# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2016 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2016/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 18

### Vraag 19 – Opgave 19

### Vraag 20 – Opgave 20

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2016
tijdvak 1
maandag 23 mei
13:30 - 16:00 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 20 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft er meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1025-a-16-1-0

### Pagina 2

Blokkendoos
Op foto 1 zie je een blokkendoos gevuld met houten blokken. De
blokkendoos bevat onder andere vier cilinders met een diameter van 5 cm
en een hoogte van 10 cm. Deze vier cilinders zijn op foto 1 aangegeven
met de letter c.
In deze opgave verwaarlozen we de ruimte tussen de blokken, en gaan
we er dus van uit dat de blokken strak in de doos passen, en dat alle
blokken precies tot de bovenrand van de doos reiken.
foto 1
[FIGUUR: Een bovenaanzicht van een houten doos gevuld met verschillende houten blokken. Sommige blokken zijn rechthoekig, andere zijn cilindervormig of driehoekig. Er zijn labels 'c' bij vier cilindervormige blokken, een label '1' bij een driehoekig blok en een label '2' bij een cirkelvormig/halfcirkelvormig blok.]
Hoewel alle blokken strak tegen elkaar liggen, blijft er vanwege de vier
cilinders toch nog ruimte in de doos over. De doos is dus niet geheel
gevuld met het hout van de blokken.
De binnenafmetingen van deze doos zijn 30 bij 25 bij 5 cm.
4p 1 Bereken hoeveel procent van de doos gevuld is met het hout van de
blokken. Rond je antwoord af op een geheel aantal procenten.
HA-1025-a-16-1-0
2 / 11
lees verder

### Pagina 3

Op foto 1 zijn twee blokken genummerd. Deze blokken worden op elkaar
gelegd. Zie foto 2.
[FIGUUR: Foto van twee blokken, blok 1 is een prisma en blok 2 is een brugvorm.]
foto 2

Het vooraanzicht van het bouwwerk op foto 2 is symmetrisch. Het
bouwwerk bestaat uit:
— blok 1: een prisma met hoogte 5 cm en met als grondvlak een
gelijkbenige rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 5 cm;
— blok 2: een blok in de vorm van een brug met buitenafmetingen 5 bij 5
bij 10 cm.

3p 2 Teken op ware grootte het bovenaanzicht van dit bouwwerk. Licht je
werkwijze toe.

5p 3 Blok 2, het blok in de vorm van een brug, is een balk van 5 bij 5 bij 10 cm
met daaruit weggelaten de helft van een cilinder met diameter 7 cm en
hoogte 5 cm.
Bereken de totale oppervlakte van dit blok. Geef je antwoord in hele cm²
nauwkeurig.

HA-1025-a-16-1-o 3 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 4

Dit is een opgavepagina van een examen wiskunde, gericht op het analyseren van een wortelfunctie en een lineaire functie. De pagina bevat twee figuren (figuur 1 en figuur 2) die de grafieken van de wortelfunctie f(x) = √(-3x + 6) en de lineaire functie k (y = -7/4 x + 7/2) weergeven. Figuur 1 toont de twee functies en hun snijpunten, terwijl figuur 2 een verticale lijn x=p introduceert, die de functies snijdt in punten A (op lijn k) en B (op functie f).

De opgave bestaat uit drie vragen. Vraag 4 vraagt de student om algebraïsch aan te tonen dat lijn k door het snijpunt van functie f met de x-as gaat. Dit vereist het bepalen van de x-intercept van f en het controleren of dit punt op k ligt. Vraag 5 vraagt om het snijpunt van f en k te berekenen, specifiek de x-coördinaat, nauwkeurig tot twee decimalen. Dit houdt in dat de vergelijking f(x) = k(x) opgelost moet worden. Vraag 6 introduceert het concept van een variabele parameter p en de verticale afstand tussen de punten A en B op de lijn x=p. De student wordt gevraagd om met behulp van differentiëren (differentiaalrekening) de waarde van p te vinden waarvoor deze verticale afstand maximaal is. Dit houdt in dat een functie voor de afstand tussen A en B moet worden opgesteld als functie van p en vervolgens de afgeleide hiervan gelijkgesteld moet worden aan nul om het maximum te vinden.

### Pagina 5

Schijngestalten van de maan

Van de maan is ook bij een wolkeloze hemel niet altijd een even groot
gedeelte zichtbaar. Het percentage van de maan dat zichtbaar is, verloopt
bij benadering periodiek. Voor het jaar 2017 is dit percentage in
Nederland te benaderen met de formule:
$P = 50 + 50 \sin(0,212769t - 1,042563)$
Hierin is $P$ het percentage van de maan dat zichtbaar is en $t$ is de tijd in
dagen met $t=0$ op 1 januari 2017 om 0:00 uur.

3p 7 Bereken de periode van $P$ in hele minuten nauwkeurig.
De vorm van het zichtbare gedeelte van de maan wordt de schijngestalte
van de maan genoemd. Vier speciale schijngestalten zijn nieuwe maan,
eerste kwartier, volle maan en laatste kwartier. Zie de figuur, waarin ze
op volgorde staan afgebeeld, elk met het bijbehorende percentage van de
maan dat zichtbaar is.

figuur

[FIGUUR: vier afbeeldingen van de maan die de schijngestalten nieuwe maan, eerste kwartier, volle maan en laatste kwartier tonen]
nieuwe maan
eerste kwartier
volle maan
laatste kwartier
nieuwe maan
0% zichtbaar
50% zichtbaar
100% zichtbaar
50% zichtbaar
0% zichtbaar

De volgorde waarin deze schijngestalten voorkomen, is dus altijd: eerst
nieuwe maan, dan eerste kwartier, dan volle maan en daarna laatste
kwartier. Daarna volgt opnieuw nieuwe maan, enzovoort.

3p 8 Bereken met behulp van de formule voor $P$ op welke datum in 2017 het
voor het eerst nieuwe maan zal zijn.

4p 9 Onderzoek met behulp van de formule voor $P$ tussen welke twee
opeenvolgende schijngestalten de maan zich op 22 februari 2017 zal
bevinden.

HA-1025-a-16-1-o
5 / 11
lees verder

### Pagina 6

Gebroken functie en raaklijn

De functie $f$ is gegeven door $f(x) = \frac{12}{x-3} + 4$. Lijn $l$ raakt in de oorsprong aan de grafiek van $f$. Zie figuur 1.

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De oorsprong is gemarkeerd met O. Er zijn twee krommen getekend die asymptotisch zijn. Eén kromme bevindt zich in het eerste en derde kwadrant, de ander in het tweede en vierde kwadrant. Een rechte lijn, lijn l, gaat door de oorsprong en raakt aan de kromme in het vierde kwadrant. De letters f en l staan bij de krommen.]

De richtingscoëfficiënt van $l$ is $-\frac{4}{3}$.

3p 10 Toon met behulp van differentiëren aan dat de richtingscoëfficiënt van $l$ inderdaad $-\frac{4}{3}$ is.

HA-1025-a-16-1-o 6 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 7

Op de grafiek van $f$ ligt punt $B$ met $x$-coördinaat 2. Punt $A$ ligt op de $y$-as en heeft dezelfde $y$-coördinaat als $B$. Punt $C$ ligt op de $x$-as en heeft dezelfde $x$-coördinaat als $B$.
Lijn $l$ snijdt zijde $BC$ van rechthoek $OABC$ in punt $D$. Zie figuur 2.
figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as, x-as, een hyperbool als functie f, en een lijn l. Punten A, B, C, D en O zijn gemarkeerd.]
Lijn $l$ verdeelt rechthoek $OABC$ in twee delen: driehoek $ODC$ en trapezium $OABD$.
6p 11 Bereken exact hoeveel keer zo groot de oppervlakte van trapezium $OABD$ is in vergelijking met de oppervlakte van driehoek $ODC$.
HA-1025-a-16-1-o 7 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 8

Karpers
foto

In het begin van hun leven ontwikkelen karpers
zich van larve tot klein visje. Aan het einde van
deze ontwikkeling heeft het visje een lengte van
ongeveer 1,9 cm.
De lengte van de karperlarve in centimeter noemen we $L$.
Het gewicht van de karperlarve in gram noemen we $G$.
In de figuur is het verband tussen $\log(L)$ en $\log(G)$ weergegeven.
Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur
[FIGUUR: Grafiek met op de x-as log(L) van -0,7 tot 0,3 en op de y-as log(G) van -5 tot 1, met een rechte lijn die door de grafiek loopt.]

4p 12 Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage het gewicht van een
karperlarve met een lengte van 0,8 cm. Geef je antwoord in hele
milligrammen nauwkeurig.
HA-1025-a-16-1-o 8/11 lees verder ►►►

### Pagina 9

Het verband tussen de lengte van karperlarven en hun gewicht kan
beschreven worden met een formule van de vorm:
$$G = 0,014 \cdot L^b \text{ met } 0,2 \le L \le 1,9$$
Hierin is $L$ de lengte in centimeter, $G$ het gewicht in gram en $b$ een
constante.

Een karperlarve van 1,9 cm weegt ongeveer 0,25 g.
3p 13 Bereken $b$ met behulp van deze gegevens. Rond je antwoord af op
één decimaal.

Voor volwassen karpers geldt de formule:
$$G = 0,014 \cdot L^{3,13} \text{ met } 10 \le L \le 94$$
Hierin is $L$ weer de lengte in centimeter en $G$ het gewicht in gram.

3p 14 Bereken hoeveel keer zo zwaar een volwassen karper van 94 cm is in
vergelijking met een volwassen karper van 10 cm. Rond je antwoord af op
honderdtallen.

De formule $G = 0,014 \cdot L^{3,13}$ is te herleiden tot een formule van de vorm
$\log(G) = p + q \cdot \log(L)$.
4p 15 Bereken de waarden van $p$ en $q$. Geef beide waarden in twee decimalen
nauwkeurig.

HA-1025-a-16-1-o 9 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 10

Lichaam PSC.QRF

Gegeven is het prisma $ABC.DEF$. Hierbij is $ABC$ een gelijkbenige driehoek met basis $AB = 6$ cm en bijbehorende hoogte $8$ cm. Bovendien geldt $AD = 9$ cm.
De punten $P$ en $Q$ liggen op de ribbe $AD$ zodanig dat $AP = PQ = QD = 3$ cm. De punten $R$ en $S$ liggen op de ribbe $BE$ zodanig dat $BS = SR = RE = 3$ cm. Deze opgave gaat over het lichaam $PSC.QRF$.
Zie de figuur.

[FIGUUR: Een schematische weergave van een prisma. De basis ABC is een gelijkbenige driehoek met AB als basis. Punten P en Q liggen op AD, en punten S en R liggen op BE. De hoogtes van de basis driehoek en de ribben AD en BE zijn aangegeven met lengtes.]

4p 16 Bereken in cm$^3$ de inhoud van lichaam $PSC.QRF$.

5p 17 Lichaam $PSC.QRF$ wordt op een hoogte van 2 cm doorsneden met een vlak dat evenwijdig is met het vlak $PQRS$. Teken deze doorsnede op ware grootte. Licht je werkwijze toe.

HA-1025-a-16-1-o
10 / 11
lees verder ► ► ►

### Pagina 11

Exponentiële functie

De functie $f$ is gegeven door $f(x) = 3^{x-1} - 2$. Zie figuur 1.

figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek van een exponentiële functie die stijgt. De y-as is verticaal en de x-as is horizontaal. De grafiek snijdt de y-as en nadert de x-as van onderen als x naar links gaat. De oorsprong is aangegeven met O.]

3p 18 Bereken exact de waarde van $x$ waarvoor geldt: $f(x) = 241$.

De functie $g$ is gegeven door $g(x) = 3^x$.

Op de grafiek van $g$ worden de volgende transformaties uitgevoerd:
eerst de verschuiving 6 omlaag, gevolgd door de vermenigvuldiging met $\frac{1}{3}$ ten opzichte van de $x$-as. Op deze manier ontstaat de grafiek van de functie $h$.

4p 19 Toon op algebraïsche wijze aan dat $h$ dezelfde functie is als $f$.

De grafiek van $g$ wordt met $a$ vermenigvuldigd ten opzichte van de $y$-as. Hierdoor ontstaat de grafiek van de functie $k$. Het punt $P(-20, 81)$ ligt op de grafiek van $k$. Zie figuur 2.

figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek van een exponentiële functie die stijgt. De y-as is verticaal en de x-as is horizontaal. De grafiek snijdt de y-as en nadert de x-as van onderen als x naar links gaat. Een punt P is aangegeven op de grafiek.]

4p 20 Bereken exact de waarde van $a$.

HA-1025-a-16-1-o
einde