# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2015 tijdvak 2 > Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2015/tijdvak-2 ## Vragen in dit examen ### Vraag 1 – Opgave 1 ### Vraag 2 – Opgave 2 ### Vraag 3 – Opgave 3 ### Vraag 4 – Opgave 4 ### Vraag 5 – Opgave 5 ### Vraag 6 – Opgave 6 ### Vraag 7 – Opgave 7 ### Vraag 8 – Opgave 8 ### Vraag 9 – Opgave 9 ### Vraag 10 – Opgave 10 ### Vraag 11 – Opgave 11 ### Vraag 12 – Opgave 12 ### Vraag 13 – Opgave 13 ### Vraag 14 – Opgave 14 ### Vraag 15 – Opgave 15 ### Vraag 16 – Opgave 16 ### Vraag 17 – Opgave 17 ### Vraag 18 – Opgave 18 ### Vraag 19 – Opgave 19 ### Vraag 20 – Opgave 20 ## Opgaven (tekst van het examen) ### Pagina 1 Examen HAVO 2015 tijd vak 2 donderdag 18 juni 13.30 - 16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 20 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden. Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt. Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redener worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. HA-1025-a-15-2-0 ### Pagina 2 Veilig vliegen De minimale en de maximale snelheid waarmee een vliegtuig veilig kan vliegen, zijn onder andere afhankelijk van de vlieghoogte. Deze hoogte wordt vaak weergegeven in de Amerikaanse eenheid foot (met meervoud feet). Een foot is iets meer dan 30 cm. Om de snelheid van straaljagers aan te geven, gebruikt men de term Mach. Mach 1 is gelijk aan de geluidssnelheid (dit is ongeveer 1224 km/uur). Mach 2 is tweemaal de geluidssnelheid, enzovoorts. In de figuur zijn alle combinaties van hoogte en snelheid waarmee een F-15-straaljager veilig kan vliegen, grijs weergegeven. Een F-15-piloot zal er tijdens een vlucht voor moeten zorgen dat de combinatie hoogte en snelheid binnen dit veilige gebied valt. De figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage. figuur [FIGUUR: Grafiek met op de y-as de hoogte in duizenden feet (van 0 tot 60) en op de x-as de snelheid in Mach (van 0 tot 2,6). Een grijs gebied geeft de veilige vliegcondities aan.] In de figuur is bijvoorbeeld af te lezen dat een F-15-straaljager op een hoogte van 10 000 feet veilig vliegt bij een snelheid tussen Mach 0,15 en Mach 1,29. HA-1025-a-15-2-o 2 / 11 lees verder ► ► ► ### Pagina 3 4p 1 Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage tot welke maximale hoogte en bijbehorende snelheid de F-15 op deze manier veilig blijft vliegen. Geef de snelheid in Mach in één decimaal nauwkeurig en de hoogte in duizenden feet nauwkeurig. De formule die hoort bij de gekromde linker rand van het in de figuur grijs gemaakte gebied, is: $$h = 60,2 \cdot \log(10v)$$ De formule die hoort bij de gekromde rechter rand van het in de figuur grijs gemaakte gebied, is: $$h = 33,3 \cdot \sqrt{v-1,2}$$ In beide formules is $h$ de hoogte in duizenden feet en $v$ de snelheid in Mach. 3p 2 Bereken de minimale veilige snelheid in Mach van deze F-15. Rond je antwoord af op één decimaal. 3p 3 In de formule $h = 33,3 \cdot \sqrt{v-1,2}$ is $h$ uitgedrukt in $v$. Herleid deze formule zo dat $v$ uitgedrukt wordt in $h$. HA-1025-a-15-2-o 3 / 11 lees verder ►►► ### Pagina 4 Functies met een wortel De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = (x - \sqrt{x})^2$. In figuur 1 zijn de grafiek van $f$ en de lijn $y = x$ getekend. figuur 1 [FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as is gelabeld met 'y' en heeft een markering op 1. De x-as is gelabeld met 'x' en heeft markeringen op 1. Twee lijnen zijn getekend. Eén is een rechte lijn die door de oorsprong gaat en de x-as en y-as snijdt. Deze lijn is gelabeld met y=x. De andere lijn begint bij de oorsprong, buigt omhoog en lijkt de rechte lijn op een bepaald punt A te snijden, daarna blijft deze lijn stijgen. Deze lijn is gelabeld met f.] 5p 4 De grafiek van $f$ en de lijn $y = x$ hebben behalve de oorsprong het punt $A$ gemeenschappelijk. Bereken exact de x-coördinaat van punt $A$. Er geldt: $$f'(x) = 2x - 3\sqrt{x} + 1$$ 3p 5 Toon dit op algebraïsche wijze aan. In een punt $B$ van de grafiek van $f$ met positieve x-coördinaat is de raaklijn aan de grafiek van $f$ evenwijdig aan de lijn $y = x$. 5p 6 Stel een vergelijking van deze raaklijn op. Rond indien nodig in je antwoord af op 4 decimalen. HA-1025-a-15-2-o 4 / 11 lees verder ### Pagina 5 De formule die hoort bij de grafiek van $f$ is $y = (x-\sqrt{x})^2$. Deze formule kun je ook schrijven als $y = (x-p\sqrt{x})^2$ met $p=1$. Voor elke waarde van $p$ kan bij de formule $y = (x-p\sqrt{x})^2$ de bijbehorende grafiek getekend worden. In figuur 2 zijn voor een aantal waarden van $p$ de bijbehorende grafieken getekend. [FIGUUR: Een grafiek met de y-as gelabeld met y en de x-as gelabeld met x. Er zijn vier krommen te zien. Op de y-as is de waarde 1 gemarkeerd. Op de x-as is de waarde 1 gemarkeerd. Boven de krommen staan de labels p=2, p=2,5 en p=3.] Er zijn twee waarden van $p$ waarvoor de grafiek van $y = (x-p\sqrt{x})^2$ door 4p 7 het punt (36, 36) gaat. Bereken exact deze waarden van $p$. ### Pagina 6 Vierkanten In de figuur staan vier vierkanten die telkens in een hoekpunt met elkaar verbonden zijn. Elk vierkant heeft een rangnummer $n$. In de figuur zijn de vierkanten met de rangnummers 1 tot en met 4 getekend. figuur [FIGUUR: Een raster met vier vierkanten. Vierkant $n=1$ is een vierkant met zijde gelijk aan 1 rastereenheid, geplaatst in de linkerbenedenhoek. Vierkant $n=2$ is een vierkant met zijde gelijk aan 1 rastereenheid, gedraaid over 45 graden, geplaatst in de linkerhelft, boven vierkant $n=1$. Vierkant $n=3$ is een vierkant met zijde gelijk aan 1 rastereenheid, geplaatst rechts van vierkant $n=2$, met een hoekpunt gemeenschappelijk met vierkant $n=2$. Vierkant $n=4$ is een vierkant met zijde gelijk aan 2 rastereenheden, gedraaid over 45 graden, geplaatst rechts van vierkant $n=3$, met een hoekpunt gemeenschappelijk met vierkant $n=3$. De rasterlijnen van het raster zijn gestippeld.] De lengte van de zijde van een vierkant is telkens gelijk aan de lengte van de diagonaal van het voorgaande vierkant. De lengte van de zijde van een vierkant met rangnummer $n$ stellen we gelijk aan $z(n)$. Voor het vierkant met rangnummer $n=1$ geldt $z(1) = 1$. Voor het vierkant met rangnummer $n=3$ geldt $z(3) = 2$. De lengte van de zijde van een opvolgend vierkant wordt telkens vergroot met een factor $k$. 3a (4p) 8 Bereken de exacte waarde van $k$. De figuur kan verder worden uitgebreid met het vierkant met rangnummer $n=5$. Ook het vierkant met rangnummer $n=0$ kan getekend worden. 4p 9 Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de vierkanten met rangnummers $n=0$ en $n=5$. HA-1025-a-15-2-o 6 / 11 lees verder ►►► ### Pagina 7 Voor de oppervlakte $A$ van een vierkant met rangnummer $n$ geldt de formule: $A(n) = \frac{1}{2} \cdot 2^n$ 10 3p Voor een bepaald vierkant is de oppervlakte gelijk aan 131 072. Bereken exact het bijbehorende rangnummer $n$. Er kan een formule voor $z(n)$ opgesteld worden waarmee je direct de lengte van een zijde kunt berekenen. Deze formule is van de vorm $z(n) = 2^{a \cdot n + b}$. 11 4p Bereken de waarden van $a$ en $b$. HA-1025-a-15-2-o 7/11 lees verder ►►► ### Pagina 8 Balk! ? Gegeven is de balk $ABCD.EFGH$ met ribben $AB = 3$, $BC = 4$ en $CG = 5$. Zie figuur 1. Het punt $L$ ligt op ribbe $CD$ zodanig dat $CL = 2,5$. Het punt $M$ is het midden van $BC$. Het punt $N$ ligt op ribbe $CG$ zodanig dat $CN = 2$. Van de balk wordt de piramide $C.LMN$ afgehaald, waardoor het lichaam $K$ ontstaat. Zie figuur 2. figuur 1 [FIGUUR: Een balk met de hoekpunten A, B, C, D aan de onderkant en E, F, G, H aan de bovenkant. De afmetingen AB=3, BC=4 en CG=5 zijn aangegeven.] figuur 2 [FIGUUR: Dezelfde balk als in figuur 1, maar nu zijn de punten L, M en N op de ribben CD, BC en CG getekend. De piramide C.LMN is gemarkeerd.] 12 Bereken de oppervlakte van driehoek $LMN$. Geef je antwoord afgerond op één decimaal. 13 Op de uitwerkbijlage is lichaam $K$ vergroot weergegeven. Het vlak $V$ is evenwijdig aan het vlak $LMN$ en gaat door het punt $G$. Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de doorsnede van vlak $V$ met lichaam $K$. Licht je werkwijze toe. HA-1025-a-15-2-o 8 / 11 lees verder ► ► ► ### Pagina 9 ```json { "description": "Dit is een examenopgavepagina die zich richt op differentiaalrekening en de analyse van goniometrische functies. De pagina bevat twee opgaven (14 en 15) en een visuele weergave in de vorm van een grafiek. \n\nVisuele elementen:\n- Een diagram/grafiek met de functie f(x), die golvende vormen vertoont typerend voor sinus- en cosinusfuncties. \n- De x-as en y-as zijn gelabeld, met een oorsprong (O) en een markering op 2π op de x-as.\n- Twee punten, A en B, zijn aangegeven op toppen (maximale waarden) van de functie f, met positieve y-coördinaten in het interval [2π, 5π] (hoewel de 5π niet expliciet op de grafiek staat, wordt het in de tekst vermeld). \n- Een rechte lijn l is getekend die door de punten A en B gaat.\n\nWiskundige/wetenschappelijke concepten:\n- De hoofdformule is een combinatie van lineaire, sinus- en cosinusfuncties: `f(x) = x • sin(x) + cos(x)`. \n- De afgeleide functie (`f'(x) = x • cos(x)`) wordt gegeven en gevraagd om algebraïsch te bewijzen (opgave 14). Dit vereist kennis van productregel en de afgeleiden van sin(x) en cos(x).\n- Het concept van 'toppen' van een grafiek, wat impliceert dat de afgeleide op die punten nul is (`f'(x) = 0`).\n- De opdracht om een vergelijking van een lijn (l) op te stellen die door twee punten gaat, vereist kennis van lineaire vergelijkingen (`y = mx + b`) en hoe de helling (m) te berekenen (`(y2 - y1) / (x2 - x1)`).\n- Exacte berekeningen worden expliciet gevraagd bij opgave 15, wat betekent dat de student geen afgeronde waarden mag gebruiken maar breuken, wortels of π moet behouden.\n\nWat van de student gevraagd wordt:\n- Opgave 14 (3 punten): Bewijs algebraïsch de gegeven afgeleide van de functie f(x).\n- Opgave 15 (6 punten): Bepaal de vergelijking van de lijn l met behulp van exacte berekeningen, waarbij de punten A en B de toppen zijn van de grafiek van f met ### Pagina 10 Dit is een examenpagina (10/11) met opgaven die draaien om het berekenen van volumes van drijvende objecten, met name boeien. Er worden twee typen boeien behandeld: een bolvormige boei en een boei bestaande uit een afgeknotte kegel op een cilinder. De pagina bevat twee foto's (foto 1 van een bolvormige boei, foto 2 van een boei met afgeknotte kegel en cilinder) en één schematische figuur. De figuur betreft een zijaanzicht van een afgeknotte kegel met de afmetingen (hoogte, stralen grondvlak en bovenvlak) en een stippellijn die de denkbeeldige, niet-afgeknotte kegel aangeeft. Een belangrijke wiskundige formule die wordt gepresenteerd is voor het volume van het deel van een bolvormige boei boven water: V = (1/3)π * h² * (3r - h), waarbij V het volume, r de straal van de boei en h de hoogte boven het wateroppervlak. Van de student wordt gevraagd om berekeningen uit te voeren: - Opgave 16: Bereken de hoogte van het deel van een bolvormige boei boven water, gegeven de straal van de boei en het percentage volume dat boven water ligt. - Opgave 17: Bewijs een stelling over de hoogte van de denkbeeldige niet-afgeknotte kegel aan de hand van de gegeven afmetingen van de afgeknotte kegel. Dit vereist vermoedelijk het gebruik van gelijkvormige driehoeken. - Opgave 18: Bereken het totale volume van de boei op foto 2, die bestaat uit een cilinder en een afgeknotte kegel, gegeven de afmetingen en het percentage volume dat zich boven water bevindt. De antwoorden moeten worden afgerond tot een geheel aantal cm of tot op honderdduizenden cm³ nauwkeurig. ### Pagina 11 Van een rechte naar een scheve cilinder In deze opgave bekijken we een cilinder waarvan de hoogte 50 is en de diameter van het grondvlak 10. In figuur 1 is een zijaanzicht van deze rechte cilinder weergegeven. De cilinder wordt scheef doorgesneden en vervolgens worden de twee losse delen zo aan elkaar vastgemaakt dat het cirkelvormige grondvlak en bovenvlak van de rechte cilinder tegen elkaar liggen. Uiteindelijk ontstaat een scheve cilinder. In de figuren 2 tot met 6 wordt dit proces in het zijaanzicht weergegeven. [FIGUUR: Figuren 1 tot en met 6 tonen verschillende stadia van het proces van het creëren van een scheve cilinder vanuit een rechte cilinder. Figuur 1 toont een rechthoek met afmetingen 50 en 10. Figuren 2 en 3 tonen de cilinder opgedeeld met hoeken $\alpha$ en zijden $d$. Figuur 4 toont twee losse delen. Figuur 5 toont de twee delen aan elkaar. Figuur 6 toont de resulterende scheve cilinder met afmetingen 10, 50, hoek $\alpha$, hoogte $h$ en lengte $d$.] De hoek die het schuin doorsnijden van de cilinder maakt met de lengterichting noemen we $\alpha$ en de lengte van de doorsnede in het zijaanzicht noemen we $d$. De hoogte van de scheve cilinder in de stand van figuur 6 noemen we $h$. In de figuren 2 tot en met 5 zijn $\alpha$ en $d$ aangegeven. 3p 19 Bij een bepaalde waarde van $\alpha$ is de hoogte $h$ van de scheve cilinder 90% van de hoogte van de oorspronkelijke, rechte cilinder. Bereken deze waarde van $\alpha$. Geef je antwoord in hele graden nauwkeurig. Voor de inhoud $V_1$ van de rechte cilinder geldt $V_1 = 50 \cdot G_1$, waarbij $G_1$ de oppervlakte van het grondvlak van de rechte cilinder is. Voor de inhoud $V_2$ van de scheve cilinder geldt $V_2 = h \cdot G_2$, waarbij $G_2$ de oppervlakte van het grondvlak van de scheve cilinder is. De inhoud van beide cilinders is gelijk, dus $V_1 = V_2$. Er geldt: $G_2 = \frac{G_1}{\sin(\alpha)}$ 4p 20 Toon dit laatste op algebraïsche wijze aan. HA-1025-a-15-2-o 11 / 11 einde ■