# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2024 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1

## Vraag 1 – Opgave 1 (4 punten)

4p 1 Bewijs dat inderdaad geldt f'(x) = (2)/(9)x^2 - (4)/(3)x + 1(1)/(2). Het punt A is de linker top van de grafiek van f. Zie de figuur. De functie g wordt gegeven door g(x) = x^2 - (3)/(10)x + c. Hierin is c een constante. De grafiek van g gaat door het punt A. figuur y g A O x f

Wat kun je verwachten: Je moet de afgeleide van een gegeven functie bepalen en aantonen dat deze gelijk is aan een specifieke uitdrukking. Dit is een typische bewijsvraag waarbij je je differentieerregels en algebraïsche vaardigheden moet laten zien.

Wat moet je kennen: Je moet de differentieerregels kennen, met name de somregel en de kettingregel. Ook moet je goed zijn in het uitwerken van haakjes, zoals het kwadraat van een tweeterm, en het combineren van gelijksoortige termen.

Wat moet je kunnen: Je moet de functie f(x) correct kunnen differentiëren. Dit betekent dat je de kettingregel correct toepast op de term met de macht. Vervolgens moet je de afgeleide algebraïsch kunnen herleiden door haakjes uit te werken en breuken op te tellen of af te trekken, totdat je de gegeven vorm van f'(x) bereikt.

Waar op letten: Let goed op de kettingregel: vergeet niet te vermenigvuldigen met de afgeleide van de 'binnenfunctie' (dat wat tussen de haakjes staat).
Wees nauwkeurig bij het uitwerken van het kwadraat van de tweeterm ((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2). Een tekenfout hier is snel gemaakt.
Controleer je breuken. Zorg ervoor dat je ze op de juiste manier optelt of aftrekt, eventueel door ze gelijknamig te maken.
Werk stap voor stap en controleer elke stap. Het doel is om precies de gegeven uitdrukking te krijgen, dus elke afwijking wijst op een fout.
De vraag vraagt om een bewijs, dus je moet alle tussenstappen duidelijk opschrijven en laten zien hoe je van de oorspronkelijke functie naar de gegeven afgeleide komt.

Kernbegrippen: differentiëren, kettingregel, algebraïsch herleiden

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij toepassen kettingregel (vergeten te vermenigvuldigen met de afgeleide van de binnenfunctie)
- Fout bij het uitwerken van de haakjes (binomiaal kwadraat)
- Reken- of slordigheidsfouten bij het samenvoegen van termen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/1

## Vraag 2 – Opgave 2 (6 punten)

Bereken exact de waarde van c.

Wat kun je verwachten: Je moet de coördinaten van een top van een functie bepalen en deze gebruiken om een onbekende constante in een andere functie te vinden. Dit betekent dat je de afgeleide van een functie gelijk moet stellen aan nul, de resulterende vergelijking exact moet oplossen, en vervolgens de gevonden coördinaten moet substitueren in een andere functie.

Wat moet je kennen: Je moet weten dat de afgeleide van een functie nul is in de toppen (extreme waarden). Je moet ook de abc-formule kennen voor het exact oplossen van kwadratische vergelijkingen. Verder moet je goed kunnen rekenen met breuken en algebraïsche vergelijkingen kunnen oplossen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de afgeleide van een functie gelijkstellen aan nul om de x-coördinaten van de toppen te vinden. Je kunt een kwadratische vergelijking exact oplossen, bijvoorbeeld met de abc-formule. Je kunt de y-coördinaat van een punt op een grafiek berekenen door de x-coördinaat in de functie in te vullen. Tot slot kun je een vergelijking met een onbekende constante oplossen door bekende punten te substitueren.

Waar op letten: Let goed op dat je de juiste top kiest. De vraag verwijst naar punt A, wat het linker maximum is. De vergelijking f'(x)=0 zal waarschijnlijk twee oplossingen geven; je moet de juiste selecteren.
Je moet de vergelijking f'(x) = 0 exact oplossen. Dit betekent dat je breuken moet gebruiken en geen decimalen mag afronden. De abc-formule is hierbij een belangrijk hulpmiddel.
Nadat je de x-coördinaat van punt A hebt gevonden, moet je de bijbehorende y-coördinaat berekenen door deze x-waarde in de OORSPRONKELIJKE functie f(x) in te vullen, niet in f'(x).
Het punt A ligt ook op de grafiek van g(x). Dit betekent dat de coördinaten van A voldoen aan de vergelijking g(x) = x^2 - (3)/(10)x + c. Je vult de x- en y-coördinaat van A in g(x) in om de waarde van c te vinden.
Alle berekeningen moeten exact zijn. Werk consequent met breuken en vermijd het omzetten naar decimalen, tenzij dit expliciet wordt gevraagd.

Kernbegrippen: extreme waarden, afgeleide functie, vergelijking oplossen, substitutie, kwadratische vergelijking

Veelgemaakte fouten:
- De verkeerde top kiezen (het minimum in plaats van het maximum).
- Reken- of algebrafouten bij het oplossen van f'(x) = 0.
- Reken- of algebrafouten bij het berekenen van de y-coördinaat van A.
- Reken- of algebrafouten bij het oplossen van de vergelijking voor c.
- Een benadering gebruiken in plaats van een exacte berekening met breuken.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/2

## Vraag 3 – Opgave 3 (5 punten)

De bloeddruk van een gezonde volwassen man in rust is vereenvoudigd weergegeven in de grafiek van figuur 1.

figuur 1

Deze grafiek is te beschrijven met een formule van de vorm P = a + b sin(c(t - d)), met P de bloeddruk in mmHg (millimeter kwikdruk) en t de tijd in seconden.

5p 3 Bepaal de waarden van a, b, c en d met behulp van de grafiek in figuur 1. Geef je eindantwoorden zo nodig in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een grafiek van een sinusoïde en de algemene formule P = a + b sin(c(t - d)). Je moet de parameters a, b, c en d bepalen door de grafiek zorgvuldig af te lezen en de eigenschappen van een sinusoïde toe te passen.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van elke parameter in de algemene formule van een sinusoïde kennen: 'a' is de evenwichtsstand, 'b' is de amplitude, 'c' is gerelateerd aan de periode, en 'd' is de horizontale verschuiving (startpunt van een cyclus). Je moet ook de relatie tussen de periode T en de parameter 'c' kennen: T = (2pi)/c of c = (2pi)/T.

Wat moet je kunnen: Je kunt de evenwichtsstand en amplitude aflezen uit de maximale en minimale waarden van de grafiek. Je kunt de periode aflezen door de afstand tussen twee opeenvolgende toppen, dalen of punten op de evenwichtsstand te bepalen. Je kunt de horizontale verschuiving 'd' bepalen door een geschikt startpunt van de sinusoïde te kiezen. Tot slot kun je de parameter 'c' berekenen met behulp van de afgelezen periode.

Waar op letten: Let goed op de eenheden op de assen: bloeddruk in mmHg en tijd in seconden.
De parameter 'a' is de evenwichtsstand. Je bepaalt deze door het gemiddelde te nemen van de maximale en minimale bloeddruk.
De parameter 'b' is de amplitude. Je bepaalt deze door het verschil te nemen tussen de maximale bloeddruk en de evenwichtsstand (of de evenwichtsstand en de minimale bloeddruk).
De parameter 'd' is de horizontale verschuiving. Dit is de t-waarde van het eerste punt waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat, of de t-waarde van een top als je de formule aanpast naar cosinus.
De parameter 'c' bereken je uit de periode T met de formule c = (2pi)/T. Lees de periode zo nauwkeurig mogelijk af, bijvoorbeeld door de afstand tussen twee toppen te meten. Rond je eindantwoorden af op één decimaal zoals gevraagd.

Kernbegrippen: sinusoïde, periode, amplitude, evenwichtsstand, horizontale verschuiving, grafiek aflezen

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van de parameters a, b, c, d.
- Foutief aflezen van de periode uit de grafiek.
- Incorrecte berekening van c uit de periode (c = 2π/T).
- Vergeten dat de vraag afronding op één decimaal toestaat, of juist onnodig afronden van tussenstappen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/3

## Vraag 4 – Opgave 4 (2 punten)

Uit formule (1) is af te leiden dat P_gem bestaat uit een percentage van P_min en een percentage van P_max. Het percentage van P_min is groter dan het percentage van P_max.
Bereken hoeveel keer zo groot. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule die je moet herleiden om de verhouding tussen twee delen te bepalen. Dit is een typische vraag waarbij je algebraïsche vaardigheden test in een context van percentages of verhoudingen.

Wat moet je kennen: Je moet de basisregels van algebra kennen, zoals het uitwerken van haakjes en het samenvoegen van gelijksoortige termen. Ook moet je begrijpen wat 'hoeveel keer zo groot' betekent in de context van verhoudingen.

Wat moet je kunnen: Je moet een gegeven formule kunnen herleiden naar een andere vorm, specifiek naar een vorm P_gem = a * P_min + b * P_max. Daarna moet je de verhouding van de coëfficiënten 'a' en 'b' kunnen berekenen en afronden op een geheel getal, zoals gevraagd.

Waar op letten: Let goed op het correct uitwerken van de haakjes in formule (1). Vergeet niet het minteken bij P_min binnen de haakjes.
Zorg ervoor dat je de termen met P_min en P_max correct combineert na het uitwerken van de haakjes.
De vraag vraagt om 'hoeveel keer zo groot'. Dit betekent dat je een deling moet uitvoeren van de coëfficiënten die je hebt gevonden.
Rond je eindantwoord af op een geheel getal, zoals expliciet gevraagd in de vraagtekst.

Kernbegrippen: algebraïsch herleiden, formules omschrijven, percentages

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd interpreteren van 'hoeveel keer zo groot'. Het gaat om de verhouding van de coëfficiënten (percentages), niet om de absolute waarden.
- Reken- of herleidfout bij het uitwerken van de haakjes.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/4

## Vraag 5 – Opgave 5 (3 punten)

Het is bekend dat bij een hogere hartslag de gemiddelde bloeddruk stijgt. Formule (1) houdt hier geen rekening mee.
Wetenschappers van de Rosalind Franklin University of Medicine and Science in Chicago hebben een formule opgesteld waarin de invloed van de hartslag wel meegenomen is:
P_gem = P_min + (0,33 + 0,0012 · H)(P_max - P_min) \quad (2)
Hierin is H de hartslag, uitgedrukt in het aantal slagen per minuut. P_min en P_max zijn weer de minimale en de maximale bloeddruk in rust in mmHg en P_gem is nu de gemiddelde bloeddruk in mmHg bij hartslag H. Ook hier geldt: P_max > P_min.

Een gezonde volwassen man heeft in rust een minimale bloeddruk van 80 mmHg en een maximale bloeddruk van 120 mmHg. Tijdens het hardlopen heeft hij een gemiddelde bloeddruk van 100 mmHg.
Bereken bij welke hartslag volgens formule (2) de gemiddelde bloeddruk 100 mmHg is. Geef je eindantwoord in gehele slagen per minuut.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een realistische context over bloeddruk en hartslag. Je moet een gegeven formule gebruiken, hierin bekende waarden invullen en vervolgens de vergelijking oplossen voor de onbekende variabele (de hartslag H).

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van de variabelen in de formule kennen en begrijpen hoe je deze waarden correct invult. Je moet ook de basisregels van algebra kennen om een lineaire vergelijking op te lossen.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven waarden (P_min, P_max, P_gem) correct kunnen substitueren in formule (2). Vervolgens moet je de resulterende vergelijking algebraïsch kunnen herleiden om H te isoleren. Tot slot moet je het antwoord kunnen afronden op een geheel getal, zoals gevraagd.

Waar op letten: Controleer goed welke formule je moet gebruiken. In dit geval is dat formule (2), omdat daarin de hartslag H is meegenomen.
Vul de gegeven waarden voor P_min, P_max en P_gem zorgvuldig in de formule in. Een kleine rekenfout hier kan leiden tot een verkeerd eindantwoord.
Herleid de vergelijking stap voor stap. Begin met het vereenvoudigen van de termen tussen haakjes en isoleer daarna de term met H.
Let op de volgorde van bewerkingen (haakjes, vermenigvuldigen/delen, optellen/aftrekken).
Rond je eindantwoord af op een geheel getal, zoals expliciet gevraagd in de vraagtekst ('Geef je eindantwoord in gehele slagen per minuut').

Kernbegrippen: vergelijking oplossen, formules met parameters, substitutie van waarden

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of overschrijffouten bij het invullen van de waarden in de formule.
- Fouten bij het algebraïsch oplossen van de lineaire vergelijking voor H.
- Vergeten het eindantwoord af te ronden op een geheel getal zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/5

## Vraag 6 – Opgave 6 (4 punten)

4p 6 Onderzoek op algebraïsche wijze of deze hoek kleiner is dan 30^°. De cirkel c snijdt de x-as in de punten A en B en heeft middelpunt T. Zie figuur 2. figuur 2 y A O f B x C T

Wat kun je verwachten: Je krijgt een functie f(x) en een vraag over de hoek die de raaklijn aan de grafiek van f in een specifiek punt maakt met de y-as. Je moet algebraïsch onderzoeken of deze hoek kleiner is dan 30 graden.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je de afgeleide van een functie berekent (machtsregel). Je moet ook weten dat de afgeleide in een punt de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dat punt is. Verder moet je de relatie tussen de richtingscoëfficiënt en de tangens van de hoek met de positieve x-as kennen (tan(alpha) = rc). Tot slot moet je weten hoe je de hoek met de y-as afleidt uit de hoek met de x-as.

Wat moet je kunnen: Je kunt de afgeleide van een kwadratische functie bepalen. Je kunt de x-coördinaat van het snijpunt met de y-as vinden. Je kunt de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dat punt berekenen. Je kunt met behulp van de inverse tangens (tan^-1) de hoek met de x-as bepalen. Je kunt vervolgens de hoek met de y-as berekenen en deze vergelijken met 30 graden om de vraag te beantwoorden.

Waar op letten: Let goed op welk punt van de grafiek relevant is: het snijpunt met de y-as. Wat is de x-coördinaat van dit punt?
Zorg ervoor dat je de afgeleide f'(x) correct berekent. Dit is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn.
De hoek die je met tan^-1(rc) vindt, is de hoek met de positieve x-as. De vraag gaat over de hoek met de y-as. Hoe reken je deze om?
Let op het teken van de richtingscoëfficiënt. Een negatieve richtingscoëfficiënt geeft een negatieve hoek met de x-as. Je bent geïnteresseerd in de scherpe hoek, dus de absolute waarde van de hoek is vaak relevant.
Controleer of je rekenmachine in graden staat ingesteld, aangezien de vraag een hoek in graden (30°) noemt.

Kernbegrippen: differentiëren, raaklijn, helling, richtingscoëfficiënt, hoek berekenen met tangens

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van de hoek met de x-as en de hoek met de y-as.
- Vergeten dat de helling de tangens van de hoek met de x-as is.
- Een rekenfout maken bij het differentiëren.
- Vergeten de absolute waarde te nemen of correct om te gaan met de negatieve hoek om de scherpe hoek te vinden.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/6

## Vraag 7 – Opgave 7 (8 punten)

De cirkel c snijdt de x-as in de punten A en B en heeft middelpunt T. Zie figuur 2.

8p 7 Bereken exact de y-coördinaten van de snijpunten van c met de y-as.

Wat kun je verwachten: Je moet de snijpunten van een cirkel met de y-as berekenen. Hiervoor moet je eerst de vergelijking van de cirkel opstellen. De cirkel heeft middelpunt T en snijdt de x-as in A en B. Je zult dus eerst de coördinaten van A, B en T moeten vinden.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vergelijking van een cirkel kennen: (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, waarbij (a,b) het middelpunt is en r de straal. Je moet ook weten hoe je de snijpunten van een parabool met de x-as vindt (door y=0 te stellen) en hoe je de top van een parabool bepaalt. De stelling van Pythagoras is ook een belangrijk hulpmiddel.

Wat moet je kunnen: Je moet een kwadratische vergelijking algebraïsch kunnen oplossen, bijvoorbeeld met de abc-formule of door ontbinden in factoren. Je moet de coördinaten van het middelpunt T en de straal r van de cirkel kunnen bepalen. Vervolgens moet je de cirkelvergelijking kunnen opstellen en daarin x=0 invullen om de y-coördinaten van de snijpunten met de y-as te vinden. Zorg ervoor dat je exact rekent en geen decimalen afrondt.

Waar op letten: Let goed op de tekens (+/-) bij het bepalen van de coördinaten van het middelpunt T en bij het invullen in de cirkelvergelijking.
Bereken de straal r van de cirkel nauwkeurig. De straal is de afstand van T tot A (of B). Je kunt hiervoor de afstandsformule of de stelling van Pythagoras gebruiken.
Zorg dat je de kwadratische vergelijking voor y exact oplost. Dit betekent dat je wortels niet afrondt, maar in de wortelvorm laat staan.
Vergeet niet dat er twee snijpunten met de y-as zijn, dus je krijgt twee y-coördinaten (één met +wortel en één met -wortel).

Kernbegrippen: vergelijking van een cirkel, coördinaten van de top van een parabool, snijpunten met de assen, stelling van Pythagoras, kwadratische vergelijking oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of tekenfouten bij het bepalen van de coördinaten van de top.
- Verkeerd opstellen van de cirkelvergelijking.
- Fout bij het berekenen van de straal.
- Verkeerd oplossen van de uiteindelijke vergelijking voor y.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/7

## Vraag 8 – Opgave 8 (6 punten)

Bereken algebraïsch de oppervlakte van dit parkje in m². Geef je eindantwoord als geheel getal.

Wat kun je verwachten: Je moet de oppervlakte van een driehoek berekenen waarvan alle drie de zijden bekend zijn. Dit vereist een combinatie van meetkundige regels en goniometrie.

Wat moet je kennen: Je moet de cosinusregel kennen om een hoek te berekenen als alle zijden bekend zijn. Ook moet je de formule voor de oppervlakte van een driehoek kennen, zowel de basisformule (1/2 * basis * hoogte) als de variant met sinus (1/2 * a * b * sin(C)). Je moet ook weten hoe je de sinus van een hoek gebruikt om een hoogte te berekenen in een rechthoekige driehoek.

Wat moet je kunnen: Je moet een vergelijking met de cosinusregel algebraïsch kunnen oplossen om een hoek te vinden. Je moet vervolgens met behulp van goniometrie (sinus) de hoogte van de driehoek kunnen bepalen. Ten slotte moet je de oppervlakte van de driehoek kunnen berekenen en het eindantwoord correct afronden op een geheel getal, zoals gevraagd.

Waar op letten: Controleer of je rekenmachine is ingesteld op graden ('DEG') en niet op radialen ('RAD') wanneer je goniometrische functies gebruikt.
Gebruik de cosinusregel correct: let goed op welke zijde tegenover welke hoek staat in de formule.
Rond tussenantwoorden niet te vroeg af; gebruik de volledige waarden die je rekenmachine geeft voor de nauwkeurigheid.
Vergeet de factor (1)/(2) niet in de formule voor de oppervlakte van een driehoek.
Het eindantwoord moet een geheel getal zijn, dus rond op de juiste manier af.

Kernbegrippen: cosinusregel, oppervlakte driehoek, goniometrie

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde hoek of zijde gebruiken in de cosinusregel.
- Rekenmachine op radialen in plaats van graden.
- Foutief afronden van het eindantwoord of tussenantwoorden.
- Verwarren van de formule voor de oppervlakte (bijv. vergeten van de 1/2).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/8

## Vraag 9 – Opgave 9 (4 punten)

In figuur 1 lijkt het alsof de functie f een minimum heeft in het snijpunt S.
Onderzoek of in het snijpunt S de functie f inderdaad een minimum heeft.

Wat kun je verwachten: Je onderzoekt of het visueel waargenomen snijpunt van twee grafieken ook daadwerkelijk het minimum van één van die grafieken is. Je gebruikt hiervoor je grafische rekenmachine.

Wat moet je kennen: Je moet de begrippen 'snijpunt' en 'minimum' van een functie kennen. Ook moet je weten hoe je deze met je grafische rekenmachine kunt vinden.

Wat moet je kunnen: Je moet de grafieken van de functies f(x) en g(x) correct invoeren in je grafische rekenmachine. Je moet de opties 'intersect' (snijpunt) en 'minimum' van je grafische rekenmachine kunnen gebruiken en de resultaten correct kunnen aflezen en interpreteren. Je moet je bevindingen helder kunnen vergelijken en concluderen.

Waar op letten: Je moet de functies f(x) en g(x) correct invoeren in je GR. Let goed op de haakjes bij de wortels en breuken.
Je bepaalt eerst de coördinaten van het snijpunt S. Dit doe je door de vergelijking f(x) = g(x) op te lossen met de 'intersect'-functie van je GR.
Je bepaalt vervolgens de coördinaten van het minimum van functie f. Dit doe je met de 'minimum'-functie van je GR.
Je vergelijkt de x-coördinaat van het snijpunt S met de x-coördinaat van het minimum van f. Zijn deze gelijk of verschillend?
Je conclusie moet duidelijk zijn en gebaseerd op je berekeningen, niet op wat je in de figuur ziet.

Kernbegrippen: snijpunt van grafieken, minimum van een functie, gebruik van grafische rekenmachine

Veelgemaakte fouten:
- Visuele inspectie als bewijs gebruiken
- Verwarren van de x-coördinaat van het snijpunt met de x-coördinaat van het minimum
- Onvoldoende toelichten van het GR-gebruik.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/9

## Vraag 10 – Opgave 10 (2 punten)

Verder wordt de functie h gegeven door h(x) = √(x).
In figuur 2 zijn de grafieken van f en h weergegeven. Voor steeds grotere waarden van x liggen de grafieken van f en h steeds dichter bij elkaar.
Leg uit, zonder getallenvoorbeeld of gebruik van de grafische rekenmachine, waarom voor grote waarden van x de grafieken van f en h dicht bij elkaar liggen.

Wat kun je verwachten: Je moet uitleggen waarom twee functies voor grote waarden van x dicht bij elkaar liggen. Dit doe je door te redeneren over het gedrag van de functies als x heel groot wordt, zonder getallen of de grafische rekenmachine te gebruiken.

Wat moet je kennen: Je moet het concept van limieten kennen, specifiek hoe termen met x in de noemer zich gedragen als x naar oneindig gaat. Je moet ook weten hoe wortelfuncties werken.

Wat moet je kunnen: Je moet een wiskundige redenering kunnen opbouwen en opschrijven, waarbij je de eigenschappen van functies voor grote waarden van x correct toepast. Je moet de vraag goed lezen en de expliciete verboden (geen getallenvoorbeeld, geen GR) respecteren.

Waar op letten: Je mag GEEN getallenvoorbeelden gebruiken om je uitleg te ondersteunen. Dit is expliciet verboden in de vraagtekst.
Je mag de grafische rekenmachine (GR) NIET gebruiken voor je uitleg. De redenering moet puur algebraïsch zijn.
Je moet de functie f(x) = sqrt(x + (1)/(x)) vergelijken met h(x) = sqrt(x). Focus op het verschil tussen deze twee functies.
Denk na over wat er gebeurt met de term (1)/(x) als x steeds groter wordt. Wat nadert deze term dan?
Leg duidelijk uit hoe het gedrag van die specifieke term de totale functie f(x) beïnvloedt en waarom f(x) dan dicht bij h(x) komt te liggen.

Kernbegrippen: limieten, gedrag van functies voor grote x, wortelfuncties, asymptotisch gedrag

Veelgemaakte fouten:
- Een getallenvoorbeeld gebruiken, wat expliciet verboden is.
- De grafische rekenmachine gebruiken, wat expliciet verboden is.
- Niet duidelijk de redenering opschrijven dat de term 1/x naar 0 gaat als x groot wordt.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/10

## Vraag 11 – Opgave 11 (3 punten)

Verder wordt de functie h gegeven door h(x) = √(x).
In figuur 2 zijn de grafieken van f en h weergegeven. Voor steeds grotere waarden van x liggen de grafieken van f en h steeds dichter bij elkaar.

3p 11 Bereken voor welke waarden van x het verschil tussen f(x) en h(x) minder is dan 0,01. Geef je eindantwoord in drie decimalen.

Wat kun je verwachten: Je moet een ongelijkheid oplossen waarbij je de grafische rekenmachine (GR) gebruikt. Het gaat om het verschil tussen twee functies dat kleiner moet zijn dan een bepaalde waarde. Je zult de snijpunten van grafieken op je GR moeten bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet de functies f(x) = sqrt(x + (1)/(x)) en h(x) = sqrt(x) kennen. Ook moet je weten hoe je ongelijkheden interpreteert in de context van grafieken en hoe je de GR gebruikt om snijpunten te vinden.

Wat moet je kunnen: Je moet de ongelijkheid f(x) - h(x) < 0,01 kunnen opstellen en deze vervolgens oplossen met je GR. Dit betekent dat je de functies correct invoert in je GR, de vensterinstellingen aanpast zodat je het snijpunt goed kunt zien, en de 'intersect'-functie van je GR kunt gebruiken. Tot slot moet je je antwoord correct afronden op drie decimalen en de oplossing als een interval noteren.

Waar op letten: Je moet de ongelijkheid f(x) - h(x) < 0,01 opstellen. Let op het 'minder is dan' wat betekent dat je een 'kleiner dan' teken (<) gebruikt.
Je lost de ongelijkheid op door eerst de vergelijking f(x) - h(x) = 0,01 op te lossen met je grafische rekenmachine. Dit doe je door Y1 = f(x) - h(x) en Y2 = 0,01 in te voeren en het snijpunt te bepalen.
Je moet goed beschrijven hoe je de grafische rekenmachine hebt gebruikt om tot je antwoord te komen. Noem welke functies je hebt ingevoerd en welke GR-functie je hebt gebruikt (bijvoorbeeld 'intersect' of 'snijpunt').
Je moet het eindantwoord in drie decimalen geven. Let goed op de afrondingsregels.
De vraag vraagt om 'waarden van x', wat betekent dat je een interval als antwoord moet geven, niet alleen een enkele x-waarde. Gebruik figuur 2 om te bepalen of het 'groter dan' of 'kleiner dan' de gevonden x-waarde moet zijn.

Kernbegrippen: ongelijkheden oplossen, wortelfuncties, grafische rekenmachine gebruiken

Veelgemaakte fouten:
- De ongelijkheid f(x) - h(x) < 0,01 verwarren met de vergelijking f(x) - h(x) = 0,01 en alleen de x-waarde geven in plaats van een interval.
- Onjuist afronden op drie decimalen.
- Vergeten te beschrijven hoe de grafische rekenmachine is gebruikt om de vergelijking op te lossen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/11

## Vraag 12 – Opgave 12 (3 punten)

3p 12 Bereken deze groeifactor per minuut in vijf decimalen. Na 45 minuten koken geldt het exponentiële verband (1) niet meer. Het percentage alfazuren dat is omgezet neemt vanaf dat moment langzamer toe dan daarvoor. Na 60 minuten koken is meestal het maximumpercentage omgezette alfazuren bereikt. Bij een amateurbrouwer is dit maximumpercentage 27%. De tijd die nodig is om de eerste helft, dus 13,5% alfazuren, om te zetten is niet gelijk aan de tijdsduur die nodig is om dit percentage daarna nog te verhogen tot 27%.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een tekst met informatie over een proces dat exponentieel verloopt. Je moet een groeifactor berekenen op basis van twee meetpunten en een tijdsduur. Let goed op de eenheid van tijd die gevraagd wordt (per minuut) en de afronding.

Wat moet je kennen: Je moet het principe van exponentiële groei kennen: N(t) = N(0) * g^t. Je moet weten hoe je een groeifactor per eenheid kunt omrekenen naar een groeifactor per andere eenheid (bijvoorbeeld van 40 minuten naar 1 minuut).

Wat moet je kunnen: Je kunt een vergelijking opstellen met een onbekende groeifactor en deze algebraïsch oplossen. Je kunt de n-de-machtswortel berekenen met je rekenmachine. Je kunt correct afronden op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Lees goed welke tijdsduur hoort bij de gegeven begin- en eindwaarde. Het is niet altijd de totale tijd die genoemd wordt, maar de tijdsspanne tussen de twee meetpunten.
Zorg ervoor dat je de groeifactor per de juiste tijdseenheid berekent. Als er om 'per minuut' wordt gevraagd, moet je de groeifactor per minuut vinden, zelfs als je gegevens over een langere periode hebt.
Let op de afronding: er wordt gevraagd om vijf decimalen. Rond pas op het allerlaatste moment af om afrondingsfouten te voorkomen.
Controleer of je de juiste bewerking gebruikt om de groeifactor per minuut te vinden. Als je een groeifactor over 40 minuten hebt, moet je de 40e-machtswortel nemen om de groeifactor per minuut te krijgen.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor berekenen, groeifactor per tijdseenheid

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten dat de tijdsspanne 40 minuten is (45 - 5), niet 45 minuten.
- Vergeten dat t=0 overeenkomt met 5 minuten kooktijd, wat relevant is voor de volgende vraag maar het begrip van het model test.
- Afrondingsfouten of niet afronden op het gevraagde aantal decimalen (vijf).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/12

## Vraag 13 – Opgave 13 (4 punten)

Na 45 minuten koken geldt het exponentiële verband (1) niet meer. Het percentage alfazuren dat is omgezet neemt vanaf dat moment langzamer toe dan daarvoor. Na 60 minuten koken is meestal het maximumpercentage omgezette alfazuren bereikt. Bij een amateurbrouwer is dit maximumpercentage 27%.
De tijd die nodig is om de eerste helft, dus 13,5% alfazuren, om te zetten is niet gelijk aan de tijdsduur die nodig is om dit percentage daarna nog te verhogen tot 27%.
Bereken hoeveel minuten verschil er tussen deze twee tijdsduren is. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een contextvraag over het omzetten van alfazuren tijdens het koken, waarbij een exponentieel verband wordt gebruikt voor een deel van het proces. Je moet een exponentiële vergelijking oplossen en de resultaten interpreteren binnen de gegeven context om een tijdsverschil te berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van exponentiële functies kennen en weten hoe je exponentiële vergelijkingen algebraïsch of met je GR kunt oplossen. Ook moet je goed de tekst kunnen lezen en de verschillende tijdsduren correct kunnen interpreteren.

Wat moet je kunnen: Je moet een exponentiële vergelijking van de vorm a * b^t = c kunnen oplossen. Je moet de berekende waarde van 't' kunnen omzetten naar de werkelijke kooktijd door rekening te houden met de startcondities. Je moet de tijdsduur voor twee verschillende fasen van het proces kunnen berekenen en het verschil daartussen bepalen. Tot slot moet je je eindantwoord kunnen afronden op een geheel getal zoals gevraagd.

Waar op letten: Let goed op de betekenis van de variabele 't' in de gegeven formule (1). Deze 't' start niet bij 0 minuten kooktijd, maar bij 5 minuten kooktijd.
Zorg ervoor dat je de exponentiële vergelijking correct opstelt voor het moment dat 13,5% alfazuren is omgezet.
Gebruik je GR om de exponentiële vergelijking op te lossen. Noteer voldoende decimalen van je tussenresultaat om afrondingsfouten te voorkomen.
Bereken de totale kooktijd voor de eerste 13,5% omzetting door de starttijd (5 minuten) bij je berekende 't' op te tellen.
Bereken de tijdsduur voor de tweede 13,5% omzetting door rekening te houden met de totale kooktijd van 60 minuten en de tijd die nodig was voor de eerste 13,5%. Rond je eindantwoord af op een geheel getal, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: exponentiële groei, exponentiële vergelijking oplossen, modelleren met functies

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten dat t=0 overeenkomt met een kooktijd van 5 minuten, en deze 5 minuten niet meerekenen in de totale kooktijd.
- Onjuist berekenen van de tijdsduur voor de tweede helft van de omzetting.
- Het eindantwoord niet afronden op een geheel getal zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/13

## Vraag 14 – Opgave 14 (4 punten)

De Europese bitterheidseenheid (EBU, European Bittering Units) is een maat om de bitterheid van bier aan te geven. Voor een bepaalde biersoort kan de bitterheid berekend worden met de formule:
B = (4 ⋅ P ⋅ M) / (5 ⋅ V)
Hierin is:
- B de bitterheid in EBU;
- P het percentage alfazuren dat is omgezet;
- M de massa aan hop in grammen;
- V de hoeveelheid bier die gebrouwen wordt in liters.

Volgens het recept moet de hop in deze biersoort 30 minuten gekookt worden. Een amateurbrouwer wil graag een bitterheid van 30 EBU hebben voor zijn bier en gebruikt hiervoor 100 gram hop.
Bereken algebraïsch hoeveel liter bier hiermee kan worden gebrouwen. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule die de bitterheid van bier beschrijft, afhankelijk van verschillende variabelen. Je moet een van deze variabelen berekenen door de andere gegeven waarden in te vullen en de vergelijking algebraïsch op te lossen. Let goed op de context van de variabelen en eventuele afhankelijkheden tussen formules.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van de variabelen in de formule kennen (B, P, M, V) en hoe ze met elkaar samenhangen. Ook moet je weten hoe je een exponentiële formule (voor P) gebruikt en hoe je een vergelijking met breuken algebraïsch oplost.

Wat moet je kunnen: Je moet de juiste waarden uit de tekst kunnen halen en deze correct kunnen substitueren in de gegeven formules. Je moet een exponentiële berekening kunnen uitvoeren om P te vinden. Vervolgens moet je de bitterheidsformule kunnen herschrijven om V vrij te maken en de waarde van V te berekenen. Tot slot moet je je antwoord correct afronden zoals gevraagd.

Waar op letten: Lees de vraag goed: er staat '30 minuten gekookt', maar de formule voor P (die in een eerdere vraag is geïntroduceerd, maar hier niet expliciet staat) heeft vaak een 't' die een afwijking heeft van de totale kooktijd. Controleer of je de juiste waarde voor 't' gebruikt, bijvoorbeeld door 5 minuten van de totale kooktijd af te trekken als t=0 al 5 minuten koken betekent.
Substitueer de bekende waarden (B=30, M=100) correct in de formule voor B.
Bereken eerst de waarde van P nauwkeurig. Gebruik voldoende decimalen voor P om afrondingsfouten in je eindantwoord te voorkomen.
Herschrijf de formule algebraïsch om V vrij te maken. Dit betekent dat je V naar één kant van de vergelijking isoleert.
Rond je eindantwoord af op een geheel getal, zoals gevraagd in de vraagstelling.

Kernbegrippen: exponentiële groei, formules substitueren, algebraïsch oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde waarde voor t gebruiken. De kooktijd is 30 minuten, maar t=0 staat voor 5 minuten koken, dus t moet 30-5=25 zijn.
- Afrondingsfouten bij tussenantwoorden.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/14

## Vraag 15 – Opgave 15 (3 punten)

De grafieken van f en g snijden elkaar in de punten A en B. Punt A ligt op de y-as.
Bereken exact de x-coördinaat van B.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het vinden van snijpunten van twee exponentiële functies. Je moet een vergelijking opstellen en deze algebraïsch oplossen, waarbij je rekening houdt met wortels en kwadrateren.

Wat moet je kennen: Je moet de rekenregels voor machten kennen, met name dat als a^b = a^c, dan b = c (mits a > 0 en a ≠ 1). Je moet ook weten hoe je een wortelvergelijking oplost en hoe je kwadrateert.

Wat moet je kunnen: Je moet de twee functies aan elkaar gelijk kunnen stellen om de snijpunten te vinden. Je moet de resulterende vergelijking kunnen vereenvoudigen en een wortelvergelijking kunnen oplossen door te kwadrateren. Tot slot moet je de oplossingen controleren en de juiste x-coördinaat voor punt B kunnen selecteren, gegeven dat punt A op de y-as ligt.

Waar op letten: Stel de functies f(x) en g(x) aan elkaar gelijk om de snijpunten te vinden.
Gebruik de eigenschap dat als de grondtallen van machten gelijk zijn, de exponenten ook gelijk moeten zijn. Dit vereenvoudigt de vergelijking aanzienlijk.
Let op het domein van de functie met de wortel: de uitdrukking onder het wortelteken moet groter of gelijk zijn aan 0. Dit kan oplossingen uitsluiten.
Bij het oplossen van de wortelvergelijking door te kwadrateren, kunnen 'valse' oplossingen ontstaan. Controleer je antwoorden altijd in de oorspronkelijke vergelijking.
De vraag vraagt om een exact antwoord, dus laat geen decimalen staan. Vergeet niet dat punt A op de y-as ligt, wat betekent dat de x-coördinaat van A gelijk is aan 0. Dit helpt je bij het kiezen van de juiste oplossing voor punt B.

Kernbegrippen: exponentiële vergelijkingen oplossen, rekenregels voor machten, wortelvergelijkingen oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de oplossing x=0 te vinden of deze onterecht toewijzen aan punt B.
- Foutief kwadrateren van de vergelijking x = 2√x, bijvoorbeeld naar x² = 2x.
- Bij het delen door x in x² = 4x de oplossing x=0 verliezen (hoewel dit hier toevallig goed uitpakt omdat B niet bij x=0 ligt).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/15

## Vraag 16 – Opgave 16 (3 punten)

De grafiek van f wordt ten opzichte van de x-as met - vermenigvuldigd.
Hierdoor ontstaat de grafiek van de functie h.
Vervolgens wordt de grafiek van h omhoog geschoven. Hierdoor ontstaat de grafiek van de functie k. De horizontale asymptoot van de grafiek van k gaat door A, het snijpunt van de grafiek van f en de y-as.
Zie figuur 2.
Stel een functievoorschrift op van k.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over transformaties van functies. Je moet een nieuw functievoorschrift opstellen door een reeks transformaties toe te passen op een gegeven functie. Hierbij is het belangrijk dat je de volgorde van de transformaties correct toepast en dat je informatie uit de vraag en de figuur combineert.

Wat moet je kennen: Je moet de basisregels voor transformaties van functies kennen: vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as en verticaal verschuiven. Ook moet je weten hoe je de y-coördinaat van een snijpunt met de y-as berekent en wat een horizontale asymptoot is bij exponentiële functies.

Wat moet je kunnen: Je moet een functievoorschrift kunnen aanpassen op basis van beschreven transformaties. Je moet de y-coördinaat van een punt op de y-as kunnen berekenen door x=0 in te vullen in de functie. Je moet de betekenis van een horizontale asymptoot kunnen vertalen naar een verticale verschuiving in het functievoorschrift.

Waar op letten: Let goed op de volgorde van de transformaties: eerst vermenigvuldigen, dan verschuiven. Dit is cruciaal voor het juiste functievoorschrift.
De vermenigvuldiging 'met -' betekent dat je de hele functie f(x) vermenigvuldigt met -(1)/(5). Zorg dat je dit correct toepast op de exponentiële functie.
Om de verticale verschuiving te bepalen, moet je de y-coördinaat van punt A berekenen. Punt A is het snijpunt van de grafiek van f met de y-as. Hoe bereken je de y-coördinaat van een snijpunt met de y-as?
De horizontale asymptoot van de grafiek van k gaat door punt A. Dit betekent dat de y-coördinaat van A de waarde van de verticale verschuiving is. Let op het teken van deze verschuiving.
Het eindantwoord moet een exact functievoorschrift zijn, dus geen afgeronde decimalen.

Kernbegrippen: transformaties van functies, exponentiële functies, horizontale asymptoot, functievoorschrift opstellen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de y-coördinaat van het snijpunt A te berekenen
- De verticale verschuiving incorrect toepassen op de functie h
- Fouten maken in de volgorde van transformaties (eerst vermenigvuldigen, dan verschuiven)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/16

## Vraag 17 – Opgave 17 (2 punten)

2p 17 De grafiek van k snijdt de x-as in het punt C met x-coördinaat x = -3 + \phantom^2\log(40). Deze x-coördinaat kan ook geschreven worden in de vorm x = \phantom^2\log(p), met p een geheel getal. Bereken exact de waarde van p.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een uitdrukking met een logaritme en een los getal. Je moet deze uitdrukking herleiden tot één enkele logaritme van een specifiek grondtal. Dit vereist dat je de rekenregels voor logaritmen goed kent en toepast.

Wat moet je kennen: Je moet de rekenregels voor logaritmen kennen, met name hoe je een getal kunt schrijven als een logaritme met een bepaald grondtal (bijvoorbeeld a = ^glog(g^a)) en hoe je de som van twee logaritmen met hetzelfde grondtal kunt combineren tot één logaritme (log(A) + log(B) = log(A*B)). Ook moet je goed kunnen rekenen met negatieve exponenten.

Wat moet je kunnen: Je moet een los getal kunnen omzetten naar een logaritme met het juiste grondtal. Daarna moet je de rekenregel voor het optellen van logaritmen kunnen toepassen om de uitdrukking te vereenvoudigen tot de gevraagde vorm ^2log(p).

Waar op letten: Let goed op het grondtal van de logaritme; in dit geval is dat 2. Je moet het losse getal -3 dus schrijven als een logaritme met grondtal 2.
Denk eraan dat een getal 'a' geschreven kan worden als ^glog(g^a). Pas dit correct toe voor -3.
Wees nauwkeurig met de rekenregel voor het optellen van logaritmen: ^glog(A) + ^glog(B) = ^glog(A * B).
Controleer je berekening van de negatieve exponent: 2^(-3) is niet -6 of 1/6, maar 1/(2^3).
Het antwoord moet exact zijn, dus geen decimalen afronden. De waarde van p moet een geheel getal zijn.

Kernbegrippen: Rekenregels voor logaritmen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd toepassen van de rekenregels voor logaritmen, bijvoorbeeld -3 + log(40) schrijven als log(-3 * 40) of log(40-3).
- Een rekenfout maken met de negatieve exponent, 2⁻³ = 1/8.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/17

## Vraag 18 – Opgave 18 (4 punten)

4p 18 De functie f wordt gegeven door f(x) = x^4 - 3x^2 + 2. Bereken exact het minimum van f. Functie f kan ook geschreven worden als f(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 2). De grafiek van f snijdt de x-as achtereenvolgens in de punten A, B, C en D. Het punt T is het snijpunt van de grafiek van f met de y-as. Zie de figuur. figuur y T f A B O C D x

Wat kun je verwachten: Je krijgt een functie en je moet het minimum van deze functie exact berekenen. Dit is een standaardprocedure waarbij je differentiëren gebruikt.

Wat moet je kennen: Je moet de regels voor differentiëren (met name de machtsregel) goed kennen. Ook moet je weten hoe je een vergelijking van de vorm ax^3 + bx = 0 algebraïsch oplost en hoe je een tekenoverzicht van de afgeleide maakt om te bepalen of je een minimum of maximum hebt.

Wat moet je kunnen: Je moet de afgeleide van een polynoomfunctie kunnen bepalen. Je moet een derdegraadsvergelijking kunnen oplossen door een factor buiten haakjes te halen. Je moet de gevonden x-waarden kunnen substitueren in de oorspronkelijke functie om de y-waarde van het extremum te vinden. Je moet ook kunnen bepalen of een gevonden extremum een minimum of een maximum is, bijvoorbeeld met een tekenoverzicht van de afgeleide.

Waar op letten: Je moet eerst de afgeleide f'(x) bepalen met de machtsregel voor differentiëren.
Je stelt de afgeleide f'(x) gelijk aan nul om de x-coördinaten van de mogelijke extrema te vinden. Let goed op de algebraïsche stappen bij het oplossen van deze vergelijking.
Je controleert of de gevonden x-waarden daadwerkelijk minima zijn. Dit kun je doen met een tekenoverzicht van f'(x) of door de tweede afgeleide te bepalen (hoewel een tekenoverzicht vaak volstaat voor HAVO).
Je vult de x-coördinaat van het minimum in de OORSPRONKELIJKE functie f(x) in om de bijbehorende y-waarde (het minimum) te vinden. Vergeet dit niet!
Je geeft het antwoord exact, dus laat wortels en breuken staan waar nodig en rond niet af.

Kernbegrippen: differentiëren, afgeleide functie, extrema bepalen, afgeleide gelijkstellen aan nul

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de afgeleide gelijk te stellen aan nul.
- Rekenfout bij het oplossen van de vergelijking f'(x)=0.
- Vergeten de gevonden x-waarde in de oorspronkelijke functie f(x) in te vullen om de y-waarde (het minimum) te vinden.
- Het lokale maximum bij x=0 verwarren met het minimum.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/18

## Vraag 19 – Opgave 19 (6 punten)

Functie f kan ook geschreven worden als f(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 2).
De grafiek van f snijdt de x-as achtereenvolgens in de punten A, B, C en D.
Het punt T is het snijpunt van de grafiek van f met de y-as.
Zie de figuur.

figuur

19 In de figuur is ∠ATC aangegeven.
Bereken algebraïsch deze hoek. Geef je eindantwoord in graden in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je moet de coördinaten van specifieke punten op de grafiek bepalen en vervolgens goniometrie of de cosinusregel toepassen om een hoek te berekenen. Je zult snijpunten met de assen moeten vinden en afstanden moeten berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je snijpunten met de x-as (f(x)=0) en de y-as (x=0) berekent. Je moet de definities van sinus, cosinus en tangens in een rechthoekige driehoek kennen, of de cosinusregel voor een willekeurige driehoek. Ook moet je weten hoe je met inverse goniometrische functies (arcsin, arccos, arctan) een hoek berekent.

Wat moet je kunnen: Je kunt algebraïsch de x-coördinaten van de snijpunten met de x-as bepalen door f(x)=0 op te lossen. Je kunt de y-coördinaat van het snijpunt met de y-as bepalen door x=0 in f(x) in te vullen. Je kunt de lengtes van lijnstukken berekenen met de stelling van Pythagoras of door coördinaten te gebruiken. Je kunt de tangens of cosinusregel correct toepassen om de gevraagde hoek te vinden. Je kunt je GR gebruiken om de hoek in graden te berekenen en correct af te ronden op één decimaal.

Waar op letten: Let goed op welke x-coördinaten horen bij de punten A en C. De vraag spreekt over 'achtereenvolgens in de punten A, B, C en D'.
Zorg ervoor dat je de juiste zijden gebruikt bij het toepassen van de tangens in de rechthoekige driehoeken (overstaande zijde / aanliggende zijde).
Als je de cosinusregel gebruikt, identificeer dan correct de zijden en de hoek die je wilt berekenen. De zijde tegenover de hoek ∠ATC is de afstand AC.
Vergeet niet je rekenmachine in de 'DEG' (graden) stand te zetten voordat je de inverse goniometrische functies gebruikt, aangezien het antwoord in graden gevraagd wordt.
Rond pas aan het einde af op één decimaal. Gebruik tussendoor voldoende decimalen om afrondingsfouten te voorkomen.

Kernbegrippen: goniometrie, cosinusregel, tangens, coördinatenstelsel, snijpunten met assen, richtingscoëfficiënt

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van de x-coördinaten van de snijpunten A, B, C, D.
- Incorrect toepassen van de tangens in de driehoeken (bijv. omgekeerde zijden).
- Foutief toepassen van de cosinusregel (verkeerde zijden of hoek).
- Reken- of afrondingsfouten bij het bepalen van de hoeken.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2024/tijdvak-1/vraag/19

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2024
tijdvak 1
dinsdag 14 mei
13.30 - 16.30 uur

_wiskunde B_

Dit examen bestaat uit 19 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redener worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

HA-1025-a-24-1-o

### Pagina 2

Ga verder op de volgende pagina.













H A-1025-a-24-1-o
2 / 14
lees verder ►►►

### Pagina 3

Door de top
De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = 2(\frac{1}{3}x - 1)^3 - \frac{1}{3}x + 3$.
De afgeleide van $f$ is $f'(x) = \frac{2}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1\frac{1}{2}$.
4p 1 Bewijs dat inderdaad geldt $f'(x) = \frac{2}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1\frac{1}{2}$.
Het punt $A$ is de linker top van de grafiek van $f$. Zie de figuur.
De functie $g$ wordt gegeven door $g(x) = x^2 - \frac{10}{3}x + c$. Hierin is $c$ een
constante.
De grafiek van $g$ gaat door het punt $A$.
figuur
[FIGUUR: Een grafiek van twee functies, f en g, met de x- en y-as, het snijpunt O, de grafiek van f die een dal en een top heeft, en de grafiek van g die door de top A van f gaat.]
6p 2 Bereken exact de waarde van $c$.
HA-1025-a-24-1-o
3 / 14
leest verder

### Pagina 4

Bloeddruk
De bloeddruk in een slagader stijgt en daalt wanneer het hart het bloed
door de aderen pompt. Dit stijgen en dalen is een periodiek verschijnsel
dat te benaderen is met een sinusoïde. De periode hiervan is de tijd
tussen twee opeenvolgende hartslagen.
De bloeddruk van een gezonde volwassen man in rust is vereenvoudigd
weergegeven in de grafiek van figuur 1.
figuur 1
bloed druk 130
(mmHg)
↑
120
110
100
90
80
70
60
50
0
0
1
2
3
4
5
6
→ tijd (s)
Deze grafiek is te beschrijven met een formule van de vorm
$P = a + b \sin(c(t - d))$, met $P$ de bloeddruk in mmHg (millimeter kwikdruk)
en $t$ de tijd in seconden.
5p
3
Bepaal de waarden van $a, b, c$ en $d$ met behulp van de grafiek in figuur 1.
Geef je eindantwoord zo nodig in één decimaal.
In werkelijkheid verloopt de bloeddruk van een gezonde volwassen man
die geen grote inspanning levert niet helemaal als een sinusoïde. Dit komt
doordat de bloeddruk iedere periode een langere tijd laag is dan hoog.
Hierdoor zijn in de periodieke grafiek van de bloeddruk de bovenste delen
smaller dan de onderste delen. Een schets die het verloop van de
bloed druk beter benadert, is te zien in figuur 2.
HA-1025-a-24-1-0
4/14
lees verder
leiden.nl.

### Pagina 5

figuur 2
bloeddruk
↑
→ tijd
Een formule om de gemiddelde bloeddruk te benaderen, is
$P_{\text{gem}} = P_{\text{min}}+0,33(P_{\text{max}}-P_{\text{min}})$ (1)
Hierin zijn $P_{\text{gem}}, P_{\text{min}}$ en $P_{\text{max}}$ achtereenvolgens de gemiddelde, de
minimale en de maximale bloeddruk in mmHg. Er geldt: $P_{\text{max}} > P_{\text{min}}$.
Uit formule (1) is af te leiden dat $P_{\text{gem}}$ bestaat uit een percentage van $P_{\text{min}}$
en een percentage van $P_{\text{max}}$. Het percentage van $P_{\text{min}}$ is groter dan het
percentage van $P_{\text{max}}$.
2p 4 Bereken hoeveel keer zo groot. Geef je eindantwoord als geheel getal.
Het is bekend dat bij een hogere hartslag de gemiddelde bloeddruk stijgt.
Formule (1) houdt hier geen rekening mee.
Wetenschappers van de Rosalind Franklin University of Medicine and
Science in Chicago hebben een formule opgesteld waarin de invloed van
de hartslag wel meegenomen is:
$P_{\text{gem}} = P_{\text{min}} + (0,33 + 0,0012 \cdot H)(P_{\text{max}}-P_{\text{min}})$ (2)
Hierin is $H$ de hartslag, uitgedrukt in het aantal slagen per minuut.
$P_{\text{min}}$ en $P_{\text{max}}$ zijn weer de minimale en de maximale bloeddruk in rust in
mmHg en $P_{\text{gem}}$ is nu de gemiddelde bloeddruk in mmHg bij hartslag $H$.
Ook hier geldt: $P_{\text{max}} > P_{\text{min}}$.
Een gezonde volwassen man heeft in rust een minimale bloeddruk van
80 mmHg en een maximale bloeddruk van 120 mmHg. Tijdens het
hardlopen heeft hij een gemiddelde bloeddruk van 100 mmHg.
3p 5 Bereken bij welke hartslag volgens formule (2) de gemiddelde bloeddruk
100 mmHg is. Geef je eindantwoord in gehele slagen per minuut.
HA-1025-a-24-1-o
5 / 14
lees verder

### Pagina 6

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "wiskunde",
    "year": "2024",
    "tijdvak": "1"
  },
  "figures": [
    "Een grafiek met de x- en y-as. De y-as is een verticale lijn en de x-as een horizontale lijn. De oorsprong is gelabeld met O. Een parabool, gelabeld met f, snijdt de x-as in de punten A en B. De parabool snijdt de y-as in punt D. Het punt T is het laagste punt van de parabool, dus de top.",
    "Een grafiek met de x- en y-as. De y-as is een verticale lijn en de x-as een horizontale lijn. De oorsprong is gelabeld met O. Een cirkel, gelabeld met c, snijdt de x-as in de punten A en B. De parabool, gelabeld met f, snijdt de x-as in de punten A en B. Het middelpunt van de cirkel is T. De cirkel gaat ook door de punten waar de parabool de x-as snijdt."
  ],
  "keywords": "parabool, cirkel, functies, grafieken, snijpunten, raaklijn, algebra, y-coördinaten, wiskunde, eindexamen"
}
```

### Pagina 7

Parkje in Lyon

In de Franse stad Lyon ligt een parkje met de naam 'Jardin des tout-petits Adolphe-Lafont'. De vorm is nagenoeg driehoekig.
We benaderen de vorm van dit parkje met een driehoek ABC. Zie de
figuur.

[FIGUUR: Een kaart van een parkje met de vorm van een driehoek, gelabeld met ABC. De zijden van de driehoek hebben lengtes 101 m, 92 m en 145 m, en zijn gelabeld met de namen van straten: Rue Lafontaine, Rue Pascal en Avenue Marc Sangnier. Binnen de driehoek staat "Jardin des tout-petits Adolphe-Lafont" en een icoon van een boom.]

Er geldt:
– Zijde AB, langs de Rue Pascal, is 92 m lang.
– Zijde BC, langs de Rue Lafontaine, is 101 m lang.
– Zijde AC, langs de Avenue Marc Sangnier, is 145 m lang.

6p 8 Bereken algebraïsch de oppervlakte van dit parkje in m². Geef je eindantwoord als geheel getal.

HA-1025-a-24-1-o 7 / 14
les verder

### Pagina 8

Dicht bij elkaar
De functies f en g worden gegeven door:
$f(x) = \sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x}}$ en $g(x) = \sqrt{\frac{1}{x}}$
S is het snijpunt van de grafieken van f en g.
Zie figuur 1.
figuur 1
y
f
S
g
X
O
4p 9 In figuur 1 lijkt het alsof de functie f een minimum heeft in het snijpunt S.
Onderzoek of in het snijpunt S de functie f inderdaad een minimum heeft.

### Pagina 9

Verder wordt de functie $h$ gegeven door $h(x) = \sqrt{x}$.
In figuur 2 zijn de grafieken van $f$ en $h$ weergegeven. Voor steeds grotere
waarden van $x$ liggen de grafieken van $f$ en $h$ steeds dichter bij elkaar.
figuur 2

Y

$f$

$h$

O
X

2p 10 Leg uit, zonder getallenvoorbeeld of gebruik van de grafische
rekenmachine, waarom voor grote waarden van $x$ de grafieken van $f$ en $h$
dicht bij elkaar liggen.

3p 11 Bereken voor welke waarden van $x$ het verschil tussen $f(x)$ en $h(x)$
minder is dan 0,01. Geef je eindantwoord in drie decimalen.

HA-1025-a-24-1-0
9 / 14
lees verder


### Pagina 10

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "Bierbrouwen",
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [],
  "keywords": "bierbrouwen, bitterheid, hop, alfazuren, iso-alfazuren, kooktijd, exponentieel verband, groeifactor, percentage"
}
```

### Pagina 11

De Europese bitterheidseenheid (EBU, European Bittering Units) is een
maat om de bitterheid van bier aan te geven. Voor een bepaalde biersoort
kan de bitterheid berekend worden met de formule:
$B = \frac{4 \cdot P \cdot M}{5 \cdot V}$
Hierin is:
- $B$ de bitterheid in EBU;
- $P$ het percentage alfazuren dat is omgezet;
- $M$ de massa aan hop in grammen;
- $V$ de hoeveelheid bier die gebrouwen wordt in liters.
Volgens het recept moet de hop in deze biersoort 30 minuten gekookt
worden. Een amateurbrouwer wil graag een bitterheid van 30 EBU
hebben voor zijn bier en gebruikt hiervoor 100 gram hop.
4p 14 Bereken algebraïsch hoeveel liter bier hiermee kan worden gebrouwen.
Geef je eindantwoord als geheel getal.
HA-1025-a-24-1-o
11 / 14
lees verder

### Pagina 12

Exponentiële functies

De functie f wordt gegeven door $f(x) = 2^{x+3}$ en de functie g wordt
gegeven door $g(x) = 2^{3+2\sqrt{x}}$.
In figuur 1 zijn de grafieken van f en g weergegeven.

figuur 1

[FIGUUR: Een assenstelsel met de y-as en de x-as. Twee grafieken, f en g, zijn getekend. Grafiek f begint links onderaan en stijgt, en gaat door punt A op de y-as. Grafiek g begint links onderaan, stijgt sneller dan f, en snijdt grafiek f in punt B.]

De grafieken van f en g snijden elkaar in de punten A en B. Punt A ligt op
de y-as.

3p 15 Bereken exact de x-coördinaat van B.

HA-1025-a-24-1-o
12 / 14
lees verder ► ► ►

### Pagina 13

De grafiek van $f$ wordt ten opzichte van de $x$-as met $-\frac{1}{5}$ vermenigvuldigd. Hierdoor ontstaat de grafiek van de functie $h$. Vervolgens wordt de grafiek van $h$ omhoog geschoven. Hierdoor ontstaat de grafiek van de functie $k$. De horizontale asymptoot van de grafiek van $k$ gaat door $A$, het snijpunt van de grafiek van $f$ en de $y$-as.
Zie figuur 2.

figuur 2

[FIGUUR: Een grafiek met de assen $x$ en $y$. De grafiek van functie $f$ is een deel van een hyperbool in het eerste kwadrant. De grafiek van functie $h$ is een deel van een hyperbool in het derde en vierde kwadrant, gespiegeld ten opzichte van de x-as. De grafiek van functie $k$ is een deel van een hyperbool die asymptotisch nadert tot een horizontale lijn en de y-as. De horizontale lijn is de horizontale asymptoot van $k$. Het snijpunt van de y-as met de horizontale lijn is punt $A$. Het snijpunt van de curve $k$ met de x-as is punt $C$. De oorsprong is $O$.]

3p 16 Stel een functievoorschrift op van $k$.

De grafiek van $k$ snijdt de $x$-as in het punt $C$ met $x$-coördinaat $x=-3+\text{ }^2\log(40)$.
2p 17 Deze $x$-coördinaat kan ook geschreven worden in de vorm $x=\text{ }^2\log(p)$,
met $p$ een geheel getal.
Bereken exact de waarde van $p$.

HA-1025-a-24-1-o
13 / 14
lees verder ► ► ►

### Pagina 14

Vierdegraadsfunctie
De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = x^4 - 3x^2 + 2$.
4p 18 Bereken exact het minimum van $f$.
Functie $f$ kan ook geschreven worden als $f(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 2)$.
De grafiek van $f$ snijdt de $x$-as achtereenvolgens in de punten $A$, $B$, $C$ en
$D$. Het punt $T$ is het snijpunt van de grafiek van $f$ met de $y$-as.
Zie de figuur.
figuur
y
T
f
A
B
O
C
D
X
6p 19 In de figuur is $\angle ATC$ aangegeven.
Bereken algebraïsch deze hoek. Geef je eindantwoord in graden in één
decimaal.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
HA-1025-a-24-1-o
14 / 14
einde