# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2021 tijdvak 1 > Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1 ## Vraag 1 – Opgave 1 (4 punten) 1 y f X 4p 1 Bereken exact de helling van de grafiek van f in O. Het functievoorschrift van f is ook anders te schrijven, namelijk: f(x) = (4x)/(4x-3) De functie g wordt gegeven door g(x) = √(x). De grafieken van f en g hebben twee punten gemeenschappelijk, O en B. Zie figuur 2. figuur 2 y f B Wat kun je verwachten: Je krijgt een functie f(x) en je moet de helling van de grafiek in een specifiek punt berekenen. Dit betekent dat je eerst de afgeleide van de functie moet bepalen en daarna de gegeven x-waarde in de afgeleide invult. Wat moet je kennen: Je moet de regels voor differentiëren kennen, in het bijzonder de kettingregel en hoe je machten met negatieve exponenten differentieert. Je moet ook weten dat de afgeleide van een functie de helling van de raaklijn aan de grafiek in een punt geeft. Wat moet je kunnen: Je moet een gebroken functie kunnen herschrijven naar een vorm met een negatieve exponent. Je moet de kettingregel correct kunnen toepassen bij het differentiëren van deze functie. Tot slot moet je de berekende x-waarde (in dit geval x=0) correct kunnen invullen in de afgeleide functie om de helling te vinden. Waar op letten: Herschrijf de functie f(x) eerst naar een vorm met een negatieve exponent, bijvoorbeeld (4x-3)^-1, om het differentiëren te vergemakkelijken. Pas de kettingregel correct toe: differentieer eerst de 'buitenste' functie (de macht) en vermenigvuldig dit daarna met de afgeleide van de 'binnenste' functie (de term tussen haakjes). Vergeet de afgeleide van de constante term niet (deze is 0). Let goed op de tekens (+/-) bij het differentiëren van de macht en bij de vermenigvuldiging met de afgeleide van de binnenkant. Vul de x-waarde (x=0) zorgvuldig in de afgeleide functie in en vereenvoudig de uitkomst tot een exacte breuk. Gebruik geen decimalen, tenzij expliciet gevraagd. Kernbegrippen: differentiëren, kettingregel, helling van een grafiek, gebroken functies Veelgemaakte fouten: - Vergeten de kettingregel toe te passen (de factor 4). - Een rekenfout maken bij het invullen van x=0. - De quotiëntregel gebruiken op de alternatieve vorm f(x) = 4x/(4x-3) en daar een fout in maken. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/1 ## Vraag 2 – Opgave 2 (6 punten) Het functievoorschrift van f is ook anders te schrijven, namelijk: f(x) = (4x)/(4x-3) De functie g wordt gegeven door g(x) = √(x). De grafieken van f en g hebben twee punten gemeenschappelijk, O en B. Zie figuur 2. Bereken exact de x-coördinaat van B. Wat kun je verwachten: Je moet de x-coördinaat van het snijpunt B berekenen. Dit betekent dat je de vergelijking f(x) = g(x) algebraïsch moet oplossen. Je zult te maken krijgen met een wortel en een breuk, die je moet elimineren door middel van kwadrateren en vermenigvuldigen. Uiteindelijk leidt dit tot een kwadratische vergelijking die je met de abc-formule kunt oplossen. Wat moet je kennen: Je moet de regels voor het oplossen van vergelijkingen kennen, inclusief het omgaan met breuken en wortels. Je moet ook de abc-formule uit je hoofd kennen en correct kunnen toepassen. Daarnaast is het belangrijk dat je weet hoe je haakjes uitwerkt, zoals (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. Wat moet je kunnen: Je moet de vergelijking f(x) = g(x) kunnen opstellen. Je moet stappen kunnen zetten om de wortel en de breuk te elimineren, bijvoorbeeld door te kwadrateren en kruislings te vermenigvuldigen. Je moet de resulterende kwadratische vergelijking kunnen herleiden tot de standaardvorm ax^2 + bx + c = 0. Vervolgens moet je de abc-formule correct kunnen toepassen om de oplossingen voor x te vinden. Tot slot moet je je oplossingen controleren in de oorspronkelijke vergelijking om extrane oplossingen uit te sluiten en de juiste x-coördinaat van B te kiezen. Waar op letten: Stel de vergelijking f(x) = g(x) correct op: (4x)/(4x-3) = sqrt(x). Wees voorzichtig met kwadrateren: als je beide kanten van een vergelijking kwadrateert, kunnen er 'extrane' oplossingen ontstaan die niet voldoen aan de oorspronkelijke vergelijking. Controleer je antwoorden dus altijd in de oorspronkelijke vergelijking. Let op het domein van de functies: g(x) = sqrt(x) is alleen gedefinieerd voor x >= 0. Ook mag de noemer van f(x) niet nul zijn, dus x mag geen 3/4 zijn. Werk haakjes correct uit, met name bij (4x-3)^2. Denk aan (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. Zorg ervoor dat je de kwadratische vergelijking herleidt naar de vorm ax^2 + bx + c = 0 voordat je de abc-formule toepast. Pas de abc-formule (x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)) nauwkeurig toe en vereenvoudig de wortel indien mogelijk. Het antwoord moet exact zijn. Kernbegrippen: vergelijking oplossen, gebroken functie, wortelfunctie, kwadrateren, kwadratische vergelijking, abc-formule, extrane oplossing Veelgemaakte fouten: - Vergeten de oplossingen te controleren in de oorspronkelijke vergelijking; kwadrateren kan namelijk extra (ongeldige) oplossingen introduceren. - Algebraïsche fouten bij het uitwerken van haakjes, zoals (4x-3)^2. - Te snel delen door x, waardoor de oplossing x=0 (punt O) verloren gaat, hoewel die hier al gegeven was. - Fouten bij het toepassen van de abc-formule. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/2 ## Vraag 3 – Opgave 3 (4 punten) De grafiek van f heeft een horizontale en een verticale asymptoot. Het punt S is het snijpunt van deze twee asymptoten. De grafiek van g snijdt de verticale asymptoot van f in het punt R. Zie figuur 3, waarin de asymptoten van f gestippeld zijn. 3 Bereken exact de afstand tussen R en S. Wat kun je verwachten: Je moet de vergelijkingen van de horizontale en verticale asymptoot van functie f bepalen. Daarna moet je de coördinaten van het snijpunt S van deze asymptoten vinden. Vervolgens bepaal je de coördinaten van punt R, waar grafiek g de verticale asymptoot van f snijdt. Tot slot bereken je de exacte afstand tussen R en S. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je de horizontale en verticale asymptoten van een rationale functie (zoals f(x)) bepaalt. Je moet ook weten hoe je de functiewaarde van een wortelfunctie (zoals g(x)) berekent voor een gegeven x-waarde. Daarnaast moet je bekend zijn met het berekenen van de afstand tussen twee punten, in dit geval een verticale afstand. Wat moet je kunnen: Je kunt de vergelijking van de horizontale asymptoot van f(x) bepalen door te kijken wat er gebeurt als x heel groot wordt. Je kunt de vergelijking van de verticale asymptoot van f(x) bepalen door de noemer gelijk te stellen aan nul. Je kunt de coördinaten van S vinden door de vergelijkingen van de asymptoten te combineren. Je kunt de x-coördinaat van de verticale asymptoot invullen in g(x) om de y-coördinaat van R te vinden. Je kunt de afstand tussen R en S berekenen door het verschil in hun y-coördinaten te nemen, aangezien ze op dezelfde verticale lijn liggen. Waar op letten: Let goed op welke functie je gebruikt voor het bepalen van de asymptoten (f(x)) en welke voor het punt R (g(x)). Zorg ervoor dat je de juiste x-waarde invult in g(x) om de y-coördinaat van R te vinden; dit is de x-coördinaat van de verticale asymptoot. De vraag vraagt om een exacte afstand, dus laat wortels en breuken staan en vereenvoudig deze waar mogelijk zonder decimalen te gebruiken. Controleer of je de horizontale en verticale asymptoot niet verwisselt; de verticale asymptoot is waar de noemer nul is, de horizontale asymptoot is de limiet voor x naar oneindig. De afstand tussen R en S is een verticale afstand, dus je kijkt naar het absolute verschil van de y-coördinaten, omdat de x-coördinaten hetzelfde zijn. Kernbegrippen: asymptoten, snijpunten van grafieken, afstand tussen punten Veelgemaakte fouten: - Verwarren van horizontale en verticale asymptoot - Foutief berekenen van de y-coördinaat van R door f(x) te gebruiken in plaats van g(x) - Reken- of algebrafouten bij het vereenvoudigen van de wortel Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/3 ## Vraag 4 – Opgave 4 (3 punten) 4p 3 Bereken exact de afstand tussen R en S. ▸▸ Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je de afstand tussen twee punten moet berekenen. Dit betekent dat je eerst de coördinaten van deze punten moet vinden, mogelijk door middel van vergelijkingen van lijnen en cirkels, en daarna de afstandsformule toepast. Wat moet je kennen: Je moet de algemene vergelijking van een cirkel (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 kennen, waarbij (a,b) het middelpunt is en r de straal. Je moet ook de vergelijking van een lijn y = ax + b kennen. Daarnaast is de formule voor de afstand tussen twee punten essentieel. Wat moet je kunnen: Je moet de coördinaten van punten kunnen bepalen aan de hand van gegeven informatie over lijnen en cirkels. Je moet algebraïsche vaardigheden hebben om vergelijkingen op te lossen en de afstandsformule correct toe te passen. Je moet ook exact kunnen rekenen met wortels en breuken. Waar op letten: Je moet eerst de coördinaten van punt R en punt S bepalen. Lees goed de vraag en de context om te zien hoe je deze punten vindt. Je gebruikt de formule voor de afstand tussen twee punten (x1, y1) en (x2, y2): sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2). Je zorgt ervoor dat je alle berekeningen exact uitvoert, dus laat wortels en breuken staan waar nodig. Rond niet tussentijds af. Je controleert of je de juiste coördinaten van R en S hebt gebruikt in de afstandsformule. Een kleine fout hierin leidt tot een verkeerd eindantwoord. Je vereenvoudigt de wortel zo veel mogelijk aan het einde van de berekening. Kernbegrippen: vergelijking van een cirkel, vergelijking van een lijn, snijpunten van lijn en cirkel, raaklijn, discriminant Veelgemaakte fouten: - Reken- of algebrafouten bij het substitueren en uitwerken van de kwadratische vergelijking. - Verkeerd berekenen van de discriminant. - Conclusie vergeten na het aantonen dat D=0 of dat er één oplossing is. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/4 ## Vraag 5 – Opgave 5 (6 punten) Het punt M is het middelpunt van c_1. De lijn l gaat door M en staat loodrecht op k. Het punt S is het snijpunt van l met de y-as. De cirkel c_2 is de cirkel door M met middelpunt S. Zie de figuur. 6p 5 Stel op exacte wijze een vergelijking op van c_2. Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over cirkels en lijnen in een xy-assenstelsel. Je moet de vergelijking van een cirkel opstellen. Hiervoor moet je het middelpunt en de straal van die cirkel bepalen. Je zult verschillende meetkundige en algebraïsche technieken moeten combineren. Wat moet je kennen: Je moet de standaardvergelijking van een cirkel kennen: (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, waarbij (a,b) het middelpunt is en r de straal. Je moet weten hoe je kwadraat afsplitst om het middelpunt en de straal van een cirkel te vinden als de vergelijking in de vorm x^2 + Ax + y^2 + By = C gegeven is. Je moet weten dat de richtingscoëfficiënten van loodrechte lijnen voldoen aan rc_1 * rc_2 = -1. Je moet de formule voor de afstand tussen twee punten kennen om de straal te berekenen. Wat moet je kunnen: Je kunt kwadraat afsplitsen om het middelpunt M van cirkel c_1 te vinden. Je kunt de richtingscoëfficiënt van lijn k bepalen (deze is vaak gegeven in een eerdere vraag of af te leiden uit de figuur/context). Je kunt de richtingscoëfficiënt van lijn l bepalen, omdat deze loodrecht staat op k. Je kunt de vergelijking van lijn l opstellen met behulp van punt M en de richtingscoëfficiënt. Je kunt het snijpunt S van lijn l met de y-as bepalen door x=0 in de vergelijking van l te substitueren. Je kunt de afstand tussen M en S berekenen om de straal van cirkel c_2 te vinden. Tot slot kun je de vergelijking van cirkel c_2 opstellen met middelpunt S en de berekende straal. Waar op letten: Let goed op de tekens (+/-) bij het kwadraat afsplitsen. Een fout hierin leidt tot een verkeerd middelpunt M. Zorg ervoor dat je de juiste relatie gebruikt voor loodrechte lijnen: rc_l = -1 / rc_k. Een veelvoorkomende fout is rc_l = -rc_k. De vraag vraagt om een 'exacte wijze'. Dit betekent dat je geen decimalen mag afronden, tenzij expliciet anders vermeld. Werk met breuken en wortels indien nodig. Het middelpunt van c_2 is S, en c_2 gaat door M. Dit betekent dat de straal van c_2 de afstand tussen S en M is. Zorg dat je deze afstand correct berekent en vergeet niet de straal te kwadrateren voor de cirkelvergelijking. Controleer of je alle stappen hebt doorlopen: middelpunt c_1, rc_l, vergelijking l, snijpunt S, straal c_2, en tot slot de vergelijking van c_2. Kernbegrippen: vergelijking van een cirkel, kwadraat afsplitsen, middelpunt en straal van een cirkel, richtingscoëfficiënt, loodrechte lijnen, vergelijking van een lijn, afstand tussen twee punten Veelgemaakte fouten: - Fouten bij het kwadraat afsplitsen om het middelpunt van c1 te vinden. - Verkeerd bepalen van de richtingscoëfficiënt van de loodrechte lijn l (bijvoorbeeld rc_l = -rc_k in plaats van rc_l = -1/rc_k). - Reken- of tekenfouten bij het berekenen van de coördinaten van S of de straal r^2. - Vergeten de straal te kwadrateren in de eindvergelijking van de cirkel. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/5 ## Vraag 6 – Opgave 6 (2 punten) 2p 6 Bewijs dat de top van de parabool op de x-as ligt. De lijn m is de verticale lijn met vergelijking x = p, met p > 0. We kijken naar het gebied dat aan de bovenkant wordt begrensd door de grafiek van f, aan de onderkant door de x-as, aan de linkerkant door de y-as en aan de rechterkant door lijn m. In figuren 1 en 2 is dit gebied grijs gemaakt: in figuur 1 voor de situatie p = 1, in figuur 2 voor de situatie p = 2. figuur 1 y m f O 1 x figuur 2 y m f O 2 x De oppervlakte van dit grijze gebied noemen we A. De waarde van A hangt dus af van de keuze van p. Een formule voor A is: A = (2)/(3)((1)/(2)p + 1)^3 - (2)/(3) Zo is bijvoorbeeld A=4(2)/(3) als p = 2 en dus is de oppervlakte van het grijze gebied in figuur 2 gelijk aan 4(2)/(3). Voor een bepaalde waarde van p is de oppervlakte van het grijze gebied gelijk aan 42. Wat kun je verwachten: Je moet aantonen dat de top van een gegeven parabool op de x-as ligt. Dit is een bewijsvraag waarbij je een van de bekende methoden voor het vinden van de top van een parabool moet toepassen en laten zien dat de y-coördinaat 0 is. Wat moet je kennen: Je moet de verschillende manieren kennen om de top van een parabool te vinden: met de formule x = -b/(2a), door de afgeleide gelijk te stellen aan nul, of door kwadraat afsplitsen. Ook moet je weten dat een discriminant van 0 betekent dat de parabool de x-as raakt. Wat moet je kunnen: Je moet algebraïsch de x-coördinaat van de top kunnen berekenen en vervolgens deze x-waarde in de functie kunnen invullen om de y-coördinaat te vinden. Je moet ook nauwkeurig kunnen rekenen met breuken en tekens. Als alternatief moet je de discriminant kunnen berekenen en de betekenis ervan kunnen uitleggen in relatie tot de x-as. Waar op letten: Kies een methode die je goed beheerst: x = -b/(2a), f'(x) = 0, discriminant D=0, of kwadraat afsplitsen. Als je de x-coördinaat van de top hebt gevonden, vergeet dan niet deze in de oorspronkelijke functie f(x) in te vullen om de y-coördinaat te berekenen. Let goed op de tekens (+/-) tijdens je berekeningen, vooral bij het invullen van negatieve getallen in kwadraten. Zorg ervoor dat je conclusie duidelijk is: als de y-coördinaat van de top 0 is, dan ligt de top op de x-as. Alle berekeningen moeten exact zijn; gebruik geen decimalen tenzij expliciet gevraagd. Kernbegrippen: top van een parabool, kwadratische functies, differentiëren, discriminant, kwadraat afsplitsen Veelgemaakte fouten: - Reken- of tekenfouten bij het berekenen van de coördinaten van de top. - Vergeten de y-coördinaat te berekenen en te laten zien dat deze 0 is. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/6 ## Vraag 7 – Opgave 7 (4 punten) Voor een bepaalde waarde van p is de oppervlakte van het grijze gebied gelijk aan 42. Bereken exact deze waarde van p. Wat kun je verwachten: Je krijgt een vergelijking waarin een onbekende variabele (p) voorkomt. Je moet deze vergelijking algebraïsch oplossen om de exacte waarde van p te vinden. Dit betekent dat je de variabele p stap voor stap isoleert. Wat moet je kennen: Je moet de basisregels van het algebraïsch rekenen kennen, zoals het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van termen, en het omgaan met machten en wortels. Specifiek moet je weten hoe je een derdemachtswortel neemt en hoe je breuken correct verwerkt in een vergelijking. Wat moet je kunnen: Je moet een vergelijking van de vorm a(bx+c)^3 - d = e kunnen oplossen voor x. Dit doe je door eerst de term met de macht te isoleren, vervolgens de derdemachtswortel te nemen, en daarna de overgebleven lineaire vergelijking op te lossen. Je moet nauwkeurig kunnen rekenen met breuken en ervoor zorgen dat je de juiste rekenvolgorde aanhoudt. Waar op letten: Let goed op de rekenvolgorde: eerst haakjes, dan machten, dan vermenigvuldigen/delen, dan optellen/aftrekken. Bij het oplossen werk je in omgekeerde volgorde. Zorg ervoor dat je de term met de macht (hier: ((1)/(2)p+1)^3) volledig isoleert voordat je de derdemachtswortel neemt. Wees nauwkeurig met breuken. Als je 42 2/3 tegenkomt, zet dit dan om naar een onzuivere breuk (128/3) om rekenfouten te voorkomen. Vergeet niet dat je de derdemachtswortel moet nemen om de macht ongedaan te maken. Een derdemachtswortel heeft altijd maar één reële oplossing. De vraag vraagt om een 'exacte' waarde, dus geef je antwoord niet als decimaal getal, tenzij het een exact decimaal is (zoals 6.0). Kernbegrippen: vergelijking oplossen, machtsvergelijkingen, algebraïsch herleiden Veelgemaakte fouten: - Reken- of overschrijffouten bij het isoleren van p. - Vergeten de derdemachtswortel te nemen. - Verkeerd omgaan met breuken (bijv. 42 2/3 omzetten naar een onzuivere breuk). Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/7 ## Vraag 8 – Opgave 8 (3 punten) Zonder de voorgaande formule te gebruiken kun je toch een goede benadering vinden van de oppervlakte. In de rest van de opgave doen we dit voor het geval p=1. De benadering van de oppervlakte van het grijze gebied in figuur 1 gaat als volgt: - De lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt R((1)/(2), 1(9)/(16)). - K is het snijpunt van lijn l met de y-as. - M is het snijpunt van lijn l en lijn m. - S is het punt met coördinaten (1, 0). - De oppervlakte van vierhoek OSMK is de benadering. Zie figuur 3, waarin de oppervlakte van vierhoek OSMK grijs is gemaakt. Een vergelijking van l is y = 1(1)/(4)x+(15)/(16). 3p 8 Bewijs dat y = 1(1)/(4)x+(15)/(16) inderdaad een vergelijking van l is. Wat kun je verwachten: Je moet bewijzen dat een gegeven vergelijking inderdaad de raaklijn is aan een functie in een specifiek punt. Dit doe je door de helling van de functie in dat punt te bepalen en te controleren of de gegeven lijn diezelfde helling heeft en door het punt gaat. Wat moet je kennen: Je moet de regels voor differentiëren kennen, met name de machtsregel en de somregel. Ook moet je weten hoe je de vergelijking van een lijn opstelt (y = ax + b) en hoe je de helling (a) en het startgetal (b) bepaalt. Wat moet je kunnen: Je moet de afgeleide van een functie kunnen bepalen. Je moet de helling van de raaklijn in een specifiek punt kunnen berekenen door de x-coördinaat van dat punt in de afgeleide in te vullen. Vervolgens moet je met behulp van het gegeven punt en de berekende helling de vergelijking van de raaklijn kunnen controleren of opstellen. Je moet nauwkeurig kunnen rekenen met breuken. Waar op letten: Begin met het bepalen van de afgeleide f'(x) van de functie f(x). Gebruik hiervoor de juiste differentiaalregels (machtsregel en somregel). Bereken de helling van de raaklijn in punt R door de x-coördinaat van R in te vullen in de afgeleide f'(x). Let goed op het rekenen met breuken. Controleer of de helling van de gegeven lijn y = 1(1)/(4)x+(15)/(16) overeenkomt met de berekende helling in punt R. Controleer of het punt R((1)/(2), 1(9)/(16)) op de gegeven lijn ligt. Dit doe je door de coördinaten van R in de vergelijking van de lijn in te vullen en te kijken of de vergelijking klopt. Let hierbij extra goed op het rekenen met breuken en gemengde getallen. Zorg ervoor dat je alle stappen duidelijk opschrijft en je conclusie helder formuleert, aangezien dit een bewijsvraag is. Kernbegrippen: differentiëren, raaklijn opstellen, afgeleide functie, helling van een grafiek Veelgemaakte fouten: - Reken- of schrijffouten met breuken. - Vergeten te controleren of het gegeven punt R(1/2, 1 9/16) ook daadwerkelijk op de lijn ligt (in de tweede methode). Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/8 ## Vraag 9 – Opgave 9 (5 punten) Zonder de voorgaande formule te gebruiken kun je toch een goede benadering vinden van de oppervlakte. In de rest van de opgave doen we dit voor het geval p=1. De benadering van de oppervlakte van het grijze gebied in figuur 1 gaat als volgt: - De lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt R( , 1 ). - K is het snijpunt van lijn l met de y-as. - M is het snijpunt van lijn l en lijn m. - S is het punt met coördinaten (1, 0). - De oppervlakte van vierhoek OSMK is de benadering. Zie figuur 3, waarin de oppervlakte van vierhoek OSMK grijs is gemaakt. Een vergelijking van l is y = 1 *x + . De oppervlakte van de grijs gemaakte vierhoek OSMK in figuur 3 wijkt een beetje af van de oppervlakte van het grijze gebied in figuur 1. Bereken algebraïsch hoeveel procent deze afwijking is. Geef je eindantwoord in één decimaal. Wat kun je verwachten: Je moet de oppervlakte van een gebied onder een kromme vergelijken met de oppervlakte van een benaderende vierhoek (een trapezium). Dit betekent dat je eerst de exacte oppervlakte moet berekenen met een gegeven formule, daarna de oppervlakte van de benaderende vierhoek moet bepalen, en tot slot de procentuele afwijking moet uitrekenen. Wat moet je kennen: Je moet de formule voor de oppervlakte van een trapezium kennen. Je moet ook weten hoe je de vergelijking van een raaklijn opstelt en hoe je snijpunten van lijnen met de assen of met andere lijnen berekent. Daarnaast moet je de formule voor procentuele afwijking kennen: ((benadering - exact) / exact) * 100%. Wat moet je kunnen: Je kunt algebraïsch de exacte oppervlakte berekenen met de gegeven formule voor A. Je kunt de coördinaten van de punten O, S, K en M bepalen. Je kunt de oppervlakte van de vierhoek OSMK berekenen, bijvoorbeeld door deze te zien als een trapezium of door hem op te splitsen in een rechthoek en een driehoek. Tot slot kun je de procentuele afwijking correct berekenen en afronden op één decimaal. Waar op letten: Let goed op de coördinaten van de punten O, S, K en M. O is de oorsprong (0,0) en S is (1,0). K is het snijpunt van lijn l met de y-as (x=0). M is het snijpunt van lijn l met de lijn m (x=1). De vierhoek OSMK is een trapezium. Je kunt de oppervlakte berekenen met de formule voor een trapezium: 0.5 * (som van de evenwijdige zijden) * hoogte. De evenwijdige zijden liggen op de y-as (OK) en op de lijn x=1 (MS). De hoogte is de afstand tussen deze lijnen, dus 1. Zorg ervoor dat je de juiste waarden gebruikt voor de 'exacte' oppervlakte (uit de formule A) en de 'benaderde' oppervlakte (van de vierhoek OSMK) bij het berekenen van de procentuele afwijking. De formule is (benadering - exact) / exact * 100%. Reken nauwkeurig met breuken of veel decimalen tijdens de tussenstappen om afrondingsfouten te voorkomen. Rond pas af op één decimaal bij het eindantwoord, zoals gevraagd. Controleer of je de gegeven vergelijking van lijn l correct gebruikt om de y-coördinaten van K en M te vinden. Kernbegrippen: oppervlakte benaderen, trapezium, raaklijn, procentuele afwijking, algebraïsch rekenen Veelgemaakte fouten: - Verkeerd berekenen van de oppervlakte van het trapezium/vierhoek OSMK. - Fouten bij het rekenen met breuken. - Verwarring tussen de exacte oppervlakte en de benaderde oppervlakte bij het berekenen van het percentage. - Formule voor procentuele verandering verkeerd toepassen: (nieuw-oud)/oud * 100%. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/9 ## Vraag 10 – Opgave 10 (2 punten) 2p 10 Bereken exact de afstand in cm tussen de heup en de voet op moment 1. Je kunt hierbij de figuur op de uitwerkbijlage gebruiken. Ga bij het volgende onderdeel uit van H_1V = 45,3. Op moment 3 is het been bijna gestrekt, dus hoek H_3K_3V is bijna 180°. Om deze hoek te berekenen, is het handig om gebruik te maken van de driehoeken A_1VH_1 en A_3VH_3. Wat kun je verwachten: Je moet de afstand tussen de heup en de voet berekenen op moment 1. Dit betekent dat je de lengte van een zijde in een driehoek moet vinden, waarbij je twee andere zijden en de ingesloten hoek kent. Wat moet je kennen: Je moet de cosinusregel kennen en weten wanneer je deze toepast. Ook moet je de exacte waarde van cos(60°) kennen. Wat moet je kunnen: Je moet de cosinusregel correct kunnen toepassen door de bekende waarden in de formule in te vullen. Je moet ook exact kunnen rekenen met wortels en kwadraten, en de exacte waarde van cos(60°) gebruiken. Waar op letten: Je gebruikt de cosinusregel, omdat je twee zijden en de ingesloten hoek kent en de lengte van de tegenoverliggende zijde wilt berekenen. Je let goed op de exacte waarde van cos(60°). Dit is een standaardhoek waarvan je de exacte cosinuswaarde moet weten. Je zorgt ervoor dat je alle getallen correct invult in de cosinusregel: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cos(alpha). Je geeft het antwoord exact, dus je laat een wortel in je antwoord staan als dat nodig is. Je rondt dus niet af. Je controleert je berekeningen zorgvuldig, vooral het kwadrateren en vermenigvuldigen. Kernbegrippen: cosinusregel, meetkunde Veelgemaakte fouten: - Vergeten dat cos(60°) = 1/2 en dit niet exact uitrekenen. - De stelling van Pythagoras gebruiken in een niet-rechthoekige driehoek. - Een rekenfout maken bij het kwadrateren of vermenigvuldigen. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/10 ## Vraag 11 – Opgave 11 (5 punten) Ga bij het volgende onderdeel uit van H₁V = 45,3. Op moment 3 is het been bijna gestrekt, dus hoek H₃K₃V is bijna 180°. Om deze hoek te berekenen, is het handig om gebruik te maken van de driehoeken A₁VH₁ en A₃VH₃. Bereken hoek H₃K₃V. Je kunt hierbij de figuur op de uitwerkbijlage gebruiken. Geef je eindantwoord in gehele graden. Wat kun je verwachten: Je moet een hoek berekenen in een driehoek die niet direct rechthothoekig is. Dit vereist dat je eerst ontbrekende zijden berekent met behulp van rechthoekige driehoeken en de stelling van Pythagoras, en daarna de cosinusregel toepast in de niet-rechthoekige driehoek. Wat moet je kennen: Je moet de stelling van Pythagoras kennen voor rechthoekige driehoeken en de cosinusregel voor algemene driehoeken. Ook moet je weten hoe je de cosinusregel omvormt om een hoek te berekenen. Je moet ook de relatie tussen de verschillende punten (V, K, H, A) en hun coördinaten begrijpen, vooral hoe de horizontale verschuiving van 45 cm invloed heeft op de afstanden. Wat moet je kunnen: Je moet de stelling van Pythagoras correct kunnen toepassen om zijden te berekenen. Je moet de cosinusregel correct kunnen opstellen en oplossen voor een onbekende hoek. Je moet ook nauwkeurig kunnen werken met tussenresultaten om afrondingsfouten te voorkomen en je eindantwoord in de gevraagde eenheid (gehele graden) kunnen geven. Waar op letten: Let op de eenheden: de vraag vraagt om het eindantwoord in gehele graden. Zorg dat je GR in graden-modus staat bij het berekenen van de hoek. Gebruik de stelling van Pythagoras om de horizontale afstand A₁V te berekenen in de rechthoekige driehoek A₁VH₁. Vergeet niet de horizontale verschuiving van 45 cm mee te nemen bij het bepalen van de horizontale afstand A₃V. Dit is cruciaal voor de positie op moment 3. Gebruik de cosinusregel in driehoek H₃K₃V. Zorg ervoor dat je de zijden correct toewijst aan de formule en dat de zijde tegenover de te berekenen hoek aan de linkerkant van de vergelijking staat. Rond pas af bij het eindantwoord. Gebruik onafgeronde waarden voor tussenberekeningen om nauwkeurigheid te garanderen. Kernbegrippen: stelling van Pythagoras, cosinusregel, goniometrie in driehoeken Veelgemaakte fouten: - Doorrekenen met afgeronde tussenantwoorden kan leiden tot een onnauwkeurig eindantwoord. - Verkeerd toepassen van de cosinusregel (bijv. verkeerde zijden of hoek invullen). - Vergeten de horizontale verschuiving van 45 cm op te tellen bij de berekening van de horizontale afstand A₃V. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/11 ## Vraag 12 – Opgave 12 (6 punten) 6p 12 Bereken algebraïsch hoe groot hoek α is. Geef je eindantwoord in gehele graden. ▸▸ Wat kun je verwachten: Je moet de hoek α berekenen die een lijn maakt met de positieve x-as. Deze lijn gaat door twee specifieke punten op een sinusoïde: een nulpunt en een top. Je zult dus eerst de coördinaten van deze punten moeten vinden door de eigenschappen van de sinusoïde te gebruiken. Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een sinusoïde kennen, inclusief hoe je de periode en amplitude bepaalt. Je moet ook weten hoe je nulpunten en toppen van een sinusoïde algebraïsch vindt. Daarnaast moet je de relatie tussen de helling van een lijn en de tangens van de hoek met de x-as kennen. Wat moet je kunnen: Je moet algebraïsch de periode van de functie f(x) = 3sin(1/4*pi*x) kunnen berekenen. Je moet de x-coördinaat van het nulpunt A en de x- en y-coördinaten van de top B kunnen bepalen. Vervolgens moet je de tangens van hoek α kunnen berekenen met behulp van de coördinaten van A en B, en tot slot de hoek α zelf kunnen vinden met de inverse tangens. Je rondt je eindantwoord af op gehele graden. Waar op letten: Let goed op de vraagstelling: 'de derde top rechts van de y-as'. Het is cruciaal om de juiste top te identificeren. De eerste top is na 1/4 periode, de tweede na 1 periode + 1/4 periode, enzovoort. Bereken de periode van de sinusoïde correct met de formule T = (2pi)/(b). Bepaal de coördinaten van punt A (een nulpunt) en punt B (een top) nauwkeurig. De y-coördinaat van een top is gelijk aan de amplitude. Gebruik de formule voor de tangens van de hellingshoek: tan(α) = (Δy)/(Δx). Zorg ervoor dat je de juiste Δy en Δx gebruikt. Zorg ervoor dat je rekenmachine in de juiste modus staat (graden) wanneer je de inverse tangens gebruikt, aangezien het eindantwoord in graden gevraagd wordt. Kernbegrippen: sinusoïde, periode, amplitude, snijpunten met assen, toppen, richtingscoëfficiënt, hellingshoek, tangens Veelgemaakte fouten: - De vraag specificeert 'de derde top rechts van de y-as'. De eerste top is bij x=2, de tweede bij x=10, de derde bij x=18. Het correctievoorschrift berekent het antwoord consequent met de tweede top (x=10). Een leerling die de vraag letterlijk volgt en de derde top (x=18) gebruikt, komt op een ander antwoord (12 graden) en wordt mogelijk onterecht fout gerekend. - Verkeerd bepalen van de periode (formule 2π/b). - Verwarren van x- en y-coördinaten bij het berekenen van de helling (Δy/Δx). - Vergeten het eindantwoord af te ronden op gehele graden zoals gevraagd. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/12 ## Vraag 13 – Opgave 13 (7 punten) In figuur 2 is de grafiek van f getekend en ook de lijn met vergelijking y = 1 . Deze lijn heeft oneindig veel snijpunten met de grafiek van f. Het eerste snijpunt rechts van de y-as is K, het vierde is L. In figuur 2 is met een stippellijn nog een sinusoïde weergegeven. Voor deze sinusoïde geldt: - De eerste top rechts van de y-as valt samen met K. - De derde top rechts van de y-as valt samen met L. - De sinusoïde raakt de lijn met vergelijking y = -1. De functie g die bij de gestippelde grafiek hoort, heeft een functievoorschrift van de volgende vorm: g(x) = a ⋅ cos(b(x - c)) + d Hierin zijn a, b, c en d getallen. Bereken exact voor elk van deze vier getallen een mogelijke waarde. Wat kun je verwachten: Je kunt verwachten dat je een sinusoïde moet analyseren en de parameters van de functie moet bepalen. Dit vereist inzicht in de eigenschappen van goniometrische functies en het oplossen van goniometrische vergelijkingen. Wat moet je kennen: Je moet de standaardvorm van een sinusoïde kennen (zowel met sinus als cosinus), en weten hoe de parameters a, b, c en d de amplitude, periode, horizontale verschuiving en evenwichtsstand beïnvloeden. Je moet ook de eigenschappen van de sinusfunctie en de cosinusfunctie kennen, inclusief hun toppen en snijpunten met horizontale lijnen. Wat moet je kunnen: Je moet een goniometrische vergelijking exact kunnen oplossen, inclusief het vinden van alle oplossingen. Je moet de amplitude, evenwichtsstand en periode van een sinusoïde kunnen aflezen uit de grafiek of kunnen berekenen uit gegeven punten (zoals toppen en minima/maxima). Ook moet je de horizontale verschuiving kunnen bepalen op basis van een gegeven top. Waar op letten: Je moet goed onderscheid maken tussen de functie f en de functie g. De informatie over f gebruik je om de coördinaten van K en L te vinden, die vervolgens weer belangrijk zijn voor g. Je moet de vergelijking f(x) = 1(1)/(2) exact oplossen. Denk aan de eenheidscirkel en de symmetrie van de sinusfunctie om alle oplossingen te vinden. Let goed op welke snijpunten K en L zijn: K is het *eerste* snijpunt rechts van de y-as, en L is het *vierde* snijpunt rechts van de y-as. Dit is cruciaal voor de x-coördinaten. Je moet de parameters a, b, c en d van de cosinusfunctie g(x) = a ⋅ cos(b(x - c)) + d bepalen. Bedenk welke parameter hoort bij de amplitude, evenwichtsstand, periode en horizontale verschuiving. De afstand tussen de eerste en derde top van een sinusoïde is gelijk aan twee periodes. Gebruik dit om de periode van g te bepalen, en daarmee parameter b. Kernbegrippen: goniometrische functies, sinusoïde, amplitude, evenwichtsstand, periode, horizontale verschuiving, trigonometrische vergelijking oplossen Veelgemaakte fouten: - Verwarring tussen de functie f en g - Fout bij het bepalen van de x-coördinaten van K en L (bijvoorbeeld de verkeerde snijpunten kiezen) - Incorrect interpreteren van de afstand tussen de eerste en derde top van g. Deze afstand is gelijk aan twee periodes, niet één. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/13 ## Vraag 14 – Opgave 14 (4 punten) 4p 14 Bereken exact de coördinaten van T. Op het deel van de grafiek van f dat boven de x-as ligt, wordt een punt P gekozen. Het punt A ligt op de x-as en heeft dezelfde x-coördinaat als P. In figuur 2 en figuur 3 is de situatie voor twee posities van P geschetst. In figuur 3 is de oppervlakte van driehoek OAP groter dan in figuur 2. figuur 2 y P f O A figuur 3 y f P A x Wat kun je verwachten: Je moet de coördinaten van de top (het maximum) van een functie berekenen. Dit betekent dat je de afgeleide van de functie moet bepalen, deze gelijk moet stellen aan nul, en de resulterende vergelijking algebraïsch exact moet oplossen. Vergeet niet de bijbehorende y-coördinaat te berekenen. Wat moet je kennen: Je moet de differentieerregels voor machtsfuncties kennen, inclusief hoe je een wortel schrijft als een macht (sqrt(x) = x^(1/2)). Je moet ook de regels voor het rekenen met machten kennen, zoals x^(-n) = 1/(x^n) en (a/b)^(-n) = (b/a)^n. Wat moet je kunnen: Je kunt de afgeleide van een functie met wortels en machten bepalen. Je kunt een vergelijking van de vorm ax^(p) = b algebraïsch exact oplossen. Je kunt de gevonden x-waarde invullen in de oorspronkelijke functie om de bijbehorende y-coördinaat exact te berekenen. Waar op letten: Schrijf de wortel sqrt(x) eerst om naar een machtsvorm (x^(1/2)) voordat je gaat differentiëren. Pas de differentieerregel d/dx (ax^n) = anx^(n-1) correct toe op elke term van de functie f(x). Let goed op de tekens (+/-). Stel de afgeleide f'(x) gelijk aan nul en los de vergelijking stap voor stap algebraïsch op. Wees nauwkeurig met het omwerken van machten, vooral negatieve machten en breuken. Nadat je de x-coördinaat van de top hebt gevonden, moet je deze invullen in de OORSPRONKELIJKE functie f(x) om de bijbehorende y-coördinaat exact te berekenen. Controleer of je antwoord exact is, zoals gevraagd. Laat geen decimalen staan. Kernbegrippen: differentiëren, extreme waarden, afgeleide gelijkstellen aan nul, rekenen met machten Veelgemaakte fouten: - Fout bij het differentiëren van een wortelfunctie (3√x = 3x^(1/2)) - Algebraïsche fouten bij het oplossen van de vergelijking f'(x)=0 - Vergeten de y-coördinaat te berekenen na het vinden van de x-coördinaat. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/14 ## Vraag 15 – Opgave 15 (4 punten) Op het deel van de grafiek van f dat boven de x-as ligt, wordt een punt P gekozen. Het punt A ligt op de x-as en heeft dezelfde x-coördinaat als P. In figuur 2 en figuur 3 is de situatie voor twee posities van P geschetst. In figuur 3 is de oppervlakte van driehoek OAP groter dan in figuur 2. Er is een positie van P op de grafiek van f zo dat de oppervlakte van driehoek OAP maximaal is. Deze positie van P kun je vinden door de oppervlakte van driehoek OAP in x uit te drukken, waarbij x de lengte van zijde OA is. Bereken de maximale oppervlakte van driehoek OAP. Geef je eindantwoord in drie decimalen. Wat kun je verwachten: Je moet een formule opstellen voor de oppervlakte van een driehoek, waarbij de hoogte afhangt van een functie f(x). Daarna gebruik je je grafische rekenmachine om het maximum van deze oppervlaktefunctie te vinden. Wat moet je kennen: Je moet de formule voor de oppervlakte van een driehoek kennen: (1/2) * basis * hoogte. Je moet ook weten hoe je een functie invoert in je GR en hoe je daarvan het maximum bepaalt. Wat moet je kunnen: Je moet de coördinaten van de punten O, A en P kunnen gebruiken om de basis en hoogte van driehoek OAP uit te drukken in x en f(x). Je moet vervolgens de oppervlaktefunctie correct in je GR invoeren en de 'maximum'-functie van je GR kunnen gebruiken om de maximale oppervlakte te vinden. Vergeet niet om je antwoord correct af te ronden. Waar op letten: De basis van de driehoek OAP is de lengte van OA, die gelijk is aan x. De hoogte van de driehoek is de lengte van AP, die gelijk is aan f(x). Stel de oppervlaktefunctie O(x) op als (1/2) * x * f(x). Zorg ervoor dat je de functie f(x) correct overneemt. Let goed op het domein van x waarvoor de grafiek van f boven de x-as ligt. Dit is belangrijk voor de vensterinstellingen van je GR. Voer de oppervlaktefunctie O(x) in je GR in en gebruik de 'maximum'-functie (vaak onder CALC of G-SOLV) om de maximale waarde te vinden. Rond je eindantwoord af op drie decimalen, zoals gevraagd in de vraag. Kernbegrippen: oppervlakte driehoek, functie opstellen, maximum bepalen met GR, optimaliseren Veelgemaakte fouten: - Vergeten de formule voor de oppervlakte van een driehoek (1/2 * basis * hoogte) correct toe te passen. - De functie voor de oppervlakte verkeerd invoeren in de GR. - Het maximum van f(x) berekenen in plaats van het maximum van de oppervlaktefunctie O(x) = 1/2 * x * f(x). Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/15 ## Vraag 17 – Opgave 17 (6 punten) 6p 17 Bij de NK halve marathon 2019 was de 47-jarige Marcel Laros met een tijd van 4279 seconden de snelste in de categorie 45-49 jaar. Bij diezelfde halve marathon was de 36-jarige Wynfrith Meijwes de snelste in de categorie 35-39 met een tijd van 4130 seconden. Onderzoek op algebraïsche wijze welke van deze twee hardlopers de beste prestatie heeft geleverd volgens model 2. Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je een model moet toepassen om prestaties te vergelijken. Dit model is gebaseerd op exponentiële afname (of groei, afhankelijk van hoe je het bekijkt) en je moet zelf de groeifactor bepalen uit gegeven data. Wat moet je kennen: Je moet het concept van een groeifactor per tijdseenheid kennen en hoe je deze berekent als je de groeifactor over een langere periode weet. Je moet ook weten hoe je een exponentieel model toepast om waarden te corrigeren of te voorspellen. Wat moet je kunnen: Je moet de groeifactor per jaar kunnen berekenen uit de gegeven correctiegetallen in de tabel. Je moet vervolgens met deze groeifactor de correctiegetallen voor de specifieke leeftijden van de hardlopers kunnen bepalen. Tot slot moet je deze correctiegetallen kunnen toepassen op de gegeven tijden en een conclusie trekken over wie de beste prestatie heeft geleverd. Waar op letten: Je berekent eerst de groeifactor per jaar. Let goed op dat je de juiste macht gebruikt om van een groeifactor over meerdere jaren naar een groeifactor per jaar te gaan. Je moet de prestaties van beide lopers vergelijkbaar maken. Dit betekent dat je ze moet omrekenen naar dezelfde referentieleeftijd (bijvoorbeeld 30 jaar, of de leeftijd van één van de lopers). Je gebruikt de correctiegetallen uit de tabel en de berekende groeifactor om de juiste correctiegetallen voor de specifieke leeftijden van Marcel en Wynfrith te vinden. Je vermenigvuldigt de tijden met de correctiegetallen om de omgerekende tijden te vinden. Een lagere omgerekende tijd betekent een betere prestatie. Je rondt pas aan het einde af. Gebruik tussendoor voldoende decimalen om afrondingsfouten te voorkomen. Kernbegrippen: Exponentiële afname, Groeifactor per tijdseenheid, Toepassen van een exponentieel model Veelgemaakte fouten: - Groeifactor per jaar verkeerd berekenen (delen i.p.v. machtsverheffen) - Verkeerde exponent gebruiken voor het berekenen van het correctiegetal - Verwarring tussen vermenigvuldigen en delen met het correctiegetal - Verkeerde conclusie trekken (lagere tijd is beter) Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2021/tijdvak-1/vraag/17 ## Vragen in dit examen ### Vraag 16 – Opgave 16 Wat kun je verwachten: Je krijgt een contextvraag over het vergelijken van hardloopprestaties van verschillende leeftijden met behulp van correctiegetallen. Je moet een exponentieel model opstellen en gebruiken om een voorspelling te doen, en vervolgens een verschil berekenen. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een exponentiële groeifactor bepaalt en hoe je deze toepast in een formule. Ook moet je de relatie tussen afstand, snelheid en tijd kennen (snelheid = afstand / tijd) en hoe je eenheden omrekent (uren naar seconden). Wat moet je kunnen: Je moet een exponentiële formule kunnen opstellen en gebruiken om een waarde te berekenen. Je moet nauwkeurig kunnen rekenen met decimalen en correct afronden aan het einde van de berekening. Daarnaast moet je verschillende tijdseenheden (uren, minuten, seconden) correct kunnen omzetten naar één eenheid (seconden) en het verschil tussen twee tijden kunnen bepalen. Waar op letten: Lees goed welke leeftijd bij welk correctiegetal hoort en wat de startleeftijd is voor de berekening van de exponent. Zorg ervoor dat je de juiste groeifactor per jaar berekent en deze correct toepast in de exponentiële formule. Let op het aantal jaren dat je moet gebruiken als exponent. Wees nauwkeurig bij het omrekenen van uren naar seconden en van minuten en seconden naar een totaal aantal seconden. Dit zijn vaak bronnen van fouten. Houd voldoende decimalen aan tijdens de tussenberekeningen om afrondingsfouten te voorkomen. Rond pas af bij het eindantwoord zoals gevraagd (geheel getal). Controleer of je de vraag beantwoordt: 'hoeveel seconden sneller' betekent dat je een verschil moet berekenen. ## Opgaven (tekst van het examen) ### Pagina 1 Examen HAVO 2021 tijdvak 1 woensdag 26 mei 13.30 - 16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 17 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden. Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt. Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. HA-1025-a-21-1-0 ### Pagina 2 Gebroken functie en wortelfunctie De functie $f$ wordt gegeven door: $f(x) = 1 + \frac{3}{4x - 3}$ De grafiek van $f$ gaat door de oorsprong $O$. Zie figuur 1. figuur 1 [FIGUUR: Grafiek van functie f, een gebroken lijn die asymptoten heeft bij x=3/4 en y=1. De grafiek gaat door de oorsprong en loopt naar beneden] 4p 1 Bereken exact de helling van de grafiek van $f$ in $O$. Het functievoorschrift van $f$ is ook anders te schrijven, namelijk: $f(x) = \frac{4x}{4x - 3}$ De functie $g$ wordt gegeven door $g(x) = \sqrt{x}$. De grafieken van $f$ en $g$ hebben twee punten gemeenschappelijk, $O$ en $B$. Zie figuur 2. figuur 2 [FIGUUR: Grafiek van twee functies, f en g. Functie f is een hyperbool die door de oorsprong gaat en naar beneden loopt. Functie g is een wortelfunctie die begint bij de oorsprong en naar boven loopt. De twee grafieken snijden elkaar bij O en een ander punt B.] 6p 2 Bereken exact de x-coördinaat van $B$. HA-1025-a-21-1-0 2 / 15 leest verder ▶ ▶ ▶ ### Pagina 3 De grafiek van $f$ heeft een horizontale en een verticale asymptoot. Het punt $S$ is het snijpunt van deze twee asymptoten. De grafiek van $g$ snijdt de verticale asymptoot van $f$ in het punt $R$. Zie figuur 3, waarin de asymptoten van $f$ gestippeld zijn. figuur 3 [FIGUUR: Een grafiek met de y-as links en de x-as onder. De grafiek van functie f begint linksboven, buigt naar beneden en gaat asymptotisch naar de x-as. De grafiek van functie g begint links van de y-as, gaat naar beneden en door punt O. De verticale asymptoot van f is de y-as, de horizontale asymptoot is de stippellijn op gelijke hoogte als S. De grafiek van g snijdt de verticale asymptoot in punt R. Het snijpunt van de twee asymptoten is S.] 4p 3 Bereken exact de afstand tussen $R$ en $S$. HA-1025-a-21-1-o 3 / 15 lees verder ►►► ### Pagina 4 Twee cirkels en twee lijnen De cirkel $c_1$ wordt gegeven door: $x^2 - 4x + y^2 - 6y = -8$ De lijn $k$ wordt gegeven door: $y = \frac{1}{2}x + 4\frac{1}{2}$ Lijn $k$ raakt cirkel $c_1$. 3p 4 Bewijs dit. Het punt $M$ is het middelpunt van $c_1$. De lijn $l$ gaat door $M$ en staat loodrecht op $k$. Het punt $S$ is het snijpunt van $l$ met de $y$-as. De cirkel $c_2$ is de cirkel door $M$ met middelpunt $S$. Zie de figuur. figuur [FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. Twee cirkels c1 en c2. Een lijn l gaat door het middelpunt M van c1 en is loodrecht op lijn k. Het snijpunt van l met de y-as is punt S. Cirkel c2 gaat door M en heeft middelpunt S.] 6p 5 Stel op exacte wijze een vergelijking op van $c_2$ . HA-1025-a-21-1-o 4 / 15 lees verder ►►► ### Pagina 5 Ga verder op de volgende pagina. HA-1025-a-21-1-o 5 / 15 lees verder ►►► ### Pagina 6 Oppervlakte onder een grafiek 2p 6 De functie $f$ is gegeven door $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + x + 1$. De grafiek van $f$ is een parabool. Bewijs dat de top van de parabool op de x-as ligt. De lijn $m$ is de verticale lijn met vergelijking $x = p$, met $p > 0$. We kijken naar het gebied dat aan de bovenkant wordt begrensd door de grafiek van $f$, aan de onderkant door de $x$-as, aan de linkerkant door de y-as en aan de rechterkant door lijn $m$. In figuren 1 en 2 is dit gebied grijs gemaakt: in figuur 1 voor de situatie $p = 1$, in figuur 2 voor de situatie $p = 2$. figuur 1 figuur 2 $y$ $y$ $m$ $f$ $f$ $m$ $O$ $1$ $x$ $O$ $2$ $x$ De oppervlakte van dit grijze gebied noemen we $A$. De waarde van $A$ hangt dus af van de keuze van $p$. Een formule voor $A$ is: $A = \frac{2}{3} (\frac{1}{2}p+1)^3 - \frac{2}{3}$ Zo is bijvoorbeeld $A = 4\frac{2}{3}$ als $p = 2$ en dus is de oppervlakte van het grijze gebied in figuur 2 gelijk aan $4\frac{2}{3}$. Voor een bepaalde waarde van $p$ is de oppervlakte van het grijze gebied gelijk aan 42. 4p 7 Bereken exact deze waarde van $p$. HA-1025-a-21-1-o 6 / 15 lees verder ► ### Pagina 7 Zonder de voorgaande formule te gebruiken kun je toch een goede benadering vinden van de oppervlakte. In de rest van de opgave doen we dit voor het geval $p = 1$. De benadering van de oppervlakte van het grijze gebied in figuur 1 gaat als volgt: – De lijn $l$ is de raaklijn aan de grafiek van $f$ in het punt $R(\frac{1}{2}, 1\frac{9}{16})$. – $K$ is het snijpunt van lijn $l$ met de $y$-as. – $M$ is het snijpunt van lijn $l$ en lijn $m$. – $S$ is het punt met coördinaten $(1, 0)$. – De oppervlakte van vierhoek $OSMK$ is de benadering. Zie figuur 3, waarin de oppervlakte van vierhoek $OSMK$ grijs is gemaakt. figuur 3 $y$ $m$ $f$ $l$ $R$ $K$ $O$ $1$ x$ Een vergelijking van $l$ is $y = 1\frac{1}{4}x + \frac{15}{16}$. 3p 8 Bewijs dat $y = 1\frac{1}{4}x + \frac{15}{16}$ inderdaad een vergelijking van $l$ is. 5p 9 De oppervlakte van de grijs gemaakte vierhoek $OSMK$ in figuur 3 wijkt een beetje af van de oppervlakte van het grijze gebied in figuur 1. Bereken algebraïsch hoeveel procent deze afwijking is. Geef je eindantwoord in één decimaal. HA-1025-a-21-1-o 7 / 15 lees verder ### Pagina 8 Roeien In sportscholen vind je apparaten waarmee je een roeibeweging simuleert. Zo'n apparaat wordt een roei-ergometer genoemd. Zie de foto. foto [FIGUUR: Een persoon die op een roeiboot zit en aan het roeien is.] In figuur 1 zie je een serie zijaanzichten van de beweging van een roeier op een roei-ergometer. figuur 1 moment 1 moment 2 moment 3 moment 4 moment 5 [FIGUUR: Vijf illustraties van een roeier in verschillende posities tijdens het roeien, gelabeld 'moment 1' tot en met 'moment 5'.] Doordat het voetenbord vast zit, blijven de voeten vast op één punt. Wanneer de roeier de benen strekt en weer buigt, beweegt het zitje horizontaal van voor naar achter en weer terug. De roeibeweging begint op moment 1, waarna de roeier zijn benen strekt (momenten 2 en 3). Daarna worden de benen weer gebogen (momenten 4 en 5). HA-1025-a-21-1-o 8 / 15 lees verder ► ► ► ### Pagina 9 In figuur 2 zie je een model van een roeier op de momenten 1 en 3. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage. Het punt V is de voet, K is de knie en H is de heup (die in dit model samenvalt met het zitje). figuur 2 [FIGUUR: Een schematische tekening van een menselijk lichaam dat een roeihouding nabootst, met de punten V (voet), A1, K3, H3, A (heup op moment 1), K1, H1 (heup op moment 1). Afstanden zijn aangegeven met pijlen en nummers: 15, 48, 45. Hoeken zijn aangegeven: 60°.] [FIGUUR: Een schematische tekening van een menselijk lichaam dat een roeihouding nabootst, met de punten V, A1, K3, H3, A (heup op moment 1), K1, H1 (heup op moment 1). Afstanden zijn aangegeven met pijlen en nummers: 15, 48, 45. Hoeken zijn aangegeven: 60°.] In dit model geldt: – De lengte van het bovenbeen is 48 cm. – De lengte van het onderbeen is 42 cm. – Het hoogteverschil tussen heup en voet is 15 cm. – Tussen de momenten 1 en 3 schuift het zitje 45 cm naar voren. – De hoek tussen bovenbeen en onderbeen op moment 1 is 60°. – A is het punt recht onder de heup, op dezelfde hoogte als de voet. – Met A wordt de positie van A op moment 1 bedoeld enzovoorts. Op moment 1 is de afstand tussen de heup en de voet ($H_1V$) ongeveer 45,3 cm. Deze afstand kan exact berekend worden. 2p 10 Bereken exact de afstand in cm tussen de heup en de voet op moment 1. Je kunt hierbij de figuur op de uitwerkbijlage gebruiken. Ga bij het volgende onderdeel uit van $H_1V = 45,3$. Op moment 3 is het been bijna gestrekt, dus hoek $H_3K_3V$ is bijna 180°. Om deze hoek te berekenen, is het handig om gebruik te maken van de driehoeken $AH_1$ en $AVH_3$. 5p 11 Bereken hoek $H_3K_3V$. Je kunt hierbij de figuur op de uitwerkbijlage gebruiken. Geef je eindantwoord in gehele graden. HA-1025-a-21-1-o 9 / 15 lees verder ►►► ### Pagina 10 ```json { "page_type": "opgaven", "exam_info": { "subject": null, "year": null, "tijdvak": null }, "transcription": "Een sinusoïde en nog een sinusoïde\nDe functie $f$ wordt gegeven door $f(x)=3 \sin \\left(\\frac{1}{4} \\pi x\\right)$.\nHet punt $A$ is het eerste snijpunt van de grafiek van $f$ met de positieve\nx-as. Het punt $B$ is de derde top rechts van de y-as.\nDe lijn $k$ gaat door $A$ en $B$. In figuur 1 is de hoek $\\alpha$ aangegeven die lijn $k$\nmet de x-as maakt.\nfiguur 1\n[FIGUUR: Een grafiek van een sinusfunctie met de x-as en y-as. Een lijn $k$ snijdt de x-as bij punt $A$ en raakt een top van de sinuscurve bij punt $B$. De hoek tussen lijn $k$ en de positieve x-as is aangegeven met $\\alpha$.]\n6p 12 Bereken algebraïsch hoe groot hoek $\\alpha$ is. Geef je eindantwoord in gehele\ngraden.", "figures": [ "Een grafiek van een sinusfunctie met de x-as en y-as. Een lijn $k$ snijdt de x-as bij punt $A$ en raakt een top van de sinuscurve bij punt $B$. De hoek tussen lijn $k$ en de positieve x-as is aangegeven met $\\alpha$." ], "keywords": "sinusoïde, functie, sinus, snijpunt, grafiek, x-as, y-as, top, lijn, hoek, algebraïsch, graden" } ``` ### Pagina 11 In figuur 2 is de grafiek van $f$ getekend en ook de lijn met vergelijking $y=1\frac{1}{2}$. Deze lijn heeft oneindig veel snijpunten met de grafiek van $f$. Het eerste snijpunt rechts van de y-as is $K$, het vierde is $L$. In figuur 2 is met een stippellijn nog een de volgende geldt: De eerste top rechts van de y-as valt samen met $K$. De derde top rechts van de y-as valt samen met $L$. De sinusoïde raakt de lijn met vergelijking $y=-1$. figuur 2 [FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as loopt verticaal en de x-as horizontaal. Er zijn twee horizontale lijnen getekend, een bij $y=1\frac{1}{2}$ en een bij $y=-1$. Een golvende lijn, gelabeld $f$, stijgt en daalt en kruist de y-as. Twee punten op de lijn $y=1\frac{1}{2}$ zijn gemarkeerd als $K$ en $L$. Een gestippelde lijn, gelabeld $g$, begint links van de y-as en stijgt langzaam.] De functie $g$ die bij de gestippelde grafiek hoort, heeft een functievoorschrift van de volgende vorm: $g(x)=a\cdot \cos(b(x-c))+d$ Hierin zijn $a$, $b$, $c$ en $d$ getallen. 7p 13 Bereken exact voor elk van deze vier getallen een mogelijke waarde. HA-1025-a-21-1-o 11/15 lees verder ### Pagina 12 Driehoek met maximale oppervlakte De functie $f$ wordt gegeven door $f(x)=3\sqrt{x-2x+1}$. Het punt $T$ is de top van de grafiek van $f$. Zie figuur 1. figuur 1 [FIGUUR: Grafiek van een functie f in een x-y assenstelsel, met de y-as links en de x-as onder. De grafiek begint hoog links en daalt naar rechts. Er is een punt T aangegeven op de top van de curve. Het punt O is de oorsprong (0,0) en A is een punt op de x-as.] 4p 14 Bereken exact de coördinaten van $T$. Op het deel van de grafiek van $f$ dat boven de $x$-as ligt, wordt een punt $P$ gekozen. Het punt $A$ ligt op de $x$-as en heeft dezelfde $x$-coördinaat als $P$. In figuur 2 en figuur 3 is de situatie voor twee posities van $P$ geschetst. In figuur 3 is de oppervlakte van driehoek $OAP$ groter dan in figuur 2. figuur 2 [FIGUUR: Grafiek van een functie f in een x-y assenstelsel. Een punt P ligt op de grafiek. Het punt A ligt op de x-as, met dezelfde x-coördinaat als P. De oorsprong O is links van A. Er is een driehoek OAP getekend, met de schaduw in de driehoek.] figuur 3 [FIGUUR: Grafiek van een functie f in een x-y assenstelsel. Een punt P ligt op de grafiek. Het punt A ligt op de x-as, met dezelfde x-coördinaat als P. De oorsprong O is links van A. Er is een driehoek OAP getekend, met de schaduw in de driehoek.] Er is een positie van $P$ op de grafiek van $f$ zo dat de oppervlakte van driehoek $OAP$ maximaal is. Deze positie van $P$ kun je vinden door de oppervlakte van driehoek $OAP$ in $x$ uit te drukken, waarbij $x$ de lengte van zijde $OA$ is. 4p 15 Bereken de maximale oppervlakte van driehoek $OAP$. Geef je eindantwoord in drie decimalen. HA-1025-a-21-1-o 12 / 15 lees verder ►►► ### Pagina 13 Ga verder op de volgende pagina. HA-1025-a-21-1-o 13 / 15 lees verder ►►► ### Pagina 14 De invloed van leeftijd op hardloop P restaties Gemiddeld leveren langeafstandslopers de beste prestaties op een leeftijd van ongeveer 30 jaar. Daarna nemen de prestaties met de jaren af. Er bestaan meerdere modellen om de prestaties van langeafstandslopers van verschillende leeftijden met elkaar te vergelijken. In deze opgave komen twee van zulke modellen aan bod. Model 1 Dit model gaat ervan uit dat tussen 35 en 55 jaar de gemiddelde snelheid van langeafstandslopers bij wedstrijden met 0,8% per levensjaar afneemt. De halve marathon is een hardloopwedstrijd over een afstand van 21,0975 km. De Nederlandse hardloper Aart Stigter heeft meerdere keren aan de halve marathon van Egmond deelgenomen. In 1993 liep hij op 36-jarige leeftijd deze halve marathon met een gemiddelde snelheid van 19,5 km per uur. Precis 12 jaar later, in 2005, 16 liep hij dezelfde halve marathon in een tijd van 1 uur, 10 minuten en 4 seconden. Uitgaande van zijn gemiddelde snelheid in 1993 en een afname van die gemiddelde snelheid met 0,8% per levensjaar, heeft Aart Stigter in 2005 sneller gelopen dan model 1 voorspelt. 5p Bereken hoeveel seconden sneller. Geef je eindantwoord als geheel getal. Model 2 Dit model maakt gebruik van correctiegetallen voor de tijd. De World Master Athletics-bond (WMA) heeft tabellen uitgegeven met correctiegetallen om prestaties van hardlopers van verschillende leeftijden met elkaar te kunnen vergelijken. Met deze correctiegetallen kun je de tijd van elke hardloper omrekenen naar een tijd die hoort bij een 30-jarige met een gelijkwaardige prestatie. In de tabel zie je de correctiegetallen voor 36-jarigen en 49-jarigen op de halve marathon. Door de tijd van een 36-jarige hardloper met 0,9920 te verm en igvuldigeren krijg je de tijd die hoort bij een 30-jarige hardloper met een gelijkwaardige prestatie. Neem aan dat de correctiegetallen voor de leeftijden tussen 36 en 49 jaar bij benadering exponentieel afne men met de leeftijd. tabel leeftijd correctiegetal t.o.v. 30-jarige 36 0,9920 49 0,9039 ### Pagina 15 Bij de NK halve marathon 2019 was de 47-jarige Marcel Laros met een tijd van 4279 seconden de snelste in de categorie 45-49 jaar. Bij diezelfde halve marathon was de 36-jarige Wynfrith Meijwes de snelste in de categorie 35-39 met een tijd van 4130 seconden. 6p 17 Onderzoek op algebraïsche wijze welke van deze twee hardlopers de beste prestatie heeft geleverd volgens model 2. Bronvermelding Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd. HA-1025-a-21-1-o 15 / 15 einde