# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2021 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2021/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 18

### Vraag 19 – Opgave 19

### Vraag 20 – Opgave 20

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2021
tijdvak 2
dinsdag 22 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 20 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redener worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1025-a-21-2-o

### Pagina 2

Ga verder op de volgende pagina.



















HA-1025-a-21-2-o
2/13
lees verder

### Pagina 3

Rakende grafieken
De functie $f$ is gegeven door $f(x) = rac{1}{\sqrt{3x+1}}-2$. De grafiek van $f$ snijdt de
x-as in punt $A$ en de y-as in punt $B$. Zie figuur 1.
figuur 1
[FIGUUR: Een assenstelsel met de grafiek van functie f. De grafiek snijdt de x-as in punt A en de y-as in punt B.]
4p 1 Bereken exact de afstand tussen $A$ en $B$.
De functie $g$ is gegeven door $g(x) = -2x^2 + 3x + p$. De grafieken van $f$ en
g raken elkaar in het punt $C$. Zie figuur 2.
De x-coördinaat van $C$ noemen we $x_C$
en er geldt: $x_C \approx 0,81$.
3p 2 Bereken $p$. Geef je eindantwoord in één
decimaal.
Dat de grafieken van $f$ en $g$ elkaar
raken in punt $C$ betekent dat de helling
van beide grafieken in dat punt gelijk is.
De x-coördinaat van $C$ is hierboven in
twee decimalen benaderd.
6p 3 Bereken met behulp van differentiëren
de waarde van $x_C$ nauwkeuriger. Geef
je eindantwoord in drie decimalen.
figuur 2
[FIGUUR: Een assenstelsel met de grafieken van functie f en g. De grafieken raken elkaar in punt C.]
HA-1025-a-21-2-o 3 / 13 lees verder

### Pagina 4

Stedelijke gebieden
De Amerikaan Bettencourt heeft onderzoek gedaan naar een mogelijk
verband tussen het aantal inwoners $N$ en de lengte van het wegennet $W$
in mijlen in een stedelijk gebied. Om van een aantal stedelijke gebieden
de gegevens in één figuur duidelijk te kunnen weergeven is van elk
gebied $\log(W)$ uitgezet tegen $\log(N)$. Het resultaat is de puntenwolk in
de figuur.
figuur
6.0
$\,\log(W)$
5.5
5.0
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
0
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
→ $\log(N)$
Bettencourt heeft een verband tussen $\log(W)$ en $\log(N)$ opgesteld. In de
figuur is de lijn $l$ getekend die dit verband weergeeft. Deze figuur staat
ook op de uitwerkbijlage.
3p
4
Bepaal met behulp van lijn $l$ op de uitwerkbijlage de lengte van het
wegennet in een gebied met 1 miljoen inwoners. Geef je eindantwoord in
honderden mijlen.
HA-1025-a-21-2-o
4/13
lees verder

### Pagina 5

Een formule voor $I$ is van de vorm
$\log(W) = a \cdot \log(N) + b$ (1)

Uit de figuur volgt dat een gebied met 100 000 inwoners een wegennet
heeft van ongeveer 650 mijl en een gebied met 10 000 000 inwoners een
wegennet heeft van ongeveer 31 000 mijl.
4p 5 Bereken $a$ en $b$ met behulp van deze gegevens. Geef de getallen in je
eindantwoord in twee decimalen.

In zijn onderzoek komt Bettencourt tot de formule:
$W = 0,043 \cdot N^{\frac{5}{4}}$ (2)

Voor de volgende vraag vergelijken we twee stedelijke gebieden met
elkaar: gebied A en gebied B. Voor gebied B geldt dat het twee keer
zoveel inwoners heeft als gebied A.
3p 6 Bereken met behulp van formule (2) hoeveel procent de lengte van het
wegennet van gebied B groter is dan de lengte van het wegennet van
gebied A. Geef je eindantwoord in hele procenten.

De verhouding tussen $N$ en $W$ wordt verkeersdruk $D$ genoemd.
Dus:
$\frac{N}{W} = D$ (3)

Hierin is $D$ het aantal inwoners per mijl.

In de praktijk geldt: als in een stedelijk gebied het aantal inwoners
toeneemt, neemt de verkeersdruk ook toe (ondanks de toename van de
lengte van het wegennet).

Voor $D$ moet dus gelden dat de grafiek van $D$ als functie van $N$ stijgend is.
In drie stappen kan dit worden onderzocht:
a Druk $D$ met behulp van de formules (2) en (3) uit in $N$.
b Bepaal de afgeleide $\frac{dD}{dN}$ van de bij stap a gevonden formule.
c Onderzoek of deze afgeleide voor alle waarden van $N$ groter is dan 0.

4p 7 Onderzoek met dit stappenschema of de grafiek van $D$ als functie van $N$
inderdaad stijgend is.

HA-1025-a-21-2-o
5/13
lees verder

### Pagina 6

Rechthoek om cirkels
Cirkel $c_1$ met middelpunt $M_1$ wordt gegeven door $x^2 + (y-3)^2 = 9$.
Cirkel $c_2$ met straal 2 en middelpunt $M_2$ raakt $c_1$.
De twee cirkels worden omsloten door een rechthoek $ABCD$ zodanig dat:
– de hoekpunten $A$ en $B$ op de $x$-as liggen;
– de lengte van zijde $AD$ gelijk is aan de diameter van $c_1$;
– $c_1$ de zijden $AB$, $CD$ en $AD$ raakt;
– $c_2$ de zijden $BC$ en $CD$ raakt.
Zie figuur 1. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 1
[FIGUUR: Schematische weergave van twee cirkels, $c_1$ en $c_2$, ingesloten in een rechthoek $ABCD$. Cirkel $c_1$ met middelpunt $M_1$ raakt de zijden $AB$ en $AD$ van de rechthoek, en de $x$-as. Cirkel $c_2$ met middelpunt $M_2$ raakt de zijde $BC$ en $CD$ van de rechthoek, en cirkel $c_1$. De assen $x$ en $y$ zijn getekend. De punten $A$, $B$, $C$, $D$ zijn aangegeven. Het middelpunt $M_1$ ligt op de $y$-as.]
5p 8 Bereken exact de coördinaten van $M_2$. Je kunt hierbij gebruik maken van
de figuur op de uitwerkbijlage.
HA-1025-a-21-2-o
6 / 13
lees verder

### Pagina 7

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": null,
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "transcription": "Verder is gegeven cirkel $c_3$ met middelpunt $M_3$. Deze cirkel raakt $c_2$ en\nde zijden $AB$ en $BC$. Zie figuur 2.\nfiguur 2\n[FIGUUR: Een assenstelsel met een grote cirkel $c_1$ in het eerste kwadrant die de y-as raakt bij (0,0) en de x-as raakt bij (0,0). Het middelpunt van $c_1$ is $M_1$. Een kleinere cirkel $c_2$ raakt $c_1$ en de x-as en de y-as. Een nog kleinere cirkel $c_3$ raakt $c_2$, de x-as en de y-as. Een driehoek met hoekpunten $M_2$, $M_3$ en $N$ is getekend, waarbij $N$ op de y-as ligt en $M_3$ op de x-as. De hoek $\\alpha$ is getekend bij $M_3$.]\n\nIn figuur 2 is ook de driehoek $M_2M_3N$ aangegeven, waarbij punt $N$\ndezelfde $x$-coördinaat heeft als $M_3$ en dezelfde $y$-coördinaat als $M_2$.\nIn driehoek $M_2M_3N$ is $\\alpha = \angle M_2M_3N$ en is hoek $N$ een rechte hoek.\nEr geldt:\n$$ \\sin(\\alpha) = \\frac{2-r}{r+2} $$\nHierin is $r$ de straal van $c_3$. Zie figuur 2.\n3p 9 Bewijs de juistheid van deze formule.",
  "figures": [
    "Een assenstelsel met een grote cirkel c1 in het eerste kwadrant die de y-as raakt bij (0,0) en de x-as raakt bij (0,0). Het middelpunt van c1 is M1. Een kleinere cirkel c2 raakt c1 en de x-as en de y-as. Een nog kleinere cirkel c3 raakt c2, de x-as en de y-as. Een driehoek met hoekpunten M2, M3 en N is getekend, waarbij N op de y-as ligt en M3 op de x-as. De hoek $\\alpha$ is getekend bij M3."
  ],
  "keywords": "cirkel, middelpunt, raakt, zijden, figuur, driehoek, coördinaat, straal, bewijs, formule"
}
```

### Pagina 8

Exoten en rodeliistsoorten
De bruine rat, de Japanse oester en de Amerikaanse vogelkers zijn
voorbeelden van dier- en plantensoorten die oorspronkelijk niet in
Nederland voorkwamen, maar die bewust of onbewust door de mens in
Nederland zijn ingevoerd. Zulke soorten worden exoten genoemd.
In figuur 1 is voor de periode 1910 – 2000 eens per tien jaar, telkens op
1 januari van het aangewezen jaar, het aantal exoten in Nederland
weergegeven. In deze figuur is ook een grafiek weergegeven die de
ontwikkeling van deze aantallen benadert.
figuur 1
aantal
exoten
140
↑
120
100
80
60
40
20
0
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
→ jaar
Uit figuur 1 valt af te lezen dat het aantal exoten in Nederland in de
periode van 1 januari 1910 tot 1 januari 1950 van 22 tot 46 is
toegenomen.
Neem aan dat het aantal exoten sinds 1 januari 1910 exponentieel is
gegroeid. Dan volgt uit de gegevens voor de periode 1910 – 1950 dat dit
aantal elke tien jaar met ongeveer 20% is toegenomen.
4p 10
Bereken met behulp van de gegevens van 1910 en 1950 dat percentage
nauwkeuriger. Geef je eindantwoord in één decimaal.
We gaan bij de volgende vraag uit van een toename van 20% per tien
jaar.
4p 11
Bereken na hoeveel jaar het aantal exoten volgens de bovenstaande
exponentiële groei voor het eerst verdubbeld is. Geef je eindantwoord in
hele jaren.
HA-1025-a-21-2-0
8/13
lees verder

### Pagina 9

Er bestaat een zogenaamde rode lijst van diersoorten in Nederland die
met uitsterven bedreigd worden. Daarom worden deze diersoorten ook
wel rodelijstsoorten genoemd.
In figuur 2 is de ontwikkeling van de rodelijstsoorten in de periode
1997 – 2012 te zien. Hierbij zijn de aantallen aangegeven als percentage
ten opzichte van het aantal in 1997.
In figuur 2 is ook een rechte lijn getekend die de ontwikkeling van het
aantal rodelijstsoorten benadert. Volgens deze benadering neemt het
aantal rodelijstsoorten vanaf 1997 lineair af.
Figuur 2 staat ook vergroot op de uitwerkbijlage.
figuur 2
150
percentage t.o.v.
1997 (%)
100
50
1997
2000
2002
2004
2006
2008
2010
2012
2014
jaar
In 2004 was het werkelijke aantal rodelijstsoorten 694.
Met behulp van de lineaire afname volgens de getekende rechte lijn werd
in 2013 een voorspelling gedaan voor het aantal rodelijstsoorten in 2020.
Het daadwerkelijke aantal rodelijstsoorten in 2020 bleek 551 te zijn. Dit
aantal is duidelijk hoger dan het aantal volgens de voorspelling.
Bereken hoeveel het daadwerkelijke aantal rodelijstsoorten in 2020
verschilt met de voorspelling volgens de rechte lijn. Gebruik hiervoor de
figuur op de uitwerkbijlage.
5p 12

### Pagina 10

Drie snijpunten

Op het domein [0, 3π] is de functie f gegeven door
$f(x) = -1 + 2\sin(x - \frac{2}{3}\pi)$
Op het gegeven domein is het punt P de eerste top rechts van de y-as
van de grafiek van f. Zie de figuur.
figuur
y

A
B
C
O
$3\pi$
x
P
4p 13 Bereken exact de coördinaten van P.
De punten A, B en C zijn de drie snijpunten van de grafiek van f met de
x-as. Lijnstuk BC is a keer zo lang als lijnstuk AB.
5p 14 Bereken exact de waarde van a.
HA-1025-a-21-2-o 10 / 13 lees verder

### Pagina 11

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "wiskunde",
    "year": "2021",
    "tijdvak": "2"
  },
  "figures": [
    "Een grafiek van een functie met de x-as en y-as. De functie heeft een verticale asymptoot aan de linker kant en een kromming naar beneden aan de rechter kant. Twee punten A en B liggen op de x-as. Een punt S ligt op de x-as links van de oorsprong O, met een verticale gestippelde lijn erdoor. De oorsprong O is gemarkeerd. Er is ook een punt A dat op de x-as ligt en de grafiek snijdt."
  ],
  "keywords": "functie, logaritme, asymptoten, x-as, snijpunten, domein"
}
```

### Pagina 12

In de schijnwerper
foto
Een lichtspot geeft een bundel licht. Zie de foto.
Voor de lichtbundel van een bepaalde lichtspot geldt dat in
een zijaanzicht de buitenste lichtstralen een hoek van 50° met
elkaar maken. Zie figuur 1.
Deze lichtspot hangt 300 cm boven een vloer. Als de
lichtbundel recht naar beneden wordt gericht, ontstaat op de
vloer een cirkelvormige lichtvlek. In figuur 2 is een zijaanzicht
van deze situatie schematisch weergegeven. Hierin is S de lichtspot.
figuur 1
50°
figuur 2
S
25° 25°
300
3p 18 Bereken de oppervlakte van de cirkelvormige lichtvlek. Geef je
eindantwoord in gehele cm².
HA-1025-a-21-2-0
12 / 13
lees verder

### Pagina 13

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "n.v.t.",
    "year": "n.v.t.",
    "tijdvak": "n.v.t."
  },
  "figures": [
    "Schematische weergave van een lichtbundel die een lichtvlek op een vloer projecteert. De lichtbundel ontspringt vanuit punt S en op de vloer bevindt zich een lichtvlek PQ. De afstand van S tot de vloer (loodrecht gemeten) is 300. Er zijn verschillende hoeken aangegeven: 25°, 50° en α."
  ],
  "keywords": "lichtspot, lichtbundel, vloer, zijaanzicht, lichtvlek, hoek, sinusregel, driehoek, graden, berekenen"
}
```