# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2023 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1

## Vraag 1 – Opgave 1 (3 punten)

3p 1 Bereken op exacte wijze het domein van f. De functie g wordt gegeven door: g(x) = a(x-p)^2 + q Hierin zijn a, p en q constanten. De grafiek van g is een parabool. Het punt A ligt op de grafiek van f en in dit punt A geldt f'(x) = (3)/(4). Daarnaast is punt A ook de top van de grafiek van g. Het punt B ligt op beide grafieken en heeft x-coördinaat 10. Zie de figuur. figuur y g f A B x O

Wat kun je verwachten: Je krijgt een functie met een wortel en je moet het domein van deze functie bepalen. Dit betekent dat je moet uitzoeken voor welke x-waarden de functie gedefinieerd is.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat het domein van een functie is, in het bijzonder voor wortelfuncties. Je moet ook de basisregels voor het oplossen van lineaire ongelijkheden kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet een lineaire ongelijkheid kunnen opstellen en oplossen. Je moet ook kunnen redeneren waarom de uitdrukking onder de wortel een bepaalde voorwaarde moet vervullen.

Waar op letten: Let goed op dat de uitdrukking onder de wortel groter of GELIJK aan nul moet zijn, niet strikt groter dan nul.
Zorg ervoor dat je de ongelijkheid correct oplost; een rekenfout is snel gemaakt.
Presenteer je antwoord als een ongelijkheid voor x, bijvoorbeeld x ≥ a.
Je hoeft hier geen grafiek te tekenen, maar je kunt je voorstellen wat er gebeurt als de waarde onder de wortel negatief wordt.

Kernbegrippen: domein, wortelfunctie, ongelijkheid oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten dat de uitdrukking onder de wortel groter dan of gelijk aan nul moet zijn.
- Alleen de grens x = 5/3 berekenen en niet de juiste ongelijkheid (≥) opstellen.
- Een strikte ongelijkheid (>) gebruiken in plaats van (≥).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/1

## Vraag 2 – Opgave 2 (8 punten)

De functie g wordt gegeven door: g(x) = a(x-p)^2 + q
Hierin zijn a, p en q constanten.
De grafiek van g is een parabool.
Het punt A ligt op de grafiek van f en in dit punt A geldt f'(x) = .
Daarnaast is punt A ook de top van de grafiek van g.
Het punt B ligt op beide grafieken en heeft x-coördinaat 10.
Zie de figuur.

8p 2 Bereken exact de waarden van a, p en q.

Waar op letten: Je moet eerst de afgeleide van f(x) bepalen. Gebruik hiervoor de kettingregel correct. Denk aan de afgeleide van sqrt(u) en de afgeleide van de 'binnenkant' (3x-5).
Je weet dat punt A de top is van de parabool g(x) = a(x-p)^2 + q. Je weet ook dat de afgeleide van f(x) in punt A een specifieke waarde heeft. Gebruik deze informatie om de x-coördinaat van A te vinden.
Als je de x-coördinaat van A hebt, bereken je de bijbehorende y-coördinaat met f(x). Deze coördinaten zijn direct p en q voor de topvorm van de parabool g(x).
Punt B ligt op beide grafieken en heeft x-coördinaat 10. Bereken de y-coördinaat van B met f(x). Dit punt (10, y_B) ligt ook op de grafiek van g(x).
Vul de coördinaten van punt B en de al gevonden waarden van p en q in de formule van g(x) in om de waarde van a exact te berekenen. Let goed op de algebraïsche stappen.

Kernbegrippen: differentiëren (kettingregel), vergelijking van een parabool (topvorm), vergelijkingen oplossen, coördinaten van punten op een grafiek

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het toepassen van de kettingregel
- Vergeten de coördinaten van de top (p, q) correct te gebruiken in de formule van g(x)
- Reken- of algebrafouten bij het oplossen van de vergelijkingen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/2

## Vraag 3 – Opgave 3 (4 punten)

3p 1 Bereken op exacte wijze het domein van f. De functie g wordt gegeven door: g(x) = a(x-p)^2 + q Hierin zijn a, p en q constanten. De grafiek van g is een parabool. Het punt A ligt op de grafiek van f en in dit punt A geldt f'(x) = (3)/(4). Daarnaast is punt A ook de top van de grafiek van g. Het punt B ligt op beide grafieken en heeft x-coördinaat 10. Zie de figuur. figuur y g f A B x O

Wat kun je verwachten: Je moet de x-coördinaat van snijpunt B berekenen. Dit doe je door de vergelijkingen van de cirkel en de lijn te combineren en de resulterende kwadratische vergelijking op te lossen.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vergelijking van een cirkel kennen, hoe je een stelsel van vergelijkingen oplost door substitutie, en hoe je de abc-formule toepast om een kwadratische vergelijking op te lossen.

Wat moet je kunnen: Je moet de vergelijking van de lijn (y = 2x) kunnen substitueren in de vergelijking van de cirkel ((x+6)^2 + (y-1)^2 = 49). Vervolgens moet je de haakjes correct uitwerken en de termen herleiden tot een standaard kwadratische vergelijking (ax^2 + bx + c = 0). Daarna pas je de abc-formule toe en kies je de juiste oplossing voor x op basis van de figuur.

Waar op letten: Let goed op de tekens bij het uitwerken van de haakjes, vooral bij (y-1)^2 en (x+6)^2.
Zorg ervoor dat je alle termen correct herleidt naar de vorm ax^2 + bx + c = 0 voordat je de abc-formule toepast.
De abc-formule geeft twee oplossingen voor x. Gebruik de figuur om te bepalen welke van de twee oplossingen hoort bij punt B (positieve x-waarde).
Rond je eindantwoord af op twee decimalen, zoals gevraagd in het CV, na het berekenen van de exacte waarde met de wortel.
Vergeet niet dat de vergelijking van de cirkel (x+6)^2 + (y-1)^2 = 49 is, en niet (x-6)^2 of (y+1)^2.

Kernbegrippen: vergelijking van een cirkel, snijpunten van lijn en cirkel, kwadratische vergelijkingen oplossen, abc-formule

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde snijpunt kiezen (punt A in plaats van B, dus de min-variant van de abc-formule)
- Afrondingsfouten
- Fouten bij het uitwerken van de haakjes na substitutie

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/3

## Vraag 4 – Opgave 4 (6 punten)

4p 3 Bereken algebraïsch de x-coördinaat van B. Geef je eindantwoord in twee decimalen. De lijn m is de horizontale raaklijn aan de onderkant van c. Het punt C is het snijpunt van m en l. Het punt N ligt op m op een afstand 8 rechts van C. De cirkel d heeft N als middelpunt en straal 3. Zie figuur 2. figuur 2 C M y B l N A C x d m

Wat kun je verwachten: Je moet de x-coördinaat van punt B berekenen. Dit betekent dat je de snijpunten van een lijn en een cirkel moet vinden. Je zult de vergelijking van de lijn en de cirkel moeten combineren en de resulterende kwadratische vergelijking algebraïsch oplossen.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vergelijking van een cirkel kennen: (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, waarbij (a,b) het middelpunt is en r de straal. Je moet ook weten hoe je de vergelijking van een lijn opstelt en hoe je een kwadratische vergelijking oplost, bijvoorbeeld met de abc-formule.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om de vergelijking van cirkel c en lijn l op te stellen. Vervolgens vervang je de y (of x) van de lijnvergelijking in de cirkelvergelijking om een kwadratische vergelijking te krijgen. Deze kwadratische vergelijking los je algebraïsch op om de x-coördinaten van de snijpunten te vinden. Je kiest dan de juiste x-coördinaat voor punt B.

Waar op letten: Let goed op de tekens (+/-) bij het bepalen van het middelpunt en de straal uit de cirkelvergelijking.
Zorg ervoor dat je de vergelijking van lijn l correct opstelt; deze gaat door de oorsprong.
Bij het oplossen van de kwadratische vergelijking krijg je twee oplossingen voor x. Gebruik figuur 1 om te bepalen welke van de twee oplossingen hoort bij punt B.
Rond je eindantwoord af op twee decimalen, zoals gevraagd in de vraagtekst.
Controleer of je de juiste x-coördinaat kiest voor punt B, aangezien er twee snijpunten zijn.

Kernbegrippen: vergelijking van een cirkel, raaklijn, afstand tussen punten, afstand tussen cirkels, coördinatenmeetkunde

Veelgemaakte fouten:
- De afstand tussen de cirkels is niet de afstand tussen de middelpunten (MN), maar de afstand tussen de randen. De stralen moeten nog van MN afgetrokken worden.
- Verkeerd aflezen van middelpunt en straal uit de cirkelvergelijking.
- Reken- of tekenfouten bij het bepalen van de coördinaten van de verschillende punten (M, C, N).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/4

## Vraag 5 – Opgave 5 (4 punten)

Deze grafiek is te beschrijven met een formule van de volgende vorm:
V = p + q ⋅ cos(rt)

4p 5 Bereken de waarden van p, q en r. Geef niet-gehele waarden in je eindantwoord in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een grafiek van een periodiek verschijnsel, in dit geval het longvolume, en een algemene formule voor een sinusoïde. Je moet de parameters p, q en r van deze formule bepalen door informatie uit de grafiek te halen.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van een sinusoïde kennen: de evenwichtsstand, de amplitude en de periode. Ook moet je weten hoe deze eigenschappen gerelateerd zijn aan de parameters p, q en r in de formule V = p + q ⋅ cos(rt). Je kent de relatie tussen de periode T en de parameter r: T = (2π)/r, of omgekeerd r = (2π)/T.

Wat moet je kunnen: Je kunt de maximale en minimale waarden van een grafiek aflezen. Je kunt de evenwichtsstand en amplitude berekenen op basis van deze waarden. Je kunt de periode van een sinusoïde aflezen uit de grafiek. Tot slot kun je de parameter r berekenen met behulp van de periode en de formule r = (2π)/T. Je rondt niet-gehele waarden af op twee decimalen zoals gevraagd.

Waar op letten: Je leest de maximale en minimale waarden van V nauwkeurig af uit de grafiek.
Je berekent de evenwichtsstand (p) als het gemiddelde van de maximale en minimale waarde.
Je berekent de amplitude (q) als het verschil tussen de maximale waarde en de evenwichtsstand.
Je bepaalt de periode van de sinusoïde door te kijken naar de afstand tussen twee opeenvolgende toppen of dalen.
Je gebruikt de correcte formule om r te berekenen uit de periode, waarbij je goed oplet dat je met radialen werkt (2π).

Kernbegrippen: goniometrische functies, sinusoïde, periode, amplitude, evenwichtsstand, aflezen uit grafiek

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van amplitude (q) en evenwichtsstand (p)
- Foutieve berekening van r uit de periode (formule 2π/periode)
- Onnauwkeurig aflezen van de maximum- en minimumwaarden uit de grafiek.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/5

## Vraag 6 – Opgave 6 (4 punten)

4p 6 De hoeveelheid lucht die deze persoon elke keer inademt, is gelijk aan het verschil tussen het maximum en het minimum van V. Gedurende één minuut ademt deze persoon meerdere keren in. In totaal ademt hij dan bijna 100 liter lucht in. Bereken hoeveel liter lucht deze persoon per minuut inademt. Geef je eindantwoord als geheel getal. Een test om na te gaan hoe goed iemands longen werken is de zogeheten spirometrietest. De persoon moet tijdens deze test krachtig in een apparaat blazen. Zie de foto. foto Benny moet zo'n test ondergaan. Het resultaat is te zien in de grafiek op de uitwerkbijlage. Op de verticale as staat het volume uitgeademde lucht in liters en op de horizontale as de tijd in seconden.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over een sinusoïde die een realistische situatie modelleert, in dit geval de ademhaling. Je moet de eigenschappen van de sinusoïde (amplitude, periode) gebruiken om een berekening te maken in de context van de vraag.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een sinusoïde kennen: y = A + B * sin(C(x - D)) of y = A + B * cos(C(x - D)). Je moet weten hoe je de amplitude en de periode uit deze formule haalt. De amplitude is |B| en de periode is (2 * pi) / |C|. Je moet ook weten hoe je eenheden omrekent, zoals milliliter naar liter.

Wat moet je kunnen: Je moet de formule van de sinusoïde kunnen aflezen en de relevante parameters (amplitude en C-waarde) eruit kunnen halen. Je moet de periode van de sinusoïde kunnen berekenen. Je moet het verschil tussen maximum en minimum kunnen bepalen op basis van de amplitude. Je moet kunnen omrekenen van seconden naar minuten en van milliliter naar liter. Tot slot moet je de verschillende stappen logisch kunnen combineren om tot het eindantwoord te komen.

Waar op letten: Let goed op de eenheden: het volume V is gegeven in milliliter (mL), maar de vraag vraagt om liters (L). Je moet dus een conversie uitvoeren.
De hoeveelheid lucht die wordt ingeademd is het verschil tussen het maximum en het minimum van V. Dit is NIET de amplitude, maar twee keer de amplitude. Let op deze factor 2.
Bereken de periode van de sinusoïde met de juiste formule: periode = (2 * pi) / C. Zorg ervoor dat je rekenmachine in radialen staat voor pi.
De periode is in seconden, maar de vraag gaat over één minuut. Je moet dus berekenen hoe vaak de persoon ademt in 60 seconden.
Rond pas aan het einde af naar een geheel getal, zoals gevraagd. Gebruik tussendoor zoveel mogelijk exacte waarden of veel decimalen om afrondingsfouten te voorkomen.

Kernbegrippen: goniometrische functies, sinusoïde, amplitude, periode, toepassing van goniometrie

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten om te rekenen van mL naar L.
- Verwarren van amplitude met het verschil tussen maximum en minimum (factor 2).
- Afrondingsfouten bij het berekenen van de periode en het aantal ademhalingen per minuut.
- Vergeten dat de vraag over één minuut gaat, niet over één seconde.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/6

## Vraag 7 – Opgave 7 (4 punten)

Een test om na te gaan hoe goed iemands longen werken is de zogeheten spirometrietest. De persoon moet tijdens deze test krachtig in een apparaat blazen. Zie de foto.

Benny moet zo'n test ondergaan. Het resultaat is te zien in de grafiek op de uitwerkbijlage. Op de verticale as staat het volume uitgeademde lucht in liters en op de horizontale as de tijd in seconden.

Er is een moment waarop de snelheid waarmee de persoon uitblaast, maximaal is. Deze maximale snelheid, in liters per minuut, wordt de PEF (peak expiratory flow) genoemd.
Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage de PEF van Benny in liters per minuut. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Wat kun je verwachten: Je moet de maximale snelheid bepalen uit een grafiek die het volume uitzet tegen de tijd. Dit betekent dat je de steilste plek van de grafiek moet vinden en daar de helling moet bepalen. Vervolgens moet je de eenheden omrekenen.

Wat moet je kennen: Je moet weten dat de snelheid de afgeleide is van de positie (of in dit geval, het volume) naar de tijd. Grafisch gezien is dit de helling van de raaklijn aan de grafiek. Je moet ook weten hoe je eenheden omrekent, specifiek van seconden naar minuten.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om visueel het punt op een grafiek te identificeren waar de helling maximaal is. Je moet nauwkeurig een raaklijn kunnen tekenen aan de grafiek in dat punt. Vervolgens moet je de richtingscoëfficiënt van deze raaklijn kunnen berekenen door twee punten op de raaklijn af te lezen en de formule delta_y / delta_x toe te passen. Tot slot moet je de berekende snelheid, die in liters per seconde is, kunnen omrekenen naar liters per minuut.

Waar op letten: Let goed op dat je het punt kiest waar de grafiek het steilst is, niet waar het volume maximaal is. De PEF is de maximale 'snelheid', dus de maximale helling.
Teken de raaklijn zo nauwkeurig mogelijk. Een liniaal is hierbij essentieel. Hoe nauwkeuriger je raaklijn, hoe preciezer je antwoord.
Kies twee punten op de getekende raaklijn die ver uit elkaar liggen. Dit minimaliseert de invloed van afleesfouten bij het berekenen van de richtingscoëfficiënt.
Vergeet niet de eenheid om te rekenen! De grafiek geeft tijd in seconden, maar de PEF moet in liters per minuut. Je moet dus vermenigvuldigen met 60.
Rond je eindantwoord af op een geheel getal, zoals gevraagd in de vraagstelling.

Kernbegrippen: helling van een grafiek, raaklijn, snelheid als afgeleide, eenheden omrekenen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten eenheden om te rekenen (van seconden naar minuten)
- Verwarren van maximale waarde met maximale helling
- Onnauwkeurig tekenen of aflezen van de raaklijn

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/7

## Vraag 8 – Opgave 8 (4 punten)

4p 8 Met behulp van driehoek ACM kun je bewijzen dat formule 1 juist is. Bewijs dat formule 1 juist is. Je kunt hierbij de figuur op de uitwerkbijlage gebruiken. In het kunstwerk Transition is de straal r gelijk aan 1,63 m. Voor het ingraven van de buis was het handig om te weten hoe lang de basis b moest zijn. Deze lengte hangt af van de gewenste hoogte h. Je kunt formule 1 herleiden tot een formule waarin b wordt uitgedrukt in h. Voor r=1,63 is formule 1 te schrijven in de volgende vorm: b = p · √(q · h - h^2) \quad (formule 2) Hierin zijn p en q constanten.

Wat kun je verwachten: Je moet een meetkundig bewijs leveren door de Stelling van Pythagoras toe te passen op een specifieke driehoek in de figuur. Vervolgens herleid je de vergelijking algebraïsch om de gegeven formule te bewijzen.

Wat moet je kennen: Je moet de Stelling van Pythagoras kennen en weten hoe je deze toepast op een rechthoekige driehoek. Ook moet je de regels voor het uitwerken van haakjes en het herleiden van algebraïsche vergelijkingen beheersen, inclusief merkwaardige producten.

Wat moet je kunnen: Je kunt een rechthoekige driehoek herkennen in een complexe figuur en de zijden ervan correct benoemen in termen van de gegeven variabelen (b, h, r). Je kunt een vergelijking opstellen met de Stelling van Pythagoras en deze vervolgens stap voor stap algebraïsch herleiden om een specifieke formule af te leiden.

Waar op letten: Je identificeert de rechthoekige driehoek in de figuur die je kunt gebruiken voor de Stelling van Pythagoras. Welke zijden zijn de rechthoekszijden en welke is de hypotenusa?
Je stelt de vergelijking op met de Stelling van Pythagoras. Let goed op de lengtes van de zijden in termen van b, h en r. Vooral de lengte van CM is cruciaal.
Je werkt de haakjes correct uit. Denk aan het merkwaardige product (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. Let goed op de mintekens.
Je herleidt de vergelijking stap voor stap om r uit te drukken in b en h. Zorg dat je alle termen correct overbrengt en combineert.
Je controleert of je de gevraagde formule 1 precies hebt afgeleid. Elke stap moet logisch en algebraïsch correct zijn.

Kernbegrippen: stelling van Pythagoras, algebraïsch herleiden, meetkundig bewijs

Veelgemaakte fouten:
- Fouten bij het uitwerken van de haakjes van (h-r)^2
- Verkeerd toepassen van de stelling van Pythagoras op de verkeerde driehoek of met verkeerde zijden.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/8

## Vraag 9 – Opgave 9 (3 punten)

Er is een formule waarmee je de straal r kunt berekenen bij de gegeven basis en hoogte, namelijk:
r = ( * b^2 + h^2) / (2h) (formule 1)
Hierin is r de straal, b de lengte van de basis AB en h de hoogte CD. Er geldt h >= r.

In het kunstwerk Transition is de straal r gelijk aan 1,63 m.
Voor het ingraven van de buis was het handig om te weten hoe lang de basis b moest zijn. Deze lengte hangt af van de gewenste hoogte h.
Je kunt formule 1 herleiden tot een formule waarin b wordt uitgedrukt in h.
Voor r=1,63 is formule 1 te schrijven in de volgende vorm:
b = p * sqrt(q * h - h^2) (formule 2)
Hierin zijn p en q constanten.
Herleid formule 1 tot de vorm van formule 2.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule met meerdere variabelen en de opdracht om deze te herleiden naar een specifieke vorm. Je moet een variabele isoleren en de formule herschrijven met behulp van algebraïsche bewerkingen.

Wat moet je kennen: Je moet de basisregels van algebraïsch herleiden kennen, zoals het wegwerken van breuken, het isoleren van termen, en het correct toepassen van worteltrekken. Ook moet je weten hoe je factoren uit een wortel kunt halen.

Wat moet je kunnen: Je kunt een gegeven formule stap voor stap omvormen door aan beide zijden van het is-teken dezelfde bewerkingen uit te voeren. Je kunt een variabele (in dit geval 'b') vrijmaken en de formule in de gevraagde vorm 'b = p * sqrt(q * h - h^2)' schrijven door constanten p en q te identificeren.

Waar op letten: Begin met het invullen van de gegeven waarde voor r (1,63) in formule 1. Dit maakt de formule direct eenvoudiger.
Werk de breuk weg door te vermenigvuldigen met de noemer (2h). Let goed op dat je de hele linkerkant vermenigvuldigt.
Isoleer de term met b^2. Dit betekent dat je alle andere termen naar de andere kant van het is-teken moet verplaatsen. Let hierbij goed op de tekens (+/-).
Neem de wortel om b te vinden. Vergeet niet dat b een lengte is en dus positief moet zijn.
Om de vorm b = p * sqrt(q * h - h^2) te krijgen, moet je mogelijk een factor uit de wortel halen. Denk eraan dat sqrt(A * B) = sqrt(A) * sqrt(B) en dat sqrt(4) = 2.

Kernbegrippen: algebraïsch herleiden, formules omschrijven, variabelen isoleren, wortelrekenen

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of tekenfouten bij het verplaatsen van termen.
- Vergeten de factor 4 buiten de wortel te halen als een factor 2.
- Incorrect omgaan met de breuk 1/4 bij het vermenigvuldigen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/9

## Vraag 10 – Opgave 10 (6 punten)

6p 10 Bereken AC. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een meetkundige vraag waarbij je de lengte van een zijde in een driehoek moet berekenen. Je zult waarschijnlijk goniometrische regels zoals de cosinusregel of sinusregel moeten toepassen, mogelijk in combinatie met de stelling van Pythagoras of gelijkvormigheid. Het kan zijn dat je eerst een hoek moet berekenen voordat je de gevraagde zijde kunt vinden.

Wat moet je kennen: Je moet de cosinusregel en de sinusregel perfect kennen en weten wanneer je welke regel toepast. Je moet ook de stelling van Pythagoras kennen en de eigenschappen van gelijkbenige driehoeken. Daarnaast moet je weten hoe je goniometrische vergelijkingen (zoals cos(x) = getal) oplost en hoe je een kwadratische vergelijking oplost.

Wat moet je kunnen: Je kunt de cosinusregel toepassen om een onbekende zijde of hoek te berekenen. Je kunt de sinusregel gebruiken als je een zijde, een hoek en de overstaande zijde of hoek kent. Je kunt een kwadratische vergelijking opstellen en oplossen. Je kunt nauwkeurig rekenen met je grafische rekenmachine en correct afronden volgens de vraagstelling. Je kunt ook de eigenschappen van de gegeven figuren (zoals gelijkbenige driehoeken) herkennen en gebruiken.

Waar op letten: Je moet goed kijken welke hoek bij welke driehoek hoort. De hoek 2α zit in driehoek BCQ en hoek α in driehoek ABC. Verwar deze niet.
Je past de cosinusregel correct toe. Let goed op de zijden en de hoek die je gebruikt. De formule is c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C).
Je rondt tussenresultaten niet te vroeg af. Gebruik de volledige waarden die je rekenmachine geeft voor verdere berekeningen om afrondingsfouten te voorkomen.
Je herkent dat het oplossen van AC in de cosinusregel kan leiden tot een kwadratische vergelijking. Je weet hoe je deze vergelijking algebraïsch oplost (bijvoorbeeld met de abc-formule).
Je geeft het eindantwoord in twee decimalen, zoals gevraagd. Controleer dit altijd aan het einde van de opgave.

Kernbegrippen: cosinusregel, sinusregel, goniometrie in driehoeken, stelling van Pythagoras, gelijkvormigheid, oplossen van een kwadratische vergelijking

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van hoek α en 2α.
- Verkeerd toepassen van de cosinus- of sinusregel.
- Reken- of afrondingsfouten met tussenantwoorden.
- De kwadratische vergelijking voor AC niet herkennen of niet correct oplossen.
- Vergeten het eindantwoord af te ronden op twee decimalen zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/10

## Vraag 11 – Opgave 11 (3 punten)

3p 11 Bewijs dat er zo'n manier is. In je antwoord moeten de translaties worden genoemd.

Wat kun je verwachten: Je moet aantonen dat de grafiek van een gegeven functie f(x) kan ontstaan door alleen translaties (verschuivingen) toe te passen op de standaard exponentiële functie y = 2^x. Dit betekent dat je de functie f(x) moet herschrijven naar de vorm y = 2^(x-p) + q.

Wat moet je kennen: Je moet de rekenregels voor machten goed kennen, met name a^m * a^n = a^(m+n). Ook moet je weten hoe translaties van een functie y = g(x) naar y = g(x-p) + q werken: p is de horizontale verschuiving en q is de verticale verschuiving.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven functie f(x) = 2 * 2^(x-3) - 4 algebraïsch kunnen manipuleren met behulp van de rekenregels voor machten. Je moet de factor '2' voor de macht kunnen omzetten in een verschuiving in de exponent. Vervolgens moet je uit de herschreven vorm de juiste translaties kunnen aflezen en benoemen.

Waar op letten: Let goed op de rekenregels voor machten: hoe schrijf je een vermenigvuldiging (zoals 2 * ...) om naar een term in de exponent?
Zorg ervoor dat je de factor '2' niet onterecht combineert met het grondtal '2' tot '4'. Dit is een veelvoorkomende valkuil.
Benoem de translaties expliciet: hoeveel eenheden naar rechts/links en hoeveel eenheden omhoog/omlaag.
Controleer of je antwoord alleen translaties bevat, zoals de vraag vereist. Er mogen geen vermenigvuldigingen ten opzichte van de assen overblijven in de uiteindelijke vorm.

Kernbegrippen: transformaties van functies, translaties, exponentiële functies, rekenregels voor machten

Veelgemaakte fouten:
- De factor 2 voor de machtsfunctie aanzien voor een vermenigvuldiging t.o.v. de x-as, in plaats van deze met de rekenregels voor machten om te schrijven naar een verschuiving in de exponent.
- Incorrect toepassen van de rekenregels voor machten, bijvoorbeeld 2 * 2^(x-3) schrijven als 4^(x-3).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/11

## Vraag 12 – Opgave 12 (4 punten)

Op de grafiek van f ligt een punt met y-coördinaat 10.
Bereken exact de x-coördinaat van dit punt.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een functievoorschrift (in dit geval een exponentiële functie) en een y-coördinaat. Je moet de bijbehorende x-coördinaat exact berekenen. Dit betekent dat je een vergelijking moet opstellen en deze algebraïsch moet oplossen, waarschijnlijk met behulp van logaritmen.

Wat moet je kennen: Je moet de rekenregels voor machten goed kennen, zoals a^b * a^c = a^(b+c) en (a^b)^c = a^(b*c). Ook moet je de definitie van een logaritme kennen: als a^x = b, dan is x = ^a log(b).

Wat moet je kunnen: Je moet een exponentiële vergelijking kunnen opstellen en deze stap voor stap kunnen vereenvoudigen. Je moet de exponentiële term kunnen isoleren en vervolgens de vergelijking kunnen omzetten naar een logaritmische vorm om de exacte waarde van x te vinden.

Waar op letten: Zorg ervoor dat je de exponentiële term (bijvoorbeeld 2^(x-3)) volledig isoleert voordat je de logaritme toepast. Dat betekent dat je eerst alle andere termen naar de andere kant van het =-teken brengt.
Pas de rekenregels voor machten correct toe. Let op het verschil tussen 2 * 2^(x-3) en (2*2)^(x-3). De eerste is 2^(1 + x - 3) = 2^(x-2), de tweede is 4^(x-3).
Wees nauwkeurig bij het omzetten van de exponentiële vergelijking naar een logaritmische vergelijking. Onthoud: grondtal van de macht wordt het grondtal van de logaritme.
De vraag vraagt om een 'exacte' berekening. Dit betekent dat je geen decimalen mag afronden, maar je antwoord in logaritmische vorm moet laten staan (bijvoorbeeld ^2log(7) + 3).

Kernbegrippen: Exponentiële vergelijkingen oplossen, Logaritmen, Rekenregels voor machten

Veelgemaakte fouten:
- Rekenregels voor machten verkeerd toepassen (bv. 2 * 2^A = 4^A)
- Fouten bij het isoleren van de machtsterm
- Verkeerde omzetting van exponentiële vorm naar logaritmische vorm

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/12

## Vraag 13 – Opgave 13 (4 punten)

De functie g wordt gegeven door g(x) = -2^(x-3) + 2.
Het punt S is het snijpunt van de grafieken van f en g.
Bereken exact de coördinaten van S.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het snijpunt van twee exponentiële functies. Je moet de x-coördinaat en de y-coördinaat van dit snijpunt exact berekenen. Dit betekent dat je een exponentiële vergelijking algebraïsch moet oplossen.

Wat moet je kennen: Je moet de rekenregels voor machten goed kennen, met name hoe je termen met dezelfde grondtallen kunt samenvoegen en hoe je exponentiële vergelijkingen van de vorm a^x = b oplost. Je moet ook weten dat het vinden van een snijpunt neerkomt op het gelijkstellen van de twee functievoorschriften.

Wat moet je kunnen: Je kunt de twee functievoorschriften aan elkaar gelijkstellen. Je kunt vervolgens de vergelijking algebraïsch herleiden door termen met machten van hetzelfde grondtal samen te nemen. Je kunt de rekenregels voor machten correct toepassen om de vergelijking te vereenvoudigen tot een vorm waarin je de exponenten kunt vergelijken. Tot slot kun je de gevonden x-waarde invullen in één van de oorspronkelijke functies om de bijbehorende y-coördinaat te vinden en zo de coördinaten van het snijpunt S exact te bepalen.

Waar op letten: Stel de twee functies correct aan elkaar gelijk om de vergelijking voor het snijpunt op te stellen.
Pas de rekenregels voor machten zorgvuldig toe, vooral bij het samenvoegen van termen zoals 2 * 2^(x-3) en 2^(x-3). Denk eraan dat 2 * 2^(x-3) hetzelfde is als 2^1 * 2^(x-3) = 2^(1+x-3) = 2^(x-2).
Zorg ervoor dat je alle termen met de variabele x naar één kant van de vergelijking haalt en de constante termen naar de andere kant.
Vereenvoudig de vergelijking totdat je een vorm hebt zoals 2^A = 2^B, zodat je de exponenten A en B aan elkaar kunt gelijkstellen.
Vergeet niet om, nadat je de x-coördinaat hebt gevonden, deze in één van de oorspronkelijke functies in te vullen om de bijbehorende y-coördinaat te berekenen. De vraag vraagt om de coördinaten van S, dus zowel x als y.

Kernbegrippen: exponentiële functies, vergelijkingen oplossen, snijpunten van grafieken

Veelgemaakte fouten:
- Rekenregels voor machten verkeerd toepassen, bijvoorbeeld 2 * 2^(x-3) zien als 4^(x-3)
- Verkeerd omgaan met de substitutie u = 2^(x-3) of u = 2^x
- Vergeten de y-coördinaat te berekenen na het vinden van de x-coördinaat.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/13

## Vraag 14 – Opgave 14 (4 punten)

4p 14 Bereken de waarden van a en b. Geef niet-gehele waarden in je eindantwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule met twee onbekende parameters (a en b) en twee sets gegevens (punten). Je moet deze gegevens gebruiken om een stelsel van vergelijkingen op te stellen en op te lossen om de waarden van a en b te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je gegevens uit een context vertaalt naar wiskundige vergelijkingen. Je moet ook de basisprincipes van lineaire functies kennen, zoals het verband tussen de helling en de verandering in de variabelen.

Wat moet je kunnen: Je moet een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden kunnen oplossen. Je moet ook nauwkeurig kunnen rekenen en correct kunnen afronden volgens de instructies in de vraag.

Waar op letten: Je vult de gegeven waarden voor H en P correct in de formule P = a * (H - b) in. Let goed op welke waarde bij H hoort en welke bij P.
Je krijgt twee vergelijkingen. Gebruik de eerste vergelijking (met P=0) om direct een van de parameters te bepalen. Denk goed na waarom a=0 geen logische oplossing is in deze context.
Je gebruikt de gevonden parameterwaarde in de tweede vergelijking om de andere parameter te berekenen.
Je rondt niet-gehele waarden in je eindantwoord af op één decimaal, zoals expliciet gevraagd in de vraagtekst. Rond pas aan het einde af om afrondingsfouten te voorkomen.

Kernbegrippen: lineaire functies, opstellen van een formule, parameters berekenen, stelsel van vergelijkingen oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Afrondingsfouten, de vraag vereist afronding op één decimaal.
- Verkeerd interpreteren van de gegevens, bijvoorbeeld de waarden voor H en P door elkaar halen.
- De conclusie 'a=0 of 75-b=0' verkeerd verwerken; a=0 is geen geldige oplossing voor een lineair verband dat ook door (220, 1000) gaat.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/14

## Vraag 15 – Opgave 15 (2 punten)

2p 15 Leg dit uit met behulp van de formule, zonder getallen in te vullen of een schets/tekening te maken. De punten die bij de tienkamp-onderdelen worden behaald, worden eerst met de bijbehorende formule berekend en daarna naar beneden afgerond op een geheel getal. Dus als de uitkomst van de formule bijvoorbeeld 982,73 is, dan krijgt de atleet 982 punten. Bij het onderdeel 1500 m hardlopen wordt de volgende formule gebruikt: Q = 0,03768 · (480-t)^1,85 Hierin is Q het aantal punten en t de gelopen tijd in seconden. Deze tijd wordt altijd gemeten in honderdsten van seconden nauwkeurig. Op 1 juli 2019 was tot dan toe de beste prestatie bij het onderdeel hoogspringen een sprong met hoogte 228 cm. Er worden verschillende tijden gelopen op de 1500 m hardlopen waarmee je méér punten behaalt dan met een sprong van 228 cm hoog.

Wat kun je verwachten: Je moet uitleggen waarom het aantal punten dat je extra verdient door 1 cm hoger te springen, steeds groter wordt naarmate je hoger springt. Dit moet je doen op basis van de formule voor hoogspringen, zonder getallen in te vullen of een schets te maken.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van machtsfuncties kennen, specifiek hoe de exponent de vorm van de grafiek beïnvloedt (stijgend, toenemend stijgend, afnemend stijgend, etc.).

Wat moet je kunnen: Je moet een wiskundige redenering kunnen opbouwen op basis van de structuur van een formule. Je moet de invloed van de exponent op het stijggedrag van een functie kunnen beschrijven.

Waar op letten: Je moet de uitleg baseren op de formule voor hoogspringen (P = 0,8465 * (H - 75)^1,42), niet op de formule voor 1500m hardlopen.
Je mag geen getallen invullen of een schets maken; je redenering moet algemeen zijn en gebaseerd op de vorm van de formule.
Je moet specifiek letten op de exponent in de formule en de betekenis daarvan voor de stijging van de functie.
Je moet het verschil tussen 'stijgend' en 'toenemend stijgend' goed uitleggen in de context van de punten die je extra verdient per centimeter.

Kernbegrippen: machtsfuncties, stijging en daling, toenemende stijging

Veelgemaakte fouten:
- Getallen invullen in plaats van een algemene redenering geven op basis van de vorm van de formule.
- Verwarren van 'stijgend' met 'toenemend stijgend'.
- Een onnodig complexe uitleg geven met behulp van de afgeleide.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/15

## Vraag 16 – Opgave 16 (5 punten)

De punten die bij de tienkamp-onderdelen worden behaald, worden eerst met de bijbehorende formule berekend en daarna naar beneden afgerond op een geheel getal. Dus als de uitkomst van de formule bijvoorbeeld 982,73 is, dan krijgt de atleet 982 punten.
Bij het onderdeel 1500 m hardlopen wordt de volgende formule gebruikt:
Q = 0,03768 ⋅ (480-t)^1,85
Hierin is Q het aantal punten en t de gelopen tijd in seconden. Deze tijd wordt altijd gemeten in honderdsten van seconden nauwkeurig.
Op 1 juli 2019 was tot dan toe de beste prestatie bij het onderdeel hoogspringen een sprong met hoogte 228 cm.
Er worden verschillende tijden gelopen op de 1500 m hardlopen waarmee je méér punten behaalt dan met een sprong van 228 cm hoog.
16 Bereken de **langzaamste** tijd waarmee je méér punten behaalt dan met een sprong van 228 cm hoog. Geef je eindantwoord in minuten en seconden, met het aantal seconden in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een realistische situatie moet vertalen naar wiskundige formules. Je zult een gegeven formule moeten toepassen, een vergelijking moeten opstellen en oplossen, en het resultaat correct moeten interpreteren en omrekenen naar de gevraagde eenheden.

Wat moet je kennen: Je moet de basisregels voor het oplossen van machtsvergelijkingen kennen. Ook moet je weten hoe je met afrondingsregels omgaat, vooral 'naar beneden afronden op een geheel getal'. Je moet ook de omrekening van seconden naar minuten en seconden beheersen.

Wat moet je kunnen: Je moet een gegeven formule kunnen invullen en de uitkomst kunnen berekenen. Je moet een machtsvergelijking van de vorm a * (b-t)^c = Q kunnen oplossen naar t. Je moet nauwkeurig kunnen rekenen met decimalen en correct kunnen afronden. Tot slot moet je de berekende tijd in seconden kunnen omzetten naar minuten en seconden.

Waar op letten: Je moet eerst de punten berekenen voor de hoogspringprestatie van 228 cm. Let goed op de formule die daarvoor in de context van de tienkamp wordt gebruikt (deze staat niet in de vraagtekst, maar is essentieel voor de berekening van de punten voor hoogspringen).
Vergeet niet de berekende punten voor hoogspringen naar beneden af te ronden op een heel getal, zoals de vraagtekst expliciet vermeldt.
De vraag vraagt om 'méér punten' dan de hoogspringprestatie. Dit betekent dat je de vergelijking voor de 1500m hardlopen gelijk moet stellen aan het afgeronde aantal punten plus één.
Je moet een machtsvergelijking oplossen. Zorg ervoor dat je de juiste stappen volgt om t te isoleren, inclusief het correct omgaan met de macht 1,85 (denk aan de omgekeerde bewerking).
Het eindantwoord moet in minuten en seconden, met het aantal seconden in twee decimalen. Let goed op het omrekenen van seconden naar minuten en de juiste afronding.

Kernbegrippen: toepassen van een machtsformule, oplossen van een machtsvergelijking, interpreteren van afrondingsregels, omrekenen van tijdseenheden

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de punten voor hoogspringen naar beneden af te ronden op een heel getal.
- De vergelijking voor de 1500m gelijkstellen aan 1071 in plaats van 1072 (voor 'méér punten').
- Incorrect omrekenen van seconden naar minuten en seconden.
- Foutief afronden van het eindantwoord op twee decimalen.
- Verkeerd interpreteren van 'langzaamste tijd': een grotere 't' geeft minder punten, dus de langzaamste tijd hoort bij de kleinst mogelijke score die nog aan de voorwaarde voldoet.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/16

## Vraag 17 – Opgave 17 (4 punten)

4p 17 Stel op exacte wijze voor beide asymptoten een vergelijking op. Op de grafiek van f liggen twee punten met y-coördinaat (2)/(3). Het rechter punt is P. Lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in P. Zie figuur 2. De richtingscoëfficiënt van l kan met de grafische rekenmachine worden benaderd. figuur 2 y O P f x π

Wat kun je verwachten: Je moet de vergelijkingen van de verticale asymptoten van een goniometrische functie bepalen. Dit betekent dat je de noemer van de functie gelijk aan nul stelt en de resulterende goniometrische vergelijking exact oplost. Vervolgens selecteer je de oplossingen die binnen het gegeven domein vallen.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene oplossing van goniometrische vergelijkingen kennen, in het bijzonder wanneer cos(A) = 0. Je moet ook weten hoe je een verticale asymptoot vindt bij een rationale functie (breukfunctie).

Wat moet je kunnen: Je moet een goniometrische vergelijking van het type cos(ax+b) = 0 algebraïsch en exact kunnen oplossen. Je moet de oplossingen kunnen omzetten naar de vorm x = ... en de juiste waarden voor de constante k kunnen kiezen om de asymptoten binnen het gespecificeerde domein te vinden.

Waar op letten: Een verticale asymptoot ontstaat wanneer de noemer van een breukfunctie nul is en de teller niet nul. Stel de noemer dus gelijk aan 0.
De vergelijking die je moet oplossen is van de vorm cos(A) = 0. De algemene oplossing hiervoor is A = (1/2)π + k·π, waarbij k een geheel getal is. Let goed op de term '+ k·π'.
Na het oplossen van de cosinusvergelijking, moet je de variabele x isoleren. Wees nauwkeurig met het verplaatsen van termen en het delen door constanten.
Het domein van de functie is [0, π]. Je moet de waarden van k kiezen zodat de berekende x-waarden binnen dit interval vallen. De figuur kan je helpen inschatten hoeveel asymptoten je verwacht.
Geef de vergelijkingen van de asymptoten in de vorm x = constante, en zorg ervoor dat deze exact zijn (dus met π).

Kernbegrippen: verticale asymptoten, goniometrische functies, cosinus, exact oplossen van goniometrische vergelijkingen, domein

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het oplossen van de cosinusvergelijking, bijvoorbeeld cos(A)=0 geeft A=0 in plaats van A=π/2 + k·π.
- De term '+ k·π' vergeten, waardoor niet alle oplossingen worden gevonden.
- Fouten bij het algebraïsch isoleren van x na het oplossen van de cosinusvergelijking.
- Niet de juiste oplossingen selecteren die binnen het gegeven domein [0, π] vallen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/17

## Vraag 18 – Opgave 18 (3 punten)

Op de grafiek van f liggen twee punten met y-coördinaat (2)/(3). Het rechter punt is P. Lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in P. Zie figuur 2. De richtingscoëfficiënt van l kan met de grafische rekenmachine worden benaderd.
3p 18 Bereken de richtingscoëfficiënt van l. Geef je eindantwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je moet de richtingscoëfficiënt van een raaklijn aan een grafiek bepalen. Dit doe je door eerst de juiste x-coördinaat van het raakpunt te vinden en daarna de helling in dat punt te berekenen met je grafische rekenmachine.

Wat moet je kennen: Je moet weten dat de richtingscoëfficiënt van een raaklijn gelijk is aan de afgeleide van de functie in het raakpunt. Je moet ook weten hoe je de snijpunten van twee grafieken (of een grafiek en een horizontale lijn) vindt met je GR en hoe je de numerieke afgeleide (helling) berekent met je GR.

Wat moet je kunnen: Je kunt een vergelijking van het type f(x) = c oplossen met je GR om de x-coördinaat van P te vinden. Je kunt vervolgens de d/dx-functie van je GR gebruiken om de helling in dat specifieke punt te berekenen. Je rondt je antwoord af op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Let goed op dat je de juiste x-coördinaat kiest: de vraag spreekt over 'het rechter punt P'. Controleer dit met figuur 2.
Gebruik de 'intersect' of 'snijpunt' functie van je GR om de x-coördinaat van P zo nauwkeurig mogelijk te bepalen. Sla deze waarde eventueel op in een variabele op je GR.
Gebruik de 'd/dx' of 'nDeriv' functie van je GR om de helling in punt P te berekenen. Voer hierbij de nauwkeurige x-waarde in die je eerder hebt gevonden.
Rond je eindantwoord pas op het allerlaatste moment af op één decimaal, zoals gevraagd. Werk tussendoor met voldoende decimalen om afrondingsfouten te voorkomen.

Kernbegrippen: raaklijn, richtingscoëfficiënt, grafische rekenmachine, helling berekenen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde x-coördinaat van P kiezen (het linker punt in plaats van het rechter punt).
- Onvoldoende nauwkeurig werken met de x-coördinaat bij het berekenen van de helling.
- Vergeten het antwoord af te ronden op één decimaal zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2023/tijdvak-1/vraag/18

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2023
tijdvak 1
dinsdag 23 mei
13.30 - 16.30 uur




wiskunde B








Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.







Dit examen bestaat uit 18 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 75 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

HA-1025-a-23-1-o

### Pagina 2

Parabool en grafiek van een wortelfunctie
De functie f wordt gegeven door $f(x)=2\sqrt{3x-5}$.
3p 1 Bereken op exacte wijze het domein van f.
De functie g wordt gegeven door:
$g(x) = a(x-p)^2+q$
Hierin zijn a, p en q constanten.
De grafiek van g is een parabool.
Het punt A ligt op de grafiek van f en in dit punt A geldt $f'(x)=\frac{3}{4}$.
Daarnaast is punt A ook de top van de grafiek van g.
Het punt B ligt op beide grafieken en heeft x-coördinaat 10.
Zie de figuur.
figuur
y
g
A
f
O
x
8p 2 Bereken exact de waarden van a, p en q.
HA-1025-a-23-1-o
2 / 12
lees verder ► ► ►

### Pagina 3

Twee cirkels en twee lijnen

De cirkel c met middelpunt M is gegeven door $(x+6)^2 + (y-1)^2 = 49$.
Ook is gegeven de lijn l met vergelijking $y = 2x$.
De cirkel en de lijn snijden elkaar in de punten A en B. Punt A ligt onder
de x-as, punt B ligt boven de x-as. Zie figuur 1.

figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. Een cirkel met middelpunt M en straal 7 is getekend. De lijn $y=2x$ snijdt de cirkel in de punten A (onder de x-as) en B (boven de x-as).]

4p 3 Bereken algebraïsch de x-coördinaat van B. Geef je eindantwoord in twee
decimalen.
De lijn m is de horizontale raaklijn aan de onderkant van c.
Het punt C is het snijpunt van m en l.
Het punt N ligt op m op een afstand 8 rechts van C.
De cirkel d heeft N als middelpunt en straal 3.
Zie figuur 2.

figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. Twee cirkels zijn getekend. De eerste cirkel c heeft middelpunt M en een horizontale raaklijn m aan de onderkant. De lijn l snijdt cirkel c in punten A en B. Een tweede cirkel d is getekend met middelpunt N op de lijn m. Het middelpunt N ligt 8 eenheden rechts van C, waar C het snijpunt is van m en l. Cirkel d is kleiner dan cirkel c en ligt geheel rechts van de y-as.]

6p 4 Bereken exact de afstand tussen de twee cirkels.

HA-1025-a-23-1-o
3 / 12
lees verder ► ► ►

### Pagina 4

Ademhaling
In deze opgave bekijken we het longvolume. Dit is de hoeveelheid lucht
in de longen van de mens. In figuur 1 is voor een bepaalde persoon in
rust weergegeven hoe dit longvolume $V$ afhangt van de tijd. Hierbij is
$V$ in mL en $t$ de tijd in seconden.
figuur 1
$V$
(in mL)
2500-
2000-
0
5
10
$t$ (in seconden)
4p 5 Bereken de waarden van $p$, $q$ en $r$. Geef niet-gehele waarden in je
eindantwoord in twee decimalen.
HA-1025-a-23-1-0
4/12
lees verder

### Pagina 5

Als een persoon zich inspant, zal hij sneller gaan ademen. Ook ademt hij
elke keer méér lucht in dan wanneer hij in rust is.
Voor iemand die zich inspant, geldt:
$V = 2500 + 1200 \cdot \sin(4,19(t-0,37))$
Hierin is $V$ het longvolume in mL en $t$ de tijd in seconden.
In figuur 2 is een schets van de bijbehorende grafiek te zien.
figuur 2
V
0
}
t
De hoeveelheid lucht die deze persoon elke keer inademt, is gelijk aan
het verschil tussen het maximum en het minimum van $V$.
4p 6 Gedurende één minuut ademt deze persoon meerdere keren in. In totaal
ademt hij dan bijna 100 liter lucht in.
Bereken hoeveel liter lucht deze persoon per minuut inademt. Geef je
eindantwoord als geheel getal.
Een test om na te gaan hoe goed
iemands longen werken is de zogeheten
spirometrietest. De persoon moet tijdens
deze test krachtig in een apparaat blazen.
Zie de foto.
foto
Benny moet zo'n test ondergaan. Het
resultaat is te zien in de grafiek op de
uitwerkbijlage. Op de verticale as staat
het volume uitgaande lucht in liters en
op de horizontale as de tijd in seconden.
Er is een moment waarop de snelheid waarmee de persoon uitblaast,
maximaal is. Deze maximale snelheid, in liters per minuut, wordt de PEF
(peak expiratory flow) genoemd.
4p 7 Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage de PEF van Benny
in liters per minuut. Geef je eindantwoord als geheel getal.
HA-1025-a-23-1-o
5/12
lees verder

### Pagina 6

Transition

Transition is een kunstwerk dat langs de autoweg N34 bij Eext in Drenthe
staat. Het is een gekromde buis die gedeeltelijk ingegraven is in de grond.
Zie de foto.

foto

In de figuur is een model weergegeven van een van de uiteindes van de
buis: een cirkel met middelpunt M en straal r. Punt D is het hoogste punt
van de buis. De doorgang van de buis is het deel van de cirkel boven
lijnstuk AB. De basis van de doorgang is lijnstuk AB. De lengte van de
basis is b. Punt C is het midden van AB. De afstand tussen C en D is de
hoogte h van de doorgang. Lijnstuk CD staat loodrecht op AB. Er geldt
dus CM = h - r.

figuur

[FIGUUR: Een halve cirkel met middelpunt M. Vanuit M lopen stralen naar
het hoogste punt D en een punt op de cirkel, aangeduid met B. Loodrecht op
de lijnstuk AB, die een akkoord van de cirkel is, staat de lijn CD. De afstand
van M tot C is r-h. De afstand van M tot A en B is r. De lengte van AC en
CB is b/2. De hoogte van de cirkel is h.]

HA-1025-a-23-1-o 6/12 lees verder >>>


### Pagina 7

Er is een formule waarmee je de straal r kunt berekenen bij de gegeven
basis en hoogte, namelijk:
$r=\frac{\frac{1}{4}b^2+h^2}{2h}$ (formule 1)
Hierin is r de straal, b de lengte van de basis AB en h de hoogte CD.
Er geldt $h \ge r$.
Met behulp van driehoek ACM kun je bewijzen dat formule 1 juist is.
Bewijs dat formule 1 juist is. Je kunt hierbij de figuur op de uitwerkbijlage
gebruiken.
In het kunstwerk Transition is de straal r gelijk aan 1,63 m.
Voor het ingraven van de buis was het handig om te weten hoe lang de
basis b moest zijn. Deze lengte hangt af van de gewenste hoogte h.
Je kunt formule 1 herleiden tot een formule waarin b wordt uitgedrukt in h.
Voor $r=1,63$ is formule 1 te schrijven in de volgende vorm:
$b=p\cdot\sqrt{q\cdot h-h^2}$ (formule 2)
Hierin zijn p en q constanten.
Herleid formule 1 tot de vorm van formule 2.
4p
8
3p
9

### Pagina 8

Halve hoek
Gegeven zijn de driehoeken ABC en BCQ met AB = 10, BC = 12,
BQ = CQ = 7 en $\angle BAC = \alpha$. Bovendien is gegeven $\angle BQC = 2\alpha$.
Zie de figuur.
figuur
6p 10
Bereken AC. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
HA-1025-a-23-1-o
8/12
lees verder

### Pagina 9

Twee functies
De functie f wordt gegeven door $f(x) = 2 \cdot 2^{x-3} - 4$.
Het is mogelijk de grafiek van f door middel van transformaties te laten
ontstaan uit de grafiek die hoort bij de formule $y = 2^x$. Dit kan op
verschillende manieren. Er is een manier die alleen gebruikmaakt van
translaties, dus zonder vermenigvuldigingen ten opzichte van x-as of
y-as.
3p 11 Bewijs dat er zo'n manier is. In je antwoord moeten de translaties worden
genoemd.
Op de grafiek van f ligt een punt met y-coördinaat 10.
4p 12 Bereken exact de x-coördinaat van dit punt.
De functie g wordt gegeven door $g(x) = -2^{x-3} + 2$.
4p 13 Het punt S is het snijpunt van de grafieken van f en g.
Bereken exact de coördinaten van S.
HA-1025-a-23-1-o
9/12
lees verder ►►►

### Pagina 10

Tienkamp
De tienkamp is een sportwedstrijd waarbij atleten gedurende twee dagen tien atletiekonderdelen moeten afleggen.
Twee onderdelen van de tienkamp zijn
*
hoogspringen en 1500 m hardlopen.
Met formules worden de resultaten van de onderdelen omgezet in punten.
Vervolgens worden alle punten die de atleet op de onderdelen heeft
behaald, opgeteld. De atleet met de meeste punten wint de tienkamp.
Per onderdeel is ooit bepaald wat de ondergrens is om punten te scoren.
Bij het hoogspringen was die ondergrens een hoogte van 75 cm. Daarom
krijgt de atleet 0 punten als hij 75 cm of lager springt. Bij sprongen met
een hoogte boven 75 cm behaalt de atleet wél punten. Bij een sprong met
een hoogte van 220 cm krijgt hij 1000 punten.
Bij het hoogspringen gebruikte men tot het jaar 1920 voor sprongen vanaf
75 cm een lineaire formule van de volgende vorm:
P = a.(H-b)
Hierin is P het aantal punten en H de gesprongen hoogte in centimeters
(H ≥ 75) en zijn a en b constanten.
4p
14
Bereken de waarden van a en b. Geef niet-gehele waarden in je
eindantwoord in één decimaal.
[FIGUUR: Afbeelding van een atleet die aan het hoogspringen is. Op de achtergrond staat een bord met 'BARCELONA 2010'.]
HA-1025-a-23-1-0
10/12
lees verder ► ► ►

### Pagina 11

Een lineaire formule werd niet eerlijk gevonden, omdat bijvoorbeeld een
verbetering van 75 cm naar 76 cm makkelijker te behalen is dan een
verbetering van 160 cm naar 161 cm, terwijl dat toch evenveel extra
punten oplevert. Daarom wilde men een andere formule, waarbij een
verbetering van bijvoorbeeld 1 cm, méér extra punten oplevert naarmate
er hoger wordt gesprongen.
De formule die tegenwoordig voor het hoogspringen gehanteerd wordt, is
$P = 0,8465 ∙ (H - 75)^{1,42}$
Hierin is $P$ weer het aantal punten en $H$ de gesprongen hoogte in
centimeters ($H ≥ 75$).
Het aantal punten dat je extra verdient door 1 cm hoger te springen, wordt
steeds groter.
2p 15 Leg dit uit met behulp van de formule, zonder getallen in te vullen of een
schets/tekening te maken.
De punten die bij de tienkamp-onderdelen worden behaald, worden eerst
met de bijbehorende formule berekend en daarna naar beneden afgerond
op een geheel getal. Dus als de uitkomst van de formule bijvoorbeeld
982,73 is, dan krijgt de atleet 982 punten.
Bij het onderdeel 1500 m hardlopen wordt de volgende formule gebruikt:
$Q = 0,03768 ∙ (480 - t)^{1,85}$
Hierin is $Q$ het aantal punten en $t$ de gelopen tijd in seconden. Deze tijd
wordt altijd gemeten in honderdsten van seconden nauwkeurig.
Op 1 juli 2019 was tot dan toe de beste prestatie bij het onderdeel
hoogspringen een sprong met hoogte 228 cm.
Er worden verschillende tijden gelopen op de 1500 m hardlopen waarmee
je méér punten behaalt dan met een sprong van 228 cm hoog.
5p 16 Bereken de langzaamste tijd waarmee je méér punten behaalt dan met
een sprong van 228 cm hoog. Geef je eindantwoord in minuten en
seconden, met het aantal seconden in twee decimalen.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

### Pagina 12

Cosinusbreuk
Voor $0 \leq x \leq \pi$ wordt de functie $f$ gegeven door:

$f(x) = \frac{1}{4\cos(2(x-\frac{1}{3}\pi))}$

In figuur 1 is de grafiek van $f$ weergegeven.
figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek van de functie f(x) met de y-as en een deel van de x-as, waarop de oorsprong O en het punt $\pi$ zijn aangegeven. De grafiek heeft twee verticale asymptoten en toont in het midden een "dal"-vormige kromme.]

4p 17
De grafiek van $f$ heeft twee verticale asymptoten.
Stel op exacte wijze voor beide asymptoten een vergelijking op.

Op de grafiek van $f$ liggen twee punten met $y$-coördinaat $\frac{2}{3}$. Het rechter
punt is $P$. Lijn $l$ is de raaklijn aan de grafiek van $f$ in $P$. Zie figuur 2.
De richtingscoëfficiënt van $l$ kan met de grafische rekenmachine worden
benaderd.
figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek van de functie f(x) in de buurt van het punt P. De y-as is weergegeven met een punt op de curve. Een lijn l raakt de curve bij punt P. De x-as is weergegeven met het punt $\pi$.]

3p 18
Bereken de richtingscoëfficiënt van $l$. Geef je eindantwoord in één
decimaal.

Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
HA-1025-a-23-1-o
12 / 12
einde