# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2022 tijdvak 3

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3

## Vraag 1 – Opgave 1 (4 punten)

De verticale afstand d(x) = f(x) - g(x) is niet voor elke waarde van x gelijk.
Bereken algebraïsch voor welke waarde van x de verticale afstand d het kleinst is.

Wat kun je verwachten: Je moet de verticale afstandsfunctie d(x) opstellen door de twee gegeven functies van elkaar af te trekken. Vervolgens bereken je het minimum van deze functie. Dit kun je doen door de afgeleide te bepalen en deze gelijk te stellen aan nul, of door de formule voor de top van een parabool te gebruiken als d(x) een kwadratische functie blijkt te zijn.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je functies van elkaar aftrekt om een nieuwe functie te creëren. Je moet de regels voor differentiëren van veeltermen kennen (machtregel). Ook moet je weten dat de afgeleide van een functie nul is op een extreme waarde (minimum of maximum). Als alternatief moet je de formule voor de x-coördinaat van de top van een parabool kennen: x = -b/(2a).

Wat moet je kunnen: Je kunt de functie d(x) = f(x) - g(x) correct opstellen en vereenvoudigen. Je kunt de afgeleide d'(x) correct bepalen. Je kunt de vergelijking d'(x) = 0 algebraïsch oplossen. Je kunt ook, indien van toepassing, de formule x = -b/(2a) correct toepassen om de x-coördinaat van de top van een kwadratische functie te vinden. Je moet kunnen bepalen of de gevonden extreme waarde een minimum of maximum is (bijvoorbeeld door naar de vorm van de functie d(x) te kijken of een tekenoverzicht van d'(x) te maken).

Waar op letten: Let goed op de tekens bij het aftrekken van g(x) van f(x). Een minteken voor een haakje verandert alle tekens binnen dat haakje.
Controleer of de functie d(x) die je opstelt inderdaad een kwadratische functie is. Dit kan je werk vereenvoudigen.
Als je differentieert, zorg dan dat je de machtregel correct toepast voor elke term.
Vergeet niet de afgeleide d'(x) gelijk te stellen aan 0 en deze vergelijking algebraïsch op te lossen om de x-waarde van het extremum te vinden.
Omdat de vraag 'het kleinst' vraagt, moet je zeker weten dat de gevonden x-waarde overeenkomt met een minimum van d(x). Bij een dalparabool is de top altijd een minimum.

Kernbegrippen: functies combineren, differentiëren, extreme waarden, kwadratische functies, vertex van een parabool

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of overschrijffouten bij het opstellen van de verschilfunctie d(x) = f(x) - g(x).
- Fouten bij het differentiëren van de kwadratische functie d(x).
- Vergeten de vergelijking d'(x) = 0 op te lossen om de x-waarde van het extremum te vinden.
- Niet herkennen dat d(x) een kwadratische functie is en dat de x-coördinaat van de top (het minimum) ook direct met de formule x = -b/(2a) berekend kan worden.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/1

## Vraag 2 – Opgave 2 (3 punten)

Op de foto is midden op het zuigflesje een gebogen lijn te zien. Hierop zijn maatstreepjes aangebracht. In het model is deze lijn de grafiek van een functie h. Zie figuur 2.
Voor elke x is h(x) het gemiddelde van f(x) en g(x).
Geef een functievoorschrift van h. Schrijf dit functievoorschrift zo eenvoudig mogelijk.

Wat kun je verwachten: Je krijgt twee functievoorschriften (f(x) en g(x)) en de opdracht om een nieuwe functie h(x) te bepalen die het gemiddelde is van deze twee functies. Je moet dit functievoorschrift zo eenvoudig mogelijk opschrijven.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je het gemiddelde van twee getallen berekent en dit principe kunt toepassen op twee functies. Je moet ook de regels voor het optellen van veeltermen en het delen van een veelterm door een constante kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven functievoorschriften van f(x) en g(x) correct bij elkaar optellen. Daarna moet je de resulterende veelterm term voor term delen door 2. Je moet hierbij zorgvuldig zijn met de coëfficiënten en de tekens, en het eindresultaat zo eenvoudig mogelijk opschrijven.

Waar op letten: Lees de vraag goed: h(x) is het GEMIDDELDE van f(x) en g(x). Dit betekent dat je de som van f(x) en g(x) moet delen door 2.
Tel de functies f(x) en g(x) zorgvuldig bij elkaar op. Combineer alleen termen met dezelfde macht van x (bijvoorbeeld x^3 met x^3, x^2 met x^2, enzovoort).
Let goed op de tekens (+ en -) van de coëfficiënten bij het optellen.
Vergeet niet ELKE term van de opgetelde functie te delen door 2. Dit geldt dus voor de x^3-term, de x^2-term, de x-term en de constante term.
Schrijf het uiteindelijke functievoorschrift zo eenvoudig mogelijk op, zonder haakjes of onnodige breuken.

Kernbegrippen: functies combineren, algebraïsch herleiden, gemiddelde van functies

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of overschrijffouten bij het optellen van de coëfficiënten van f(x) en g(x).
- Vergeten de hele som door 2 te delen, en bijvoorbeeld alleen de constante term delen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/2

## Vraag 3 – Opgave 3 (4 punten)

De twee raaklijnen hebben allebei richtingscoëfficiënt .
4p 3 Toon dit met behulp van differentiëren aan.

Wat kun je verwachten: Je moet aantonen dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijnen in twee verschillende punten (A en B) hetzelfde is. Dit doe je door de afgeleide van de functie te bepalen en vervolgens de x-coördinaten van de punten A en B in de afgeleide in te vullen.

Wat moet je kennen: Je moet de regels voor differentiëren kennen, in het bijzonder de kettingregel. Je moet ook weten dat de afgeleide van een functie in een punt de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dat punt geeft. Je moet de functie f(x) = (-6)/(2x-3) + 2 kunnen herschrijven naar een vorm die makkelijker te differentiëren is, bijvoorbeeld met negatieve exponenten.

Wat moet je kunnen: Je moet de afgeleide f'(x) correct kunnen bepalen. Je moet vervolgens de x-coördinaten van de punten A en B (die je uit de figuur of context haalt) correct kunnen invullen in de afgeleide functie. Tot slot moet je de berekeningen nauwkeurig uitvoeren om aan te tonen dat de richtingscoëfficiënten gelijk zijn aan de gegeven waarde.

Waar op letten: Herschrijf de functie f(x) = (-6)/(2x-3) + 2 eerst naar f(x) = -6(2x-3)^(-1) + 2. Dit maakt het toepassen van de kettingregel eenvoudiger dan de quotiëntregel.
Let goed op het correct toepassen van de kettingregel: d/dx [g(h(x))] = g'(h(x)) * h'(x). Vergeet niet te vermenigvuldigen met de afgeleide van de 'binnenfunctie' (2x-3).
Wees extra voorzichtig met mintekens bij het differentiëren van de term -6(2x-3)^(-1). Een negatieve exponent wordt nog negatiever, en de mintekens kunnen elkaar opheffen of juist versterken.
Vul de x-coördinaten van de punten A en B (x=3 en x=0) nauwkeurig in de afgeleide f'(x) in. Reken de waarden exact uit, dus laat breuken staan en vereenvoudig deze.
Controleer of de berekende richtingscoëfficiënten exact overeenkomen met de waarde die je moet aantonen. Dit is een bewijsvraag, dus je eindresultaat moet precies kloppen.

Kernbegrippen: differentiëren, gebroken functie, kettingregel, richtingscoëfficiënt raaklijn

Veelgemaakte fouten:
- Fouten bij het toepassen van de kettingregel op de noemer (2x-3), met name het vergeten van de vermenigvuldiging met 2.
- Fouten met mintekens bij het differentiëren van -6(2x-3)^(-1).
- Reken- of invulfouten bij het berekenen van f'(3) en f'(0).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/3

## Vraag 4 – Opgave 4 (6 punten)

Cirkel c_1 raakt l in A. Bovendien raakt c_1 aan m. Punt M_1 is het middelpunt van c_1. Zie figuur 2.

De coördinaten van M_1 zijn ( , ).
Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Je moet de coördinaten van het middelpunt M_1 van een cirkel bepalen en dit bewijzen. De cirkel raakt twee lijnen, l en m, waarbij je weet dat lijn l raakt in punt A. Je zult eigenschappen van raaklijnen en cirkels moeten combineren met analytische meetkunde.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je de vergelijking van een lijn opstelt, inclusief de richtingscoëfficiënt van een lijn die loodrecht staat op een andere lijn. Ook moet je de formule voor het middelpunt van een lijnstuk kennen. Je moet de eigenschap kennen dat de straal van een cirkel loodrecht staat op de raaklijn in het raakpunt.

Wat moet je kunnen: Je moet de vergelijking van een lijn kunnen opstellen aan de hand van een punt en een richtingscoëfficiënt. Je moet de richtingscoëfficiënt van een loodrechte lijn kunnen bepalen. Je moet een stelsel van twee lineaire vergelijkingen kunnen oplossen om een snijpunt te vinden. Tot slot moet je de coördinaten van het midden van een lijnstuk kunnen berekenen.

Waar op letten: Let goed op de eigenschap dat de lijn door het middelpunt van de cirkel en het raakpunt A loodrecht staat op raaklijn l. Dit is cruciaal voor het opstellen van de eerste lijnvergelijking.
Zorg ervoor dat je de juiste richtingscoëfficiënt gebruikt voor de lijn die loodrecht staat op lijn m. Onthoud dat voor loodrechte lijnen geldt: rc_1 * rc_2 = -1.
Wees nauwkeurig met je algebraïsche berekeningen bij het oplossen van het stelsel vergelijkingen om het snijpunt te vinden. Een kleine rekenfout kan leiden tot een verkeerd antwoord.
Vergeet niet dat het middelpunt M_1 van de cirkel precies in het midden ligt van de twee raakpunten op de lijnen l en m, omdat de cirkel beide lijnen raakt en de lijnen parallel zijn (dit moet je mogelijk eerst aantonen of afleiden uit de context van de opgave).
Alle berekeningen moeten exact worden uitgevoerd, dus laat breuken staan en rond niet tussentijds af.

Kernbegrippen: analytische meetkunde, vergelijking van een lijn, loodrechte lijnen, snijpunt van lijnen, coördinaten van het midden van een lijnstuk, cirkels en raaklijnen

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van de lijnen l en m
- Reken- of algebrafouten bij het oplossen van het stelsel vergelijkingen
- Foutieve formule voor de richtingscoëfficiënt van een loodrechte lijn (niet -1/rc)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/4

## Vraag 5 – Opgave 5 (3 punten)

M_1 ligt op de lijn k met vergelijking y = x.
Cirkel c_2 is gegeven door de vergelijking x^2 + y^2 - 3x - 4y = 0.
Bewijs dat het middelpunt van c_2 ook op k ligt.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een algemene vergelijking van een cirkel en de vergelijking van een lijn. Je moet bewijzen dat het middelpunt van de cirkel op die lijn ligt.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vergelijking van een cirkel kennen en weten hoe je deze omzet naar de standaardvorm (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. Ook moet je weten hoe je het middelpunt (a,b) uit deze standaardvorm afleest en hoe je controleert of een punt op een lijn ligt.

Wat moet je kunnen: Je kunt kwadraat afsplitsen om de vergelijking van de cirkel te herschrijven. Je kunt de coördinaten van het middelpunt van de cirkel bepalen. Je kunt deze coördinaten invullen in de vergelijking van de lijn om te controleren of het punt op de lijn ligt.

Waar op letten: Let goed op de tekens bij het kwadraat afsplitsen. Vergeet niet de kwadraten van de half-coëfficiënten af te trekken om de vergelijking in balans te houden.
Controleer zorgvuldig of je de coördinaten van het middelpunt correct afleest uit de standaardvorm van de cirkelvergelijking. Denk aan de mintekens in (x-a) en (y-b).
Zorg ervoor dat je de gevonden coördinaten van het middelpunt correct invult in de vergelijking van lijn k (y = x) en duidelijk laat zien dat de vergelijking klopt.
Presenteer je bewijs stap voor stap en logisch, zodat duidelijk is hoe je tot je conclusie komt.

Kernbegrippen: vergelijking van een cirkel, kwadraatafsplitsen, middelpunt van een cirkel, coördinatenmeetkunde

Veelgemaakte fouten:
- Fouten bij het kwadraatafsplitsen, met name bij het correct aftrekken van de kwadraten van de half-coëfficiënten.
- Verkeerd aflezen van de coördinaten van het middelpunt uit de herschreven vergelijking, bijvoorbeeld een tekenfout.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/5

## Vraag 6 – Opgave 6 (3 punten)

6p 4 Bewijs dit. M_1 ligt op de lijn k met vergelijking y = (4)/(3)x. Cirkel c_2 is gegeven door de vergelijking x^2 + y^2 - 3x - 4y = 0.

Waar op letten: Je moet de formule K = log(R / (100-R)) gebruiken. Let op de haakjes en de breuk.
Je moet redeneren over de invloed van een toenemende R op ZOWEL de teller (R) als de noemer (100-R) van de breuk. Wat gebeurt er met elk afzonderlijk?
Je moet vervolgens beredeneren wat de gecombineerde invloed op de hele breuk (R / (100-R)) is.
Je moet de eigenschap van de logaritmische functie benoemen: als het grondtal groter is dan 1 (wat hier het geval is, want het is een 10-logaritme), dan is de functie stijgend. Dit betekent dat als de input van de logaritme stijgt, de output (K) ook stijgt.
Je geeft het antwoord in een logische, stapsgewijze redenering. Gebruik geen getallen, maar algemene argumenten.

Kernbegrippen: logaritmische functies, monotonie, stijgend/dalend, breuken

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten te redeneren over zowel de teller als de noemer.
- De eigenschap van de logaritmische functie (met grondtal > 1) niet benoemen als reden voor het behoud van de stijging.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/6

## Vraag 7 – Opgave 7 (4 punten)

4p 7 Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage het rendement van deze warmtemotor in procenten. Geef je eindantwoord als geheel getal. In de figuur is een lijn weergegeven die de ontwikkeling van het rendement van warmtemotoren benadert. Bij deze lijn hoort de formule K = 0,00667t - 2 \quad (2) Hierin is t het aantal jaren na 1700. Men gaat ervan uit dat in de toekomst een rendement van 70% haalbaar is.

Wat kun je verwachten: Je moet een waarde aflezen uit een grafiek en deze vervolgens gebruiken in een logaritmische formule. Daarna los je de vergelijking algebraïsch op om het rendement te vinden en rond je dit af op een geheel getal.

Wat moet je kennen: Je moet de relatie tussen logaritmen en exponenten kennen, met name hoe je een logaritmische vergelijking omzet naar een exponentiële vorm. Ook moet je weten hoe je een grafiek nauwkeurig afleest.

Wat moet je kunnen: Je kunt een waarde (K) aflezen bij een specifiek punt (Charles Parsons) op de verticale as van de gegeven grafiek. Je kunt deze afgelezen waarde invullen in de formule K = log((R)/(100-R)). Je kunt de resulterende logaritmische vergelijking algebraïsch oplossen om R te isoleren. Tot slot kun je je eindantwoord afronden op een geheel getal, zoals gevraagd.

Waar op letten: Lees de waarde van K bij 'Charles Parsons' zo nauwkeurig mogelijk af op de verticale as. Een kleine afwijking kan al leiden tot een ander eindantwoord.
Let goed op de basis van de logaritme. Als er geen basis staat, is het meestal de 10-logaritme (log_10).
Zet de logaritmische vergelijking correct om naar een exponentiële vergelijking. Denk aan de regel: als log_b(x) = y, dan is b^y = x.
Los de vergelijking voor R zorgvuldig op. Dit zal waarschijnlijk leiden tot een lineaire vergelijking na het omzetten van de logaritme.
Rond je eindantwoord af op een geheel getal, zoals expliciet gevraagd in de vraagtekst.

Kernbegrippen: logaritmische functies, logaritmische vergelijkingen oplossen, grafieken aflezen

Veelgemaakte fouten:
- Onnauwkeurig aflezen van de waarde van K uit de grafiek.
- Fouten maken bij het algebraïsch omschrijven van de logaritmische vergelijking naar een exponentiële vorm.
- Vergeten het eindantwoord af te ronden op een geheel getal, zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/7

## Vraag 8 – Opgave 8 (4 punten)

In de figuur is een lijn weergegeven die de ontwikkeling van het rendement van warmtemotoren benadert. Bij deze lijn hoort de formule
K = 0,00667t - 2 \quad (2)
Hierin is t het aantal jaren na 1700.

Men gaat ervan uit dat in de toekomst een rendement van 70% haalbaar is.
4p 8 Bereken in welk jaar dit rendement voor het eerst behaald zal worden.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je een gegeven percentage moet omzetten naar een variabele in een formule, en die vervolgens moet gebruiken in een andere formule om een tijdstip te berekenen. Je combineert hierbij twee formules.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een waarde substitueert in een formule en hoe je een lineaire vergelijking oplost. Ook moet je de betekenis van de variabelen (t, K, R) goed begrijpen in de context van de vraag.

Wat moet je kunnen: Je moet de waarde van het rendement (R) correct invullen in de eerste formule om K te vinden. Vervolgens moet je deze berekende K-waarde gelijkstellen aan de tweede formule en de resulterende vergelijking oplossen naar t. Tot slot moet je de berekende t-waarde correct omzetten naar een jaartal.

Waar op letten: Let goed op de eenheden en wat elke variabele voorstelt. t is het aantal jaren ná 1700, niet het jaartal zelf.
Zorg ervoor dat je de juiste formule gebruikt voor de omzetting van R naar K. De vraagtekst noemt alleen formule (2), maar de context van de breindata en het CV impliceert dat er ook een formule voor K in termen van R is (K = log(R/(100-R))).
Voer de berekening van de logaritme nauwkeurig uit. Gebruik voldoende decimalen voor K om afrondingsfouten te voorkomen in de uiteindelijke t-waarde.
Rond de berekende waarde van t pas aan het einde af, en interpreteer deze correct om het jaartal te bepalen. 'Voor het eerst behaald' betekent dat je naar boven moet afronden als t een decimaal heeft.
Vergeet niet om 1700 op te tellen bij de berekende t-waarde om het uiteindelijke jaartal te vinden.

Kernbegrippen: logaritmische vergelijkingen, lineaire vergelijkingen, modelleren met formules, substitutie

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten 1700 op te tellen bij de berekende waarde van t.
- Afrondingsfout bij het bepalen van het jaartal uit t.
- Reken- of invoerfouten bij het berekenen van de logaritme.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/8

## Vraag 9 – Opgave 9 (5 punten)

5p 9 Met behulp van formules (1) en (2) kan R uitgedrukt worden in t. Druk R uit in t.

Wat kun je verwachten: Je krijgt twee formules die een gemeenschappelijke variabele (K) bevatten. Je moet deze formules combineren en vervolgens een van de overgebleven variabelen (R) uitdrukken in de andere (t). Dit betekent dat je R moet isoleren aan één kant van de vergelijking.

Wat moet je kennen: Je moet de definitie van een logaritme kennen, met name de relatie tussen logaritmische en exponentiële vormen. Je moet ook de basis van een logaritme kunnen herkennen (in dit geval log met grondtal 10).

Wat moet je kunnen: Je moet algebraïsche vaardigheden toepassen om een variabele te isoleren. Dit omvat het omzetten van een logaritmische vergelijking naar een exponentiële vergelijking en het correct herleiden van termen om R buiten haakjes te halen en te isoleren.

Waar op letten: Let goed op de basis van de logaritme. Als er 'log' staat zonder grondtal, dan is het grondtal 10.
Zorg ervoor dat je de logaritmische vergelijking correct omzet naar een exponentiële vergelijking. De term aan de andere kant van het is-teken wordt de exponent.
Wees nauwkeurig met de algebraïsche stappen om R te isoleren. Verzamel alle termen met R aan één kant van de vergelijking en haal R buiten haakjes.
Controleer of je de haakjes correct plaatst, vooral bij de exponentiële term. De hele uitdrukking 0,00667t-2 is de exponent.
Het antwoord moet een exacte uitdrukking zijn, dus rond geen getallen af tenzij anders aangegeven.

Kernbegrippen: logaritmische vergelijkingen, algebraïsch herleiden, formules combineren, exponentiële functies

Veelgemaakte fouten:
- Fouten bij het omschrijven van een logaritmische vorm naar een exponentiële vorm (vergeten dat de basis 10 is).
- Algebraïsche fouten bij het isoleren van R, met name het correct buiten haakjes halen van R.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/9

## Vraag 10 – Opgave 10 (4 punten)

4p 10 Bewijs dit. Het punt T is de meest rechts gelegen top van de grafiek van f. Lijn l gaat door O en T. Zie figuur 2. Bereken algebraïsch \angle AOT in graden. Geef je eindantwoord als geheel getal. f x figuur 2 y k

Wat kun je verwachten: Je moet een goniometrische vergelijking oplossen om de coördinaten van een specifiek punt op de grafiek te vinden. Vervolgens gebruik je deze coördinaten om de richtingscoëfficiënt van een lijn te bepalen en daarmee een hoek te berekenen. Het is een bewijsvraag, dus je moet je stappen logisch en volledig onderbouwen.

Wat moet je kennen: Je moet de exacte waarden van goniometrische functies kennen (zoals cos(pi/6) = sqrt(3)/2). Je moet weten hoe je goniometrische vergelijkingen algebraïsch oplost en hoe je de algemene oplossing noteert. Ook moet je de relatie tussen de richtingscoëfficiënt van een lijn en de tangens van de hoek met de positieve x-as kennen.

Wat moet je kunnen: Je kunt goniometrische vergelijkingen oplossen door de eenheidscirkel te gebruiken en rekening te houden met de periode. Je kunt de coördinaten van een top van een cosinusfunctie bepalen. Je kunt de richtingscoëfficiënt van een lijn door twee punten berekenen. Je kunt de hoek die een lijn maakt met de positieve x-as berekenen met behulp van de arctan-functie en deze omzetten naar graden.

Waar op letten: Let goed op de vraag naar de 'meest rechts gelegen top'. Dit betekent dat je de juiste oplossing uit de algemene oplossing van de goniometrische vergelijking moet kiezen, passend bij het domein van de grafiek.
Zorg ervoor dat je de goniometrische vergelijking correct oplost en de juiste exacte waarden gebruikt. Denk aan de twee basisoplossingen binnen één periode en de algemene oplossing met +k*2pi.
De richtingscoëfficiënt van lijn l is de tangens van de hoek die lijn l maakt met de positieve x-as. Zorg dat je de juiste formule gebruikt: rc = (delta y) / (delta x).
De vraag vraagt om de hoek in graden. Vergeet niet om je rekenmachine in de juiste modus te zetten of de omrekenfactor van radialen naar graden te gebruiken (180/pi).
Het eindantwoord moet een geheel getal zijn. Rond op de juiste manier af.

Kernbegrippen: goniometrische vergelijkingen, richtingscoëfficiënt, eenheidscirkel, exacte waarden

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten dat het om het 'meest links gelegen' snijpunt gaat en een verkeerde oplossing kiezen.
- Fout bij het berekenen van de richtingscoëfficiënt (delta y / delta x).
- Rekenfout bij het delen door een breuk (1/18π).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/10

## Vraag 11 – Opgave 11 (7 punten)

Het punt T is de meest rechts gelegen top van de grafiek van f. Lijn l gaat door O en T. Zie figuur 2.
Bereken algebraïsch ∠AOT in graden. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Wat kun je verwachten: Je moet een hoek berekenen tussen twee lijnen die door de oorsprong gaan. Dit doe je door eerst de coördinaten van punt T te bepalen, en vervolgens de hellingshoeken van de lijnen k en l met de positieve x-as te berekenen. De gevraagde hoek is dan het verschil tussen deze twee hellingshoeken.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van goniometrische functies kennen, zoals de periode en amplitude van een cosinusfunctie. Ook moet je weten hoe je de richtingscoëfficiënt van een lijn door de oorsprong bepaalt en hoe je met behulp van de tangens de hellingshoek van een lijn berekent. Je moet ook weten dat de toppen van een cosinusfunctie bij de maximale of minimale functiewaarden liggen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de coördinaten van een top van een goniometrische functie bepalen. Je kunt de richtingscoëfficiënt van een lijn door twee punten (waaronder de oorsprong) berekenen. Je kunt de hellingshoek van een lijn met de positieve x-as berekenen met behulp van de arctan-functie. Je kunt hoeken in radialen omzetten naar graden en andersom, en je kunt je GR correct instellen voor graden of radialen.

Waar op letten: Let goed op de eenheden: de vraag vraagt om het eindantwoord in graden. Zorg ervoor dat je GR in de juiste modus staat (graden) wanneer je de arctan-functie gebruikt.
De coördinaten van punt T zijn essentieel. Bedenk goed waar de toppen van een cosinusfunctie liggen en hoe de periode en amplitude van f(x) = 2cos(3x) hierbij een rol spelen.
Lijn k is al eerder in de opgave behandeld (vraag 10). De richtingscoëfficiënt van lijn k is daar waarschijnlijk al bepaald. Zorg dat je deze correct overneemt of opnieuw berekent.
De richtingscoëfficiënt van een lijn door de oorsprong (0,0) en een punt (x,y) is (y)/(x). Gebruik dit om de richtingscoëfficiënt van lijn l te bepalen.
Rond pas aan het einde af op een geheel getal, zoals gevraagd. Gebruik tussentijds voldoende decimalen om afrondingsfouten te voorkomen.

Kernbegrippen: goniometrische functies, richtingscoëfficiënt, hellingshoek, periode en amplitude, coördinaten van toppen, hoeken berekenen met tangens

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen radialen en graden bij het berekenen van de hoeken.
- Foutief bepalen van de coördinaten van de top T.
- Afrondingsfouten door te vroeg afronden van tussenantwoorden.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/11

## Vraag 12 – Opgave 12 (4 punten)

Bereken exact de y-coördinaat van N.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over functietransformaties, specifiek het vermenigvuldigen van een wortelfunctie. Je moet de coördinaten van een punt aflezen uit een figuur en deze gebruiken om een onbekende factor in het functievoorschrift te bepalen. Daarna bereken je een y-coördinaat met dit nieuwe functievoorschrift.

Wat moet je kennen: Je moet de standaard wortelfunctie f(x) = sqrt(x) kennen. Je moet ook weten hoe vermenigvuldigingen ten opzichte van de x-as (g(x) = a * f(x)) en ten opzichte van de y-as (g(x) = f(a * x)) het functievoorschrift beïnvloeden. Daarnaast moet je weten hoe je coördinaten van een midden van een lijnstuk bepaalt.

Wat moet je kunnen: Je moet coördinaten van punten kunnen aflezen uit een grafiek. Je moet een vergelijking met een wortel kunnen oplossen om een onbekende factor te vinden. Je moet vervolgens een y-coördinaat kunnen berekenen door een x-waarde in het juiste functievoorschrift in te vullen. Je moet ook exact kunnen rekenen met wortels.

Waar op letten: Lees de coördinaten van punt M nauwkeurig af uit de figuur. Let op dat M het midden is van AS.
Bedenk welke van de twee mogelijke transformaties (vermenigvuldiging t.o.v. de x-as of t.o.v. de y-as) het meest logisch is, of probeer beide opties. De vraagtekst en het CV suggereren twee benaderingen.
Los de vergelijking voor de factor 'a' correct op. Let goed op de rekenregels voor wortels en kwadrateren.
Zorg ervoor dat je antwoord exact is, dus laat wortels staan waar nodig en rond niet af.
Controleer of de x-coördinaat van N correct is afgelezen uit de figuur voordat je deze invult in het functievoorschrift van g.

Kernbegrippen: functietransformaties, vermenigvuldiging t.o.v. x-as, vermenigvuldiging t.o.v. y-as, wortelfuncties, coördinatenstelsel

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met vermenigvuldiging t.o.v. de y-as.
- Foutief oplossen van de vergelijking met een wortel, bijvoorbeeld a√(1/2)=1.
- Niet exact antwoorden.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/12

## Vraag 13 – Opgave 13 (4 punten)

Punt B(b, √b) met b>0 ligt op de grafiek van f, zodanig dat OA=AB.
Zie figuur 2.
4p 13 Bereken b. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je de lengte van lijnstukken moet berekenen met behulp van coördinaten. Vervolgens stel je deze lengtes aan elkaar gelijk en los je de vergelijking op met je grafische rekenmachine.

Wat moet je kennen: Je moet de afstandsformule kennen om de lengte van een lijnstuk tussen twee punten te berekenen. Ook moet je weten hoe je een functie invoert in je GR en hoe je snijpunten van grafieken vindt.

Wat moet je kunnen: Je kunt de coördinaten van de punten O, A en B correct aflezen of bepalen. Je kunt de afstandsformule correct toepassen om de lengtes van OA en AB uit te drukken. Je kunt de resulterende vergelijking opstellen en deze vervolgens oplossen met je grafische rekenmachine door de snijpunten van twee functies te bepalen. Tot slot rond je het antwoord correct af op twee decimalen.

Waar op letten: Let goed op de coördinaten van punt A. Deze zijn niet expliciet gegeven, maar kun je aflezen uit de figuur.
Gebruik de afstandsformule correct: sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2).
Stel de vergelijking op door de twee berekende afstanden aan elkaar gelijk te stellen.
Probeer deze vergelijking niet algebraïsch op te lossen, dit is te complex voor HAVO B. Gebruik je grafische rekenmachine (GR) om de snijpunten van de linker- en rechterkant van de vergelijking te vinden.
Rond je eindantwoord af op twee decimalen, zoals gevraagd in de vraagtekst.

Kernbegrippen: afstandsformule, vergelijking oplossen met GR, wortelfuncties

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect toepassen van de afstandsformule
- Fouten bij het algebraïsch proberen op te lossen van de resulterende vergelijking in plaats van de GR te gebruiken
- Verkeerd aflezen van coördinaten van punt A uit de context van de opgave.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/13

## Vraag 14 – Opgave 14 (7 punten)

14 x In deze figuur is x de lengte in meters van het wegdek gemeten vanaf het meest linkse punt van de brug en y de hoogte in meters van de onderrand van de boog ten opzichte van het wegdek. We nemen aan dat de onderrand van de boog begint en eindigt op het wegdek. De onderrand van de boog begint bij x = 1,4 in punt P en eindigt bij x = 12,0 in punt Q. Het hoogste punt is T bij x = 4,1 en y = 2,4. De boog kan benaderd worden met een formule van de vorm y = a \left(x + b + (c)/(x)\right)

Wat kun je verwachten: Je krijgt een situatie waarbij een wiskundige formule een reële situatie (een boogbrug) benadert. Je moet de parameters (a, b, c) van deze formule bepalen door gebruik te maken van gegeven punten en eigenschappen van de boog.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je coördinaten van punten in een functievoorschrift invult. Je moet ook bekend zijn met het oplossen van stelsels van vergelijkingen. Een alternatieve aanpak vereist dat je weet hoe je de afgeleide van een functie bepaalt en dat de afgeleide in een top (maximum of minimum) gelijk is aan nul.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven punten P, Q en T correct kunnen invullen in de formule y = a(x + b + (c)/(x)). Je moet vervolgens het stelsel van vergelijkingen dat hieruit ontstaat, algebraïsch kunnen oplossen om de waarden van a, b en c te vinden. Als je kiest voor de differentiaalrekening, moet je de afgeleide van de functie kunnen bepalen en deze gelijkstellen aan nul voor het x-coördinaat van de top T.

Waar op letten: Let goed op de coördinaten van de punten P, Q en T. Vooral de y-coördinaat van P en Q is 0, wat de vergelijkingen vereenvoudigt.
Bij het invullen van de punten P en Q krijg je twee vergelijkingen met b en c. Zorg dat je deze correct herleidt om b of c uit te drukken in de ander, of om een vergelijking te krijgen waarin alleen c voorkomt.
Als je de afgeleide gebruikt: vergeet niet de kettingregel toe te passen als je de afgeleide van de hele functie y = a(x + b + (c)/(x)) neemt. De afgeleide van (c)/(x) is -c/(x^2).
Rond pas aan het einde af op het gevraagde aantal decimalen. Tussentijds afronden kan leiden tot een onnauwkeurig eindantwoord.
Controleer je antwoord door de gevonden waarden van a, b en c terug in de formule te stoppen en te kijken of de punten P, Q en T kloppen.

Kernbegrippen: stelsel van vergelijkingen oplossen, functieparameters bepalen, differentiëren, extreemwaarden vinden

Veelgemaakte fouten:
- Reken- en afrondingsfouten bij het oplossen van het stelsel
- Vergeten dat de afgeleide bij een top gelijk is aan nul
- Verkeerd substitueren van de coördinaten in de formule

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/14

## Vraag 15 – Opgave 15 (3 punten)

3p 15 Bewijs dit.

Waar op letten: Je begint met de totale oppervlakte G van de grote driehoek ABC te beschrijven als de som van de oppervlaktes van de drie kleinere driehoeken (AMB, BMC, AMC).
Je herinnert je de formule voor de oppervlakte van een driehoek: (1/2) * basis * hoogte. Welke zijde is de basis en wat is de hoogte in elk van de drie kleinere driehoeken?
Je identificeert de straal r van de ingeschreven cirkel als de hoogte voor elk van de drie kleinere driehoeken.
Je haalt de gemeenschappelijke factoren op de juiste manier buiten haakjes.
Je definieert de omtrek P van de driehoek ABC correct in je bewijs.

Kernbegrippen: oppervlakte driehoek, ingeschreven cirkel, algebraïsch bewijs, meetkunde

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de definitie van de omtrek P te noemen.
- De stap van de som van de oppervlaktes naar het buiten haakjes halen van de gemeenschappelijke factoren overslaan.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/15

## Vraag 16 – Opgave 16 (6 punten)

6p 16 We bekijken nu een driehoek ABC met zijden AB = 14, BC = 13 en AC = 15. Bereken de straal van de ingeschreven cirkel van deze driehoek. Geef je eindantwoord als geheel getal. Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een combinatie van meetkundige formules moet toepassen. Eerst zul je een hoek moeten berekenen, dan de oppervlakte van de driehoek, en tot slot de straal van de ingeschreven cirkel. Dit is een typische vraag waarbij je meerdere stappen moet zetten en verschillende formules moet combineren.

Wat moet je kennen: Je moet de cosinusregel kennen en kunnen toepassen. Je moet ook de formule voor de oppervlakte van een driehoek met sinus kennen. Daarnaast is het cruciaal dat je de formule voor de straal van de ingeschreven cirkel (r = (2 * Oppervlakte) / Omtrek) kent. Zorg dat je weet hoe je een vergelijking met cosinus oplost om een hoek te vinden.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om de cosinusregel algebraïsch toe te passen om een onbekende hoek te vinden. Je moet vervolgens de oppervlakte van de driehoek kunnen berekenen met behulp van de sinus. Tot slot moet je de berekende oppervlakte en de omtrek kunnen invullen in de formule voor de straal van de ingeschreven cirkel en deze oplossen. Je moet ook nauwkeurig kunnen rekenen en afronden zoals gevraagd.

Waar op letten: Je moet de cosinusregel correct toepassen om een hoek in de driehoek te vinden. Let goed op welke zijden en hoek je gebruikt in de formule.
Je gebruikt de gevonden hoek om de oppervlakte van de driehoek te berekenen met de formule 1/2 * a * b * sin(C). Zorg ervoor dat je de juiste zijden en de ingesloten hoek gebruikt.
Je moet de omtrek van de driehoek correct berekenen door alle zijden op te tellen.
Je gebruikt de speciale formule voor de straal van de ingeschreven cirkel (r = (2 * Oppervlakte) / Omtrek). Deze formule is essentieel voor deze vraag.
Je geeft het eindantwoord als een geheel getal, zoals gevraagd. Dit betekent dat je mogelijk moet afronden, maar probeer zo lang mogelijk exact te rekenen.

Kernbegrippen: ingeschreven cirkel, oppervlakte driehoek, cosinusregel, formule van Heron

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten van de formule G = 1/2 * P * r uit de inleiding
- Reken- of afrondingsfouten bij het gebruik van de cosinusregel
- Verkeerde formule voor de oppervlakte van een driehoek gebruiken

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/16

## Vraag 17 – Opgave 17 (4 punten)

Op het domein [a, -4] is het bereik van f gelijk aan [4, 16].
Er geldt, afgerond op twee decimalen: a ≈ -8,67.
4p 17 Bereken a exact.

Kernbegrippen: exponentiële functies, logaritmische vergelijkingen, domein en bereik, exact oplossen

Veelgemaakte fouten:
- De functie f is dalend. Dit betekent dat de kleinste x-waarde van het domein (a) correspondeert met de grootste y-waarde van het bereik (16), en de grootste x-waarde (-4) met de kleinste y-waarde (4). Een veelgemaakte fout is om f(a) = 4 te stellen in plaats van f(a) = 16.
- Incorrect toepassen van logaritmeregels bij het oplossen van de exponentiële vergelijking.
- Een benadering geven in plaats van het gevraagde exacte antwoord.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/17

## Vraag 18 – Opgave 18 (5 punten)

5p 18 Bewijs dit. Bronvermelding Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd. einde

Kernbegrippen: rekenregels voor machten, exponentiële functies, algebraïsch herleiden

Veelgemaakte fouten:
- Fouten in de rekenregels voor machten, met name bij het combineren van exponenten en het omgaan met negatieve en gebroken exponenten.
- Verkeerd uitwerken van haakjes, bijvoorbeeld 1/9 * 27 vergeten.
- Foutief omzetten van een macht met een gebroken exponent naar een wortel, of andersom.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-3/vraag/18

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2022
tijdvak 3
vrijdag 8 juli
9.00 - 12.00 uur

wiskunde B

Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 18 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

HA-1025-a-22-3-o

### Pagina 2

Zuigflesje
Zuigflesjes voor baby's hebben soms bijzondere vormen. Op de foto is
goed de gebogen vorm van zo'n zuigflesje te zien.
foto
In deze opgave bekijken we een model van het voor aanzicht van het
doorzichtige deel van het zuigflesje op de foto. In dit model zijn alle maten
in cm.
In het model is de bovenrand van het zuigflesje de grafiek van een
functie f, en de onderrand van het zuigflesje de grafiek van een functie g.
De functies f en g worden voor $0 \le x \le 11$ gegeven door:
$f(x) = -0,01x^3 + 0,20x^2 - 1,06x + 6,44$
$g(x) = -0,01x^3 + 0,16x^2 - 0,50x + 0,44$
In figuur 1 zijn de grafieken van f en g getekend.
figuur 1
y
6
5
4
3
2
1
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
X
De verticale afstand $d(x) = f(x) - g(x)$ is niet voor elke waarde van x
gelijk.
4p
1
Bereken algebraïsch voor welke waarde van x de verticale afstand d het
kleinst is.
HA-1025-a-o
2/12

### Pagina 3

Op de foto is midden op het zuigflesje een gebogen lijn te zien. Hierop
zijn maatstreepjes aangebracht. In het model is deze lijn de grafiek van
een functie $h$.
Zie figuur 2.
figuur 2
$y$
6
5
4
3
2
1
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
$x$
$f$
$h$
$g$
3p
2
Voor elke $x$ is $h(x)$ het gemiddelde van $f(x)$ en $g(x)$.
Geef een functievoorschrift van $h$. Schrijf dit functievoorschrift zo
eenvoudig mogelijk.
HA-1025-a-o
3/12
lees verder ► ► ►

### Pagina 4

Hyperbool met cirkels
De functie f is gegeven door $f(x)=\frac{-6}{2x-3}+2$.
Lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt $A(3,0)$ en lijn m is de
raaklijn aan de grafiek van f in het punt $B(0,4)$. Zie figuur 1.
figuur 1
[FIGUUR: Grafiek met twee functies. Eén functie heeft de vorm van een hyperbool in het eerste en derde kwadrant, met een kromming naar de asymptoten. Een lijn l snijdt deze functie in punt A. Een tweede functie heeft de vorm van een hyperbool in het tweede en vierde kwadrant, met een kromming naar de asymptoten. Een lijn m snijdt deze functie in punt B. De y-as en x-as zijn weergegeven. Punt O is de oorsprong.]
De twee raaklijnen hebben allebei richtingscoëfficiënt $\frac{4}{3}$.
4p 3 Toon dit met behulp van differentiëren aan.
HA-1025-a-o 4/12 lees verder ►►►

### Pagina 5

Cirkel $c_1$ raakt $l$ in $A$. Bovendien raakt $c_1$ aan $m$.
Punt $M_1$ is het middelpunt van $c_1$. Zie figuur 2.

figuur 2

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as verticaal en de x-as horizontaal. Er is een cirkel getekend die de y-as raakt bij punt O en de x-as raakt bij punt A. Het middelpunt van de cirkel is aangegeven als M1. Er zijn twee lijnen getekend: een lijn m die de cirkel raakt bij punt A en door de oorsprong gaat, en een lijn l die de cirkel raakt bij punt B en door de oorsprong gaat. De y-as is ook een lijn die door de oorsprong gaat en de cirkel raakt bij punt O. Er is ook een kromme lijn f getekend.]

De coördinaten van $M_1$ zijn $(\frac{27}{25}, \frac{36}{25})$.

6p

4

Bewijs dit.

$M_1$ ligt op de lijn $k$ met vergelijking $y=\frac{4}{3}x$.

3p

5

Cirkel $c_2$ is gegeven door de vergelijking $x^2 + y^2 - 3x - 4y = 0$.
Bewijs dat het middelpunt van $c_2$ ook op $k$ ligt.

HA-1025-a-o

5 / 12

lees verder ► ► ►


### Pagina 6

Het rendement van warmtemotoren

In een warmtemotor, bijvoorbeeld de motor van een auto, wordt de totale
hoeveelheid energie die in brandstof aanwezig is nooit helemaal omgezet
in bewegingsenergie. Het rendement van een warmtemotor is het
percentage van de totale hoeveelheid energie dat wel wordt omgezet in
bewegingsenergie.

Door technische vooruitgang neemt het rendement van warmtemotoren
toe. Men gaat ervan uit dat deze ontwikkeling zich de komende jaren blijft
voortzetten.

Om deze groei van het rendement in de tijd te onderzoeken, gebruikten
de Amerikaan Ausubel en de Italiaan Marchetti de formule

$K = \log \left(\frac{R}{100-R}\right) \quad(1)$

Hierin is $R$ het rendement in procenten.

3p 6 Leg met behulp van formule (1) uit dat een toename van $R$ zorgt voor een
toename van $K$.

In de figuur hieronder, afkomstig uit een artikel van Ausubel en Marchetti,
is voor verschillende warmtemotoren (vaak aangeduid met de naam van
de uitvinder) $K$ uitgezet tegen het jaartal waarin deze uitgevonden zijn.
Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.

figuur

K

0

-1

-2

Thomas Savery
1700

James Watt
1750

1800

Triple Expansion

1850

Charles Parsons

1900

Steam Turbine

1950

Gas Turbine

2000

→ jaar

HA-1025-a-o

6 / 12

lees verder


### Pagina 7

In de figuur is te zien dat de warmtemotor die Charles Parsons aan het begin van de twintigste eeuw ontwikkelde een – voor die tijd – zeer hoog rendement had.
4p 7 Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage het rendement van deze warmtemotor in procenten. Geef je eindantwoord als geheel getal.

In de figuur is een lijn weergegeven die de ontwikkeling van het rendement van warmtemotoren benadert. Bij deze lijn hoort de formule
$K=0,0066t^2-2$ (2)
Hierin is $t$ het aantal jaren na 1700.
Men gaat ervan uit dat in de toekomst een rendement van 70% haalbaar
is.
4p 8 Bereken in welk jaar dit rendement voor het eerst behaald zal worden.

Met behulp van formules (1) en (2) kan $R$ uitgedrukt worden in $t$.
5p 9 Druk $R$ uit in $t$. 

HA-1025-a-0
7/12
lees verder ► ► ►

### Pagina 8

Cosinus en lijnen
Op het domein [0, 3] is de functie f gegeven door $f(x) = 2\cos(3x)$. Het
punt $A$ is het meest links gelegen snijpunt van de grafiek van $f$ en de lijn
met vergelijking $y = \sqrt{3}$.
Lijn $k$ gaat door $O$ en $A$. Zie figuur 1.
figuur 1
De richtingscoëfficiënt van $k$ is $\frac{18\sqrt{3}}{\pi}$.
4p 10 Bewijs dit.
Het punt $T$ is de meest rechts gelegen
top van de grafiek van $f$. Lijn $l$ gaat
door $O$ en $T$. Zie figuur 2.
7p 11 Bereken algebraïsch $\angle AOT$ in
graden. Geef je eindantwoord als
geheel getal.
figuur 2
HA-1025-a-o
8 / 12

### Pagina 9

Wortelfunctie
De functie $f$ is gegeven door $f(x)=\sqrt{x}$. Het punt $A(1, 1)$ ligt op de
grafiek van $f$.
Lijn $k$ is de horizontale lijn door $A$. Deze lijn snijdt de $y$-as in het punt $S$.
We bekijken nu een functie $g$ met de volgende kenmerken:
– de grafiek van $g$ gaat door het midden $M$ van lijnstuk $AS$;
– de grafiek van $g$ kan uit de grafiek van $f$ ontstaan door middel van een
vermenigvuldiging ten opzichte van de $x$-as;
– de grafiek van $g$ kan ook uit de grafiek van $f$ ontstaan door middel van
een vermenigvuldiging ten opzichte van de $y$-as.
Lijn $l$ is de verticale lijn door $A$. Deze lijn snijdt de grafiek van $g$ in
het punt $N$. Zie figuur 1.
figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De grafiek van f begint bij O en buigt omhoog. Een horizontale lijn k loopt door punt A. Een verticale lijn l loopt door punt A. Punt S ligt op de y-as, punt M ligt op lijnstuk AS. De grafiek van g begint bij O en buigt steiler omhoog dan f. Punt N ligt op lijn l en de grafiek van g.]
4p
12
Bereken exact de $y$-coördinaat van $N$.
Punt $B(b, \sqrt{b})$ met $b > 0$ ligt op de grafiek van $f$, zodanig dat $OA = AB$.
Zie figuur 2.
figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De grafiek van f begint bij O en buigt omhoog en gaat door punt A en punt B. Er is een stippellijn getekend van O naar A en van A naar B.]
4p
13
Bereken $b$. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
HA-1025-a-0
9/12
lees verder

### Pagina 10

Brug
Op de foto is een boogbrug te zien. De vorm van de onderrand van de
boog van de brug wordt benaderd met behulp van een wis
kundig model.
foto
[FIGUUR: Een foto van een boogbrug met een gebogen onderkant en een vlak weggedeelte erboven.]
In de figuur hieronder is de onderrand van de boog schematisch
weergegeven.
figuur
y
4
2
O
2
4
6
8
10
12
14
x
In deze figuur is x de lengte in meters van het weggedeelte gemeten vanaf het
meest linkse punt van de brug en y de hoogte in meters van de onderrand
van de boog ten opzichte van het weggedeelte. We nemen aan dat de
onderrran-d van de boog begint en eindigt op het weggedeelte.
De onderrand van de boog begint bij $x=1,4$ in punt P en eindigt bij
$x=12,0$ in punt Q. Het hoogste punt is T bij $x=4,1$ en $y=2,4$.
De boog kan benaderd worden met een formule van de vorm
$y=a(x+b+\frac{c}{x})$
7p 14 Bereken algebraïsch de waarden van a, b en c. Geef je eindantwoord zo
nodig in twee decimalen.
HA-1025-a-0
10 / 12
lees verder ►►►

### Pagina 11

Ingeschreven cirkel
De ingeschreven cirkel van een driehoek ABC is de cirkel die raakt aan
alle zijden van de driehoek. Het punt M is het middelpunt van deze cirkel
en r is de straal van deze cirkel. Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 2
Elke driehoek ABC kan met behulp van punt M in drie aparte driehoeken
AMB, BMC en AMC worden verdeeld. Zie figuur 2.
Wanneer we de zijden AB, BC en AC als basis kiezen voor respectievelijk
de driehoeken AMB, BMC en AMC, dan is r de bijbehorende hoogte van
elk van deze driehoeken. Voor elke driehoek ABC kan de oppervlakte G
daarom worden uitgedrukt in de omtrek P van de driehoek en de straal r
van de ingeschreven cirkel van de driehoek.
Er geldt: $G = \frac{1}{2} \cdot P \cdot r$
3p
15
Bewijs dit.
We bekijken nu een driehoek ABC met zijden AB = 14, BC = 13 en
AC = 15.
6p
16
Bereken de straal van de ingeschreven cirkel van deze driehoek. Geef je
eindantwoord als geheel getal.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
HA-1025-a-o
11 / 12
lees verder

### Pagina 12

Exponentiële functie
De functie $f$ is gegeven door $f(x) = \frac{1}{9} \cdot (3^{-\frac{1}{2}x} + 27)$. Zie de figuur.
figuur
[FIGUUR: Een grafiek van een afnemende exponentiële functie die de y-as nadert op y=3 en de x-as nadert op x=oneindig.]
Op het domein $[a, -4]$ is het bereik van $f$ gelijk aan $[4, 16]$.
4p 17 Er geldt, afgerond op twee decimalen: $a \approx -8,67$.
Bereken $a$ exact.
5p 18 Een ander functievoorschrift voor $f$ is $f(x) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{x+4} + 3$.
Bewijs dit.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.
HA-1025-a-0
12/12
einde