, Radialen en graden

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten om te rekenen van radialen naar graden
- Verkeerde instelling op rekenmachine (graden i.p.v. radialen bij oplossen vergelijking)
- Foutieve berekening oppervlakte halve cirkel

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2025/tijdvak-2/vraag/16

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2025
tijdvak 2
donderdag 19 juni
13.30 - 16.30 uur
wis
kunde B
Dit examen bestaat uit 16 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 74 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1025-a-25-2-o

### Pagina 2

Ga verder op de volgende pagina.


H A - 1 0 2 5 - a - 2 5 - 2 - o

2/11
lees verder

### Pagina 3

Raken aan de x-as
De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 16$.
De grafiek van $f$ heeft twee toppen.
De rechter top ligt op de x-as.
5p 1 Bewijs dit.
Verder worden de volgende twee raaklijnen aan de grafiek van $f$ gegeven:
– lijn $k$ met vergelijking $y=9x-41$;
– lijn $l$ met vergelijking $3x+y=11$.
Lijnen $k$ en $l$ snijden elkaar in punt $S$.
De cirkel $c$ heeft middelpunt $S$ en raakt de x-as.
Zie de figuur.
figuur
y
S
C
k
O
x
5p 2 Stel op exacte wijze een vergelijking op van cirkel $c$.
HA-1025-a-25-2-o
3/11
lees verder ► ► ►

### Pagina 4

Sloeproeiien

foto

Bij een wedstrijd sloeproeiien wordt er
geroeid in houten sloepen. Zie de foto.

Bij zo'n wedstrijd kunnen de vorm en de
grootte van de sloep en het aantal roeiers
per sloep verschillen. Hiermee wordt
rekening gehouden bij het bepalen van de
uitslag van de wedstrijd.

De sloep waarin het gemiddelde geleverde vermogen $P$ per roeier het
grootst is, wint. De waarde van $P$ wordt na afloop van de wedstrijd als
volgt berekend:

- Eerst wordt op basis van de tijd die een sloep nodig had om de
wedstrijdafstand af te leggen de gemiddelde snelheid $v$ van de sloep
berekend.

- Daarna wordt voor de sloep een waarde $W$ berekend die aangeeft hoe
makkelijk of moeilijk de sloep door het water glijdt. De waarde van $W$
is afhankelijk van de vorm van de sloep en de gemiddelde snelheid
van de sloep. Er geldt:

$W = \frac{A}{1-B\cdot v^2}$ (formule 1)
Hierin zijn $A$ en $B$ constanten die afhankelijk zijn van de vorm van de
sloep en is $v$ de gemiddelde snelheid van de sloep in m/s.

- Ten slotte wordt het gemiddelde geleverde vermogen $P$ per roeier in
watt berekend:

$P = \frac{1}{n} \cdot W \cdot v^3$ (formule 2)
Hierin is $n$ het aantal roeiers in de sloep, $W$ de waarde die volgt uit
formule 1 en $v$ de gemiddelde snelheid van de sloep in m/s.

HA-1025-a-25-2-o
4/11
lees verder

### Pagina 5

Bij een wedstrijd hebben de roeiers in sloep 1 en sloep 2 een afstand van
17,3 km geroeid. Na afloop van de wedstrijd wordt voor beide sloepen de
waarde van $P$ berekend. De sloep met de hoogste waarde wint.
Voor sloep 1 is de waarde van $P$ al berekend. Zie de tabel.
tabel
sloop
n
A
B
v (m/s)
P (watt)
1
8
21,36
0,05
2,62
73,1
2
10
23,04
0,08
...
Sloop 2 heeft de afstand van 17,3 km afgelegd in een tijd van
1 uur, 53 minuten en 58 seconden.
Onderzoek welk van de twee sloepen de wedstrijd heeft gewonnen.
Stel dat een van de acht roeiers in sloep 1 niet mee roeit maar alleen
stuurt en dat voor de overige zeven roeiers het gemiddelde geleverde
vermogen $P$ per roeier 73,1 watt blijft. Volgens de formules zou dan de
gemiddelde snelheid van deze sloep - met nu dus zeven roeiers - lager
zijn dan de 2,62 m/s in de tabel.
Bereken de gemiddelde snelheid van sloep 1 in m/s in deze situatie.
Geef je eindantwoord in twee decimalen.
De gemiddelde snelheid $v$ van sloep 1 ligt ook tijdens andere wedstrijden
tussen 2 en 3 m/s. Voor de waarde $W$ van sloep 1 geldt:
$W = \frac{21,36}{1-0,05\cdot v^{2}}$
(formule 3)
Met formule 3 kan voor sloep 1 beredeneerd worden dat hoe groter de
waarde van $v$ is, hoe groter de waarde van $W$ is.
Geef deze redenering. Het geven van een getallenvoorbeeld of een
verwijzing naar een grafiek is niet voldoende.
4p
3
3p
4
3p
5
HA-1025-a-25-2-0
5/11
lees verder

### Pagina 6

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "wiskunde",
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [
    "Grafiek van een exponentiële functie f met de assen en een vierkant met hoekpunt B op de grafiek en de oorsprong O als linkeronderhoek."
  ],
  "keywords": "exponentiële functie, logaritmen, vierkant, oppervlakte, transformaties, grafiek, standaardgrafiek, horizontale verschuiving, vermenigvuldiging"
}
```

### Pagina 7

Een wortelfunctie
De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = -16 + \sqrt{32x+576}$.
De grafiek van $f$ heeft randpunt $A$ en snijdt de $y$-as in het punt $B$.
Verder is gegeven het punt $C(0; -10,75)$. Zie figuur 1.
figuur 1
[FIGUUR: Grafiek van een wortelfunctie met de x- en y-as. De curve begint bij punt A en stijgt naar rechtsboven. Punt B ligt op de y-as, punt C ligt op de negatieve y-as.]
Er geldt: $AC = BC$
6p
9
Toon dit op algebraïsche wijze aan.
De grafiek van $f$ snijdt de $x$-as in het punt $D$. De lijn $l$ gaat door de punten
$C$ en $D$ en de lijn $m$ raakt de grafiek van $f$ in $D$. Zie figuur 2.
figuur 2
[FIGUUR: Grafiek met de x- en y-as. Een curve die op punt D de x-as snijdt. Een lijn $l$ gaat door punt C en D. Een lijn $m$ raakt de curve bij punt D.]
De hoek tussen $l$ en $m$ is net geen $90^{\circ}$.
8p
10
Bereken op algebraïsche wijze de scherpe hoek in graden tussen $l$ en $m$.
Geef je eindantwoord in één decimaal.
HA-1025-a-25-2-o
7/11
lees verder

### Pagina 8

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "Zonnepanelen",
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [
    "Grafiek van energie $E$ (in Wh) uitgezet tegen de tijd $t$ (in dagen) voor zonnepanelen.",
    "Foto van zonnepanelen met een aangegeven hellingshoek $h$ ten opzichte van de grond."
  ],
  "keywords": "Zonnepanelen, energie, dag, hellingshoek, weerstation, grafiek, model, formule, sinus, parameters, periode, decimalen, geheel getal, foto"
}
```

### Pagina 9

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "wisKunde",
    "year": "2025",
    "tijdvak": "1"
  },
  "figures": [
    "Grafiek met de hellingshoek in graden op de x-as en de jaarlijkse tiltfactor T op de y-as. Punten zijn weergegeven met zwarte cirkels."
  ],
  "keywords": "zonnepanelen, hellingshoek, tiltfactor, energieopbrengst, formule, grafiek, algebra, top, procent, decimaal"
}
```

### Pagina 10

Twee driehoeken
Gegeven is driehoek $ABC$ met $AB=6$ en $BC=5$.
Verder is gegeven driehoek $CDE$ met $CD=2$, $DE=3$ en $CE=4$.
Punt $C$ is het snijpunt van lijnstuk $AD$ en lijnstuk $BE$. Zie de figuur.
figuur
[FIGUUR: Een figuur met twee driehoeken ABC en CDE die een punt C gemeenschappelijk hebben. De punten A, C en D liggen op één lijn. De punten B, C en E liggen op een andere lijn. Er zijn zijdelengtes aangegeven: AB=6, BC=5, CD=2, DE=3, CE=4.]
Zijde $AC$ is de enige zijde waarvan de lengte onbekend is.
7p 14 Bereken op algebraïsche wijze de lengte van deze zijde $AC$. Geef je
eindantwoord in één decimaal.
HA-1025-a-25-2-0
10/11
lees verder

### Pagina 11

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": null,
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [
    "Een grafiek met de y-as en x-as. De oorsprong is O. Een curve, de grafiek van de functie f, start bij O en stijgt naar rechtsboven. Een lijnstuk OA is getekend van de oorsprong naar een punt A op de curve. De x-coördinaat van A is a, en de y-coördinaat is de wortel van a(4-a).",
    "Een grafiek met de y-as en x-as. De oorsprong is O. De x-as loopt tot ongeveer 4. Een curve, de grafiek van de functie f, start bij O, stijgt en daalt weer naar x=4. De curve vormt de bovenste helft van een cirkel met middelpunt M(2,0) en straal 2. Een punt B ligt op de curve. Een lijnstuk OB is getekend. Een ander lijnstuk MB is getekend. Een hoek alpha is aangegeven bij M, tussen het negatieve deel van de x-as en het lijnstuk MB. Het gebied onder de curve f en boven OB is grijs gekleurd. De schaal op de x-as is aangegeven met 0, 2, en de cirkel raakt de x-as bij 0 en 4. Er is een schaal op de y-as getekend die tot ongeveer 2 loopt. Er staat een 2 bij het lijnstuk MB."
  ],
  "keywords": "cirkelboog, functie, punt, coördinaten, lijnstuk, helling, oppervlakte, cirkel, middelpunt, straal, hoek"
}
```