# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2022 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1

## Vraag 1 – Opgave 1 (4 punten)

1 (Image of a circle c and a line l tangent to the circle at point A. The line l passes through point O on the x-axis.) y l A c O x

Wat kun je verwachten: Je moet het raakpunt van een lijn en een cirkel bepalen. Dit is een klassieke vraag die je op verschillende manieren kunt aanpakken. Je kunt de lijnvergelijking substitueren in de cirkelvergelijking, of je kunt gebruikmaken van eigenschappen van de raaklijn en het middelpunt van de cirkel.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vergelijking van een cirkel kennen en hoe je het middelpunt en de straal daaruit kunt afleiden (door kwadraat afsplitsen). Je moet ook weten hoe je een stelsel van vergelijkingen oplost, in het bijzonder door substitutie. Daarnaast moet je de eigenschap kennen dat de raaklijn loodrecht staat op de straal naar het raakpunt, en hoe je de richtingscoëfficiënt van een loodlijn bepaalt.

Wat moet je kunnen: Je moet algebraïsch een kwadratische vergelijking kunnen oplossen, bijvoorbeeld met de abc-formule of door ontbinden in factoren. Je moet ook een vergelijking van een lijn kunnen opstellen als je een punt en de richtingscoëfficiënt weet. Verder moet je nauwkeurig kunnen rekenen met haakjes en breuken.

Waar op letten: Let goed op de algebraïsche stappen bij het substitueren van de lijnvergelijking in de cirkelvergelijking. Werk haakjes correct uit en combineer gelijksoortige termen.
Als je de substitutiemethode gebruikt, realiseer je dan dat een raaklijn betekent dat de resulterende kwadratische vergelijking precies één oplossing heeft. Dit betekent dat de discriminant nul moet zijn, of dat je de vergelijking kunt schrijven als (x-a)^2 = 0.
Als je de methode met het middelpunt en de loodlijn gebruikt, zorg er dan voor dat je eerst het middelpunt van de cirkel correct bepaalt door kwadraat af te splitsen. Let op de tekens bij het afsplitsen.
De richtingscoëfficiënt van een lijn loodrecht op een andere lijn is het negatieve omgekeerde. Dus als rc_1 = m, dan is rc_2 = -1/m. Let goed op de tekens.
Controleer na het vinden van de x-coördinaat van het raakpunt of je ook de bijbehorende y-coördinaat berekent met behulp van de lijnvergelijking. Het antwoord is een punt (x, y).

Kernbegrippen: vergelijking van een cirkel, vergelijking van een lijn, snijpunt van lijn en cirkel, raakpunt, oplossen van een kwadratische vergelijking, substitutiemethode

Veelgemaakte fouten:
- Algebraïsche fouten bij het substitueren en uitwerken van de haakjes.
- Reken- of slordigheidsfouten bij het oplossen van de kwadratische vergelijking.
- Vergeten de y-coördinaat te berekenen nadat de x-coördinaat is gevonden.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/1

## Vraag 2 – Opgave 2 (5 punten)

l snijdt de x-as in het punt S en de y-as in het punt T. Cirkel d is de cirkel met middellijn ST. Zie figuur 2.

5p 2 Bewijs dat d door O gaat.

Wat kun je verwachten: Je moet een bewijs leveren dat cirkel d door de oorsprong O gaat. Dit betekent dat je de eigenschappen van lijnstuk ST als middellijn van cirkel d moet gebruiken en de coördinaten van de punten S, T en O.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor het middelpunt van een lijnstuk kennen, de afstandsformule tussen twee punten, en de algemene vergelijking van een cirkel. Ook moet je weten hoe je snijpunten van een lijn met de coördinaatassen bepaalt.

Wat moet je kunnen: Je moet de coördinaten van de snijpunten S en T van lijn l met de assen kunnen bepalen. Vervolgens moet je het middelpunt en de straal van cirkel d kunnen berekenen. Daarna moet je op twee manieren kunnen aantonen dat O op de cirkel ligt: ofwel door de afstand van O tot het middelpunt te vergelijken met de straal, ofwel door de coördinaten van O in de cirkelvergelijking in te vullen en te controleren of deze voldoet.

Waar op letten: Zorg ervoor dat je de coördinaten van S en T correct bepaalt. S ligt op de x-as (y=0) en T op de y-as (x=0).
Onthoud dat ST de middellijn is, dus het middelpunt van d is het midden van ST, en de straal is de helft van de lengte van ST.
Gebruik de afstandsformule correct om de lengte van ST te berekenen en vervolgens de straal van d.
Om te bewijzen dat O(0,0) op de cirkel ligt, kun je de afstand van O tot het middelpunt van d berekenen en controleren of deze gelijk is aan de straal. Of je stelt de vergelijking van cirkel d op en vult de coördinaten van O in.
Alle berekeningen moeten exact zijn; laat wortels en breuken staan waar nodig.

Kernbegrippen: analytische meetkunde, cirkelvergelijking, afstand tussen punten, middelpunt van een lijnstuk, stelling van Thales

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of tekenfouten bij het bepalen van de snijpunten S en T.
- Verwarring tussen de straal en de diameter van cirkel d.
- Foutieve toepassing van de afstandsformule of de formule voor het middelpunt.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/2

## Vraag 3 – Opgave 3 (5 punten)

In 2016 had een goed werkende draadloos-internetverbinding vaak een bandbreedte van 20 ⋅ 10⁶ Hz en een waarde van S van 40 dB.
Bereken met behulp van de bovenstaande formules de kanaalcapaciteit van deze verbinding. Geef je eindantwoord in miljoenen bps.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een contextvraag waarbij je twee formules moet combineren om tot het eindantwoord te komen. Je moet een logaritmische vergelijking oplossen en vervolgens een andere formule invullen en berekenen. Let goed op de eenheden en de gevraagde afronding.

Wat moet je kennen: Je moet de rekenregels voor logaritmen kennen, met name hoe je een vergelijking met een logaritme oplost. Ook moet je weten hoe je de ²log-functie op je grafische rekenmachine gebruikt.

Wat moet je kunnen: Je moet een logaritmische vergelijking algebraïsch kunnen oplossen. Je moet de juiste waarden uit de vraag in de formules kunnen invullen en de berekeningen correct uitvoeren. Tot slot moet je het antwoord kunnen omzetten naar de gevraagde eenheid (miljoenen bps) en correct kunnen afronden.

Waar op letten: Begin met de formule die je kunt oplossen met de gegeven informatie. Welke variabele kun je als eerste berekenen?
Let goed op het verschil tussen de ¹⁰log (logaritme met grondtal 10) en de ²log (logaritme met grondtal 2). Je grafische rekenmachine heeft hiervoor vaak aparte functies of een algemene log-functie met instelbaar grondtal.
Zorg ervoor dat je de logaritmische vergelijking correct oplost. Denk aan de definitie van een logaritme: als log_b(x) = y, dan is x = b^y.
Controleer de eenheden in de vraag en de gevraagde eenheid voor het eindantwoord. Het antwoord moet in 'miljoenen bps' gegeven worden, dus een omrekening is nodig.
Rond pas af aan het einde van de berekening om afrondingsfouten te voorkomen. Gebruik tussentijds voldoende decimalen.

Kernbegrippen: logaritmische vergelijkingen, formules toepassen, rekenen met logaritmen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd omrekenen van decibel (dB) naar signaal-ruisverhouding (R)
- Verwarring tussen ¹⁰log en ²log
- Fout bij het afronden of het omzetten naar miljoenen bps

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/3

## Vraag 4 – Opgave 4 (3 punten)

Als de ruis (veel) sterker is dan het signaal, dan is R (erg) klein. Voor zulke kleine waarden van R werkt men in de praktijk met de volgende benadering voor C:

C = 1,44 ⋅ B ⋅ R (formule 3)

In figuur 1 zijn voor B = 1000 de grafieken van formules 1 en 3 weergegeven, waarbij de grafiek van formule 3 gestippeld is.

figuur 1

In figuur 1 is te zien dat voor groter wordende R de benadering steeds slechter wordt. Men vindt deze benadering acceptabel als het verschil tussen de waarde van C volgens formule 3 en de waarde van C volgens formule 1 maximaal 1% is van de waarde van C volgens formule 1.
Bereken in het geval dat B = 1000 tot welke waarde van R dit het geval is. Rond de door jou gevonden waarde van R af op drie decimalen.

Wat kun je verwachten: Je moet een vergelijking opstellen op basis van een gegeven voorwaarde over procentueel verschil. Vervolgens los je deze vergelijking op met je grafische rekenmachine.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een procentueel verschil correct vertaalt naar een wiskundige vergelijking. Je moet ook de eigenschappen van logaritmische functies kennen, met name dat log(1+R) alleen gedefinieerd is voor 1+R > 0. Je moet ook weten hoe je de grafische rekenmachine effectief gebruikt om snijpunten van functies te vinden.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven formules correct invullen met de waarde van B. Je kunt de voorwaarde 'verschil maximaal 1% van de waarde van C volgens formule 1' omzetten in een algebraïsche vergelijking. Je kunt deze vergelijking vervolgens invoeren in je grafische rekenmachine en het snijpunt bepalen. Tot slot rond je het antwoord correct af op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Let goed op de formulering van het procentuele verschil: 'maximaal 1% is van de waarde van C volgens formule 1'. Dit betekent dat het verschil (C3 - C1) gelijk moet zijn aan 0,01 * C1, niet alleen 0,01.
Zorg ervoor dat je de juiste formules voor C1 en C3 gebruikt en de waarde B = 1000 correct invult in beide formules.
Controleer of je de logaritme met het juiste grondtal (grondtal 2) invoert in je grafische rekenmachine. Dit wordt vaak genoteerd als 'log_2(x)' of 'log(x)/log(2)'.
Wees nauwkeurig bij het invoeren van de functies in je grafische rekenmachine en bij het bepalen van het snijpunt. Gebruik de 'intersect'-functie van je GR.
Rond je uiteindelijke antwoord voor R af op drie decimalen, zoals gevraagd in de vraag.

Kernbegrippen: logaritmische functies, vergelijkingen oplossen met GR, procentueel verschil

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect opstellen van de vergelijking voor het procentuele verschil. Bijvoorbeeld het verschil gelijkstellen aan 1% (0.01) in plaats van 1% *van de waarde van C volgens formule 1*.
- Verkeerd interpreteren van 'verschil', de benadering (formule 3) is groter dan de exacte waarde (formule 1), dus het verschil is C3 - C1.
- Reken- of invoerfouten in de grafische rekenmachine.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/4

## Vraag 5 – Opgave 5 (4 punten)

Ook als het signaal veel sterker is dan de ruis, dat wil zeggen voor grote waarden van R, wordt er in de praktijk vaak met een benadering voor C gewerkt.
Voor grote waarden van R geldt 1 + R ≈ R. In dat geval kan formule 1 benaderd worden door:
C = B ⋅ ²log(R) (formule 4)
In figuur 2 zijn voor een bepaalde waarde van B de grafieken van de formules 1 en 4 weergegeven, waarbij de grafiek van formule 4 gestippeld is.
figuur 2
C (bps)
↑
→ R
Met behulp van formules 2 en 4 kan voor grote waarden van R de volgende formule voor C opgesteld worden:
C = 0,332 ⋅ B ⋅ S
Het getal 0,332 in deze formule is een afgerond getal.
4p 5 Toon de juistheid van deze formule aan.

Wat kun je verwachten: Je moet twee gegeven formules (Formule 2 en Formule 4) combineren en algebraïsch herleiden om een nieuwe formule af te leiden. Dit is een typische 'toon aan'-vraag waarbij je stap voor stap de gegeven eindformule moet bereiken.

Wat moet je kennen: Je moet de rekenregels voor logaritmen goed kennen, met name hoe je een logaritme met een bepaald grondtal kunt omzetten naar een logaritme met een ander grondtal (bijvoorbeeld de natuurlijke logaritme of de logaritme met grondtal 10). Je moet ook weten hoe je een logaritmische vergelijking omzet naar een exponentiële vergelijking en andersom.

Wat moet je kunnen: Je kunt formules algebraïsch manipuleren en substitueren. Je kunt logaritmische uitdrukkingen vereenvoudigen met behulp van de rekenregels. Je kunt nauwkeurig werken met verschillende grondtallen van logaritmen en de juiste omzettingen toepassen. Je kunt een numerieke waarde berekenen met je grafische rekenmachine en deze afronden zoals gevraagd.

Waar op letten: Let goed op de verschillende grondtallen van de logaritmen: Formule 2 gebruikt ¹⁰log(R) en Formule 4 gebruikt ²log(R). Je zult een grondtalverandering moeten toepassen.
Zorg ervoor dat je de rekenregel voor grondtalverandering correct toepast: log_a(x) = (log_b(x))/(log_b(a)).
Je moet Formule 2 (S = 10 ⋅ ¹⁰log(R)) omvormen zodat je een uitdrukking krijgt voor R of voor ¹⁰log(R) die je kunt substitueren in Formule 4.
Werk stap voor stap en schrijf je afleiding duidelijk op. Controleer na elke stap of je nog op de goede weg bent naar de eindformule.
Het getal 0,332 is een afgerond getal. Dit betekent dat je aan het einde van je afleiding een berekening moet doen met je rekenmachine en het resultaat moet afronden op drie decimalen.

Kernbegrippen: logaritmen, rekenregels voor logaritmen, formules combineren, algebraïsch herleiden, veranderen van grondtal

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen logaritmen met verschillende grondtallen (²log en ¹⁰log)
- Incorrect toepassen van de rekenregel voor het veranderen van het grondtal
- Fouten bij het algebraïsch omschrijven en substitueren

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/5

## Vraag 6 – Opgave 6 (6 punten)

6p 6 Er geldt OA = OB. Bewijs dit. De grafiek van de functie g ontstaat uit de grafiek van f door middel van een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met een positieve factor a. Het punt M is het randpunt van de grafiek van g en het punt C is het snijpunt van de grafieken van f en g met de x-as. Zie figuur 2. De lengte van het lijnstuk MC is 6(2)/(3). figuur 2 y f g C O M x

Wat kun je verwachten: Je moet een bewijs leveren dat twee lijnstukken, OA en OB, even lang zijn. Dit doe je door de coördinaten van de punten A en B te bepalen en vervolgens de afstanden tot de oorsprong O te berekenen. Punt A is het snijpunt van de grafiek van f met de y-as. Punt B is het snijpunt van de raaklijn aan f in punt A met de x-as.

Wat moet je kennen: Je moet de kettingregel voor differentiëren kennen, specifiek voor wortelfuncties. Ook moet je weten hoe je de vergelijking van een raaklijn opstelt en hoe je snijpunten met de assen berekent.

Wat moet je kunnen: Je moet de afgeleide van een wortelfunctie kunnen bepalen met behulp van de kettingregel. Je moet de vergelijking van een lijn (raaklijn) kunnen opstellen als je een punt en de helling weet. Je moet snijpunten van een lijn met de x-as en y-as kunnen berekenen. Tot slot moet je de lengte van een lijnstuk kunnen bepalen als je de coördinaten van de eindpunten kent.

Waar op letten: Begin met het bepalen van de coördinaten van punt A. Dit is het snijpunt van f(x) met de y-as, dus je vult x=0 in de functie f(x).
Bereken de afgeleide f'(x) van de functie f(x). Let goed op de kettingregel bij het differentiëren van de wortelfunctie. De afgeleide van sqrt(u) is (1)/(2sqrt(u)) * u'.
Gebruik de afgeleide om de helling van de raaklijn l in punt A te vinden. Dit doe je door de x-coördinaat van A in f'(x) in te vullen.
Stel de vergelijking van de raaklijn l op. Je hebt hiervoor de coördinaten van punt A en de helling van de raaklijn nodig (y = mx + b).
Bepaal de coördinaten van punt B. Dit is het snijpunt van de raaklijn l met de x-as, dus je stelt y=0 in de vergelijking van l en lost op naar x. Zorg ervoor dat al je berekeningen exact zijn.

Kernbegrippen: differentiëren, kettingregel, raaklijn opstellen, snijpunten met assen, afstandsberekening in assenstelsel

Veelgemaakte fouten:
- Fout bij toepassen van de kettingregel op de wortelfunctie.
- Verkeerd opstellen van de vergelijking van de raaklijn (bijvoorbeeld de b-waarde vergeten of verkeerd berekenen).
- De afstanden OA en OB niet correct afleiden uit de coördinaten van A en B.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/6

## Vraag 7 – Opgave 7 (7 punten)

De grafiek van de functie g ontstaat uit de grafiek van f door middel van een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met een positieve factor a.
Het punt M is het randpunt van de grafiek van g en het punt C is het snijpunt van de grafieken van f en g met de x-as. Zie figuur 2.
De lengte van het lijnstuk MC is 6 .
Bereken exact de waarde van a.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over functies, transformaties en meetkunde. Je moet de coördinaten van specifieke punten bepalen en vervolgens de afstand tussen deze punten gebruiken om een onbekende factor te berekenen. Dit vereist algebraïsche vaardigheden en kennis van de stelling van Pythagoras.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je: 1. Het randpunt van een wortelfunctie bepaalt. 2. Het snijpunt van een grafiek met de x-as (nulpunten) berekent. 3. Een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as toepast op een functie. 4. De stelling van Pythagoras gebruikt om de afstand tussen twee punten te berekenen. 5. Algebraïsche vergelijkingen met wortels en kwadraten exact oplost.

Wat moet je kunnen: Je moet de functie f(x) en de getransformeerde functie g(x) correct interpreteren. Je berekent de x-coördinaat van het randpunt van f(x) en het nulpunt van f(x). Vervolgens gebruik je de gegeven lengte van MC en de stelling van Pythagoras om een vergelijking op te stellen. Deze vergelijking los je exact op voor de factor 'a', waarbij je rekening houdt met de voorwaarde dat 'a' positief is.

Waar op letten: Bepaal eerst de x-coördinaat van het randpunt van f(x) door de uitdrukking onder de wortel gelijk te stellen aan nul. Dit is de x-coördinaat van M.
Bereken vervolgens de x-coördinaat van het snijpunt C met de x-as door f(x) gelijk te stellen aan nul en deze vergelijking op te lossen.
De afstand tussen M en C is gegeven. Gebruik de stelling van Pythagoras om een relatie te vinden tussen de coördinaten van M en C en de lengte van MC. Denk eraan dat de x-coördinaat van M en C verschillen met 5 eenheden.
De functie g(x) ontstaat door f(x) te vermenigvuldigen met 'a' ten opzichte van de x-as. Dit betekent dat g(x) = a * f(x). De y-coördinaat van het randpunt M op de grafiek van g is dus a keer de y-coördinaat van het randpunt van f.
Let op de voorwaarde dat 'a' een positieve factor is bij het oplossen van de vergelijking voor 'a'. Verwerp eventuele negatieve oplossingen.

Kernbegrippen: wortelfuncties, transformaties van grafieken, randpunt, snijpunt met de x-as, afstand tussen twee punten, exact oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten dat de vermenigvuldiging met factor 'a' de hele functie f(x) betreft, dus g(x) = a * f(x).
- Fout bij het berekenen van de afstand tussen M en C, met name het verschil in x-coördinaten.
- Rekenfout bij het oplossen van de vergelijking met kwadraten (Pythagoras).
- Vergeten de negatieve oplossing voor 'a' te verwerpen op basis van de opgave ('positieve factor a').

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/7

## Vraag 8 – Opgave 8 (3 punten)

3p 8 Bereken de snelheid van de wind achter de windmolen in m/s. Geef je eindantwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een complexe vergelijking waarin één variabele onbekend is. Je moet deze vergelijking oplossen met behulp van je grafische rekenmachine (GR).

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van het oplossen van vergelijkingen kennen, met name hoe je een vergelijking kunt invoeren in je GR en de snijpunten kunt vinden. Je moet ook weten hoe je getallen in wetenschappelijke notatie (zoals 10^6) correct invoert.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven waarden correct kunnen substitueren in de formule. Vervolgens moet je de vergelijking kunnen herschrijven naar een vorm die geschikt is voor je GR (bijvoorbeeld Y1 = linkerkant en Y2 = rechterkant). Daarna gebruik je de 'intersect'-functie van je GR om de oplossing te vinden. Tot slot rond je het antwoord af op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Zorg ervoor dat je de wetenschappelijke notatie (bijvoorbeeld 1,21 * 10^6) correct invoert in je GR. Een veelvoorkomende fout is het vergeten van de haakjes of het verkeerd gebruiken van de 'E'-knop.
Let goed op de haakjes in de vergelijking. Voer de vergelijking exact zo in als deze is gegeven om rekenfouten te voorkomen.
Controleer of je GR in de juiste modus staat (hoewel voor dit type vraag meestal niet relevant, is het een goede gewoonte).
Na het vinden van de oplossing met je GR, rond je het antwoord af op één decimaal, zoals expliciet gevraagd in de vraag.
Denk na over het domein: een snelheid kan niet negatief zijn. Controleer of je oplossing logisch is in de context van de vraag.

Kernbegrippen: vergelijking oplossen, formules met variabelen, substitutie van waarden

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect omgaan met 'miljoen' (1,21 * 10^6)
- Fouten bij het invoeren van de complexe vergelijking in de grafische rekenmachine
- Vergeten het antwoord af te ronden op één decimaal zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/8

## Vraag 9 – Opgave 9 (4 punten)

We gaan nu weer kijken naar windmolens in het algemeen.
Een windmolen kan niet alle energie uit de wind halen, want dan zou de lucht achter de windmolen stilstaan. Het blijkt dat de maximale hoeveelheid energie die een windmolen uit de wind kan halen alleen afhangt van de verhouding tussen de windsnelheden vóór en achter de molen, dus de verhouding tussen v en w.
Stel p = w/v, dan kan formule 1 geschreven worden als:
E = * c * v^3 * (1 - p^3 - p^2 + p) (formule 2)
Bij een constante waarde van v is E maximaal als 1 - p^3 - p^2 + p maximaal is.
Voor elke constante c en v wordt de maximale waarde voor E bereikt bij p = .
4p 9 Bewijs dat deze maximale waarde voor E inderdaad bereikt wordt bij p = .

Wat kun je verwachten: Je moet bewijzen dat een bepaalde waarde van 'p' leidt tot een maximale energie 'E'. Dit betekent dat je de functie die de energie bepaalt, moet differentiëren en aantonen dat de afgeleide nul is bij de gegeven waarde van 'p'. Vervolgens moet je ook aantonen dat het inderdaad om een maximum gaat.

Wat moet je kennen: Je moet de regels voor het differentiëren van polynomen kennen. Ook moet je weten hoe je een extreem (maximum of minimum) van een functie kunt vinden door de afgeleide gelijk te stellen aan nul. Daarnaast moet je de methoden kennen om te controleren of een gevonden extreem een maximum is (bijvoorbeeld met een tekenschema van de afgeleide of door de tweede afgeleide te bepalen, hoewel een tekenschema vaak volstaat op HAVO-B).

Wat moet je kunnen: Je kunt een polynoom differentiëren. Je kunt de afgeleide gelijkstellen aan nul en de resulterende vergelijking oplossen. Je kunt een tekenschema van de afgeleide maken om te bepalen of een extreem een maximum of een minimum is. Je kunt je bewijs helder en stapsgewijs opschrijven.

Waar op letten: Let goed op de tekens (+/-) bij het differentiëren van de termen -p^3 en -p^2.
Vergeet niet dat de afgeleide van een constante (zoals de '1' in 1 - p^3 - p^2 + p) nul is.
Nadat je de afgeleide hebt bepaald, moet je aantonen dat deze nul is bij de gegeven waarde van p. Dit doe je door p in de afgeleide in te vullen.
Het is cruciaal om te bewijzen dat het een *maximum* is. Een horizontale raaklijn (afgeleide = 0) kan ook een minimum of een buigpunt zijn. Je kunt dit doen met een tekenschema van de afgeleide rondom de gevonden p-waarde, of door een schets van de grafiek van de afgeleide te maken.
Controleer of de gevonden waarde van p binnen het relevante domein valt (0 < p < 1).

Kernbegrippen: differentiëren, extremen bepalen, afgeleide gelijkstellen aan nul

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten aan te tonen dat het een maximum is (en geen minimum of buigpunt).
- Algebraïsche fouten bij het differentiëren van de polynoom.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/9

## Vraag 10 – Opgave 10 (3 punten)

De maximale waarde voor E noemen we E_max.
De energie van wind met een snelheid v die per seconde wordt opgevangen door een windmolen waarvan c de constante is, wordt gegeven door:
E_wind = * c * v^3
Het maximale percentage van de energie die een windmolen uit de wind kan halen is (E_max / E_wind) * 100%.

Bereken dit percentage. Geef je eindantwoord in hele procenten.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule voor de energie van wind en een formule voor de maximale energie die een windmolen kan opvangen. Je moet een percentage berekenen door deze formules te combineren en te vereenvoudigen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een gegeven waarde (zoals p=1/3) in een formule invult en hoe je vervolgens de formule algebraïsch vereenvoudigt. Ook moet je weten hoe je een verhouding omzet naar een percentage.

Wat moet je kunnen: Je moet de waarde voor p correct invullen in de formule voor E_max. Je moet de uitdrukking voor E_max vervolgens vereenvoudigen. Daarna moet je de verhouding (E_max / E_wind) opstellen en de gemeenschappelijke factoren wegstrepen. Tot slot vermenigvuldig je het resultaat met 100% en rond je af op hele procenten.

Waar op letten: Let goed op de formule voor E_max; deze bevat een variabele 'p' die je moet invullen met de gegeven waarde van 1/3.
Zorg ervoor dat je de haakjes correct uitwerkt en de machten (tot de derde en tweede macht) goed berekent.
Bij het berekenen van de verhouding (E_max / E_wind), let op welke termen je tegen elkaar kunt wegstrepen om de berekening te vereenvoudigen.
Vergeet niet om het uiteindelijke decimale getal te vermenigvuldigen met 100 om het percentage te krijgen.
Rond je eindantwoord af op hele procenten, zoals gevraagd in de vraag.

Kernbegrippen: formules, substitutie, procenten, algebraïsch herleiden

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of afrondingsfouten
- Verkeerd invullen van p=1/3
- Vergeten te vermenigvuldigen met 100%

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/10

## Vraag 11 – Opgave 11 (8 punten)

8p 11 Bereken exact het snijpunt van l met de y-as. Het punt A met x-coördinaat a is een willekeurig punt op de grafiek van f. Het punt B ligt op de x-as en heeft ook x-coördinaat a. Bij elke waarde van a hoort een driehoek OAB. Zie figuur 2 en figuur 3 voor twee mogelijkheden. figuur 2 y A f B a x figuur 3 y A f B a x

Wat kun je verwachten: Je krijgt een functie f(x) en een lijn l met een gegeven richtingscoëfficiënt die de grafiek van f raakt. Je moet het snijpunt van deze lijn met de y-as exact berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet de regels voor differentiëren kennen, in het bijzonder de kettingregel. Ook moet je weten hoe je de vergelijking van een rechte lijn opstelt als je een punt en de richtingscoëfficiënt kent. Je moet ook weten hoe je algebraïsche vergelijkingen oplost, inclusief kwadratische vergelijkingen.

Wat moet je kunnen: Je moet de afgeleide van f(x) kunnen bepalen met de kettingregel. Je moet een vergelijking kunnen opstellen en oplossen om de x-coördinaat van het raakpunt te vinden. Vervolgens moet je de y-coördinaat van het raakpunt kunnen berekenen en daarmee de vergelijking van de raaklijn l kunnen opstellen. Ten slotte moet je uit deze lijnvergelijking het snijpunt met de y-as kunnen aflezen.

Waar op letten: Je moet eerst de afgeleide f'(x) bepalen. Let hierbij goed op de kettingregel, want de functie is van de vorm (g(x))^n.
Je stelt de afgeleide f'(x) gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de lijn l, die in de vraagtekst is gegeven als -2. Dit levert een vergelijking op die je algebraïsch moet oplossen.
Let op dat de vergelijking (2x-1)^2 = 1 twee oplossingen heeft. Je moet controleren welke van deze oplossingen voldoet aan het domein van de functie f.
Nadat je de x-coördinaat van het raakpunt hebt gevonden, bereken je de bijbehorende y-coördinaat door deze x-waarde in te vullen in de oorspronkelijke functie f(x).
Met het raakpunt (x,y) en de richtingscoëfficiënt van de raaklijn (-2) stel je de vergelijking van de lijn l op in de vorm y = ax + b. Het snijpunt met de y-as is dan (0, b).

Kernbegrippen: differentiëren, kettingregel, raaklijn opstellen, vergelijking oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de kettingregel toe te passen bij het differentiëren (factor 2).
- De vergelijking (2x-1)^2 = 1 heeft twee oplossingen, waarvan er één verworpen moet worden op basis van het domein.
- Het eindantwoord is het snijpunt met de y-as, niet de x-coördinaat van het raakpunt of de y-coördinaat van het raakpunt.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/11

## Vraag 12 – Opgave 12 (4 punten)

Het punt A met x-coördinaat a is een willekeurig punt op de grafiek van f. Het punt B ligt op de x-as en heeft ook x-coördinaat a. Bij elke waarde van a hoort een driehoek OAB. Zie figuur 2 en figuur 3 voor twee mogelijkheden.

4p 12 Bereken de minimale lengte van lijnstuk OA. Geef je eindantwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je moet een formule opstellen voor de lengte van lijnstuk OA en vervolgens met je grafische rekenmachine het minimum van deze lengte bepalen. Dit is een typische optimalisatievraag waarbij je een functie moet minimaliseren.

Wat moet je kennen: Je moet de stelling van Pythagoras kennen om de afstand tussen twee punten te berekenen. Ook moet je weten hoe je een functie invoert in je grafische rekenmachine en hoe je het minimum van een functie opzoekt.

Wat moet je kunnen: Je kunt een functie opstellen die de lengte van lijnstuk OA beschrijft in termen van a. Je kunt deze functie correct invoeren in je grafische rekenmachine. Je kunt de vensterinstellingen van je GR aanpassen om de grafiek goed te zien en je kunt de 'minimum'-functie van je GR gebruiken om de minimale lengte te vinden.

Waar op letten: Je gebruikt de stelling van Pythagoras om de lengte van OA uit te drukken. De zijden van de rechthoekige driehoek OAB zijn OB (lengte a) en AB (lengte f(a)).
Je stelt een functie op voor de lengte van OA. Vergeet niet dat de lengte van een lijnstuk altijd positief is, dus je gebruikt de absolute waarde of zorgt ervoor dat je wortel positief is.
Je let goed op het domein van de functie f(x) = 1/(2x-1). De x-coördinaat 'a' moet groter zijn dan 1/2. Dit is belangrijk voor je vensterinstellingen op de GR.
Je voert de functie voor de lengte van OA correct in je grafische rekenmachine in. Controleer of je alle haakjes goed hebt geplaatst, vooral bij de breuk en de wortel.
Je rondt je eindantwoord af op één decimaal, zoals gevraagd in de vraagstelling.

Kernbegrippen: Afstand tussen punten, Stelling van Pythagoras, Functie opstellen, Minimum bepalen met GR

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de wortel te nemen bij de afstandsformule
- Fout bij het invoeren van de functie in de GR
- Niet correct aflezen van het minimum uit de GR

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/12

## Vraag 13 – Opgave 13 (2 punten)

De grafiek van f gaat voor elke waarde van a door het punt (1, 0).
2p 13 Bewijs dit.

Wat kun je verwachten: Je moet aantonen dat de grafiek van een functie, die afhankelijk is van een parameter 'a', altijd door een specifiek punt gaat. Dit doe je door de coördinaten van dat punt in de functie in te vullen en te laten zien dat de vergelijking klopt, ongeacht de waarde van 'a'.

Wat moet je kennen: Je moet de notatie van een functie f(x) kennen en begrijpen wat het betekent als een grafiek door een punt (x, y) gaat. Dit betekent dat als je de x-coördinaat invult in de functie, de y-coördinaat eruit moet komen.

Wat moet je kunnen: Je moet algebraïsche substitutie kunnen uitvoeren. Dat wil zeggen, je vult de x-coördinaat van het gegeven punt in de functie f(x) in en vereenvoudigt de uitdrukking. Je moet dan kunnen laten zien dat de uitkomst gelijk is aan de y-coördinaat van het punt, en dat dit geldt voor elke waarde van de parameter 'a'.

Waar op letten: Je vult de x-coördinaat van het punt (1, 0) in de functie f(x) = ax^2 - a in. Let goed op dat je x = 1 invult en niet a = 1.
Je controleert of de uitkomst van f(1) gelijk is aan de y-coördinaat van het punt, dus 0.
Je laat duidelijk zien hoe de parameter 'a' wegvalt in de berekening, zodat je bewijst dat het voor elke waarde van 'a' geldt.
Je schrijft je stappen duidelijk op, zodat het bewijs goed te volgen is.

Kernbegrippen: functies, substitutie, algebraïsch bewijs, parameters

Veelgemaakte fouten:
- Niet begrijpen dat 'gaat door een punt' betekent dat de coördinaten van dat punt moeten worden ingevuld in het functievoorschrift.
- Vergeten de berekening daadwerkelijk uit te voeren en te laten zien dat er 0 uitkomt.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/13

## Vraag 14 – Opgave 14 (5 punten)

Op hetzelfde domein is de functie g gegeven door g(x) = sin(2πx).
In figuur 2 is de grafiek van g aan figuur 1 toegevoegd.

Het punt T is de eerste top van de grafiek van g met x-coördinaat groter dan 1. Zie figuur 2.
Er is een waarde van a waarvoor de grafiek van f door T gaat.
Bereken exact deze waarde van a.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over goniometrische functies en parabolen. Je moet de coördinaten van een specifieke top van een sinusoïde bepalen en deze vervolgens gebruiken om een parameter in een andere functie exact te berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van de sinusfunctie kennen, zoals de maximale waarde en de periode. Je moet ook weten hoe je goniometrische vergelijkingen oplost en hoe je algebraïsche vergelijkingen met een onbekende parameter oplost.

Wat moet je kunnen: Je moet de x-coördinaat van de toppen van een sinusoïde kunnen bepalen. Je moet de y-coördinaat van een top van een sinusfunctie kunnen aflezen of berekenen. Je moet de gevonden coördinaten kunnen invullen in een andere functie en de resulterende vergelijking exact kunnen oplossen voor de onbekende parameter.

Waar op letten: De top van een sinusfunctie heeft altijd een y-coördinaat van 1 of -1. Voor g(x) = sin(2πx) is de maximale waarde 1.
Je moet de vergelijking sin(2πx) = 1 oplossen. Denk aan de algemene oplossing voor sin(A) = 1, waarbij A = (1/2)π + k * 2π (met k een geheel getal).
Let goed op de periode van de functie g(x) = sin(2πx). De periode P is 2π / B, waarbij B de factor voor x is. Dit helpt je om de juiste x-coördinaat van T te vinden, namelijk de eerste top met x > 1.
Nadat je de coördinaten van T hebt gevonden, vul je deze exact in de functie f(x) = ax^2 - a in. Los de vergelijking die dan ontstaat exact op voor a.
Reken exact door, vermijd tussentijdse afrondingen. Gebruik breuken waar nodig.

Kernbegrippen: goniometrische functies, periode van een sinusoïde, goniometrische vergelijkingen oplossen, algebraïsche vergelijkingen oplossen, coördinaten van een punt op een grafiek, parameter in een functie

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde top van de sinusoïde kiezen (bijv. x=1/4 in plaats van x=1 1/4).
- Reken- of algebrafouten bij het oplossen van de vergelijking voor a.
- Vergeten dat de y-coördinaat van een top van sin(x) gelijk is aan 1.
- Niet exact rekenen, maar een benadering gebruiken.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/14

## Vraag 15 – Opgave 15 (6 punten)

De bijbehorende maten zijn:
- de liggende achtervork: AB = 425 mm;
- de staande achtervork: AF = 542 mm;
- de hoek die de liggende en de staande achtervork met elkaar maken: ∠BAF = 58°;
- de hoek die het verlengde van de stuurbuis DE met het verlengde van AB maakt: ∠BCE = 71°.
De zitbuis BF en de stuurbuis DE zijn bijna evenwijdig. Als ze evenwijdig zouden zijn dan zou de hoek die BF met de lijn door AB maakt even groot moeten zijn als ∠BCE. Deze hoeken verschillen echter.
Bereken dit verschil. Geef je eindantwoord in hele graden.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een meetkundige vraag over een fietsframe, waarbij je hoeken en zijden in een driehoek moet berekenen. Je zult de cosinusregel en/of de sinusregel moeten toepassen om tot het antwoord te komen.

Wat moet je kennen: Je moet de cosinusregel en de sinusregel uit je hoofd kennen en weten wanneer je welke regel toepast. Je moet ook weten hoe je deze regels gebruikt om zowel zijden als hoeken te berekenen. Daarnaast moet je bekend zijn met de instellingen van je grafische rekenmachine voor graden en radialen.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om de juiste goniometrische regel te kiezen op basis van de gegeven informatie (zijden en hoeken). Je moet nauwkeurig kunnen rekenen met je grafische rekenmachine, waarbij je afrondingsfouten voorkomt door niet tussentijds af te ronden. Tot slot moet je het eindantwoord correct afronden op hele graden.

Waar op letten: Je controleert of je rekenmachine is ingesteld op graden (degrees) en niet op radialen, anders krijg je verkeerde hoeken.
Je kiest de juiste goniometrische regel. Je hebt twee zijden en de ingesloten hoek (Z-H-Z) in driehoek ABF, dus je begint met de cosinusregel om de derde zijde te vinden. Daarna gebruik je de sinusregel (of nogmaals de cosinusregel) om de gevraagde hoek te berekenen.
Je rondt pas af bij de laatste stap. Gebruik de volledige, niet-afgeronde waarden van tussenberekeningen in je rekenmachine om afrondingsfouten te voorkomen.
Je zorgt ervoor dat je het eindantwoord afrondt op hele graden, zoals gevraagd in de vraagstelling.
Je identificeert de correcte hoek die je moet berekenen (∠ABF) en trekt daar de gegeven hoek van 71° van af om het verschil te vinden.

Kernbegrippen: cosinusregel, sinusregel, goniometrie in driehoeken

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde goniometrische regel toepassen (bijv. sinusregel ipv cosinusregel of andersom)
- Rekenmachine in radialen in plaats van graden
- Afrondingsfouten bij tussenstappen
- Vergeten het eindantwoord af te ronden op hele graden zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/15

## Vraag 16 – Opgave 16 (6 punten)

figuur 3

Een crank is het verbindingsstuk tussen de trap-as van de fiets en het pedaal. Zie figuur 3.

Cranks bestaan in verschillende lengtes. Een fietser met lange benen heeft baat bij een langere crank. Zo wordt aan iemand met een binnenbeenlengte van 75 cm een cranklengte van 166 mm geadviseerd. Aan iemand met een binnenbeenlengte van 97 cm wordt een cranklengte van 180 mm geadviseerd.

Er is een verband tussen de binnenbeenlengte B in cm en de geadviseerde cranklengte L in mm. Dit verband is te benaderen met een formule van de vorm L = a ⋅ B^n. Met de bovenstaande gegevens bij binnenbeenlengtes 75 cm en 97 cm zijn de waarden van a en n te bepalen.

6p 16 Bereken volgens deze formule de geadviseerde cranklengte in mm bij een binnenbeenlengte van 86 cm. Geef je eindantwoord in hele mm.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een context waarbij je een verband moet opstellen in de vorm L = a ⋅ B^n. Je krijgt twee datapunten (B, L) waarmee je de parameters 'a' en 'n' van de formule moet bepalen. Daarna gebruik je de gevonden formule om een nieuwe waarde te berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet de rekenregels voor machten kennen, met name hoe je vergelijkingen oplost waarbij de onbekende in de exponent staat (met behulp van logaritmen of de GR). Je moet ook weten hoe je een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden oplost.

Wat moet je kunnen: Je moet een stelsel van twee machtsvergelijkingen kunnen opstellen en oplossen om de parameters 'a' en 'n' te vinden. Je moet de grafische rekenmachine (GR) kunnen gebruiken om exponentiële vergelijkingen op te lossen. Tot slot moet je de berekende parameters gebruiken om een voorspelling te doen en het antwoord correct afronden.

Waar op letten: Let goed op de eenheden: B is in cm en L is in mm. De formule is al zo opgesteld dat je deze eenheden direct kunt gebruiken.
Stel de twee vergelijkingen correct op met de gegeven datapunten: a ⋅ 75^n = 166 en a ⋅ 97^n = 180.
Los het stelsel van vergelijkingen algebraïsch op. Een handige methode is om de twee vergelijkingen op elkaar te delen om 'a' te elimineren, zodat je een vergelijking krijgt waarin alleen 'n' voorkomt.
Gebruik je grafische rekenmachine (GR) om de waarde van 'n' te vinden. Dit doe je door de vergelijking in te voeren en de snijpunten te bepalen, of door de 'solver' functie te gebruiken.
Rond de waarden van 'a' en 'n' niet te vroeg af. Gebruik voldoende decimalen in je tussenberekeningen om de nauwkeurigheid van je eindantwoord te garanderen. Het eindantwoord moet in hele mm worden gegeven.

Kernbegrippen: machtsfuncties, stelsel van vergelijkingen oplossen, exponentiële vergelijkingen, modelleren

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd omgaan met de eenheden (cm en mm), hoewel de formule al L in mm en B in cm gebruikt.
- Fouten bij het algebraïsch oplossen van het stelsel, bijvoorbeeld bij het delen van machten.
- Onnauwkeurig doorrekenen met afgeronde tussenwaarden voor a en n.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2022/tijdvak-1/vraag/16

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2022
tijdvak 1
vrijdag 13 mei
13.30 - 16.30 uur

wiskunde B
Achter het correctievoorschrift zijn twee aanvullingen op het correctievoorschrift
opgenomen.

Dit examen bestaat uit 16 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 75 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

HA-1025-a-22-1-o

### Pagina 2

Ga verder op de volgende pagina.

HA-1025-a-o
2 / 13
lees verder ►►►

### Pagina 3

Raaklijn aan cirkel
De cirkel $c$ is gegeven door de vergelijking $x^2 + y^2 = 6x + 6y - 13$. De lijn $l$ met vergelijking $y = 2x + 2$ raakt de cirkel in het punt $A$. Zie figuur 1.

figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as verticaal en de x-as horizontaal. De oorsprong is gemarkeerd met O. Een cirkel c is getekend. Een lijn l snijdt de y-as en raakt de cirkel c in punt A. De lijn l snijdt ook de x-as.]

4p 1 Bereken exact de coördinaten van $A$.

$l$ snijdt de $x$-as in het punt $S$ en de $y$-as in het punt $T$. Cirkel $d$ is de cirkel met middellijn $ST$. Zie figuur 2.

figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as verticaal en de x-as horizontaal. De oorsprong is gemarkeerd met O. Een cirkel c is getekend. Een lijn l snijdt de y-as in punt T en de x-as in punt S. Een tweede cirkel d is getekend met middellijn ST.]

5p 2 Bewijs dat $d$ door $O$ gaat.

HA-1025-a-o
3 / 13
lees verder ► ► ►

### Pagina 4

Versturen van data

Data kan via verschillende kanalen verstuurd worden, bijvoorbeeld via
een kabel of draadloos.

Bij het versturen van data is het belangrijk dat deze foutloos verstuurd
wordt. Data kan foutloos verstuurd worden als de zogeheten
kanaalcapaciteit groot genoeg is.

De kanaalcapaciteit is de maximale hoeveelheid data die per seconde
over een kanaal overgedragen kan worden.
Een formule waarmee de kanaalcapaciteit bepaald kan worden, is
$C=B \cdot \text{log}_{2}(1+R) \quad \text{(formule 1)}$
Hierin is
- $C$ de kanaalcapaciteit in bits per seconde (bps);
- $B$ de bandbreedte in hertz (Hz);
- $R$ de signaal-ruisverhouding.
Deze signaal-ruisverhouding is de verhouding tussen de sterkte van het
gewenste signaal en de sterkte van de aanwezige ruis.

Met de formule
$S=10 \cdot {10}^{10} \text{log}(R) \quad \text{(formule 2)}$

kan $R$ omgerekend worden naar decibel (dB).

5p
3
In 2016 had een goed werkende draadloos-internetverbinding vaak een
bandbreedte van $20 \cdot {10}^{6}$ Hz en een waarde van $S$ van 40 dB.
Bereken met behulp van de bovenstaande formules de kanaalcapaciteit
van deze verbinding. Geef je eindantwoord in miljoenen bps.

HA-1025-a-o
4 / 13
lees verder ►►►

### Pagina 5

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {},
  "figures": [
    "Grafiek met op de y-as C (bps) en op de x-as R. Twee lijnen, een doorlopende en een gestippelde, beginnen bij de oorsprong en lopen omhoog, waarbij de gestippelde lijn steiler is."
  ],
  "keywords": "ruis, signaal, benadering, formule, grafiek, verschil, waarde, bereken, decimalen"
}
```

### Pagina 6

Ook als het signaal veel sterker is dan de ruis, dat wil zeggen voor grote
waarden van R, wordt er in de praktijk vaak met een benadering voor C
gewerkt.
Voor grote waarden van R geldt 1 + R ≈ R. In dat geval kan formule 1
benaderd worden door:
$C=B \cdot ^{2} \log (R) \quad (formule 4)$
In figuur 2 zijn voor een bepaalde waarde van B de grafieken van de
formules 1 en 4 weergegeven, waarbij de grafiek van formule 4 gestippeld
is.
figuur 2
$C (bps)$
100
$
→R
Met behulp van formules 2 en 4 kan voor grote waarden van R de
volgende formule voor C opgesteld worden:
$C=0,332 \cdot B \cdot S$
Het getal 0,332 in deze formule is een afgerond getal.
4p 5 Toon de juistheid van deze formule aan.
HA-1025-a-o
6 / 13
lees verder ► ► ►

### Pagina 7

Wortelfunctie en transformatie
De functie $f$ is gegeven door $f(x) = -8 + 2 \sqrt{3x+9}$.
De grafiek van $f$ snijdt de y-as in het punt $A$. De lijn $l$ raakt de grafiek van
$f$ in $A$. De lijn $l$ snijdt de x-as in het punt $B$. Zie figuur 1.
figuur 1
y

$l$

$f$

$B$

$A$

0
x
Er geldt $OA = OB$.
6p
6
Bewijs dit.
De grafiek van de functie $g$ ontstaat uit de grafiek van $f$ door middel van
een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as met een positieve
factor $a$.
Het punt $M$ is het randpunt van de grafiek van $g$ en het punt $C$ is het
snijpunt van de grafieken van $f$ en $g$ met de x-as. Zie figuur 2.
De lengte van het lijnstuk $MC$ is $6\frac{2}{3}$.
figuur 2

### Pagina 8

Windmolens
Een windmolen kan de bewegingsenergie van de wind omzetten in
elektrische energie. De hoeveelheid elektrische energie die een
windmolen produceert, is afhankelijk van de windsnelheid. Hoe harder het
waait, hoe meer elektrische energie een windmolen kan produceren.
Omdat er energie uit de wind gehaald is en omgezet is in elektrische
energie, is de bewegingsenergie van de wind achter een windmolen
kleiner dan ervoor. Dus is de windsnelheid achter de windmolen ook
kleiner dan de windsnelheid vóór de windmolen.
De energie in joule (J) die een windmolen per seconde produceert, wordt
gegeven door de formule:
$E = \frac{1}{4} \cdot c \cdot v^3 \cdot \left( 1 - \left(\frac{w}{v}\right)^3 - \left(\frac{w}{v}\right)^2 + \left(\frac{w}{v}\right)\right) \quad$ (formule 1)
Hierin is
- E de energie die de molen per seconde produceert in J;
- c een (positieve) constante die hoort bij de windmolen, deze constante
is onder andere afhankelijk van de grootte en vorm van de wieken;
- v de snelheid van de wind vóór de windmolen in m/s.
- w de snelheid van de wind achter de windmolen in m/s.
Bij een wind met een snelheid van 10 m/s vóór de
windmolen produceert de windmolen Amstelvogel in
Ouderkerk aan de Amstel, zie de foto, elke seconde
1,21 miljoen J. De waarde van c die hoort bij deze
windmolen is 5,116.
3p 8 Bereken de snelheid van de wind achter de
windmolen in m/s. Geef je eindantwoord in één
decimaal.
foto
HA-1025-a-o
8/13
lees verder ►►►

### Pagina 9

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": null,
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [],
  "keywords": "windmolens, energie, wind, windsnelheid, formule, afhankelijkheid, maximale waarde, percentage, berekenen, bewijzen"
}
```

### Pagina 10

Hyperbool

Op het domein $\langle\frac{1}{2}, \rightarrow\rangle$ is de functie $f$ gegeven door $f(x) = \frac{1}{2x-1}$.
De lijn $l$ met richtingscoëfficiënt $-2$ raakt de grafiek van $f$. Zie figuur 1.
figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek van een functie in het eerste kwadrant, dalend naar rechts, met een rechte lijn die de grafiek raakt in één punt. De x-as en y-as zijn getekend, met de oorsprong O. De grafiek is gelabeld met 'f' en de raaklijn met 'l'.]
8p 11 Bereken exact het snijpunt van $l$ met de y-as.
Het punt $A$ met x-coördinaat $a$ is een willekeurig punt op de grafiek van $f$.
Het punt $B$ ligt op de x-as en heeft ook x-coördinaat $a$. Bij elke waarde van
a hoort een driehoek $OAB$. Zie figuur 2 en figuur 3 voor twee
mogelijkheden.
figuur 2
[FIGUUR: Een deel van de grafiek van de hyperbool in het eerste kwadrant, dalend naar rechts. De x-as en y-as zijn getekend. Het punt A is op de grafiek getekend. Punt B ligt op de x-as, met dezelfde x-coördinaat als A. Een lijnstuk OA is getekend, evenals een lijnstuk AB, dat verticaal van A naar de x-as loopt. De oorsprong is gelabeld met 'O'. De x-coördinaat van B is 'a'.]
figuur 3
[FIGUUR: Een deel van de grafiek van de hyperbool in het eerste kwadrant, dalend naar rechts. De x-as en y-as zijn getekend. Het punt A is op de grafiek getekend. Punt B ligt op de x-as, met dezelfde x-coördinaat als A. Een lijnstuk OA is getekend, evenals een lijnstuk AB, dat verticaal van A naar de x-as loopt. De oorsprong is gelabeld met 'O'. De x-coördinaat van B is 'a'.]
4p 12 Bereken de minimale lengte van lijnstuk $OA$. Geef je eindantwoord in één
decimaal.
HA-1025-a-o
10/13
lees verder ►►►

### Pagina 11

Parabolen en sinusoïde

Op domein [0, →> is gegeven de functie $f(x) = ax^2 - a$ met $a > 0$.
In figuur 1 is in één assenstelsel voor een aantal waarden van $a$ de
grafiek van $f$ getekend.
figuur 1
y'

O
x

De grafiek van $f$ gaat voor elke waarde van $a$ door het punt (1, 0).
2p 13 Bewijs dit.
Op hetzelfde domein is de functie $g$ gegeven door $g(x) = \sin(2\pi x)$.
In figuur 2 is de grafiek van $g$ aan figuur 1 toegevoegd.
figuur 2
y'
g
T

O
x

Het punt $T$ is de eerste top van de grafiek van $g$ met $x$-coördinaat groter
dan 1. Zie figuur 2.
Er is een waarde van $a$ waarvoor de grafiek van $f$ door $T$ gaat.
5p 14 Bereken exact deze waarde van $a$.

HA-1025-a-0
11/13
lees verder ►►►


### Pagina 12

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "Fiets",
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [
    "Een afbeelding van een fiets.",
    "Een schematische tekening van een fietsframe met hoeken en lengtes aangeduid."
  ],
  "keywords": "fiets, framegeometrie, hoeken, lengtes, achtervork, stuurbuis, zitbuis, berekening, wiskunde, geometrie"
}
```

### Pagina 13

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "n.v.t.",
    "year": "n.v.t.",
    "tijdvak": "n.v.t."
  },
  "figures": [
    "Afbeelding van een fiets-crankstel met de tekst \"crank\" ernaast.",
    "Nummer \"13 / 13\" en het woord \"einde\" met een zwart vierkantje."
  ],
  "keywords": "crank, fiets, trap-as, pedaal, binnenbeenlengte, cranklengte, formule, berekenen, eindantwoord"
}
```