# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2019 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2019/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 18

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2019
tijdvak 1
donderdag 9 mei
13.30 - 16.30 uur
wis
kunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 18 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1025-a-19-1-o

### Pagina 2

Formule van Wilson
De geluidssnelheid in zeewater kan worden benaderd met de formule van
Wilson:
$v=1449,2+4,623 T-0,05467 T^{2}+1,391(Z-35)+\frac{D}{60}$
Hierin is
- $v$ de geluidssnelheid in m/s;
- $T$ de watertemperatuur in °C;
- $Z$ het zoutgehalte van het zeewater in promille (%%);
- $D$ de waterdiepte in m.
In enkele gesloten zeeën (zoals de Kaspische Zee en de Dode Zee) wijkt
het zoutgehalte sterk af van het zoutgehalte van open zeeën. Zo is het
zoutgehalte van de Dode Zee met 337%% ongeveer 10 keer zo hoog als
het zoutgehalte van gewoon zeewater.
De Kaspische Zee is met een gemiddeld zoutgehalte van 12%% veel
minder zout dan gewoon zeewater.
3p 1
Bereken bij gelijke watertemperatuur ($T$) en gelijke waterdiepte ($D$) het
verschil tussen de geluidssnelheid in de Dode Zee en in de Kaspische
Zee. Geef je eindantwoord in een geheel aantal m/s.
Bij een bepaalde watertemperatuur zal de geluidssnelheid in zeewater
maximaal zijn. Deze watertemperatuur is onafhankelijk van de waterdiepte
en het zoutgehalte. Daarom mogen $Z$ en $D$ als constanten worden
beschouwd bij het berekenen van deze watertemperatuur.
3p 2
Bereken algebraïsch de temperatuur in graden Celsius waarbij de
geluidssnelheid in zeewater maximaal is. Geef je eindantwoord in
één decimaal.
Vanuit een onderzeeboot kan men door middel van een sonarapparaat
afstanden bepalen. Hiervoor zendt de onderzeeboot een geluidssignaal
uit. Door een ander object in het water wordt dit signaal teruggekaatst.
Men meet het tijdsverschil tussen het moment van uitzenden van het
signaal en het moment waarop het teruggekaatste signaal weer
ontvangen wordt.
Een onderzeeboot en een object bevinden zich op 20 meter diepte in
zeewater van 10 °C met een zoutgehalte van 35%%. De onderzeeboot
zendt een geluidssignaal uit, dat door het object wordt teruggekaatst;
12,45 seconden nadat het is uitgezonden wordt het teruggekaatste
signaal weer opgevangen.
3p 3
Bereken hoe ver het object van de onderzeeboot verwijderd is. Geef je
eindantwoord in honderden meters.
HA-1025-a-19-1-0
2/12
lees verder

### Pagina 3

Ingeklemd

De functie $f$ is gegeven door $f(x) = -3+3\sqrt{x}$.
Het punt $A(4,3)$ ligt op de grafiek van $f$.

Verder is de lijn $l$ met vergelijking $y = \frac{3}{4}x$ gegeven.

4p 4 Lijn $l$ raakt de grafiek van $f$ in $A$.
Bewijs dit.

De cirkel $c$ heeft middelpunt $M$ met $x_M = 5$.
Bovendien raakt lijn $l$ cirkel $c$ in punt $A$. Zie de figuur.

figuur

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as is gelabeld met 'y' en de x-as is gelabeld met 'x'. Er is een kromme lijn getekend die start in de oorsprong (gelabeld met 'O') en naar rechtsboven buigt. Er is een cirkel getekend met middelpunt 'M' en een raaklijn 'l' die door punt 'A' gaat. De cirkel raakt de x-as bij het punt 5. De kromme lijn 'f' snijdt de raaklijn 'l' in punt 'A'.]

5p 5 Bewijs dat $c$ de x-as raakt.

HA-1025-a-19-1-o
3 / 12
lees verder ►►►


### Pagina 4

Twee exponentiële functies
De functies f en g zijn gegeven door $f(x) = 2^{\frac{1}{2}x+3}$ en $g(x) = 4^x$. Het punt A is het snijpunt van de grafieken van f en g. Zie de figuur.
figuur
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as verticaal en de x-as horizontaal. Twee exponentiële functies, aangeduid met 'f' en 'g', snijden elkaar in punt A. De oorsprong is aangeduid met 'O'.]
4p 6 Bereken exact de coördinaten van A.

3p 7 Bij de grafiek van f hoort de formule $y = 2^{\frac{1}{2}x+3}$.
Deze formule kan worden herschreven zodat $x$ wordt uitgedrukt in $y$.
Druk $x$ uit in $y$.

HA-1025-a-19-1-o
4 / 12
lees verder

### Pagina 5

In of uit
Bij tennis is het net aan de zijkanten
hoger dan in het midden. Zie de foto.
foto
De bovenrand van het net hangt aan
de zijkanten op een hoogte van
1,07 meter en in het midden op een
hoogte van 0,91 meter.
Het net is 10,06 meter breed.
We plaatsen dit net in een assenstelsel met het midden van het net op de
y-as en de onderkant van het net op de x-as. Zie figuur 1.
figuur 1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
X
De hoogte y van een willekeurig punt op de bovenrand van het net is te
benaderen door een parabool met een formule van de vorm $y = px^2 + q$
met $-5,03 \leq x \leq 5,03$. Hierbij zijn $x$ en $y$ in meters.
4p 8
Bereken de waarden van $p$ en $q$ die uit de gegevens volgen. Geef $p$ in drie
decimalen en $q$ in twee decimalen.
HA-1025-a-19-1-o
5/12
lees verder ►►►

### Pagina 6

Bij tennis is het soms moeilijk om te beoordelen of een bal binnen of
buiten de lijnen de grond raakt. Vaak wordt met behulp van camera's
vastgesteld waar een bal de grond raakt.

Om een idee te krijgen hoe zo'n systeem werkt, bekijken we een sterk
vereenvoudigd tweedimensionaal model met twee camera's. In figuur 2 is
een bovenaanzicht van één helft van het rechthoekige speelveld
weergegeven. Bovendien zijn in deze figuur enkele maten gegeven. Alle
maten zijn in meters.
Ook zijn de witte lijnen op het speelveld aangegeven. In het vervolg van
deze opgave verwaarlozen we de breedte van deze lijnen. De bal
beschouwen we als een punt.

figuur 2
D 4,115
C
6,40
R
P
11,89
B
A
10,97
In figuur 2 geldt:
– de stippellijn door CD geeft de plaats van het net aan;
– de lengte van de achterlijn AB is 10,97 m;
– de afstand van de achterlijn tot aan het net is 11,89 m;
– DQ = 4,115 m en DR = 6,40 m;
– rechthoek PQDR is het servicevak, waarin de bal volgens de regels
van het spel na de eerste slag op de grond moet komen.

HA-1025-a-19-1-o
6/12
lees verder

### Pagina 7

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "wiskunde",
    "year": "2019",
    "tijdvak": "1"
  },
  "figures": [
    "Een schematische weergave van een tennisveld vanuit vogelperspectief. Twee camera's, A en B, staan aan de zijkant van het veld. T is de positie van de bal. Twee stippellijnen verbinden T met A en B, en een boogje bij A en B duidt de kijkhoek aan."
  ],
  "keywords": "tennis, speelveld, camera's, bal, servicevak, hoek, berekening, rechthoek, eindexamen"
}
```

### Pagina 8

Grafiek van een derdegraadsfunctie en een lijn
De functie $f$ is gegeven door $f(x) = \left(\frac{1}{2}x - 2\right)^3$. Zie figuur 1.
figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek van een derdegraadsfunctie, beginnend in het derde kwadrant, stijgend door de oorsprong en eindigend in het eerste kwadrant. Een punt A is aangegeven op de grafiek waar de raaklijn horizontaal is.]
De functie $g$ is gegeven door $g(x) = x^3$. De grafiek van $f$ ontstaat uit de grafiek van $g$ door twee transformaties na elkaar toe te passen.
3p 10 Geef aan welke twee transformaties dit kunnen zijn en in welke volgorde
ze moeten worden toegepast.
De grafiek van $f$ snijdt de $x$-as in het punt $A$. Zie figuur 1.
5p 11 Bewijs dit.
De lijn $l$ met vergelijking $y = \frac{1}{2}x - 2$ snijdt de grafiek van $f$ behalve in
punt $A$ ook in de punten $P$ en $Q$. Zie figuur 2.
figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met de functie f en een lijn l. De lijn l snijdt de grafiek van f in de punten A, P en Q. De punten P en Q liggen rechts van A.]
3p 12 Bereken de lengte van $PQ$. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
HA-1025-a-19-1-o
8/12
lees verder

### Pagina 9

Sinusoïden

Op het domein [0, 2π] is de functie f gegeven door:
$f(x) = 1 + 2\cos\left(2x + \frac{1}{3}\pi\right)$
De grafiek van f snijdt de x-as achtereenvolgens in de punten P, Q, R en
S. Zie de figuur.

figuur
[FIGUUR: Een grafiek van een sinusoïde met de y-as en de x-as. De x-as is gemarkeerd met de punten O, P, Q, R, S, en een punt met x-coördinaat 2π. De sinusoïde start hoog op de y-as, daalt en snijdt de x-as bij P, bereikt een minimum, stijgt en snijdt de x-as bij Q, bereikt een maximum, daalt en snijdt de x-as bij R, bereikt een minimum, stijgt en snijdt de x-as bij S, en eindigt weer hoog op de y-as. De grafiek wordt aangeduid met 'f'.]

5p 13
De afstand PS is a keer zo groot als de afstand QR.
Bereken de waarde van a.

Op hetzelfde domein [0, 2π] is functie g gegeven door:
$g(x) = f(x) - 2 + 5\cos\left(2\left(x - \frac{1}{4}\pi\right)\right)$

De grafiek van g is ook een sinusoïde. Met andere woorden: g heeft een
functie voorschrift van de vorm $g(x) = p + q \cdot \cos(r(x-s))$.

5p 14
Bereken mogelijke waarden van p, q, r en s. Geef deze waarden zo nodig
in drie decimalen.

### Pagina 10

Schaal van Richter
Charles Richter heeft in 1935 een schaal opgesteld die de kracht van een
aardbeving in een getal uitdrukt. Dit wordt de schaal van Richter
genoemd.
De plaats waar een aardbeving ontstaat heet het epicentrum. Het is
mogelijk om op een bepaalde afstand tot het epicentrum de kracht van
een aardbeving te bepalen. Hiervoor wordt de grootte van de beweging
van de aardkorst in verticale richting gemeten. Deze verticale uitwijking is
de zogeheten amplitude.
De kracht van een aardbeving kan bepaald worden met behulp van een
nomogram. Hierbij wordt de afstand van de plaats van meting tot het


epicentrum als punt op de as 'afstand' in het nomogram aangegeven. De
gemeten amplitude wordt als punt op de as 'amplitude' in het nomogram
aangegeven. Het snijpunt van de lijn door deze twee punten met de
middelste as (kracht) geeft de kracht van de aardbeving.
Zie hieronder.
nomogram
500
400
300
200
100
afstand (km)
6
kracht
5
4
3
2
1
0
100
50
20
10
5
2
1
0,5
0,2
0,1
0,05
 amplitude (mm)
In het nomogram zie je bijvoorbeeld dat als op een afstand van ongeveer
220 km vanaf het epicentrum de amplitude 20 mm is, er een aardbeving
heeft plaatsgevonden met een kracht van 5 op de schaal van Richter.
Er geldt: als de amplitude van de ene aardbeving tien keer zo groot is als
de amplitude van een andere aardbeving, dan is de kracht van de
zwaarste beving 1,0 groter dan de kracht van de lichte beving.
Laat dit zien voor twee aardbevingen waarvan op 100 km van het
epicentrum de ene een amplitude van 0,1 mm heeft en de andere een
amplitude van 1 mm. Maak hierbij gebruik van het nomogram op de
uitwerkbijlage.
4p 15
HA-1025-a-19-1-0
10/12
lees verder

### Pagina 11

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {},
  "figures": [],
  "keywords": "Richter schaal, aardbeving, amplitude, afstand, formule, logaritme, oppervlakte, rampgebied, duizendtallen, p, q"
}
```

### Pagina 12

Loodrecht en raken
Cirkel c met middelpunt $M(-1, 3)$ raakt lijn $l$ met vergelijking $y = rac{1}{2}x - 1rac{1}{2}$ in
punt A.
Lijn $k$ staat loodrecht op $l$ en raakt $c$ in punt B. Punt C is het snijpunt van $k$
en $l$.
Lijnstukken AC en BC en cirkelboog AB sluiten het vlak V in. Zie de figuur,
waarin vlak V grijs is weergegegeven.
figuur
8p 18 Bereken algebraïsch de omtrek van V. Geef je eindantwoord in twee
decimalen.
HA-1025-a-19-1-o
12/12
einde