# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2017 tijdvak 2 > Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2017/tijdvak-2 ## Vragen in dit examen ### Vraag 1 – Opgave 1 ### Vraag 2 – Opgave 2 ### Vraag 3 – Opgave 3 ### Vraag 4 – Opgave 4 ### Vraag 5 – Opgave 5 ### Vraag 6 – Opgave 6 ### Vraag 7 – Opgave 7 ### Vraag 8 – Opgave 8 ### Vraag 9 – Opgave 9 ### Vraag 10 – Opgave 10 ### Vraag 11 – Opgave 11 ### Vraag 12 – Opgave 12 ### Vraag 13 – Opgave 13 ### Vraag 14 – Opgave 14 ### Vraag 15 – Opgave 15 ### Vraag 16 – Opgave 16 ### Vraag 17 – Opgave 17 ### Vraag 18 – Opgave 18 ### Vraag 19 – Opgave 19 ## Opgaven (tekst van het examen) ### Pagina 1 Examen HAVO 2017 tijdvak 2 woensdag 21 juni 13.30 - 16.30 uur wiskunde B Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden. Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt. Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redener worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. HA-1025-a-17-2-o ### Pagina 2 Afstand tussen twee raaklijnen De functie $f$ is gegeven door $f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 4x$. De grafiek van $f$ snijdt de $x$-as achtereenvolgens in $M$, de oorsprong $O(0, 0)$ en $N$. Zie figuur 1. figuur 1 [FIGUUR: Een assenstelsel met de grafiek van een functie $f$. De grafiek snijdt de $x$-as bij de punten $M$, $O$ en $N$. De y-as is ook getekend.] 3p 1 Bereken exact de afstand tussen $M$ en $N$. De lijnen $k$ en $l$ zijn evenwijdige raaklijnen aan de grafiek van $f$. Lijn $k$ raakt de grafiek van $f$ in het punt $A(-2, 4)$. Zie figuur 2. figuur 2 [FIGUUR: Een assenstelsel met de grafiek van een functie $f$ en twee lijnen, $k$ en $l$. Lijn $k$ is een raaklijn aan de grafiek bij punt $A$. Lijn $l$ is een evenwijdige raaklijn lager in de grafiek.] De afstand van $O$ tot $k$ is de helft van de afstand tussen $k$ en $l$. 7p 2 Bereken algebraïsch de afstand tussen $k$ en $l$. Geef je eindantwoord in twee decimalen nauwkeurig. HA-1025-a-17-2-o 2 / 12 lees verder ### Pagina 3 Over een cirkel gespannen De cirkel $c$ met middelpunt $M(0, 5)$ is gegeven door $x^2 + (y-5)^2 = 25$. De punten $C(-4,8)$ en $D(4,8)$ liggen op de cirkel. De lijn $k$ is de raaklijn aan $c$ in punt $C$ en de lijn $l$ is de raaklijn aan $c$ in punt $D$. Punt $A$ is het snijpunt van $k$ met de $x$-as en punt $B$ is het snijpunt van $l$ met de $x$-as. Zie figuur 1. figuur 1 [FIGUUR: Een cirkel met middelpunt M op de y-as. De x-as snijdt de cirkel aan de onderkant. Twee lijnen raken de cirkel aan de bovenkant bij de punten C en D. De lijnen kruisen elkaar boven de cirkel en snijden de x-as bij de punten A en B.] De coördinaten van punt $B$ zijn $(10,0)$. 3 Bewijs dit. (4p) Tussen $A$ en $B$ wordt denkbeeldig een touwtje gespannen dat over de cirkel heen gaat. Het touwtje is zo gespannen dat het tussen $C$ en $D$ precies over de cirkel ligt. Zie figuur 2. Het touwtje is recht tussen $A$ en $C$ en tussen $D$ en $B$. figuur 2 [FIGUUR: Een cirkel met middelpunt M op de y-as. De x-as snijdt de cirkel aan de onderkant. Een lijnsegment raakt de cirkel bij punt C en loopt naar punt A op de x-as. Een ander lijnsegment raakt de cirkel bij punt D en loopt naar punt B op de x-as. De lijnen AC en DB lijken een touwtje te vormen, gespannen over de cirkel tussen C en D.] 4 Bereken in één decimaal nauwkeurig de lengte van het touwtje. (5p) HA-1025-a-17-2-o 3 / 12 lees verder ### Pagina 4 Zonnepanelen De prijs van elektrische energie – gewoonlijk elektriciteit genoemd – stigt niet elk jaar met hetzelfde percentage. In de tabel staan de groeipercentages ten opzichte van het voorafgaande jaar voor de periode van 1997 tot en met 2006. tabel jaar prijsstijging ten opzichte van het voorafgaande jaar in gehele procenten 3p 5 Uit de gegevens in de tabel volgt dat de prijs van elektriciteit in 10 jaar tijd ongeveer is verdubbeld. Toon dit aan. 1996 1997 2 1998 1 1999 7 Een verdubbeling in 10 jaar kan ook bereikt worden door de prijs van elektriciteit jaarlijks met een vast percentage te laten stijgen. Bereken op algebraïsche wijze dit percentage. Rond je eindantwoord af op één decimaal. 2000 14 4p 6 2001 26 2002 3 2003 3 2004 5 Met zonnepanelen kan worden bespaard op de elektriciteitskosten. Hoeveel er met zonnepanelen kan worden bespaard, hangt in deze opgave alleen af van de prijsstijging van elektriciteit en van de elektriciteitsopbrengst van de zonnepanelen. 2005 8 2006 6 Zonder rekening te houden met de kosten van aankoop en installatie kan de totale besparing vanaf het moment van installatie worden berekend met behulp van de volgende formule: $B = \frac{19.9V}{P} \cdot \left( \left(1 + \frac{P}{100}\right)^t - 1 \right)$ Hierin is $B$ de totale besparing in euro's, $V$ de elektriciteitsprijs in euro per jaar, $V$ de elektriciteitsproductie van de zonnepanelen in kWh per jaar, $P$ het percentage waarmee de elektriciteitsprijs jaarlijks stijgt en $t$ het aantal jaren na aanschaf. 3p 7 In januari 2006 werden zonnepanelen geplaatst. De kosten voor de aankoop en installatie hiervan zijn € 13 000,-. De zonnepanelen leveren 2250 kWh per jaar. We nemen aan dat de elektriciteitsprijs jaarlijks steeds met 7% stijgt. Na een aantal jaren zal de totale besparing groter zijn dan de aanschafprijs van de zonnepanelen. Bereken na welk aantal jaren dit voor het eerst het geval is. HA-1025-a-17-2-0 4 / 12 lees verder Beschikbaar gesteld door Stichting Studibegeleiding Leiden (SSL). ### Pagina 5 Een school heeft een grote hoeveelheid zonnepanelen op het dak staan. In het jaar 2011 was de elektriciteitsopbrengst van deze zonnepanelen in totaal 45 000 kWh, waarvan 520 kWh in de maand december. In het toename diagram in de figuur zijn de gegevens van het eerste halfjaar van 2012 verwerkt. figuur [FIGUUR: Een staafdiagram met de maanden op de x-as (jan t/m dec) en de toename in elektriciteitsopbrengst (in kWh) op de y-as, lopend van -1500 tot 3000. Er zijn staven getekend voor jan, feb, mrt, apr, mei en jun.] Uiteindelijk bleek dat in het jaar 2012 5000 kWh minder elektriciteit werd geproduceerd dan in 2011. 3p 8 Bereken hoeveel elektriciteit er in het tweede halfjaar van 2012 is geproduceerd. Geef je eindantwoord in honderden kWh nauwkeurig. HA-1025-a-17-2-0 5/12 lees verder ►►► ### Pagina 6 De toppen van de grafiek van een gebroken functie De functie $f$ is gegeven door: $$f(x) = \frac{2x^2 + 18}{3x}$$ De punten $A$ en $B$ zijn de toppen van de grafiek van $f$. Zie de figuur. [FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De oorsprong is aangegeven met O. Er zijn twee takken van een hyperbool. Een tak bevindt zich in het tweede en vierde kwadrant met een toppunt A onder de x-as. De andere tak bevindt zich in het eerste en derde kwadrant met een toppunt B boven de x-as.] 5p 9 Bereken exact de coördinaten van $A$ en $B$. HA-1025-a-17-2-o 6 / 12 lees verder ► ► ► ### Pagina 7 Sinus en wortel Op het domein $[0, 2]$ is de functie $f$ gegeven door: $f(x) = 1 - 2 \sin(\pi x)$ 4p 10 Bereken exact de nulpunten van $f$. Verder is gegeven de functie $g$ door $g(x) = -1 + \sqrt{16x - 8}$. Zie de figuur. [FIGUUR: Een assenstelsel met de y-as naar boven en de x-as naar rechts. De oorsprong is aangegeven met O. Twee functiegrafieken zijn getekend. Eén grafiek, aangegeven met f, begint linksboven, daalt en kruist de x-as. De andere grafiek, aangegeven met g, begint linksonder, stijgt en kruist de x-as, en gaat dan verder omhoog. De grafiek van g is een rechte lijn die de grafiek van f snijdt in een punt Q.] De punten $P$ en $Q$ zijn de toppen van de grafiek van $f$. 4p 11 Bewijs dat $P$ en $Q$ op de grafiek van $g$ liggen. 5p 12 Bereken exact de helling van de grafiek van $g$ in het snijpunt van de grafiek van $g$ met de $x$-as. HA-1025-a-17-2-o 7 / 12 lees verder ### Pagina 8 Tegels stapelen Door gelijke rechthoekige tegels 'netjes' op elkaar te stapelen kan een toren gebouwd worden die naar één kant overhelt. Zie de foto. foto [FIGUUR: Stapel rechthoekige tegels, waarbij elke volgende tegel naar rechts uitschuift, waardoor een trede-achtig effect ontstaat. De uitschuiflengtes zijn aangegeven met pijlen en breuken.] Het uitsteken van de gestapelde tegels vanaf de onderste tegel wordt de overhang genoemd. De overhang is maximaal als de stapel tegels nog net in evenwicht is, dus net niet omvalt. De maximale overhang $M$ bij een stapel van $n$ tegels ontstaat als volgt: – laat tegel 1 (de bovenste tegel) een halve telegellengte uitsteken ten opzichte van tegel 2 (de eronder liggende tegel); – laat tegel 2 een kwart uitsteken ten opzichte van tegel 3; – laat tegel 3 een zesde uitsteken ten opzichte van tegel 4; – enzovoort. Algemeen geldt dan: tegel $t$ steekt $\frac{1}{2t}$-deel van een telegellengte uit ten opzichte van tegel $t + 1$. Zie de figuur. figuur Bij een bepaald aantal tegels is de maximale overhang meer dan één telegellengte. 3p 13 Bereken vanaf welk aantal tegels dit het geval is. HA-1025-a-17-2-o 8 / 12 lees verder ►►► ### Pagina 9 In de rest van deze opgave nemen we tegels van 30 cm lang en 15 cm breed met een dikte van 3 cm. Deze tegels stapelen we weer 'netjes' op elkaar, zoals op de foto en in de figuur. Bij deze tegels kan de maximale overhang $M$ benaderd worden met de formule: $M = 34,54 \cdot \log(n-1) + 8,658 + \frac{15}{2(n-1)} + \frac{5}{4(n-1)^2}$ (1) Hierin is $M$ de maximale overhang in cm en is $n$ het totaal aantal tegels in de stapel, met $n \ge 2$. Wanneer er voldoende tegels beschikbaar zijn, kan in theorie de maximale overhang zo groot worden gemaakt als gewenst. Met de genoemde 3 cm dikke tegels wordt een overhang van 1 meter gemaakt. 4p 14 Bereken hoeveel cm hoog de stapel tegels in dit geval minstens moet worden volgens formule (1). Voor grote waarden van $n$ kan $M$ benaderd worden met de formule: $M = 34,54 \cdot \log(n-1) + 8,658$ (2) Hierin is $M$ weer de maximale overhang in cm en is $n$ weer het totaal aantal tegels in de stapel. 4p 15 Bereken voor welke waarde van $n$ de benadering van $M$ met formule (2) voor het eerst minder dan 0,1 centimeter afwijkt van de benadering met formule (1). HA-1025-a-17-2-o 9 / 12 lees verder ►►► ### Pagina 10 Pluto De dwergplaneet Pluto beweegt om de zon. De afstand van Pluto tot de zon is niet altijd even groot. De plaats waar Pluto zich het dichtst bij de zon bevindt wordt het perihelium genoemd, de plaats waar Pluto zich het verst van de zon af bevindt het aphelium. De baan van Pluto wordt in een assenstelsel weergegeven met de zon in de oorsprong en het perihelium en het aphelium op de x-as. In figuur 1 is een mogelijke positie van Pluto (P) weergegeven. figuur 1 [FIGUUR: Een assenstelsel met de x-as en y-as. De oorsprong is gemarkeerd als 'zon'. Een ellips die de baan van Pluto voorstelt is getekend. Het punt 'perihelium' ligt op de negatieve x-as. Het punt 'aphelium' ligt op de positieve x-as. Een punt P(x,y) ligt op de ellips in het eerste kwadrant, met een lijn die van de zon naar P loopt.] Bij de bovenste helft van deze baan in het assenstelsel hoort (bij benadering) de volgende formule: $$y = \sqrt{1500 - \frac{15}{16}(x-10)^2} \quad (1)$$ Hierbij zijn x en y in astronomische eenheden AE ($1AE = 150$ miljoen km). Uit formule (1) volgt dat de afstand van Pluto tot de zon in het perihelium 30 AE is en in het aphelium 50 AE. 5p 16 Bewijs dit. HA-1025-a-17-2-o 10 / 12 lees verder ► ► ► ### Pagina 11 Een ander model voor de afstand van Pluto tot de zon luidt: $r = \frac{37,5}{1+0,25 \cdot \cos(\alpha)}$ (2) Hierin is $r$ de afstand van Pluto tot de zon in AE en is $\alpha$ de hoek tussen het lijnstuk zon-Pluto en het lijnstuk zon-perihelium. Zie figuur 2. [FIGUUR: Cirkel met de zon in het centrum, getekend als een punt. De aphelium is aan de rechterkant, de perihelium aan de linkerkant. Een lijnstuk vanuit de zon naar een punt P op de cirkel is gelabeld met r. De hoek tussen de lijn zon-aphelium en de lijn zon-P is gelabeld met alpha.] 4p 17 Beredeneer op algebraïsche wijze met behulp van formule (2) dat de minimale afstand van Pluto tot de zon gelijk is aan 30 AE en de maximale afstand 50 AE. Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina. HA-1025-a-17-2-o 11 / 12 lees verder ► ► ► ### Pagina 12 Rakende cirkels De cirkel $c$ met middelpunt $R$ is gegeven door $(x+4)^2 + (y-5)^2 = 49$ en de cirkel $d$ met middelpunt $S$ is gegeven door $(x-14)^2 + (y-8)^2 = 16$. Een derde cirkel $e$, met middelpunt $T$ op de $x$-as, raakt aan beide cirkels. Verder liggen $c$ en $d$ buiten $e$. Zie de figuur. [FIGUUR: Een assenstelsel met de y-as en x-as. Cirkel c met middelpunt R links van de y-as. Cirkel d met middelpunt S rechts van de y-as, hoger gelegen dan de x-as. Cirkel e met middelpunt T op de x-as, tussen cirkel c en d in, en rakend aan beide.] De $x$-coördinaat van $T$ noemen we $p$, dus $OT=p$. Er geldt: de afstand van $R$ tot $T$ is gelijk aan $\sqrt{p^2+8p+41}$. 3p 18 Bewijs dit. De lijn door $R$ en $T$ gaat door het raakpunt van de cirkels $c$ en $e$. Bovendien gaat de lijn door $S$ en $T$ door het raakpunt van de cirkels $d$ en $e$. Verder is de afstand van $S$ tot $T$ gelijk aan $\sqrt{p^2-28p+260}$. 5p 19 Bereken de straal van cirkel $e$.