# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2018 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2018/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 18

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2018
tijdvak 1
donderdag 24 mei
13.30 - 16.30 uur
wis k un de B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 18 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1025-a-18-1-o

### Pagina 2

Macht van 2
De functie f is gegeven door $f(x) = 4 - 2^{0,3x-2}$.

3p 1 Op de grafiek van $f$ ligt een punt $R$. De $y$-coördinaat van $R$ is 2.
Bereken exact de $x$-coördinaat van $R$.

De grafiek van $f$ snijdt de $x$-as in het punt $Q$.
Verder zijn gegeven het punt $P(0,5)$ en de lijn $l$ door $P$ en $Q$.
Lijn $l$ en de grafiek van $f$ snijden elkaar behalve in $Q$ ook in het punt $S$.
Zie de figuur.
figuur
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as links en de x-as onderaan. De oorsprong is gemarkeerd met O. De y-as loopt van 0 omhoog, de x-as van 0 naar rechts. Een punt P ligt op de y-as. Een rechte lijn l gaat door P en snijdt de x-as in Q. Een kromme lijn f gaat door S en Q, en buigt naar beneden af. De lijnen l en f snijden elkaar bij Q op de x-as. Punt S ligt op de kromme lijn f en op de rechte lijn l.]

6p 2 Bereken de coördinaten van $S$. Rond deze coördinaten af op twee decimalen.

De grafiek van $f$ wordt 20 naar links en 10 omhoog geschoven.
Hierdoor ontstaat de grafiek van een functie $g$.
De functie $g$ kan geschreven worden in de vorm $g(x) = a + b \cdot 2^{0,3x}$.
3p 3 Bereken de waarden van $a$ en $b$.

HA-1025-a-18-1-o
2 / 12
lees verder >>>

### Pagina 3

Afstand 5
De lijn l is gegeven door de vergelijking $y = \frac{3}{4} x + \frac{11}{4}$. Verder is gegeven
het punt $P(6, 1)$.
6p 4 De afstand tussen l en P is 5.
Bewijs dit.
De cirkel c met middelpunt M is gegeven door $x^2 + y^2 - 28x - 32y = -308$.
In de figuur zijn punt P en cirkel c met middelpunt M weergegeven.
figuur
y
O
X
De afstand tussen c en P is ook 5.
4p 5 De afstand tussen M en P is groter dan de afstand tussen M en de x-as.
Bereken exact het verschil tussen deze twee afstanden.
HA-1025-a-18-1-o
3 / 12
lees verder ► ► ►

### Pagina 4

Hardlopen

Hardlopers die regelmatig een bepaalde afstand lopen, zijn vaak nieuwsgierig naar hun eindtijd op een andere afstand.
De Amerikaanse onderzoeker Pete Riegel stelde in 1977 de volgende formule op:
$v_2 = v_1 \cdot \left(\frac{s_1}{s_2}\right)^{0,06}$
Hiermee kan met behulp van de bekende gemiddelde snelheid $v_1$ op een bepaalde afstand $s_1$, de te verwachten gemiddelde snelheid $v_2$ op een andere afstand $s_2$ worden uitgerekend.

Hardlopers gebruiken vaak de volgende vuistregel: als de afstand
verdubbelt, dan neemt je gemiddelde snelheid met 6% af.
3p 6
Onderzoek of de bovenstaande formule aan deze vuistregel voldoet.

In de onderstaande tabel staan de wereldrecords hardlopen op de weg
bij de heren op een aantal afstanden zoals ze in het jaar 2015 waren.
tabel

wereldrecordtijd in 2015
afstand
(in meters)
wedstrijd
uren
minuten
seconden
10 km
10 000
26
44
15 km
15 000
41
13
10 mijl
16 093
44
23
20 km
20 000
55
21
halve marathon
21 097
58
23
25 km
25 000
1
11
18
30 km
30 000
1
27
37
marathon
42 195
2
02
57
In de hardloopsport wordt vaak gekeken naar de tijd die een hardloper
gemiddeld over een kilometer doet. Dit wordt het loop tempo genoemd.

3p 7
Bereken het looptempo van het wereldrecord op de marathon in het jaar
2015. Geef je eindantwoord in hele minuten en seconden nauwkeurig.

### Pagina 5

In onderstaande figuur is de logaritme van de tijd $t$ in uren tegen de
logaritme van de afstand $s$ in kilometers van de wereldrecords op de
afstanden uit de tabel uitgezet. Deze punten liggen bij benadering op een
rechte lijn, die ook in de figuur is getekend.
Deze figuur staat ook vergroot op de uitwerkbijlage.
figuur
log (t)
↑
0,5
0,4
0,2
0,1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
log (s)
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
8
B
5p
Bepaal met behulp van de lijn in de figuur op de uitwerkbijlage het te
verwachten wereldrecord hardlopen op een afstand van 50 kilometer.
Geef je eindantwoord in hele uren en minuten nauwkeurig.
De helling
De functie $f$ is gegeven door $f(x) = \frac{2}{3}(x-1)^3 - \frac{1}{2}x$.
6p
9
Bereken exact voor welke waarden van $x$ de helling van de grafiek van $f$
groter is dan $3\frac{1}{2}$.
HA-1025-a-18-1-o
5/12
lees verder

### Pagina 6

Horizontsafstand
Als men vanaf bijvoorbeeld een hoog gebouw of een berg vrij zicht heeft
tot aan de horizon, is de horizon verder weg dan wanneer er vanaf de
grond naar de horizon gekeken wordt.
Het kijken naar de horizon gebeurt vanuit het oog O in een rechte lijn naar
een punt P op de horizon.
figuur 1
De hoogte waarop het oog zich bevindt
nemen we de kijkhoogte.
De afstand OP tot aan de horizon
nemen we de horizonafstand.
De horizonafstand a in meters hangt af
van de kijkhoogte h in meters boven de
grond. Zie figuur 1.
P
a
0
h
aarde
Hoe groter de kijkhoogte, hoe groter de horizonafstand.
De horizonafstand a is bij benadering evenredig met $\sqrt{h}$.
In figuur 2 is dit evenredige verband tussen a en $\sqrt{h}$ door middel van een
rechte lijn weergegeven. Bovendien zijn van een aantal punten op deze
lijn de coördinaten gegeven.
figuur 2
60 000
a (m)
↑ 50 000
40 000
30 000
20 000
10 000
(1,76; 6586)
(5,57; 20 827)
(7,88; 29 454)
(12,45; 46 570)
(15,75; 58 907)
0
0
5
10
15
20
$\, \sqrt{h}$
3p 10
Figuur 2 staat ook vergroot op de uitwerkbijlage.
Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage welke kijkhoogte
hoort bij een horizonafstand van 40 km. Geef je eindantwoord in hele
meters nauwkeurig.
HA-1025-a-18-1-o
6/12
lees verder >>>

### Pagina 7

Bij benadering geldt:
a = 3741√h
Hierin is a weer de horizonafstand in m en h weer de kijkhoogte in m.
De horizonafstand kan ook in kilometers uitgedrukt worden. Het verband
tussen de horizonafstand k in kilometers en h kan worden beschreven met
een formule van de vorm $k=\sqrt{c ⋅ h}$.
3p 11 Bereken algebraïsch de waarde van c. Geef je eindantwoord in helen
nauwkeurig.
Het licht van de Lange Jaap, een vuurtoren bij Den Helder, reikt 30
zeemijl ver. Een zeemijl is 1852 m.
De lamp van de Lange Jaap bevindt zich op een hoogte van 57 m. Vanaf
een kijkhoogte van 2 m is het licht van de Lange Jaap op een afstand van
30 zeemijl niet (rechtstreeks) te zien, omdat de vuurtoren zich dan achter
de horizon bevindt.
De maximale afstand d waarop het licht van een vuurtoren een
waarnemer (rechtstreeks) kan bereiken is afhankelijk van de hoogte H
waarop de lamp van een vuurtoren zich bevindt, en van de kijkhoogte h
van de waarnemer. Zie figuur 3.
figuur 3
waarnemer
aarde
vuurtoren
H
d
Bij benadering geldt:
$d = 3,74 ⋅ (\sqrt{H} + \sqrt{h})$
Hierin is d de maximale afstand in km waarop het licht van een vuurtoren
een waarnemer (rechtstreeks) kan bereiken, H de hoogte van het licht van
de vuurtoren in m en h nog steeds de kijkhoogte in m.
Wanneer het licht van de Lange Jaap op een afstand van 30 zeemijl vanaf
een kijkhoogte van 2 m wel (rechtstreeks) zichtbaar zou zijn, zou de lamp
zich een stuk hoger moeten bevinden.
5p 12 Bereken hoeveel keer zo hoog de lamp zich dan minstens zou moeten
bevinden. Geef je eindantwoord in één decimaal nauwkeurig.
HA-1025-a-18-1-o
7 / 12
lees verder

### Pagina 8

Raaklijnen door de oorsprong
De functie f is gegeven door $f(x) = \frac{1}{2x-3} - x - 1$.
De lijn k raakt de grafiek van f in het punt A(1, -3). Zie figuur 1.
figuur 1
5p 13
Lijn k gaat door de oorsprong.
Bewijs dit met behulp van differentiëren.
HA-1025-a-18-1-o
8/12
lees verder ►►►

### Pagina 9

De lijn $l$ met vergelijking $y = -\frac{11}{9}x$ raakt de rechtertak van de grafiek van $f$ in het punt $B$. Zie figuur 2.

figuur 2

[FIGUUR: Grafiek met een y-as en x-as. Een lijn l gaat door de oorsprong en snijdt een curve f. De curve f heeft een verticale asymptoot. Een punt B ligt op de rechtertak van f en op de lijn l. Een andere lijn snijdt de linker tak van f niet.]

Lijn $l$ snijdt de linkertak van de grafiek van $f$ niet.

6p 14 Bewijs dit.

### Pagina 10

Hoogwerker
foto
Met behulp van een hoogwerker kan een
monteur bepaalde werkzaamheden op hoogte
uitvoeren. Zie de foto.
Hierbij staat de monteur in een bak, die is
bevestigd aan twee scharnierende draagarmen.
De twee draagarmen draaien ten opzichte van
elkaar en ten opzichte van het wagentje waaraan
de onderste draagarm bevestigd is.
In deze opgave bekijken we een vereenvoudigd
2-dimensionaal model van de situatie.
Zie figuur 1, waarin dit is weergegeven.
figuur 1
C
300 cm
B
50°
A
250 cm
Punt A is het scharnierpunt op het wagentje, punt B het scharnierpunt van
de twee draagarmen en punt C het einde van de bovenste draagarm
waaraan de bak bevestigd is.
De lengte van draagarm AB is 250 cm.
De lengte van draagarm BC is 300 cm.
In de situatie zoals weergegeven in figuur 1 geldt dat BC horizontaal is.
Hoek ABC is dan 50 graden.
HA-1025-a-18-1-0
10/12
lees verder ►►►

### Pagina 11

In figuur 2 is ook het punt D weergegeven. D is de loodrechte projectie
van A op de verticale lijn door C. Deze verticale lijn is in figuur 2
gestippeld weergegeven. Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 2
C
300 cm
B
250 cm
D
A
De afstand AD is ongeveer 139 cm.
3p 15
Toon dit aan. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de
uitwerkbijlage.
Wanneer de monteur de bak rechthoog verplaatst, zal hoek ABC
toenemen. Zie figuur 3. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 3
C
300 cm
B
292 cm
250 cm
D
A
139 cm
4p 16
De monteur verplaatst de bak rechthoog tot CD = 292 cm.
Bereken in dit geval de toename van hoek ABC in hele graden
nauwkeurig. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de
uitwerkbijlage.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
HA-1025-a-18-1-o
11/12
lees verder

### Pagina 12

(Co)sinus
Op het domein [0, 2] is de functie $f$ gegeven door:
$f(x) = 2 + 3 \sin(\pi(x + \frac{1}{4}))$
Verder is de lijn $l$ gegeven door de vergelijking $y = \frac{7}{2}$. Zie figuur 1.
figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek van een sinusfunctie $f$ en een horizontale lijn $l$. De y-as is gelabeld met $y$ en de x-as is gelabeld met $x$ en heeft markeringen op 0, 1, en 2. De lijn $l$ snijdt de y-as op 3.5.]
Op het gegeven domein snijden $l$ en de grafiek van $f$ elkaar in twee
punten.
4p 17 Bereken exact de $x$-coördinaten van deze punten.
Een functie $g$ heeft een functievoorschrift van de vorm:
$g(x) = p + q \cdot \cos(r(x-s))$
Er geldt:
- De periode van $g$ is 4.
- Het hoogste punt van de grafiek van $g$ valt samen met het hoogste
punt van de grafiek van $f$.
- De amplitude van de grafiek van $g$ is twee keer zo groot als de
amplitude van de grafiek van $f$.
Zie figuur 2.
figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met twee curven, gelabeld $f$ en $g$. De y-as is gelabeld met $y$ en de x-as is gelabeld met $x$ en heeft markeringen op 0, 1/2, 1 en 2. De curve $f$ is een sinusgolf, en de curve $g$ lijkt op een omgekeerde cosinusgolf.]
5p 18 Bereken mogelijke exacte waarden van $p$, $q$, $r$ en $s$.
HA-1025-a-18-1-o
12 / 12
einde