# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2014 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2014/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 18

### Vraag 19 – Opgave 19

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2014
tijdvak 2
woensdag 18 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B

[FIGUUR: Zwarte balk]

Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 19 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

HA-1025-a-14-2-o


### Pagina 2

Gevaar op zee
Schepen die elkaar te dicht naderen worden
gewaarschuwd door de kustwacht. Wanneer schepen
niet op zo'n waarschuwing hebben gereageerd, stelt de
Inspectie Verkeer en Waterstaat een onderzoek in.
figuur
[FIGUUR: Een kaartje met kustlijn. Twee schepen, UK143 en Kaliakra, en een punt S zijn aangegeven.]
De tekening in de figuur is afkomstig uit een
onderzoeksrapport. Er is te zien dat de vaarroutes van
de UK143 en de Kaliakra elkaar snijden in punt S.
In het onderzoeksrapport wordt ervan uitgegaan dat in
de beginsituatie de UK143 zich op 1,2 zeemijl afstand
van S bevindt en vaart met een snelheid van
7,0 zeemijl per uur. De Kaliakra bevindt zich op dat
moment op 2,8 zeemijl van S en vaart met een snelheid
van 16,5 zeemijl per uur.
De afstanden van de twee schepen tot S zijn gegeven door de volgende
formules:
$U(t) = 1,2 - 7,0t$ en $K(t) = 2,8 - 16,5t$
Hierin is t de tijd in uren gemeten vanaf de beginsituatie, U de afstand op
tijdstip t van de UK143 tot S in zeemijlen en K de afstand op tijdstip t van
de Kaliakra tot S in zeemijlen. We gaan er in deze opgave van uit dat de
beide schepen hun koers en snelheid niet veranderen.
3p 1 De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan.
Bereken hoeveel seconden verschil hier tussen zit.
De hoek die de vaarroutes van de twee schepen met elkaar maken is $90^{\circ}$.
Met behulp van bovenstaande formules voor U en K en de stelling van
Pythagoras kan een formule opgesteld worden voor de afstand D tussen
de twee schepen in zeemijlen als functie van de tijd. Deze formule luidt:
$D(t) = \sqrt{321,25t^2 - 109,20t + 9,28}$
Hierin is t de tijd in uren gemeten vanaf de beginsituatie.
3p 2 Toon op algebraïsche wijze de juistheid aan van deze formule voor D.
Er is sprake van een gevaarlijke situatie als de afstand tussen de
twee schepen kleiner is dan 0,2 zeemijl.
3p 3 Bereken na hoeveel minuten dit volgens de formule voor het eerst het
geval is. Geef je antwoord in hele minuten.
HA-1025-a-14-2-o
2/9
lees verder

### Pagina 3

Functies met een wortel

De functie $f$ is gegeven door $f(x) = x \sqrt{x - x}$.
De lijn $k$ met vergelijking $y = \frac{1}{2} x$ heeft met de grafiek van $f$ behalve de oorsprong ook nog het punt $S$ gemeenschappelijk.
4p 4 Bereken exact de $x$-coördinaat van $S$.
4p 5 De functie $g$ is gegeven door $g(x) = x \sqrt{x - 9x}$. De grafiek van $g$ heeft een top.
Bereken exact de coördinaten van deze top.
3p 6 De functie $h$ is gegeven door $h(x) = x \sqrt{x} - px$. Het punt $(\frac{1}{4}, 1)$ ligt op de grafiek van $h$.
Bereken exact de waarde van $p$.
HA-1025-a-14-2-o 3 / 9 lees verder ►►►

### Pagina 4

Karaf
Op de foto zie je een glazen karaf. De karaf is aan de bovenkant open. In
deze opgave wordt een wiskundig model van deze karaf bekeken. In dit
model is de karaf een afgeknotte kegel met daarop een cilinder. Het
schenktuitje en de dikte van het glas worden hierbij verwaarloosd. Zie de
figuur.
foto
figuur
[FIGUUR: Een foto van een glazen karaf, rechts een schematische tekening van de karaf als een afgeknotte kegel met een cilinder erbovenop. De tekening toont afmetingen: de hoogte van de cilinder is 6,5 cm, de straal van de cilinder is 3,3 cm, de straal van de grondvlak van de afgeknotte kegel is 6,0 cm, en de totale hoogte van de afgeknotte kegel is 16,0 cm.]
De afgeknotte kegel is 16,0 cm hoog en de straal van het grondvlak is 6,0
cm. De cilinder past precies op het bovenvlak van de afgeknotte kegel. De
cilinder is 6,5 cm hoog en de straal van het grondvlak is 3,3 cm.
De afgeknotte kegel kan worden gezien als het onderste deel van een
hele kegel. Uit de gegevens volgt dat de hoogte van deze hele kegel
ongeveer gelijk is aan 35,6 cm.
4p 7 Toon dit op algebraïsche wijze aan.
6p 8 Bereken de oppervlakte van de buitenzijde van de karaf. Geef je antwoord
in hele dm² nauwkeurig.
In de lege karaf wordt 1,25 liter water geschonken.
6p 9 Bereken hoe hoog het water in de karaf komt te staan. Geef je antwoord
in hele mm nauwkeurig.
HA-1025-a-14-2-0
4 / 9
lees verder

### Pagina 5

Zwabberende functie

Op het domein $[0, 6\pi]$ is de functie $f$ gegeven door $f(x) = x \cdot \sin x$.

10 De lijn met vergelijking $y = x$ heeft behalve de oorsprong nog drie punten gemeenschappelijk met de grafiek van $f$.
Bereken exact de coördinaten van deze punten.

11 De raaklijn aan de grafiek van $f$ in de oorsprong is horizontaal.
Toon dit met behulp van differentiëren aan.

HA-1025-a-14-2-o 5/9 lees verder ►►►

### Pagina 6

Getint glas

Getint glas laat slechts een deel van het invallende licht door.
De hoeveelheid doorgelaten licht neemt exponentieel af met de dikte van
het glas: hoe dikker het glas, hoe minder licht wordt doorgelaten.

Voor een bepaald soort getint glas geldt dat het bij een dikte van 1 mm
90% van het licht doorlaat. Bij een zekere grotere dikte van hetzelfde
soort glas zal nog maar 50% van het licht worden doorgelaten.
4p 12 Bereken deze dikte in mm. Rond je antwoord af op één decimaal.

De extinctie geeft de mate aan waarin getint glas invallend licht opneemt.
Voor de extinctie $E$ geldt de formule: $10^{-E} = \frac{L_{uit}}{L_{in}}$
Hierin is $L_{in}$ de hoeveelheid invallend licht en $L_{uit}$ de hoeveelheid
doorgelaten licht.

3p 13 Een ruit van getint glas neemt 15% van het invallende licht op.
Bereken de extinctie van deze ruit. Geef je antwoord in twee decimalen
nauwkeurig.

De extinctie hangt af van de dikte van het
getinte glas en van de concentratie absorberende
stof in het glas. Voor een bepaald type autoruit
geldt: $E = 0,1 \cdot C \cdot d$
Hierin is $C$ de concentratie van de absorberende
stof (in mol per liter) en $d$ de dikte van het glas in
mm.
[FIGUUR: foto van een autoruit met uitzicht op een weg]

Voor getinte autoruiten gelden wettelijk vastgestelde eisen. Voorruiten
moeten minimaal 75% van het invallende licht doorlaten.

4p 14 Een fabrikant wil getinte voorruiten van 6 mm dik maken die precies 75%
van het invallende licht doorlaten.
Bereken op algebraïsche wijze de concentratie absorberende stof in deze
ruiten. Rond je antwoord af op één decimaal.

HA-1025-a-14-2-o 6/9 lees verder

### Pagina 7

Prisma

Gegeven is het prisma $ABC.DEF$. Het grondvlak $ABC$ is een gelijkzijdige
driehoek met zijde 4. De hoogte van het prisma is 8. Verder zijn het punt
$G$ op ribbe $AD$ en het punt $H$ op ribbe $BE$ gegeven met $DG = BH = 2$. Zie
figuur 1.

Lichaam $ABC.GHF$ ontstaat door van het prisma uit figuur 1 een stuk af te
snijden met als snijvlak het vlak $FGH$. Zie figuur 2.

figuur 1

[FIGUUR: Een prisma met grondvlak ABC en bovenvlak DEF. De zijden van het grondvlak zijn 4. De hoogte van het prisma is 8. Op ribbe AD is een punt G, en op ribbe BE is een punt H. De afstand DG is 2 en de afstand BH is 2. Het vlak FGH is grijs gekleurd.]

figuur 2

[FIGUUR: Een perspectiefweergave van een deel van het prisma. De punten F, G en H vormen een vlak. De lijnen FG en GH zijn zichtbaar, evenals de lijn FH die een deel van het prisma afsnijdt.]

15
4p
Driehoek $FGH$ is een rechthoekige driehoek, met de rechte hoek bij $G$.
Toon dit met behulp van exacte berekeningen aan.

16
5p
Op de uitwerkbijlage is een begin gemaakt met een uitslag van $ABC.GHF$.
Maak de uitslag af. Zet de letters bij de hoekpunten en licht je werkwijze
toe.

HA-1025-a-14-2-o 7 / 9 lees verder ► ► ►

### Pagina 8

Punt $M$ is het midden van ribbe $AB$. Zie figuur 3. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 3
[FIGUUR: Een driedimensionale figuur met hoekpunten A, B, C, F, G, H. De hoekpunten A, B, C en een punt M op AB vormen een rechthoek op de grond. De hoekpunten F, G, H bevinden zich boven C, A, B. Punt M is het midden van AB.]
4p 17 Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de doorsnede van $ABC.GHF$ met het vlak door $M$ evenwijdig aan $FGH$. Licht je werkwijze toe.
HA-1025-a-14-2-o 8/9 lees verder ►►►

### Pagina 9

Gebroken functies
De functie $f$ is gegeven door $f(x) = - \frac{6}{2x-3} + 2$. De grafiek van $f$ snijdt de
$y$-as in punt $A$ en de $x$-as in punt $B$. Punt $S$ is het snijpunt van de
asymptoten van de grafiek van $f$. Zie de figuur.
figuur
[FIGUUR: Een grafiek van een gebroken functie met de x-as en y-as. De grafiek heeft een verticale asymptoot en een horizontale asymptoot. De verticale asymptoot is de lijn $x = 1,5$. De horizontale asymptoot is de lijn $y=2$. De grafiek snijdt de y-as in punt A en de x-as in punt B. Het snijpunt van de asymptoten is S.]
7p 18 Onderzoek met behulp van een berekening of $A$, $B$ en $S$ op één lijn liggen.
De functie $g$ is gegeven door $g(x) = \frac{1}{x}$. De grafiek van de functie $h$ ontstaat
uit de grafiek van $g$ door de volgende twee transformaties: eerst de
vermenigvuldiging met 6 ten opzichte van de $x$-as, gevolgd door de
translatie $(-2, -3)$.
3p 19 Toon op algebraïsche wijze aan dat de grafiek van $h$ door de oorsprong
gaat.
HA-1025-a-14-2-o 9/9 einde ■