# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2018 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2018/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 18

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2018
tijdvak 2
woensdag 20 juni
13.30 - 16.30 uur

wis k un de B

Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 18 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 73 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

HA-1025-a-18-2-0

### Pagina 2

Piano
In figuur 1 zijn de witte en zwarte toetsen van een gewone piano getekend. In
totaal heeft deze piano 88 toetsen.
figuur 1
[FIGUUR: Een deel van een pianotoetsenbord, met de witte en zwarte toetsen getekend.]
De toetsen worden genummerd van links naar rechts. Zie figuur 2, waarin
de eerste vijftien toetsen met de bijbehorende volgnummers zijn getekend.
figuur 2 toetsen met volgnummers
[FIGUUR: Een deel van een pianotoetsenbord met de nummers 1 t/m 15 boven en onder de toetsen getekend. De zwarte toetsen hebben de nummers 2, 5, 7, 10, 12, 14.]
De tonen die met de toetsen van de piano voortgebracht worden, hebben
verschillende frequenties. Hoe verder een toets naar rechts zit, hoe groter de
frequentie van de bijbehorende toon. Bij de toets met volgnummer 1 hoort een
toon met een frequentie van 27,5 Hz (hertz). Bij de toets met volgnummer 49
hoort een toon met een frequentie van 440 Hz.
Het verband tussen het volgnummer van een toets en de frequentie van de
bijbehorende toon is exponentieel. Dus: wanneer je achtereenvolgens de
toetsen van links naar rechts bespeelt, neemt de frequentie van de
opeenvolgende tonen telkens met hetzelfde percentage toe.
4p 1 Bereken algebraïsch dit percentage in twee decimalen nauwkeurig.
HA-1025-a-18-2-o
2/12
leest verder

### Pagina 3

In de twintigste eeuw is de digitale piano ontwikkeld. Dit instrument, dat ook
88 toetsen heeft, bootst een gewone piano na. Bij digitale piano's wordt een
andere nummering voor de toetsen gebruikt: elke toets van de digitale piano
heeft een zogeheten MIDI-nummer. Zie figuur 3, waarin de eerste vijftien
toetsen met de bijbehorende MIDI-nummers zijn getekend.

figuur 3 toetsen met MIDI-nummers
[FIGUUR: een afbeelding van pianotoetsen met de nummers 21 tot en met 35 eronder. Zwarte toetsen zijn genummerd 22, 25, 27, 30, 32, 34. Witte toetsen zijn genummerd 21, 23, 24, 26, 28, 29, 31, 33, 35.]

De frequentie van de toon die bij een bepaalde toets hoort, kan worden
berekend met de volgende formule:
$f = 440 \cdot 2^{\frac{1}{12}(m-69)}$
Hierin is $f$ de frequentie van de toon in Hz en $m$ het MIDI-nummer van de
bijbehorende toets.
Algemeen wordt gesteld dat het menselijk gehoor in staat is om tonen met
een frequentie tussen 20 Hz en 20 000 Hz waar te nemen. Iemand wil daarom
de digitale piano uitbreiden met een aantal toetsen met MIDI-nummers zodat
zoveel mogelijk tonen met frequenties tussen 20 Hz en 20000 Hz voorkomen.
Bereken met bovenstaande formule hoeveel toetsen zo'n piano dan zal
hebben.
5p 2
HA-1025-a-18-2-o
3/12
lees verder

### Pagina 4

Twee paren punten op een cirkel
De cirkel $c$ met middelpunt $M$ is gegeven door de vergelijking
$x^2 + y^2 - 10x + 16y = 56$. Lijn $l$ is de lijn door het punt $A(4, 4)$ met
richtingscoëfficiënt $-1$. Deze lijn snijdt de cirkel behalve in het punt $A$ ook in
het punt $B$. Zie figuur 1.
figuur 1
[FIGUUR: Een cirkel met middelpunt M. De x- en y-assen kruisen elkaar in O. Een lijn l snijdt de cirkel in de punten A en B. Punt A ligt rechtsboven de oorsprong, punt B ligt rechtsonder de oorsprong. De lijn l heeft een negatieve helling.]
5p
3
Bereken exact de coördinaten van $B$.
De cirkel heeft twee snijpunten met de $x$-as. Dit zijn de punten $C(-4, 0)$ en
$D(14, 0)$. In figuur 2 zijn de stralen $MC$ en $MD$ getekend. Figuur 2 staat
vergroot op de uitwerkbijlage.
figuur 2
[FIGUUR: Een cirkel met middelpunt M. De x- en y-assen kruisen elkaar in O. Punten C en D liggen op de x-as. De stralen MC en MD zijn getekend, waarbij M zich onder de x-as bevindt.]
6p
4
Bereken $\angle CMD$. Geef je eindantwoord in graden en rond af op één
decimaal. Je kunt hierbij de uitwerkbijlage gebruiken.
HA-1025-a-18-2-o
4 / 12
lees verder ►►►

### Pagina 5

Logaritme van een kwadratische functie

De functie $f$ wordt gegeven door:
$f(x) = ^2\log(x^2 - 3x + 3)$
In figuur 1 is de grafiek van $f$ weergegeven.
figuur 1
[FIGUUR: Grafiek van een functie f met x- en y-assen. De grafiek heeft een minimum en loopt naar rechts omhoog.]

De grafiek van $f$ lijkt geen verticale asymptoot te hebben. De grafiek van
de standaardfunctie $y = ^2\log(x)$ heeft wél een verticale asymptoot.
3p 5 Bewijs dat de grafiek van $f$ inderdaad geen verticale asymptoot heeft.

Gegeven is het punt $P(4, 0)$.
De grafiek van $f$ wordt over een afstand $a$ naar rechts verschoven.
Hierdoor ontstaat de grafiek van de functie $g$.
Er zijn twee waarden van $a$ waarvoor de grafiek van $g$ door $P$ gaat. Zie
figuur 2.
figuur 2
[FIGUUR: Grafiek met x- en y-assen. Drie curves zijn getekend, waaronder twee met stippellijnen en een met een gestippelde lijn met de labels 'f' en 'g'. Er is een punt P aangegeven op de x-as.]

5p 6 Bereken exact deze twee waarden van $a$.

HA-1025-a-18-2-o 5 / 12 lees verder ► ► ►

### Pagina 6

Trapezium
Een trapezium is een vierhoek met twee evenwijdige zijden.
Gegeven is trapezium ABCD waarvan de zijden AB en CD evenwijdig zijn.
Verder geldt: AB = 6, AC = 5, AD = 3, ∠B = 55° en ∠ACB > 90°.
De afstand tussen AB en CD, de hoogte van het trapezium, is h.
Zie de figuur. Deze figuur staat tweemaal op de uitwerkbijlage getekend.
figuur
[FIGUUR: Een trapezium ABCD, met AB en CD als evenwijdige zijden. De lengtes van AD is 3, AC is 5, en AB is 6. Er is een loodrechte lijn getekend vanuit D naar AB, met de hoogte aangeduid als h. De hoek ∠B is 55°.]
Afgerond op twee decimalen is ∠BAC gelijk aan 24,41°.
4p 7 Bereken ∠BAC algebraïsch en rond je eindantwoord af op
drie decimalen. Je kunt hierbij de uitwerkbijlage gebruiken.
De oppervlakte van het trapezium is te berekenen met de volgende
formule:
oppervlakte = h ·
AB + CD
2
5p 8 Bereken de oppervlakte van het trapezium met behulp van deze formule.
Rond je eindantwoord af op één decimaal. Je kunt hierbij de uitwerkbijlage
gebruiken.
HA-1025-a-18-2-o
6/12
lees verder ► ► ►

### Pagina 7

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "Productiviteit",
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [
    "Grafiek met de verticale as P (%) en de horizontale as T (°C). De grafiek toont een kromme die eerst stijgt en dan daalt, met een maximum rond T=25.",
    "Kleine grafiek met de verticale as P (%) en de horizontale as T (°C).",
    "Kleine grafiek met de verticale as P (%) en de horizontale as T (°C)."
  ],
  "keywords": "Productiviteit, temperatuur, formule, grafiek, ideale temperatuur, benaderde formule"
}
```

### Pagina 8

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "Sinus",
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [
    "Grafiek van de functie f(x) = 3sin(πx) op het domein [-8/7, 8/7] met een horizontale lijn y = 3/2 die de grafiek snijdt in de punten P en Q. De assen zijn aangeduid met y en x, en het punt O is de oorsprong."
  ],
  "keywords": "Sinus, functie, domein, grafiek, lijn, snijpunten, x-coördinaten, sinusfunctie, goniometrie"
}
```

### Pagina 9

De grafiek van $f$ snijdt de positieve $x$-as in het punt $A$. De grafiek van $f$ heeft
een top rechts van de $y$-as. Dit is punt $T$. De punten $A$ en $T$ zijn in figuur 2
aangegeven.
Er bestaat één derdegraadsfunctie $g$ waarvoor geldt:
– het functievoorschrift is van de vorm $g(x) = ax^3 + bx$
én
– de grafiek gaat door $A$ en $T$.
De grafiek van $g$ is gestippeld getekend in figuur 2.
figuur 2
[FIGUUR: Grafiek met twee functies, f (solide lijn) en g (gestippelde lijn). De y-as is gelabeld met 'y' en de x-as met 'x'. De oorsprong is gelabeld met 'O'. De grafiek van f snijdt de positieve x-as bij punt A. De grafiek heeft een top bij punt T.]
Uit bovenstaande gegevens volgt: $a+b=0$ en $\frac{1}{8}a+\frac{1}{2}b=3$.
4p 12 Toon dit aan.
3p 13 Bereken exact de waarden van $a$ en $b$.

### Pagina 10

Gebroken functies
Op het domein \langle 0, \rightarrow \rangle zijn de functies $f$ en $g$ gegeven door:
$f(x) = x + \frac{1}{x}$ en $g(x) = \frac{x}{4} + \frac{4}{x}$
Op het gegeven domein hebben de grafieken van $f$ en $g$ één snijpunt.
4p 14 Bereken exact de x-coördinaat van dit snijpunt.
De functies $f$ en $g$ zijn voorbeelden van functies met een functievoorschrift
van de vorm $h(x) = \frac{x}{a} + \frac{a}{x}$ met $a > 0$ en domein $\langle 0, \rightarrow \rangle$.
In figuur 1 is voor een aantal waarden van $a$ de grafiek van $h$ getekend.
figuur 1
y
$a=\frac{1}{2}$
$a=1$
$a=5$
O
X
De afgeleide van $h$ wordt gegeven door:
$h'(x) = \frac{x^2 - a^2}{ax^2}$
3p 15 Bewijs dit.
HA-1025-a-18-2-o
10/12
lees verder

### Pagina 11

Voor elke waarde van $a$ heeft de grafiek van $h$ één top. In figuur 2 is voor
enkele waarden van $a$ de top met een stip aangegeven.
figuur 2
6
5
4
3
2
1
O
$a = \frac{1}{2}$
$a = 1$
$a = 2$
$a = 5$
De $y$-coördinaat van elke top in figuur 2 is gelijk aan 2.
Het is zelfs zo dat voor elke waarde van $a$ (met $a > 0$) de $y$-coördinaat van de
top van de grafiek van $h$ gelijk is aan 2.
4p
16
Bewijs dit.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
HA-1025-a-18-2-o
11/12
lees verder

### Pagina 12

Macht en lijnen
De functie f is gegeven door:
$f(x) = \frac{3}{16x^4}$
De horizontale lijn met vergelijking $y = \frac{1}{32}$ snijdt de grafiek van f in twee
punten.
3p 17 Bereken exact de afstand tussen deze twee punten.
Op de grafiek van f ligt het punt $A(1, \frac{3}{16})$. De lijn l is de raaklijn aan de grafiek
van f in het punt A. Lijn l snijdt de y-as in punt B. Zie de figuur.
figuur
[FIGUUR: Een grafiek met de functie f, de raaklijn l, het punt A op f, het punt B op de y-as, en de x- en y-assen.]
5p 18 Bereken exact de y-coördinaat van B.
HA-1025-a-18-2-o
12 / 12
einde