# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2023 tijdvak 2 > Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2 ## Vraag 1 – Opgave 1 (2 punten) 1 Op de echo kan de afstand a van de bovenkant van het hoofdje tot de onderkant van de billen worden gemeten. Met behulp van de volgende formule kan dan de zwangerschapsduur d worden geschat: d = 8,052√(1,037a) + 23,73 De zwangerschapsduur d is in dagen en de gemeten afstand a in mm. Deze formule is alleen bruikbaar bij een zwangerschapsduur van ongeveer 8,5 tot ongeveer 13 weken. Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule die een verband beschrijft tussen twee grootheden in een realistische context. Je moet een gegeven waarde invullen in de formule en het resultaat interpreteren, inclusief het omrekenen naar een andere eenheid. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een formule correct invult en hoe je de volgorde van bewerkingen (haakjes, wortels, vermenigvuldigen, optellen) toepast. Ook moet je weten hoe je dagen omrekent naar weken en hoe je correct afrondt. Wat moet je kunnen: Je kunt een gegeven waarde correct substitueren in een formule. Je kunt de berekening nauwkeurig uitvoeren met je rekenmachine. Je kunt het resultaat van de berekening omzetten naar de gevraagde eenheid (weken) en correct afronden naar een heel getal. Waar op letten: Let goed op de volgorde van de bewerkingen: eerst de vermenigvuldiging onder de wortel, dan de wortel trekken, dan vermenigvuldigen met 8,052 en als laatste de 23,73 optellen. Controleer of je de +23,73 niet per ongeluk onder de wortel hebt geplaatst. Dit is een veelvoorkomende valkuil. De afstand 'a' is in mm en de duur 'd' is in dagen. Lees goed wat er gevraagd wordt: het antwoord moet in weken zijn. Vergeet niet het aantal dagen om te rekenen naar weken door te delen door 7. Rond daarna pas af naar een heel aantal weken. Gebruik voldoende decimalen in je tussenresultaat voor 'd' voordat je omrekent naar weken om afrondingsfouten te voorkomen. Kernbegrippen: formule invullen, rekenen met wortels, eenheden omrekenen, afronden Veelgemaakte fouten: - Vergeten het antwoord in dagen om te rekenen naar weken. - Onjuist afronden naar hele weken. - Rekenmachinefout bij het invoeren van de formule, bijvoorbeeld de +23,73 onder de wortel plaatsen. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/1 ## Vraag 4 – Opgave 4 (3 punten) Vanaf 13 weken zwangerschap kan gebruik worden gemaakt van een andere formule voor een schatting van de zwangerschapsduur. Hierbij wordt de hoofdomtrek gebruikt. Op foto 2 is een dwarsdoorsnede te zien van het hoofd. De formule voor de zwangerschapsduur vanaf 13 weken wordt gegeven door: w = 3,12958 ⋅ 1,00244^h ⋅ h^0,2794 Hierin is w de zwangerschapsduur in weken en h de hoofdomtrek in mm. Bereken de hoofdomtrek in mm die hoort bij een zwangerschap van 14 weken. Geef je eindantwoord als een geheel getal. Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule die een verband beschrijft tussen twee variabelen in een realistische context. Je moet een van de variabelen berekenen als de andere gegeven is. Omdat de onbekende variabele op meerdere plekken in de formule voorkomt en in verschillende typen functies (exponentieel en machtsfunctie), is dit een typische vraag die je met je grafische rekenmachine (GR) moet oplossen. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een vergelijking opstelt op basis van de gegeven formule en hoe je deze vergelijking vervolgens oplost met je GR. Dit betekent dat je de functies Y1 en Y2 correct kunt invoeren en de intersect-functie (snijpunt) kunt gebruiken. Ook moet je weten hoe je een antwoord correct afrondt zoals gevraagd. Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven waarde (14 weken) correct invullen in de formule om een vergelijking te vormen. Je kunt deze vergelijking omzetten naar twee functies (Y1 en Y2) die je in je GR invoert. Je kunt de vensterinstellingen (WINDOW) van je GR zo aanpassen dat het snijpunt zichtbaar is. Je kunt de intersect-functie van je GR gebruiken om het snijpunt te vinden. Tot slot kun je het gevonden decimale antwoord correct afronden op een geheel getal, zoals gevraagd in de vraag. Waar op letten: Let goed op de vraag: je moet de hoofdomtrek (h) berekenen als de zwangerschapsduur (w) 14 weken is. Dit betekent dat je w = 14 invult. Voer de formule voor Y1 en Y2 nauwkeurig in je GR in. Een kleine typefout kan leiden tot een totaal verkeerd antwoord. Controleer dubbel de grondtallen, exponenten en vermenigvuldigingsfactoren. Denk aan het domein van de formule: deze is geldig vanaf 13 weken. Je antwoord voor h moet logisch zijn binnen deze context. Zorg ervoor dat je de vensterinstellingen (WINDOW) van je GR goed kiest, zodat het snijpunt van de twee grafieken zichtbaar is. Begin eventueel met een breed bereik en zoom in. Rond je eindantwoord af zoals gevraagd: op een geheel getal. Dit is een veelvoorkomende valkuil waar punten op verloren kunnen gaan. Kernbegrippen: vergelijking oplossen met GR, exponentiële functies, machtsfuncties Veelgemaakte fouten: - Verkeerd invoeren van de complexe formule in de GR - Vergeten het antwoord af te ronden op een geheel getal zoals gevraagd Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/4 ## Vraag 5 – Opgave 5 (5 punten) 5p 5 Bewijs dat lijn l cirkel c raakt. De verticale lijn n raakt cirkel c aan de rechterkant. Lijn n snijdt lijn m in punt A en lijn l in punt B. Samen met de oorsprong O vormen de punten A en B de driehoek OAB. Cirkel c past precies in deze driehoek. Zie figuur 2. figuur 2 y 1,5- B 1,0- l c 0,5- M T T -0,5 O 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 x -0,5- m n -1,0- -1,5- A Wat kun je verwachten: Je moet bewijzen dat lijn l de cirkel c raakt. Dit betekent dat je moet aantonen dat er precies één snijpunt is tussen de lijn en de cirkel. Je kunt dit op twee manieren doen: door de vergelijking van de lijn in de cirkelvergelijking te substitueren en te laten zien dat de resulterende kwadratische vergelijking precies één oplossing heeft (met behulp van de discriminant), OF door aan te tonen dat de afstand van het middelpunt van de cirkel tot de lijn gelijk is aan de straal van de cirkel. Wat moet je kennen: Je moet de algemene vergelijking van een cirkel kennen: (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, waarbij (a,b) het middelpunt is en r de straal. Je moet ook weten hoe je de discriminant (D = b^2 - 4ac) van een kwadratische vergelijking (ax^2 + bx + c = 0) gebruikt om het aantal oplossingen te bepalen (D=0 betekent één oplossing). Als alternatief moet je de formule voor de afstand van een punt tot een lijn kennen. Wat moet je kunnen: Je moet algebraïsch een lijnvergelijking kunnen substitueren in een cirkelvergelijking. Je moet de resulterende vergelijking kunnen herschrijven naar de standaardvorm van een kwadratische vergelijking (ax^2 + bx + c = 0). Vervolgens moet je de discriminant correct kunnen berekenen en de juiste conclusie trekken. Als je de alternatieve methode kiest, moet je de vergelijking van een loodlijn kunnen opstellen en het snijpunt van twee lijnen kunnen berekenen, en de afstand tussen twee punten kunnen bepalen. Waar op letten: Let goed op de algebraïsche stappen bij het substitueren van de lijnvergelijking in de cirkelvergelijking. Kwadrateer termen correct en werk haakjes zorgvuldig uit. Zorg ervoor dat je de kwadratische vergelijking correct herschrijft naar de vorm ax^2 + bx + c = 0 voordat je de discriminant berekent. Let hierbij goed op de tekens van a, b en c. Bereken de discriminant D = b^2 - 4ac nauwkeurig. Een kleine rekenfout hier kan leiden tot een verkeerde conclusie. Vergeet niet de conclusie te formuleren: als D=0, dan is er precies één snijpunt, en dus raakt de lijn de cirkel. Als je de methode met de loodlijn en afstand gebruikt, zorg dan dat je de helling van de loodlijn correct bepaalt (negatief omgekeerde) en de afstand van het middelpunt tot de lijn correct berekent. Kernbegrippen: vergelijking van een cirkel, snijpunten van lijn en cirkel, discriminant, raaklijn, analytische meetkunde Veelgemaakte fouten: - Reken- of algebrafouten bij het uitwerken van de kwadratische vergelijking na substitutie. - Verkeerd opstellen of berekenen van de discriminant. - Vergeten de conclusie te trekken nadat D=0 is gevonden. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/5 ## Vraag 6 – Opgave 6 (5 punten) De verticale lijn n raakt cirkel c aan de rechterkant. Lijn n snijdt lijn m in punt A en lijn l in punt B. Samen met de oorsprong O vormen de punten A en B de driehoek OAB. Cirkel c past precies in deze driehoek. Zie figuur 2. 5p 6 Onderzoek op algebraïsche wijze of de oppervlakte van driehoek OAB meer dan twee keer zo groot is als de oppervlakte van cirkel c. Wat kun je verwachten: Je moet de oppervlakte van een cirkel en een driehoek berekenen en deze met elkaar vergelijken. Je gebruikt de gegeven vergelijkingen van lijnen en de cirkel om de benodigde afmetingen te vinden. Dit is een algebraïsche vraag, dus je werkt met exacte waarden (wortels en pi) en rondt pas aan het einde af voor de vergelijking. Wat moet je kennen: Je moet de standaardformules voor de oppervlakte van een cirkel (pi * r^2) en een driehoek (1/2 * basis * hoogte) kennen. Je moet ook weten hoe je de vergelijking van een verticale lijn opstelt die een cirkel raakt, en hoe je snijpunten van lijnen berekent. Wat moet je kunnen: Je moet de straal van de cirkel en de coördinaten van het middelpunt uit de cirkelvergelijking kunnen aflezen. Je moet de vergelijking van de verticale raaklijn n kunnen opstellen. Je moet de snijpunten van lijn n met de lijnen l en m kunnen berekenen om de coördinaten van A en B te vinden. Vervolgens bereken je de oppervlaktes en vergelijk je deze nauwkeurig. Waar op letten: Lees de vergelijking van cirkel c goed af om het middelpunt en de straal te bepalen. Let op de haakjes in de vergelijking. De lijn n is een verticale raaklijn aan de rechterkant van de cirkel. Bedenk hoe je de x-coördinaat van deze lijn bepaalt met behulp van het middelpunt en de straal. Gebruik de vergelijkingen van lijn l en lijn m om de y-coördinaten van de punten A en B te vinden, nadat je de x-coördinaat van lijn n hebt bepaald. De basis van driehoek OAB ligt op lijn n en de hoogte is de afstand van O tot lijn n. Let goed op welke lengtes je gebruikt voor de basis en de hoogte. Werk zo lang mogelijk met exacte waarden (wortels en pi) en rond pas aan het einde af om de vergelijking te maken. Dit voorkomt afrondingsfouten die je conclusie kunnen beïnvloeden. Kernbegrippen: coördinatenmeetkunde, vergelijking van een cirkel, vergelijking van een lijn, raaklijn, oppervlakte cirkel, oppervlakte driehoek, algebraïsch onderzoek Veelgemaakte fouten: - Verkeerd opstellen van de vergelijking van de verticale raaklijn n. - Reken- of afrondingsfouten bij het werken met wortels en pi. - Verkeerde formule voor de oppervlakte van de driehoek OAB. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/6 ## Vraag 7 – Opgave 7 (3 punten) 3p 7 Punt P is zo gekozen dat geldt: OB = 3 · OA. Bereken exact de x-coördinaat van P. De grafiek van f snijdt de positieve x-as in het punt C en de y-as in het punt D. Het punt Q ligt op de grafiek van f tussen de punten C en D en heeft x-coördinaat q. figuur 2 In figuur 2 zijn de grafiek van f en de grijze driehoeken OCQ en OQD weergegeven. YD De oppervlakte van de beide driehoeken kan worden uitgedrukt in q. De oppervlakte van driehoek OCQ is 2(16 - q^2). f Wat kun je verwachten: Je moet de x-coördinaat van een punt P op een grafiek berekenen. Dit punt is speciaal omdat de raaklijn aan de grafiek in P een bepaalde eigenschap heeft met betrekking tot de snijpunten met de assen. Je zult de afgeleide van de functie moeten gebruiken om de helling van de raaklijn te bepalen. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je de afgeleide van een functie berekent, vooral van een machtsfunctie. Je moet ook begrijpen wat de afgeleide betekent in termen van de helling van een raaklijn. Daarnaast moet je de relatie tussen de snijpunten van een lijn met de assen en de helling van die lijn kennen. Wat moet je kunnen: Je kunt de afgeleide van f(x) = 16 - x^2 bepalen. Je kunt de helling van de raaklijn uit de gegeven informatie (OB = 3 · OA) afleiden. Je kunt vervolgens de afgeleide gelijkstellen aan deze helling en de resulterende vergelijking algebraïsch oplossen om de x-coördinaat van P exact te vinden. Je let op het domein van P (eerste kwadrant). Waar op letten: Let goed op het teken van de helling van de raaklijn. De lijn daalt van B naar A, dus de helling is negatief. Gebruik de gegeven relatie OB = 3 · OA om de exacte waarde van de helling van de raaklijn te bepalen. Bereken de afgeleide f'(x) correct. Dit is de helling van de raaklijn in een willekeurig punt x. Stel de berekende helling van de raaklijn gelijk aan de afgeleide f'(x) en los de vergelijking op. Vergeet niet dat de vraag vraagt om een exact antwoord. Laat breuken staan en rond niet af. Kernbegrippen: afgeleide functie, raaklijn, helling, coördinaatmeetkunde, richtingscoëfficiënt Veelgemaakte fouten: - De helling van de raaklijn is de verandering in y gedeeld door de verandering in x. Vanaf punt B naar punt A daalt de lijn, dus de verandering in y is -OB en de verandering in x is OA. De helling is dus -OB/OA = -3. Een veelgemaakte fout is om de helling als +3 te nemen. - Vergeten de afgeleide te gebruiken om de x-coördinaat te vinden waar de helling een bepaalde waarde heeft. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/7 ## Vraag 8 – Opgave 8 (2 punten) De grafiek van f snijdt de positieve x-as in het punt C en de y-as in het punt D. Het punt Q ligt op de grafiek van f tussen de punten C en D en heeft x-coördinaat q. In figuur 2 zijn de grafiek van f en de grijze driehoeken OCQ en OQD weergegeven. De oppervlakte van de beide driehoeken kan worden uitgedrukt in q. De oppervlakte van driehoek OCQ is 2(16 - q^2). Toon aan dat die oppervlakte 2(16 - q^2) is. Wat kun je verwachten: Je krijgt een 'toon aan'-vraag waarbij je een gegeven formule voor de oppervlakte van een driehoek moet afleiden. Dit vereist dat je de coördinaten van belangrijke punten op de grafiek bepaalt en de juiste meetkundige formule toepast. Wat moet je kennen: Je moet de formule voor de oppervlakte van een driehoek kennen. Je moet ook weten hoe je snijpunten van een functie met de x-as bepaalt en hoe je de y-coördinaat van een punt op een grafiek vindt als de x-coördinaat gegeven is. Wat moet je kunnen: Je kunt algebraïsch snijpunten met de x-as berekenen. Je kunt de oppervlakte van een driehoek berekenen door de basis en hoogte correct te identificeren. Je kunt een algebraïsche uitdrukking opstellen en vereenvoudigen om aan te tonen dat deze gelijk is aan een gegeven formule. Waar op letten: Je moet eerst de coördinaten van punt C bepalen. Dit is het snijpunt van de grafiek van f met de positieve x-as. Hoe vind je de x-coördinaat van een snijpunt met de x-as? Je herinnert je de formule voor de oppervlakte van een driehoek: (1)/(2) * basis * hoogte. Welke zijde van driehoek OCQ is de basis en wat is de bijbehorende hoogte? Je moet de y-coördinaat van punt Q uitdrukken in q. Dit is de hoogte van de driehoek. Hoe vind je de y-coördinaat van een punt op de grafiek als je de x-coördinaat weet? Je controleert of je de juiste waarden voor de basis en de hoogte hebt gebruikt en of je de formule correct hebt ingevuld om tot de gegeven uitdrukking te komen. Je let goed op de notatie en de algebraïsche stappen om de uitdrukking 2(16 - q^2) aan te tonen. Kernbegrippen: oppervlakte driehoek, parabolen, snijpunten met assen, algebraïsch aantonen Veelgemaakte fouten: - Verkeerde formule voor de oppervlakte van een driehoek gebruiken. - De coördinaten van de hoekpunten van de driehoek verkeerd identificeren (bijv. de hoogte is q in plaats van f(q)). Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/8 ## Vraag 9 – Opgave 9 (4 punten) De grafiek van f snijdt de positieve x-as in het punt C en de y-as in het punt D. Het punt Q ligt op de grafiek van f tussen de punten C en D en heeft x-coördinaat q. In figuur 2 zijn de grafiek van f en de grijze driehoeken OCQ en OQD weergegeven. De oppervlakte van de beide driehoeken kan worden uitgedrukt in q. De oppervlakte van driehoek OCQ is 2(16 - q^2). De oppervlakte van driehoek OQD uitgedrukt in q is gelijk aan 8q. Punt Q is zo gekozen dat geldt: de twee driehoeken hebben gelijke oppervlaktes. Bereken exact de oppervlakte van één zo'n driehoek. Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je een wiskundig model (de oppervlakteformules) moet gebruiken om een onbekende variabele (q) te vinden. Vervolgens gebruik je die variabele om de gevraagde oppervlakte te berekenen. Je moet een kwadratische vergelijking algebraïsch oplossen. Wat moet je kennen: Je moet de abc-formule kennen voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen van de vorm ax^2 + bx + c = 0. Ook moet je weten hoe je algebraïsch vergelijkingen herleidt. Wat moet je kunnen: Je moet een kwadratische vergelijking kunnen opstellen en oplossen met de abc-formule. Je moet ook de context van de vraag (punt Q tussen C en D) kunnen gebruiken om de juiste oplossing voor q te kiezen en deze vervolgens invullen in de oppervlakteformule. Waar op letten: Je stelt de twee gegeven oppervlakteformules aan elkaar gelijk om een vergelijking voor q te krijgen. Je herleidt deze vergelijking naar de standaardvorm ax^2 + bx + c = 0, zodat je de abc-formule kunt toepassen. Let goed op de tekens (+/-) bij het invullen van a, b en c in de abc-formule. Je berekent beide oplossingen voor q, maar je kiest alleen de positieve oplossing, omdat punt Q op de positieve x-as ligt (tussen C en D). Je vult de gevonden positieve waarde van q in in één van de oppervlakteformules om de gevraagde exacte oppervlakte te berekenen. Vergeet niet dat het antwoord exact moet zijn, dus laat wortels staan en vereenvoudig deze indien mogelijk. Kernbegrippen: kwadratische vergelijkingen, oppervlakte driehoek, algebraïsch oplossen Veelgemaakte fouten: - De negatieve oplossing voor q meenemen, terwijl Q tussen C en D ligt (dus q > 0). - Vergeten de berekende q-waarde in te vullen in de formule voor de oppervlakte. - Reken- of herleidingsfouten bij het oplossen van de kwadratische vergelijking. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/9 ## Vraag 10 – Opgave 10 (5 punten) 5p 10 Bewijs dit. Door de grafiek van f twee naar rechts te verschuiven ontstaat de grafiek van de functie g. Een formule voor g is g(x) = x^3 - 48x. Wat kun je verwachten: Je moet bewijzen dat punt M, het snijpunt van de grafiek met de x-as, precies midden tussen de toppen P en Q ligt. Dit betekent dat je de coördinaten van P, Q en M moet vinden en vervolgens moet aantonen dat M het middelpunt is van het lijnstuk PQ. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je de afgeleide van een polynoomfunctie bepaalt en hoe je deze gebruikt om de x-coördinaten van de extremen (toppen) te vinden. Ook moet je de formule kennen voor het middelpunt van een lijnstuk, gegeven de coördinaten van de eindpunten. Je moet ook weten hoe je de y-coördinaten van de toppen berekent door de x-waarden in de oorspronkelijke functie in te vullen. Wat moet je kunnen: Je kunt de afgeleide van een derdegraadsfunctie bepalen. Je kunt de afgeleide gelijkstellen aan nul en de resulterende kwadratische vergelijking oplossen (bijvoorbeeld met de abc-formule of door te ontbinden in factoren) om de x-coördinaten van de toppen te vinden. Je kunt deze x-coördinaten invullen in de oorspronkelijke functie om de bijbehorende y-coördinaten van de toppen te berekenen. Tot slot kun je de middelpuntformule toepassen op de coördinaten van de toppen P en Q om de coördinaten van het middelpunt te vinden en dit vergelijken met de coördinaten van punt M. Waar op letten: Let goed op reken- en tekenfouten bij het differentiëren van f(x). Zorg ervoor dat je de juiste x-waarden van de toppen vindt door f'(x) = 0 correct op te lossen. Gebruik eventueel de abc-formule als ontbinden in factoren lastig is. Vul de gevonden x-waarden van de toppen in de OORSPRONKELIJKE functie f(x) in om de bijbehorende y-coördinaten te vinden. Een veelvoorkomende fout is om ze in f'(x) in te vullen. Gebruik de correcte formule voor het middelpunt van een lijnstuk: M = ( (x_P + x_Q)/2 , (y_P + y_Q)/2 ). Vergeet niet om duidelijk te concluderen dat het berekende middelpunt overeenkomt met punt M, zoals gevraagd in de bewijsvraag. Kernbegrippen: differentiëren, extremen bepalen, afgeleide gelijkstellen aan nul, coördinaten van het midden, derdegraadsfuncties Veelgemaakte fouten: - Reken- of tekenfouten bij het differentiëren. - Reken- of tekenfouten bij het invullen van de x-waarden in de oorspronkelijke functie om de y-coördinaten te vinden. - Verkeerde formule voor het midden van een lijnstuk gebruiken. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/10 ## Vraag 11 – Opgave 11 (4 punten) Door de grafiek van f twee naar rechts te verschuiven ontstaat de grafiek van de functie g. Een formule voor g is g(x) = x³ - 48x. Bewijs dat dit een formule is voor g. Wat kun je verwachten: Je moet laten zien dat de gegeven formule voor g(x) klopt, uitgaande van de functie f(x) en de beschreven verschuiving. Dit is een typische 'toon aan'-vraag waarbij je stap voor stap een algebraïsche herleiding uitvoert. Wat moet je kennen: Je moet de regels voor het verschuiven van grafieken kennen: hoe vertaalt een horizontale verschuiving zich in het functievoorschrift? Daarnaast moet je goed zijn in het uitwerken van haakjes, inclusief derdemachten, en het combineren van gelijksoortige termen. Wat moet je kunnen: Je moet een horizontale translatie correct toepassen op een functievoorschrift. Je moet vervolgens nauwkeurig haakjes kunnen wegwerken, ook bij hogere machten zoals (x-2)^3, en de resulterende termen correct kunnen optellen en aftrekken om tot de eindformule te komen. Je werkt dus van f(x) naar g(x) door de verschuiving toe te passen en de formule te herleiden. Waar op letten: Let goed op het teken bij de translatie: 'twee naar rechts' betekent dat je x vervangt door (x-2), niet (x+2). Dit is een veelvoorkomende valkuil. Wees zeer nauwkeurig bij het uitwerken van de haakjes. Vooral (x-2)^3 vereist zorgvuldigheid; werk dit stap voor stap uit als (x-2)(x-2)^2. Controleer na elke stap of je geen rekenfouten maakt, vooral bij het vermenigvuldigen van termen en het optellen/aftrekken van gelijksoortige termen. Zorg ervoor dat je alle termen van de oorspronkelijke functie f(x) meeneemt in je berekening na de substitutie van (x-2). Het antwoord moet exact zijn; er komen geen decimalen in voor. Je bewijst dat de formule exact klopt. Kernbegrippen: translatie van grafieken, algebraïsch herleiden, haakjes wegwerken, polynomen Veelgemaakte fouten: - Fout teken bij translatie (x+2 in plaats van x-2) - Reken- en algebrafouten bij het uitwerken van de haakjes, met name bij de derdemacht. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/11 ## Vraag 12 – Opgave 12 (4 punten) Aanvulling: In figuur 2 zijn de grafieken van f en g weergegeven. Het middelste snijpunt van de grafiek van g met de x-as ligt in de oorsprong. De grafiek van f heeft behalve punt M nog twee snijpunten met de x-as: het punt A en het punt B. De coördinaten van die snijpunten zijn met de functie f moeilijk te berekenen. Met behulp van de functie g zijn de coördinaten van deze snijpunten wel te berekenen. 12 Bereken exact de x-coördinaten van A en B. Wat kun je verwachten: Je moet de x-coördinaten van snijpunten met de x-as (nulpunten) bepalen. De vraag geeft aan dat dit met functie g makkelijker is dan met functie f. Je moet dus de relatie tussen f en g begrijpen en hoe je de nulpunten van g gebruikt om die van f te vinden. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe transformaties van functies werken, specifiek horizontale verschuivingen. Je moet ook weten hoe je een derdegraadsvergelijking oplost als je een factor x kunt buiten haakjes halen. Wat moet je kunnen: Je moet een vergelijking van de vorm x^3 - ax = 0 algebraïsch kunnen oplossen. Je moet ook de relatie tussen de nulpunten van een getransformeerde functie (g) en de oorspronkelijke functie (f) kunnen toepassen. Je moet exact kunnen rekenen met wortels. Waar op letten: De vraag vraagt om de x-coördinaten van A en B, die bij functie f horen. Je gebruikt functie g om deze te vinden, maar vergeet niet de 'terugtransformatie' toe te passen. Let goed op de relatie tussen f en g. Als g de grafiek van f twee naar rechts verschoven is, wat betekent dat dan voor de formule van g ten opzichte van f? En wat betekent dat voor de x-coördinaten van de nulpunten? Bij het oplossen van x^3 - 48x = 0, haal je eerst x buiten haakjes. Dit levert direct één nulpunt op. De andere twee vind je uit de kwadratische vergelijking. De vraag vraagt om een exact antwoord. Vereenvoudig wortels waar mogelijk (bijvoorbeeld sqrt(48) = sqrt(16 * 3) = 4 * sqrt(3)), maar rond niet af. Controleer of je de juiste nulpunten van g toewijst aan A en B van f. De figuur kan je hierbij helpen om te zien welke nulpunten links en rechts van het middelpunt liggen. Kernbegrippen: Transformaties van functies, Nulpunten van een functie bepalen, Derdegraadsvergelijking oplossen Veelgemaakte fouten: - Vergeten de gevonden nulpunten terug te transformeren naar de coördinaten van de oorspronkelijke functie. - Algebraïsche fouten bij het oplossen van de vergelijking x² - 48 = 0. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/12 ## Vraag 13 – Opgave 13 (7 punten) Op de uitwerkbijlage is figuur 2 met de vierhoek AEDB weergegeven. Bereken hoeveel graden de bak in figuur 2 gekanteld is ten opzichte van de beginsituatie. Geef je eindantwoord in hele graden. Wat kun je verwachten: Je krijgt een meetkundige vraag waarbij je de hoek van een gekantelde constructie moet berekenen. Je moet verschillende meetkundige regels combineren om tot het antwoord te komen. Het is belangrijk dat je nauwkeurig rekent en de juiste hoeken identificeert. Wat moet je kennen: Je moet de Stelling van Pythagoras kennen voor het berekenen van zijden in rechthoekige driehoeken. Je moet de cosinusregel kennen voor het berekenen van zijden of hoeken in willekeurige driehoeken. Je moet de basis goniometrische verhoudingen (sinus, cosinus, tangens) kennen om hoeken in rechthoekige driehoeken te bepalen. Ook moet je weten hoe je met graden rekent en hoe je hoeken bij elkaar optelt of van elkaar aftrekt. Wat moet je kunnen: Je kunt de Stelling van Pythagoras toepassen om onbekende zijden te berekenen. Je kunt de cosinusregel correct opstellen en oplossen om een onbekende hoek te vinden. Je kunt de tangens gebruiken om een hoek in een rechthoekige driehoek te bepalen. Je kunt de verschillende onderdelen van de figuur analyseren en de relevante driehoeken en hoeken identificeren. Je kunt nauwkeurig rekenen met decimalen en je eindantwoord afronden op hele graden zoals gevraagd. Waar op letten: Let goed op welke lengtes en hoeken bij welke situatie (begin- of eindsituatie) horen. Gebruik de juiste waarden uit figuur 1 en figuur 2. Gebruik de Stelling van Pythagoras om de lengtes van de zijden AE en BE te berekenen in de eindsituatie, indien nodig. Let op de rechthoekige driehoeken die je hiervoor kunt construeren. Pas de cosinusregel correct toe in driehoek ABE om de hoek AEB te vinden. Zorg ervoor dat je de juiste zijden en de tegenoverliggende hoek gebruikt. Gebruik de tangens om de hoek BED te berekenen. Identificeer hiervoor de juiste rechthoekige driehoek en de overstaande en aanliggende zijden. Rond pas aan het einde af op hele graden. Gebruik tussentijds voldoende decimalen om afrondingsfouten te voorkomen. Zorg ervoor dat je rekenmachine op 'graden' staat ingesteld. Kernbegrippen: meetkunde, cosinusregel, stelling van Pythagoras, goniometrie, tangens Veelgemaakte fouten: - Rekenen met afgeronde tussenwaarden kan tot een onnauwkeurig eindantwoord leiden. - Correct toepassen van de cosinusregel. - Het correct identificeren van de relevante driehoeken en hoeken. - De kantelhoek is het verschil tussen de nieuwe hoek en de oude hoek, niet de nieuwe hoek zelf. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/13 ## Vraag 14 – Opgave 14 (7 punten) 7p 14 Bewijs dit. De grafiek van f snijdt de y-as in het punt S. Het deel van de sinusoïde tussen de punten S en A is te benaderen door een lijnstuk met vergelijking y = 4(1)/(2)x+3. Dit lijnstuk gaat door de punten S en A. De benadering van de sinusoïde tussen de punten S en B bestaat nu uit twee delen: het lijnstuk SA en het deel van de parabool door A, T en B. Als er in punt A geen knik is, noemen we dit een goede benadering. Dat houdt in dat in A de helling van het lijnstuk SA gelijk is aan de helling van de parabool. Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een bewijs moet leveren. Dit betekent dat je stap voor stap logisch moet redeneren en je berekeningen duidelijk moet presenteren. Je zult goniometrische vergelijkingen moeten oplossen, coördinaten moeten bepalen en afgeleiden moeten berekenen om hellingen te vergelijken. Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van sinusoïden kennen (amplitude, evenwichtsstand, periode), hoe je goniometrische vergelijkingen algebraïsch oplost, en hoe je de afgeleide van een functie bepaalt (inclusief de kettingregel voor goniometrische functies). Ook moet je weten hoe je de vergelijking van een parabool kunt controleren met gegeven punten. Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om de coördinaten van snijpunten en toppen van een sinusoïde exact te berekenen. Je moet de afgeleide van zowel de sinusoïde als de parabool kunnen bepalen. Verder moet je de helling van een lijnstuk kunnen berekenen en deze kunnen vergelijken met de helling van een kromme in een specifiek punt. Tot slot moet je je bevindingen helder en gestructureerd kunnen opschrijven als een bewijs. Waar op letten: Je moet de coördinaten van de punten S, A, T en B exact bepalen. Dit betekent dat je goniometrische vergelijkingen algebraïsch moet oplossen en exact moet werken met breuken en pi. Je moet de helling van het lijnstuk SA bepalen. Dit doe je met de formule voor de richtingscoëfficiënt van een lijn door twee punten. Je moet de afgeleide van de paraboolfunctie bepalen om de helling in punt A te vinden. Zorg dat je de juiste differentiaalregels toepast. Je moet controleren of de helling van het lijnstuk SA gelijk is aan de helling van de parabool in punt A. Dit is cruciaal voor het 'geen knik' criterium. Je moet de vergelijking van de parabool gebruiken om te verifiëren dat de punten A, T en B er inderdaad op liggen. Dit doe je door de coördinaten van deze punten in de paraboolvergelijking te substitueren en te controleren of de vergelijking klopt. Kernbegrippen: goniometrische functies, sinusoïde, parabool, vergelijking oplossen, coördinaten berekenen, verifiëren van punten op een grafiek Veelgemaakte fouten: - Rekenfouten met breuken - Vergeten de symmetrie van de sinusoïde te gebruiken om punt B te vinden - Foutief oplossen van de goniometrische vergelijking - Vergeten alle drie de punten (A, B, T) te controleren of te gebruiken voor het opstellen van de vergelijking. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/14 ## Vraag 15 – Opgave 15 (4 punten) De grafiek van f snijdt de y-as in het punt S. Het deel van de sinusoïde tussen de punten S en A is te benaderen door een lijnstuk met vergelijking y = 4 x + 3. Dit lijnstuk gaat door de punten S en A. De benadering van de sinusoïde tussen de punten S en B bestaat nu uit twee delen: het lijnstuk SA en het deel van de parabool door A, T en B. Als er in punt A geen knik is, noemen we dit een goede benadering. Dat houdt in dat in A de helling van het lijnstuk SA gelijk is aan de helling van de parabool. 4p 15 Onderzoek op exacte wijze of er wel of geen knik is in het punt A. Wat kun je verwachten: Je krijgt een situatie voorgelegd waarin een deel van een grafiek wordt benaderd door een lijnstuk en een parabool. Je moet onderzoeken of deze benadering 'glad' is op het overgangspunt, wat betekent dat de hellingen van de twee benaderende functies in dat punt gelijk moeten zijn. Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van een 'knik' in de context van hellingen kennen. Je moet weten dat een knik afwezig is als de hellingen van de twee functies in het overgangspunt exact gelijk zijn. Je moet ook de algemene vorm van een lineaire functie (y = ax + b) en een kwadratische functie (parabool) herkennen. Wat moet je kunnen: Je moet de helling van een lijnstuk kunnen aflezen uit de vergelijking. Je moet de afgeleide van een kwadratische functie kunnen bepalen met behulp van de machtsregel. Je moet een specifieke x-waarde kunnen invullen in een afgeleide om de helling op dat punt te berekenen. Tot slot moet je twee hellingen met elkaar kunnen vergelijken en op basis daarvan een conclusie trekken. Waar op letten: Je leest de helling van het lijnstuk SA direct af uit de gegeven vergelijking y = ax + b. Wat is 'a' in dit geval? Je bepaalt de afgeleide van de vergelijking van de parabool. Let goed op de machtsregel en de constante term. Je vult de x-coördinaat van punt A in de afgeleide van de parabool in om de helling in dat punt te vinden. De x-coördinaat van A is 1/3, zoals af te lezen is uit de figuur of de context. Je vergelijkt de twee hellingen (van het lijnstuk en van de parabool in A). Zijn ze exact gelijk? Alleen dan is er geen knik. Je werkt de hele opgave exact uit, dus geen afrondingen tussendoor. Kernbegrippen: differentiëren, helling, raaklijn, vergelijken van hellingen Veelgemaakte fouten: - Verwarren van de helling van de sinusoïde f(x) met de helling van de benaderende parabool. De vraag gaat over de benadering, niet over de oorspronkelijke functie f(x). - De helling van het lijnstuk verkeerd aflezen uit de vergelijking y = ax + b. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/15 ## Vraag 16 – Opgave 16 (6 punten) De lijn l wordt gegeven door de vergelijking y = 1/2x. De lijn k ontstaat door l één recht omhoog te schuiven. Het punt P bevindt zich onder l. De afstand tussen l en P is 3. Zie de figuur. figuur 6p 16 Bereken algebraïsch de afstand tussen k en P. Geef je eindantwoord in twee decimalen. Waar op letten: Je moet eerst de vergelijking van lijn k opstellen. Let op: 'één recht omhoog schuiven' betekent dat de helling hetzelfde blijft, maar de y-intercept verandert. Je moet de afstand tussen de twee evenwijdige lijnen l en k berekenen. Dit kun je doen door een punt op lijn l (bijvoorbeeld de oorsprong (0,0)) te kiezen en de afstand van dit punt tot lijn k te berekenen. Hiervoor heb je een loodrechte lijn nodig. Je moet de helling van een lijn loodrecht op l bepalen. Als de helling van l m is, wat is dan de helling van een lijn loodrecht daarop? Je moet de totale afstand berekenen door de afstand tussen l en P op te tellen bij de afstand tussen l en k. Let goed op de volgorde van optellen. Je moet je eindantwoord afronden op twee decimalen, zoals gevraagd in de vraagtekst. Kernbegrippen: analytische meetkunde, afstand tussen punt en lijn, afstand tussen evenwijdige lijnen, loodrechte lijnen, vergelijking van een lijn Veelgemaakte fouten: - Vergeten dat de totale afstand de som is van de afstand P tot l en de afstand l tot k. - Reken- of afrondingsfouten bij het berekenen van de afstand tussen de lijnen. - Verkeerde formule voor de helling van een loodrechte lijn gebruiken (de correcte helling is -1/rc). Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/16 ## Vraag 17 – Opgave 17 (5 punten) De functie h heeft maxima en minima. Hierdoor heeft de functie f ook maxima en minima. Geteld vanaf de y-as wordt in punt A het 14e minimum van f bereikt en in punt B het 14e minimum van h. De x-coördinaat van A is afgerond op drie decimalen 13,492. Het lijkt alsof de x-coördinaten van A en B gelijk zijn. Onderzoek op algebraïsche wijze of dit zo is. Wat kun je verwachten: Je moet de x-coördinaat van het 14e minimum van de functie h algebraïsch bepalen. Daarna vergelijk je deze exacte waarde met de gegeven afgeronde x-coördinaat van punt A om te concluderen of ze gelijk zijn. Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van een sinusoïde kennen, zoals hoe je de periode bepaalt en hoe je de minima vindt. Ook moet je de algemene oplossing van goniometrische vergelijkingen zoals sin(x) = c kennen. Wat moet je kunnen: Je moet een goniometrische vergelijking algebraïsch kunnen oplossen. Je moet ook de juiste 'k'-waarde kunnen bepalen om het specifieke 14e minimum te vinden. Vergeet niet dat je de oplossing exact moet geven en pas aan het einde vergelijken met de afgeronde waarde van A. Waar op letten: Je moet de vergelijking opstellen voor het minimum van h(x). Bedenk welke waarde de sinusfunctie aanneemt bij een minimum. Je lost de goniometrische vergelijking algebraïsch op. Gebruik de algemene oplossing voor sin(A) = -1, waarbij je de hoeken in radialen uitdrukt. Je moet de periode van de functie h correct bepalen om de algemene oplossing volledig te maken. Je moet de juiste waarde voor 'k' kiezen om het 14e minimum te vinden. Bedenk dat het 'eerste' minimum niet altijd bij k=0 hoort, afhankelijk van de faseverschuiving en het domein x >= 0. Je vergelijkt de exacte x-coördinaat van het 14e minimum van h met de gegeven afgeronde x-coördinaat van A. Trek een duidelijke conclusie. Kernbegrippen: goniometrische functies, sinusoïde, minima, vergelijking oplossen, periode Veelgemaakte fouten: - Vergeten dat het om het 14e minimum gaat om de juiste k-waarde te bepalen. - Aannemen dat de x-coördinaten gelijk zijn zonder algebraïsch bewijs. - Fouten maken bij het oplossen van de goniometrische vergelijking sin(A) = -1. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/17 ## Vraag 18 – Opgave 18 (3 punten) 3p 18 Bereken de x-coördinaat van dit snijpunt. Geef je antwoord in twee decimalen. In eerste instantie is de grafiek van f grafiek 3 afwisselend dalend en stijgend. Vanaf y een bepaalde waarde van x is de grafiek van f alleen nog maar stijgend. De laatste twee dalingen vinden in het interval [38, 40] plaats. Tijdens elke daling van hoogste naar laagste punt is er een punt op de grafiek van f waar de grafiek het sterkst daalt. In zo'n punt is de helling op dat dalende stuk dus minimaal. Op het laatste dalende stuk is dat in het punt P. Zie figuur 3. Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een vergelijking moet oplossen waarbij je een functie gelijkstelt aan een specifieke functiewaarde. Dit doe je met behulp van je grafische rekenmachine. Wat moet je kennen: Je moet het functievoorschrift van f(x) kennen en weten hoe je hiermee functiewaarden berekent. Ook moet je weten hoe je de grafische rekenmachine gebruikt om snijpunten van grafieken te vinden. Wat moet je kunnen: Je moet een functiewaarde kunnen berekenen voor een gegeven x. Je moet een horizontale lijn kunnen definiëren in je GR. Je moet de 'intersect'-functie van je GR correct kunnen toepassen om snijpunten te vinden en het juiste snijpunt te selecteren. Tot slot moet je correct kunnen afronden op het gevraagde aantal decimalen. Waar op letten: Je moet eerst de waarde van f(0) berekenen door x=0 in het functievoorschrift van f in te vullen. Let goed op de haakjes en de volgorde van bewerkingen. Je stelt de vergelijking f(x) = f(0) op. Dit is de vergelijking die je gaat oplossen met je grafische rekenmachine. Je voert de functie f(x) in als Y1 en de berekende waarde van f(0) als Y2 in je GR. Zorg dat je de juiste vensterinstellingen kiest om alle snijpunten te kunnen zien. Je gebruikt de 'intersect'-functie van je GR om de snijpunten te vinden. Let op dat je het snijpunt met de grootste x-coördinaat selecteert, zoals de context van de vraag suggereert. Je rondt je uiteindelijke antwoord af op twee decimalen, zoals gevraagd in de opgave. Kernbegrippen: vergelijking oplossen met GR, snijpunten van grafieken, functie-evaluatie Veelgemaakte fouten: - Vergeten f(0) eerst uit te rekenen - Niet het laatste (grootste x) snijpunt vinden, maar een van de eerdere - Onvoldoende beschrijven van de GR-methode - Verkeerd afronden op twee decimalen Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/18 ## Vraag 19 – Opgave 19 (3 punten) In eerste instantie is de grafiek van f afwisselend dalend en stijgend. Vanaf een bepaalde waarde van x is de grafiek van f alleen nog maar stijgend. De laatste twee dalingen vinden in het interval [38, 40] plaats. Tijdens elke daling van hoogste naar laagste punt is er een punt op de grafiek van f waar de grafiek het sterkst daalt. In zo'n punt is de helling op dat dalende stuk dus minimaal. Op het laatste dalende stuk is dat in het punt P. Zie figuur 3. 3p 19 Bereken de x-coördinaat van P. Licht je werkwijze toe. Geef je antwoord in één decimaal. Wat kun je verwachten: Je moet de x-coördinaat vinden van een punt waar de grafiek van f het sterkst daalt. Dit betekent dat je een minimum van de helling moet vinden. Omdat de vraag expliciet vraagt om een toelichting van je werkwijze, moet je duidelijk beschrijven hoe je de grafische rekenmachine gebruikt. Wat moet je kennen: Je moet weten dat de helling van een grafiek wordt gegeven door de afgeleide functie. Je moet ook begrijpen dat 'het sterkst dalen' betekent dat de helling (die negatief is bij een daling) de meest negatieve waarde heeft, oftewel een minimum bereikt. Je kent de regels voor differentiëren, in het bijzonder de kettingregel voor de sinusfunctie en de afgeleide van een exponentiële functie. Wat moet je kunnen: Je kunt de afgeleide van de functie f(x) bepalen. Je kunt deze afgeleide functie invoeren in je grafische rekenmachine. Je kunt met je grafische rekenmachine het minimum van een functie bepalen binnen een opgegeven interval. Je kunt je werkwijze duidelijk en stapsgewijs toelichten, zoals gevraagd in het Centraal Examen. Waar op letten: Let goed op de vraag: er wordt gevraagd naar het punt waar de grafiek het 'sterkst daalt'. Dit is NIET het laagste punt (minimum) van f(x), maar het punt waar de helling (f'(x)) zelf een minimum bereikt. Dit is een buigpunt van f(x). Je moet de afgeleide van f(x) bepalen. Gebruik hiervoor de kettingregel voor het sinusdeel en de afgeleide van a^x voor het exponentiële deel. Vergeet de constante factoren niet. Voer de afgeleide functie f'(x) in je GR in. Zorg dat je de juiste vensterinstellingen kiest, met name het interval [38, 40] voor de x-waarden, om het relevante minimum te vinden. Licht je werkwijze op de GR duidelijk toe. Beschrijf welke functie je plot (f'(x)), welke optie je gebruikt (bijvoorbeeld 'minimum' of 'calc minimum') en welk interval je instelt. Rond je eindantwoord af op één decimaal, zoals gevraagd. Controleer of je antwoord logisch is ten opzichte van figuur 3. Kernbegrippen: afgeleide functie, helling van een grafiek, extremen van de afgeleide, buigpunt, grafische rekenmachine gebruiken voor analyse Veelgemaakte fouten: - Het verwarren van het minimum van de functie f(x) met het minimum van de afgeleide f'(x). De vraag gaat over de sterkste daling, wat een minimum van de helling (f'(x)) is. - Onvoldoende toelichten van de gebruikte methode op de grafische rekenmachine, terwijl de vraag expliciet om een toelichting vraagt. - Onjuist afronden van het eindantwoord op één decimaal. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-2/vraag/19 ## Vragen in dit examen ### Vraag 2 – Opgave 2 Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule waarin een variabele (hier 'd') is uitgedrukt in een andere variabele (hier 'a') en je moet deze formule herschrijven zodat de andere variabele ('a') wordt uitgedrukt in de eerste variabele ('d'). Dit vereist zorgvuldig algebraïsch manipuleren. Wat moet je kennen: Je moet de basisregels van algebra goed kennen, zoals het toepassen van de balansmethode, het omgaan met wortels en kwadraten, en het correct wegwerken van haakjes. Ook moet je weten hoe je constanten identificeert in een herschreven formule. Wat moet je kunnen: Je moet een formule stap voor stap kunnen omvormen om een specifieke variabele vrij te maken. Je moet ook in staat zijn om de coëfficiënten (p, q, r) correct te identificeren en deze nauwkeurig af te ronden op het gevraagde aantal decimalen. Waar op letten: Let goed op de volgorde van de bewerkingen: eerst optellen/aftrekken, dan vermenigvuldigen/delen, dan worteltrekken/kwadrateren. Gebruik de balansmethode correct: wat je aan de ene kant van het is-teken doet, moet je ook aan de andere kant doen. Vergeet niet dat het kwadrateren van een breuk betekent dat zowel de teller als de noemer gekwadrateerd wordt: ((X)/(Y))^2 = (X^2)/(Y^2). Rond de uiteindelijke waarden van p, q en r pas aan het einde af op het gevraagde aantal decimalen (hier 3 decimalen). Controleer je stappen zorgvuldig, vooral bij het omgaan met haakjes en mintekens. ### Vraag 3 – Opgave 3 Wat kun je verwachten: Je moet de afgeleide van een functie bepalen en vervolgens met behulp van die afgeleide een eigenschap van de oorspronkelijke functie bewijzen. In dit geval gaat het om 'toenemend stijgend'. Wat moet je kennen: Je moet de kettingregel voor differentiëren perfect kennen. Ook moet je weten wat 'toenemend stijgend' betekent in termen van de afgeleide van een functie. Wat moet je kunnen: Je moet een functie kunnen differentiëren met de kettingregel. Daarna moet je de eigenschappen van de afgeleide functie kunnen analyseren (is deze positief? is deze stijgend?) om een conclusie te trekken over de oorspronkelijke functie. Je moet je conclusie helder en volledig kunnen onderbouwen. Waar op letten: Let goed op de correcte toepassing van de kettingregel: vergeet de 'binnenste' afgeleide niet als factor mee te nemen. Controleer of je afgeleide functie positief is op het gegeven domein. Dit is cruciaal voor 'stijgend'. Controleer of je afgeleide functie zelf stijgend is op het gegeven domein. Dit is cruciaal voor 'toenemend'. Zorg ervoor dat je de conclusie 'toenemend stijgend' duidelijk en volledig onderbouwt met je bevindingen over de afgeleide. Werk nauwkeurig met de constanten in de formule; afrondingen kunnen leiden tot onjuiste conclusies. ## Opgaven (tekst van het examen) ### Pagina 1 Examen HAVO 2023 tijdvak 2 tijdsduur: 3 uur wis k un de B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden. Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt. Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. HA-1025-a-23-2-0 ### Pagina 2 Zwangerschap Een zwangerschapsecho is een afbeelding van een ongeboren baby. Zie foto 1. Een echo wordt onder andere gebruikt om vast te stellen hoe lang een vrouw al zwanger is. Op de echo kan de afstand a van de bovenkant van het hoofdje tot de onderkant van de billen worden gemeten. Met behulp van de volgende formule kan dan de zwangerschapsduur d worden geschat: $d = 8,052\cdot \sqrt{1,037a + 23,73}$ De zwangerschapsduur d is in dagen en de gemeten afstand a in mm. Deze formule is alleen bruikbaar bij een zwangerschapsduur van ongeveer 8,5 tot ongeveer 13 weken. Bij een vrouw wordt een echo gemaakt. Daarbij wordt a = 55 mm gemeten. 2p 1 Bereken de geschatte zwangerschapsduur van deze vrouw. Geef je antwoord in hele weken. Als bekend is hoelang een vrouw zwanger is, kan omgekeerd berekend worden wat de afstand a bij de ongeboren baby is. Hiervoor kan de formule worden herschreven door a in d uit te drukken. Dit geeft een formule van de vorm: $a = p \cdot (q \cdot d - r)^2$ Mogelijke waarden van p, q en r, afgerond op twee decimalen, zijn: $p=0,96$, $q=0,12$ en $r=2,95$. 3p 2 Bereken deze waarden van p, q en r in drie decimalen. Bij een zwangerschapsduur van 8,5 tot 13 weken is de afstand bij de ongeboren baby te bepalen volgens de formule $a = 0,96 \cdot (0,12d - 2,95)^2$. 3p 3 Toon met behulp van de afgeleide aan dat de afstand toenemend stijgend is. foto 1 HA-1025-a-23-2-o 2 / 13 lees verder ### Pagina 3 Vanaf 13 weken zwangerschap kan gebruik worden gemaakt van een andere formule voor een schatting van de zwangerschapsduur. Hierbij wordt de hoofdomtrek gebruikt. Op foto 2 is een dwarsdoorsnede te zien van het hoofd. foto 2 [FIGUUR: Echofoto van een foetaal hoofd met een cirkel eromheen] De formule voor de zwangerschapsduur vanaf 13 weken wordt gegeven door: $w = 3,12958 \cdot 1,00244^h \cdot h^{0,2794}$ Hierin is $w$ de zwangerschapsduur in weken en $h$ de hoofdomtrek in mm. 3p 4 Bereken de hoofdomtrek in mm die hoort bij een zwangerschap van 14 weken. Geef je eindantwoord als een geheel getal. HA-1025-a-23-2-o 3 / 13 lees verder ► ► ► ### Pagina 4 Cirkel tussen lijnen De lijn $l$ is gegeven door de vergelijking $y = \frac{1}{2}x$ en de lijn $m$ door de vergelijking $y = -\frac{1}{2}x$. Verder is gegeven de cirkel $c$ met middelpunt $M(\sqrt{5}, 0)$ en straal 1. Lijn $l$ raakt cirkel $c$. Zie figuur 1. figuur 1 [FIGUUR: Een grafiek met de y-as van -1,0 tot 1,5 en de x-as van -0,5 tot 3,5. Twee lijnen, l en m, snijden elkaar op de oorsprong. Een cirkel, c, met middelpunt M op de x-as, raakt beide lijnen l en m. De cirkel heeft straal 1 en middelpunt M op ongeveer (2,1, 0).] 5p 5 Bewijs dat lijn $l$ cirkel $c$ raakt. De verticale lijn $n$ raakt cirkel $c$ aan de rechterkant. Lijn $n$ snijdt lijn $m$ in punt $A$ en lijn $l$ in punt $B$. Samen met de oorsprong $O$ vormen de punten $A$ en $B$ de driehoek $OAB$. Cirkel $c$ past precies in deze driehoek. Zie figuur 2. figuur 2 [FIGUUR: Een grafiek met de y-as van -1,5 tot 1,5 en de x-as van -0,5 tot 3,5. Twee lijnen, l en m, snijden elkaar op de oorsprong. Een verticale lijn, n, raakt aan de rechterkant een cirkel, c. Het middelpunt van de cirkel M is weer op de x-as, ongeveer op (2,1, 0). Lijn n snijdt lijn m in punt A en lijn l in punt B. Punt A ligt op de x-as. De cirkel c raakt de lijnen l, m, en n.] 5p 6 Onderzoek op algebraïsche wijze of de oppervlakte van driehoek $OAB$ meer dan twee keer zo groot is als de oppervlakte van cirkel $c$. HA-1025-a-23-2-o 4 / 13 lees verder >>> ### Pagina 5 ```json { "page_type": "opgaven", "exam_info": { "subject": "wiskunde", "year": "2023", "tijdvak": "1" }, "figures": [ "Een grafiek van een parabool met de y-as en x-as. De parabool opent naar beneden. Er zijn punten P, A, B en O aangegeven. Punt P is een punt op de parabool. De lijn door P snijdt de x-as bij A en de y-as bij B. O is de oorsprong.", "Een grafiek van een parabool met de y-as en x-as. De parabool opent naar beneden. Er zijn punten O, C, D en Q aangegeven. O is de oorsprong. C is een punt op de x-as. D is het hoogste punt van de parabool. Q is een punt op de parabool. Er zijn twee schaduwgebieden, die driehoeken OQC en OQD voorstellen." ], "keywords": "Raaklijn, driehoek, parabool, functie, oppervlakte, coördinaten, x-as, y-as, grafiek, wiskunde" } ``` ### Pagina 6 Een translatie en snijpunten met de x-as De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = x^3 + 6x^2 - 36x - 88$. De punten $P$ en $Q$ zijn de toppen van de grafiek van $f$. Het middelste snijpunt van de grafiek van $f$ met de x-as is het punt $M(-2,0)$. Zie figuur 1. figuur 1 [FIGUUR: Een grafiek van de functie f met de y-as en x-as. Op de grafiek zijn de toppen P en Q en een snijpunt met de x-as M aangegeven.] Punt M ligt midden tussen P en Q. 5p 10 Bewijs dit. Door de grafiek van f twee naar rechts te verschuiven ontstaat de grafiek van de functie g. Een formule voor g is $g(x) = x^3 - 48x$. 4p 11 Bewijs dat dit een formule is voor g. HA-1025-a-23-2-o 6/13 lees verder ### Pagina 7 In figuur 2 zijn de grafieken van f en g weergegeven. figuur 2 [FIGUUR: Een grafiek met de y-as verticaal en de x-as horizontaal. Twee parabolen zijn getekend. De linker parabool opent naar beneden en snijdt de x-as bij A en M. De rechter parabool opent naar boven en snijdt de x-as bij B en ligt symmetrisch rond een verticale lijn rechts van de y-as. Er zijn ook twee verticale lijnen getekend die de grafieken f en g aanduiden.] Het middelste snijpunt van de grafiek van g met de x-as ligt in de oorsprong. De grafiek van f heeft behalve punt M nog twee snijpunten met de x-as: het punt A en het punt B. De coördinaten van die snijpunten zijn met de functie f moeilijk te berekenen. Met behulp van de functie g zijn de coördinaten van deze snijpunten wel te berekenen. 4p 12 Bereken exact de x-coördinaten van A en B. HA-1025-a-23-2-o 7 / 13 lees verder ### Pagina 8 Shovel Een shovel is een machine om zand mee te verplaatsen. In de bak van een shovel zit zand. Om het zand te storten, wordt de bak gekanteld. In figuur 1 staat de beginsituatie. In deze beginsituatie zijn de bovenrand van de bak en de armen $AB$ en $ED$ horizontaal. Punt $B$ ligt loodrecht boven punt $D$. Verder geldt in de beginsituatie: – $AB = 1,50$ m, $ED = 1,80$ m en $BD = 0,25$ m; – $A$ bevindt zich $0,30$ m rechts van $E$ en $0,25$ m boven $E$; – $\angle AED = 39,8°$. figuur 1 beginsituatie [FIGUUR: Een schematische tekening van een shovel in de beginsituatie. De bak is gevuld met zand. De bovenrand van de bak en armen AB en ED zijn horizontaal. Punt B ligt loodrecht boven punt D. Afmetingen zijn aangegeven: 0,30 m (horizontaal van E naar A), 1,50 m (lengte van AB), 1,80 m (lengte van ED) en 0,25 m (verticaal van E naar A, en van B naar D). Hoek AED is aangegeven als 39,8 graden.] In figuur 2 staat de situatie als de bak enigszins gekanteld is. Bij het kantelen blijven de punten $B$, $D$ en $E$ op hun plek. Door de buis bij $A$ uit te schuiven, wordt $AB$ 10 centimeter langer gemaakt. De afstand $AE$ verandert niet. Hierdoor draait punt $A$ om punt $E$ heen. Arm $AB$ loopt dan niet meer horizontaal en $\angle AED$ wordt groter. figuur 2 enigszins gekanteld [FIGUUR: Een schematische tekening van een shovel met de bak enigszins gekanteld. Punten B, D en E blijven op hun plek. De lengte van de arm AB is vergroot, waardoor punt A om punt E heen is gedraaid. De arm AB is niet meer horizontaal. De afstand AE blijft gelijk. Afmetingen zijn aangegeven: 1,60 m (horizontaal van E naar de verticale lijn door A), 0,25 m (verticaal van de horizontale lijn door E naar A). De lengte van arm AB is niet expliciet aangegeven maar de situatie is veranderd ten opzichte van figuur 1.] Op de uitwerkbijlage is figuur 2 met de vierhoek $AED B$ weergegeven. 7p 13 Bereken hoeveel graden de bak in figuur 2 gekanteld is ten opzichte van de beginsituatie. Geef je eindantwoord in hele graden. ### Pagina 9 Ga verder op de volgende pagina. H A - 1 0 2 5 - a - 2 3 - 2 - o 9 / 13 lees verder ### Pagina 10 Sinusoïde en parabool De functie f wordt gegeven door $f(x)=3+3\sin(\frac{1}{2}\pi x)$. In de figuur is een deel van de grafiek van f weergegeven. De grafiek van deze functie gaan we in twee delen benaderen, namelijk met een deel van een parabool en met een lijnstuk. Het punt A met x-coördinaat $\frac{1}{3}$ ligt op de grafiek van f. Het punt B met dezelfde y-coördinaat als A ligt ook op de grafiek van f. Het punt T is de top van de grafiek van f. Zie de figuur. figuur y $ T A f S 0 x Het deel van de sinusoïde tussen de punten A en B is te benaderen door de parabool die door de punten A, T en B gaat. Een vergelijking van deze parabool is $y = -3\frac{3}{8}x^2 + 6\frac{1}{2}x + 2\frac{5}{8}$. 7p 14 Bewijs dit. De grafiek van f snijdt de y-as in het punt S. Het deel van de sinusoïde tussen de punten S en A is te benaderen door een lijnstuk met vergelijking $y = 4\frac{1}{2}x + 3$. Dit lijnstuk gaat door de punten S en A. De benadering van de sinusoïde tussen de punten S en B bestaat nu uit twee delen: het lijnstuk SA en het deel van de parabool door A, T en B. Als er in punt A geen knik is, noemen we dit een goede benadering. Dat houdt in dat in A de helling van het lijnstuk SA gelijk is aan de helling van de parabool. 4p 15 Onderzoek op exacte wijze of er wel of geen knik is in het punt A. HA-1025-a-23-2-o 10/13 lees verder ### Pagina 11 Afstand tussen lijnen en punt De lijn $l$ wordt gegeven door de vergelijking $y=\frac{1}{2}x$. De lijn $k$ ontstaat door l één recht omhoog te schuiven. Het punt $P$ bevindt zich onder $l$. De afstand tussen $l$ en $P$ is 3. Zie de figuur. figuur y k l O x P 6p 16 Bereken algebraïsch de afstand tussen $k$ en $P$. Geef je eindantwoord in twee decimalen. HA-1025-a-23-2-o 11/13 lees verder ►►► ### Pagina 12 ```json { "page_type": "opgaven", "exam_info": { "subject": null, "year": null, "tijdvak": null }, "figures": [ "Grafiek van twee functies f en h tegen de x-as en y-as. De functie h is een periodieke sinusgolf rond de x-as. De functie f is een oplopende golf met dezelfde periodieke beweging als h, maar met een toenemende amplitude." ], "keywords": "functies, exponentiële functie, periodieke functie, sinus, maxima, minima, grafiek, coördinaten, algebraïsch onderzoek" } ``` ### Pagina 13 Het snijpunt van de grafiek van $f$ met de $y$-as is $(0, f(0))$ en dus is de vergelijking van de horizontale lijn door dit punt $y=f(0)$. Voor $x>0$ zal de grafiek van $f$ de lijn met vergelijking $y=f(0)$ op meerdere plaatsen snijden. Zie figuur 2. figuur 2 [FIGUUR: Een grafiek van een oscillerende functie die start bij de oorsprong en zich naar rechts opwaarts beweegt, met de y-as links en de x-as onder. De y-as is gemarkeerd met 'y' en de x-as met 'x'. De horizontale lijn door de oorsprong is gemarkeerd met 'y = f(0)'. Het snijpunt van de grafiek met de y-as is de oorsprong.] Vanaf een bepaalde waarde van $x$ snijden de grafiek van $f$ en de lijn elkaar niet meer. Het snijpunt met de grootste $x$-coördinaat bevindt zich links van punt $A$. 3p 18 Bereken de $x$-coördinaat van dit snijpunt. Geef je antwoord in twee decimalen. In eerste instantie is de grafiek van $f$ afWisselend dalend en stijgend. Vanaf een bepaalde waarde van $x$ is de grafiek van $f$ alleen nog maar stijgend. De laatste twee dalingen vinden in het interval $[38, 40]$ plaats. Tijdens elke daling van hoogste naar laagste punt is er een punt op de grafiek van $f$ waar de grafiek het sterkst daalt. In zo'n punt is de helling op dat dalende stuk dus minimaal. Op het laatste dalende stuk is dat in het punt $P$. Zie figuur 3. 3p 19 Bereken de $x$-coördinaat van $P$. Licht je werkwijze toe. Geef je antwoord in één decimaal. figuur 3 [FIGUUR: Een grafiek die begint bij punt P en vervolgens stijgt, met een verticale stippellijn bij x=41. De grafiek is gemarkeerd met 'f'. De y-as is links en de x-as onder, met markeringen '38' en '41'. Punt P is gelabeld op de grafiek.] Bronvermelding Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen behorende correctievoorschrift. HA-1025-a-23-2-o 13 / 13 einde