# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2022 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2

## Vraag 1 – Opgave 1 (3 punten)

3p 1 De functie f wordt gegeven door f(x) = 3 + ^2\log(x+4). De grafiek van f snijdt de x-as in het punt A. Bereken exact de x-coördinaat van A.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een functie met een logaritme en je moet een snijpunt met de x-as berekenen. Dit betekent dat je een logaritmische vergelijking moet oplossen.

Wat moet je kennen: Je moet de definitie van een logaritme kennen om een logaritmische vergelijking om te zetten naar een exponentiële vergelijking. Ook moet je goed kunnen rekenen met negatieve exponenten.

Wat moet je kunnen: Je moet een logaritmische vergelijking van de vorm ^a\log(b) = c kunnen omzetten naar a^c = b. Je moet ook de x-coördinaat van een snijpunt met de x-as kunnen vinden door f(x) = 0 te stellen.

Waar op letten: Je stelt de functie f(x) gelijk aan 0 om het snijpunt met de x-as te vinden.
Je isoleert de logaritmische term voordat je de definitie van de logaritme toepast.
Je past de definitie van de logaritme correct toe: ^a\log(b) = c betekent a^c = b. Let goed op de basis (a), het argument (b) en de uitkomst (c).
Je rekent nauwkeurig met negatieve exponenten. Onthoud dat a^(-n) = (1)/(a^n).
Je controleert of de uiteindelijke x-waarde binnen het domein van de logaritmische functie valt (het argument van de logaritme moet positief zijn).

Kernbegrippen: logaritmische vergelijkingen, snijpunt met x-as, definitie logaritme

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd toepassen van de definitie van een logaritme, bijvoorbeeld 2^3 in plaats van 2^-3.
- Reken- of notatiefouten bij het omzetten van de macht naar een breuk (2^-3 = 1/8).
- Vergeten de '4' af te trekken aan het einde.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/1

## Vraag 4 – Opgave 4 (6 punten)

6p 4 Bereken de afstand tussen (de kerktorens van) Huizen en Hilversum. Geef je eindantwoord in tientallen meters nauwkeurig. Je kunt bij het beantwoorden van deze vraag de figuur op de uitwerkbijlage gebruiken.

Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een meetkundige situatie moet analyseren waarbij je meerdere stappen moet zetten. Je zult eerst een deel van de figuur gebruiken om een onbekende afstand of hoek te berekenen, en die informatie vervolgens gebruiken in een ander deel van de figuur om de uiteindelijke vraag te beantwoorden. Dit type vraag test je vermogen om de juiste meetkundige regels (zoals de sinus- en cosinusregel) in de juiste volgorde toe te passen.

Wat moet je kennen: Je moet de sinusregel en de cosinusregel uit je hoofd kennen en weten wanneer je welke regel toepast. Ook moet je weten dat de som van de hoeken in een driehoek 180 graden is. Je moet ook de notatie voor hoeken en zijden in driehoeken begrijpen.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om de relevante informatie uit de figuur te halen en te bepalen welke driehoeken je moet gebruiken. Je moet de sinusregel en cosinusregel correct kunnen opstellen en oplossen, ook als er meerdere stappen nodig zijn. Je moet nauwkeurig kunnen rekenen met hoeken en afstanden en je eindantwoord correct kunnen afronden volgens de instructies.

Waar op letten: Je moet goed kijken welke driehoek je als eerste gebruikt en welke gegevens daarbij horen. De figuur is hierbij essentieel.
Je moet de hoeksom van een driehoek gebruiken om ontbrekende hoeken te vinden. Vergeet niet dat de som van de hoeken in een driehoek 180 graden is.
Je past de sinusregel toe als je een zijde en de overstaande hoek weet, en een andere hoek of zijde wilt berekenen. Let goed op welke zijde bij welke hoek hoort.
Je gebruikt de cosinusregel als je twee zijden en de ingesloten hoek weet, en de derde zijde wilt berekenen, of als je alle drie de zijden weet en een hoek wilt berekenen.
Je moet het eindantwoord afronden op tientallen meters nauwkeurig, zoals gevraagd. Dit betekent dat je afrondt op het dichtstbijzijnde veelvoud van 10.

Kernbegrippen: sinusregel, cosinusregel, hoeksom driehoek

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd toepassen van de sinus- of cosinusregel
- Hoeken verkeerd optellen of aftrekken
- Reken- of afrondingsfouten bij tussenstappen
- Eindantwoord niet afronden zoals gevraagd (op tientallen meters).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/4

## Vraag 5 – Opgave 5 (3 punten)

3p 5 De grafiek van f ontstaat uit de grafiek van y = √(x) door een horizontale translatie en een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as. Geef aan welke translatie en vermenigvuldiging dit zijn en in welke volgorde ze moeten worden toegepast. De grafiek van f snijdt de y-as in het punt A(0, 2). De lijn k is de raaklijn aan de grafiek van f in A. De lijn l snijdt lijn k loodrecht in A. Het punt M is het snijpunt van l met de x-as. De cirkel c heeft punt M als middelpunt en raakt de grafiek van f in punt A. Lijn k is dus ook de raaklijn in A aan c. De punten P en Q zijn de snijpunten van cirkel c met de x-as. Zie figuur 2. figuur 2 y k A c l M P O Q x

Wat kun je verwachten: Je moet de relatie kunnen leggen tussen de transformaties (verschuiven en vermenigvuldigen) en hoe deze de formule van een functie beïnvloeden. Je moet ook de volgorde van deze transformaties correct kunnen bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet de basisvorm van een wortelfunctie kennen (y = sqrt(x)). Je moet ook de regels voor horizontale translatie (verschuiving) en horizontale vermenigvuldiging (schaling) ten opzichte van de y-as kennen. Dit betekent dat je weet hoe x verandert in de formule bij deze transformaties.

Wat moet je kunnen: Je moet een gegeven functievoorschrift (f(x) = sqrt(3x+4)) kunnen ontleden om de transformaties te identificeren die zijn toegepast op de basisgrafiek (y = sqrt(x)). Je moet ook de juiste volgorde van deze transformaties kunnen bepalen en uitleggen.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as (horizontale schaling) en een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as (verticale schaling). Hier gaat het om de y-as.
Bij horizontale transformaties (translatie en vermenigvuldiging t.o.v. de y-as) is de volgorde cruciaal. Er zijn vaak twee correcte volgordes mogelijk, afhankelijk van hoe je de formule herschrijft.
Een horizontale translatie 'p' naar links betekent dat 'x' in de formule wordt vervangen door 'x+p'. Let op het teken!
Een vermenigvuldiging met factor 'c' ten opzichte van de y-as betekent dat 'x' in het functievoorschrift wordt vervangen door 'x/c' (of 'cx' als je de factor '1/c' noemt). Zorg ervoor dat je de juiste factor identificeert uit de formule sqrt(3x+4).
Schrijf de functie f(x) = sqrt(3x+4) eerst in een vorm waarbij de x-term is gefactoriseerd, bijvoorbeeld f(x) = sqrt(3(x + 4/3)), om de transformaties duidelijker te zien. Of werk vanuit de basisgrafiek y=sqrt(x) stapsgewijs naar f(x) toe.

Kernbegrippen: transformations of functions, horizontal translation, horizontal scaling

Veelgemaakte fouten:
- De volgorde van transformaties is cruciaal en wordt vaak vergeten of verkeerd gedaan.
- Een vermenigvuldiging met factor 'c' ten opzichte van de y-as betekent dat 'x' in het functievoorschrift wordt vervangen door 'cx'. Bij f(x) = sqrt(3x+4) is de factor van de vermenigvuldiging 1/3, niet 3.
- Een horizontale translatie 'p' naar links betekent dat 'x' wordt vervangen door 'x+p'. De '+4' in de formule correspondeert met een verschuiving van 4 naar links.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/5

## Vraag 6 – Opgave 6 (7 punten)

De grafiek van f snijdt de y-as in het punt A(0, 2). De lijn k is de raaklijn aan de grafiek van f in A. De lijn l snijdt lijn k loodrecht in A. Het punt M is het snijpunt van l met de x-as. De cirkel c heeft punt M als middelpunt en raakt de grafiek van f in punt A. Lijn k is dus ook de raaklijn in A aan c. De punten P en Q zijn de snijpunten van cirkel c met de x-as. Zie figuur 2.

7p 6 Bereken exact de x-coördinaten van P en Q.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarin je verschillende wiskundige concepten moet combineren: differentiëren, eigenschappen van raaklijnen en loodrechte lijnen, en eigenschappen van cirkels. Je moet de afgeleide van een wortelfunctie bepalen, de vergelijking van een lijn opstellen en de afstand tussen punten berekenen om de straal van een cirkel te vinden. Uiteindelijk bereken je de snijpunten van de cirkel met de x-as.

Wat moet je kennen: Je moet de kettingregel voor differentiëren kennen, vooral voor wortelfuncties. Je moet weten hoe de richtingscoëfficiënten van loodrechte lijnen zich tot elkaar verhouden. Ook moet je de algemene vergelijking van een lijn (y = ax + b) en de formule voor de afstand tussen twee punten kennen. Tot slot moet je de eigenschappen van een cirkel begrijpen, met name hoe je de snijpunten met de x-as bepaalt als je het middelpunt en de straal weet.

Wat moet je kunnen: Je moet de afgeleide van f(x) = sqrt(3x+4) kunnen bepalen met de kettingregel. Je moet de richtingscoëfficiënt van lijn k in punt A kunnen berekenen door x=0 in de afgeleide in te vullen. Vervolgens moet je de richtingscoëfficiënt van lijn l kunnen afleiden, omdat l loodrecht op k staat. Je stelt de vergelijking van lijn l op en berekent het snijpunt M met de x-as. Daarna bereken je de afstand tussen A en M om de straal van de cirkel te vinden. Ten slotte gebruik je het middelpunt M en de straal om de x-coördinaten van P en Q te berekenen.

Waar op letten: Let goed op de kettingregel bij het differentiëren van f(x) = sqrt(3x+4). De afgeleide van sqrt(u) is (1)/(2sqrt(u)) * u'.
Onthoud dat de richtingscoëfficiënt van een lijn die loodrecht staat op een lijn met richtingscoëfficiënt 'a' gelijk is aan -(1)/(a).
Zorg ervoor dat je de coördinaten van punt A (0, 2) correct gebruikt bij het opstellen van de vergelijking van lijn l en bij het berekenen van de afstand AM.
De straal van de cirkel is de afstand van middelpunt M tot punt A. Gebruik hiervoor de stelling van Pythagoras of de afstandsformule.
Aangezien M op de x-as ligt, zijn de x-coördinaten van P en Q eenvoudig te vinden door de straal van de x-coördinaat van M af te trekken en erbij op te tellen. De vraag vraagt om een exact antwoord, dus laat geen wortels of breuken staan als je ze niet kunt vereenvoudigen tot gehele getallen of breuken.

Kernbegrippen: differentiëren, kettingregel, raaklijn, loodrechte lijnen, vergelijking van een lijn, cirkel, afstand tussen twee punten, straal van een cirkel, snijpunten met de x-as

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het differentiëren van de wortelfunctie (kettingregel vergeten).
- Verwarren van de richtingscoëfficiënt van de raaklijn (k) en de loodrechte lijn (l).
- Reken- of tekenfouten bij het berekenen van de coördinaten van M of de straal.
- Vergeten dat de straal de afstand AM is.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/6

## Vraag 7 – Opgave 7 (4 punten)

Bereken algebraïsch de lengte van lijnstuk PR. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je moet de lengte van een lijnstuk berekenen dat twee toppen van goniometrische functies verbindt. Dit betekent dat je eerst de coördinaten van deze toppen algebraïsch moet bepalen en daarna de afstandsformule moet toepassen.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van goniometrische functies kennen (A + B sin(Cx) en A + B cos(Cx)), inclusief hoe je de periode, amplitude en evenwichtsstand hieruit afleidt. Ook moet je weten wanneer sin(x) of cos(x) maximaal of minimaal zijn (bij welke hoeken). Tot slot moet je de afstandsformule in een vlak kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet de periode van de functies f en g kunnen berekenen. Je moet de x-coördinaten van de eerste toppen (maximum van f, minimum van g) rechts van de y-as algebraïsch kunnen vinden door de argumenten van de sinus en cosinus gelijk te stellen aan de waarden waarbij ze maximaal of minimaal zijn. Je moet de bijbehorende y-coördinaten kunnen berekenen. Tot slot moet je de afstandsformule correct kunnen toepassen op de gevonden coördinaten en het eindantwoord correct afronden op twee decimalen.

Waar op letten: Let op dat je de juiste periode berekent voor zowel f(x) als g(x). De factor '2' in sin(2x) en cos(2x) is hierbij cruciaal.
Denk eraan dat je de x-coördinaten van de toppen in radialen moet uitdrukken, aangezien dit de standaard is bij goniometrische functies in HAVO Wiskunde B.
Zorg ervoor dat je de juiste waarden voor sin(2x) en cos(2x) gebruikt om de maxima en minima te vinden (sin(2x)=1 voor maximum, cos(2x)=-1 voor minimum).
Wees nauwkeurig bij het invullen van de coördinaten in de afstandsformule, vooral met de mintekens. Een fout hierin kan leiden tot een verkeerde lengte.
Rond je eindantwoord pas op twee decimalen af aan het einde van de berekening, niet tussentijds, om afrondingsfouten te voorkomen.

Kernbegrippen: goniometrische functies, periode, amplitude, evenwichtsstand, coördinaten van toppen, afstandsformule

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen 'top' als maximum en minimum; de grafiek is nodig om te zien dat R een minimum is.
- Fout in de afstandsformule, met name het correct omgaan met het minteken bij de y-coördinaat van R.
- Periode verkeerd berekenen (2π/c).
- x-coördinaten van de toppen verkeerd bepalen (bijv. vergeten dat het een kwart/halve periode is).
- Afrondingsfout in het eindantwoord.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/7

## Vraag 8 – Opgave 8 (7 punten)

De grafiek van de somfunctie h(x) = f(x)+g(x) blijkt ook een sinusoïde te zijn. Zie figuur 2.

Het functievoorschrift van h is te schrijven als:
h(x) = p + q ⋅ cos(r(x-s))

Bereken mogelijke waarden van p, q, r en s. Geef je eindantwoorden, indien nodig, in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het bepalen van de parameters van een sinusoïde, die ontstaat door het optellen van twee andere goniometrische functies. Je moet de grafiek van deze somfunctie analyseren om de amplitude, evenwichtsstand, periode en faseverschuiving te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een sinusoïde kennen: y = p + q ⋅ sin(r(x-s)) of y = p + q ⋅ cos(r(x-s)). Je moet weten wat de parameters p, q, r en s betekenen in termen van de grafiek (evenwichtsstand, amplitude, periode, horizontale verschuiving). Je moet ook weten hoe je de periode berekent uit de parameter r (T = 2π/r) en omgekeerd (r = 2π/T).

Wat moet je kunnen: Je moet de grafiek van de somfunctie h(x) = f(x) + g(x) kunnen plotten op je grafische rekenmachine. Je moet de toppen (maxima en minima) van deze grafiek kunnen vinden met de GR. Vervolgens moet je uit de coördinaten van deze toppen de evenwichtsstand (p), amplitude (q), periode (T) en horizontale verschuiving (s) kunnen berekenen. Let op de afronding van de eindantwoorden.

Waar op letten: Je moet eerst de functie h(x) = f(x) + g(x) invoeren in je GR. Zorg ervoor dat je de functies f(x) en g(x) correct overneemt.
Je gebruikt de GR om de coördinaten van een maximum en een daaropvolgend minimum van de grafiek van h(x) te bepalen. Noteer deze coördinaten nauwkeurig.
Je berekent de evenwichtsstand p met de formule p = (y_max + y_min) / 2. Controleer of je de juiste tekens gebruikt bij het optellen.
Je berekent de amplitude q met de formule q = (y_max - y_min) / 2. Let ook hier op de juiste tekens.
Je berekent de periode T door het verschil in de x-coördinaten van twee opeenvolgende toppen (bijvoorbeeld een maximum en een minimum) te verdubbelen. Daarna bereken je r met de formule r = 2π / T. Zorg dat je GR in radialen staat voor goniometrische functies.
De parameter s is de x-coördinaat van een maximum als je een cosinusfunctie gebruikt (zoals in de gegeven vorm h(x) = p + q ⋅ cos(r(x-s))). Kies de x-coördinaat van het eerste maximum rechts van de y-as als s.

Kernbegrippen: somfunctie, sinusoïde, amplitude, evenwichtsstand, periode, horizontale verschuiving, goniometrische functies

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aflezen van toppen op de grafische rekenmachine.
- Verwarring tussen de formules voor amplitude q = (max-min)/2 en evenwichtsstand p = (max+min)/2.
- Incorrect berekenen van de periode uit de x-coördinaten van de toppen.
- Vergeten de eindantwoorden af te ronden op twee decimalen zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/8

## Vraag 9 – Opgave 9 (4 punten)

Op een bepaalde plek wordt een ozonconcentratie gemeten van 0,20 ppm.
Bereken de bijbehorende AQI. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Wat kun je verwachten: Je moet een waarde berekenen op basis van een gegeven tabel. Dit betekent dat je eerst de juiste categorie in de tabel moet vinden en vervolgens een lineair verband moet opstellen om de gevraagde waarde te bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een lineaire formule (y = ax + b) opstelt aan de hand van twee punten of een punt en de richtingscoëfficiënt. Je moet ook de betekenis van 'ppm' en 'AQI' kunnen plaatsen in de context van de tabel.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven ozonconcentratie kunnen plaatsen in de juiste categorie van de tabel. Vervolgens moet je de bijbehorende grenswaarden voor C en AQI uit de tabel kunnen halen. Hiermee kun je de richtingscoëfficiënt 'a' berekenen en daarna de volledige lineaire formule opstellen. Tot slot vul je de gegeven ozonconcentratie in de opgestelde formule in en rond je af zoals gevraagd.

Waar op letten: Kies de juiste categorie in de tabel die overeenkomt met de gegeven ozonconcentratie van 0,20 ppm. Let goed op de intervallen.
Identificeer de twee punten (C, AQI) die de grenzen van de gekozen categorie vormen. Dit zijn de coördinaten die je nodig hebt voor je lineaire formule.
Bereken de richtingscoëfficiënt 'a' van de lineaire formule met behulp van de formule a = (delta AQI) / (delta C). Let op de volgorde van aftrekken.
Stel de volledige lineaire formule op (AQI = aC + b) door een van de twee grenspunten in te vullen om 'b' te vinden.
Vul de gegeven ozonconcentratie van 0,20 ppm in de opgestelde formule in en rond je eindantwoord af tot een geheel getal, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: lineair verband, opstellen van een lineaire formule, interpolatie

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde categorie kiezen
- Fout bij het berekenen van de richtingscoëfficiënt (delta y / delta x)
- Verkeerd invullen van de formule y = ax + b

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/9

## Vraag 10 – Opgave 10 (4 punten)

In plaats van de concentratie in ppm te geven, kan deze ook in milligram per kubieke meter (mg/m³) gegeven worden. Als de temperatuur bekend is, kan de concentratie van ppm naar mg/m³ omgerekend worden. Daarvoor geldt de volgende formule:
C_mg/m^3 = \frac{584,976 · C_ppm}273,15+T
met T de temperatuur in graden Celsius

Op zeker moment in 2015 werd in Amsterdam een ozonconcentratie van 0,0612 mg/m³ gemeten. De temperatuur was op dat moment 20 graden Celsius.
4p 10 Bepaal de categorie luchtkwaliteit op dat moment.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule die een verband beschrijft tussen verschillende grootheden. Je moet gegeven waarden invullen en vervolgens de vergelijking oplossen voor de onbekende grootheid. Daarna moet je de uitkomst interpreteren in de context van de vraag, bijvoorbeeld door deze te vergelijken met een tabel of grenswaarden.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een formule correct invult met de gegeven waarden. Je moet ook de basisregels van het algebraïsch oplossen van lineaire vergelijkingen beheersen, inclusief het omwerken van breuken en het isoleren van de onbekende variabele.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven waarden (C_mg/m³ en T) correct invullen in de formule. Je kunt de resulterende vergelijking algebraïsch oplossen om C_ppm te vinden. Tot slot kun je de berekende C_ppm waarde vergelijken met de categorieën in de tabel (die je erbij krijgt) om de juiste luchtkwaliteit te bepalen.

Waar op letten: Let goed op de eenheden en welke waarde bij welke variabele hoort voordat je invult.
Zorg ervoor dat je de breuk correct interpreteert: de noemer (273,15 + T) is één geheel.
Gebruik de juiste algebraïsche stappen om C_ppm te isoleren. Begin met het vermenigvuldigen met de noemer.
Rond pas aan het einde af op het gevraagde aantal decimalen, of gebruik je rekenmachinegeheugen voor nauwkeurigheid.
Vergeet niet de berekende C_ppm waarde te gebruiken om de uiteindelijke categorie luchtkwaliteit te bepalen, dit is een essentieel onderdeel van de vraag.

Kernbegrippen: formules omwerken, lineaire vergelijking oplossen, classificeren op basis van waarde

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd invullen van de formule
- rekenfouten bij het oplossen van de vergelijking
- vergeten de berekende C_ppm waarde te vergelijken met de tabel om de categorie te bepalen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/10

## Vraag 11 – Opgave 11 (3 punten)

In plaats van de concentratie in ppm te geven, kan deze ook in milligram per kubieke meter (mg/m³) gegeven worden. Als de temperatuur bekend is, kan de concentratie van ppm naar mg/m³ omgerekend worden. Daarvoor geldt de volgende formule:
C_mg/m^3 = \frac{584,976 · C_ppm}273,15+T
met T de temperatuur in graden Celsius

Als de temperatuur constant 25 graden blijft, dan is het verband tussen C_ppm en C_mg/m^3 recht evenredig.
11 Bereken de evenredigheidsconstante als C_ppm wordt uitgedrukt in C_mg/m^3 bij een temperatuur van 25 graden Celsius. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule die twee grootheden (concentraties) met elkaar verbindt, waarbij ook een temperatuur een rol speelt. Je moet de formule aanpassen voor een specifieke temperatuur en vervolgens de formule herschrijven om een evenredigheidsconstante te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een recht evenredig verband inhoudt (y = a * x) en hoe je een formule algebraïsch kunt herschrijven om een andere variabele uit te drukken in de rest.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven temperatuur correct invullen in de formule. Je kunt de resulterende formule herschrijven zodat C_ppm wordt uitgedrukt in C_mg/m³. Je kunt de evenredigheidsconstante correct identificeren en afronden op twee decimalen.

Waar op letten: Vul de temperatuur (T = 25 graden Celsius) correct in de noemer van de breuk in.
Bereken de waarde van de noemer nauwkeurig voordat je verder rekent.
Herschrijf de formule zorgvuldig. De vraag vraagt om C_ppm uitgedrukt in C_mg/m³, dus je moet de formule omvormen van C_mg/m³ = ... naar C_ppm = ...
Let goed op de afronding: het eindantwoord moet in twee decimalen gegeven worden.

Kernbegrippen: recht evenredig verband, formules herschrijven, algebraïsche vaardigheden

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de formule om te schrijven van C_mg/m³ naar C_ppm
- De verkeerde evenredigheidsconstante geven (1,96 in plaats van 0,51)
- Foutief afronden

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/11

## Vraag 12 – Opgave 12 (6 punten)

6p 12 Geef een formule voor de omtrek en bereken daarmee exact de coördinaten van het punt P, zó dat de omtrek van de bijbehorende rechthoek minimaal is.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je een formule moet opstellen voor de omtrek van een rechthoek, waarvan één hoekpunt op de grafiek van een gegeven functie ligt. Vervolgens moet je met behulp van differentiëren de minimale omtrek vinden en de bijbehorende coördinaten van het punt P exact berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je de omtrek van een rechthoek berekent. Je moet de functie f(x) = 3/x^3 kunnen herschrijven naar een vorm met een negatieve exponent (machtsfunctie). Je moet de regels voor het differentiëren van machtsfuncties kennen, inclusief die met negatieve exponenten. Je moet algebraïsche vergelijkingen met machten exact kunnen oplossen.

Wat moet je kunnen: Je kunt een formule opstellen voor de omtrek van de rechthoek in termen van x, waarbij je de y-coördinaat van P uitdrukt met f(x). Je kunt deze omtrekfunctie differentiëren. Je kunt de afgeleide gelijkstellen aan nul en de resulterende vergelijking algebraïsch exact oplossen voor x. Tot slot kun je de bijbehorende y-coördinaat exact berekenen en de coördinaten van P opschrijven.

Waar op letten: Let goed op dat je eerst een correcte formule voor de omtrek M(x) opstelt. De breedte is x en de hoogte is y, waarbij y = f(x).
Herschrijf de functie f(x) = 3/x^3 naar 3x^(-3) voordat je gaat differentiëren. Dit maakt het toepassen van de machtsregel eenvoudiger.
Wees nauwkeurig bij het differentiëren van M(x). Vergeet niet dat de exponent met 1 vermindert en dat de oude exponent als factor naar voren komt (bijvoorbeeld d/dx (x^n) = n*x^(n-1)). Let op de tekens!
Bij het oplossen van de vergelijking dM/dx = 0, zorg ervoor dat je de x-waarde exact bepaalt. Dit betekent vaak dat je wortels in je antwoord behoudt en niet afrondt. Denk aan de domeinbeperking x > 0.
Vergeet niet, nadat je de x-coördinaat hebt gevonden, ook de bijbehorende y-coördinaat te berekenen met de oorspronkelijke functie f(x) en deze ook exact te geven.

Kernbegrippen: optimaliseringsprobleem, opstellen van een formule voor de omtrek, differentiëren van een machtsfunctie (met negatieve exponent), afgeleide gelijkstellen aan nul, algebraïsch oplossen van een vergelijking met machten

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de formule voor de omtrek op te stellen en direct proberen te differentiëren.
- Fouten maken bij het differentiëren van een term met een negatieve macht, zoals 6x⁻³.
- De vergelijking 18/x⁴ = 2 incorrect oplossen.
- Na het vinden van de x-coördinaat, vergeten de y-coördinaat te berekenen.
- Het antwoord niet exact geven, maar een benadering met de rekenmachine.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/12

## Vraag 13 – Opgave 13 (5 punten)

5p 13 Bewijs dit. Het punt B is het randpunt van de grafiek van f. Lijn l is de lijn door B en de oorsprong O. Zie figuur 2. figuur 2 Lijnen k en l zijn evenwijdig.

Wat kun je verwachten: Je moet bewijzen dat lijn k een raaklijn is aan de grafiek van f. Dit kun je op twee manieren doen: ofwel door aan te tonen dat de helling van f in het snijpunt met de x-as (punt A) gelijk is aan de richtingscoëfficiënt van k én dat punt A op lijn k ligt, ofwel door aan te tonen dat de vergelijking f(x) = k(x) precies één oplossing heeft.

Wat moet je kennen: Je moet de kettingregel kennen voor het differentiëren van wortelfuncties. Ook moet je weten hoe je algebraïsch vergelijkingen met wortels oplost en hoe je de vergelijking van een lijn opstelt of controleert.

Wat moet je kunnen: Je moet de afgeleide van f(x) kunnen bepalen met de kettingregel. Je moet de x-coördinaat van punt A kunnen vinden door f(x) = 0 op te lossen. Je moet de helling van de raaklijn in punt A kunnen berekenen door de x-coördinaat in de afgeleide in te vullen. Je moet kunnen controleren of deze helling overeenkomt met de richtingscoëfficiënt van lijn k. Als alternatief moet je de vergelijking f(x) = k(x) kunnen oplossen en aantonen dat er precies één oplossing is, bijvoorbeeld door kwadrateren en de discriminant te gebruiken.

Waar op letten: Let goed op het differentiëren van de wortelfunctie: de kettingregel is hier essentieel. De afgeleide van sqrt(u) is (1)/(2sqrt(u)) * u'.
Bij het oplossen van de vergelijking f(x) = 0 om punt A te vinden, zorg je ervoor dat je de wortel isoleert voordat je kwadrateert. Controleer altijd je oplossing in de oorspronkelijke vergelijking, vooral bij wortelvergelijkingen.
Als je de tweede methode gebruikt (f(x) = k(x) oplossen), zorg er dan voor dat je na het kwadrateren alle termen naar één kant haalt om een kwadratische vergelijking te krijgen. De discriminant (D = b^2 - 4ac) moet dan 0 zijn voor precies één oplossing.
Vergeet niet te controleren of het punt A (het snijpunt van f met de x-as) ook daadwerkelijk op lijn k ligt. Dit is een cruciaal onderdeel van het bewijs.
Werk exact door de hele opgave heen; er wordt niet om decimale benaderingen gevraagd.

Kernbegrippen: differentiëren, raaklijn opstellen, vergelijking oplossen, wortelfunctie

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij het differentiëren van een wortelfunctie (kettingregel vergeten).
- Algebraïsche fouten bij het oplossen van de wortelvergelijking.
- Vergeten te controleren of het raakpunt op de lijn ligt (in de tweede methode).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/13

## Vraag 14 – Opgave 14 (3 punten)

Het punt B is het randpunt van de grafiek van f. Lijn l is de lijn door B en de oorsprong O. Zie figuur 2.

Lijnen k en l zijn evenwijdig.

3p 14 Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Je moet bewijzen dat twee lijnen evenwijdig zijn. Dit doe je door aan te tonen dat hun richtingscoëfficiënten gelijk zijn. Je zult de coördinaten van het randpunt van een wortelfunctie moeten bepalen en vervolgens de richtingscoëfficiënt van een lijn door twee punten moeten berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je het randpunt van een wortelfunctie bepaalt. Je moet ook de definitie van evenwijdige lijnen kennen (gelijke richtingscoëfficiënten) en hoe je de richtingscoëfficiënt van een lijn door twee gegeven punten berekent.

Wat moet je kunnen: Je kunt de x-coördinaat van het randpunt van een wortelfunctie vinden door de uitdrukking onder het wortelteken gelijk aan nul te stellen. Je kunt de bijbehorende y-coördinaat berekenen door de x-waarde in de functie in te vullen. Vervolgens kun je de richtingscoëfficiënt van lijn l berekenen met de coördinaten van het randpunt B en de oorsprong O. Tot slot vergelijk je deze richtingscoëfficiënt met die van lijn k (die gegeven is in de context van vraag 13).

Waar op letten: Zorg ervoor dat je het juiste punt B (het randpunt) gebruikt en niet per ongeluk punt A (het snijpunt met de x-as).
Bepaal eerst de x-coördinaat van het randpunt door de uitdrukking onder de wortel gelijk te stellen aan nul.
Bereken vervolgens de bijbehorende y-coördinaat van het randpunt B door de gevonden x-waarde in de functie f in te vullen.
De oorsprong O heeft coördinaten (0,0). Gebruik de formule voor de richtingscoëfficiënt van een lijn door twee punten: (y2 - y1) / (x2 - x1).
Vergelijk de berekende richtingscoëfficiënt van lijn l met de richtingscoëfficiënt van lijn k. Deze laatste vind je in de vergelijking van lijn k die in de context van vraag 13 is gegeven.

Kernbegrippen: richtingscoëfficiënt, randpunt, evenwijdige lijnen, wortelfunctie

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van het randpunt B met het snijpunt A.
- Foutief berekenen van de richtingscoëfficiënt van een lijn door twee punten (O en B).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/14

## Vraag 15 – Opgave 15 (4 punten)

4p 15 Bereken exact de afstand tussen k en l.

Wat kun je verwachten: Je moet de afstand berekenen tussen twee evenwijdige lijnen. Dit is een standaardprocedure waarbij je een loodlijn opstelt en de afstandsformule gebruikt.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je de richtingscoëfficiënt van een lijn bepaalt die loodrecht staat op een andere lijn. Je moet ook de afstandsformule tussen twee punten kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet een vergelijking van een lijn kunnen opstellen, snijpunten van lijnen algebraïsch kunnen berekenen en de afstandsformule correct kunnen toepassen. Zorg dat je exact kunt rekenen met breuken en wortels.

Waar op letten: Je bepaalt eerst de richtingscoëfficiënt van een lijn die loodrecht staat op k (en dus ook op l). Denk aan de regel voor loodrechte lijnen: rc_1 * rc_2 = -1.
Je stelt de vergelijking op van deze loodlijn. Je kunt hiervoor een punt kiezen, bijvoorbeeld de oorsprong (0,0) als deze op een van de lijnen ligt, of een ander duidelijk punt.
Je berekent het snijpunt van deze loodlijn met één van de twee evenwijdige lijnen (k of l). Dit doe je door de twee lijnvergelijkingen aan elkaar gelijk te stellen en de x- en y-coördinaten te vinden.
Je gebruikt de afstandsformule om de afstand tussen het gevonden snijpunt en een punt op de ándere evenwijdige lijn te berekenen. Let goed op de coördinaten die je invult.
Je geeft je antwoord exact, dus laat wortels en breuken staan waar nodig. Vereenvoudig de wortel zo veel mogelijk.

Kernbegrippen: afstand tussen evenwijdige lijnen, loodrechte lijnen, richtingscoëfficiënt, snijpunt van lijnen, afstandsformule

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd opstellen van de vergelijking voor de loodlijn.
- Reken- of algebrafouten bij het oplossen van het stelsel vergelijkingen.
- Verkeerd toepassen van de afstandsformule.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/15

## Vraag 16 – Opgave 16 (2 punten)

De periode van het model is 365 dagen en de langste dag is op t=168.
Bepaal de waarden van a en b. Geef de waarde van a in drie decimalen en de waarde van b als geheel getal.

Wat kun je verwachten: Je moet de parameters 'a' en 'b' van een sinusoïde bepalen op basis van gegeven informatie over de periode en het tijdstip van de langste dag (maximum). Dit is een typische vraag waarbij je de eigenschappen van goniometrische functies toepast in een model.

Wat moet je kennen: Je moet de standaardvorm van een sinusoïde kennen, inclusief de betekenis van de parameters voor amplitude, evenwichtsstand, periode en faseverschuiving. Specifiek moet je weten hoe de periode gerelateerd is aan de parameter 'a' en hoe de parameter 'b' de horizontale verschuiving (faseverschuiving) bepaalt.

Wat moet je kunnen: Je kunt de formule voor de periode van een sinusoïde (T = (2π)/a) gebruiken om 'a' te berekenen. Je kunt de informatie over het maximum (langste dag) gebruiken om de faseverschuiving 'b' te bepalen. Dit kan door de grafiek af te lezen of door een vergelijking op te stellen en op te lossen. Je kunt nauwkeurig afronden zoals gevraagd.

Waar op letten: Let op de eenheden: de periode is in dagen, en de hoek in de sinusfunctie werkt met radialen. Gebruik dus 2π in de formule voor de periode.
Rond de waarde van 'a' af op drie decimalen, zoals gevraagd. Gebruik hiervoor de pi-knop op je rekenmachine voor maximale nauwkeurigheid.
De parameter 'b' is de horizontale verschuiving. Bedenk dat een standaard sinusfunctie sin(x) bij x=0 door de evenwichtsstand omhoog gaat. Een maximum ligt een kwart periode later. De functie is L(t) = 12 + 4,1 * sin(a(t-b)).
Je kunt 'b' bepalen door de grafiek af te lezen waar de functie door de evenwichtsstand omhoog gaat, of door de gegeven t-waarde van het maximum (t=168) te gebruiken in combinatie met de periode.
Rond de waarde van 'b' af als een geheel getal, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: goniometrische functies, sinusoïde, periode, horizontale verschuiving, parameters bepalen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd afronden van a
- Verwarring tussen de faseverschuiving (b) en het tijdstip van het maximum
- Rekenfout bij het oplossen van de vergelijking voor b
- Vergeten dat de periode gelijk is aan 2π/a en niet a/2π

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/16

## Vraag 17 – Opgave 17 (3 punten)

De toename van de daglengte volgens het model is het grootst als de helling van de grafiek van L maximaal is. Met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage kun je de maximale helling bepalen.
Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage de maximale helling van de grafiek van L. Geef je eindantwoord in hele minuten per dag.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een grafiek van de daglengte L(t) en je moet bepalen wanneer de toename van de daglengte het grootst is. Dit betekent dat je het punt met de maximale helling van de grafiek moet vinden en de waarde van die helling moet bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet weten dat de maximale helling van een sinusoïde zich bevindt in de buigpunten, die op de evenwichtsstand liggen. Je moet ook weten hoe je een raaklijn tekent en hoe je de helling van een lijn berekent met behulp van twee punten (Δy/Δx).

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig een raaklijn kunnen tekenen op een gegeven grafiek. Je moet vervolgens twee punten op deze raaklijn kunnen aflezen en daarmee de helling kunnen berekenen. Tot slot moet je de berekende helling kunnen omrekenen naar de gevraagde eenheid (van uur per dag naar minuten per dag) en correct afronden.

Waar op letten: Je moet de maximale helling bepalen. Bij een sinusoïde is de helling maximaal (of minimaal) in de buigpunten. Deze punten liggen op de evenwichtsstand van de grafiek. Zoek dus het punt op de grafiek waar de lijn L=12 wordt gesneden en de grafiek stijgend is.
Je tekent een raaklijn in het punt waar de helling maximaal is. Zorg dat deze raaklijn de grafiek in dat ene punt raakt en de richting van de grafiek daar goed weergeeft.
Je berekent de helling van de getekende raaklijn door twee duidelijke punten op die raaklijn af te lezen en de formule ΔL/Δt toe te passen. Let goed op de schaalverdeling van beide assen.
De helling die je afleest is in 'uur per dag'. De vraag vraagt om het antwoord in 'minuten per dag'. Je moet dus een eenheidconversie uitvoeren.
Je antwoord moet een heel getal zijn. Rond je uiteindelijke antwoord op de juiste manier af.

Kernbegrippen: helling van een grafiek, raaklijn tekenen, maximale helling sinusoïde, grafiek aflezen, eenheden omrekenen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten het eindantwoord om te rekenen van uren per dag naar minuten per dag.
- De raaklijn tekenen bij het maximum van de functie in plaats van bij het punt met de maximale helling (het buigpunt op de evenwichtsstand).
- Onnauwkeurig aflezen van coördinaten bij het bepalen van de helling van de getekende raaklijn.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/17

## Vraag 18 – Opgave 18 (5 punten)

Bereken exact de coördinaten van K. Je kunt hierbij de figuur op de uitwerkbijlage gebruiken.

Wat kun je verwachten: Je moet de coördinaten van een raakpunt K berekenen. Dit betekent dat je de vergelijking van de cirkel en de vergelijking van een lijn moet combineren. Je zult waarschijnlijk een stelsel van vergelijkingen moeten oplossen.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vergelijking van een cirkel kennen: (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, waarbij (a,b) het middelpunt is en r de straal. Je moet ook weten hoe je de vergelijking van een lijn opstelt en hoe de hellingen van loodrechte lijnen zich tot elkaar verhouden (m1 * m2 = -1).

Wat moet je kunnen: Je kunt de vergelijking van de halve cirkel opstellen aan de hand van het middelpunt M en de straal. Je kunt de helling van de raaklijn PQ bepalen door te kijken naar de lijnen l en k. Je kunt de vergelijking van de lijn door het middelpunt M en het raakpunt K opstellen, wetende dat deze loodrecht staat op de raaklijn PQ. Tot slot kun je een stelsel van vergelijkingen algebraïsch oplossen om de exacte coördinaten van K te vinden.

Waar op letten: Let goed op het middelpunt M en de straal van de cirkel. Deze kun je afleiden uit de gegeven punten A en B.
De raaklijn PQ is evenwijdig aan lijn l (y = -x). Wat betekent dit voor de helling van PQ?
De lijn door het middelpunt M en het raakpunt K staat altijd loodrecht op de raaklijn PQ. Gebruik de relatie tussen de hellingen van loodrechte lijnen.
Bij het oplossen van de vergelijking moet je goed letten op het exact noteren van je antwoord, vaak met wortels.
Vergeet niet dat het een halve cirkel betreft, dus controleer of je gevonden y-coördinaat voldoet aan de voorwaarde y >= 3.

Kernbegrippen: vergelijking van een cirkel, raaklijn aan een cirkel, loodrechte lijnen, coördinatenmeetkunde, oplossen van stelsels vergelijkingen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten dat de raaklijn PQ een helling van -1 heeft (evenwijdig aan lijn l).
- Fouten bij het algebraïsch oplossen van de kwadratische vergelijking.
- Verkeerd opstellen van de vergelijking van de cirkel (middelpunt en straal).
- Verwarring tussen de lijn door M en K en de raaklijn PQ.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-2/vraag/18

## Vragen in dit examen

### Vraag 2 – Opgave 2

Wat kun je verwachten: Je krijgt een functie met een logaritme en een losse constante. Je moet deze functie herleiden tot één logaritmeterm van de vorm ^glog(ax+b). Dit betekent dat je de rekenregels voor logaritmen moet toepassen om de constante om te zetten in een logaritme en vervolgens de logaritmes samen te voegen.

Wat moet je kennen: Je moet de rekenregels voor logaritmen kennen, in het bijzonder hoe je een constante kunt schrijven als een logaritme met een bepaald grondtal, en de regel voor het optellen van logaritmen: ^glog(A) + ^glog(B) = ^glog(A*B).

Wat moet je kunnen: Je moet algebraïsch kunnen herleiden. Je zet de constante om in een logaritme met hetzelfde grondtal als de andere logaritme in de functie. Daarna pas je de optelregel voor logaritmen toe om de twee logaritmetermen samen te voegen tot één term. Tot slot werk je de haakjes uit om de vorm ^glog(ax+b) te krijgen.

Waar op letten: Let goed op het grondtal van de logaritme. Als je de constante omzet naar een logaritme, moet je hetzelfde grondtal gebruiken.
Denk eraan dat een getal C geschreven kan worden als ^glog(g^C).
Pas de rekenregel voor het optellen van logaritmen correct toe: ^glog(A) + ^glog(B) = ^glog(A*B). Let op dat je niet per ongeluk A+B doet in plaats van A*B.
Vergeet niet de haakjes uit te werken nadat je de logaritmes hebt samengevoegd om de vorm ax+b te krijgen.
Controleer of je antwoord exact is, zoals vaak gevraagd bij algebraïsche herleidingen.

### Vraag 3 – Opgave 3

Wat kun je verwachten: Je moet de eigenschappen van een logaritmische functie (zoals de verticale asymptoot en snijpunten) kunnen gebruiken om de eigenschappen van een kwadratische functie (zoals de top en een punt) af te leiden. Vervolgens stel je de formule van de kwadratische functie op.

Wat moet je kennen: Je moet de relatie tussen het argument van een logaritme en de verticale asymptoot kennen. Ook moet je de algemene vorm van een kwadratische functie met top (p,q) kennen: y = a(x-p)^2 + q. Je moet ook weten hoe je een snijpunt met de y-as berekent (x=0 invullen).

Wat moet je kunnen: Je kunt de verticale asymptoot van een logaritmische functie bepalen. Je kunt de coördinaten van het snijpunt met de y-as berekenen. Je kunt deze informatie gebruiken om de top en een punt van de parabool g te bepalen. Tot slot kun je met deze gegevens de parameter 'a' in de algemene kwadratische functie berekenen en zo de formule van g opstellen.

Waar op letten: Let goed op de relatie tussen de verticale asymptoot van f en de x-coördinaat van de top T van g. Dit is een directe vertaling.
Vergeet niet dat de y-coördinaat van de top T op de x-as altijd 0 is, omdat T op de x-as ligt.
Bereken de coördinaten van snijpunt S exact. Dit punt ligt op beide grafieken, dus je kunt het gebruiken om de parameter 'a' van g te vinden.
Gebruik de algemene vorm van een kwadratische functie met top (p,q): g(x) = a(x-p)^2 + q. Vul hierin de coördinaten van T in.
Vul de coördinaten van S in de opgestelde formule van g in om de waarde van 'a' exact te berekenen.

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2022
tijdvak 2
tijdsduur: 3 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 18 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1025-a-22-2-0

### Pagina 2

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": null,
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [
    "Grafiek met twee functies f en g. Functie f is een logaritmische functie met een verticale asymptoot. Functie g is een parabool met top T. De functies snijden elkaar bij punt S.",
    "Assenstelsel met x- en y-as. De oorsprong is O. Een logaritmische functie f is getekend, deze snijdt de x-as bij punt A en de y-as bij punt S. Een verticale stippellijn is de asymptoot van f, deze snijdt de x-as bij punt T. Een parabool g met top T gaat door punt S."
  ],
  "keywords": "logaritme, parabool, functievoorschrift, x-as, y-as, snijpunt, asymptoot, top, kwadratische functie, berekenen"
}
```

### Pagina 3

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "Gooilandkaart",
    "year": null,
    "tijvak": null
  },
  "figures": [
    "Schematische kaart met de locaties van Huizen, Laren, Naarden en Hilversum, met aangegeven afstanden en hoeken tussen deze locaties."
  ],
  "keywords": "Gooilandkaart, Walraven, driehoeken, kerktorens, afstanden, hoeken, Laren, Hilversum, Naarden, Huizen, kaart, metingen, geometrie, navigatie, cartografie"
}
```

### Pagina 4

Wortel en cirkel
De functie $f$ wordt gegeven door $f(x)=\sqrt{3x+4}$. In figuur 1 is de grafiek
van $f$ weergegeven.
figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek van een wortelfunctie in het eerste kwadrant, met de y-as en x-as.
De curve begint op de y-as en loopt omhoog naar rechts. De y-as is gelabeld met y en de x-as met x.
Het punt O is de oorsprong.]
3p
5
De grafiek van $f$ ontstaat uit de grafiek van $y=\sqrt{x}$ door een horizontale
translatie en een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as.
Geef aan welke translatie en vermenigvuldiging dit zijn en in welke
volgorde ze moeten worden toegepast.
De grafiek van $f$ snijdt de y-as in het punt $A(0,2)$. De lijn $k$ is de raaklijn
aan de grafiek van $f$ in $A$. De lijn $l$ snijdt lijn $k$ loodrecht in $A$. Het punt $M$ is
het snijpunt van $l$ met de x-as.
De cirkel $c$ heeft punt $M$ als middelpunt en raakt de grafiek van $f$ in
punt $A$. Lijn $k$ is dus ook de raaklijn in $A$ aan $c$.
De punten $P$ en $Q$ zijn de snijpunten van cirkel $c$ met de x-as. Zie figuur 2.
figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met een cirkel en een rechte lijn die de cirkel raakt. De curve van de functie f snijdt de y-as.
De y-as en x-as zijn getekend. Een punt A op de y-as is het raakpunt van de lijn k met de curve f.
De lijn k raakt ook de cirkel c in punt A. De lijn l staat loodrecht op k in A en snijdt de x-as in M.
De cirkel c heeft M als middelpunt en gaat door A. De cirkel snijdt de x-as in de punten P en Q.]
7p
6
Bereken exact de x-coördinaten van $P$ en $Q$.
HA-1025-a-22-2-o
4/11
lees verder

### Pagina 5

Sinusoïden en somfunctie
De functies f en g worden gegeven door:
$f(x)=1+3\sin(x)$
$g(x)=1+3\cos(2x)$
Het punt P is de eerste top van de grafiek van f rechts van de y-as en het punt R is de eerste top van de grafiek van g rechts van de y-as.
Zie figuur 1, waarin ook het lijnstuk PR getekend is.
figuur 1

y
9
P
x
R
4p 7 Bereken algebraïsch de lengte van lijnstuk PR. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
De grafiek van de somfunctie
$h(x)=f(x)+g(x)$ blijkt ook een sinusoïde te zijn. Zie figuur 2.
figuur 2

y
h
x
Het functievoorschrift van h is te schrijven als:
$h(x)=p+q \cdot \cos(r(x-s))$
7p 8 Bereken mogelijke waarden van p, q, r en s. Geef je eindantwoorden, indien nodig, in twee decimalen.
HA-1025-a-22-2-o
5 / 11
lees verder ►►►

### Pagina 6

Luchtvervuiling
De Air Quality Index (AQI) is een waarde die overheden gebruiken om aan te geven hoe vervuild de lucht is: hoe hoger de AQI, des te sterker is de luchtvervuiling. De AQI wordt berekend uit de ozonconcentratie C in ppm. De ppm is een veelgebruikte eenheid voor concentratie.
Men heeft de mogelijke waarden van de AQI in categorieën opgedeeld. In de tabel is voor elke categorie luchtkwaliteit te zien welke waarden van C en de AQI daarbij horen. Zo is de laagste waarde van de AQI in de categorie ‘gemiddeld’ gelijk aan 50 en dat is het geval als C = 0,065.
tabel
categorie luchtkwaliteit
C (ppm)
AQI
goed
0 – 0,065
0 – 50
gemiddeld
0,065 – 0,085
50 – 100
ongezond voor kinderen en ouderen
0,085 – 0,105
100 – 150
ongezond
0,105 – 0,125
150 – 200
erg ongezond
0,125 – 0,375
200 – 300
Binnen elke afzonderlijke categorie is er een stijgend lineair verband tussen de AQI en C.
Op een bepaalde plek wordt een ozonconcentratie gemeten van
0,20 ppm.
4p 9 Bereken de bijbehorende AQI. Geef je eindantwoord als geheel getal.
HA-1025-a-22-2-0
6/11
lees verder

### Pagina 7

In plaats van de concentratie in ppm te geven, kan deze ook in milligram
per kubieke meter (mg/m³) gegeven worden. Als de temperatuur bekend
is, kan de concentratie van ppm naar mg/m³ omgerekend worden.
Daarvoor geldt de volgende formule:

$C_{mg/m^3} = \frac{584,976 \cdot C_{ppm}}{273,15+T}$ met $T$ de temperatuur in graden Celsius

Op zeker moment in 2015 werd in Amsterdam een ozonconcentratie van
0,0512 mg/m³ gemeten. De temperatuur was op dat moment
20 graden Celsius.
4p 10 Bepaal de categorie luchtkwaliteit op dat moment.

Als de temperatuur constant 25 graden blijft, dan is het verband tussen
$C_{ppm}$ en $C_{mg/m^3}$ recht evenredig.
3p 11 Bereken de evenredigheidsconstante als $C_{ppm}$ wordt uitgedrukt in $C_{mg/m^3}$
bij een temperatuur van 25 graden Celsius. Geef je eindantwoord in twee
decimalen.

HA-1025-a-22-2-o
7/11
lees verder ►►►

### Pagina 8

Minimale omtrek
De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = \frac{3}{x^3}$ met $x > 0$.
Punt $P$ is een willekeurig punt op de grafiek van $f$. Bij zo'n punt $P$ kun je
een rechthoek tekenen met horizontale en verticale zijden en hoekpunten
$P$ en $O$. In figuur 1 is de rechthoek getekend als $P$ het punt $(1,3)$ is en in
figuur 2 is de rechthoek getekend als $P$ het punt $(2, \frac{3}{8})$ is.
figuur 1
figuur 2
[FIGUUR: Grafiek van een functie in het eerste kwadrant met op de y-as punten 1, 2, 3. Op de x-as punten 0, 1, 2, 3. Een rechthoek is getekend met hoekpunten op de oorsprong, (1,0), (1,3) en een punt P op de grafiek. De grafiek start hoog en loopt naar rechts omlaag.]
[FIGUUR: Grafiek van een functie in het eerste kwadrant met op de y-as punten 1, 2, 3. Op de x-as punten 0, 1, 2, 3. Een rechthoek is getekend met hoekpunten op de oorsprong, (2,0), (2, 3/8) en een punt P op de grafiek. De grafiek start hoog en loopt naar rechts omlaag.]
De omtrek van de rechthoek in figuur 1 is groter dan de omtrek van de
rechthoek in figuur 2. De omtrek is dus afhankelijk van de keuze van $P$.
Je kunt $P$ zó op de grafiek van $f$ kiezen, dat de omtrek van de
bijbehorende rechthoek minimaal is.
6p 12 Geef een formule voor de omtrek en bereken daarmee exact de
coördinaten van het punt $P$, zó dat de omtrek van de bijbehorende
rechthoek minimaal is.
HA-1025-a-22-2-o
8/11
lees verder

### Pagina 9

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "Wiskunde",
    "year": "2022",
    "tijdvak": "1"
  },
  "figures": [
    "Een grafiek met de y-as en de x-as. De grafiek van functie f begint links, stijgt en buigt af. Lijn k raakt de grafiek van f in punt A op de x-as. Het punt A is rechts van de oorsprong.",
    "Een grafiek met de y-as en de x-as. De grafiek van functie f begint links en stijgt naar rechts. Lijn k raakt de grafiek in punt A. Lijn l gaat door de oorsprong O en punt B, dat lager ligt dan punt A. Lijn l snijdt de grafiek van f ook."
  ],
  "keywords": "raaklijn, evenwijdige lijn, functie f, snijpunt, x-as, grafiek, vergelijking, randpunt, oorsprong, afstand"
}
```

### Pagina 10

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": null,
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [
    "Grafiek van de daglengte $L$ (in uren) als functie van de tijd $t$ (in dagen). De x-as loopt van 0 tot 350, de y-as van 0 tot 20. De curve toont een sinusvormige golf."
  ],
  "keywords": "daglengte, zonsopgang, zonsondergang, model, grafiek, sinusfunctie, periode, maximale helling, Luxemburg"
}
```

### Pagina 11

Vierkant en halve cirkel
Het punt $A(-3, 3)$ ligt op lijn $l$ met vergelijking $y = -x$ en het
punt $B(3, 3)$ ligt op lijn $k$ met vergelijking $y = x$.
Door de punten $A$ en $B$ gaat een halve cirkel met diameter $AB$ en
middelpunt $M$.
Voor vierkant $OPQR$ geldt:
$R$ ligt op $l$ en $P$ ligt op $k$.
Zijde $PQ$ raakt de halve cirkel in het punt $K$.
Zie de figuur. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur
[FIGUUR: Een diagram met de y-as verticaal en de x-as horizontaal. Op de y-as staat punt Q. Op de x-as staat punt O. Lijn l gaat vanuit Q door O en naar beneden links. Lijn k gaat vanuit een punt links van Q via O naar beneden rechts. M is een punt op de y-as tussen O en Q. A is een punt links van de y-as, met een gestippelde lijn naar Q en een lijn naar O. B is een punt rechts van de y-as, met een gestippelde lijn naar P en een lijn naar O. K is een punt op de halve cirkel, aan de rechterkant, tussen de horizontale lijn AB en de top van de cirkel. P is een punt rechtsonder, en R is een punt linksonder. Een halve cirkelboog begint bij A, loopt via K en eindigt bij B.]
5p 18 Bereken exact de coördinaten van $K$. Je kunt hierbij op de
uitwerkbijlage gebruiken.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.
HA-1025-a-22-2-o
11/11
einde