# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2025 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2025/tijdvak-1

## Vraag 1 – Opgave 1 (4 punten)

Bereken exact de coördinaten van A en B.

Wat kun je verwachten: Je moet de coördinaten van de snijpunten van een parabool en een lijn bepalen. Dit doe je door de vergelijkingen aan elkaar gelijk te stellen en de resulterende kwadratische vergelijking algebraïsch op te lossen. Vergeet niet om zowel de x- als de y-coördinaten te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je de vergelijking van een parabool en een lijn aan elkaar gelijkstelt. Je moet ook de abc-formule kennen en kunnen toepassen om een kwadratische vergelijking op te lossen. Daarnaast moet je weten hoe je de y-coördinaten berekent als je de x-coördinaten hebt gevonden.

Wat moet je kunnen: Je kunt de twee gegeven functies aan elkaar gelijkstellen om een kwadratische vergelijking te vormen. Je kunt deze kwadratische vergelijking herleiden tot de standaardvorm ax^2 + bx + c = 0. Je kunt vervolgens de abc-formule correct toepassen om de exacte x-waarden van de snijpunten te vinden. Tot slot kun je deze x-waarden invullen in één van de oorspronkelijke vergelijkingen om de bijbehorende y-coördinaten te berekenen en zo de volledige coördinaten van de snijpunten te geven.

Waar op letten: Let goed op de tekens (+/-) bij het herleiden van de vergelijking naar de vorm ax^2 + bx + c = 0.
Zorg ervoor dat je de abc-formule correct toepast, met de juiste waarden voor a, b en c.
Vergeet niet om na het vinden van de x-coördinaten ook de bijbehorende y-coördinaten te berekenen. Dit doe je door de gevonden x-waarden in te vullen in één van de oorspronkelijke functievoorschriften (bijvoorbeeld in de lijnvergelijking, die is vaak eenvoudiger).
Geef je antwoord exact, zoals gevraagd bij algebraïsch oplossen, dus niet afronden.
Controleer je antwoord eventueel door de gevonden punten in de andere oorspronkelijke vergelijking in te vullen, of door een snelle check met de grafiek (liggen de punten op de juiste plek?).

Kernbegrippen: snijpunten van grafieken, kwadratische vergelijking oplossen, abc-formule, ontbinden in factoren

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of overschrijffouten bij het herleiden van de vergelijking.
- Vergeten de y-coördinaten te berekenen na het vinden van de x-coördinaten.
- Het niet exact oplossen van de vergelijking (bijvoorbeeld met de GR) terwijl dit wel gevraagd wordt.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2025/tijdvak-1/vraag/1

## Vraag 2 – Opgave 2 (3 punten)

Het punt P ligt op de grafiek van f. De raaklijn k aan de grafiek van f in het punt P staat loodrecht op lijn l.
Bereken exact de x-coördinaat van P.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een functie f(x) en een lijn l. Je moet de x-coördinaat van een punt P op de grafiek van f vinden, waarbij de raaklijn in P loodrecht staat op lijn l. Dit is een klassieke vraag die differentiëren combineert met kennis over richtingscoëfficiënten van loodrechte lijnen.

Wat moet je kennen: Je moet de basisregels voor differentiëren kennen om de afgeleide van een veeltermfunctie te bepalen. Ook moet je weten hoe je de richtingscoëfficiënt van een lijn afleest uit de formule y = ax + b. Het belangrijkste is dat je de relatie tussen de richtingscoëfficiënten van loodrechte lijnen kent: rc1 * rc2 = -1.

Wat moet je kunnen: Je moet de afgeleide van f(x) kunnen bepalen. Je moet de richtingscoëfficiënt van lijn l kunnen aflezen. Je moet de richtingscoëfficiënt van de raaklijn k kunnen berekenen met behulp van de loodrecht-voorwaarde. Tot slot moet je een lineaire vergelijking algebraïsch kunnen oplossen om de x-coördinaat van P exact te vinden.

Waar op letten: Je bepaalt eerst de afgeleide functie f'(x) van f(x). Dit is de formule voor de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in elk punt.
Je identificeert de richtingscoëfficiënt (rc) van lijn l uit de gegeven formule y = 2x - 1.
Je gebruikt de eigenschap van loodrechte lijnen: als twee lijnen loodrecht op elkaar staan, is het product van hun richtingscoëfficiënten gelijk aan -1. Dus rc_k * rc_l = -1. Hiermee bereken je de richtingscoëfficiënt van raaklijn k.
Je stelt de afgeleide f'(x) gelijk aan de berekende richtingscoëfficiënt van raaklijn k. Dit levert een vergelijking op die je algebraïsch moet oplossen.
Je geeft de x-coördinaat van P exact, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: afgeleide functie, raaklijn, richtingscoëfficiënt, loodrechte lijnen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten dat voor loodrechte lijnen geldt rc1 * rc2 = -1.
- De richtingscoëfficiënt van lijn l gebruiken in plaats van de richtingscoëfficiënt van de loodrechte lijn k.
- Reken- of algebrafouten bij het oplossen van de vergelijking.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2025/tijdvak-1/vraag/2

## Vragen in dit examen

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 18

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2025
tijdvak 1
dinsdag 20 mei
13.30 - 16.30 uur
wis kunde B
Dit examen bestaat uit 18 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 73 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1025-a-25-1-o

### Pagina 2

Een parabool

De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = 2x^2 + 3x - 4$. De lijn $l$ met
vergelijking $y = 2x - 1$ snijdt de grafiek van $f$ in de punten $A$ en $B$.
Zie figuur 1.

figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek met een parabool (grafiek van f) en een lijn (lijn l) die de parabool snijden in de punten A en B. De y-as en x-as zijn ook weergegeven.]

4p
1
Bereken exact de coördinaten van $A$ en $B$.

Het punt $P$ ligt op de grafiek van $f$. De raaklijn $k$ aan de grafiek van $f$ in
het punt $P$ staat loodrecht op lijn $l$.

3p
2
Bereken exact de x-coördinaat van $P$.

De grafiek van $f$ wordt eerst vermenigvuldigd met -1 ten opzichte van de
x-as en daarna vermenigvuldigd met -1 ten opzichte van de y-as.
Zo ontstaat de grafiek van de functie $g$.

3p
3
Onderzoek op exacte wijze of het punt $(-\frac{1}{4}, 3)$ op de grafiek van $g$ ligt.

HA-1025-a-25-1-o
2 / 15
lees verder ►►►

### Pagina 3

Op de grafiek van $f$ liggen twee punten $C$ en $D$ met dezelfde $y$-coördinaat.
De afstand tussen $C$ en $D$ is $2\frac{1}{2}$. Zie figuur 2.
figuur 2
[FIGUUR: Een parabool die opent naar boven, met de top $T$ op de negatieve $y$-as. De $x$-as en $y$-as zijn getekend. Twee punten $C$ en $D$ liggen op de parabool, op gelijke hoogte. Er is een horizontale lijn getekend tussen $C$ en $D$. Boven de lijn $CD$ is een pijltje naar rechts getekend met de tekst $2\frac{1}{2}$.]
Het punt $T$ is de top van de grafiek van $f$.
Bereken exact de afstand van $T$ tot lijnstuk $CD$.
5p 4

### Pagina 4

Water temperatuur
De temperatuur van het zeewater vlak bij het strand ‘Playa de San Juan’
bij het Spaanse Alicante varieert door het jaar heen. Zie de figuur.
Om deze figuur te kunnen maken, is ruim twintig jaar 1) lang op dezelfde
plek dagelijks de watertemperatuur gemeten. Daarna is van elke dag in
het jaar de gemiddelde watertemperatuur berekend. Dit geeft 365 punten
in een assenstelsel. Door deze punten kan bij benadering een sinusoïde
worden getekend. Deze sinusoïde staat in de figuur.
figuur
30-
W (in °C)
25-
20-
15-
10-
0
365
→ t (dagnummer)
Bij de sinusoïde past een formule van de volgende vorm:
W=d+a sin(b(t-c))
(formule 1)
Hierin is W de watertemperatuur in °C en t het dagnummer, met t = 0 op
1 januari.
De minimale watertemperatuur is 14°C en deze wordt op 13 februari
bereikt (t = 43). De maximale watertemperatuur is 26°C en deze wordt op
15 augustus (t = 226) bereikt.
4p 5 Bereken mogelijke waarden van a, b, c en d. Geef a, c en d als gehele
getallen en b in vijf decimalen.
noot 1 We gaan er in deze opgave van uit dat elk jaar 365 dagen heeft.
HA-1025-a-25-1-0
4 / 15
lees verder

### Pagina 5

Iemand beschrijft de temperatuur van het zeewater in het Nederlandse
Bergen aan Zee met de volgende formule:
Z = 12 + 6sin(0,0172(t - 150)) (formule 2)
Hierin is Z de watertemperatuur in °C en t het dagnummer, met t = 0 op
1 januari.
Bij het zwemonderdeel van een triatlon zijn deelnemers verplicht een
wetsuit te dragen als de watertemperatuur lager dan 16°C is.
Stel dat in Bergen aan Zee een triatlon wordt georganiseerd. Je kunt dan
berekenen wat volgens de formule de eerste dag van het jaar is waarop
deelnemers aan deze triatlon bij het zwemonderdeel geen wetsuit meer
hoeve te dragen.
4p 6 Bereken met formule 2 het dagnummer van die dag.
HA-1025-a-25-1-0
5/15
lees verder ►►►

### Pagina 6

Drie punten op een grafiek
De functie $f$ wordt gegeven door:
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{6x-2}}$
De grafiek van $f$ heeft een horizontale asymptoot met vergelijking $y=0$.
Dit kun je beredeneren met behulp van het functievoorschrift van $f$.
Geef deze beredenering. Het geven van een getallenvoorbeeld of een
verwijzing naar een grafiek is niet voldoende.
2p 7
Het punt $P$ ligt op de grafiek van $f$. De $y$-coördinaat van $P$ is 2.
Zie figuur 1.
figuur 1
$y$
$P$
$f$
X
8
Bereken exact de $x$-coördinaat van $P$.
3p
HA-1025-a-25-1-o
6/15
lees verder

### Pagina 7

Het punt $Q(\frac{1}{2}, 1)$ ligt op de grafiek van $f$. De lijn $l$ is de raaklijn aan de
grafiek van $f$ in $Q$. Lijn $l$ snijdt de $x$-as in het punt $A$ en de $y$-as in het
punt $B$. Zie figuur 2.
figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met de x- en y-as. De y-as is een verticale lijn links van de oorsprong. De x-as is een horizontale lijn vanaf de oorsprong naar rechts. Er is een curve getekend die de functie $f$ voorstelt, die in het eerste kwadrant start en naar beneden toe afneemt. De lijn $l$ is een raaklijn aan de curve $f$ op punt $Q$. De lijn $l$ snijdt de y-as op punt $B$ en de x-as op punt $A$. Het gebied tussen de y-as, de x-as en de lijn $l$ is gearceerd.]
7p
9
Bereken exact de oppervlakte van driehoek $OAB$.
Op de grafiek van $f$ ligt één punt $R$ waarvoor geldt dat de $y$-coördinaat
gelijk is aan het kwadraat van de $x$-coördinaat.
3p
10
Bereken de $x$-coördinaat van $R$. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
HA-1025-a-25-1-o
7/15
lees verder ►►►

### Pagina 8

Een cirkel met rakende en snijdende lijnen
De cirkel c heeft vergelijking $(x-4)^2 + (y-4)^2 = 16$.
De lijn j is de verticale lijn door het middelpunt van c.
De lijn k heeft vergelijking $y = -\frac{2}{3}x + 8$.
Het punt S is het snijpunt van lijn k en lijn j.
De lijn l heeft vergelijking $y=8$.
De lijn m gaat door O en S en snijdt lijn l in het punt Q.
Zie figuur 1.
figuur 1
y
O
m
j
c
k
X
De x-coördinaat van Q is 6.
5p 11 Bewijs dat de x-coördinaat van Q inderdaad gelijk is aan 6.
HA-1025-a-25-1-o
8 / 15
lees verder

### Pagina 9

Het punt $P(12,0)$ is het snijpunt van $k$ met de x-as.
De lijn $n$ is de lijn door $P$ en $Q$.
Zie figuur 2.
figuur 2
[FIGUUR: Een assenstelsel met de y-as verticaal en de x-as horizontaal. Een cirkel met middelpunt S en label c is getekend. Lijnen met labels l, j, m en n zijn ook getekend. Punt P op de x-as is deels buiten het plaatje. Punt Q is niet gemarkeerd. Punt O is de oorsprong.]
5p
12
Bewijs dat lijn $n$ cirkel $c$ raakt.

### Pagina 10

De veldleeuwerik
Het aantal veldleeuweriken in Nederland
wordt jaarlijks bijgehouden. In de figuur is
voor elk jaar in de periode 1990-2014 met
een stip het percentage veldleeuweriken
aangeven als percentage van het aantal
in 1990.
Bij 1990 is dus een stip op hoogte 100
getekend. In deze figuur is bijvoorbeeld af
te lezen dat in 2005 het aantal
veldleeuweriken 40% van het aantal
veldleeuweriken in 1990 bedroeg.
figuur
100
percentage t.o.v. aantal in 1990
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
aantal jaar na 1990
25
Het verloop van het percentage veldleeuweriken kan met een
exponentieel verband worden benaderd. In de figuur is de grafiek bij dit
exponentiële verband getekend. Hierbij wordt uitgegaan van een jaarlijkse
afname van het percentage veldleeuweriken met 5%.
Een vogelbeschermer beweert dat volgens dit model in het jaar 2040
minder dan 4% over zal zijn van het aantal veldleeuweriken in 1990.
3p 13 Onderzoek of de uitspraak van de vogelbeschermer juist is.
HA-1025-a-25-1-o
10/15
lees verder ►►►

### Pagina 11

De metingen voor de periode 1990-2014 kunnen ook worden benaderd
met een kwadratisch verband waarvan de grafiek door het punt (0, 100)
gaat. Een formule bij dit verband is dus van de vorm $P = at^2 + bt + 100$.
Hierin is $P$ het percentage veldleeuwen in ten opzichte van 1990 en $t$ het
aantal jaren na 1990.
Andere punten op de grafiek van dit kwadratisch verband zijn
(10 ; 58,66) en (20 ; 36,52). Je kunt hieruit afleiden dat $a = 0,10$ en
$b = -5,09$. Deze twee waarden zijn afgerond, en kunnen nauwkeuriger
worden berekend.
4p
14
Bereken algebraïsch de waarden van $a$ en $b$ in drie decimalen.
HA-1025-a-25-1-o
11 / 15
lees verder

### Pagina 12

Dezelfde y-coördinaat

De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = 8 - 2^{3x^2-6x}$.
Het punt $S$ is het snijpunt van de grafiek van $f$ met de y-as.
Het punt $A$ is een ander punt op de grafiek van $f$ en heeft dezelfde
y-coördinaat als $S$. Zie de figuur.

figuur
y I

S
O
f
A
x

4p
15
Bereken exact de x-coördinaat van $A$.

HA-1025-a-25-1-o
12/15
lees verder

### Pagina 13

Driehoeken
Gegeven is de driehoek ABC met $\angle C = 25^{\circ}$ en $BC = 7$. Het punt D ligt op
zijde BC zó dat $BD = 1$ en $\angle CAD = 90^{\circ}$. Zie de figuur.
figuur
C
25°
A
? D
1
B
6p
16
Bereken $\angle BAD$ in graden. Geef je eindantwoord als een geheel getal.
HA-1025-a-25-1-o
13 / 15
lees verder

### Pagina 14

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "Waterleiding",
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [
    "Afbeelding van vier grote zwarte kunststof buizen liggend op de grond, op een ondergrond van gras en grind."
  ],
  "keywords": "Waterleiding, materiaalsterkte, logaritme, algebraïsch, onderhoudsinspectie, bereken, formule, kunststof, eindexamen"
}
```

### Pagina 15

De wand van een waterleiding moet dik genoeg zijn om tegen de
maximale waterdruk in de waterleiding bestand te zijn.
In de figuur is een dwarsdoorsnede van een cilindervormige waterleiding
weergegeven, waarin aangegeven is wat met buitendiameter,
binnendiameter en wanddikte bedoeld wordt.
figuur
buitendiameter
wanddikte
binnendiameter
De minimale wanddikte van een bepaalde cilindervormige waterleiding
kan berekend worden met de volgende formule:
$w=\frac{P \cdot D}{14+P}$
Hierin is:
– w de minimale wanddikte in mm;
– D de buitendiameter in mm;
– P de maximale waterdruk in N/mm².
Voor deze waterleiding gelden bij een nieuwbouwproject de volgende
ontwerpeisen:
– De maximale waterdruk is 1,75 N/mm².
– De binnendiameter is 312,9 mm.
4p 18 Bereken in dit geval de minimale wanddikte w van de waterleiding in hele
millimeters.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
HA-1025-a-25-1-0
15/15
einde