# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2016 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2016/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 18

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2016
tijdvak 2
donderdag 23 juni
13:30 - 16:30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 18 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redener worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1025-a-16-2-o

### Pagina 2

HA-1025-a-16-2-o 2/13 lees verder ►►►


### Pagina 3

Drie snijpunten

De functie $f$ is gegeven door $f(x) = \sqrt[3]{x^3 + 3x^2 + 2x}$. De grafiek van $f$ snijdt de $x$-as in drie punten. Zie de figuur.

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as links van de oorsprong en de x-as naar rechts. De grafiek toont een kromme die eerst onder de x-as begint, dan twee keer de x-as snijdt, een lokale maximum en minimum heeft, en vervolgens boven de x-as verder stijgt.]

figuur

2p 1 Bereken de $x$-coördinaten van de drie snijpunten van de grafiek van $f$ met de $x$-as.

Verder is gegeven de horizontale lijn $l$ met vergelijking $y = p$. De grafiek van $f$ snijdt $l$ in drie punten.

4p 2 Bereken voor welke waarden van $p$ dit het geval is. Rond de getallen in je antwoord af op drie decimalen.

HA-1025-a-16-2-o 3 / 13 lees verder ► ► ►

### Pagina 4

Zuinig verpakken

Chocolademelk wordt vaak verpakt in karton. Op foto’s 1 en 2 zie je twee
verschillende kartonnen verpakkingen: een voordeelpak en een klein
pakje.
foto 1
[FIGUUR: Een groot pak chocolademelk met de tekst "VOORDEELPAK" op de zijkant.]
foto 2
[FIGUUR: Een klein pakje chocolademelk.]

Deze twee verpakkingen hebben de vorm van een balk. Het voordeelpak
heeft een inhoud van 1,50 liter. De hoogte van dit pak is 24,5 cm. Het
kleine pakje heeft een inhoud van 0,20 liter. De afmetingen van dit kleine
pakje zijn 4,8 bij 3,5 bij 12,0 cm.
De dikte van het karton, de naden en ook de sluitingen van de pakken
worden in deze opgave verwaarloosd.

4p 3 Het voordeelpak is géén vergroting van het kleine pakje.
Toon dit aan.

Chocolademelk wordt ook in blikjes met een inhoud van
0,25 liter verpakt. Zie foto 3.
Zo’n blikje heeft bij benadering de vorm van een cilinder. De
hoogte van deze cilinder is 12,8 cm en de diameter van het
grondvlak is 5,0 cm.
De dikte van het materiaal, de naden, de sluiting en de holle
bodem worden hierbij verwaarloosd.
foto 3
[FIGUUR: Een blikje chocolademelk.]

Bij het bepalen van de vorm van een verpakking wil men de
hoeveelheid verpakkingsmateriaal zo klein mogelijk houden. Om
te onderzoeken of men zuinig geweest is met de hoeveelheid materiaal,
kan gebruik worden gemaakt van het isoperimetrisch quotiënt ($IQ$).

HA-1025-a-16-2-0
4 / 13
lees verder ►►►

### Pagina 5

4p 4 Bereken welke verpakking het meest efficiënt is, het kleine pakje of het blikje.
Het $IQ$ geldt niet alleen voor verpakkingen, maar kan voor alle lichamen berekend worden.
Een bol is een bijzonder lichaam, want een bol blijkt het hoogste $IQ$ te hebben.
Het $IQ$ van een lichaam hangt alleen maar af van de vorm van dat lichaam en niet van de grootte ervan. Daarom is de waarde van het $IQ$ voor alle bollen gelijk.
4p 5 Bereken exact het $IQ$ van een bol.
Vierdegraadsfunctie
De functie $f$ is gegeven door $f(x) = (x^2 - 7)^2 - 25$. De grafiek van $f$ snijdt de $x$-as achtereenvolgens in de punten $A, B, C$ en $D$. Zie de figuur.
[FIGUUR: Grafiek van een vierdegraadsfunctie met de x-as en y-as. De grafiek snijdt de x-as in vier punten, genaamd A, B, C en D. De y-as is gedefinieerd. De grafiek heeft een lokale maximum bij de y-as en twee lokale minima, aan weerszijden van de oorsprong.]
6p 6 Lijnstuk $AD$ is langer dan lijnstuk $BC$. Bereken exact hoeveel keer zo lang.
7p 7 Bepaal op exacte wijze het bereik van $f$.
HA-1025-a-16-2-o 5 / 13 lees verder ► ► ►

### Pagina 6

Energieverbruik
Sinds het begin van de industriële revolutie is het totale jaarlijkse
energieverbruik in de Verenigde Staten (VS) nagenoeg exponentieel
toegenomen.
$E$ is het totale energieverbruik per jaar in de VS in joule per jaar. In
figuur 1 is voor een aantal jaren $\log(E)$ aangegeven. Figuur 1 staat ook
vergroot op de uitwerkbijlage.
figuur 1
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as log(E) van 0 tot 20 en op de x-as de jaren van 1650 tot 2000. De grafiek toont een exponentiële groei van het energieverbruik door de jaren heen.]
4p 8 1 exajoule is gelijk aan $10^{18}$ joule.
Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage het totale
energieverbruik in de VS in het jaar 1950 in hele exajoules nauwkeurig.
Licht je antwoord toe.
HA-1025-a-16-2-o
6/13
lees verder

### Pagina 7

De punten in figuur 1 liggen bij benadering op een rechte lijn. Deze lijn $l$ is in figuur 2 getekend.

figuur 2
[FIGUUR: Scatterplot van log(E) tegen jaar, met een rechte lijn die de datapunten benadert.]
jaar

Een formule voor lijn $l$ is:
$$ \log(E) = 0,0125t + 15,8 $$
Hierin is $E$ het totale energieverbruik per jaar in de VS in joule per jaar en $t$ het aantal jaren met $t = 0$ voor het jaar 1650.

3p 9 Bereken in welk jaar volgens de formule in de VS voor het eerst meer dan $3,0 \cdot 10^{20}$ joule aan energie zal worden verbruikt.

Een onderzoeker voorspelt dat het wereldwijde energieverbruik na 2010 exponentieel groeit, waarbij het elke honderd jaar tien keer zo hoog wordt.

Op 1 januari 2010 was het wereldwijde energieverbruik $1,2 \cdot 10^{13}$ joule per seconde. De aarde ontvangt van de zon veel meer energie, maar liefst $1,7 \cdot 10^{17}$ joule per seconde. Als alle energie die de aarde van de zon ontvangt door de mens gebruikt zou kunnen worden, dan zouden we nu theoretisch gezien alleen met zonne-energie kunnen volstaan. Volgens bovengenoemde voorspelling zullen we in de toekomst op een gegeven moment toch meer energie verbruiken dan de aarde van de zon ontvangt.

4p 10 Bereken over hoeveel eeuwen dit volgens deze voorspelling het geval zal zijn.

HA-1025-a-16-2-o 7 / 13 lees verder ► ► ►

### Pagina 8

Sinusoïden

Op het domein $[0, \frac{5}{2}\pi]$ is de functie $f$ gegeven door
$f(x) = 2 \cos(\frac{1}{2}x - \frac{1}{8}\pi)$. Zie figuur 1.

[FIGUUR: Grafiek van de functie f(x) = 2 cos(1/2 x - 1/8 pi) over het domein [0, 5/2 pi]. De y-as loopt van -2 tot 2. De x-as loopt van 0 tot 2pi.]

3p 11 Bereken exact de x-coördinaat van het snijpunt van de grafiek van $f$ met de x-as.

De punten $A$ en $B$ zijn de toppen van de grafiek van $f$. Lijn $k$ gaat door $A$ en $B$. Zie figuur 2.

[FIGUUR: Grafiek met twee punten A en B op de curve f. Een lijn k gaat door A en B. De y-as loopt van -2 tot 2. De x-as loopt van 0 tot 2pi.]

De coördinaten van $A$ en $B$ zijn $(\frac{1}{4}\pi, 2)$ en $(\frac{9}{4}\pi, -2)$.
Een vergelijking voor $k$ is $y = -\frac{2}{\pi}x + \frac{5}{2}$.

2p 12 Toon aan dat deze vergelijking voor $k$ met behulp van de coördinaten van $A$ en $B$ opgesteld kan worden.

HA-1025-a-16-2-o 8/13 lees verder ►►►

### Pagina 9

Op hetzelfde domein is de functie $g$ gegeven door $g(x) = \sin (x - \frac{1}{4}\pi)$.
De toppen van de grafiek van $g$ liggen ook op $k$. Zie figuur 3.
figuur 3
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as lopend van -2 tot 2 en de x-as met markeringen op $\pi$, $2\pi$. Er zijn drie krommen getekend. De eerste kromme is een curve die begint op de y-as bij ongeveer 2, daalt en eindigt net boven de x-as. Een punt A is gemarkeerd op deze curve. De tweede kromme is een golvende lijn die start op de y-as, stijgt naar een piek, daalt en weer stijgt. Er is een punt k gemarkeerd op de stijgende flank. De derde kromme, aangeduid met g, is een golvende lijn die begint aan de rechterkant van de y-as, daalt, weer stijgt en dan weer daalt. Een punt B is gemarkeerd op de dalende flank. Een lijn loopt van de y-as door punt A en eindigt ergens voor $2\pi$ op de x-as, met de label f.]
5p 13 Toon dit met exacte berekening aan.
HA-1025-a-16-2-o 9 / 13 lees verder

### Pagina 10

Het midden en de top
De functie $f$ is gegeven door $f(x) = (x+1)(x^2 - 5x + 5)$. De grafiek van $f$ snijdt de positieve $x$-as in de punten $A$ en $B$. Het punt $M$ is het midden van lijnstuk $AB$. Zie figuur 1.
figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek van een functie $f$. De y-as is verticaal en de x-as is horizontaal. Het punt $O$ is de oorsprong. De grafiek snijdt de x-as bij punten $A$ en $B$. Het punt $M$ ligt op de x-as tussen $A$ en $B$. De grafiek gaat door $O$ en nadien naar beneden en dan weer naar boven, snijdend de x-as bij $A$ en $B$.]
De $x$-coördinaat van $M$ is gelijk aan $2\frac{1}{2}$.
4p 14 Toon dit met exacte berekening aan.
Het punt $C$ is een top van de grafiek van $f$. De verticale lijn door $M$ gaat niet door $C$. Zie figuur 2.
figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek van een functie $f$ en een verticale lijn. De y-as is verticaal en de x-as is horizontaal. Het punt $O$ is de oorsprong. De grafiek snijdt de y-as bij de oorsprong en gaat naar beneden en nadien weer naar boven. Het punt $C$ is een top van de grafiek. De verticale lijn is getekend bij $x = 2\frac{1}{2}$ en gaat door het punt $M$ op de x-as.]
6p 15 Bereken exact het verschil tussen de $x$-coördinaten van $M$ en $C$.
HA-1025-a-16-2-o
10 / 13
lees verder

### Pagina 11

Het Gebouw
In Leidsche Rijn staat Het Gebouw,
een bouwwerk naar een idee van
kunstenaar Stanley Brouwn. Zie foto 1.
foto 1
[FIGUUR: Een modern gebouw met witte kubistische vormen en grote ramen.]
De vorm van Het Gebouw wordt bepaald
door twee op elkaar liggende balken. Elke
balk heeft een lengte van 27,30 meter,
een breedte van 3,90 meter en een
hoogte van 3,90 meter. De onderste balk
rust op de grond. De balken liggen in het midden op elkaar onder een
hoek van 90°. In figuur 1 is een model van Het Gebouw getekend. In
figuur 2 zie je het bovenaanzicht van dit model.
figuur 1
figuur 2
[FIGUUR: Twee rechthoekige balken die elkaar kruisen onder een hoek van 90 graden, vanuit een isometrisch perspectief.]
[FIGUUR: Twee rechthoekige balken die elkaar kruisen onder een hoek van 90 graden, vanuit een vogelperspectief.]
Een groot deel van deze op elkaar liggende balken van Het Gebouw komt
met de buitenlucht in aanraking.
3p 16 Bereken de oppervlakte van dit deel. Geef je antwoord in hele m²
nauwkeurig.
HA-1025-a-16-2-o
11 / 13
lees verder ►►►

### Pagina 12

In figuur 3 zie je nogmaals het
bovenaanzicht van het model van
Het Gebouw. Hierin is ook een
horizontale kijklijn $P Q$ aangegeven.
Deze kijklijn maakt in het bovenaanzicht
een hoek van 45° met de beide balken.
Kijkend in de richting van $P Q$ zie je
Het Gebouw als in foto 2.
6p 17 Teken een aanzicht op schaal 1 : 390
van Het Gebouw (zonder ramen en
deuren) in de richting van de kijklijn $P Q$.
Licht je werkwijze toe.
figuur 3
[FIGUUR: Een bovenaanzicht van een kruisvormig gebouw met een stippellijn die een kijkrichting aangeeft met de letters P en Q.]
foto 2
[FIGUUR: Een foto van een modern, kubistisch gebouw met verschillende kubusvormige elementen.]
HA-1025-a-16-2-o
12 / 13
lees verder ►►►

### Pagina 13

Twee parabolen

De functie $f$ is gegeven door $f(x) = x^2 - 6x$.
De grafiek van $f$ snijdt de $x$-as in de oorsprong en in het punt $A$.
De grafiek van de functie $g$ raakt de $x$-as in $A$ en gaat door de top $T$ van de grafiek van $f$. Zie de figuur.

[FIGUUR: Een grafiek met twee parabolen. De y-as is verticaal en de x-as is horizontaal. De oorsprong is gemarkeerd met O. Een parabool, gelabeld met f, opent naar boven en snijdt de x-as bij O en A. Een andere parabool, gelabeld met g, opent naar beneden, raakt de x-as bij A, en heeft een top T links van de y-as.]

$g$ heeft een functievoorschrift van de vorm $g(x) = ax^2 + bx + c$.

7p 18 Bereken exact $a$, $b$ en $c$.

HA-1025-a-16-2-o 13 / 13 einde