# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2021 tijdvak 3

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2021/tijdvak-3

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2021
tijdvak 3
donderdag 8 juli
9.00 - 12.00 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 17 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1025-a-21-3-o

### Pagina 2

Transistors en opslagcapaciteit
In een smartphone zit een
processor. Zo’n processor bestaat
meestal uit veel uiterst kleine
transistors. Het aantal transistors
in een processor is in de loop van
de jaren enorm toegenomen.
Een producent van smartphones bracht in september 2013 een telefoon
op de markt met een processor die 1 miljard transistors bevatte. Diezelfde
producent heeft elk opvolgend jaar, steeds in september, een nieuwe
telefoon uitgebracht. In 2018 bracht deze producent een telefoon uit met
een processor die 6,9 miljard transistors bevatte. Neem aan dat het aantal
transistors in een processor in de tussentijd exponentieel groeide en dat
deze groei zich in de jaren daarna voortzette. Je kunt dan voor de
telefoon die de producent in 2021 uitbrengt, berekenen hoe groot het
aantal transistors is dat de processor van die telefoon zal bevatten.
Bereken dit aantal in miljarden. Geef je eindantwoord als geheel getal.
3p 1
Op 1 januari 1992 was de prijs per miljoen transistors 222 dollar. Vanaf
dat moment nam de prijs per miljoen transistors af met 32% per jaar.
Er komt een moment dat de prijs per miljoen transistors voor het eerst
minder is dan 0,1 dollarcent, dus minder dan 0,001 dollar.
4p 2
Bereken in welk jaar dat het geval is.
Als je een computerbestand opslaat, dan komt zo’n bestand bijvoorbeeld
op een harde schijf (harddisk) terecht. De opslagcapaciteit van een
harde schijf is het aantal GB (gigabyte) dat op die schijf kan worden
opgeslagen.
Op basis van de opslagcapaciteit van een harde schijf en de prijs van de
schijf kun je berekenen wat de prijs per GB is.
Deze prijs per GB is in de afgelopen jaren enorm gedaald. In de figuur is
deze prijsdaling te zien. Op de verticale as is log(p) uit te zetten. Hierin is p
de prijs per GB in dollars.
HA-1025-a-o
2 / 13
lees verder ►

### Pagina 3

figuur
log(p)
13
1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016
-1
-2
+jaartal
In het jaar 2004 was het heel gebruikelijk om te werken met een harde
schijf van 250 GB. In 2013 waren harde schijven van 2 TB (terabyte)
gebruikelijk. Er geldt: 1 TB = 1000 GB.
Met deze gegevens kun je berekenen hoeveel procent goedkoper een
harde schijf van 2 TB uit 2013 was dan een harde schijf van 250 GB
uit 2004.
4p
3
Bereken dit percentage. Geef je eindantwoord als geheel getal.

### Pagina 4

Het zelfde snijpunt met de y-as

De functies f en g worden gegeven door:
f(x) = x3 − x2 − 7x − 29
g(x) = (x2 + x − 2)(x − 3)
De grafieken van f en g snijden elkaar in twee punten. Dit zijn de punten
A en B.
De lijn door A en B snijdt de y-as in het punt S.

7p 4

Het snijpunt van de grafiek van g met de y-as is het punt T.
Bewijs dat S en T dezelfde y-coördinaat hebben.

HA-1025-a-o
4 / 13
lees verder ► ► ►

### Pagina 5

Twee transformaties
De functie $f$ wordt gegeven door $f(x)=2\sqrt{3x-4}$.
De lijn $l$ heeft vergelijking $y=\frac{3}{4}x$.
Lijn $l$ wordt $c$ eenheden omhoog geschoven. Hierdoor ontstaat de lijn $m$
die een raaklijn is aan de grafiek van $f$. Zie figuur 1.
figuur 1
[FIGUUR: Grafiek met y-as en x-as. Een kromme (functie f) begint op de x-as en loopt omhoog. Een rechte lijn (lijn l) gaat door de oorsprong en snijdt de kromme. Een andere rechte lijn (lijn m) is een raaklijn aan de kromme f, hoger op de grafiek.]
8p 5 Bereken exact met behulp van differentiëren de waarde van $c$.
Lijn $l$ heeft twee punten gemeenschappelijk met de grafiek van $f$.
Door lijn $l$ te vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as met factor $p$
ontstaat een nieuwe lijn. Er is één waarde van $p$ met $p > 0$ waarvoor die
niewue lijn precies één punt gemeenschappelijk heeft met de grafiek
van $f$. Deze situatie is weergegeven in figuur 2.
figuur 2
[FIGUUR: Grafiek met y-as en x-as. Een kromme (functie f) begint op de x-as en loopt omhoog. Een rechte lijn (lijn l) gaat door de oorsprong en snijdt de kromme. Een andere rechte lijn, die ontstaat door lijn l te schalen ten opzichte van de x-as, raakt de kromme f.]
6p 6 Bereken exact deze waarde van $p$.

### Pagina 6

Bouwkraan
In de zesde eeuw voor Christus vonden de Grieken de bouwkraan uit,
waarmee je zware voorwerpen kunt optakelen.
In de figuren 1a tot en met 1d zie je dat een blok wordt opgetakeld en
2,5 meter verderop op een stapel blokken wordt neergelaten.
figuur 1
a
Q
9 m
12 m
R
2,5 m
5,5 m
b
Q
9 m
12 m
R
2,5 m
5,5 m
C
Q
9 m
12 m
5,5 m
2,5 m
d
Q
9 m
12 m
5,5 m
2,5 m
De kraan bestaat uit:
een paal RQ van 9 meter, die kan scharnieren om R;
een kabel PQ met een lengte die aangepast kan worden;
een kabel recht omlaag vanuit Q met een lengte die aangepast kan
worden.
Verder geldt:
de afstand tussen P en R is 5,5 meter;
het te verplaatsen blok hangt aan de kabel ergens onder Q.
De verplaatsing gaat als volgt:
Het blok in figuur 1a takelt men omhoog door de kabel onder Q korter
te maken. Hierdoor ontstaat de situatie van figuur 1b.
Vervolgens maakt men kabel PQ langer, waardoor paal RQ linksom
scharniert en het blok naar links beweegt. Zo ontstaat de situatie van
figuur 1c.
Ten slotte laat men het blok recht omlaag zakken door de kabel
onder Q weer langer te maken. Zo ontstaat de situatie van figuur 1d.
HA-1025-a-o
6/13
lees verder

### Pagina 7

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": null,
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [
    "Schematische weergave van een beginsituatie met punten Q, R, S en P. Er is een rechte hoek bij S. De lengtes van QR (9) en RP (5,5) zijn aangegeven. De lengte van QP is 12."
  ],
  "keywords": "bouwkraan, geometrie, hoeken, afstanden, berekeningen, algebraïsch, decimaal, lengte, situatie, figuur"
}
```

### Pagina 8

Prooidieren en roofdieren
Er bestaan wiskundige modellen die het verband aangeven tussen
aantallen prooidieren en roofdieren. Deze modellen worden
prooi-roofdier modellen genoemd.
Als er in een gebied veel prooidieren zijn, dan zal na verloop van tijd het
aantal roofdieren in dat gebied sterk toenemen, omdat die zich voldoende
kunnen voeden met de prooidieren. Door die toename van het aantal
roofdieren zal het aantal prooidieren teruglopen. Hierdoor kunnen de
roofdieren minder voedsel vinden en zullen zij in aantal afnemen. Als
gevolg daarvan zal het aantal prooidieren weer toenemen. En daarmee
begint deze cyclus weer opnieuw. In figuur 1 wordt een model van zo'n
cyclus weergegeven.
figuur 1
aantal
dieren
10000
8000
prooidieren
6000
4000
roofdieren
2000
0
2
4
6
8
10
12
14
→ tijd t (in jaren)
De grafieken van het aantal roofdieren en het aantal prooidieren zijn in dit
model sinusoiden.
4p
9
Stel op algebraïsche wijze een functievoorschrift voor r op waarmee je het
aantal roofdieren r in figuur 1 kunt berekenen als functie van de tijd t in
jaren.
HA-1025-a-o
8/13
lees verder

### Pagina 9

In de rest van deze opgave gaan we uit van een ander
prooi-roofdiermodel:
p(t) = 4800 + 3400 · sin(1/4 π(t − 3))
r(t) = 2500 + 1300 · cos(1/4 π(t + 1))
Hierin is p het aantal prooidieren, r het aantal roofdieren en t de tijd in
jaren. In figuur 2 zijn de grafieken van p en r geschetst.
figuur 2
aantal
dieren
roofdieren

tijd
3p
10
In elke periode is er één moment waarop de groeisnelheid van het aantal
prooidieren maximaal is. In het bijbehorende punt op de grafiek is de
helling dus maximaal.
Bereken deze maximale groeisnelheid. Geef je eindantwoord in gehele
honderdtallen prooidieren per jaar.
lemand zegt: "Op de momenten dat er 4300 prooidieren zijn, zijn er
... roofdieren of ... prooidieren."
4p
11
Bereken welke twee getallen op de plaats van de puntjes moeten staan,
zodat de uitspraak juist is. Geef deze getallen in gehele honderdtallen.
HA-1025-a-o
9 / 13
lees verder

### Pagina 10

Raaklijn aan cirkel
De cirkel c heeft vergelijking $x^2 + y^2 = 25$. Het middelpunt van c is O.
Het punt P(-3,-4) ligt op c. De lijn l is de raaklijn aan de cirkel in P.
Lijn l snijdt de x-as in het punt S. Cirkel c snijdt de x-as in de
punten A en B. Zie figuur 1.
figuur 1
[FIGUUR: Coördinatenstelsel met de oorsprong O. Een cirkel c met middelpunt O en straal 5. De cirkel snijdt de x-as in de punten A en B, en de y-as in punten C en D (niet getoond). Een punt P ligt op de cirkel in het derde kwadrant. Een lijn l raakt de cirkel in punt P en snijdt de x-as in punt S. De lijn l staat ook op de x-as.]
Een vergelijking van l is $y = - \frac{3}{4} x - 6 \frac{1}{4}$.
3p 12 Bewijs dat $y = - \frac{3}{4} x - 6 \frac{1}{4}$ inderdaad een vergelijking van l is.
Er geldt $AS \cdot BS = PS^2$.
5p 13 Bewijs dat voor de situatie van figuur 1 inderdaad geldt $AS \cdot BS = PS^2$.
HA-1025-a-o
10 / 13
lees verder ► ► ►

### Pagina 11

De gelijkheid $AS \cdot BS = PS^2$ geldt algemener, namelijk voor elke situatie
waarin geldt:
– A, B en P zijn drie willekeurige punten op een cirkel;
– het punt S is het snijpunt van de lijn door A en B met de raaklijn aan
de cirkel in P.
In figuur 2 is de cirkel d met middelpunt $M(5, 4)$ en straal 3 weergegeven.
De punten A, B en P zijn drie punten op de cirkel.
De lijn m is de raaklijn aan de cirkel in P. Het punt S is het snijpunt van
lijn m en de lijn door A en B. Verder is gegeven dat $AB = 4$ en $BS = 3$.
Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 2
y
m
3
P
d
M
4
B
X
O
4p 14 Bereken exact de afstand tussen punt S en cirkel d. Je kunt hierbij de
figuur op de uitwerkbijlage gebruiken.
HA-1025-a-o
11 / 13
lees verder ► ► ►

### Pagina 12

Logaritmen en snijpunten
De functies $f$ en $g$ worden gegeven door
$f(x) = \log(2x - 4)$
$g(x) = \log(6 - x)$
Beide grafieken hebben een verticale asymptoot. Het punt $S$ is het
snijpunt van de grafieken van $f$ en $g$. Zie figuur 1.
figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. Twee curves, genaamd f en g, snijden elkaar in punt S. Er zijn verticale stippellijnen die de asymptoten aangeven.]
De afstand van $S$ tot de asymptoot van de grafiek van $g$ is groter dan de
afstand van $S$ tot de asymptoot van de grafiek van $f$.
5p 15 Bereken exact hoeveel keer zo groot.
De lijn met vergelijking $x = a$ ligt rechts van $S$ en snijdt de grafieken
van $f$ en $g$ in de punten $P$ en $Q$. De waarde van $a$ is zo gekozen dat de
lengte van lijnstuk $PQ$ gelijk is aan 1. Zie figuur 2.
figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. Twee curves, genaamd f en g, snijden elkaar in punt S. Een verticale lijn x=a snijdt de curve f in punt P en de curve g in punt Q. De lengte van PQ is aangegeven als 1.]
5p 16 Bereken exact de waarde van $a$.
HA-1025-a-o
12 / 13
lees verder ►►►

### Pagina 13

Maximale richtingscoëfficiënt
Op het domein $\langle 0, \rightarrow \rangle$ wordt de functie $f$ gegeven door:
$f(x)=3-\frac{1}{x^2}-x$
Het punt $P$ ligt op de grafiek van $f$. De $x$-coördinaat van $P$ is $p$.
De $y$-coördinaat van $P$ is dus $f(p)$.
De lijn $l$ gaat door de oorsprong $O$ en door $P$. De richtingscoëfficiënt van $l$
noemen we $a$. Er geldt:
$\qquad a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(p)}{p}$
In de figuren 1 en 2 is lijn $l$ voor twee posities van $P$ getekend. In figuur 2
is $a$ groter dan in figuur 1.
figuur 1
y
$f(p)+$
$O$
$p$
$l$
$\Delta x$
$f$
X
figuur 2
y
$f(p)+$
$P$
$\Delta y$
$l$
f
X
Er is een waarde van $p$ waarvoor $a$ maximaal is. Deze waarde van $p$ kun
je berekenen door eerst $a$ uit te drukken in $p$.
5p 17 Bereken exact de waarde van $p$ waarvoor $a$ maximaal is.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.
HA-1025-a-o
13/13
einde