# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2024 tijdvak 2 > Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2 ## Vraag 1 – Opgave 1 (4 punten) 1 is deze sinusoïde getekend; een deel daarvan is gestippeld. Onder het gestippelde deel is de grafiek getekend volgens de tijdstippen van zonsopkomst volgens de **wintertijd**. De zonsopkomst volgens de wintertijd is 1 uur eerder dan volgens de zomertijd. figuur 1 Zonsopkomst in Sydney tijd (in uren) ↑ 8,5 8- 7,5- 7- zomertijd wintertijd 6,5- 6- 5,5 5,2- 0 1 95 zomertijd 277 341 365 → dagnummer Het laagste punt van de grafiek van de **zomertijd** is (341; 5,62). Dit betekent dus dat de zon op dagnummer 341 volgens de zomertijd het vroegst opkomt. Dat is op tijdstip 5,62 (dus 5 uur en 37 min). Het hoogste punt van het gestippelde deel van de grafiek van de zomertijd bevindt zich op hoogte 8,00. noot 1 In Sidney is het zomer als het in Nederland winter is. De periode waarin de zomertijd wordt gebruikt, is daarom in Sidney anders dan in Nederland. Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het analyseren van grafieken, specifiek over het vinden van extreme waarden (laagste/hoogste punten) en het vergelijken van functies in een context van zonsopkomsttijden. Je moet goed kijken naar de relatie tussen zomertijd en wintertijd. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je de coördinaten van een randpunt van een wortelfunctie bepaalt en hoe je de coördinaten van de top van een parabool vindt. Ook moet je begrijpen hoe je grafieken kunt verschuiven of transformeren op basis van gegeven informatie (zoals het verschil tussen zomer- en wintertijd). Wat moet je kunnen: Je kunt algebraïsch de x-coördinaat van een randpunt bepalen door de uitdrukking onder de wortel gelijk te stellen aan nul. Je kunt de x-coördinaat van de top van een parabool bepalen (bijvoorbeeld met de formule x = -b/(2a) voor een kwadratische functie ax^2 + bx + c). Je kunt de bijbehorende y-coördinaten berekenen en deze vergelijken om een conclusie te trekken. Waar op letten: Lees de vraag goed: er wordt gesproken over de zomertijd en de wintertijd, en een verschil van 1 uur. Zorg dat je de juiste grafiek of functie gebruikt voor je berekeningen. Het laagste punt van de zomertijdgrafiek is gegeven. Dit is een belangrijk referentiepunt. Bedenk wat dit betekent voor de vorm van de sinusoïde. Het hoogste punt van het gestippelde deel van de zomertijdgrafiek is ook gegeven. Dit helpt je om de amplitude of de evenwichtsstand van de sinusoïde te begrijpen. Let op de eenheden: tijd in uren en dagnummer. Zorg dat je consistent bent in je berekeningen. De vraag impliceert dat je mogelijk een verband moet leggen tussen de gegeven punten en de eigenschappen van een sinusoïde (amplitude, evenwichtsstand, periode). Denk na over hoe je deze eigenschappen kunt afleiden uit de laagste en hoogste punten. Kernbegrippen: randpunt van een wortelfunctie, top van een parabool, coördinaten vergelijken Veelgemaakte fouten: - Vergeten de y-coördinaat te berekenen en te vergelijken - De top van de parabool niet exact berekenen (bijv. met GR) terwijl 'exact' is vereist - Verwarring tussen randpunt en top. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/1 ## Vraag 2 – Opgave 2 (5 punten) De lijn k met vergelijking y=4 snijdt de grafiek van g in de punten A en B, waarbij B rechts ligt van A. De lijn k snijdt de grafiek van f in het punt C. Zie de figuur. Bereken exact de afstand BC. Wat kun je verwachten: Je moet de x-coördinaten van de snijpunten B en C berekenen. Dit doe je door de functies f(x) en g(x) gelijk te stellen aan de y-waarde van lijn k. Vervolgens bereken je de afstand tussen deze twee punten. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een wortelvergelijking en een kwadratische vergelijking algebraïsch oplost. Ook moet je begrijpen hoe je de afstand tussen twee punten op een horizontale lijn berekent. Wat moet je kunnen: Je kunt de vergelijking f(x)=4 oplossen om de x-coördinaat van punt C te vinden. Je kunt de vergelijking g(x)=4 oplossen om de x-coördinaten van punten A en B te vinden, en vervolgens de juiste (B) kiezen. Daarna bereken je de afstand tussen de x-coördinaten van B en C. Waar op letten: Let goed op welke functie bij welk punt hoort. Punt C is een snijpunt van f en k, punten A en B zijn snijpunten van g en k. Bij het oplossen van de wortelvergelijking voor f(x), moet je beide kanten kwadrateren. Controleer altijd of de gevonden oplossing binnen het domein van de wortelfunctie valt. Bij het oplossen van de kwadratische vergelijking voor g(x), krijg je twee oplossingen. De figuur geeft aan dat B rechts van A ligt, dus je kiest de grootste x-waarde voor punt B. De afstand tussen twee punten op een horizontale lijn is het absolute verschil van hun x-coördinaten. Zorg ervoor dat je de x-coördinaat van het rechterpunt min de x-coördinaat van het linkerpunt doet om een positieve afstand te krijgen. Alle berekeningen moeten exact zijn, dus laat geen wortels of breuken staan als ze niet verder vereenvoudigd kunnen worden tot gehele getallen. Kernbegrippen: vergelijkingen oplossen, wortelvergelijking, kwadratische vergelijking, snijpunten van grafieken, afstand tussen punten Veelgemaakte fouten: - Vergeten de x-coördinaten van de punten te berekenen en direct de afstand proberen te bepalen. - Reken- of algebrafouten bij het oplossen van de vergelijkingen. - Verwarren van de punten A, B en C. - De afstand berekenen als y_C - y_B in plaats van x_C - x_B, aangezien de punten op dezelfde horizontale lijn liggen. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/2 ## Vraag 3 – Opgave 3 (5 punten) De lijn l raakt de grafiek van f in het punt met x-coördinaat 15. De lijn m met vergelijking 6x+y=-27 raakt de grafiek van g. Bewijs dat l en m loodrecht op elkaar staan. Wat kun je verwachten: Je moet aantonen dat twee lijnen loodrecht op elkaar staan. Dit betekent dat je de richtingscoëfficiënten van beide lijnen moet bepalen en vervolgens moet controleren of hun product -1 is. Wat moet je kennen: Je moet de kettingregel kennen voor het differentiëren van functies zoals f(x) = sqrt(2x+6). Je moet ook weten hoe je de richtingscoëfficiënt van een lijn uit zijn vergelijking haalt (y = ax + b, waarbij 'a' de richtingscoëfficiënt is). Tot slot moet je de voorwaarde kennen voor loodrechte lijnen: het product van hun richtingscoëfficiënten is -1. Wat moet je kunnen: Je moet de afgeleide van f(x) = sqrt(2x+6) kunnen bepalen met behulp van de kettingregel. Je moet de x-coördinaat van het raakpunt (x=15) kunnen invullen in de afgeleide om de richtingscoëfficiënt van lijn l te vinden. Je moet de vergelijking van lijn m (6x+y=-27) kunnen herleiden naar de vorm y = ax + b om de richtingscoëfficiënt te bepalen. Ten slotte moet je de twee richtingscoëfficiënten met elkaar kunnen vermenigvuldigen en de conclusie kunnen trekken over de loodrechte stand. Waar op letten: Let goed op de kettingregel bij het differentiëren van f(x) = sqrt(2x+6). Vergeet niet de afgeleide van de 'binnenkant' (2x+6) te vermenigvuldigen met de afgeleide van de 'buitenkant' (sqrt(u)). Zorg ervoor dat je de vergelijking van lijn m (6x+y=-27) correct herleidt naar de vorm y = ax + b om de richtingscoëfficiënt 'a' te vinden. Let hierbij goed op de tekens. Vul de x-coördinaat 15 correct in de afgeleide van f om de richtingscoëfficiënt van lijn l exact te bepalen. Het bewijs is pas compleet als je expliciet het product van de twee richtingscoëfficiënten berekent en aantoont dat dit -1 is. Kernbegrippen: differentiëren, kettingregel, raaklijn, richtingscoëfficiënt, loodrechte lijnen Veelgemaakte fouten: - Vergeten van de kettingregel bij het differentiëren van de wortelfunctie. - Foutief herleiden van de vergelijking van lijn m naar de vorm y = ax + b om de richtingscoëfficiënt te vinden. - Rekenfout bij het invullen van x=15 in de afgeleide. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/3 ## Vraag 4 – Opgave 4 (4 punten) 4p 4 Door gebruik te maken van de grafiek van de **zomertijd** kunnen mogelijke waarden voor p, q en r worden berekend. Bereken mogelijke waarden voor p, q en r van S(t). Geef je eindantwoorden in twee decimalen. Voor een plaats in Nederland zijn op dezelfde manier als voor Sydney volgens de lokale zomertijd de tijdstippen van zonsopkomst bepaald. Ook zijn de tijdstippen van zonsondergang volgens de zomertijd bepaald. De grafieken waarop de meetpunten liggen, zijn in figuur 2 weergegeven. **figuur 2 Zonsopkomst en zonsondergang in Nederland** tijd (in uren) N P dagnummer Bij de grafiek van de zonsopkomst hoort de formule: P(t) = 7,57 + 2,27\sin((2π)/(365)(t-270,9)), met 1 ≤ t ≤ 365 en bij de grafiek van de zonsondergang hoort de formule: N(t) = 19,78 + 2,33\sin((2π)/(365)(t-74,07)), met 1 ≤ t ≤ 365 Hierin is P het tijdstip van zonsopkomst en N het tijdstip van zonsondergang. Opnieuw is t het dagnummer met t=1 op 1 januari. Voor t kunnen dus alleen gehele waarden worden ingevuld. Voor elke dag kan de tijd tussen zonsopkomst en zonsondergang worden bepaald. De langste dag is de dag waarop deze tijd zo groot mogelijk is. Wat kun je verwachten: Je moet de parameters p, q en r van een sinusoïde bepalen op basis van een gegeven grafiek en context. Dit omvat het aflezen van extremen, het berekenen van de evenwichtsstand en amplitude, en het bepalen van de horizontale verschuiving. Je moet ook rekening houden met een verticale verschuiving door de overgang van zomertijd naar wintertijd. Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een sinusoïde kennen: y = A + B sin(C(x-D)). Je moet weten hoe de parameters A (evenwichtsstand), B (amplitude), C (gerelateerd aan de periode) en D (horizontale verschuiving) de grafiek beïnvloeden. Ook moet je weten hoe je deze parameters uit een grafiek of gegeven extremen kunt afleiden. Wat moet je kunnen: Je kunt de evenwichtsstand berekenen als het gemiddelde van het maximum en minimum. Je kunt de amplitude berekenen als de helft van het verschil tussen het maximum en minimum. Je kunt de periode aflezen of berekenen. Je kunt de horizontale verschuiving bepalen door te kijken naar het eerste punt op de evenwichtsstand waar de grafiek stijgt (voor een sinus) of een maximum/minimum (voor een cosinus). Je kunt een verticale verschuiving toepassen zoals beschreven in de tekst (bijvoorbeeld 1 uur verschil tussen zomertijd en wintertijd). Waar op letten: Let goed op welke grafiek je gebruikt voor welke parameter. De vraag vraagt naar p, q en r van S(t), wat de wintertijd-grafiek is, maar de extremen zijn gegeven voor de zomertijd-grafiek. Vergeet niet de verticale verschuiving van 1 uur toe te passen voor de parameter p, zoals beschreven in de tekst over zomertijd en wintertijd. Zorg ervoor dat je de evenwichtsstand en amplitude correct berekent uit de gegeven maximum- en minimumwaarden van de zomertijdgrafiek. Bij het bepalen van de horizontale verschuiving (r), bedenk dat de sinusfunctie start op de evenwichtsstand en stijgend is. Je moet mogelijk terugrekenen vanaf een minimum of maximum, rekening houdend met de periode. Rond je eindantwoorden af op twee decimalen, zoals expliciet gevraagd in de vraagtekst. Kernbegrippen: sinusoïde, evenwichtsstand, amplitude, periode, horizontale verschuiving, verticale verschuiving Veelgemaakte fouten: - Vergeten de verticale verschuiving van 1 uur toe te passen voor de wintertijdgrafiek (parameter p). - Foutieve berekening van de horizontale verschuiving (parameter r) op basis van het minimum. - Verwarring tussen de parameters van de zomertijd- en wintertijdgrafiek. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/4 ## Vraag 5 – Opgave 5 (4 punten) Voor een plaats in Nederland zijn op dezelfde manier als voor Sydney volgens de lokale zomertijd de tijdstippen van zonsopkomst bepaald. Ook zijn de tijdstippen van zonsondergang volgens de zomertijd bepaald. De grafieken waarop de meetpunten liggen, zijn in figuur 2 weergegeven. figuur 2 Zonsopkomst en zonsondergang in Nederland Bij de grafiek van de zonsopkomst hoort de formule: P(t) = 7,57 + 2,27sin(2π/365(t−270,9)), met 1 ≤ t ≤ 365 en bij de grafiek van de zonsondergang hoort de formule: N(t) = 19,78 + 2,33sin(2π/365(t−74,07)), met 1 ≤ t ≤ 365 Hierin is P het tijdstip van zonsopkomst en N het tijdstip van zonsondergang. Opnieuw is t het dagnummer met t = 1 op 1 januari. Voor t kunnen dus alleen gehele waarden worden ingevuld. Voor elke dag kan de tijd tussen zonsopkomst en zonsondergang worden bepaald. De langste dag is de dag waarop deze tijd zo groot mogelijk is. Bereken de tijd tussen zonsopkomst en zonsondergang op de langste dag. Geef je eindantwoord in een geheel aantal uren en minuten. Wat kun je verwachten: Je krijgt een contextuele vraag over sinusoïden die zonsopkomst en zonsondergang modelleren. Je moet een nieuwe functie definiëren op basis van de gegeven formules en daarvan het maximum bepalen met je GR, rekening houdend met een specifiek domein voor de variabele. Tot slot moet je het resultaat omzetten naar een specifieke eenheid (uren en minuten). Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van sinusoïden kennen, inclusief hoe ze periodieke verschijnselen modelleren. Je moet ook weten hoe je een verschilfunctie opstelt en hoe je de functies en hun grafieken op je GR invoert en analyseert. Daarnaast is kennis van het omrekenen van decimale uren naar uren en minuten essentieel. Wat moet je kunnen: Je moet de formules P(t) en N(t) kunnen gebruiken om een nieuwe functie te definiëren die de lengte van de dag voorstelt. Je moet je GR effectief kunnen gebruiken om deze nieuwe functie in te voeren, het juiste venster in te stellen en het maximum van de functie te bepalen. Je moet ook in staat zijn om het gevonden decimale uur nauwkeurig om te zetten naar een weergave in uren en minuten. Waar op letten: Je moet eerst een nieuwe functie opstellen die de tijd tussen zonsopkomst en zonsondergang beschrijft. Denk goed na hoe je deze functie definieert. Je zoekt de langste dag, wat betekent dat je het maximum van de zojuist opgestelde functie moet vinden. Gebruik hiervoor je grafische rekenmachine (GR). Let goed op de instructie dat 't' alleen gehele waarden kan aannemen (dagnummers). Dit is cruciaal voor het vinden van het juiste maximum. Het antwoord moet in uren en minuten worden gegeven. Vergeet niet hoe je een decimaal deel van een uur correct omrekent naar minuten (bijvoorbeeld 0,75 uur is 45 minuten, niet 75 minuten). Controleer of je niet per ongeluk het maximum van N(t) en het minimum van P(t) van elkaar aftrekt. Dit is een veelvoorkomende valkuil en leidt tot een onjuist antwoord. Kernbegrippen: sinusoïde, verschilfunctie, maximum bepalen met GR, omrekenen decimaal uur naar uren en minuten Veelgemaakte fouten: - Vergeten dat t een geheel getal moet zijn (dagnummer). - Foutief denken dat de langste dag optreedt wanneer de zonsondergang het laatst is en de zonsopkomst het vroegst, en deze twee (onafhankelijke) extrema van elkaar aftrekken, in plaats van het maximum van de verschilfunctie te zoeken. - Verkeerd omrekenen van decimale uren naar uren en minuten (bijv. 16,77 uur is niet 16 uur en 77 minuten). Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/5 ## Vraag 6 – Opgave 6 (7 punten) 7p 6 De raaklijn aan de grafiek van f in P gaat door B. Bewijs dit. Wat kun je verwachten: Je moet bewijzen dat de raaklijn aan de grafiek van f in punt P door punt B gaat. Dit betekent dat je de vergelijking van de raaklijn in P moet opstellen en vervolgens moet aantonen dat punt B op deze lijn ligt. Een alternatieve aanpak is om de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in P te berekenen en te laten zien dat deze gelijk is aan de richtingscoëfficiënt van de lijn door P en B. Wat moet je kennen: Je moet de formule van de functie f(x) kennen, die in de bijlage staat. Je moet weten hoe je een functie differentieert, in het bijzonder een polynoom. Je moet de formule voor de vergelijking van een rechte lijn kennen (y = ax + b of y - y1 = m(x - x1)). Je moet weten hoe je de richtingscoëfficiënt van een lijn tussen twee punten berekent. Wat moet je kunnen: Je moet de coördinaten van punt P kunnen bepalen. Je moet de functie f(x) kunnen uitwerken tot een polynoom. Je moet de afgeleide f'(x) correct kunnen berekenen. Je moet de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in P kunnen vinden door de x-coördinaat van P in f'(x) in te vullen. Je moet de vergelijking van de raaklijn kunnen opstellen. Tot slot moet je algebraïsch kunnen aantonen dat punt B op deze raaklijn ligt, of dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk is aan die van de lijn PB. Waar op letten: Let goed op de coördinaten van punt P. Punt C is het midden van AO, dus je moet de x-coördinaat van C bepalen en deze vervolgens invullen in f(x) om de y-coördinaat van P te vinden. Werk de functie f(x) = (1/4)x(x-2)(x+6) zorgvuldig uit tot een polynoom voordat je gaat differentiëren om rekenfouten te voorkomen. Controleer je differentiatie van f(x) naar f'(x) nauwkeurig. Een fout hierin leidt tot een verkeerde richtingscoëfficiënt van de raaklijn. Bij het opstellen van de vergelijking van de raaklijn (y = ax + b), gebruik je de berekende richtingscoëfficiënt 'a' en de coördinaten van punt P om 'b' te vinden. Als je de tweede methode gebruikt (richtingscoëfficiënt van PB), let dan goed op de tekens bij het berekenen van het verschil in y-coördinaten en x-coördinaten. Kernbegrippen: differentiëren, raaklijn opstellen, coördinaten berekenen, algebraïsch bewijzen Veelgemaakte fouten: - Reken- of tekenfouten bij het uitwerken van de haakjes van f(x). - Fouten bij het differentiëren van de polynoom. - Verkeerd opstellen van de vergelijking van de raaklijn (y - y1 = m(x - x1)). - Verwarring tussen de richtingscoëfficiënt van de raaklijn en de richtingscoëfficiënt van de lijn door P en B in de tweede methode. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/6 ## Vraag 7 – Opgave 7 (6 punten) Bereken de handkracht die Samy nodig heeft om 0,5 seconden sneller te zwemmen dan de snelste tijd van Ian. Geef je eindantwoord als geheel getal. Wat kun je verwachten: Je moet een formule gebruiken die de handkracht (F) relateert aan de oppervlakte (A), de stroomlijnfactor (C) en de snelheid (v). Je krijgt waarden voor Ian en Samy, en je moet de benodigde handkracht voor Samy berekenen om een bepaalde tijdsverbetering te realiseren. Dit betekent dat je meerdere stappen moet doorlopen: eerst de snelheid van Ian berekenen, dan zijn tijd, dan de benodigde tijd en snelheid voor Samy, en tot slot de handkracht voor Samy. Wat moet je kennen: Je moet de relatie tussen afstand, snelheid en tijd kennen (afstand = snelheid * tijd). Je moet ook weten hoe je een vergelijking met een kwadraat oplost en hoe je formules omvormt om een onbekende variabele te isoleren. Daarnaast moet je de betekenis van de variabelen in de gegeven formule begrijpen. Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om: 1) de snelheid van Ian te berekenen met de gegeven formule en zijn specifieke waarden. 2) De zwemtijd van Ian over 100 meter te berekenen. 3) De gewenste zwemtijd van Samy te bepalen (0,5 seconde sneller dan Ian). 4) De benodigde snelheid van Samy te berekenen om die tijd te halen. 5) Deze snelheid van Samy, samen met zijn eigen A- en C-waarden, in de formule in te vullen om de benodigde handkracht te berekenen. 6) Je eindantwoord correct af te ronden op een geheel getal. Waar op letten: Let goed op welke waarden (A, C, F) bij Ian horen en welke bij Samy. Ze zijn niet hetzelfde! Rond tussenantwoorden NIET te vroeg af. Gebruik de volledige getallen uit je rekenmachine of sla ze op in het geheugen van je GR om afrondingsfouten te voorkomen. De vraag vraagt om een eindantwoord als 'geheel getal'. Zorg ervoor dat je de laatste stap correct afrondt. Controleer of je de formule correct omvormt bij het berekenen van de snelheid uit de handkracht, en andersom. Vergeet niet dat de snelheid in de formule gekwadrateerd wordt (v^2). Kernbegrippen: formules met meerdere variabelen, rekenen met snelheid, afstand en tijd, vergelijkingen oplossen Veelgemaakte fouten: - voortijdig afronden van tussenantwoorden - rekenfouten bij het omvormen van de formule - vergeten het eindantwoord af te ronden op een geheel getal zoals gevraagd Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/7 ## Vraag 8 – Opgave 8 (3 punten) Van twee zwemmers is 10 keer de handkracht gemeten bij verschillende snelheden. De techniek van de ene zwemmer is beter dan die van de andere zwemmer. Het frontaal oppervlak tijdens een zwemslag is voor beide zwemmers 0,2 m². In figuur 2 zijn de meetresultaten weergegeven in een assenstelsel, waarbij v² is uitgezet tegen F. Voor beide zwemmers is een lijn getekend die de meetresultaten benadert. Bij elke lijn hoort een andere constante waarde van C, passend bij de zwemtechniek van de zwemmer. Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage. Bereken met behulp van figuur 2 op de uitwerkbijlage de waarde van C van de zwemmer met de betere techniek. Geef hierbij aan welke lijn je hebt gebruikt en licht deze keuze toe. Geef je eindantwoord in twee decimalen. Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je een grafiek moet interpreteren en aflezen, en vervolgens een waarde moet berekenen met behulp van een gegeven formule. Je moet logisch redeneren over de context (zwemtechniek) om de juiste lijn in de grafiek te kiezen. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een lineaire grafiek afleest en hoe je een formule kunt herleiden om een specifieke variabele te isoleren. Ook moet je de relatie tussen de grafiek en de context (betere techniek) kunnen leggen. Wat moet je kunnen: Je kunt nauwkeurig punten aflezen uit een grafiek. Je kunt een algebraïsche formule omzetten om een onbekende variabele te vinden. Je kunt je keuze voor een lijn in de grafiek beargumenteren op basis van de context van de vraag. Waar op letten: Je moet eerst bepalen welke van de twee lijnen hoort bij de zwemmer met de betere techniek. Bedenk wat 'betere techniek' betekent in termen van snelheid en kracht. Je leest een punt (F, v²) af van de gekozen lijn. Zorg dat je dit zo nauwkeurig mogelijk doet, omdat dit invloed heeft op je eindantwoord. Je herleidt de gegeven formule F = 500 ⋅ A ⋅ C ⋅ v² naar een formule voor C. Let goed op de volgorde van de bewerkingen. Je vult de afgelezen waarden en de gegeven waarde van A in de herleide formule in. Controleer of je alle getallen correct overneemt. Je geeft je eindantwoord in twee decimalen, zoals gevraagd in de vraag. Kernbegrippen: formules herleiden, grafieken aflezen, lineaire verbanden Veelgemaakte fouten: - Verkeerde lijn kiezen (de onderste in plaats van de bovenste). - Onnauwkeurig aflezen van coördinaten uit de grafiek. - Foutief omstellen van de formule om C te berekenen. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/8 ## Vraag 9 – Opgave 9 (6 punten) Bereken exact de oplossing van de ongelijkheid f(x) < g(x). Wat kun je verwachten: Je moet een ongelijkheid oplossen waarbij logaritmische functies betrokken zijn. Dit betekent dat je eerst de snijpunten van de grafieken algebraïsch moet bepalen en daarna, met behulp van de grafiek, de ongelijkheid oplost. Je zult rekenregels voor logaritmen en de abc-formule moeten toepassen. Wat moet je kennen: Je moet de rekenregels voor logaritmen goed kennen, zoals log(a) + log(b) = log(ab) en log(a) - log(b) = log(a/b). Ook moet je weten hoe je een getal kunt schrijven als een logaritme (bijvoorbeeld 2 = log(100)). Verder moet je de abc-formule paraat hebben voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen. Wat moet je kunnen: Je moet logaritmische vergelijkingen kunnen herschrijven met behulp van de rekenregels. Je moet kwadratische vergelijkingen exact kunnen oplossen met de abc-formule. Tot slot moet je, na het vinden van de snijpunten, met behulp van de grafiek de oplossing van de ongelijkheid kunnen aflezen en het domein van de functies correct meenemen in je eindantwoord. Waar op letten: Begin met het oplossen van de gelijkheid f(x) = g(x). Dit is de eerste stap om de snijpunten te vinden. Pas de rekenregels voor logaritmen correct toe om de logaritmische termen samen te voegen. Let op het omzetten van het getal 2 naar een logaritme met grondtal 10. Herschrijf de vergelijking naar een kwadratische vergelijking en los deze exact op met de abc-formule. Vereenvoudig wortels waar mogelijk. Controleer de gevonden x-waarden met het domein van de oorspronkelijke logaritmische functies. Een logaritme is alleen gedefinieerd voor een positief argument. Verwerp oplossingen die buiten het domein vallen. Gebruik de grafiek om te bepalen voor welk interval van x de ongelijkheid f(x) < g(x) geldt, rekening houdend met het domein van beide functies. Kernbegrippen: logaritmische vergelijkingen, logaritmische ongelijkheden, rekenregels logaritmen, kwadratische vergelijkingen, abc-formule, domein van functies Veelgemaakte fouten: - Vergeten van de rekenregels voor logaritmen, met name log(a) + log(b) = log(ab). - Vergeten dat 2 kan worden geschreven als log(100). - Fouten bij het oplossen van de kwadratische vergelijking. - Vergeten de negatieve oplossing van de abc-formule te verwerpen omdat deze buiten het domein van f(x) valt. - Vergeten het domein van f(x) (x>0) mee te nemen in de eindoplossing van de ongelijkheid. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/9 ## Vraag 10 – Opgave 10 (4 punten) 10 keer de handkracht gemeten bij verschillende snelheden. De techniek van de ene zwemmer is beter dan die van de andere zwemmer. Het frontaal oppervlak tijdens een zwemslag is voor beide zwemmers 0,2 m^2. In figuur 2 zijn de meetresultaten weergegeven in een assenstelsel, waarbij v^2 is uitgezet tegen F. Voor beide zwemmers is een lijn getekend die de meetresultaten benadert. Bij elke lijn hoort een andere constante waarde van C, passend bij de zwemtechniek van de zwemmer. Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage. figuur 2 v^2 ↑ 2- 1.5- 1- 0.5- 0 X X X X X X 20 40 60 F (in N) Wat kun je verwachten: Je krijgt een functievoorschrift en je moet beschrijven welke transformaties je moet toepassen op een standaardfunctie om tot deze nieuwe functie te komen. Je moet hierbij de juiste volgorde van de transformaties aanhouden. Wat moet je kennen: Je moet de basisvormen van functietransformaties kennen: verschuivingen (horizontaal en verticaal), spiegelingen (in de x-as en y-as) en vermenigvuldigingen (ten opzichte van de x-as en y-as). Je moet ook weten hoe deze transformaties het functievoorschrift beïnvloeden. Wat moet je kunnen: Je kunt een gegeven functievoorschrift analyseren en de verschillende transformaties identificeren. Je kunt de correcte volgorde van deze transformaties bepalen, vooral wanneer er sprake is van een spiegeling en een verticale verschuiving. Je kunt nauwkeurig beschrijven welke transformatie je toepast (bijvoorbeeld 'verschuiving 10 naar links' in plaats van 'x+10'). Waar op letten: Let goed op de tekens in het functievoorschrift. Een '+10' binnen de haakjes van de logaritme betekent een verschuiving naar links, niet naar rechts. De volgorde van transformaties is cruciaal. Een spiegeling in de x-as en een verticale verschuiving mogen niet zomaar van plek wisselen. Bedenk of je eerst spiegelt en dan verschuift, of andersom, en hoe dat het voorschrift beïnvloedt. Wees specifiek in je beschrijving: 'verschuiving 10 naar links' is beter dan 'horizontale verschuiving met 10'. Denk aan het domein van de logaritmische functie: het argument van de logaritme moet altijd groter zijn dan 0. Hoe beïnvloedt een horizontale verschuiving dit? Controleer of je alle transformaties hebt benoemd die nodig zijn om van f(x) = log(x) naar g(x) = 2 - log(x+10) te komen. Kernbegrippen: functietransformaties, logaritmische functies Veelgemaakte fouten: - De volgorde van transformaties is cruciaal, met name de interactie tussen een verticale verschuiving en een spiegeling in de x-as. - Verwarren van horizontale en verticale verschuivingen (bijv. x+10 is een verschuiving naar links, niet rechts). Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/10 ## Vraag 11 – Opgave 11 (6 punten) De grafiek van g snijdt de y-as in het punt B en snijdt de x-as in het punt C. De lijn l gaat door B en C. Lijn l snijdt de grafiek van f in het punt D. Zie figuur 2. Bereken de coördinaten van D. Geef de coördinaten in je eindantwoord in twee decimalen. Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je snijpunten van grafieken met de assen moet bepalen, een lijnvergelijking moet opstellen en vervolgens het snijpunt van twee grafieken moet berekenen met behulp van je grafische rekenmachine (GR). Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van logaritmische functies kennen, met name hoe je snijpunten met de x- en y-as berekent. Je moet ook weten hoe je de vergelijking van een rechte lijn opstelt als je twee punten op die lijn kent. Wat moet je kunnen: Je kunt de coördinaten van snijpunten met de assen algebraïsch berekenen. Je kunt de richtingscoëfficiënt van een lijn bepalen en de vergelijking van een lijn opstellen. Je kunt de snijpunten van twee functies met je GR vinden en de stappen hiervoor duidelijk beschrijven. Waar op letten: Bereken eerst nauwkeurig de coördinaten van punt B (snijpunt van g met de y-as) en punt C (snijpunt van g met de x-as). Vergeet niet dat log(1) = 0. Gebruik de coördinaten van B en C om de richtingscoëfficiënt van lijn l te bepalen. Let goed op de volgorde van aftrekken in de teller en noemer. Stel de vergelijking van lijn l op. Je kunt hiervoor de formule y = ax + b gebruiken, waarbij a de richtingscoëfficiënt is en b het snijpunt met de y-as. Om de coördinaten van D te vinden, stel je de vergelijking op waarbij de functie f(x) gelijk is aan de vergelijking van lijn l. Deze vergelijking is waarschijnlijk niet algebraïsch op te lossen, dus je gebruikt je GR. Beschrijf duidelijk de stappen die je op je GR uitvoert om het snijpunt te vinden (bijvoorbeeld 'voer Y1 = ... en Y2 = ... in, gebruik intersect-functie'). Rond de uiteindelijke coördinaten af op twee decimalen zoals gevraagd. Kernbegrippen: logaritmische functies, snijpunten met assen, opstellen vergelijking van een lijn, snijpunt van twee grafieken, numeriek oplossen met GR Veelgemaakte fouten: - Verkeerd opstellen van de lijnvergelijking - Fouten bij het berekenen van de snijpunten met de assen - Vergeten de GR-methode te beschrijven voor het oplossen van de uiteindelijke vergelijking - Afrondingsfouten Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/11 ## Vraag 12 – Opgave 12 (3 punten) Op de grafiek van f wordt een willekeurig punt S gekozen. Punt T, met een x-coördinaat die 7 keer zo groot is als de x-coördinaat van S, ligt ook op de grafiek van f. In figuur 3 is de grafiek van f weergegeven met een mogelijke positie van S en van T. figuur 3 In S en T kan met behulp van de grafische rekenmachine de helling worden bepaald. Voor elke keuze van S is de uitkomst van de breuk \frachelling in Thelling in S hetzelfde. Bereken deze uitkomst. Geef je eindantwoord in twee decimalen. Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over de helling van een grafiek op twee verschillende punten. Je moet de grafische rekenmachine gebruiken om deze hellingen te bepalen en vervolgens een verhouding berekenen. Het is belangrijk dat je begrijpt hoe de x-coördinaten van de twee punten zich tot elkaar verhouden. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je de helling van een functie in een punt bepaalt met je grafische rekenmachine. Dit kan direct met de 'dy/dx' functie of door de afgeleide functie in te voeren en daar waarden in te vullen. Je moet ook de eigenschappen van logaritmische functies kennen, met name het domein. Wat moet je kunnen: Je moet de grafische rekenmachine efficiënt kunnen gebruiken om hellingen te bepalen. Je moet in staat zijn om de relatie tussen de x-coördinaten van S en T correct te vertalen naar je berekeningen. Je moet ook nauwkeurig kunnen afronden naar het gevraagde aantal decimalen. Waar op letten: Let goed op de relatie tussen de x-coördinaten van S en T: de x-coördinaat van T is 7 keer zo groot als die van S. Als je voor S een x-waarde kiest, moet je voor T de 7 keer zo grote x-waarde gebruiken. Zorg ervoor dat je de juiste functie f(x) invoert in je GR. De grafiek in figuur 3 is van een logaritmische functie, waarschijnlijk f(x) = log(x) of f(x) = ln(x). De vraag vraagt om de breuk 'helling in T / helling in S'. Zorg dat je de hellingen in de juiste volgorde deelt om de valkuil van 'verkeerd om delen' te vermijden. Gebruik voldoende decimalen voor de hellingen die je afleest van je GR voordat je deelt, om afrondingsfouten te voorkomen. Rond pas op het allerlaatste moment af naar twee decimalen. Controleer of de gekozen x-waarden binnen het domein van de functie vallen. Voor logaritmische functies moet de invoer positief zijn. Kernbegrippen: logaritmische functies, helling, afgeleide, grafische rekenmachine Veelgemaakte fouten: - Verkeerd om delen (helling in S / helling in T in plaats van helling in T / helling in S) - Niet de juiste functie (f(x)) gebruiken - Afrondingsfouten bij het noteren van tussenantwoorden die leiden tot een onjuist eindantwoord. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/12 ## Vraag 13 – Opgave 13 (3 punten) 3p 13 De punten A en B zijn de enige snijpunten van de grafieken van f en g. Bewijs dit. Wat kun je verwachten: Je moet bewijzen dat de twee gegeven snijpunten A en B de enige snijpunten zijn van de grafieken van f en g. Dit doe je door de functies aan elkaar gelijk te stellen en de resulterende vergelijking algebraïsch op te lossen. Je zult zien dat deze vergelijking maximaal twee oplossingen heeft, die overeenkomen met de coördinaten van A en B. Wat moet je kennen: Je moet de rekenregels voor machten goed kennen, in het bijzonder hoe je een wortel schrijft als een macht. Ook moet je weten hoe je exponentiële vergelijkingen oplost door de grondtallen gelijk te maken en hoe je een kwadratische vergelijking oplost. Wat moet je kunnen: Je moet de vergelijking f(x) = g(x) kunnen opstellen en deze stap voor stap algebraïsch kunnen herleiden. Je moet in staat zijn om √2 te schrijven als een macht van 2. Vervolgens moet je de exponenten aan elkaar gelijkstellen en de kwadratische vergelijking die hieruit ontstaat, kunnen oplossen. Tot slot moet je de conclusie kunnen trekken dat er maximaal twee oplossingen zijn, wat het bewijs levert. Waar op letten: Let goed op de rekenregel voor machten: √a = a^(1/2). Dit is cruciaal voor het omzetten van (√2)^(x^2-x) naar een macht met grondtal 2. Zorg ervoor dat je de exponenten correct vermenigvuldigt wanneer je (2^(1/2))^(x^2-x) herleidt. De haakjes zijn hier belangrijk. Na het gelijkstellen van de exponenten, herleid je de vergelijking naar de standaardvorm van een kwadratische vergelijking (ax^2 + bx + c = 0). Los de kwadratische vergelijking op. Je kunt dit doen door te ontbinden in factoren of met de abc-formule. Controleer je oplossingen. Vergeet niet de conclusie te trekken: een kwadratische vergelijking heeft maximaal twee oplossingen. Als jouw oplossingen overeenkomen met de x-coördinaten van A en B, dan heb je bewezen dat dit de enige snijpunten zijn. Kernbegrippen: exponentiële vergelijkingen oplossen, rekenregels voor machten, kwadratische vergelijkingen Veelgemaakte fouten: - Vergeten dat √2 = 2^(1/2) - Fouten bij het herleiden van de kwadratische vergelijking - Niet de conclusie trekken dat er maximaal twee oplossingen zijn Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/13 ## Vraag 14 – Opgave 14 (5 punten) In figuur 2 zijn opnieuw de grafieken van f en g met hun snijpunten A en B weergegeven. Ook zijn twee cirkels c_1 en c_2 weergegeven. Het lijnstuk AB is een middellijn van c_1. Cirkel c_2 heeft hetzelfde middelpunt als c_1. De oppervlakte van c_2 is drie keer zo groot als de oppervlakte van c_1. Stel op exacte wijze een vergelijking op van cirkel c_2. Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je de vergelijking van een cirkel moet opstellen. Hiervoor moet je het middelpunt en de straal van de cirkel bepalen. De informatie hiervoor haal je uit de gegeven punten en de relatie tussen de oppervlaktes van twee cirkels. Wat moet je kennen: Je moet de algemene vergelijking van een cirkel kennen: (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, waarbij (a,b) het middelpunt is en r de straal. Je moet ook weten hoe je het middelpunt van een lijnstuk berekent en hoe je de afstand tussen twee punten bepaalt (voor de straal). Verder moet je de formule voor de oppervlakte van een cirkel (pi * r^2) kennen en begrijpen hoe een verandering in oppervlakte de straal beïnvloedt. Wat moet je kunnen: Je moet de coördinaten van de snijpunten A en B uit de figuur kunnen aflezen. Je moet het middelpunt van het lijnstuk AB kunnen berekenen. Je moet de lengte van het lijnstuk AB kunnen bepalen met de afstandsformule, en daaruit de straal van c1 afleiden. Je moet de relatie tussen de oppervlakte en de straal van een cirkel kunnen toepassen om de straal van c2 te vinden. Tot slot moet je al deze gegevens correct invullen in de algemene vergelijking van een cirkel. Waar op letten: Lees de coördinaten van de snijpunten A en B nauwkeurig af uit figuur 2. Dit zijn de eindpunten van de middellijn van c1. Bereken eerst het middelpunt van c1. Dit is het midden van het lijnstuk AB. Gebruik hiervoor de formule voor het middelpunt van een lijnstuk. Bereken vervolgens de straal van c1. Dit is de helft van de lengte van het lijnstuk AB. Gebruik de afstandsformule om de lengte van AB te bepalen. Let op dat je exact blijft rekenen met wortels. De oppervlakte van c2 is drie keer zo groot als die van c1. Bedenk goed wat dit betekent voor de straal van c2 ten opzichte van de straal van c1. De oppervlakte is evenredig met r^2, dus als de oppervlakte met factor k toeneemt, neemt de straal toe met factor sqrt(k). Stel de vergelijking van c2 op. Vergeet niet dat in de cirkelvergelijking de straal gekwadrateerd wordt (r^2). Zorg ervoor dat je alle waarden exact invult. Kernbegrippen: vergelijking van een cirkel, middelpunt van een lijnstuk, afstand tussen twee punten, straal en oppervlakte van een cirkel Veelgemaakte fouten: - Vergeten de straal te kwadrateren in de cirkelvergelijking. - Fout bij het berekenen van de afstand tussen A en B. - Verkeerde relatie tussen de schaalfactor van de oppervlakte en de schaalfactor van de straal (factor 3 i.p.v. √3). - Typfout in de eindvergelijking (x i.p.v. y), zoals in het oorspronkelijke CV. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/14 ## Vraag 15 – Opgave 15 (5 punten) In positie S is het licht van de vuurtoren nog niet zichtbaar voor de kapitein van het schip. 5p 15 Bereken na hoeveel kilometer varen het licht van de vuurtoren zichtbaar wordt. Geef je eindantwoord als geheel getal. Wat kun je verwachten: Je krijgt een praktische situatie voorgelegd waarbij je meetkundige kennis moet toepassen. Je moet een schematische tekening (figuur 1) interpreteren en omzetten naar een wiskundig model, waarschijnlijk een rechthoekige driehoek. Vervolgens pas je de stelling van Pythagoras toe om een afstand te berekenen. De laatste stap is het interpreteren van je berekende waarde in de context van de vraag en correct afronden. Wat moet je kennen: Je moet de stelling van Pythagoras goed kennen en weten hoe je deze toepast in verschillende situaties. Je moet ook basiskennis hebben van cirkels, zoals de straal en het middelpunt. Verder is het belangrijk dat je weet hoe je een probleem uit de praktijk kunt vertalen naar een wiskundig model. Wat moet je kunnen: Je moet een schematische tekening kunnen analyseren en hierin de relevante afstanden en hoeken kunnen herkennen. Je moet een rechthoekige driehoek kunnen construeren of herkennen binnen de gegeven situatie. Je moet de stelling van Pythagoras correct kunnen toepassen om een onbekende zijde te berekenen. Tot slot moet je je berekende waarde kunnen interpreteren in de context van de vraag en je eindantwoord correct kunnen afronden op een geheel getal. Waar op letten: Je moet de situatie goed vertalen naar een meetkundig model. Denk aan een rechthoekige driehoek. Je herkent dat de straal van het lichtbereik (11 km) de schuine zijde is in de rechthoekige driehoek die je vormt. Je gebruikt de stelling van Pythagoras om de onbekende zijde te berekenen. Let op welke zijde de schuine zijde is. Je berekent de afstand die het schip nog moet varen. Dit betekent dat je de berekende afstand moet aftrekken van de oorspronkelijke afstand (20 km). Je rondt je eindantwoord af op een geheel getal, zoals gevraagd in de vraagtekst. Kernbegrippen: stelling van Pythagoras, cirkelvergelijking, meetkundig modelleren Veelgemaakte fouten: - Vergeten de berekende afstand af te trekken van de begin-afstand (20 km) - Foutief afronden of te vroeg afronden - De eind-eis 'geheel getal' over het hoofd zien Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/15 ## Vraag 16 – Opgave 16 (4 punten) In een andere situatie staan twee vuurtorens A en B met een onderlinge afstand van 14 km op een rechte kustlijn. De kustlijn loopt van west naar oost. De afstand van een schip tot de kustlijn wordt tegenwoordig met moderne navigatieapparatuur bepaald. Er is ook een methode zonder deze apparatuur, die in het verleden werd gehanteerd. Hierbij wordt het licht van de twee vuurtorens gebruikt. Vanaf het schip worden de hoeken gemeten waaronder het licht van de vuurtorens ten opzichte van de noordrichting N wordt gezien. Vanaf een schip op positie T is deze hoek voor vuurtoren A 52° en voor vuurtoren B 65°. Zie figuur 2. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage. figuur 2 Op basis van de twee gemeten hoeken en de onderlinge afstand van de vuurtorens, kan de afstand van het schip tot de kustlijn worden berekend. 4p 16 Bereken deze afstand in km. Geef je eindantwoord in één decimaal. Wat kun je verwachten: Je krijgt een meetkundige vraag waarbij je de afstand van een punt tot een lijn moet berekenen. Je zult goniometrische regels moeten toepassen in verschillende driehoeken die je in de figuur kunt herkennen of construeren. Het is een typische toepassingsvraag van goniometrie in de meetkunde. Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van driehoeken kennen, zoals de som van de hoeken. Je moet de sinusregel, cosinus en tangens kunnen toepassen in rechthoekige en algemene driehoeken. Ook moet je weten hoe je hoeken ten opzichte van een noordrichting kunt gebruiken om hoeken binnen een driehoek te bepalen. Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven informatie (hoeken en afstanden) correct kunnen plaatsen in de figuur. Je moet in staat zijn om de juiste goniometrische regel (sinusregel, cosinus, tangens) te kiezen voor de situatie. Je moet ook nauwkeurig kunnen rekenen met graden en je eindantwoord correct afronden op één decimaal. Waar op letten: Let goed op de hoeken die gegeven zijn (52° en 65°). Deze zijn ten opzichte van de noordrichting. Je moet deze hoeken eerst omzetten naar hoeken binnen de driehoek ATB of de rechthoekige driehoeken die je kunt maken met de kustlijn. Controleer of je rekenmachine is ingesteld op graden ('DEG') en niet op radialen ('RAD'), aangezien de hoeken in graden zijn gegeven. Je kunt de sinusregel gebruiken in driehoek ATB om een van de zijden (AT of BT) te berekenen. Hiervoor moet je eerst de hoeken van driehoek ATB bepalen. Nadat je een zijde (AT of BT) hebt berekend, moet je de loodrechte afstand van T tot de kustlijn bepalen. Dit doe je door een rechthoekige driehoek te construeren en daarin de cosinus of tangens te gebruiken. Rond pas af op één decimaal bij je eindantwoord. Gebruik bij tussenberekeningen de volledige waarden die je rekenmachine geeft om afrondingsfouten te voorkomen. Kernbegrippen: goniometrie, sinusregel, cosinus, tangens, hoeken berekenen in driehoeken Veelgemaakte fouten: - Verkeerd interpreteren van de hoeken ten opzichte van de noordrichting. - Verwisselen van sinus, cosinus en tangens. - Fouten bij het toepassen van de sinusregel (bijv. verkeerde hoek-zijde combinatie). - Afrondingsfouten bij tussenberekeningen. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-2/vraag/16 ## Opgaven (tekst van het examen) ### Pagina 1 Examen HAVO 2024 tijdvak 2 maandag 24 juni 13.30 - 16.30 uur iskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 16 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 74 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden. Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt. Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. HA-1025-a-24-2-0 ### Pagina 2 Ga verder op de volgende pagina. H A - 1 0 2 5 - a - 2 4 - 2 - o 2 / 1 5 lees verder ► ► ► ### Pagina 3 Wortelgrafiek en parabool De functies $f$ en $g$ worden gegeven door $f(x) = \sqrt{2x+6}$ en $g(x) = x^2+6x+9$. 4p 1 De grafiek van $f$ heeft een randpunt en de grafiek van $g$ heeft een top. Onderzoek op exacte wijze of deze top hetzelfde punt is als dat randpunt. De lijn $k$ met vergelijking $y=4$ snijdt de grafiek van $g$ in de punten $A$ en $B$, waarbij $B$ rechts ligt van $A$. De lijn $k$ snijdt de grafiek van $f$ in het punt $C$. Zie de figuur. figuur [FIGUUR: Een grafiek met twee functies, f en g, en een lijn k. Functie f is een wortelfunctie die start in een randpunt. Functie g is een parabool. Lijn k is een horizontale lijn die de grafieken van f en g snijdt. Er zijn snijpunten A, B en C aangegeven.] 5p 2 Bereken exact de afstand $BC$. De lijn $l$ raakt de grafiek van $f$ in het punt met $x$-coördinaat 15. De lijn $m$ met vergelijking $6x+y=-27$ raakt de grafiek van $g$. 5p 3 Bewijs dat $l$ en $m$ loodrecht op elkaar staan. HA-1025-a-24-2-o 3/15 lees verder ### Pagina 4 Zonsopkomst en zonsondergang Voor elke dag van het jaar is te bepalen hoe laat de zon opkomt en hoe laat de zon ondergaat. Op elke dag van het jaar 2015 is volgens de lokale zomertijd bepaald hoe laat de zon in de Australische stad Sidney opkomt¹). De 365 meetpunten zijn in een assenstelsel getekend. Ze liggen bij benadering op een sinusoiße. In figuur 1 is deze sinusoiÿe getekend; een deel daarvan is gestippeld. Onder het gestippelde deel is de grafiek getekend volgens de tijdstippen van zonsopkomst volgens de wintertijd. De zonsopkomst volgens de wintertijd is 1 uur eerder dan volgens de zomertijd. figuur 1 Zonsopkomst in Sydney tijd (in uren) 8,5 8 7,5 7 zomertijd wintertijd 6,5 5,5 5,2 277 341 365 dagnummer 95 Het laagste punt van de grafiek van de zomertijd is (341; 5,62). Dit betekent dus dat de zon op dagnummer 341 volgens de zomertijd het vroegst opkomt. Dat is op tijdstip 5,62 (dus 5 uur en 37 min). Het hoogste punt van het gestippelde deel van de grafiek van de zomertijd bevindt zich op hoogte 8,00. noot 1 In Sidney is het zomer als het in Nederland winter is. De periode waarin de zomertijd wordt gebruikt, is daarom in Sidney anders dan in Nederland. HA-1025-a-24-2-o 4 / 15 lees verder ### Pagina 5 De grafiek van de wintertijd is te benaderen met een formule van de vorm: $S(t) = p + q\sin(\frac{2\pi}{365}(t-r))$, met $95 \leq t \leq 277$ Hierin is $S$ het tijdstip van zonsopkomst en $t$ het dagnummer met $t = 1$ op 1 januari. Door gebruik te maken van de grafiek van de zomertijd kunnen mogelijke waarden voor $p$, $q$ en $r$ worden berekend. 4p 4 Bereken mogelijke waarden voor $p$, $q$ en $r$ van $S(t)$. Geef je eindantwoorden in twee decimalen. Voor een plaats in Nederland zijn op dezelfde manier als voor Sydney volgens de lokale zomertijd de tijdstippen van zonsopkomst bepaald. Ook zijn de tijdstippen van zonsondergang volgens de zomertijd bepaald. De grafieken waarop de meetpunten liggen, zijn in figuur 2 weergegeven. figuur 2 Zonsopkomst en zonsondergang in Nederland tijd 25 (in uren) 15 N 10 P 0+ 1 365 → dagnummer Bij de grafiek van de zonsopkomst hoort de formule: $P(t) = 7,57 + 2,27 \sin(\frac{2\pi}{365}(t - 270,9))$, met $1 \leq t \leq 365$ en bij de grafiek van de zonsondergang hoort de formule: $N(t) = 19,78 + 2,33 \sin(\frac{2\pi}{365}(t - 74,07))$, met $1 \leq t \leq 365$ Hierin is $P$ het tijdstip van zonsopkomst en $N$ het tijdstip van zonsondergang. Opnieuw is $t$ het dagnummer met $t = 1$ op 1 januari. Voor t kunnen dus alleen gehele waarden worden ingevuld. Voor elke dag kan de tijd tussen zonsopkomst en zonsondergang worden bepaald. De langste dag is de dag waarop deze tijd zo groot mogelijk is. 4p 5 Bereken de tijd tussen zonsopkomst en zonsondergang op de langste dag. Geef je eindantwoord in een geheel aantal uren en minuten. HA-1025-a-24-2-o 5/15 lees verder ### Pagina 6 Door het snijpunt De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = \frac{1}{4}x(x-2)(x+6)$. De grafiek van $f$ snijdt de $x$-as in de punten $A(-6, 0)$, $O(0, 0)$ en $B(2, 0)$. Het punt $C$ is het midden van lijnstuk $AO$. Het punt $P$ ligt recht boven $C$ op de grafiek van $f$. Zie de figuur. figuur [FIGUUR: Een grafiek van een functie f, die de x-as snijdt bij A, O en B. Er is een punt P op de grafiek boven C, waarbij C het midden is van AO. Een lijn is getekend vanaf P naar B.] 7p 6 De raaklijn aan de grafiek van $f$ in $P$ gaat door $B$. Bewijs dit. ### Pagina 7 Ga verder op de volgende pagina. HA-1025-a-24-2-o 7 / 15 lees verder ### Pagina 8 ```json { "page_type": "opgaven", "exam_info": { "subject": null, "year": null, "tijdvak": null }, "figures": [ "Een zwemmer in borstcrawl-stijl die met zijn armen het water voortduwt.", "Een illustratie van een zwemmer in borstcrawl-stijl die uit het water opkijkt met zijn armen omhoog en naar voren gestrekt." ], "keywords": "borstcrawl, handkracht, zwemsnelheid, formule, oppervlakte, constante, zwemwedstrijd, record, berekenen, snelheid" } ``` ### Pagina 9 Van twee zwemmers is 10 keer de handkracht gemeten bij verschillende snelheden. De techniek van de ene zwemmer is beter dan die van de andere zwemmer. Het frontaal oppervlak tijdens een zwemslag is voor beide zwemmers 0,2 m². In figuur 2 zijn de meetresultaten weergegeven in een assenstelsel, waarbij $v^2$ is uitgezet tegen $F$. Voor beide zwemmers is een lijn getekend die de meetresultaten benadert. Bij elke lijn hoort een andere constante waarde van $C$, passend bij de zwemtechniek van de zwemmer. Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage. figuur 2 2 $v^2$ ↑ 1,5 1 0,5 0 20 40 60 → F (in N) 3p 8 Bereken met behulp van figuur 2 op de uitwerkbijlage de waarde van $C$ van de zwemmer met de betere techniek. Geef hierbij aan welke lijn je hebt gebruikt en licht deze keuze toe. Geef je eindantwoord in twee decimalen. ### Pagina 10 ```json { "page_type": "opgaven", "exam_info": { "subject": "wiskunde", "year": null, "tijdrvak": null }, "figures": [ "Grafiek met twee logaritmische functies. De functie f start in de buurt van de y-as en loopt naar rechtsboven. De functie g start in de buurt van de verticale lijn x=-10 en loopt naar rechts, snijdend de y-as en dan de x-as.", "Grafiek met twee logaritmische functies en een lijn. De functie g start in de buurt van x=-10 en snijdt de y-as bij B en de x-as bij C. De lijn l is een rechte lijn door B en C, en snijdt de functie f bij D." ], "keywords": "logaritmische functies, ongelijkheid, transformaties, grafieken, snijpunten, coördinaten" } ``` ### Pagina 11 Op de grafiek van f wordt een willekeurig punt S gekozen. Punt T, met een x-coördinaat die 7 keer zo groot is als de x-coördinaat van S, ligt ook op de grafiek van f. In figuur 3 is de grafiek van f weergegeven met een mogelijke positie van S en van T. figuur 3 [FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as, waarbij de curve van een functie f start bij de oorsprong (O) en omhoog buigt. Twee punten S en T liggen op de curve. S is dichter bij de oorsprong, T is verder naar rechts.] In S en T kan met behulp van de grafische rekenmachine de helling worden bepaald. Voor elke keuze van S is de uitkomst van de breuk helling in T helling in S hetzelfde. 3p 12 Bereken deze uitkomst. Geef je eindantwoord in twee decimalen. ### Pagina 12 Rondom exponentiële grafieken De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = 2^x$. De functie $g$ wordt gegeven door $g(x) = \left(\sqrt{2}\right)^{x^2-x}$. De grafieken van $f$ en $g$ snijden elkaar in de punten $A(0,1)$ en $B(3,8)$. In figuur 1 zijn de grafieken van $f$ en $g$ en de punten $A$ en $B$ weergegeven. figuur 1 [FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. Twee exponentiële functies zijn getekend, genaamd f en g. De functie f is een stijgende exponentiële curve. De functie g is ook een curve die eerst daalt en dan stijgt, met een minimum. Twee snijpunten, A en B, zijn aangegeven op de grafiek. A ligt op de y-as, en B ligt hoger op de grafiek.] De punten $A$ en $B$ zijn de enige snijpunten van de grafieken van $f$ en $g$. 13 3p Bewijs dit. ### Pagina 13 In figuur 2 zijn opnieuw de grafieken van f en g met hun snijpunten A en B weergegeven. Ook zijn twee cirkels c1 en c2 weergegeven. Het lijnstuk AB is een middellijn van c1. Cirkel c2 heeft hetzelfde middelpunt als c1. De oppervlakte van c2 is drie keer zo groot als de oppervlakte van c1. figuur 2 y C2 B c1 g f A O X 5p 14 Stel op exacte wijze een vergelijking op van cirkel c2. HA-1025-a-24-2-0 13 / 15 lees verder ### Pagina 14 Vuurtorens In figuur 1 is een rechte kustlijn weergegeven die van west naar oost loopt. Op deze kustlijn staat in punt O een vuurtoren. In punt S bevindt zich een schip op 9 km van de kustlijn. Het schip vaart evenwijdig aan de kustlijn. De horizontale afstand tussen O en S is 20 km. Het licht van de vuurtoren is zichtbaar binnen een straal van 11 km rondom de vuurtoren. Figuur 1 staat ook op de uitwerkbijlage. figuur 1 [FIGUUR: Diagram met de kustlijn, zee, een vuurtoren op punt O, een schip op punt S, afstanden 9 km en 20 km, en een cirkel met straal 11 km rond O.] land zee 20 km 9 km O 11 km In positie S is het licht van de vuurtoren nog niet zichtbaar voor de kapitein van het schip. 5p 15 Bereken na hoeveel kilometer varen het licht van de vuurtoren zichtbaar wordt. Geef je eindantwoord als geheel getal. Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina. HA-1025-a-24-2-0 14/15 lees verder ### Pagina 15 ```json { "page_type": "opgaven", "exam_info": { "subject": null, "year": null, "tijdvak": null }, "figures": [ "Diagram met twee vuurtorens A en B op land, een schip T in de zee. De afstand tussen A en B is 14 km. De hoek van T naar A is 52 graden en de hoek van T naar B is 65 graden. Er is een loodrechte lijn getrokken vanaf het midden tussen A en B naar T, met een rechte hoek aangeduid bij het punt op de kustlijn.", "Kompasroos met N aangegeven" ], "keywords": "vuurtorens, kustlijn, navigatieapparatuur, hoeken, afstand, schip, noordrichting, figuur, berekenen, eindantwoord, decimaal" } ```