# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2019 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2019/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2019
tijdvak 2
woensdag 19 juni
13.30 - 16.30 uur

wiskunde B

Dit examen bestaat uit 16 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

HA-1025-a-19-2-o

### Pagina 2

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "wiskunde",
    "year": "2019",
    "tijdvak": "2"
  },
  "figures": [
    "Grafiek met de functies f en g, de y-as, x-as, de y-coördinaat 13, en de punten A en B op de grafiek van g en f respectievelijk, met een lijnstuk AB.",
    "Aanwezigheid van een horizontale lijn op y=13, met het punt A op de curve 'f'.",
    "Een curve 'g' die stijgt en een curve 'f' die stijgt.",
    "Markeringen op de assen met de labels y, x, en 13."
  ],
  "keywords": "logaritme, exponentiële functie, grafiek, translatie, lijnstuk, coördinaat, berekenen, exact"
}
```

### Pagina 3

Hoe lang is $DE$?
Gegeven is driehoek $ABC$ met $AB = 11$, $BC = 8$ en $AC = 5$.
Het punt $D$ ligt op zijde $AB$, zo dat lijnstuk $CD$ loodrecht op zijde $AB$ staat.
Het punt $E$ ligt op zijde $AC$, zo dat lijnstuk $DE$ evenwijdig is met zijde $BC$.
Zie de figuur.
figuur
[FIGUUR: Driehoek ABC met punt D op AB en punt E op AC. CD is loodrecht op AB. DE is evenwijdig aan BC. Afmetingen AB=11, AC=5, BC=8 zijn weergegeven. CD is een gestippelde lijn die een rechte hoek aangeeft met AB. DE is een gestippelde lijn.]
6p 3 Bereken algebraïsch de lengte van lijnstuk $DE$. Geef je eindantwoord in
twee decimalen.

### Pagina 4

Viscositeit
Er wordt veel onderzoek gedaan naar de
viscositeit van vloeistoffen.
De viscositeit van een vloeistof is een getal
dat aangeeft hoe stroperig die vloeistof is:
hoe groter de viscositeit, hoe stroperiger die
vloeistof.
Suiker kun je in water oplossen. De
concentratie suiker bepaalt de viscositeit
van de vloeistof die zo ontstaat. Aan het
begin van de twintigste eeuw is het
volgende theoretische verband afgeleid tussen de concentratie suiker en
de viscositeit:
$V=\frac{1+0,5C}{(1-C)^{4}}$
Hierin is $V$ de viscositeit en $C$ de concentratie suiker.
Hierbij wordt met een concentratie van bijvoorbeeld $C=0,3$ bedoeld dat
het volume van de suiker 30% van het totale volume van de vloeistof is.
Tessa heeft een glas water gekregen waarin suiker is opgelost.
De concentratie suiker in het water is 0,17. Vervolgens voegt ze nog meer
suiker toe. Na deze toevoeging blijkt de viscositeit verdubbeld te zijn.
4p 4
Bereken de concentratie suiker in het water na deze toevoeging. Geef je
eindantwoord in twee decimalen.
Ongeveer gelijktijdig met de vondst van de formule voor $V$ stelde de
scheikundige Emil Hatschek een lineaire formule op voor het verband
tussen de viscositeit en de concentratie suiker:
$V_{lin}=a\cdot C+b$
Hierin is $V_{lin}$ een benadering van $V$.
Voor dit lineaire verband geldt: $a=V^{\prime}(0)$ en $b=V(0)$.
De waarde van $V^{\prime}(0)$ kan benaderd worden door het differentiequotiënt
$\frac{\Delta V}{\Delta C}$ op een heel klein interval.
3p 5
Stel met behulp van het differentiequotiënt op het interval $[0; 0,001]$ een
formule op voor $V_{lin}$. Geef de getallen in je eindantwoord zo nodig in
één decimaal.
HA-1025-a-19-2-o
4/12
lees verder ► ► ►

### Pagina 5

Twee toppen en twee evenwijdige lijnen
De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = -(2x-3)^3 + 3x^2 - 6x + 4$.
Voor de afgeleide functie van $f$ geldt: $f'(x) = -24x^2 + 78x - 60$.

4p
6
Bewijs dat inderdaad geldt: $f'(x) = -24x^2 + 78x - 60$.
figuur
De grafiek van $f$ heeft twee
toppen. Dit zijn de punten
A en B. De lijn $k$ is de lijn
door A en B.
Het punt P (1, 2) ligt op de grafiek
van $f$.
De lijn $l$ is evenwijdig aan lijn $k$ en
gaat door P.
Lijn $k$ snijdt de x-as in punt K en
de y-as in punt M.
Lijn $l$ snijdt de x-as in punt L en
de y-as in punt N.

Vanwege de evenwijdigheid van
lijn $k$ en lijn $l$ is driehoek OKM
gelijkvormig met driehoek OLN.
Zie de figuur.

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as verticaal en de x-as horizontaal. Een curve die de functie $f$ voorstelt, met twee toppen A en B. Twee lijnen $k$ en $l$ die evenwijdig zijn. Lijn $k$ gaat door A en B. Lijn $l$ gaat door punt P en is evenwijdig aan $k$. Lijn $k$ snijdt de x-as in K en de y-as in M. Lijn $l$ snijdt de x-as in L en de y-as in N. De oorsprong is O. Een schaduwgebied begrensd door de y-as, de x-as en lijn $l$. Er zijn pijlen op de lijnen $k$ en $l$ die aangeven dat ze evenwijdig zijn.]

7p
7
Lijnstuk KM is z keer zo lang als lijnstuk LN.
Bereken exact de waarde van z.

### Pagina 6

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "NK Tegenwindfietsen",
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [
    "Een wielrenner in close-up, rijdend op een asfaltweg met witte stippellijn, met op de achtergrond gebouwen en een vangrail."
  ],
  "keywords": "NK Tegenwindfietsen, snelheid, fietser, tegenwind, vermogen, formule, berekenen, deelname, procent, deelname"
}
```

### Pagina 7

Wanneer je bergop fietst, moet je ook flink wat vermogen leveren. We
gaan er in de rest van de opgave vanuit dat er bij bergop fietsen geen
wind is. Ook nemen we aan dat de berg overal even steil is.
foto 2
[FIGUUR: Een fietser op een asfaltweg met bomen op de achtergrond]
Het vermogen dat een fietser moet leveren bij bergop fietsen, kun je dan
als volgt berekenen:
$P_{bergop} = 0,0273 \cdot m \cdot h \cdot v$
Hierin is $P_{bergop}$ het vermogen in watt (W), $m$ de totale massa van de
fietser en zijn fiets in kg, $h$ het hellingspercentage van de weg en $v$ de
snelheid van de fietser in km/uur.
In Zuid-Limburg ligt de Keutenberg. De weg naar de top is 1,2 km lang en
heeft een hellingspercentage van 5,9%. Ibrahim is een
amateurwielrenner. Hij legt de weg naar de top van de Keutenberg af met
een vermogen van 210 W. De massa van Ibrahim en zijn fiets is
in totaal 72 kg.
4p 9
Bereken hoe lang Ibrahim over de beklimming doet. Geef je eindantwoord
in gehele minuten.
De Alpe d'Huez is een berg in Frankrijk die zeer bekend is van de Tour de
France. De weg naar de top heeft een lengte van 13,4 km en een
hellingspercentage van 8,4%.
Tom wil de Alpe d'Huez met zijn racefiets beklimmen. Hij heeft zich als
doel gesteld om dat met een snelheid van 19 km/uur te gaan doen.
Als onderdeel van zijn training neemt hij deel aan het
NK Tegenwindfietsen, waarbij de wind een snelheid heeft van 70 km/uur.
Hij wil daarbij evenveel vermogen leveren als hij bij de rit op de
Alpe d'Huez moet leveren om zijn doel te halen. Tom en zijn racefiets
hebben samen een massa van 78 kg.
3p 10
Bereken de snelheid waarmee Tom moet fietsen bij het
NK Tegenwindfietsen in km/uur. Geef je eindantwoord in één decimaal.
HA-1025-a-19-2-0
7/12
lees verder ►►►
Beschikbaar gesteld door Stichting Studieveileding Leiden (SSL).

### Pagina 8

Een cirkel en functies met een wortel

De functie $f$ wordt gegeven door $f(x)=1+4\sqrt{x}$.
De lijn $l$ is de raaklijn aan de grafiek van $f$ in het punt $A(4, 9)$.
Verder is gegeven de cirkel $c$ met vergelijking $(x+2)^2 + (y+1)^2 = 8$.
Zie figuur 1.

figuur 1

[FIGUUR: Een grafiek met y-as en x-as. De y-as loopt verticaal en de x-as horizontaal. Op de x-as staat 'O' en 'x'. Er is een curve getekend die begint bij de y-as en omhoog loopt, gelabeld met 'f'. Er is een lijn getekend die de curve 'f' raakt, gelabeld met 'l'. Er is een cirkel getekend met middelpunt nabij de oorsprong, deels in het eerste kwadrant, gelabeld met 'c'. Een punt A is gemarkeerd op de lijn 'l'.]

Lijn $l$ en cirkel $c$ raken elkaar.
6p 11 Bewijs dit.

HA-1025-a-19-2-o
8 / 12
lees verder

### Pagina 9

Cirkel $c$ heeft twee snijpunten met de $y$-as. Een van die twee punten ligt
onder de $x$-as. Dit is het punt $S$. Zie figuur 2.
De functie $g$ heeft een functievoorschrift van de vorm $g(x) = p\sqrt{x} + q$.
De grafiek van $g$ heeft $S$ als randpunt en gaat bovendien door $A$.
In figuur 2 is ook de grafiek van $g$ weergegeven.
figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. Op de y-as ligt een punt S onder de oorsprong O. Er loopt een cirkel c die de x-as raakt en door S gaat. Op de grafiek van functie g, die begint bij S en naar rechtsboven loopt, ligt een punt A.]
5p 12 Bereken exact de waarden van $p$ en $q$.

### Pagina 10

Sinusoïde en lijn
De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = -1+\sin(2x-\frac{1}{6}\pi)$. De grafiek van $f$ is in figuur 1 weergegeven.
figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek van een sinusoïde met de y-as en x-as. De x-as is gemarkeerd met O en $\pi$. De sinusoïde snijdt de y-as iets onder 0. De curve stijgt vanaf links, passeert de x-as rond $\pi/3$, bereikt een maximum, daalt weer, passeert de x-as rond $5\pi/3$ en gaat verder naar beneden.]
Er zijn vier waarden van $x$ in het interval $0 \le x \le 2\pi$ waarvoor
geldt $f(x) = - \frac{1}{2}$.
6p 13 Bereken exact deze vier waarden van $x$.
De grafiek van $f$ raakt de $x$-as in oneindig veel punten. Van deze
raadpunten is het punt $A$ het punt met de kleinste positieve $x$-coördinaat.
Door $A$ gaat een stijgende lijn $l$ die een hoek van $75^{\circ}$ met de $x$-as maakt.
Punt $B$ is het snijpunt van lijn $l$ met de $y$-as. Zie figuur 2.
figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek die een deel van een sinusoïde laat zien rond een x-as snijpunt A. Een stijgende lijn l gaat door A en maakt een hoek van 75 graden met de positieve x-as. Punt B is het snijpunt van lijn l met de y-as.]
5p 14 Bereken de afstand tussen $A$ en $B$. Geef je eindantwoord in
twee decimalen.
HA-1025-a-19-2-o
10 / 12
lees verder ►►►

### Pagina 11

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": null,
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [
    "Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as is gemarkeerd met 'y' en de x-as met 'x'. Er zijn twee sinusoïdale grafieken getekend: een grotere grafiek genaamd 'f' en een kleinere grafiek genaamd 'g'. De grafiek van 'f' start bij de oorsprong (O) en heeft twee toppen en twee dalen binnen het interval van 0 tot $\pi$. De grafiek van 'g' start eveneens bij de oorsprong, maar heeft een kleinere amplitude en een kortere periode. Er zijn ook schaalaanduidingen zichtbaar op de x-as, waaronder $\pi$."
  ],
  "keywords": "sinusoïde, grafiek, periode, amplitude, snijpunt, functievoorschrift, cosinus, berekenen, getallen, waarde"
}
```

### Pagina 12

Viaduct de Garabit
Het Viaduct de Garabit is een spoorbrug die tussen 1880 en 1884 over de
rivier de Truyère in Frankrijk is gebouwd. Zie de foto.
foto
[FIGUUR: Foto van het Viaduct de Garabit]
De onderste boog is bij benadering een deel van een parabool.
We plaatsen de parabool in een assenstelsel, zodanig dat het beginpunt
van de boog zich in de oorsprong bevindt. Zie de figuur.
Verder is de afstand tussen beginpunt en eindpunt van de boog 165,00 m
en bevindt de top van de onderste boog zich 51,858 m boven de x-as.
figuur
[FIGUUR: Schematische weergave van de paraboolvormige boog van het Viaduct de Garabit met aanduiding van de oorsprong, de top, de breedte van de boog en de hoogte van de top boven de x-as.]
De parabool is te beschrijven met een formule van de vorm
$y = ax^2 + bx$ .
5p
16
Bereken algebraïsch de waarden van $a$ en $b$. Geef je eindantwoord in
vier decimalen.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.
HA-1025-a-19-2-o
12 / 12
einde