# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2015 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2015/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 18

### Vraag 19 – Opgave 19

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2015
tijd vak 1
woensdag 20 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Dit examen bestaat uit 19 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1025-a-15-1-o

### Pagina 2

Hangar
Door constructies in de vorm van een bergparabool te gebruiken, kunnen grote gebouwen zonder inwendige steunpilaren gebouwd worden. Deze manier van bouwen werd begin vorige eeuw veel gebruikt voor de bouw van hangars, dat zijn loodsen voor bijvoorbeeld vliegtuigen. Zie de foto.

foto
[FIGUUR: Een foto van een grote, gebogen hangar met een gevel met veel verticale panelen en ramen.]

De hangar op de foto is 175 meter lang. De opening in het vooraanzicht van de hangar heeft de vorm van een parabool.

In figuur 1 zie je deze parabool in een assenstelsel waarvan de x-as op de grond gekozen is en de y-as door de top gaat. Voor de coördinaten van de punten van deze parabool geldt bij benadering de volgende formule:
$y = -0,0306x^2 + 56,6$
Hierbij zijn $x$ en $y$ in meter.
Op de grond is de breedte van de opening van de hangar ongeveer 86,0 meter.

3p 1 Laat met behulp van een berekening zien dat ook uit de formule volgt dat deze breedte ongeveer 86,0 meter is.

[FIGUUR: Een assenstelsel met een parabool. De x-as loopt horizontaal en de y-as verticaal. De oorsprong O ligt op de x-as. De parabool opent naar beneden en de top ligt op de positieve y-as.]

HA-1025-a-15-1-o 2 / 9 lees verder ► ► ►

### Pagina 3

De inhoud van de hangar op de foto kan berekend worden met behulp van
de formule $Inhoud = oppervlakte opening \times lengte hangar$.

Voor de oppervlakte van het vlakdeel dat figuur 2
door de parabool en de x-as wordt
ingesloten geldt dat deze gelijk is aan
twee derde deel van de oppervlakte van
de rechthoek die hier precies omheen past.
Zie figuur 2.

[FIGUUR: Een parabool met de top op de y-as en de snijpunten met de x-as, ingesloten in een rechthoek.]

3p 2 Bereken de inhoud van de hangar met
behulp van de gegeven formule. Geef je
antwoord in duizenden m³ nauwkeurig.

De hangar op de foto is zo groot dat zelfs een Boeing 747, lange tijd het
grootste passagiersvliegtuig ter wereld, er met gemak in past.
In 2012 was de Airbus A380 het grootste passagiersvliegtuig ter wereld.
De lengte van de Airbus A380 is 72,8 meter. De maximale breedte - van
het ene vleugeleinde naar het andere - van de Airbus A380 is
79,8 meter. De hoogte boven de grond van de vleugeleinden is
11,0 meter.
4p 3 Onderzoek of de Airbus A380 in de lengterichting in de hangar past.

HA-1025-a-15-1-o 3 / 9 lees verder ► ► ►


### Pagina 4

Functie met sinus

Op het domein $\boxed{[0, 2\pi]}$ is de functie $f$ gegeven door
$f(x) = \sin(x)(\sin(x) + 2 \cos(x))$ . In figuur 1 zie je de grafiek van $f$.

[FIGUUR: Grafiek van de functie f met de x-as gemarkeerd met O, $\pi$, $2\pi$ en de y-as met 1. De grafiek begint bij O, stijgt naar een piek, daalt onder de x-as, stijgt weer naar een piek en daalt naar $2\pi$. Punten A, B en C zijn gemarkeerd op de x-as. Punt D is gemarkeerd op de y-as.]

2p 4 Bepaal met behulp van differentië ren een functievoorschrift van de
afgeleide functie van $f$. Het antwoor d hoeft niet vereenvoudigd te worden.

Een functievoorschrift van de afgeleide functie $f'$ is ook
$f'(x) = \sin(2x) + 2 \cos(2x)$ .

Het punt A($\pi$, 0) ligt op de grafiek van $f$. De raaklijn in A aan de grafiek
van $f$ snijdt de grafiek van $f$ in het punt B. Zie figuur 2.

[FIGUUR: Grafiek van de functie f met de x-as gemarkeerd met O en $2\pi$, en de y-as met 1. De grafiek begint bij O, stijgt naar een piek en daalt dan weer. Punt A is gemarkeerd op de x-as bij $\pi$. Punt B is gemarkeerd op de grafiek, boven de x-as. Een raaklijn aan de grafiek bij A is getekend en snijdt de grafiek opnieuw bij B.]

6p 5 Bereken de x-coördinaat van B in twee decimalen nauwkeurig.

De grafiek van $f$ is te beschrijven met een formule van de vorm
$y = p \sin(q(x - r)) + s$.

8p 6 Bepaal mogelijke positieve waarden van $p$, $q$, $r$ en $s$. Licht je werkwijze
toe. Rond je antwoorden zo nodig af op twee decimalen.

HA-1025-a-15-1-o 4 / 9 lees verder ☒☒☒

### Pagina 5

Theedoosje

Theezakjes zitten soms per stuk in een doosje verpakt.
Zie de foto.

Het theedoosje op de foto heeft de vorm van een prisma.
De voor- en achterkant zijn gelijkbenige trapezia en de
beide zijkanten zijn rechthoeken.
Het doosje heeft een hoogte van 42 mm, de onderkant is
een rechthoek met lengte 41 mm en breedte 20 mm, en
de bovenkant is een vierkant met zijden van 20 mm.

In onderstaande figuur zie je een tekening van het theedoosje, met de
hoekpunten A, B, C, D, E, F, G en H.
De in de figuur vermelde afmetingen zijn in mm.

[FIGUUR: Driedimensionale tekening van een theedoosje met de hoekpunten A, B, C, D, E, F, G en H. De zijden AB en CD hebben een lengte van 41, de zijden BC en AD hebben een lengte van 20. De zijden EH en FG hebben een lengte van 20. De hoogte van het figuur is 42. De zijden AE, BF, CG en DH lijken schuin te lopen.]

figuur

2p 7 Teken op ware grootte het bovenaanzicht van het theedoosje.

4p 8 Teken op ware grootte een uitslag van ABCD.EFGH. Zet bij elk hoekpunt
de juiste letter.

4p 9 Verwaarloos de dikte van het materiaal waarvan het doosje gemaakt is.
Bereken de inhoud van het theedoosje. Geef je antwoord in een geheel
aantal cm$^3$.

HA-1025-a-15-1-o 5/9 lees verder ► ► ►

### Pagina 6

Grafiek met lijnstuk

De functie $f$ is gegeven door $f(x) = \frac{4}{3x-1}$.

Voor de afgeleide van $f$ geldt: $f'(x) = \frac{-12}{(3x-1)^2}$.

4p 10 Toon dit laatste met behulp van differentiëren aan.

Op de grafiek van $f$ liggen de punten $A$ en $B$ met $x_A = 1$ en $x_B = 3$.
Zie de figuur.

figuur

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De grafiek van een functie f loopt van linksboven naar rechtsonder, met een verticale asymptoot op x = 1/3. Op de grafiek liggen twee punten A en B, met A dichter bij de y-as dan B. Er is een lijnstuk AB getekend tussen de punten A en B.]

Op de grafiek van $f$ ligt tussen de punten $A$ en $B$ het punt $C$ waarin de raaklijn aan de grafiek van $f$ evenwijdig is aan het lijnstuk $AB$.

7p 11 Bereken exact de x-coördinaat van $C$.

HA-1025-a-15-1-o 6 / 9 lees verder ►►►

### Pagina 7

Geluidbox

Op de foto is een bolvormige geluidsbox te zien.
We gaan ervan uit dat deze geluidsbox in alle richtingen
evenveel geluid produceert. Hierbij neemt de zogeheten
geluidsintensiteit af naarmate men verder van het
middelpunt van de geluidsbox verwijderd is.
In deze opgave gaan we uit van een geluidsbox die in
een open ruimte staat.

Voor de geluidsintensiteit $I$ in watt per m$^2$ geldt de
volgende formule:
$$I = \frac{P}{4\pi r^2}$$
Hierin is $r$ de afstand in meter tot het middelpunt van de
geluidsbox en $P$ is het vermogen van het door de
geluidsbox geproduceerde geluid in watt.

Op 5 meter van het middelpunt van de geluidsbox wordt een
geluidsintensiteit van $10^{-7}$ watt per m$^2$ gemeten.
4p 12 Bereken de geluidsintensiteit op 1 meter van het middelpunt van de
geluidsbox.

Men gebruikt ook vaak het geluidsniveau $L$ in plaats van de
geluidsintensiteit $I$ in watt per m$^2$. Het geluidsniveau $L$ wordt uitgedrukt in
decibel. Het verband tussen $I$ en $L$ wordt gegeven door de formule:
$$L=10 \cdot \log(10^{12} \cdot I)$$

Als de geluidsintensiteit tweemaal zo groot wordt, dan stijgt het
geluidsniveau met een vast aantal decibel.
4p 13 Bereken dit vaste aantal decibel. Rond je antwoord af op een geheel
getal.

Een bolvormige geluidsbox produceert geluid met een vermogen van
30 watt. Bij een geluidsniveau van 80 decibel of meer kan er schade aan
het gehoor ontstaan.
6p 14 Bereken op algebraïsche wijze tot welke afstand vanaf het middelpunt van
de geluidsbox er schade aan het gehoor kan ontstaan. Rond je antwoord
af op een geheel aantal meters.

HA-1025-a-15-1-o
7 / 9
lees verder ► ► ►

### Pagina 8

(G)een exponentiële functie
De functie $f$ is gegeven door $f(x) = 2^{\frac{1}{2}x^2 - x}$. Verder is gegeven de lijn $l$ met vergelijking $y = 16$. Zie de figuur.
figuur
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en de x-as. De grafiek van de functie $f$ is een paraboolvormige curve die in het oosten (rechts) stijgt en in het westen (links) daalt, met een minimum voorbij de y-as. De lijn $l$ is een horizontale lijn boven de x-as.]
3p 15 De grafiek van $f$ heeft twee snijpunten met $l$.
Bereken de x-coördinaten van deze punten.
3p 16 De functie $f$ heeft een minimum. Als de exponent van 2 in de uitdrukking $2^{\frac{1}{2}x^2 - x}$ minimaal is, dan is ook $f(x)$ minimaal.
Bereken exact het minimum van $f$.
HA-1025-a-15-1-o
8 / 9
lees verder

### Pagina 9

De oppervlakte van driehoek ABC

De functie $f$ is gegeven door $f(x) = x\sqrt{2x+3}$.
Voor de afgeleide van $f$ geldt: $f'(x) = \frac{3x+3}{\sqrt{2x+3}}$.

5p 17 Toon dit laatste met behulp van differentiëren aan.
De lijn $k$ raakt de grafiek van $f$ in het punt $A(3, 9)$.
Punt $B$ is het snijpunt van $k$ met de $x$-as.
Zie figuur 1.
[FIGUUR: Grafiek met de functie f en een rakende lijn k, met de punten A en B.]
De $x$-coördinaat van $B$ is $\frac{3}{4}$.

4p 18 Toon dit op algebraïsche wijze aan.
Punt $C$ is het beginpunt van de grafiek van $f$.
In figuur 2 is driehoek $ABC$ grijs gemaakt.
[FIGUUR: Grafiek met de functie f, een rakende lijn k en de punten A, B en C.]

4p 19 Bereken exact de oppervlakte van driehoek $ABC$.

HA-1025-a-15-1-o 9 / 9 einde